第六章 时变电磁场和平面电磁波

§6.1  时谐电磁场时谐场中场量的表示复数形式的麦克斯韦方程复坡印廷矢量与复坡印廷定理

§6.2  理想介质中的平面波§6.3  导电媒质中的平面波§6.4  等离子体中的平面坡§6.5 电磁波的极化  §6-6 相速和群速

Time-varying Electromagnetic fields and plane wave

§6-1. 时谐电磁场

时谐电磁场场中物理量的表示

时谐电磁场又称为正弦电磁场，在这种形式的场中，激励源以单一频率随时间作正弦变化，在线性系统中，一个正弦变化的源，在系统中所有的点产生的场随时间做正弦变化

m e( , ) ( ) cos( ( ))t t E r E r r

时谐场的相量表示法

在线性媒质中，以任意规律随时间变化的的电磁场，都可分解为一系列正弦场的叠加。

e ( )m m( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt e e

rE r E r E r

e ( )m m( ) ( ) je

rE r E rm ( )E r

为时间因子，它反映了电场强度随时间变化的规律。j te 它只是空间坐标的函数，与时间 t 无关。

电场强度复振幅矢量

Time harmonic electromagnetic fields

其他场分量的表示形式

e ( )m m( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt e e

rD r D r D r

e ( )m m( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt e e

rH r H r H r

e ( )m m( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt e e

rB r E r E r

e ( )mJ( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt J e J e

rr r r

e ( )m m( , ) Re ( ) Re ( )tj j tt e e rr r r

复矢量的运算

j t j tFe j Fet

2

22

j t j tFe Fet

j tj t Fe

Fe dtj

麦克斯韦方程的复数形式j

m

( , )Re( j ( )e )tt

t

E rE r

2j

m2

( , )Re( ( )e )tt

t

E rE r

m ( )e( , ) Re( )

j tj tt e dt

j

E rE r

DH J

t

m m

m

m m

m m

m m

Re ( ) Re ( )

Re ( ) Re ( )

Re ( ) Re ( )

Re ( ) Re ( )

Re ( ) ( )

j t j t

j t j tm

j t j t

j t j t

j t

e e

J e e

J e e

J e e

J e

t

t

H r H r

r D r

r D r

r j D r

r j D r

m m mRe ( ) Re ( ) ( )j t j te J e H r r j D r

上式表明这些复数的实部相等，且等式两边都有时间因子 ，故意味着相应的复数相等，即

为了方便，约定不写出时间因子 e j t ，去掉下标 m 且不加点，即得

H J j D

0

H J j DE j B

BD

j J

D E

B H

J E

m m m( ) ( ) ( )j t j te J e H r r j D r

本构关系

电流连续性原理

麦克斯韦方程的复数形式为

方程中的场量与原来的形式

有何不同

亥姆霍兹方程 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则

2 22 2

2 2,

E HE H

t t

则无源空间的波动方程变为：2

22

22

2

0

0

EE

t

HH

t

2 2

2 2

0

0

E E

H H

亥姆霍兹方程若令： ，则亥姆霍兹方程变为2 2k

2 2

2 2

0

0

E k E

H k H

说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。

在自由空间某点存在频率为 5 GHz 的时谐电磁场 , 其磁场强度复矢量为 

)/(01.0ˆ )3/100( mAeyH zj

(1) 求磁场强度瞬时值 H(t);

(2) 求电场强度瞬时值 E(t) 。 

例 

)/(])3/100(10cos[01.0ˆ

]01.0ˆRe[)(

10

1052)3/100( 9

mAzty

eeytH tjzj

解：

（ 2 ）0

0

H j Ej

E H

10 9

(100 /3)

(100 /3)

ˆ ˆ ˆ

110 10

36 0 0.01 0

ˆ1.2

j z

j z

x y z

j

x y y

e

x e

10(100 /3) 10

10

ˆ( ) Re[ 1.2 ]

ˆ1.2 cos[10 (100 / 3) ] ( / )

j z j tE t x e e

x t z V m

( ) j ( ) r rA

2 2 A A J

2 2

j j j

B A

AE A A

动态位函数满足的微分方程的复数形式

复数形式的洛仑兹规范

时谐场中的动态位函数

( )A

Et

B A

At

22

2

22

2

t

AA J

t

时谐场中的坡印廷矢量和平均坡印廷矢量

复坡印廷矢量 cS r E r H r

平均坡印廷矢量：1

Re[ ]2avS E H

、 为场量的复数表达式；E

H

H 为对场量 取共轭运算。H

21 1Re( ) Re( )

