تنمية التفكير في مادة الرياضيات

...

...

كلمة شكر وتقدير

- ١ -

وتقدير كلمة شكر

أقدم محدي وشكري أوال هللا رب العاملني ، مث أتقدم بوافر الشكر والثناء واالمتنان لكل من عبداللطيف بن / لألستاذ ومن هنا فإن امتناين ال يقف عند حد ساندين لكي أجنز هذا الكتاب ،

ص هذا العمل جبزء من وقته الذي خ – رئيس قسم الرياضيات بوزارة التربية والتعليم –يوسف احلزامي الثمني ودعمه خبربته ومعلوماته الواسعة وتابع منو هذا العمل منذ بدايته إىل أن أكتمل ، ولقد كانت

وسببا وراء إجنازي - بعد عون اهللا سبحانه وتعاىل -ودماثة خلقه خري عون يل ومقترحاته النرية ،مساندته . هذا الكتاب

الذي – رئيس قسم الرياضيات بتعليم الشرقية –ان بن حممد اجلامع عدن/ لألستاذ وأسجل شكري كان يتابع هذا اجلهد منذ أن كـان فكـره فقد . يف كل مراحل إعداد هذا الكتاب ، مبسانديتقام

مبالحظاتـه وتنبيهاتـه الـيت و ومل يبخـل علـي يومـا بالتشـجيع والنصـح قبل ثالث سنوات وحىت ظهـوره .ع اعتباري وتقديري موض– ومل تزل –كانت

مشرف الرياضيات بتعليم –القحطاين بن عايض ثابت / لألستاذ وأسجل شكري وتقديري – ومل تزل – الذي تكرم بقراءة مسودة الكتاب ومل يبخل مبالحظاته وتنبيهاته اليت كانت -الشرقية

.موضع اعتباري وتقديري بتعليم اللغة العربية مشرف – اخلفويبن عبدالعزيز أمحد / لألستاذ وأسجل شكري وتقديري

اليت اللغوية الذي تكرم مبراجعة هذا الكتاب لغويا ومل يبخل مبالحظاته وتنبيهاته -الشرقية . موضع اعتباري وتقديري – ومل تزل –كانت

رياضيات بتعليم ال مشرفة –دالعزيز اجللعود منرية بنت عب/ لألستاذة وكذلك أسجل شكري ، حثيثد ه بتكريس نفسها ،ووقتها وعملت جب واليت قامتعلى مراجعتها هلذا الكتاب ، -الشرقية

وتفان منقطع النظري لقراءة ومراجعة هذا الكتاب ، وإدخال العديد من اإلضافات ، واالقتراحات الثمينة .عليه فإن هذا ،وقفت خلف إظهار هذا العمل اليت زوجيت تقدمي الشكر إىلولئن كنت أود، وأخريا

.به عنهم يف تأليف هذا الكتاب الشكر يتضمن االعتذار إليها وإىل أبنائي عن الوقت الذي شغلت

تقديم الكتاب

أ

تقدمي الكتاب عبداللطيف بن يوسف احلزامي/ بقلم األستاذ

رئيس قسم الرياضيات بوزارة التربية والتعليم

]كثرة االستشارة تدل على كرب العقل ورجاحته ، وما خاب من استشار [

والصالة والسالم على نبيه حممد بن عبداهللا خري البشر وعلى آله وصـحبه لهاحلمد هللا والشكر .ني ، وامشلنا معهم برمحتك يا رمحان يارحيم أمجع

نا اهللا باإلميان وطاعته وحنمده ونشكره على منه وفضله الذي وهب لنا هذا اهلناء وأول هنائه أهن .أما بعد... لنا حممد صلى اهللا عليه وسلم وعلى آله وصحبه أمجعني ومن تبعهم بإحسان إىل يوم الدين

ووالة األمر على ما مت إجنازه من منجزات يشـهد ـا العـدو قبـل الصـديق ، هنيئا حلكومتنا الرشيدة هعرب هذه السنني ، وهـاهي تسـتثمر جهودهـا فيمـا يقدمـ جهدا كبريا والذي أخذ من الدولة رعاها اهللا

من استعراضا من عطاء ألجل الرقي والتقدم لرفعة الوطن واملواطن يف خطوات ثابتة ، وما حنن فيه ؤهأبنا مفخرة من مفاخر اإلجناز واإلبداع حيـث يظهـر يف و هل كتاب يف الرياضيات من إنتاج أحد شبابنا الطموح

