海盐县教师进修学校 邱月亮

我的一个观点

小学数学背景知识漫谈

小学数学教学中常见的数学思想方法

教师数学素养是指包括数学知识技能素养、数学思维素养、运用数学的素养以及数学人文素养等方面在内的数学修养。

一、观点陈述：

小学数学教师要有一定的数学素养

小学数学教师要有一定的数学素养

（ 1 ）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（ 2 ）由教学实践需要所决定

（ 4 ）是数学教师专业发展的需要

（ 3 ）是数学课程标准的要求

小学数学教师要有一定的数学素养

（ 1 ）小学数学教师数学素养的现状不太乐观

《湖南教育》 2000 年第 16 期张新春老师的《小学师生概率知识的调查与思考》一文得出：小学数学教师在概率方面的知识与相关认识与小学生无显著差异

两个袋分别装着写有 0 、 1 、 2 、3 、 4 、 5 六个数字的六张卡片，从每个袋中各取一张，求所得两数之和等于 6 的概率 .

分析 因为我们考虑的是“从两个装着写有 0 、 1 、2 、 3 、 4 、 5 的六张卡片的袋中”各取一张，所以基本事件（试验结果）有 (0,0) ， (0,1) ， (0,2) ， (0,3) ， (0,4) ， (0,5) ， (1,0) ， (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， ……………………………………………… (5,0) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,5) ，

等 36 种，其中和为 6 的是 (1,5) ， (2,4) ， (3,3) ，(4,2) ， (5,1) 这 5 种，故所求之概率应为 5/36 。而答案为 1/11 则是把“和”作为基本事件，虽然其和的确有 11 种，但这 11 种的概率是不同的。

爸爸给我和妹妹 80 元钱，我俩平均分，每人得 40 元，这个 40 就是平均数。

循环小数 0.499999…… 和 0.5 相比，它们的关系是

A. 0.49999…… 小于 0.5

B. 0.49999…… 大于 0.5

C. 0.49999…… 等于 0.5   

328 人

A

226 人

68.9%

B

3 人

0.9%

C

93 人

28.4%

不选

6 人

1.8%100%

98 人 0 38 人58 人 2 人

100% 59.2% 0 38.8% 2%

设 a 是集合 A 中的任意一个元素， b是集合 B 中的任意一个元素，如果有“ a A ==> a B, b B ==> b∈ ∈ ∈ ∈A” ，那么可得到 。

328 人

正确

62 人

18.9%

错误

266 人

81.1%

不选

0

0100%

98 人 80 人18 人 0

100% 18.4% 81.6% 0

“a 比 b 多 1/2 ，则 b 比 a 少1/2” 。这个命题在 情况下成立。

328 人

正确

36 人

11%

错误

292 人

89%

不选

0

0100%

98 人 70 人28 人 0

100% 28.6% 71.4% 0

如下是一些小棒的长度（单位：厘米） 12 、 8 、 16 、 11 、 20 、 25 ，我选择如下三根小棒（用其长度来表示） 能搭出一个三角形；我选择如下的三要小棒（用其长度来表示） 能搭出一个直角三角形。