2 2j tE H E He

瞬时坡印廷矢量：

21 1Re( ) Re( )

2 2j tE H E He

2

0

1 1 1[ Re( ) Re( )]2 2

T j tavS E H E He dt

T

1Re( )

2E H

( ) ( ) ( )S t E t H t

Re[ ] Re[ ]j t j tEe He

1 1[ ( ) ] [ ( ) ]

2 2j t j t j t j tEe Ee He He

2 21[ ]

4j t j tE He E H E H E H e

证明：

0

1( )

T

avS S t dtT

边界条件的复数形式

1 2

1 2

1 2

1 2

ˆ ( ) 0

ˆ ( )

ˆ ( )

ˆ ( ) 0

s

s

n E E

n H H J

n D D

n B B

边界条件的复数形式与瞬时形式相同 , 只是各物理量不是瞬时值而是复数值 :

例 : 两无限大理想导体平板相距 d, 坐标如图 6-2 所示。在平行板间存在时谐电磁场 , 其电场强度为 

)/()cos(sinˆ)( 0 mVkztd

xEytE

(1) 求磁场强度 H(t);

(2) 求坡印廷矢量 S(t) 及平均功率流密度 ;

(3) 求导体表面的面电流分布。 

解 :

E j H 由 知

jkzjkz

yy

y

ed

xE

d

jze

d

xE

kx

x

Ez

z

Ex

j

E

zyx

zyx

jE

jH

cosˆsinˆ

ˆˆ

00

ˆˆˆ

00

0ˆ ˆsin jkzy

xE yE e yE

d

(1)

)cos(sinˆ]Re[)( 0 kztd

xE

kxeHtH tj

)/()sin(cosˆ 0 mAkztd

xE

dz

(2)

2 2 2

0

2 2

0

ˆ sin ( )cos (

( ) (

)

2ˆ sin sin 2( ) ( / )

)

4

) (

k xz E t kz

d

xx

S t E t

E t k md

H

Wd

t

z

* 2 2 2

0 0

2ˆ

1

2ˆ sin sin

2 4

k x j xz ES E H x E

d d d

2 2 2

0ˆ sinRe[ / )] (

2avS

kz W mS

xE

d

(3) x=0 板：

jkz

xs eEd

jyHxJ

00

ˆˆ

)/()sin(ˆ]Re[)( 0 mAkztEd

yeJtJ tjss

x=d 板：jkz

dxs eEd

jyHxJ

0ˆˆ

)/()sin(ˆ]Re[)( 0 mAkztEd

yeJtJ tjss

§6-2 理想介质中的平面波

理想介质：均匀、线性、各向同性、无耗、无源

一、平面波的解 (solution for plane wave)

假定平面波的传播方向为 z 向，等相位面为 X-Y 平面 , 电场为 X 轴方向，且它仅为 z 的函数，则电场和磁场可表示为：

xE xe E y yHe

H

j xy

EH

z

推导其中

Plane wave in a perfect dielectric

电磁场满足的微分方程为2

22

0xx

Ek E

z

22

20y

y

Hk H

z

jkz jkzx m mE E e E e

波动方程平面波解

式中 : 、 为待定常数（由边界条件确定） .mE

mE

通解的实数表达形式为：

Re[( ) ]cos( ) cos( )

jkz jkz j tx m m

m m

E E e E e eE t kz E t kz

通解的物理意义：

cos( )mE t kz 0t

不同时刻 的波形xE

kz

Ex

0

π2π

3π随时间 t 增加，波形向 +z 方向平移。故：

jkze 表示向 +z 方向传播的均匀平面波；jkze 表示向 -z 方向传播的均匀平面波；

亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿 z 向 (+z,-z)方向传播的均匀平面波的合成波。

0t 4

t

2t

在无界空间中波只会沿一个方向传播，没有反射波

平面波的解为

二、无界空间中的平面波

平面波的参数 场量 ， 的关系E

H

能量密度和能流密度传播特性

Plane wave in free space

平面波的解为jkz

x mE E e cos( )mE t kz

t 称为时间相位。 kz 称为空间相位。空间相位相等的点组成的曲面称为波面或等相位面。

由上式可见， z = 常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为平面波。

因 Ex(z) 与 x, y  无关，在 z = 常数的波面上，各点场强相等。因此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。

平面波的参数 波的频率和周期

22

f f

角频率 (Angular frequency) ：

1 2T T

f

周期 (period)：

波数 k: 长为 距离内包含的波长数。22

k

波数 k 、波长与波矢量k

2 2 1

k f

波长 (wavelength):

