第五章方差分析

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第五章第五章方差分析方差分析


5.15.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理

5.1.1 5.1.1 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解

5.1.2 5.1.2 FF 分布与分布与 FF 测验测验


上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍 k(k≥3) 个样本平均数的假设测验方法，即方差分析 (analysis of variance) 。这种方法的基本特点是：将所有 k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，进而获得不同变异来源的总体方差估计值。


其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。


5.1.1 自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。下面我们首先用一个例子来说明这一问题。


[ 例 5.1] 以 A、 B、 C、 D4 种药剂处理水稻种子，其中 A为对照，每处理各得 4个苗高观察值 (cm) ，试分解其自由度和平方和。

药剂苗高观察值总和 Ti 平均数 A 18 21 20 13 72 18

B 20 24 26 22 92 23

C 10 15 17 14 56 14

D 28 27 29 32 116 29

T=336 =21

iy

y


1 、总变异

把表中的全部观察值作为一个组看待[即把 4个处理 (4 组、每组有 4个观察值 )合并成一组，共有 24 个观察值 ]，根据前面讲过的计算平方和的公式，可以计算出总变异的平方和和自由度

60244

336322118

)()(

2222

222

nk

yyyySS iT


自由度 DFT=nk-1=4×4-1=15 。

表中的每一个观察值，即包括有处理的效应 (不同药剂对苗高的影响 )又受到误差的影响。

其中：nk

T

nk

y 22)( 称为矫正数，用 C 表示。


2 、误差效应

表中处理内 (组内 )各观察值之间，若不存在误差，则各观察值应该相等，由于误差是客观存在的，因而处理内 (组内 )各观察值之间必然是有差异的，因此，可以用组内 (处理内 )的差异度量误差效应：


384

7213202118)(

22222

212

12

111 n

TyyySS jje药剂 A 内：

药剂 B内：

204

9222262420)(

22222

222

22

222 n

TyyySS jje

药剂 C内：

264

5614171510)(

22222

232

32

333 n

TyyySS jje

药剂 D内：

144

11632292728)(

22222

242

42

444 n

TyyySS jje


从理论上讲，这 4个误差平方和除以相应的自由度得的误差均方都可以作为总体误差方差的无偏估计值。但是，用它们的加权平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。所以：

9814262038)( 2

1 1

k n

iije yySS

每个组内 (处理内 )的自由度为： n -1=4-1=3,


)1(,)(1

2 kDFyySS t

k

it

所以误差的自由度为： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12

3 、处理效应

如果没有处理效应，表中各个处理 (组 )平均数

来度量处理效应。

iy 从理论上讲均应该相等，因此可以用 iy


Cn

TyynnSSSS i

k

itt 2

2

1

)(

tt dfSS /需要注意的是，系样本平均数的方差，

为了进行正确的 F 测验，必须使它们都是估

2ee dfSS /的估值，而则是n/2是的估值。

。因而，处理 (组间 )平方和

2计同一参数

应为：


504])2129()2114(

)2123()2118[(4)(

22

222

1

yynSSk

it

50470564

116569272 22222

Cn

TSS i

t

etTetT DFDFDFSSSSSS ,


本例中平方和： 602=504+98自由度： 15=3+12因此误差平方和可以采用简单的办法计算

SSe=SST-SSt=602-504=98 。

进而可得均方：

17.812

98

00.1683

504

2

2

e

eee

t

ttt

df

SSsMS

df

SSsMS


平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源 DF SS MS

处理间( 组间 )

k-1

MSt

误差( 组内 )

k(n-1)