结果分别在 128 人中还有 50 人和 115 人不能写出， 98 人中 4 人和 14 人不能写出。

在小学数学教学中，异分母分数加减法一般都是先用通分的办法把它变成同分母分数加减法进行计算的。这种方法从数学的角度（数学思想方法）来看其实质就是什么？

结果分别只有 10 人和 4 人分析正确，只占总数的 3% 和 4% ，使人大跌眼镜！

小学数学教师要有一定的数学素养

（ 1 ）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（ 2 ）由教学实践需要所决定

现行小学教材中有许多地方注意了极限思想的渗透。如在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

—— 引于《中小学教师培训》 06 年第 6 期

在《因数与倍数》教学中，……，让学生在具体的情境中通过数数感知自然数的个数是无限的，在活动中体验极限思想。

—— 引于《小学教学设计》 08 年第 10 期

(32÷□)÷(8÷□)=4

……

师： □内可填除 0 以外的任何数，只要相同就可以了，又是为什么呢？

生：商不变性质。

师：如果老师用 a 表示这个数，行吗？

生：我还有一点意见，应表明 a 不等于 0 。

……

评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极限思想，……

12

2214

15求如左图所示的

面积（单位：米）

我知道，射线是从一点引出的一条看不见摸不着的线，而这一点也是看不见，摸不着的。

因为偶数是自然数的一部分，所以偶数的个数就比自然数要少。

斯苗儿：“一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底”，“因为无论是职前和职后都很少关注数学教师学科素养的提高”。 

——新课程与课堂教学改革 [J]. 小学数学教育 , 2003, 1/2: P16

小学数学教师要有一定的数学素养

（ 1 ）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（ 2 ）由教学实践需要所决定

（ 3 ）是数学课程标准的要求

《课标》指出：数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流的语言；数学能赋予人创造性；数学是一种文化；数学既是一种过程，也是现实世界的一种反映；等等。

在数学知识的教学过程中对学生进行数学思想和方法的教学

“ 从数学的角度提出问题、理解问题”、“解决问题”、“数学思考”

小学数学教师要有一定的数学素养

（ 1 ）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（ 2 ）由教学实践需要所决定

（ 4 ）是数学教师专业发展的需要

（ 3 ）是数学课程标准的要求

教师专业知识教师专业知识

本体性知识

学科知识

条件性知识

教育理论

实践性知识

教学经验

教师的实践性知识与其所掌握的学科知识和教育学知识之间存在着显著的关联

—— 辛涛：小学数学教师职业知识的结构与内在关系《心理发展与教育》 2005 年第 2 期

只有当教师将自己对学科知识的理解与学生的思维及学习特点结合起来将其转化为学科教学的理解时，学科教学知识对学生的学习有着显著的影响关系

李琼，倪玉菁：教师变量对小学生数学学习成绩影响的多水平分析《教师教育研究》 2006 年第 3期

李琼（北京师范大学教师教育研究 中心）：《小学数学教师的学科知识：专家与非专家的对比分析》——

两类教师对数学知识的理解以及数学观方面存在着显著的差异

——《教育学报》 2005年第 6期

课程教材研究所（人教社）

编小学教育专业数学课程

教材

中央电大开放教育

小学教育专业（专、

本科）教学计划

（江苏省教委）

小学教育专业

教材编写委员

会编（本专科）

教材

高等数学基础（下、下）

现代数学概论

数学实践

数学文化

初等数论

数学建模

离散数学

数学思想方法

数学思想与方法

数学简史

应用概率统计

应用数学初步

高等数学

数论初步

离散数学初步

高等代数

数学分析

空间解析几何

概率与统计

算术基本理论

与数论初步

二、小学数学背景知识漫谈

实践促进

自身发展

——需要产生数学

二、小学数学背景知识漫谈

1 、数及其发展 2 、无限与极限

现行小学教材中有许多地方注意了极限思想的渗透。如在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

—— 引于《中小学教师培训》 06 年第 6 期

在《因数与倍数》教学中，……，让学生在具体的情境中通过数数感知自然数的个数是无限的，在活动中体验极限思想。

—— 引于《小学教学设计》 08 年第 10 期

(32÷□)÷(8÷□)=4

……

师： □内可填除 0 以外的任何数，只要相同就可以了，又是为什么呢？

生：商不变性质。

师：如果老师用 a 表示这个数，行吗？

生：我还有一点意见，应表明 a 不等于 0 。

……

评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极限思想，……

从一袋种子中随机地抽取五份种子进行发芽试验，结果如下表：

种子数

10 130 700 1500 300

发芽数 8 116 639 1364 2715

频率 0.8 0.892 0.913 0.909 0.905

掷硬币试验的一组数据（这些是历史上数学家所做的试验数据）

实验者 投掷次数 下面出现次数

正面出现的频率

蒲丰 4040 2048 0.5069

德•摩根 4092 2048 0.5005

费勒 10000 4979 0.4979

皮尔逊 12000 6019 0.5016

皮尔逊 24000 12012 0.5005

罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923

二、小学数学背景知识漫谈

1 、数及其发展 2 、无限与极限

3 、《几何原本》的基石

《几何原本》定义1. 点 : 点不可以再分成部分 . 2. 线 : 线是无宽的长度 .