说明：平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频率相同，但是平面波的相速与媒质特性有关。因此，平面波的波长与媒质特性有关。

00

0

1

f

0

0 0

2 2 1

r r r rk f

平面波在媒质的波长小于真空中波长

k k k

式中： k 即为波数2

k

即为表示波传播方向的单位矢量。k

自由空间的波长：

媒质中波长：

波矢量 :

相位速度 (phase speed) （波速） vp

如图所示电磁波向 +z方向传播，从波形上可以认为是整个波形随着时间变化向 +z 方向平移。 0t kz 相位：

1t

z

Ex

0

π2π

3π

12t t

0t kz const ＝令

两边对时间 t 取导数，得：

0dz

kdt

1

p

dzv

dt k

电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。考虑到一切媒质相对介电常数 r>1 ，又通常相对磁导率 r<1 ，因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速 。

真空中电磁波的相位速度：

07 90 0

1 1

14 10 10

36

pv

80 3 10 ( / ) (pv m s c 光速)

真空中电磁波相位速度为光速。

相速度即等相位面移动的速度，与观察方向有关，通常指沿传播方向的相速度，不代表能量的传播速度

场量 ， 的关系E

H

kzy

kzxy HEH j

0j

0 ee z

EH x

y

j

00 xy EH

式中

在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。

左图表示 t = 0  时刻，电场及磁场随空间的变化情况。Hy

Ex

z

0jkz

x xE E e

k

x

y

E

H

波阻抗 (wave impedance): 指与传播方向垂直的横平面上电场与磁场的振幅之比。

真空中的波阻抗

00

0

120π 377(Ω)

说明：1

H k E

E H k

、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。

E

H

k

能量密度和能流密度

电场能量密度： 21

2ew E

磁场能量密度： 21

2mw H 2 21 1( )

2 2E E

e mw w 结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。

实数表达形式

电磁波的能量密度： 2 2e mw w w E H

电磁波的能流密度：

21 1S E H E k E E k

20 0

1 1Re[ ] ( )

2 2avS E H E k E

为电场振幅

TEM波

是行波。行波因子 或 反映了波的传播方向和传播速度。 电场、磁场和传播方向两两垂直，且满足右手定则 电场和磁场相位相同，波阻抗为纯电阻性。在等相位面上电场和磁场均等幅，且任一时刻，任一处能量密度相等 .

电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。

三、均匀平面波的特点0 zz HE 是

波的传播速度（相速度）仅与媒质参数有关，而与频率无关（非色散）

例 频率为 100MHz 的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 +Z方向传播，介质的特性参数为 。设电场沿 x方向，即 。已知：当 t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅值 。试求 : （ 1 ）波的传播速度、波长、波数；（ 2）电场和磁场的瞬时表达式； （ 3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。

4, 1r r x xE e E

0

410 /V m

解：由已知条件可知：频率 : 振幅 :

100f MHz4

0 10 /xE V m

(1) 8

0 0

1 1 1 310 /

2p

r r

v m s

8 82 42 10 10

3 3k

21.5m

k

(2)设0 0cos( )xE e E t kz

由条件，可知： 4 80

410 2 10

3E k ， ，

4 80

410 cos(2 10 )

3xE e t z 即：

由已知条件，可得：4 4

0

4 110 10 cos( )

3 8

0 6

4 8 4

10 cos(2 10 )3 6xE e t z

H k E

4 81 410 cos(2 10 )

60 3 6z xe e t z

4 8 410 cos(2 10 )

60 3 6ye

t z

(3) ( ) ( ) ( )S t E t H t

8 2 8 410 cos (2 10 )

60 3 6ze

t z

0

1( )

T

avS S t dtT

8

210/

120ze W m

另解：4

4 3 610j z j

xE e e

44 3 610

60

j z jyeH e

1Re[ ]

2avS E H 8

210/

120ze W m

4 81 410 cos(2 10 )

60 3 6z xe e t z

4 8 410 cos(2 10 )

60 3 6ye

t z

(3) ( ) ( ) ( )S t E t H t

8 2 8 410 cos (2 10 )

60 3 6ze

t z

0

1( )

T

avS S t dtT

8

210/

120ze W m

另解：4

4 3 610j z j

xE e e

44 3 610

60

j z jyeH e

1Re[ ]

2avS E H 8

210/

120ze W m

导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0。电磁波在其中传播时，有传导电流 存在，同时伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。

