第二节、单基因病的遗传方式 单基因病 :是由单个(一对等位) 因突变引起的,突变基因影响表现 型,它是以简单形式传,与孟德尔以
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
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第一节 单纯形法的矩阵描述第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述 改进单纯形法介绍
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述
不妨设基为 mPPPB 21
基变量 非基变量
0.
max
XbAXtsCXz
设线性规划问题
)()()()( 21
NBNB
n
CCCXXXNBPPPA
则
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
NNB
NB
N
B
XNbNXbBX
bNXBX
X
XNBbAX
~~)(
)(
1
单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述
其中 NBNbBb 11 ~,
~
令 得当前的基解为:0NX
bBbX B1~
当前基解
约束方程组约束方程组
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
NBNB
NBNB
NNBBN
BNB
XNCCbC
XNBCCbBC
XCXCX
XCCz
)~
(~
)(
)(
11
当前目标值
目标函数目标函数
bBCbCz BB1
0
~
令 得当前的目标函数值为:0NX
单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
N N B
m n m m n
n m B m
n n B n
C C N
C C C C P P
C C P
C C P
~
( ) ( )(~ ~
)~
~
1 1 1
1 1 1
当前检验数
单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述检验数检验数
其中 jj PBP 1~ 当前 对应的系数列jx
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述线性规划问题
0..
max
XbAXts
CXz
化为标准型,引入松弛变量 sX
0,0..
0max
s
s
s
XXbIXAX
ts
XCXz
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
初始单纯形表
00
NBjj
s
sNB
CCzcINBbXXXX
非基变量 基变量
初始基变量
矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
11
11
0
BCNBCCzcBNBIbBXCXXX
BBNjj
BB
sNB
基变量 非基变量
当基变量为 时,新的单纯形表BX
矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述
当前检验数当前基解
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
修正单纯形法简介修正单纯形法简介 原因:原因:
单纯形法的目的是要求问题的最优解,而在迭代过程中,单纯形表中的某些列与求最优解关系不大。因此,对单纯形法进行修正。
B P b Pk k j i 1 ,
~,
~, , B P b Pk k j i
1 ,~
,~
, ,
需要换入的变量对应的列
思路:思路:每次迭代关键求出
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
修正单纯形法的优点:修正单纯形法的优点: 能够从问题的原来参数( A , b , C ), 计算出单纯形表中所有的数据,只要导出 即可。
单纯形表中的任一数字,只要作部分的矩阵乘法即可获得。
1B
修正单纯形法简介修正单纯形法简介
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
BB
a
aB i l
B
ai l
new
oldik
lkold
old
lk
1
1 1
1
'
'
'
有关公式:有关公式:
当换入变量 ,换出变量 时,新的 为:
kx xl1B
修正单纯形法简介修正单纯形法简介
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对偶问
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
单纯形乘子(行向量)
j j B j j j
B
k k i
c C B P c P
C B
P B P b B b
1
1
1 1~,
~其中
确定新的换入变量
确定新的换出变量
有关公式:有关公式:
修正单纯形法简介修正单纯形法简介
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
修正单纯形法要点:修正单纯形法要点:寻求初始可行解,方法与单纯形法相同。寻求初始可行解,方法与单纯形法相同。其迭代过程如下:其迭代过程如下: 确定换入变量,方法与单纯形法相同。确定换入变量,方法与单纯形法相同。 确定换出变量,方法与单纯形法相同。确定换出变量,方法与单纯形法相同。 确定新的基可行解:确定新的基可行解:
首先导出 B-1
然后计算 XB= B-1 b
迭代终止原则与单纯形法相同。迭代终止原则与单纯形法相同。
修正单纯形法简介修正单纯形法简介
第二节 变量有界的 第二节 变量有界的 大规模线性规划大规模线性规划
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对偶问
对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
11 、基本可行解概念的推广、基本可行解概念的推广
考虑线性规划问题:
uXl
bAXts
CXz
.
minA为m*n, 秩为 m
基本解 X(0) : X(0)为 AX=b 的一个解,其中 m 个分量对应 A 的列线性无关,其余 n-m 个分量取上界或下界值。基本可行解 X(0) :基本解 X(0) 中m 个基变量的值介于上下 界之间。
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
推广基本可行解的表达式:
BBB
N
N
NN
N
N
B
TNNB
uxl
u
l
uNBlNBbB
x
x
x
X
NNBA
xxxX
,,
,,
2
1
21
2
1
21
21
111
21
且
基可行解:
推广基本可行解集与可行域凸集 K 的极点集等价
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
22 、基本可行解的改进、基本可行解的改进 设 X(0) 是一个基本可行解
),,c21
2
1
21
2
1
21
111
)0(
)0(
)0(
0
NNB
N
N
NN
N
N
B
ccc
u
l
uNBlNBbB
x
x
x
X
(令
)(
目标函数值
1 2
221
)()(
c1
Rj RjjjjjjjB
NNNNBB
xczxczbBc
xcxcxf +1
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对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
讨论最优性条件讨论最优性条件 换入变量?
