安徽巢湖市柘皋中学孙平

2

a bab

§3.4§3.4 基本不等基本不等

式式 ::

2002 年第 24 届国际数学家大会会标 --北京

ICM2002 会标

赵爽：弦图

探究 1 ：想一想？

思考：这会标中含有怎样的几何图形？有何寓意？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

师生探究：算一算？

a

ba b2 2+

问 2： Rt ABF,Rt BCG,Rt CDH,Rt ADE△ △ △ △ 是全等三角形，它们的面积是 S′= ＿＿

问 1 ：在正方形 ABCD中 ,设 AF=a,BF=b, 则正方形的面积为

S= ＿＿

问 3： S与 S′ 有什么样的关系？

2 2a b

2ab

H

GF

E

DA

B C2 2 2a b ab

从图形中易得，

s > s′, 即

A

D

B

C

E

FG

H

b

a

2 2a b

重要不等式： 一般地，对于任意实数 a、 b ，我们有

当且仅当 a=b 时，等号成立。

（正方形面积不小于 4 个直角三角形面积）

A

B

C

D

E(FGH)

a

b

类

比

联

想

推

理

论

证

师生探究（特别地）如果

也可写成

,a b a b用 和 代替 、 可得 a b ab 2

a＞ 0 ,b＞ 0 ,

( , )0 02

a bab a b

当且仅当 a=b 时“＝”号成立

此不等式称为基本不等式

基本不等式：

( 0, 0)2

a bab a b

当且仅当 a=b 时，等号成立。算术平均数不小于几何平均数注意：

（ 1 ）两个不等式的适用范围不同 , 而等号成立的条件相同

（ 2 ） 称为正数 a、 b 的几何平均数

称为正数 a、 b 的算术平均数。

ab

2

a b

师生探究：对基本不等式的几何意义作进一步探究

A BC

D

E

如图 ,AB 是圆的直径， C 是 AB上任一点， AC=a,CB

=b, 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连 AD,BD,

则 CD=＿＿ , 半径

为＿＿

动画动画

问：请比较 CD 与半径的关系。

几何意义：半径不小于弦的一半

ab

2

ba

例 1.(1) 已知 并指出等号成立的条件 .

10, 2,x x

x 求证

(2) 已知 与 2 的大小关系 ,

并说明理由 .a

b

b

aab 寻找,0

(3) 已知 能得到什么结论 ?

请说明理由 .a

b

b

aab ,0

应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系

应用二：解决最大（小）值问题• 例 2 ：（ 1 ）用篱笆围成一个面积为 100m 的

矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

解：设矩形菜园的长为 x m ，宽为 y m ， 则 xy=100 ，篱笆的长为 2（ x+y）m.

2

x yxy

2 100,x y

2( ) 40x y 等号当且仅当 x=y 时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m.

结论 1 ：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值．

（ 2 ）用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

2m

解：设矩形菜园的长为 x m ，宽为 y m ， 则 2 （ x + y ） = 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为 xy

2

x yxy

=18/2=9 得 xy 81当且仅当 x=y,即 x=y=9 时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时，菜园面积最大，最大面积是 81m2

结论 2 ：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。

• 应用基本不等式求最值的条件：•

定理（ 1 ）两个正数积为定值，和有最小值。（ 2 ）两个正数和为定值，积有最大值。

a与 b

为正实数

若等号成立，a与 b 必须能够相等

一正 二定 三相等

1、 (04 重庆）已知

则 x y 的最大值是 。

练习（请学生上黑板演练）)0,0(232 yxyx

6

1

2 、若实数 ，且 ，则 的最小值是（ ）A、 10 B 、 C 、 D 、

3 、在下列函数中，最小值为 2 的是（ ）A 、 B 、

C 、 D 、

)0,(5

5 xRx

x

xy )101(

lg

1lg x

xxy

)(33 Rxy xx )2

0(sin

1sin

x

xxy

yx, 5 yx yx 33

36 64 318

D

C

课堂小结师生共同归纳本节课主要知识点1. 两个不等式（ 1 ）

（ 2 ） 当且仅当 a=b 时，等号成立

注意： 1. 两公式条件，前者要求 a,b 为实数；后者要求 a,b 为正数。

2. 公式的正向、逆向使用的条件以及“ =” 成立条件。

2. 运用基本不等式： 牢记 “六字方针” 即 “一正，二定，三等”

)""(

2R,, 22

号时取当且仅当那么

ba

abbaba

(a>0,b>0)2

a bab

补充 2 ．求函数 的最小值

4

52

2

x

xy

作业： 1 ． A 组第 1 题

课外思考：求函数 的最小值

)3(3

1

xxx

y

谢　谢 制作：安徽巢湖市柘皋中学 孙平 博客： http://blog.sina.com.cn/abc8317661 邮编： 238062  电邮：sunp85@126.com