ما يفيد وخيـدم الطالـب يف الرياضـيات ميهذا الكتاب قدرة املؤلف على مواكبة التطور والتجديد وتقد . هلا ويزيد من استيعابه

وهـو أول كتـاب ختبارات القدرات عداد ال االستوقد وظف املؤلف هذا الكتاب ليخدم الطالب يف .يقع بني يدي يف هذا األسلوب من اجلودة وتقدمي املفيد يف تنمية التفكري

الـذي )دوكـرويل (والكتاب فيه حماوالت جيدة للوصول يف أسـلوبه إىل حتقيـق تطبيـق لنظـام :يصنف النشاط إىل ثالث جمموعات هي

. وهي اليت دف لتنمية القدرة املالحظة -١ . ويهدف به تكوين احلكم والتفكري املنطقيالربط -٢ .ون وهذا يعين التعبري عن الفكرة بأسلوبه بشرط أن يفهمه اآلخرالتعبري -٣

ولنـا مجيعـا بـأن تصـل خمرجـات تعليمنـا إىل أن يكـون أحـد أبنائنـا مثـل للدولة ووالة األمـر هنيئا اليت قدم ـا كتابـه هـذا ، إلنتاجية والكفاءةا ستوى من ذا املان الزهراينبسبن عبدالغين / األستاذ

ثبات قدرات جديدة اكتسبها أبناء البلد يف اجليـل الثـاين مـن إحماولة منه يف يف يقدم هذا الكتاب هو و . فتعليمنا خبري وهللا احلمد واملنةاملتعلمني يف جمال الرياضيات

تقديم الكتاب

ب

دمج فيها مهاراته يف الرياضيات والطرق احلديثـة عمل إبداعي متميز يف ا رائع اأستاذنا الكرمي بذل جهد يف العرض وتقدمي املوضوعات وقد دمج أساليب األسـئلة والتمـارين والتـدريبات مـع اختبـارات التحصـيل

ةفجاء هذا الكتـاب تنميـ واختبارات القدرات ووظف فيها أسلوب االختبارات املوضوعية وأسلوب املقارنة أكثر من كونه كتاب مشل العديد من املفاهيم الرياضية علـى مسـتوى املراحـل التعليميـة ومـا لفكرل

.حيتاجه خريج الثانوية العامة ملواجهة اختبارات القدرات وهيـا أيهـا هنيئا لنـا بـك وبأمثالـك ، وزيل الشكر والتقدير للمؤلف على هذا اإلجناز أتقدم جب

.أثبتوا كفاءتكم وأثبتوا للعامل قدرة اململكة على هذه اإلبداعات العلمية القائمون علي الرياضيات اإلبداعيـة بإجنـازام فهنيئا هلذا الوطن بأبنائه الـربرة املبـدعني ، وهنيئـا لتعليمنـا وأخريا وليس أخرا

.حفظ اهللا هذا الوطن ووالته ومواطنيه . املثمرة وهنيئا لنا مبثل هذا الكتاب ومؤلفه وأخر قولنا سبحانك اللهم وحبمدك واحلمد هللا على عطائه والسالم على رسوله عدد رمال الدهناء وأكثر

ان الزهراينبسبن عبدالغين / األستاذومربوك مربوك للدولة على نتاج أبنائها مثل .وتقبلوا التحية الطيبة /// والسالم ختام

تعليم رئيس قسم الرياضيات بوزارة التربية وال

عبداللطيف بن يوسف احلزامي هـ٢/٢/١٤٢٦الرياض

المقدمة

I

مقدمة .احلمد هللا والصالة والسالم على أشرف األنبياء واملرسلني ، سيدنا حممد وعلى آله وصحبه أمجعني

. وكيفية التعامل معه واالستعداد له يف الرياضياتليهتم باختبار القدرات العامة يأيت هذا الكتاب ية التفكري واإلعداد الختبارات واليت تم بتنم"م الرياضيات تعليف تيسري السلسلة "كأول كتاب ضمن

.والدولية ، واملسابقات احمللية العامة ،القدرات الرياضية العامة من خالل لقدرات مستويات الطالب لمت تصميم هذا الكتاب حبيث يناسب مجيع وقد