换出变量?
kjjRj
jjRj
xczcz
0)(max,maxmax
21
不越上界。)保持(
不越上界;)保持(
不越下界;)保持(
必须满足下列条件:即行性,非负,且要保证解的可,令若
k
B
B
k
kkkk
x
x
x
lxRk
3
2
1
,1
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
设 x 是线性规划( LP )的一个基本可行解,若对每个取下界值的非基变量,有
对每个取上界值的非基变量,有
则 x 是最优解。
讨论最优性条件讨论最优性条件
0 jj cz
0 jj cz
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对偶问
题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
33 、计算步骤、计算步骤 例、解下列线性规划问题:
21
40
40
822
10 ..
-32 min
3
2
1
321
321
321
x
x
x
xxx
xxxts
xxx
第三节 可分解的 第三节 可分解的 大规模线性规划大规模线性规划
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
线性规划应用 ---数据包络分析法
数据包络分析法( Data Envelopment Analysis, 简称 DEA ),是著名运筹学家 A.Charnes和W.W.Copper 等学者以“相对效率”概念为基础,以凸分析和线性规划为工具,根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位(部门)进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。
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对偶问
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
重要概念
决策单元( Decision Making Units,简称 DMU)
一个经济系统可以看成一个单元在一定可能范围内,通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的产品的活动,这样的单元就被称为决策单元。 ( 当然,一个单元的不同时间阶段也可以看做是不同的决策单元)。
特点:1. 具有一定的输入和输出2. 在将输入转换成输出的过程中,努力实现自身的决策
目标。
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“输出”数据,根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣。
决策单元的相对有效性(即决策单元的优劣)被称为 DEA有效,它用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率,为评价对象作出评价。
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
DEA 步骤
1. 假设设某个 DMU 的输入向量为 ,输出向量为 。则 n 个 ( )对应的输入、输出向量分别为: 而且 即每个决策单元都有 m 种类型的输入以及 s 种类型的输出 为第 j 个决策单元对第 i 种类型输入的投入量; 为第 j 个决策单元对第 r 种类型输出的产出量。 这些都是已知的数据。
Tmxxxx ),,( 21
Tsyyyy ),,( 21
jDMU nj 1
,0),,,( 21 Tmjjjj xxxx ,0),,,( 21 T
sjjjj yyyy nj ,,2,1
srmiyx rjij ,,2,1;,,2,1,0,0
ijxrjy
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
DEA 步骤
1. 假设 现在,我们是要最优化这些决策单元,那么我们假设一个
假想决策单元 满足产出最大,同时投入最小。在此基础上,我们来判断 是否真的满足该条件。0j
0j
),,2,1(1
mixijn
jj
),,2,1(1
sryrjn
jj
)0(11
j
n
jj
因此,我们假设该决策单元的第 i 项投入为
产出为 且
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
2. 构造数学模型 我们进行检验,先假设存在其他的决策单元组合的产出不
低于 而且投入尽可能的比 小,构造数学模型如下:
0j0j
min
),,2,1(0,1
),,2,1(
),,2,1(
..
1
01
01
nj
mixx
sryy
ts
j
n
jj
ijij
n
jj
rj
n
jrjj
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
3. 求解并判断 当求解结果为 时,说明存在其他的决策单
元比该决策单元更满足条件,所以,该 决策单元非 DEA 有效;
当 时,该 决策单元 DEA 有效。并可以根据所求得的最优解重新分配各决策单元的比例,也就是系数 , 再生成新的决策单元 ,又继续检验。
10j
1 0j
j 0j
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
习题例 8 振华银行的 4 个分理处的投入产出情况如表 1-16所示
。要求分别确定各分理处的运行是否 DEA有效。
分理处投入 产出
职员数 营业面积( ) 储蓄存取 贷款 中间业务
分理处 1 15 140 1800 200 1600
分理处 2 20 130 1000 350 1000
分理处 3 21 120 800 450 1300
分理处 4 20 135 900 420 1500
表 1-16 产出单位:处理笔数 / 月
2m
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单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
解:根据数据包络法,我们假设构造一个决策单元组合,
使得其第 i 个项的投入为 第 r 项的产出为 且
然后,让我们以分理处 1 为例,将分理处 1 作为 ,来判断分理处 1 的运行是否 DEA 有效。建立数学模型如下:
。其中 1,2i,4
1
ijj
jx
。其中 3 2, 1,r,4
1
rjj
j y
0j
14
1
j
j
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
将该模型代入到 Excel电子表格中进行求解得 θ=1 。
)4,3,2,1(,0
1
140135120130140
1520212015
16001500130010001600
200420450350200
180090080010001800
..