J E

§6-3 导电媒质中的平面波

一、导电媒质中的麦克斯韦方程

二、导电媒质中的波动方程的解

三、导电媒质中的平面波的传播特性

四、媒质导电性对场的影响

Plane wave in a conducting medium

称为复介电常数或等效介电常数

H E j E E j B

0 0H E

( )H j Ej

cj E

eJ

在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为

第一个方程可以改写为

一、导电媒质中的麦克斯韦方程

cH j E E j B

0 0H E

引入等效复介电常数后的麦克斯韦方程组

复介电常数

' ''c j j

其中： ，仅与媒质本身介电常数有关；' ，与媒质本身导电率和波的频率有关；''

为了方便描述导电媒质的损耗特性，引入媒质损耗角正切 c''

tan arctan( )'c c

损耗角正切c

导电媒质中的波动方程为：2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

0 0

c c

c c

E E E k E

H H H k H

式中： 称为复波数。2 2 2c ck j

比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于 ,c ck k 在损耗媒质中波动方程对应的沿 +z 方向传播的均匀平面波解为：

cjk zx xmE e E e

式中： ，为复数。 2c ck

二、导电媒质中的波动方程的解

令 , ck j 2 2 2

c ck j

( )j j z z j zx xm x xmE e E e e E e e

损耗媒质中波动方程解为：

写成实数形式（瞬时形式），得： ( , ) cos( )z

x xmE z t e E e t z

幅度因子，衰减常数 (attenuation constant) ； (Np/m)

相位因子；相位常数 (phase constant):(rad/m)

与 k 相同，即为损耗媒质中的波数。

幅度因子和相位因子

2 2 2

2

2

2

[ 1 ( ) 1]2

[ 1 ( ) 1]2

2 2 2c ck j

ck j

波的振幅和传播因子

振幅： 随着波传播 (z 增加 ) ，振幅不断减小。zxmE e

传播因子： 波为均匀平面波（行波）。j ze

相位速度（波速） 在理想媒质中：

1pv

k

三、导电媒质中的平面波的传播特性

在损耗媒质中： pv

2[ 1 ( ) 1]

2

损耗媒质中波的相速与波的频率有关。

2

2π 2π

1 12

导电媒质中平面波的波长

波长不仅与媒质特性有关，而且与频率的关系是非线性的

色散现象 (dispersion) ：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波 (dispersive wave)

结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。

场量 ， 的关系E

H

可以推知：在导电媒质中，场量 ， 之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即：

E

H

1

c

H k E

cE H k

为波传播方向

k

为导电媒质本征阻抗

cc

＝

z

EH x

y

j zkxE

kcj

0c e

j

0(1 j ) e ez zxE

磁场的振幅也不断衰减，且磁场强度与电场强度的相位不同

四、媒质导电性对场的影响

Ex

Hy

z

特性阻抗

cc

＝1

arctan2

j

c ej

＝

1arctan

2

电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；

为横电磁波（TEM波）， 、 、 三者满足右手螺旋关系E

H

k

电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；

1arctan

2j

电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位 ；

是色散波。波的相速与频率相关。

无限大导电媒质中电磁波的特性：

是衰减波。频率越高，电导率越大，衰减越快

对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。1

1

1

良导体弱导体半导体

媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个相对的概念。良导体中的电磁波

在良导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 1

1 1

2 2f f ＝ ＝

五、良导体中的平面波 (Plane wave in a good conductor) 媒质的分类

41

1

jje

j j

c＝

重要性质 1 ：在良导体中，电场相位超前磁场相位4

在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频电磁波(GHz) ，当媒质导电率较大时， 往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。

f

重要性质 2：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成为趋肤效应 (skin effect) 。

我们用趋肤深度 (skin depth)(穿透深度 ) 来表征良导体中趋肤效应的强弱。

趋肤深度 ：电磁波穿入良导体，当波的幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中传播的距离，称为趋肤深度。

1

e

jkze

1

z j ze e

1e

1 11e e f

弱导体中的电磁波 在弱导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 1

,2

在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数，

已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz ， z

= 0 处电场强度为 x 方向，其有效值为 100(V/m) 。若 区域为海水，其电磁特性参数为 ，试求 : ① 该平面波在海水中的相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗和集肤深度。② 在 z = 0.8m 处的电场强度和磁场强度的瞬时值以及复能流密度。

0z

(S/m) 4 ,1 ,80 rr

例

① π10 Hz105 76 f

11808010

π361

π10

4

97

π 8.89 (rad/m)f

可见，对于 5MHz 频率的电磁波，海水可以当作良导体，其相位常数为

π 8.89 (Np/m)f 衰减常数为

解：

2π0.707 (m)

波长为

6p 3.53 10 (m/s)v

相速为

πj4

c

π π(1 j) (1 j) πe (Ω)