MSe

总变异 kn-1

nk

T

nk

yCCyyy i

2222 )(

)(

Cn

Tyyn i

k

i 2

2

1

)(

tT

k n

iij SSSSyy 2

1 1

)(

将上述例子推广到一般，设有 k组数据，每组皆具 n个观察值，则资料共有 nk个观察值，其数据分组如表 6.1(P99) 。


5.1.2 F 分布与 F 测验一、 F 分布在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体中随机抽取两个独立样本，分别求得

21

21

21 ),(s

sF

22s2

1s22s2

1s 和，将和的比值定义为 F：其均方


按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的 F值而作成一个 F分布。它是具平均数 μμFF=1=1 和取值区间为和取值区间为 [0, ∞][0, ∞]的一组曲线；的一组曲线；而某一特定曲线的形状仅决定于参数 ν1 和ν2 。

F 分布下一定区间的概率可从已制成的统计表中查出。附表 5给出了各种 ν1 和 ν2

下右尾概率 α=0.05 和 α=0.01


二、 F 测验在方差分析的体系中， F测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否存在。所以在计算 F值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异 (如误差项 ) 作分母。

21s时的临界 F 值。其值是专供测验的总体方

21 是否显著大于 2

222s 的总体方差差

而设计的 (H0 ：对

HA ：

222

1 ＞ ) 。21 2

2 ≤


F 测验需具备的条件： (1) 变数 y遵循 N(μ ， σ2) ；

2ts[ 例 6.3] 在例 6.1 中算得药剂间均方 =168.00 ，药剂内均方

2es =8.17 ，具有自由度 ν1=3 ， ν2=12 。试测验药剂间变异

是否显著大于药剂内变异？

22et 假设 H0 ： 22

et 对 HA ： α=0.05

22s2

1s 和彼此独立。(2)


56.2017.8

00.1682

2

e

t

s

sF

查附表 5 在 νν11=3=3 ，， νν22=12=12 时时

FF0.050.05=3.49=3.49 ，， FF0.010.01=5.95=5.95

实得实得 FF ＞＞ FF0.01 0.01 PP ＜＜ 0.010.01

测验计算：


将例 6.1 和例 6.3 的分析结果归纳在一起，列出方差分析表如下：

变异来源 DF SS MS F 显著 F 值

药剂处理间 3 504 168.00 20.56 F0.05=3.49

药剂处理内 ( 误差 ) 12 98 8.17 F0.01=5.95

总变异 15 602

水稻药剂处理苗高方差分析表

22et 推断：否定 H0 ： 22

et ，接受 HA ：


5.25.2 多重比较多重比较

5.2.1 5.2.1 最小显著差数法最小显著差数法

5.2.2 5.2.2 q q 法法

5.2.3 5.2.3 新复极差法新复极差法

5.2.4 5.2.4 多重比较方法的选择多重比较方法的选择


5.2.1 最小显著差数法

最小显著差数法 (least significant differrence ，简称 LSD 法 )

n

MSs

stLSD

eyy

yy

ji

ji

2


[ 例 6.4] 试以 LSD 法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。

)(02.24

17.82cms

ji yy

由附表 4 ， ν=12 时， t0.05=2.179,t 0.01=3.055

故 LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)

LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)


处理苗高平均数差异显著性0.05 0.01

D 29

B 23

A 18

C 14

不同药剂处理水稻苗高平均数比较 (LSD法 )

a

b

c

c

A

A

B

B

C

C


5.2.2 q 法 q 测验方法是将 k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差 LSRα值的。

nMSSE

SEqLSR

e

pdf

/

,;


[ 例 6.5] 试以 q 法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。

43.14/17.8 SE

查附表 7 ，得到当 DF=12 时， p=2,3,4 的 q

α 值


LSRα 值

P q 0.05 q 0.01 LSR0.05 LSR0.01

2 3.08 4.32 4.40 6.18

3 3.77 5.04 5.39 7.21

4 4.20 5.50 6.01 7.87

处理苗高平均数差异显著性0.05 0.01

D 29 a A

B 23 b AB

A 18 c BC

C 14 c C

不同药剂处理水稻苗高平均数比较 (q 法 )