: حيث استعرض يف بابنيويتكون من. والتدريبات واالستراتيجيات استعراض الكثري من األمثلة :ب األول البا

تتعلق بالتعامل مع اختبار القدرات وهي عبارة عن استراتيجيات عامة ) ١( إرشادات عامة : األولالفصل تساعد على تطوير مهارات الطالب يف التفكري مع التركيز على األشكال والعامة يف الرياضيات

.اهلندسية والتوضيح بأمثلة متنوعة وهي عبارة عن استراتيجيات عامة يستعرض فيها كيفية التعامل ) ٢ (إرشادات عامة : الثاينالفصل

.مع أسئلة االختيار من متعدد مع أمثلة متنوعة وهي عبارة عن استراتيجيات عامة يستعرض فيها كيفية التعامل ) ٣( إرشادات عامة : الثالثالفصل

. مع أمثلة متنوعة ةاملقارنمع أسئلة :الباب الثاين

سؤاال ٦٠أشتمل على أربعة مناذج خمتلفة كاختبارات جتريبية وكل منوذج حيتوي على : الرابعل الفص .ة أسئلة من نوع املقارن٩ سؤال من نوع االختيار من متعدد و ٥١موضوعيا منها

:أحتوى على :اخلامسالفصل الواردة بالكتابوالتمارين حلول مجيع التدريبات )١ .مفاتيح حلول االختبارات التجريبية )٢

، وكذلك املعلمني لشرح الطالب الباحث عن التميز والتفوقيستفيد من هذا الكتاب بالدرجة األوىل و .التفكري السليم تنمية بعض األفكار لطالم ومساعدم على

أعطى كل مثال رقما مزدوجا حبيث ميثل الرقم األول ة والتدريبات يف هذا الكتاب فقدولتمييز األمثل اخل داخل الفصل ، .. ترتيب املثال أو احلقيقة الرياضية ) األيسر ( ترتيب الفصل والثاين ) األمين (

. يعين املثال اخلامس بالفصل الثالث )٥ – ٣( مثال : فمثال

المقدمة

II

، أشكر مجيع أعضاء هيئة التدريس والطالب يف املدارس اليت طبقت فيها االختبارات ام ويف اخلت ممثلة يف قسم باإلدارة العامة للتربية والتعليم بالشرقية إدارة شؤون الطالب التجريبية ، كما أشكر

على - رئيس قسم االختبارات بتعليم الشرقية -منصور جواد / األستاذ وأخص بالشكر االختبارات ةالتجريبيالفقرات االختبارية كتابة تصحيح و حتليل نتائج االختبارات واليت أدت إىل حتسني تعاونه يف

.امللحقة ذا الكتاب الذي قام عبدالوهاب بن أمحد الغامدي/ لألستاذ هذا ، وال يفوتين أن أتقدم بالشكر اجلزيل

.ذا الكتاب وبعض الرسومات الداخلية بتصميم الغالف منصور املرهون/ علي قصقوص و األستاذ / األستاذلزمالء األفاضل ا وكذلك أشكر

على جتاوم الكرمي مع طلبايت لبعض املراجع اليت كانت تنقص مكتبيت حازم املغاوري/ و األستاذ هم هذا كثريا من الوقت أثناء عملي وبعض األعمال األخرى اليت تطلبها هذا العمل والذين وفروا جبهد

.ذا الكتاب ختاما ، آمل أن أكون قدمت بعملي هذا فائدة لطالب وطالبات املرحلة الثانوية للتعامل مع اختبار

وآمل ، أن تصلين مالحظاتكم على العنوان الربيدي أدناه مع جزيل . القدرات العامة يف مادة الرياضيات ..الشكر والتقدير لكم

واهللا من وراء القصد ،،،،

املؤلف عبد الغين بن بسان الزهراين

هـ ١٤٢٦ صفر – الدمام

فهرس المحتويات

i

١ الباب األول ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ )١( استراتيجيات عامة : الفصل األول

٢ ........................................................................................................................................................................................................................................... ...متهيد ٨ ....................................................................................................................... رسم شكل تقرييب للشكل إن مل يكن مرسوم ١١...................................................................................................................... استنتاج املعلومات من شكل مرسوم على القياس