3. 线的两端是点 .

4. 直线 : 直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺 .

5. 面 : 面只有长度和宽度 .

6. 一个面的边是线

7. 平面 : 平面是是直线自身的均匀分布 .

8. 平面角 : 平面角是两条直线在一个平面内相交所形成的倾斜度 .

《几何原本》定义9. 直线角 : 含有角的两条线成一条直线时 , 其角成为直线角 . 10. 直角与垂线 : 一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相等 , 两角皆称为直角 , 其中一条称为另一条的垂线 .

11.钝角 : 大于直角的角 .

12.锐角 : 小于直角的角 .

13.边界 : 边界是物体的边缘 .14.图形 : 是一个边界或几个边界所围成的 .

《几何原本》定义15.圆 : 由一条线包围着的平面图形 , 其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等 . 16. 这个点叫做圆心 .17. 直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段 , 该线段将圆分成两等分 .

18.半圆 : 是直径与被它切割的圆弧围成的图形 . 半圆的圆心与原圆心相同 .

19. 直线图形是由线段首尾顺次相接围成的 . 三角形是由三条线段围成的 ,四边形是由四条线段围成的 , 多边形是由四条以上的线段围成的 .

《几何原本》定义20. 三角形中 , 三条边相等的称等边三角形 ,两条边相等的称等腰三角形 , 各边都不相等的称不等边三角形 .

22. 四边形中 , 四条边相等并四个角为直角的称为正方形 ; 四角为直角 , 但边不完全相等的为长方形 (也叫矩形 ); 四边相等 , 角不是直角的为菱形 ; 两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形；一组对边平行，另一组对边不平行的称为梯形。

21. 三角形中 , 有一个角为直角的是直角三角形 , 有一个钝角的称钝角三角形 , 三个角都为锐角的为锐角三角形 .

23. 平行直线 : 在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线 .

《几何原本》公设

1. 过现点可以作一条直线 .

3. 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。

2. 直线可以向两端无限延伸 .

4.凡直角都相等 .

5. 同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角时，则这两条直线在这一侧相交 .

《几何原本》公理

1. 等于同量的量彼此相等 .

3. 等量减等量，其差仍相等。

2. 等量加等量，其和仍相等 .

4.彼此能够重合的物体是全等的 .

5.整体大于部分 .

公理1 、结合公理——两点确定一条直线； 浙教版第 4 册

2 、移形公理——一个图形变更位置后，它的形状、大小都不变。 新课标人教版二下

3 、线段公理——两点间直线段最短。 浙教版第 4 册

4 、平行公理——通过一条直线外的一点，必有且仅有一条直线与该直线平行。 新课标人教版四上

5 、垂直线公理——在一个平面上通过一个定点与一条定直线垂直的直线只有一条。

新课标人教版四上

6 、面积公理——矩形面积的量数等于它的相邻两边量数的乘积。

7、体积公理——长方体体积的量数等于过同一顶点的三棱量数的乘积。

相关知识点的延伸

（一）线段

线段长短比较的概念，反映的是长度大小的概念，即是以一个标准去量的。 （浙教版第四册 ）

以移形公理为根据，用叠合的方法来刻画定义的。

例如：比较线段 AB和 A’B’长短的思想是：把线段 AB放在 A’B’上，使得 A和 A’重合，如果 B和 B’ 也重合，则说线段 AB和A’B’相等。

（二）三角形

由三条线段围成的封闭图形（浙教版第四册、第九册）

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形

由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形（新课标人教版四下）

从三角形一个角的顶点向它的对边（或对边延长线）画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点的对边叫做三角形的底。 （浙教版第九册）