5.2.3 新复极差法新复极差法，又称最短显著极差法 (shortest significant range) ，与 q法相似。计算 LSRα值查的是 SSRα值 (附表 8)而不是 q表。

pSSRSELSR , LSRLSRαα 值值

P SSR 0.05 SSR 0.01 LSR0.05 LSR0.01

2 3.08 4.32 4.40 6.18

3 3.23 4.55 4.62 6.51

4 3.33 4.68 4.76 6.69


5.2.4 多重比较方法的选择1 、试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法；2、根据否定一个正确的 H0和接受一个不正确的 H0的相对重要性来决定。


方差分析的基本步骤：

（ 1 ）分解平方和与自由度；

（ 2 ） F 测验；

（ 3 ）平均数的多重比较。


5.35.3 方差分析的线性模型与期望均方方差分析的线性模型与期望均方

5.3.1 5.3.1 方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型

5.3.2 5.3.2 期望均方期望均方


5.3.1 方差分析的线性数学模型

方差分析是建立在一定的线性可加模型的基础上的。所谓线性可加模型是指总体每一个变量可按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，它是方差分析的基础。


表 6.1 数据的线性模型可表示为：

ijiijy

式中，μ为总体平均数， τi 为试验处理效应， εij 为随机误差具有 N(0 ， σ2) 。


在以样本符号表示时，样本的线性组成为：

ijiij etyy

y 是 μ 的无偏估计值，

iiii eyyt )(

ijiijij yye )(


21 1

2

)1(

)(

e

k n

iij

e nk

yyMS

222

21

2

)(1

)(

ee

k

i

t nn

nk

yynMS


5.3.2 期望均方在线性可加模型中，由于对 τi有不同解释

产生了固定模型 (I) 和随机模型 (II) 。

一、固定模型 (fixed model)

指试验的各处理都抽自特定的处理总体，其处理效应 τi=(μi-μ ) 是一个固定的常量，我们

的目的就在于研究 τi，所测验的假设是 H0： τi=

0 或 H0：μi= μ 。


一般的栽培和饲养试验，如肥料试验、药效试验、密度试验、饲料试验、品种试验等均属于固定模型。

［例 6.8］以 5个水稻品种作大区比较试验，每品种作 3次取样，测定其产量，所得数据为单向分组资料。本试验需明确各品种的效应，故为固定模型，方差分析和期望均方的参数列入下表：


5 个水稻品种产量的方差分析与期望均方表

变异来源 DF SS MS 期望均方（ EMS ）：固定模型

品种间品种内

4

10

87.6

24.0

21.9

2.402

22

n

固定模型的处理效应（本例为品种效应） τi 属于固定效应，固定效应的方差用　表示。

固定模型的 F测验　

2

2

22

2

2

ˆ

ˆˆ

n

s

sF

e

t


二、随机模型 (random model) 指试验中的各处理皆是抽自 N(0 ， ) 的一组随机样本，因而处理效应 τi是随机的，它会因试验的不同而不同；故我们的目的不在于研究 τi而在于研究 τi的变异度。

随机模型在遗传、育种和生态的研究试验方面有较广泛的用处。

2


［例 6.9］研究籼粳杂交 F5代系间单株干草重的遗传变异，随机抽取 76 个系进行试验，每系随机取 2个样品测定干草重（ g/株）。因这 76 个系是随机抽取的样本，要从这些样本来估计 F5代系间单株干草重的遗传变异，故这是随机模型。其方差分析的结果如下：

变异来源 DF MS 期望均方（ EMS ）：固定模型

系统间系统内

75

76

72.79

17.772

22

n


随机模型的F 测验

2

22

2

2

ˆ

ˆˆ

n

s

sF

e

t

77.17ˆ 2 本例中系统内 MS 估计了 σ2 ，因而

51.272/)77.1779.72(ˆ,79.72ˆ2ˆ 222

；系统间 MS 22 n估计了因而


这是测验处理效应的变异度，而不是测验处理效应本身。

本例 F＝ 72.79/17.77=4.09>F0.05 ，说明单株干草重存在遗传变异。


5.45.4 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析

5.4.1 5.4.1 组内观察值数目相等的单向分组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组资料的方差分析

