ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ.

• Опр. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

• Два основных типа динамических эконометрических моделей:

• 1) модели авторегрессии и модели с распределенным лагом (явные модели):

– ARIMA (autoregressive integrated moving average) модели (метод Бокса-Дженкинса)

– ADL (autoregressive distributed lags) модели

2) модели учитывают динамическую информацию в неявном виде.

В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t:

• неполной корректировки• адаптивных ожиданий• рациональных ожиданий

•

• Опр. Лаговые переменные- временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени.

Явные модели

модель авторегрессии p-го порядка AR(p)yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + t

модель скользящей средней q-го порядка MA(q)

yt = t + t-1 + t-2 + … + qt-q

авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно ( ARMA(p,q) модель )

yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + t + t-1 + t-2 + … + qt-q

• Такая модель может интерпретироваться как линейная модель

• множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих

• переменных выступают прошлые значения самой зависимой

• переменной, а в качестве регрессионного остатка  — скользящие

• средние из элементов белого шума.

• Белый шум («чисто случайный временной ряд») – это непрерывный во времени случайный процесс w(t), для которого

выполняются условия Гаусса-Маркова:

• 1) математическое ожидание случайного возмущения равно 0

• 2) дисперсия случайного возмущения постоянна для всех наблюдений ;

• 3) возмущения для разных наблюдений не коррелированы;

4) случайное возмущение и объясняющие переменные не коррелированы

0)( jE

2)( jCov

jiCov jj ,0),(

0),( xCov

модель с распределенным лагом p ( DL(p) ) - модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных

yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + t

авторегрессионная модель с распределёнными лагами порядков p и q ( ADL(p,q) модель )

yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + с1yt-1 + с2yt-2 + … + сqyt-q + t

Схема метода Бокса-Дженкинса

• Выбор исходной модели– анализ графика временного ряда– анализ автокорреляционной функции– анализ частной автокорреляционной функции

• Оценка параметров для экспериментальной проверки (МНК или метод максимального правдоподобия)

• Проверка адекватности модели

• Использование модели для прогнозирования

Преимущества и недостатки моделей ARIMA

• Преимущества– охватывают широкий спектр временных рядов

– не используются независимые переменные

– проверка на адекватность проста и доступна

– прогнозы и интервалы предсказания следуют прямо из модели

• Недостатки– необходимо достаточно большое количество данных

(для несезонных данных более 40 наблюдений)

– при включении новых данных требуется перестройка всей модели

– достаточно большие затраты времени и ресурсов

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ

ЛАГОМ • Рассмотрим модель с распределенным

лагом в ее общем виде :

tltlttt xbxbxbay ...110

• Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени происходит изменение независимой переменной ,то это изменение будет влиять на значения переменной в течение следующих моментов времени.

tx

y l

• Коэффициент регрессии bo - краткосрочный мультипликатор,

характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед.своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x.

• В момент (t+1) совокупное воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (bo+b1) усл.ед.,

• в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (bo+b1 +b2) и т.д.

• Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

• Введем следующее обозначение:

• Долгосрочный мультипликатор-

показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед.фактора x .

....10 bbbb l

• Положим

• полученные величины называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

.0,/ ljbb jj

• Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого

• относительные коэффициенты

являются весами для соответствующих коэффициентов .

• Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени ( t + j ).

jbj

10 j

l

jj

0

.1

j

jb

• Средний лаг

представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t

• Медианный лаг-это величина лага,для которого

l

jjjl

0

l

jj

0

.5,0

ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛАГА И ВЫБОР ВИДА МОДЕЛИ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ

• График зависимости коэффициентов bj от j- величины лага, позволяет выявить структуру лага:

линейнаягеометрическая

V – образнаяперевернутая V – образная

jb

ja

jb

jб

jb

jв

jb

jг

ЛАГИ АЛМОН • лаги Алмон –это лаги, структуру которых

можно описать с помощью полиномов. • зависимость коэффициентов от величины

лага в форме полинома k- ой степени:

....2210

kkj jcjcjccb

• Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.

• 1. Определяется максимальная величина лага .

• 2. Определяется степень полинома, описывающего структуру лага.

• 3. По соотношениям рассчитываются значения переменных zi

....

...................................................................................

;...

;...

l

jjt

klt

kt

kt

ktk

l

jjttttt

l

jjtltttt

xjxlxxxz

xjxlxxxz

xxxxxz

1321

113211

0210

32

32

• 4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии

• 5. рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом по следующим формулам

....221100 tkkt zczczczcay

;...

;

101

00

kcccb

cb

..............................................

;...

;...

kk

kk

ccccb

ccccb

393

242

2103

2102

Преимущества Метода Алмон .

• он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов;

• при относительно небольшом количестве переменных, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины;

• мультиколлинеарность факторов z0,…,zk сказывается на оценках параметров b0,...,bl в меньшей степени, чем при применении стандартного МНК к исходной модели.

Метод Койка для бесконечномерной модели

• Предположение: существует некоторый постоянный темп

уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат.

ttttt xbxbxbay ...22110

10

• Если в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t-1), результат изменится на b0 ед.;

• в период (t-2)-на b0 2 ед., и т.д.

• Таким образом, лаг имеет геометрическую структуру:

.10

,...,2,1,0;0

jbb jj

• Ограничение обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов .

• Ограничение означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии.

00jb

1

• Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора .

tx

• Выразим все коэффициенты в модели через и :

• Тогда для периода (t-1):

jb0b

ttttt xbxbxbay ...22

0100

.... 132

020101 ttttt xbxbxbay

• Умножим обе части на и вычислим

1tt yy

• Отсюда получим модель Койка:

.1101 ttttt xbaayy

,1 10 tttt uyxbay

.1 tttu

• Метод преобразования Койка позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии,содержащей две независимые переменные и tx 1ty

• Средний лаг:

• Медианный лаг:

.1

l

.ln

5,0ln

meI

• МОДЕЛИ АДАПТИВНЫХ ОЖИДАНИЙ

• модель вида (1)

• где фактическое значение результативного признака;

• ожидаемое значение факторного признака.

,1 ttt xbay

ty

1tx

• Механизм формирования ФАКТОРОВ в этой модели следующий:

• или

• где - коэффициент ожиданий

)(1

tttt xxxx

;)1(1

ttt xxx

10

Утверждение. Модель адаптивных ожиданий сводится к модели авторегрессии.

Док-во:

ttt

tttttt

xbxba

xxbaxbay

)1(

))1((1

11

ttt xbay

11 )1()1()1()1(

ttt xbay

Вычитаем

или

где

11 )1()1()1( ttttt xbaaayy

)2()1( 1 tttt uyxbay

1)1( tttu

• Модель (1) называется долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

• Модель (2) называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

Пример. Модель гиперинфляции Кейгана

Yt = log (Mt/Pt)

M - номинальное количество денег в обращении,

P - уровень цен,

M/P - реальные денежные остатки,

Модель адаптивных ожиданий:

Ytd = + xt+1

w + t

xt+1w = (xt - xt

w)

Ytd - спрос на реальные денежные остатки,

xw - ожидаемый уровень инфляции

Модель потребления Фридмена

Сtp

= Ytp

• где• Yt = Yt

p + Yt

T

Ytp - постоянный доход,

YtT – переменный доход

Сt = Сt

p + Сt

T

Сtp - постоянное потребление,

СtT – переменное потребление

Регрессионная модель

Сt = Ytp + Сt

T

• Модель адаптивных ожиданий

Сt = Yt + (1- ) Yt-1 + t