١٥...................................................................................................................................... إعادة رسم شكل ليس مرسوم على القياس ١٧............................................................................................................................................................................................ التغري يف الشكل املعطى

١٩............................................................................ إضافة بعض املستقيمات على الشكل املعطى الستنتاج املطلوب ٢٢ .............................................................................................................................................................. ال تعمل أكثر مما هو مطلوب منك

٢٥................................................................................................................................................................................................ انتبه للوحات يف السؤال ٢٦................................................................................................................................................................................................... فكر بدون آلة حاسبة

٢٧............................................................................................................................................................................. ضع قائمة من احللول احملتملة ٢٨.................................................................................................................................... استفد من الرسوم البيانية املعطاة يف السؤال

٢٩................................. .................................................................................................................................... تعامل مع الرموز الغريبة بالسؤال ٣٠........................................................... ..................................................................................................................................................................... أمثلة متنوعة

٣٢...................................................................... ............................................................................................................................................. )١ – ١( متارين )٢( استراتيجيات عامة : الفصل الثاين

٣٨.................................................................................................................................................................................................. احلل بطريقة عكسية ٤١........................................................................................................................................................................................... αتعلم مىت تبدأ باخليار ٤٢............................................................................................................................................................................................... استبدل املتغريات بأرقام

٤٧ ........................................................................................................................................................................................................ اختر األرقام املناسبة ٤٩ .............................................................................................................................................................. استنتج بعض املعادالت وتعامل معها

٥٠.................................................................................................................................................................................................................... التخمني الذكي ٥٤................................................................................................................................................................................................................................ أمثلة متنوعة

٥٨................................................................................................................................................................................................................... )١ – ٢( متارين

فهرس المحتويات

ii

)٣( استراتيجيات عامة : الثالثالفصل ٦٥.............................................................................................................................................................................................عداد استبدل املتغريات بأ

٦٩...................................................................................................................................................................................................... املناسبةعداداختر األ ٧١ ........................................................................................................................ سهل السؤال بعمل نفس العمليات على الصيغتني

٧٤ ......................................... أسال هل ميكن أن تكون الصيغتني متساويتني ؟ أو هل جيب أن تتساوى ؟ ٧٦................................................................................................................................................................................. ال تستهلك الوقت باحلسابات

٧٨ .................................................................................................................................................................................... αتعلم مىت تستبعد اخليار ٨٠........................................................................................................................................................................................ الكبريةعدادتعامل مع األ

٨١................................................................................................................................................................................................................... )١ – ٣( متارين ٨٤.............................................................................................................................................................................. متارين عامة على الباب األول

٩٣ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــالباب الثاين

مناذج اختبارات جتربية: الفصل الرابع ٩٧ ..............................................................................................................................................................................................................................النموذج األول

١٠٩...........................................................................................................................................................................................................................النموذج الثاين ١٢٣ ..........................................................................................................................................................................................................................النموذج الثالث ١٣٧ ...........................................................................................................................................................................................................................النموذج الرابع

إرشادات احللول : اخلامس الفصل ١٥٢ .....................................................................................................................................................................................................................حلول التدريبات

١٥٦........................................................................................................................................................................................... ) ١ – ١( حلول التمارين ١٦٢............................................................................................................................................................................................. ) ١ – ٢( حلول التمارين ١٦٦ ............................................................................................................................................................................................ ) ١ – ٣( حلول التمارين

١٧٢ ...................................................................................................................................................................................................حلول التمارين العامة ١٧٩.......................................................... .....................................................................................................................مفاتيح اإلجابة لالختبارات

١٨٥ .....................................................................................................................................................................................................................................املالحق

مقدمة للباب األول

٢

مقدمة اليت حتتاجها يف اختبار القدرات العامة للرياضيات ، حيـث االستراتيجيات يف هذا الباب نستعرض بعض

اعد األساسية واليت سبق لك دراستها باملرحلة املتوسطة وبداية املرحلة الثانوية ، جيب أن تكون ملما بالقو وليس فقط إملامك بتلك القواعد واألساسيات بل جيب عليـك أن تعـرف كيـف توظفهـا يف مسـائل رمبـا

. تشاهدها ألول مرة لتفكري الرياضي واهلدف ليس اختبارك يف معلوماتك الرياضية ، ولكن كيف تفكر وما مستوى مهارة ا