自三角形的一个顶点向它所对的边线（对边所在的直线）所引的垂直线，叫做三角形的该边上的高线，简称该边上的高……

三、四边形

A

C

D

B

多边形——《科学技术百科全书》第一卷 · 数学（科学出版社） P48

用线段连接由 n 个点（ n＞ 2 ）组成的有序集中每一点和紧接着的后续点（在这里要把第一点看作最后一点的后续点）所形成的图形叫做（ n边的）多边形；这 n 个点称为多边形的顶点，而连接它们的线段称为多边形的边。欧几里德把多边形看作是这样的图形，也看作是由这些顶点和边所围成的平面区域。现代的用法则把多边形看作是形成闭折线的直线段和顶点所构成的任何集。如果多边形的每一边只与其邻边相交，则这个多边形是简单的。一个多边形是平面的或空间的，要根据它的边是否在一平面内而定。如果多边形所围成的区域完全在每边所在的（延长了的）直线的一侧，那么这个简单平面多边形是凸的。 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 10 ，或 12 的多边形称为三角形（ 3 ），四边形（ 4 ），五边形（ 5 ），六边形（ 6 ），七边形（ 7 ），八边形（ 8 ），十边形（ 10 ）或十二边形（ 12 ）。任何凸多边形的外角和是 360° 。内角和是（ n-2 ） 180° 。如果凸多边形有相等的角和相等的边，就称它为正多边形。

几何立体——《科学技术百科全书》第一卷 · 数学（科学出版社） P133

几何立体，通常称作立体，是三维空间中构成一有限部分的点集，这些点可以互相连续地联结起来，而与空间的其余部分由一称作其边界的点集相隔开。立体的内点是这样的点 I，空间中离 I在充分小的正距离 d以内的一切点都是立体的点。边界点是这样的点 B，不论正数 d取得怎样小，离开 B在距离 d以内总有立体的点，也有不是立体的点。立体的截面由立体和与其相交的一已知平面的所有公共点构成。一边界截面包含立体的边界点但不包含其内点。由二平行平面截下的两个边界截面可以叫做立体的两个底面。这两平面间的距离因而叫做高；由两底面间正中的平面截下的截面叫做立体的中截面。立体中任意两点联结的线段，如果总属于这立体，它就称作凸的。

您数学学到什么程度 ,今天您是否还记得所学的全部内容 ?

先请教一个问题 :

三、小学数学中的数学思想方法

这节课的主题是什么？最主要的思想是什么？

目前小学数学课堂教学评价的缺憾

（ 1）是由数学课堂教学的现状所决定的

(a) 教学目标的缺失

(b) 教学内容挖掘能力的缺失

1 、为什么重视数学思想方法的教学（渗透）

（ 2）是由数学思想的实质所决定的

数学思想是指在数学研究活动中解决数学问题的根本想法，是对数学内在规律的一种理性认识，也是千百来来人类在进行数学研究中所找到的方法论。

数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段。

数学能力 数学思想

（ 3）是正确领会“课标”的具体体现

数学课程标准指出：

在数学知识的教学过程中对学生进行数学思想和方法的教学。

获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能

数学课为什么要存在？

（ 4）是数学课堂教学的根本目标之一

“ 数学思想和方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中 ,因此 ,对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想价值上立意，要有明确的目的 ,加强针对性 ,注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 .”