5.4.25.4.2 组内又分亚组的单向分组资组内又分亚组的单向分组资料的方差分析料的方差分析


5.4.1 组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析

每组具 n 个观察值的 k 组数据的符号表

组别观察值 (yij,i=1,2,…,k ; j=1,2,…,n) 总和平均均方

1 y11 y12 … y1j … y1n T1

2 y21 y22 … y2j … y2n T2

：：： … ： … ：：：：i yi1 yi2 … yij … yin Ti

：︰︰ … ： … ：：︰︰k yk1 yk2 … ykj … ykn Tk

T=∑yij=∑y

1y

2y

21s22s

2isiy

ky2ks

y


变异

来源

自由度DF

平方和SS

均方MS

F 期望均方 EMS固定模型随机模型

处理间

k-1

误差

k(n-1)

总变异

nk-1

Cn

Tyyn i

i 2

2)( tMS

eMS

22 n 22

n

2 2tTiij SSSSyy 2)(

e

t

MS

MS

nk

TCCyyyij

222 ,)(

组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析


5.4.2 组内又分亚组的单向分组资料的方差分析组别亚组观察值亚组总

和 Tij

亚组均数

组总和 Ti

组均数

1 … ：： T1

2 … ：： T2

： … ：：：：

i

1 yi11 yi12 … yi1k yi1n Ti1

Ti

2 yi21 yi22 … yi2k yi2n Ti2

：：：：：：：︰︰j yij1 yij2 … yijk … yijn Tij

：︰︰︰︰︰︰︰︰m yim1 yim2 ︰ yimk ︰ yimn Tim

： … ︰︰l … Ti

iyijy

1y

2y

1iy

2iy

ijy

imy

iy

iy

lmnTyyT ijk /


设一系统分组资料共有 l组，每组内有 m个亚组，每一亚组内有 n个观察值，则该资料共有 lmn 个观察值。其观察值的线性模型为：

ijkijiijky

将该线性模型变型得：

ijkijiijky


等式的左边是总效应，它是由右边的 (1)组间变异； (2) 同一组内亚组间变异； (3)同一亚组内各重复观察值间的变异所构成。其自由度和平方和的估计如下：

1、总变异自由度 DFT=lmn-1

lmnTCCyyySSlmn

T /,)( 222

1


2 、组间 (处理间 )变异

自由度 DFt=l-1

CmnTyymnSS i

l

it /)( 22

1

3 、同一组内亚组间的变异

自由度 )1(1

mlDFe

mnTnTyynSS iij

l m

iije //)( 222

1 11


4 、亚组内变异自由度 )1(

2 nlmDFe

nTyyySS ijijk

l m n

ijijke /)( 222

1 1 12


二级系统分组资料的方差分析变异来

源DF SS MS F 期望均方 (EMS)

混合模型随机模型

组间 l-1

组内亚组间

l(m-1)

亚组内 lm(n-1)

总变异 lmn-1

2)( yymn i tMS 222 mnn 222

mnn

2)( iij yyn 1eMS 22

n 22 n

1e

t

MS

MS

2)( ijyy2eMS 2 2

2

1

e

e

MS

MS

2)( yy


[ 例 6.12] 在温室内以 4种培养液 (l=4)培养某种作物，每种 3盆 (m=3) ，每盆 4株 (n=4) ，一个月后测定其株高生长量 (mm),结果如下表，试作方差分析。