لديك وجيب أن تعلم أن اختبار القدرات يبتعد عن املسائل املعقـدة يف الرياضـيات ويركـز علـى أسـلوب : وحيتوي هذا الباب على ثالثة فصول كما يلي .التفكري واالستقراء

)١(استراتيجيات عامة : الفصل األول )١ )٢(استراتيجيات عامة : الفصل الثاين )٢ )٢(استراتيجيات عامة : الثالثالفصل )٣

ولكن قبل الدخول يف تلك الفصول يستحسن إطالعك علـى التعريـف باختبـار القـدرات العامـة يف مـادة ١يف الصفحات التالية الرياضيات من خالل بعض األسئلة الشائعة عن هذا االختبار

:انظر املراجع التالية ملزيد من املعلومات ١

، مركز القياس والتقييم ، جامعة امللك فهد للبترول واملعادن ) ١رام ( رائز األهلية املدرسية للقبول اجلامعي ) . هـ ١٤٢٣.( عطية نعيم )١ ).٦١-٥٨( صفحة . ، الظهران

الرياضدليل الطالب الختبار القدرات العامة ، الطبعة الثانية ، ). هـ ١٤٢٥.( املركز الوطين للقياس والتقومي ) ٢

التعريف باختبار القدرات العامة في لرياضيات....................................................................................................تمهيد

٣

متهيد

هو اختبار القدرات ؟ ماهو اختبار ال يعتمد على حفظ املعلومات بقـدر مـا

على قدرات الطالـب علـى الفهـم والقيـاس ديعتم . واالستنتاج

كيف أعد الختبار القدرات ؟ــدريب ، إذا كــان اجلســم ينمــو بالرياضــية والت

وجيــب اإلعــداد . ذلك العقــل ينمــو بالتــدريب كــالختبار القدرات بـاإلطالع علـى منـاذج خمتلفـة ، ــتفكري ــة ال ــى حــل املســائل وتنمي ــدريب عل والت

واالستفادة من الفصول املعروضـة ـذا الكتـاب إلعـــداد نفســـك الختبـــار القـــدرات العامـــة يف ــيت ــوانني ال ــبعض الق ــذكريك ب الرياضــيات ولت

ــ ــا يف اختب ــادة حتتاجه ــة مل ــدرات العلمي ارات الق .الرياضيات

ماذا يقيس اختبار القدرات يف الرياضيات ؟ :يركز على قياس قدرة الطالب على

حل املسائل الرياضية )١ القياس )٢ االستنتاج )٣ التحليل )٤ــا ــدرات يف م ــار الق ــواع األســئلة يف اختب هــي أن

الرياضيات ؟ :تنقسم األسئلة إىل قسمني ومها

دد االختيار املتع )١ املقارنة )٢

ما هو املقصود بأسئلة املقارنة ؟ صـيغتان ، واحـدة يف علـى أسئلة املقارنـة حتتوي

العمــود األول ، واألخــرى يف العمــود الثــاين ، تظلـل يف بـني الصـيغتني مث واملطلوب منك املقارنة :ورقة اإلجابة احلرف

δ ( الصيغة يف العمود األول أكرب منها إذا كانت .لثاين يف العمود ا

χ ( الصـيغة يف العمـود األول أصـغر إذا كانت . يف العمود الثاين امنهβ ( نيالصيغتان متساويتإذا كانت α ( كافية املعطاة غري علومات إذا كانت امل هي املهـارات املطلوبـة ألداء متميـز يف اختبـار ما

قدرات الرياضيات ؟يعتمد اختبـار القـدرات علـى الفهـم واالستبصـار

يق القـوانني واحلقـائق الرياضـية األساسـية وتطبوالــيت درســها الطالــب بنهايــة املرحلــة املتوســطة وبداية املرحلة الثانوية مع استبعاد حساب التفاضل

.والتكامل ومسائل حساب املثلثات هل يسمح باستخدام اآللة احلاسبة ؟

ــاب –إىل اآلن ــذا الكت ــداد ه ــاريخ إع ــري – ت غ .احلاسبة مسموح باستخدام اآللة