（ 5）是学生进一步发展的需要

——源于高考考试大纲

2 、小学数学教材中数学思想方法体现的特征

小学数学

基本知识与基本技能

数学思想方法

（ 1 ）蕴含性

新课标人教版（ 1—5册）数学思想方法频数分布表

数学思想方法 频数 数学思想方法 频数

分类方法 29 数学模型方法 58

数形结合方法 23 抽象概括方法 16

归纳猜想方法 11 完全归纳法 50

类比法 7 不完全归纳法 23

比较法 75 化归方法 27

观察法 65 公式法 27

(2) 丰富性

化归思想

“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解 决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题之解答的一种手段和方法。

待解决的问题已解决或容易解决的问题

转化

解答 解答

化归的一般模式

集合思想

集合关系的渗透

并集思想的渗透

集合的运算的渗透

交集思想的渗透

差（余）集思想的渗透

因为偶数是自然数的一部分，所以偶数的个数就比自然数要少。

◆弱抽象 是指从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。

◆强抽象 指在原结构中增添某一特征，通过抽象获得比原结构更丰富的结构，使后者成为前者的特例。

◆广义抽象 定义概念 B 时用到了概念 A ，或者证明定理 B时用到了定理 A ，我们就说 B 比 A抽象，这样的抽象称为广义抽象。

抽象

数学模型

所谓数学模型，就是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

地球上的环境日益恶化。地球在吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦！”天上的玉皇大帝听到后很是惊讶，心想，要是地球真的爆裂，那它上面的全部生灵将要毁灭，所以他决定沿地球的赤道加一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球却又直喊：“太紧了，我喘不过气了”。于是玉皇大帝只好把铁箍松了一下，使得它处处离地球 1 米。可是松一下，铁丝不够长了，需要再加一段，请你帮玉皇大帝计算一下需要加多少米长的一段铁丝？

“实际”问题

两个同心圆的周长差

数学抽象

差是 2π实际问题的解

计算

还原说明

2π(r+1)- 2πr= 2π≈6.28

用数学模型方法解决问题的基本步骤

实际问题 数学模型数学抽象

数学模型的解实际问题的解

逻辑推理

还原说明

如何提升自身的学科专业素养 1. 从哪些方面提升自身的学科素养(1)了解一些背景知识▲了解数和数系的相关知识▲了解欧几里得及相关的几何知识▲了解概率与统计方面的基础知识▲了解微积分的一些基础知识▲了解离散数学的一些基础知识▲了解一些数学史▲了解数学方面的轶闻趣事

二、如何提升自身的学科专业素养 1. 从哪些方面提升自身的学科素养(2)掌握一些常见的数学思想方法

二、如何提升自身的学科专业素养 1. 从哪些方面提升自身的学科素养(2)掌握一些常见的数学思想方法

▲化归

▲数形结合

▲数学模型

▲集合

▲抽象与概括

▲归纳与类比▲分类

二、如何提升自身的学科专业素养

1. 从哪些方面提升自身的学科素养2. 从哪些途径提升自身的学科素养（ 1 ）研读教材

陶西平：“现在的改革有些太过份重视教学方式的改变，而忽视了教师科学素养的提高”，教学中“首先考虑的是怎么教，而没有真正研究教学内容”。 ——中国青年报 ,2006-10-30

二、如何提升自身的学科专业素养

1. 从哪些方面提升自身的学科素养2. 从哪些途径提升自身的学科素养（ 1 ）研读教材（ 2 ）案例分析

圆的认识教学……

师：今天我们一起来学习一个特殊的曲线图形——圆。现在请大家在准备好的白纸中间定一个点，然后在这个定点的周围再打一些点，周围的这些点要与这个定点距离 3 厘米。在打点的时候，请大家观察一下，你所打的那些点看起来像个什么图形？

（学生按要求动手操作。大约 1 分钟后老师请学生汇报。）

师：谁来汇报一下，你一共打了几个点？这些点看起来像个什么图形？

生 1 ：我打了 7个点，这 7个点连起来看像一条弯弯的线。

生 2 ：我打了 5 个点，把这 5 个点依次连起来应该是一个五边形。

生 3 ：我打了 12 个点，……（其他学生发出不相信的“哦哟”声，这名学生于是加以解释）我是把 3 厘米刻度线对准中间那个点，这样我一次可以在 0刻度线和 6 厘米刻度线那儿各打一个点了。