min
4321
4321
4321
4321
4321
4321
j
ts
j
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
同理分别以分理处 2 , 3 , 4 作为要衡量的决策单元,得θ=0.966, 1 , 1 。
因此,这几个分理处的有效性见下表:
分理处 θ 结论
分理处 1 1 DEA 有效
分理处 2 0.966 非 DEA 有效
分理处 3 1 DEA 有效
分理处 4 1 DEA 有效
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述 大规模线性规划
大规模线性规划
DEA 在评价城市发展的可持续性中的应用 案例背景分析 目前对城市可持续发展影响最大的是环境问题。所以,我
们把城市的可持续发展系统视作 DEA 中的一个决策单元,它具有特定的输入输出,在将输入转化成输出的过程中,努力实现系统的可持续发展目标。现在,我们利用 DEA 方法对 天津市的可持续发展进行评价。在这里选取具有代表性的指标作为输入变量和输出变量。
输入变量:政府财政收入占 GDP 的比重、环保投资占 GDP 的比重、每千人科技人员数;
输出变量:经济发展(用人均 GDP 表示)、环境发展(用城市环境质量指数表示,在计算过程中,城市环境指数的数值作了归一化处理)。(具体数值见下表)
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述 大规模线性规划
大规模线性规划
序号决策单元
政府财政收入占GDP 的比重
环保投资占GDP 的比重
每千人科技人员数 人均 GDP
城市环境质量
指数1 1990 14.40 0.65 31.30 3621.00 0.00
2 1991 16.90 0.72 32.20 3943.00 0.09
3 1992 15.53 0.72 31.87 4086.67 0.07
4 1993 15.40 0.76 32.23 4904.67 0.13
5 1994 14.17 0.76 32.40 6311.67 0.37
6 1995 13.33 0.69 30.77 8173.33 0.59
7 1996 12.83 0.61 29.23 10236.00 0.51
8 1997 13.00 0.63 28.20 12094.33 0.44
9 1998 13.40 0.75 28.80 13603.33 0.58
10 1999 14.00 0.84 29.10 14841.00 1.00
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题题
单纯形法矩阵描
述 大规模线性规划
大规模线性规划
同样的 , 我们以序号 1( 1990年)为例建立数学模型
)10,,2,1(,0
1
*30.31*10.29*80.28*20.28
*23.29*77.30*40.32*23.32*87.31*20.32*30.31
*65.0*84.0*75.0
*63.0*61.0*69.0*76.0*76.0*72.0*72.0*65.0
*40.14*00.14*40.13*00.13
*83.12*33.13*17.14*40.15*53.1590.16*40.14
00.0*00.1*58.0
*44.0*51.0*59.0*37.0*13.0*07.0*09.0*00.0
00.3621*00.14841*33.13603*33.12904*00.10236
*33.8173*67.6311*67.4904*67.4086*00.3943*00.3621
..
min
10
1
1098
7654321
109
87654321
1098
7654321
109
87654321
10987
654321
j
ts
j
jj
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同样将该模型代入到 Excel电子表格中进行求解得 θ=0.2854同理可得其他的 θ的最优解 ,所有决策单元的结果如下表所 示 :
年份 θ 结论
1990 0.2854 非 DEA 有效
1991 0.2902 非 DEA 有效1992 0.2968 非 DEA 有效1993 0.3425 非 DEA 有效1994 0.4595 非 DEA 有效1995 0.7183 非 DEA 有效1996 0.9069 非 DEA 有效1997 1 DEA 有效1998 1 DEA 有效1999 1 DEA 有效
我们可以看到 θ值逐年增加 ,而 1997年开始有效。显而易见 , 天津市在 20世纪 90年代的发展是朝着可持续发展的方向前进的 ,并且在 1997年以后取得了显著效果。