培养液 A B C D 总和

盆号 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3

生长量

50 35 45 50 55 55 85 65 70 60 60 65

55 35 40 45 60 45 60 70 70 55 85 65

40 30 40 50 50 65 90 80 70 35 45 85

35 40 50 45 50 55 85 65 70 70 75 75

盆总和Tij

180 140 175 190 215 220 320 280 280 220 265 290

T=2725培养液总和 Ti

495 625 880 775

培养液平均

41.3 52.1 73.3 64.6iy


一、自由度和平方和分解

总自由度 DFT=lmn-1=(4×3×4)-1=47

培养液间自由度 DFt=l-1=4-1=3培养液内盆间自由度DFe1=l(m-1)=4×(3-1)=8

盆内株间自由度DFe2=lm(n-1)=4×3×(4-1)=36


69.160429434

27752

C

31.1159569.160429172025

755550 2222

CCySST

56.712625.16755643

775880625495 22222

C

CCmn

TSS i

t


50.126225.16755675.168818

25.1675564/)290140180(

//222

22

1

mnTnTSS iije

25.3206

75.168818172052

/22

2

nTySS ije


2 、培养液间差异

二、 F 测验

1、盆间差异

02 假设 H0 ：，求得：

F=157.81/89.06=1.77

此 F 值小于 ν1=8,ν2=36 F0.05=2.22, 所以接受 H0

0: 20 H假设，求得：


推断：该试验同一培养液内盆间的生长量无显著差异；而不同培养液间的生长量有极显著的差异。

F=2375.25/157.81=15.05

0: 20 H

此 F 值大于 ν1=3,ν2=8F0.01=7.59, 故否定

0: 2 AH，接受。


变异来源 DF SS MS F F0.05 F0.01

培养液间 3 7126.56 2375.52 15.05﹡﹡ 4.07 7.59

培养液内盆间 8 1262.50 157.81 1.77 2.22 3.04

盆内株间 36 3206.25 89.06

总变异 47 11595.31

方差分析表


三、各培养液平均数间的比较

)(63.343

81.1571 cm

mn

MSSE e

p SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01

2 3.26 4.74 11.83 17.21

3 3.39 5.00 12.31 18.15

4 3.47 5.14 12.60 18.66

4 种培养液的 LSR 值 ( 新复极差测验 )


4 种培养液植株生长量 (mm) 的差异显著性培养液平均生长量差异显著性

0.05 0.01

C 73.3 a A

D 64.6 a AB

B 52.1 b BC

A 41.3 b C


5.55.5 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析

5.5.1 5.5.1 组合内只有单个观察值的两向组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析分组资料的方差分析

5.5.2 5.5.2 组合内有重复观察值的两向组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析分组资料的方差分析


5.5.1 组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析

设有A和 B两个因素，A因素有a个水平，B因素有 b个水平，每一处理组合仅有一个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如下表：

A 因素 B 因素 Ti

B1 B2 … Bb

A1 y11 y12 … y1b T1.

A2 y21 y22 … y2b T2.

：︰︰︰︰︰︰Aa ya1 ya2 … yab Ta.

T.j T.1 T.2 … T.b T..

…

.iy

jy.

.1y

.2y

.ay

..y1.y 2.yby.


观察值的线性模型为：

ijjiijy

因此，总变异可分解成 A因素效应、 B因素效应和误差效应三个部分。其自由度和平方和的分解如下表：变异

来源DF SS MS F 混合模型 EMS

(A 固定， B 随机 )

A 因素

a-1

B 因素

b-1

误差 (a-1)(b-1)

总变异

ab-1

CbTyyb ii /)( 2.

2...

CaTyya jj /)( 2.

2...

BATji SSSSSSyyyy 2.... )(

Cyyyij 22.. )(

AMS

BMS

eMS

e

A

MS

MS

e

B

MS

MS

2

22Ba

22Ab


注意：这种类型资料，其误差项是误差与互作的混合项。因此只有 AB不存在互作时，才能正确估计误差。另外，为提高试验的精确性。误差自由度不能小于 12。


［例 5.13］采用 5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植 4株，每组 6盆，每盆一个处理，试验共有 4组 24盆，并按组排列于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当务盆见第一朵花时记录 4株豌豆的总节间数，结果见下表，试作方差分析。


处理（ A ）组（ B ）总和 Ti. 平均I II III IV

未处理（ CK ）

60 62 61 60 243 60.8

赤霉素 65 65 68 65 263 65.8

动力精 63 61 61 60 245 61.3

吲哚乙酸硫酸腺嘌呤马来酸

64

62

61

67

65

62

63

62

62

61

64

65

255

253

250

63.8

63.3

62.5

总和　 T.j 375 382 377 375 T ＝1509


(1) 自由度和平方和的分解

30.4345.587.6562.114

45.56/)375377382375(/

87.654/)250...263243(/

62.11465...6560

38.9487846

1059

22222.

