第十章 相关与回归分析

一、相关关系的概念 ( 一 ) 函数关系

它反映着现象之间存在着严格的依存关系，也就是具有确定性的对应关系，这种关系可用一个数学表达式反映出来。

( 二 ) 相关关系 它反映着现象之间的数量上不严格的依存关系，也就是说两者之间不具有确定性的对应关系，这种关系有二个明显特点：1.现象之间确实存在数量上的依存关系，即某一社会经济现象变化要引起另一社会经济现象的变化；2.现象之间的这种依存关系是不严格的，即无法用数学公式表示。

二、相关关系的种类

1. 按相关关系涉及的因素多少来分，可分为：单相关和复相关。

　 　　在实际工作中，如存在多个自变量，可抓住其中主要的自变量，研究其相关关系，而保持另一些因素不变，这时复相关可转化为偏相关。

　　二因素之间的相关关系称单相关，即只涉及一个自变量和一个因变量。　　三个或三个以上因素的相关关系称复相关，或多元相关，即涉及二个或二个以上的自变量和因变量。

2.按相关关系的性质来分，可分为 : 正相关和负相关

正相关是指两相关现象变化的方向是一致的。

负相关是指两相关现象变化的方向是相反的。

3. 按相关关系的形式来分，可分为： 直线相关和曲线相关 直线相关是指两个相关现象之间，当自变量 X的数

值发生变动时，因变量 y随之发生近似于固定比例的变动，在相关图上的散点近似地表现为直线形式，因此称其为直线相关关系。 曲线相关是指两个相关现象之间，当自变量 X的数值发生变动时，因变量 y也随之发生变动，但这种变动在数值上不成固定比例，在相关图上的散点可表现为抛物线、指数曲线、双曲线等形式，因此称其为曲线相关关系。

4. 按相关程度分，可分为： 完全相关、不完全相关和不相关 完全相关就是相关现象之间的关系是完全确

定的关系，因而完全相关关系就是函数关系。

不相关是指两现象之间在数量上的变化上各自独立，互不影响。

不完全相关就是介于完全相关和不相关之间的一种相关关系。相关分析的对象主要是不完全相关关系。

三、相关分析的任务和内容

相关分析的主要任务，概括起来是两个方面：一方面，研究现象之间关系的密切程度，即相

关分析；

另一方面，研究自变量与因变量之间的变动关系，即回归分析。

相关分析的主要内容包括以下五个方面：1. 判断社会经济现象之间是否存在相互依存

的关系，是直线相关，还是曲线相关，这是相关分析的出发点；

2. 确定相关关系的密切程度；3. 测定两个变量之间的一般关系值；4. 测定因变量估计值和实际值之间的差异，

用以反映因变量估计值的可靠程度；5. 相关系数的显著性检验。

四、相关表和相关图

相关图，也称散布图 (或散点图 )。

简单相关表—根据总体单位的原始资料汇编的相关表分组相关表—将原始资料进行分组而编制的相关表

单变量分组表—按自变量分组

双变量分组表—按自变量和因变量均分组

五、相关系数

相关系数是在直线相关条件下，表明两个现象之间相关关系的方向和密切程度的综合性指标。一般用符号 r表示。

r 的测定方法：

2

2

2 2

2 2

1 ( )( )

1 1 ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

1.xy

xyx y

x y

r x x y yn

x x y yn nx x y yr

x x y y

积差法：

r

r

r

r

<0.3时，没有关系；0.3≤ <0.5时，称低度相关；0.5≤ <0.8时，称显著相关(或中度相关)；≥ 0.8时，称高度相关；

一般标准如下：

对 r的解释如下： (即 r的特点 )(1) r 取正值或负值决定于分子协方差；(2) r 的绝对值，在 0与 1之间；(3) r 的绝对值大小，可说明现象之间相关关系的紧密程度。

2. 简捷法

2222 )()(

))((

yynxxn

yxxynr

3. 从单变量分组表计算相关系数

2 2

( )( )

( ) ( )

,

x x y y fr

x x f y y f

xf yfx y

f f

积差法：

其中：

2 22 2

f xyf xf yfr

f x f xf f y f yf

简捷法：

六、回归分析

　　在回归分析中，两个变量之间的回归称为简单回归，两个以上变量之间的回归称为复回归。无论是简单回归还是复回归，数学模型均有线性 (直线 )回归和非线性 (曲线 )回归之分。

直线回归简单直线回归分析简单直线回归方程的一般形式为：

yc=a+bx yc ——因变量的估计值； x ——自变量； a ——回归直线在 y轴上的截距； b ——回归直线的斜率，称回归系数 ,表明 x每增加 一个单位，因变量 yc 的平均变化值 b>0 ， x与 y为正相关 b<0 ， x与 y为负相关

a 、 b的确定：　　在简单直线回归方程中， a、 b为待定系数，常用最小平方法来确定，即∑ (y-yc)2=最小值。

2

y na b xxy a x b x

即22 ( )

n xy x ybn x xy xa bn n

简单直线回归分析的主要特点：

1.直线回归分析时，要根据研究目的，在两个变量之间确定哪个是自变量，哪个是因变量。

2.在两个现象互为根据的情况下，可以有两个回归方程： yc=a+bx 称 y倚 x 回归直线 xc=c+dy 称 x倚 y 回归直线

曲线回归

拟合方法：统计上通常采用变量代换法把非线性形式转换为线性形式处理，使线性回归分析的方法也能适用于非线性回归问题的研究。

某商店各个时期的商品流通费率和商品零售额资料如下：x 商品零售额 ( 万

元 )9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5

y 商品流通费率(%)

6.0 4.6 4.0 3.2 2.8 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1

0

2

4

6

8

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

x( )万元

y(%)

散点图显示出 x 与 y 的变动关系为一条递减的双曲线。经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效益。

例

双曲线方程为：1 1

' 'c cy a b x y a bxx x

令 ＝ ，则：

然后用最小平方法解出参数如下计算表：

9.5 6.0 0.105 0.01103 0.63

11.5 4.6 0.087 0.00756 0.40

13.5 4.0 0.074 0.00549 0.30

15.5 3.2 0.065 0.00416 0.21

17.5 2.8 0.057 0.00327 0.16

19.5 2.5 0.051 0.00263 0.13

21.5 2.4 0.047 0.00216 0.11

23.5 2.3 0.043 0.00181 0.10

25.5 2.2 0.039 0.00154 0.09

27.5 2.1 0.036 0.00132 0.08

合计 32.1 0.604 0.04097 2.21

xx

1' 2'x 'yx(%)y)(万元x

%72.128

14.604377.028

14.604377.0

1'

'4.604377.0

4.60

-0.4377a

04097.0604.021.2

604.0101.32

'''

'2

c

c

c

yx

xy

xx

xy

bba

ba

xbxayx

xbnay

万时，当

代入：

非线性回归按自变量的个数可分为一元非线性回归和多元非线性回归。

多元非线性回归的线性化方法原则相同。