一、利用直角坐标计算二重积分二、 利用极坐标计算二重积分三、 小结

如果 D由 x=a、 x=b、 y=1(x) 、 y=2(x) 围成，即：D ).()( 21 xyx

一、利用直角坐标计算

称为 X 型。)(2 xy

a b

D

)(1 xy

,bxa —— 上下型，

dxdyyxfdyxfD

b

a

x

x

xy

)),((),()(

)(

2

1

后先

b

a

x

xdydxyxf

)(

)(

2

1

),(

b

a

x

xdyyxfdx

)(

)(

2

1

.),(

a 0x b

z

y

x

)( 0xA

),( yxfz

)(1 xy )(2 xy

（左右型）：D

).()( 21 yxy

Y 型域

)(2 yx )(1 yx D

c

d

c

d

)(2 yx

)(1 yx D

dydxyxfdyxfD

d

c

y

y

yx

)),((),()(

)(

2

1

后先

c

c

y

ydxdyyxf

)(

)(

2

1

),(

d

c

y

ydxyxfdy

)(

)(

2

1

.),(

,dyc

非 X 型非 Y 型域

3D

2D1D可用直角坐标线分割为若干个 X 型或

Y 型域。

例 1 改变积分

xxx

dyyxfdxdyyxfdx2

0

2

1

2

0

1

0),(),(

2

的次序.

解 画积分区域如图xy 2

22 xxy 原 式

1

0

2

11 2 ),(y

ydxyxfdy .

问：从积分域的形状看，此域上的积分应选什么样

的积分顺序？

例 2 改变积分 )0(),(2

0

2

2 2 adyyxfdx

a ax

xax

的次序.

解

= a yaa

ay

dxyxfdy0

2

22

2 ),( 原式

a a

yaadxyxfdy

0

2

22 ),( .),(2 2

2

2 a

a

a

a

y dxyxfdy

22 xaxy 22 yaax a2a

a2

a

axy 2

例 3 求 D

dxdyyx )( 2 ，其中D是由抛物线

2xy 和 2yx 所围平面闭区域.

解两曲线的交点 ),1,1(,)0,0(2

2

yx

xy

D

dxdyyx )( 2 1

0

22 )(x

xdyyxdx

dxxxxxx )](21

)([ 421

0

2 .14033

2xy

2yx

另解 D

dxdyyx )( 2 DD

ydxdydxdyx 2

1

0

22

x

xdyxdx

1

0 2

y

yydxdy L

例 4 计算 y

x

y

dxedyI21

21

41

y

y

x

y

dxedy1

21

.

解（y

xe dxQ 不能用初等函数表示）

先改变积分次序.

x

x

x

y

dyedxI2

21

1

1

21

)( dxeex x

.21

83

ee 2xy

xy

从域的形状看，同样）

例 5 求

1|||:|

)||||(yxD

dxdyyx解 原式

0 0, ,1||||:1

)||||(4yxyxD

dxdyyx对称性

)(41 1

D D

dxdyyxdxdy去绝对值号，加法

1

8Dxdxdy

轮换对称性

1

0

1

08

xxy

dyxdx后先

1

0)1(8 dxxx .

Dx

y

O 1

1

1

1

例 6 求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ， xyz ， 1 yx ， 0x ， 0y .

解 画图 .所求体积

D

dxyyxV )(

1

0

1

0)(

xdyxyyxdx

1

0

3 ])1(21

)1([ dxxxx

.247

所围立体在xoy面上的投影D如图所示。

Ao

D

22

1

.)sin,cos(

),(

D

D

ddf

dxdyyxf

二、利用极坐标计算

. ddd

22 )2

1(

2

1)

2

1(

2

1

2

1

2

1

极坐标下的面积元素

极坐标下的表达式：

.)sin,cos()(

)(

2

1

dfdθ后先

A

D

o

D

ddf )sin,cos(

型域 D：

).()( 21

, )(1 )(2

Ao

D

Ao

D

, ).(0

D

o A

,20).(0

特别)(1

)(2

)( )(

例7 写出D

dxdyyxf ),( 的极坐标二次积分形式，其

中 ,11|),{( 2xyxyxD }10 x .

1 yx

122 yx解在极坐标系下

sin

cos

y

x

圆方程为 ＝1,

直线方程为

cossin

1

,

D

dxdyyxf ),(

.)sin,cos(2

0

1

cossin

1

dfd

13/20

例 8 计算 dxdyyxD

)( 22 ， D由 yyx 222 ，

yyx 422 及 yx 3 0 ， 03 xy 所围成。

解32

61

sin4

sin2dxdyyx

D

)( 22

3

6

sin4

sin2

2

dd ).3

2(15

yyx 422

yyx 222 03 yx

03 xy

对称性

例 9 计算

D

dxdyyx

yx22

22 )sin( ，

}41|),{( 22 yxyxD .

解

D

dxdyyx

yx22

22 )sin(

4

1

22

22 )sin(

D

dxdyyx

yx

2

10

sin4 2

dd .4

1D

例 10 求双纽线 )(2)( 222222 yxayx 所围图形 和 222 ayx 的共同部分的面积.

解根据对称性有 |D|=4|D1|.

在极坐标系下)(2)( 222222 yxayx

,2cos2 a

,222 aayx 1D

a

a

2cos2由

,

得交点 )6,(aA ,

所求面积 D

dxdy 1

4D

dxdy

2cos2

0

64a

add ).

33(2 a

关于（二）重积分计算的说明：一、基本方法——化为累次积分（降维数）。二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据： 1 ）积分域的形状（分块少，表达简便） 曲边梯形、边界主要为直角坐标线——直角坐标， 曲边扇形、边界主要为极坐标线——极坐标； 2 ）被积函数的形式（各层积分中的原函数易求） 含 x2+y2 —— 极坐标。三、利用对称性、轮换对等性化简计算。四、利用几何意义化简计算。五、化为二次积分后，各层积分都有：上限 > 下限。

1 、直角坐标下的计算三、小结

D

dyxf ),( D

dxdyyxf ),(都用直角坐标表示

b

a

xd

xc

bxaxdyxc

xydyyxfdx

)(

)(

),()(:X

),(型域

后先{

d

c

yb

ya

dycybxya

yxdxyxfdy

)(

)(

),()(:Y

),(型域

后先

2 、极坐标下的计算D

dyxf ),( D

ddf )sin,cos(都用极坐标表示

)(

)(

),()(:

)sin,cos(b

a

ba

dfd型域

后先

设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续， Adxxf 1

0)( ，

求 11

0)()(

xdyyfxfdx .

思考题

1( )

xf y dyQ 不能直接积出,

令 11

0)()(

xdyyfxfdxI ,

思考题解答

则原式 y

dxyfxfdy0

1

0)()( .

,)()(0

1

0 x

dyyfdxxf x

y

o

故 11

0)()(2

xdyyfdxxfI

xdyyfdxxf

0

1

0)()(

])()[()(1

0

1

0dyyfdxxf

x

x

.)()( 21

0

1

0Adyyfdxxf

.2

1 2AI