第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想
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第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想
一、 微积分的两个基本问题 二、我国古代学者的极限思想
一、微积分的两个基本问题
设物体于时刻 t在直线上的位置为 s=t2 ,
求在 t0 时刻物体的瞬时速度 v(t0) .
1. 变速直线运动的瞬时速度
分析: 由于物体是作直线运动,速度的方向即沿直线运动的方向,所以只要求速度的大小.任取时间 t(≠t0) ,从 t0 到 t
( 或 t到t0) 的这段时间内,则0
20
2
tt
ttv
这个平均速度一般不是物体在 t0
时的瞬时速度,但 |t-t0| 越小,此平均速度越接近
0
20
2
tt
tt
t0 时刻的瞬时速度,让 t无限趋近 t0,
就无限逼近在 t0 时的瞬时速度.这说明要
解决 t0 时刻变速直线运动的瞬时速度,需要
0
20
2
tt
tt
考察 t无限趋近 t0 时,表达式
时没有意义 ) 的变化趋势,其无限逼近的数值就是物体在 t0 时刻的瞬时速度.
( 此式 t=t0
所谓曲边梯形是指如下图所示的图形,它有 3 条边是直线段,其中有两条垂直于另一条 ( 称为底边 ) ;还有一条边是连续曲线弧 ( 称为曲边 ) .
2. 曲线围成的平面图形的面积
一般地,由任意连续曲线围成的图形的面积,如下图所示的图形面积 A可以看
的差.因此要计算一般的连续曲线围成的平面图形的面积,关键在于求曲边梯形的面积.
为曲边的两个曲边梯形的面积作以区间 [a,b] 为底边、分别以曲线弧和 MmN
( MmN
(
例 1 求由曲线 y=x2 、 x轴和直线 x=1 围成
的图形的面积.
分析 垂直于底边的一条直边退化为一点的情形.
该图形如图所示,它是曲边梯形中
n
1分割成 n个底边长为我们设想用垂直于 x轴的直线将曲边梯形
每个窄的曲边梯形以它的左直边为高、底为 的窄的曲边梯形,把
n
1
此和越接近曲边梯形的面积.当 n无限
的矩形近似代替,这 n个窄矩形面积的和是曲边梯形的面积的近似值,分割越细,
增大时 ( 每个窄曲边梯形的底边长都趋于零 ) , n个窄矩形的面积的和就无限逼近曲边梯形面积的精确值 . 具体地说,有以下的解法. 解把 x轴上的闭区间 [0,1] 分成 n等分, 得分点
1,1
,,2
,1
,0 1210
nn xn
nx
nx
nxx
过各分点作 x轴的垂线,把曲边梯形分割成 n个窄曲边梯形.
对每个窄的曲边梯形,用它的底边为底、它的左直边为高的矩形来近似,把这些窄矩形的面积加起来,得到原曲边梯形的面积的近似值
])1
()2
()1
[(1 222
n
n
nnnAn
2 2 23
1[1 2 ( 1) ]n
n
36
)12()1(
n
nnn
26
1
2
1
3
1
nn
当 n无限增大时, An无限逼近
3
1
可见所求的曲边梯形的面积应等于 3
1.
.
梯形的底边长都趋于零 ) 时, n个窄矩形面积的和,无限逼近的数值即是所求的曲边梯形的面积.
以上解决曲边梯形面积的方法,是通过分割,把曲边梯形分成 n个窄的曲边梯形,每个窄的曲边梯形用以它的左直边为高,同底的矩形近似代替,最后考察 n无限增大 ( 每个窄曲边
以上介绍的两个基本问题分别代表微分学和积分学的两大类问题,而这两个基本问题的解决都需要“无限趋近”或“无限逼近”等概念,这种概念描述的是动态的且是无限的过程.这正是从下一节开始要讨论的极限概念及其基本理论.极限既是解决两大类问题的工具,又是一种思考问题的方法.极限的思想和方法不仅是高等数学的基础,而且在自然科学和社会科学的许多基本概念中也有广泛应用.
二、我国古代学者的极限思想
公元前 3 世纪,道家代表人物庄子的《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的记载反映了两千多年前的我国古人就有了初步的极限观念.
公元 263 年我国数学家刘徽创立的割圆术中进一步叙述了这种思想.他说:“以六觚之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂.若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而六之,则得二十四觚之幂.割之弥 ( 越 ) 细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.”
刘徽另外在弓形面积计算、体积研究和开方等方面也都用了初步的极限思想,说明刘徽对极限已有了相当的认识,这是他在数学上极其重要的成就,这充分反映出他的数学思想的先进,代表了我国古代学者在数学上所作的杰出贡献.