2

f

波阻抗 Zc  为

(m)112.0π

1

f集肤深度  为

j( ) 100 2e e (V/m)z zxz e

E

② 根据以上参数获知，海水中电场强度的复振幅为

c

1( ) ( )zz z

e

H E j

c

100 2e e (A/m)z z

y

e

对应的磁场强度复振幅为

在 z = 0.8m 处，电场强度及磁场强度的瞬时值为8.89 0.8 7(0.8, ) 100 2e cos(10 π 8.89 0.8)xt t e

E

7x 0.115cos(10 π 7.11)t e

70.115(0.8, ) cos(10 π 7.11 )

π 4yt t

eH

70.0366cos(10 π 7.70)y t e复能流密度为 *2

j* 2 5 24c

c

100e 423 10 e (W/m )z

z z

e e S E H

频率为 5MHz 的电磁波在海水中被强烈地衰减，因此位于海水中的潜艇之间，不可能通过海水直接波进行无线通信，必须将其收发天线移至海水表面附近，利用海水表面的导波作用形成的表面波，或者利用电离层对于电磁波的“反射”作用形成的反射波作为传输媒体实现无线通信。

vJ Nev

电磁波通过等离子体时 , 将产生位移电流 Jd 和运流电流Jv.

运流电流主要是由电子运动引起的

6.4.1 等离子体的等效介电常数

§6.4 等离子体中平面波 Plane wave in a plasma

说明： N 为每单位体积中的电子数 , e=1.602×10-19C 为电子

带电量 ,v 为电子运动的平均速度，由通过的电磁波的电场决

定

d vJ J J

0dJ j E

全电流： D D D

J Jt t t t

0d v rJ J J j E j E

设高频电场为 , 则单位个电子受力为 ˆ j tE xEe

F eE

式中 m 为电子质量 , m=9.11×10-31kg. 忽略高频磁场的作用力 -ev

×B(比 -eE 小得多 ), 并且不计电子运动时的碰撞 .

dvF m mj v

dt

e

v j Em

v 的计算

2

0

2

0 020

1

d v

r

NeJ J J j E j E

m

Nej E j E

m

2

12312

219

02

2

6.801

10854.81011.9)2(

)10602.1(11

f

N

f

N

m

Ner

或 Nff

fp

pr 6.80,1

2

2

说明： fp 称为等离子体频率 . 例如 , 白天电离层最大电子密度典

型值约为 N=1012 （个 /m3 ） , 得 fp=9.0 MHz 。

相对介电常数

忽略等离子体中电子的碰撞效应 , 亦即忽略等离子体中的热损耗 , 此时等效介电常数是实数 . 传播常数为

2

2

02

2

00 11f

fk

f

fk pp

(1) f＞ fp: k 为实数 , , 故电场强度可表示为  220 /1 ffkk p

zjeEE 0

电磁波将无衰减地传播 (已忽略了损耗 )

6.4.2 平面波在等离子体中的传播特性传播常数 :

传播特性 :

(2) f=fp : k=0, 则 E=E0, 电场强度瞬时值为

E=E0cos t

它不是空间的函数 , 因此不发生传播 

(3) f< fp: k 为虚数 , , 故电场强度为 1,2

2

0 f

fkajak p

azeEE 0

此时也没有波的传播 , 场沿 z按指数衰减 . ，沿 z 向的平均传输

功率为零 (证明)

结论： 频率高 (f＞ fp) 的电磁波将无衰减地在等离子体中

传播 ; 而频率低 (f＜ fp) 的电磁波不能在等离子体中传播

电磁波的极化方式由辐射源 ( 即天线 ) 的性质决定。

一、极化的定义

波的极化：指空间某固定位置处电场强度矢量随时间变化的特性。极化的描述：用电场强度矢量 终端在空间形成的轨迹表示。E

二、极化的分类：线极化 (linearly polarized) ：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线；

椭圆极化 (elliptically polarized) ：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆

