换 面 法的主要内容：

（一）换面法的定义及遵循两条原则（二）点的一次换面及变换规律（三）点的二次换面及多次换面（四）用换面法解决四个基本问题（五）解决距离和角度的变换思路（六）用换面法解决综合性问题举例（略）

变换投影面法 (82 页 )

一、换面法的定义及遵循的两条原则

空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。

术语

旧投影面— V 旧投影— a'

不变投影面— H 不变投影— a 新投影轴— O1X1 旧投影轴— OX

新投影面— V1 新投影— a'1

1 、新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置2 、新投影面必须垂直于一个不变的投影面 (V 、 H ）。

遵循下列两个原则

二、点的一次换面及变换规律

点的变换规律（参阅 84 页） 点的一次换面投影图

2 、 点的新投影到新轴的距离等于被更换的旧投影到旧轴的距离

1 、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 即： aa'1 ⊥ O1X1

翻转 V1与 H 重

合

三、点的二次换面及多次换面（ 84 页）

V 、 H 面交替更换，实现多次换面以满足解题需要。即：

a

a'

XV

H

a2'

a1

a3

点的变换规律

2 、 点的新投影到新轴的距离等于被更换的旧投影到旧轴的距离。

1 、点的新投影和不变投影的连 线，必垂直于新投影轴。

V/H V1/H V1/H2 V3/H2

V/H V/H1 V2/H1 V2/H3

X1

VH1

一次换面

X2

H1

V2

二次换面X3

V2 H3

三次换面

四、用换面法解决四个基本问题（参见 85~90 页）

1 、把一般位置直线 —— 投影面平行线 （得：实长 倾角）

2 、 把一般位置直线—— 投影面垂直线 （得：直线积聚为点）

3 、把一般位置平面 —— 投影面垂直面 （得：积聚性投影 倾角） 4 、把一般位置平面—— 投影面平行面 （得：平面的实形）

变换为

变换为

变换为

变换为

看演示

看演示

看演示

看演示

X1

V1

a1´

b1´

X1

HV1

HX

V

a´

b´

a

b

a1 ´

b1´a

H

V

X

A

B

a´

b´ a

b

1 、把一般位置直线 —— 投影面平行线 （可求：实长 、 倾角）

变换为

实长

作图要点：新轴平行某一投影新轴平行水平投影可求实长及 α 倾角新轴平行正面投影可求实长及 β 倾角

α

X1 H1

a1b1

ba

a´

b´

XV

H

X1

VH1

a

ba´

b´

A

B

H

V

X

把投影面的平行线 —— 投影面垂直线（一次换面） （得：直线积聚为点）

变换为

a1b1

作图要点：新轴垂直实长投影

AB 为正平线a’b’= 实长X1 a’b’⊥

X1

HV1 X2

V1H2

a'

b'

a

b

XVH

a1'b1'

a2b2

2 、把一般位置直线—— 投影面垂直线（二次变换）

（得：直线积聚为点）

把一般位置直线

— 投影面平行线（使 X1 轴平行某一投影）

投影面垂直线

（使 X2 垂直实长投影）

先变换为

再变换为

V1 面 ⊥ 水平线

X1

H V1

作图步骤： 1. 在平面上取投影面平行线； 2. 使新轴垂直于投影面平行线反映实长的投影。

V1

a1´

c1´

b1´

投影图

x VH

b´

a´

c´

a

b

c

a1´

c1´

b1´

立体图

A

B C

HV

b c

a

a´

c´b´

3 、把一般位置平面 —— 投影面垂直面（一次换面） （得：积聚性投影 倾角）

变换为

a取水平线

得：积聚性投影及 α

倾角

α

注：如取正平线，使 X1⊥直线的正面（实长）投影， 可求得平面对 V 面的倾角 β 。（作图过程略）

c1'

a1'b1'

V1

X1

c'

b'a'C

B

A

ac

b

H

V

X X1

HV1

H

c'

XV

a'b'

a

c b

a1' c1'

b1'

把投影面垂直面 ——投影面平行面（一次换面） （得：平面的实形）

变换为

作图要点：使新轴∥平面的积聚性投影

V1 面∥ ABC 平面

平面的实形

a1b1

c1

a1'

b1'c1'

a2'b2'

c2'a'

b'c'

b

a

c

X

X1

X2

X1

c2a2

b2

X2

4 、把一般位置平面 —— 投影面平行面（两次换面）

把一般位置平面

—— 投影面垂直面 —— 投影面平行面

先变换为

在变换为

把直线

变为投

影面垂

直线

把一直线变为投影面垂直

线

变换思路：

把直线

变为投

影面垂

直线

新投影面

实距

求点到直线的距离

新投影面

实距

求两平行直线的距离求两交叉直

线的距离

新投影面实距

把平面变为投影垂直

面

变换思路：

把交线变换为投影面垂直

线 把直线变换为投影面平行

线 把平面变换为投影面垂直

面新投影面

实距

P

求点到平面的距离

实角

交线R T

新投影面

求两平面的夹角

实角

P

新投影面

求直线与平面的夹角