师：做事肯动脑筋，好样的。那你打的 12 个点看起来像个什么图形？

生 3 ：很像一个圆形。

师：方法不同，效率也就不同。打的点的个数不同，看起来像的图形也不同。这样，老师再给大家 2 分钟的时间，请同学们按照刚才的要求继续打点

（ 2 分钟后，老师请学生汇报。）

生 1 ：我刚才用张小高的方法加快了速度，我打的点连起来看非常像一个圆形。

生 2 ：我打的点连起来看也很像一个圆形。

生 3 ：我也是。

师：刚才大家的发言中都有一个共同点，那就是你们打的点合起来看都很像一个圆形，那能不能说是一个圆呢？

生 4 ：我认为不能，因为这些点之间还有许多缝隙。

师：讲得很有道理，圆是一个封闭图形，所以此时打的点只能说轮廓像一个圆。那我再给你们 2 分钟时间，能不能肯定地说你们所打的点组成的就是一个圆形？

生 5 ：速度快一点也许可以。

生 6 ：我认为不能。你眼睛看起来没有缝隙了，但如果用放大镜或者显微镜来看，也许又会发现许多缝隙了。

师：许红明同学思考很严谨。那现在请同学们想象一下，什么情况下我们所打的点才能够组成一个圆呢？

生 7 ：应该有无数个这样的点才能组成一个圆。

生 8 ：这些点应该是一个挨一个，排得密密麻麻，密不透风。

师小结：当我们按要求点 5 个点时，还看不出像什么图形。当我们按要求点 10 个点时，就能看到一个圆的轮廓了。而当我们按要求点 20 个点时，看起来就已经比较像一个圆了。如果我们再一直这样点下去，点出无数个这样的点后，最后我们就能得到一个很标准的圆了。

师：通过刚才的学习，你能不能用自己的话说说圆有什么特点？

生 1 ：圆上每一点到中间那个定点的距离都相等。

生 2 ：圆是由到中间距离都相等的很多很多的点组成的。

……

二、如何提升自身的学科专业素养

1. 从哪些方面提升自身的学科素养2. 从哪些途径提升自身的学科素养（ 1 ）研读教材（ 2 ）案例分析（ 3 ）阅读数学科普读物

经典著作： 《几何原本》和《九章算术》

数学史：《数学的历程》 穆国杰 浙江大学出版社《数学及其认识》 高隆昌 高等教育出版社

数学文化：《数学文化》 张楚廷 高等教育出版社

《数学的明天》 张奠宙 广西教育出版社

《数学文化》 课程教材研究所数学课程教材研究开发中心 人民教育出版社

数学思想与方法：

《数学思想方法简明教程》章士藻 南京大学出版社

《数学方法论入门》 郑毓信 浙江教育出版社

《数学思想方法》顾泠沅 中央广播电视大学出版社

《什么是数学》 [ 美 ]R.柯朗 H.罗宾 复旦大学出版社

《数学的创造》 吴振奎 吴旻 上海教育出版社

《古今数学思想》 [ 美 ] 克莱茵 上海科学技术出版社

《怎样解题》 [ 美 ] 波利亚 科学出版社

《数学与猜想》 [ 美 ] 波利亚 科学出版社

其他：

《高观点下的初等数学概念》沈钢 浙江大学出版社

《逻辑与小学数学教学》金成梁 北京师范大学出版社

《华罗庚科普选集》 上海教育出版社

“ 通俗世界名著译丛” 上海教育出版社

《数学的创造》 吴振奎 吴旻 上海教育出版社

《数：上帝的产物》 谈祥柏 上海教育出版社

“ 数学小丛书” 北京数学会 人民教育出版社

如何提升自身的学科专业素养

1. 从哪些方面提升自身的学科素养2. 从哪些途径提升自身的学科素养（ 1 ）研读教材（ 2 ）案例分析（ 3 ）阅读数学科普读物（ 4 ）解答习题

请批评指正

谢谢！