§6-5 波的极化特性

圆极化 (circularly polaeized) ：电场强度矢量的端点在空间描绘出的轨迹为一圆

polarization of a wave

E=excos(wt-kz)

y

x

o

观察平面， z=const

z

E=exsin(wt-kz) 电场的振动方向始终是沿 x轴方向，所以这是一个沿 x 方向的线极化波。三、极化的判断两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同的极化方式。由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极化方式。

y

zx

o

设均匀平面电磁波向 +z 方向传播，则其电场可以表示为：

由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取 z=0 点作为分析点，即：

cos( )cos( )

x xm x

y ym y

E E tE E t

＝＝

场量表达式中， 的取值将决定波的极化方式。, , ,xm ym x yE E

x x y yE e E e E

cos( )cos( )

x xm x

y ym y

E E t kzE E t kz

式中： ＝＝

当 时0x y 或2 2

x x y y x yE e E e E E E E ＝

2 2 cos( )xm ym xE E E t ＝

电场与 x轴夹角为：0arctan (

arctan

arc

)

t n ( )a

ymx

xmy

ymx

my

x

x

y

EconstEE

EEconstE

当 时，电磁波为线极化波。 0x y 或 两个相位同相或反相，振幅不等的空间相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波；任一线极化波可以分解为两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化波。

Ey

Ex

EY

X

0

Ey

Ex

E

Y

X

0

Ey

Ex

E

y

x

0

当 且 时2x y

xm ymE E

2 2xm ymE E E const

＝

cos( )

cos( ) sin( )2

x xm x

y ym x ym x

E E t

E E t E t

＝

＝

2 2x yE E E

＝

合成电场的模及其与 x轴夹角为：

合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与 x轴夹角随时间变化而改变。

)2

)2

(arctan

(

x x y

x x y

y

x

tE

E t

如图，当 时，电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向满足左手螺旋关系——左旋极化波。

2x y

xm ymE E当 且 2x y

时，合成波为左旋圆极化波。当 且

2x y

xm ymE E时，合成波为右旋圆极化波。

注意：上述结论适用于向 +z 方向传播的均匀平面波。

对于向 -z 方向传播的均匀平面波，其波的极化旋转方向与向+z 方向传播的同幅同相波相反。

x

y

t

z

( )2x y

E

jkzjkzjkz

jkzjkzjkz

eEyjxejEyeExERHCP

eEyjxejEyeExELHCP

000

000

)ˆˆ(ˆˆ:

)ˆˆ(ˆˆ:

两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波。

LHCP:Left-handed circularly palarized wave

RHCP:right-handed circularly palarized wave

说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。

结论：两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波。

3、其他情形0,x y 若令: ，则：

cos( )cos( ) cos cos sin sin )

x xm

y ym ym

E E tE E t E t t

＝＝ ＝ （

2 2 2) ( ) 2 cos siny yx x

ym xm xm ym

E EE E

E E E E …… （

2cos 1 ( ) siny x x

ym xm xm

E E E

E E E

例 根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式。

所以，合成波为线极化波。

(1) ( ) jkz jkzx m y mE z e jE e e jE e

解： 02x y x y

，故：

(2) ( , ) sin( ) cos( )x m y mE z t e E t kz e E t kz

解： , 02 2x y x y

，故：

xm ym mE E E 故：合成波为左旋圆极化波。

(3) ( , ) sin( ) cos( )x m y mE z t e E t kz e E t kz ＋ ＋

解：合成波为右旋圆极化波。

(4) ( ) jkz jkzx m y mE z e E e e jE e

－ －－解： ( , ) cos( ) cos( )

2x m y mE z t e E t kz e E t kz

+

0,2 2x y x y

xm ym mE E E 故：合成波为右旋圆极化波。(5) ( , ) sin( ) cos( 40 )x m y mE z t e E t kz e E t kz +

解：合成波为椭圆极化波。

四、波的合成和分解

一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然。

两个相位同相或反相，振幅不等的空间相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波；任一线极化波可以分解为两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化波。

两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波。

五、极化的应用电磁波在媒质中的传播特性与其极化特性密切相关，电磁波的极化特性获得非常广泛的实际应用。

在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，例如，铁氧体环行器及隔离器等。

在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应该使用圆极化电磁波。

在无线通信中，为了有效地接收电磁波的能量，接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。

由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达宜用圆极化波。

众所周知，光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化特性，或者说，其极化特性是随机的。光学中将光波的极化称为偏振，因此，光波通常是无偏振的。为了获得偏振光必须采取特殊方法。立体电影即是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才能看到立体效果。

jkzeExjyEzH 000

)ˆˆ(1

ˆ1

0

00

)(ˆ)(ˆ)sin(ˆ)cos(ˆ)(0

0

0

0 tHxtHykztE

xkztE

ytH xy

2

0

022 )()(

E

tHtH yx

jkzeEyjxE 0)ˆˆ(

一空气中传播的均匀平面波 , 其电场强度复矢量为

试问它是什么极化波 ? 写出磁场强度瞬时值 , 并求其端点轨迹。

[ 解］ 这是左旋圆极化波 , 因 Ey/Ex=j.