2222.

2222

2

BATe

jB

iA

T

SSSSSSSS

CCaTSS

CCbTSS

CCySS

C


变异来源 DF SS MS F F0.05 F0.01

组间 3 5.45 1.82 ＜ 1

处理间 5 65.87 13.17 4.56 2.90 4.56

误差 15 43.30 2.89

总变异 23 114.62

方差分析表

0: 20 BH

（ 2 ） F 测验组间效应：假设

F ＝ 1.48/2.89 <1


推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。　

0: 20 AH 处理间效应：假设

F ＝ 13.17/2.89=4.56

（ 3）处理间比较此例有预先指定的对照，故用 LSD 法。


202.14

89.22

ji yys

查得 ν ＝ 15 时， t0.05=2.131 ， t0.01=2.947

LSD0.05=1.202×2.131=2.56, LSD0.01=1.202 ×2.947=3.54

处　理平　均　数与对照的差数

对照（ CK ）赤霉素动力精吲哚乙酸硫酸腺嘌呤马来酸

60.8

65.8

61.3

63.8

63.3

62.5

－5.0**

0.5

3.0*

2.5

1.7


5.5.2 组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析

设有A、 B两个试验因素，A因素有a 个水平，B因素有 b个水平，共有ab个处理组合，每个组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。如果试验按完全随机设计，则其资料类型如下表：


A 因素 B 因素总和Ti..

平均B1 B2 … Bb

A1

y111 y121 … y1b1 T1..

y112 y122 … y1b2

︰︰︰︰y11n y12n y1bn

Tij. T11. T12. T1b.

A2

y211 y221 … y2b1 T2.

y212 y222 … y2b2

︰︰︰︰y21n y22n y2bn

Tij. T21. T22. T2b.

︰︰︰︰︰︰︰

Aa

ya11 ya21 … yab1 Ta.

ya12 ya22 … yab2

︰︰︰︰ya1n ya2n … yabn

Tij. Ta1. Ta2. Tab.

T.j. T.1. T.2. … T.b. T...

..iy

..1y

..2y

..ay

...y.1.y .2.y ..by.. jy


线性模型为：ijkijjiijky )(

各变异来源的自由度和平方和的估计为：

变异来源 DF SS MS

处理组合 ab-1

A 因素 a-1

B 因素 b-1

A×B 互作 (a-1)(b-1)

试验误差 ab(n-1)

总变异 abn-1 CySST 2

CnTSSijt /2

.

tTe SSSSSS

CbnTSS iA /2..

CanTSS jB /2..

BAtAB SSSSSSSS

)( 2AA sMS

)( 2BB sMS

)( 2ABAB sMS

)( 2ee sMS


[ 例 6.14]施用 A1、 A2、 A33 种肥料于 B1、 B2、 B33 种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种 3盆，得产量结果 (g) 如下表，试作方差分析。

变异来源 MS 期望均方 (EMS)

固定模型随机模型混合模型 (A 随机、 B 固定 )

A 因素B 因素

A×B 互作试验误差

期望均方

2es 2

2ABs 22

n

2Bs

2As

22 an

22 bn

2

22 n

222 ann

222 bnn

2

22 n

222 ann

22 bn


肥料种类(A)

盆土壤种类 (B) 总和 Ti.. 平均B1( 油沙 ) B2( 二合 ) B3( 白僵 )