هل تستخدم األعداد املركبة يف احلل ؟ .مجيع األعداد املستخدمة هي أعداد حقيقية

تمهيد

٤

هلـا اختبـار قهي املواضيع اليت عـادة ال يتطـر ما القدرات يف الرياضيات ؟

الــرباهني الرياضــية ، األحجــام لغــري اســمات البسيطة ، مسائل بعمليات حسابية معقدة ، جذور

. تكعيبية معقدة تربيعية أوهل يكفي حفظ القوانني الرياضية الجتياز اختبار

القدرات يف الرياضيات ؟ــ ــد ال يكف ــف يبالتأكي ــو توظي ــوب ه ألن املطل

ــيس ــاس ول ــوانني يف احلــل واالســتنباط والقي الق .تذكرها فحسب

هي املهـارات واملفـاهيم الـيت جيـب التركيـز ما عليها؟

جلرب ، اهلندسـة احلساب ، ا : هناك أربع جماالت ، حيــث يكشــف واملنوعــاتوالتحليــل واإلحصــاء

اختبــار القــدرات قــدرة الطالــب يف توظيــف تلــك . املهارات يف حل املسائل

ماهي املهارات املطلوبة يف احلساب ؟اجلمع والطرح ( معرفة العمليات األساسية )١

) .والضرب والقسمة التعامل مع العمليـات الـيت تتـداخل فيهـا )٢

. العادية والعشرية الكسور إجياد الوسط احلسايب والوسيط واملنوال )٣ــداد )٤ ــة خصــائص األع ــة ، : معرف الفردي

الزوجية ، األولية ، السـالبة ، املوجبـة ، .قواسم عدد ، املضاعفات

حل مسائل تتعلق بالسرعة والزمن واملسافة )٥ والنسب املئوية ، وعمليات الربح واخلسارة

ــابع )٦ ــب أو التت ــق بالترتي حــل مســائل تتعل .وإجياد احلد النوين والعكس

ــداد ويف )٧ ــبة والتناســـب بـــني األعـ النسـ .األشكال اهلندسية

هل ميكن دخول احلسـابات الطويلـة املعقـدة يف اختبار قدرات الرياضيات ؟

. الميكن دخوهلا إال من حيث االختزال فقط هي املهارات املطلوبة يف اجلرب ؟ ما

ــة )١ ــالبة واملوجب ــة ، الس ــداد احلقيقي األع والصفر

ــبري اللفظــي يف بعــض )٢ ــن التع ــل م التحوي .املسائل إىل رمزي

تبسيط املقادير اجلربية )٣ثالثـي احلـدود ، ( حتليل مقادير بسـيطة )٤

فـــرق بـــني مـــربعني ، فـــرق وجممـــوع ) .مكعبني

.حل املعادالت واملتراجحات )٥يـة استخراج اجلـذور التربيعيـة والتكعيب )٦

.املألوفة قوانني األسس والتطبيق عليها )٧

التعريف باختبار القدرات العامة في لرياضيات....................................................................................................تمهيد

٥

هي املهارات املطلوبة يف اهلندسة ؟ ماــة )١ ــتقيمات املتوازي ــق خصــائص املس تطبي

.واملتعامدة معرفة عالقة الزوايا ببعضها ، واسـتخراج )٢

.الزوايا من أشكال هندسية .معرفة خصائص املثلثات والتطبيق عليها )٣شـكال اهلندسـية قواعد التناسـب يف األ )٤

.والتطبيق عليها يف حل املسائل ــا يف )٥ ــلعات وتطبيقه ــابه املض ــوانني تش ق

مسائل متنوعة .معرفة خصائص الدائرة )٦ــة ، االحنــدار ، قــراءة )٧ اهلندســة التحليلي

الرسوم البيانية ، تطبيقات علـى املسـتوى .أإلحداثي

ــة )٨ ــة الفراغي ــوانني اهلندس ــاحات ( ق املس ) .لوفة واحلجوم لألشكال املأ

هـي املهـارات املطلوبـة يف التحليـل واإلحصـاء ما ؟واملنوعات

االحتماالت )١ املنطق الرياضي واموعات )٢الرسوم البيانية واخلـروج خبالصـة حـول )٣

املعطيات الـيت تتضـمنها هـذه الرسـوم أو املقارنة بينها

مسائل على املتتابعات احلسابية واهلندسية )٤ .الرموز اخلاصة )٥ .علق بالتفكري االستداليل حل مسائل تت )٦