磁场强度瞬时值为

因而有

例

jjy

x

eEeE

EE

260

1

6

5

在空气中传播的一个平面波有下述两个分量：

mVkzttE

mVkzttE

y

x

/)60cos(6)(

/)cos(5)(

这是什么极化波 ? 试求该波所传输的平均功率密度 ;

例

解： 电场强度二分量的复振幅为

yxjkzj EyExeeEyExE ˆˆ)ˆˆ( 21

xyjkzj

jkzj

HxHyeeHxHy

eeExEyEzH

ˆˆ)ˆˆ(

)ˆˆ(1

ˆ1

21

2100

因 E1≠E2, φ=-60°, 这是右旋椭圆极化波。 电场强度复矢量为

磁场强度复矢量为

其共轭复矢量为

jkzj eeHxHyH )ˆˆ( 21*

)Re(ˆ2

1

])ˆˆ()ˆˆRe[(2

1]Re[

2

1

**

***

xyyx

xyyxav

HEHEz

HExyHEyxHES

2

0

22

21

0

22

21

2211

/9.802

1

ˆ2

1)(ˆ

2

1

mmWEE

S

EEzHEHEzS

av

av

平均功率密度为

并有

它是两组空间上正交的线极化波的平均功率密度之和 ; 它与二者的相位差 φ 无关。

一、相速波的恒定相位点推进的速度，即为波传播的速度。

(pv kk

为波数)

在理想媒质中： , 此时相速与频率无关的常数k

二、群速

合成信号包络传播的相速，它代表信号能量的传播速度

在损耗媒质中： , 由于相位常数 为与频率相关的函数，故此时相速为与频率相关的函数——损耗媒质（导电媒质）为色散媒质。

k j

§6-6 相速和群速

单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。

设两个振幅均为 Am ，角频率分别为 + 和 - 的同向行波在空间中合成形成一调制波。若： << 。 由于频率不同，则由 知两行波波数不同，设分别为 则行波表达式为：

k 1 2,k k k k k k

( ) ( )1

( ) ( )2

j t j k k zm

j t j k k zm

E A e eE A e e

合成波为：( ) ( ) ( ) ( )

1 2j t j k k z j t j k k z

m mE E E A e e A e e ( ) ( ) ( )[ ]j t kz j t kz j t kz

mA e e e

( )cos( ) j t kzmA t kz e

合成波振幅，包络为以频率 传播的低频行波。

行波因子，表向＋ z向传播的行波。

群速为：

g

dz dv

dt k dk

z载波，速度 vp

包络波，速度 vg

( )p pp

d v k dvv k

dk dk

pp g

p

dvv v

v d

1

pg

p

p

vv

dv

v d

讨论：

(1) ： 0pg p

dvv v

d 时,

在理想媒质中，相速等于群速，波无色散。

(2) ： 0 ,pg p

dvv v

d 时, 反常色散

(3) ： 0 ,pg p

dvv v

d 时, 正常色散

例 6.6 求等离子体中 f＞ fp 电磁波的群速与相速的关

系

2 2

2 2 1/ 2

1 /

1( )

p

p

c

c

2/122 )( pcd

d

解 : 由式 (3-78)知

2 20 1 /pk f f

cffcc

d

dv ppg

222/122 /1)(/1

相速为 

cffcffkv ppp 22220 /1/)/1/(

2cvv pg

等离子体中电磁波的相速 vp 和群速 vg

电磁波的分类 根据波传播方向上电场和磁场 Ez 、 Hz 的存在情况：

TEM: 横电磁波 Ez=0 、 Hz=0

TM: 横磁波 Ez≠0 、 Hz=0

TE: 横电波 Ez=0 、 Hz≠0

一般的波都可以分解为 TE 和 TM 波的叠加 行波与驻波

两列振幅相同的行波波，在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波 驻波是一种分段振动驻波的能量只在波腹和波节之间周期性地转移，而不向前传播，其波形也不向前传播。

j j( )xE

xH e

E

j j[( ) ] ( )x x xE E E

x x xe e e

x x x xx y z z

E E E EE

x y z z

xe e e e

因

z

EH x

y

jj xy y y

EH

z

e e

H

推导过程 A A A

本章小结

理想介质中的平面波

导电媒质中的平面波

平面波的极化特性

时谐电磁场

0

H J j DE j B

BD

0

DH J

tB

Et

BD

时谐电磁场麦克斯韦方程的复数形式

j J电流连续性原理 J

t

复振幅矢量或者

22

2

22

2

0

0

EE

t

HH

t

2 2

2 2

0

0

E E

H H

亥 姆 霍 兹 方程

2 2

2 2

0

0

E k E

H k H

无源区的波动方程

( ) j ( ) r rA

2 2 A A J

2 2

j j j

B A

AE A A

( )A

Et

B A

At

22

2

22

2

t

AA J

t

动态位函数满足的微分方程的复数形式

复数形式的洛仑兹规范

时谐场中的动态位函数

时谐场中的坡印廷矢量和平均坡印廷矢量复坡印廷矢量

cS r E r H r

平均坡印廷矢量可以表示为：

1Re[ ]