A1

1 21.4 19.6 17.6

169.2 18.82 21.2 18.8 16.6

3 20.1 16.4 17.5

Tij. 62.7 54.8 51.7

A2

1 12.0 13.0 13.3

118.2 13.12 14.2 13.7 14.0

3 12.1 12.0 13.9

Tij. 38.3 38.7 41.2

A3

1 12.8 14.2 12.0

122.0 13.62 13.8 13.6 14.6

3 13.7 13.3 14.0

Tij. 40.3 41.1 40.6

总和 T.j. 141.3 134.6 133.5 T=409.4

平均 15.7 15.0 14.8

..iy

.. jy


1 、自由度和平方和的分解

72.6207333

2.409 2

C

28.2190.146.194.21 222 CSST

58.2023

6.408.547.62 222

CSSt

38.17933

0.1222.1182.169 222

CSSA


96.333

5.1336.1343.141 222

CSSB

24.1996.338.17958.202 BAtAB SSSSSSSS

70.1658.20228.219 tTe SSSSSS

2 、 F 测验

将上述结果及自由度录于方差分析表中，以固定模型作 F测验


变异来源 DF SS MS F F0.01

处理 8 202.58 25.22 27.28 3.71

肥料间 2 179.38 89.69 96.65 6.01

土类间 2 3.96 1.98 2.13 6.01

肥料 ×土类

4 19.24 4.81 5.18 4.58

试验误差 18 16.70 0.928

总变异 26 219.28


3 、平均数的比较(1) 各处理组合平均数的比较

)(556.03928.0 gn

MSSE e

p 2 3 4 5 6 7 8 9

SSR0.05 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.35 3.37 3.39

SSR0.01 4.07 4.27 4.38 4.46 4.53 4.59 4.64 4.68

LSR0.05 1.65 1.73 1.78 1.82 1.85 1.86 1.87 1.88

LSR0.01 2.26 2.37 2.44 2.48 2.52 2.55 2.58 2.60

各处理组合平均数的 LSR 值


各处理平均数的新复极差测验处理组合平均数 (g) 差异显著性

0.05 0.01

A1B1 20.9 a A

A1B2 18.3 b B

A1B3 17.2 b B

A2B3 13.7 c C

A3B2 13.7 c C

A3B3 13.5 c C

A3B1 13.4 c C

A2B2 12.9 c C

A2B1 12.8 c C


(2) 各肥类平均数的比较

)(32.033928.0 gbn

MSSE e

p SSR 0.05 SSR 0.01 LSR 0.05 LSR 0.01

2 2.97 4.07 0.95 1.30

3 3.12 4.27 1.00 1.37

肥料种类平均数差异显著性0.05 0.01

A1 18.8 a A

A3 13.6 b B

A2 13.1 b B

肥类平均数的 LSR 测验


5.65.6 方差分析的基本假定与数据转换方差分析的基本假定与数据转换

5.6.1 5.6.1 方差分析的基本假定方差分析的基本假定

5.6.2 5.6.2 数据转换数据转换


5.6.1 方差分析的基本假定1 、可加性 (additivity)处理效应与环境效应是可加的，如：

ijjiijy

2 、正态性 (normality)

试验误差应该是随机的、彼此独立的，具有平均数为 0而且作正态分布。

ij

3 、同质性 (homogeneity)

所有试验处理必须具有共同的误差方差。


5.6.2 数据转换1 、平方根转换 (square root transformation)

如果样本平均数与其方差有比例关系，则用此转换。

1, yyoryy

2 、对数转换 (logarithmic transformation)

如果数据表现出倍加性，则用此转换。

)1lg(lg yyoryy


3 、反正弦转换 (acrsine transformation)如果资料系成数或百分数，则它将作二项分布，而已知这一分布的方差是决定于平均数 p的。所以，在理论上如果 p<0.3 和 p>0.7则需要作反正弦转换，以获得一个比较一致的方差。

py 1sin

4 、用几个观察值的平均数作方差分析。

第五章方差分析

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第五章 方 差 分 析

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