2avS E H

、 为场量的复数表达式；E

H

H 为对场量 取共轭运算。H

S E H

理想介质中的平面波均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间相互垂直并与电磁波传播方向三者间符合右手螺旋关系。

22

20x

x

Ek E

z

22

20y

y

Hk H

z

jkz jkzx m mE E e E e

理想介质中平面波的波动方程

波动方程平面波解

jkze 表示向 +z 方向传播的均匀平面波；jkze 表示向 -z 方向传播的均匀平面波；

2 2( )k

jkzx mE E e

无限大媒质中平面波的解

平面波参数

22

f f

频率：1 2

T Tf

周期：

2k

2 2 1

k f

波数

波长 :

1pv

k

相速度

波阻抗

y

x

H

EZ

相速是波的等相位面移动的速度，而群速才是电磁波信号传播的速度。

2 2k

x

y

E kZ

H k

导电媒质中的平面波在导电媒质中电磁波的波长变短，相速变慢，场量衰减很快。电场和磁场在空间仍互相垂直且与电磁波传播方向三者间符合右手螺旋关系，但在时间上不同相。 导电媒质中的波动方程为：

2 2

2 2

0

0

c

c

E k E

H k H

式中： 称为复波数。2 2 2c ck j

( )j j z z j zx xm x xmE e E e e E e e

损耗媒质中波动方程解为：

为横电磁波（ TEM波）， 、 、 三者满足右手螺旋关系E

H

k

电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；

1arctan

2j

电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位 ；

是色散波。波的相速与频率相关。

无限大导电媒质中电磁波的特性：

是衰减波。频率越高，电导率越大，衰减越快

在良介质中，采用损耗角正切描述介质的优劣。在良导体中存在趋肤效应，利用趋肤效应可求得导体的表面电阻和损耗功率

波的极化：电磁波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性。

当电场的水平分量与垂直分量相位相同或相差 时为直线极化；当两分量的振幅相等但相位差 +/2 或 -/2 时为圆极化；当两分量的振幅和相位均任意时为椭圆极化。

对于向 +z 方向传播的均匀平面电磁波，其电场可以表示为：

x x y yE e E e E

sin( )sin( )

x xm x

y ym y

E E t kzE E t kz

式中： ＝＝

jkzjkzjkz

jkzjkzjkz

eEyjxejEyeExERHCP

eEyjxejEyeExELHCP

000

000

)ˆˆ(ˆˆ:

)ˆˆ(ˆˆ:

一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然。

两个相位同相或反相，振幅不等的空间相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波；任一线极化波可以分解为两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化波。

两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 /2的空间相互正交的线极化波。

波的极化和合成

本章要求掌握时谐电磁场中的麦克斯韦方程及坡印廷矢量正确理解和掌握理想介质中平面波的波动方程及解，能熟练掌握平面波各参数的计算，掌握均匀平面波的特点

正确理解导电媒质中的平面波方程及解，掌握其中电磁波的传播特性，并与理想媒质中的平面波进行比较，了解趋肤深度、色散的概念，及金属的屏蔽作用。

熟练掌握平面波的极化及其判别方法，正确理解各类极化波的特点，以及平面波的合成和分解。了解群速与相速的区别

了解等离子体中，电磁波的传播特性

故平均功率流密度为

0Re2

1]Re[

2

1 220

0

*

az

yxav eE

jaHES

azxy eE

ja

z

EjH

0

00

设电场强度为 向 , Ex=E, 磁场强度为 证明：

不可以利用电导率很高的导体作为低频磁场（ 100KHz以下）的屏蔽罩的材料，低频磁场的屏蔽材料常采用高导磁率的铁磁性材料（如硅钢片、玻莫合金等），其原理是利用铁磁性材料的高导磁率对干扰磁场进行分路，以达到对低频磁场的屏蔽的目的；高频磁场的屏蔽材料常用高电导率的导体材料（如铝、铜、银等），其原理是利用良导体中涡流产生的反磁场排斥干扰磁场，以达到对高频磁场的

屏蔽的目的。