هل هناك أنـواع أخـرى مـن األسـئلة غـري أسـئلة ـ يف اختبـار القـدرات ةاالختيار من متعدد واملقارن

للرياضيات ؟نعم هناك نوع ثالث ويسمى اإلجابة احلرة ومل يدرج ــارات ــاب يف اختب ــذا الكت ــداد ه ــاريخ إع إىل تالقدرات اليت يشرف عليها املركز الوطين للقياس

التقومي يف التعليم العايل ، لذلك مت استبعادها من و .هذا الكتاب

هي نسب توزيع تلك املهارات يف أسئلة القدرات ما ملادة الرياضيات ؟

يف االختبارات الفعليـة الـيت يتعـرض هلـا الطالـب واملعدة من قبل املركز الوطين يتم توزيـع األسـئلة

:التالية يف جزء الرياضيات وفقا للنسب التقريبية يف احلساب⊇٤٠ )١ يف اجلرب⊇٢٣ )٢ يف اهلندسة⊇٢٤ )٣ يف التحليل واإلحصاء ⊇١٣ )٤

تعليمات عامة

غري مسموح باستخدام اآللـة احلاسـبة يف )١ .احللول للتدريب أو االختبار

يع األعداد املستخدمة يف هذا الكتاب مج )٢ .هي أعداد حقيقية

األشكال املرسومة يف هذا الكتاب هـي )٣أشكال مرسـومة علـى القيـاس ، مـامل

يذكر خالف ذلك

تمهيد

٦

:املوجودة بالكتاب اإلرشادية الصور بعض دليل

يعطـى لـك بعـض التلميحــات وتــذكريك بــبعض األفكــار ــتخدامها يف ــب اســ املناســ

ورد فيـه هـذا املوضوع الـذي .التلميح

يف بعض املسائل هنـاك طـرق كثرية للحل ، وغالبـا تعطـى لك الطريقـة املعتـادة يف حـل

.السؤال كطريقة ثانية للحل

ــوب ــدريبات املطل ــذه الت يف همنك التفاعل مع املسـائل مـن خـــالل إكمـــال الفـــراغ يف ــذه ــأيت ه ــا ت ــرين وغالب التمالتدريبات بعـد أمثلـة حملولـة حتتــوي علــى نفــس الفكــرة

.ورمبا تكون خمتلفة قليال

األولالباب ١

٨

)١(استراتيجيات عامة يف هذا الفصل سوف تـتعلم بعـض االسـتراتيجيات

ــوير ــيت تســاعدك يف تط ــة وال واإلرشــادات العامــئلة ــواع أس ــض أن ــع بع ــل م ــك يف التعام مهارات

اختبـار القـدرات، الرياضيات اليت تتعرض هلـا يف ــيم ــى تنظ ــاعدك عل ــادات تس ــدة إرش ــاك ع وهنــة ــها يف البداي ــتفكري ، وســوف نســتعرض من ال

:مايليرســم شــكل تقــرييب للشــكل أن مل يكــن ))١١

.ا مرسوماستنتاج املعلومـات مـن شـكل مرسـوم علـى ))٢٢

القياس على القياساأعد رسم شكل ليس مرسوم ))٣٣أعد رسـم شـكل مرسـوم علـى القيـاس إىل ))٤٤

مرسوم على القياسشكل غري أضف بعض املستقيمات على الشكل املعطـى ))٥٥

الستنتاج املطلوب . أستنتج مساحة منطقة مظللة ))٦٦ ال تعمل أكثر مما هو مطلوب منك ))٧٧ انتبه للوحدات يف السؤال ))٨٨ فكر بدون آلة حاسبة ))٩٩ .ضع قائمة من احللول احملتملة ))١٠١٠ استفد من الرسوم البيانية املعطاة بالسؤال ))١١١١ رموز الغريبة بالسؤالتعامل مع بعض ال ))١٢١٢

وحىت تستطيع االستفادة من اإلرشـادات السـابقة جيب أن يكون لـديك القـدرة علـى رسـم شـكل

- اإلمكـان مثل الرسم الصـحيح بقـدر –تقرييب . وبعض املستقيمات والتوقع الصحيح لقياس الزوايا

ندسـية اهلواخلطوة األوىل يف التعامل مـع املسـائل .اجلربية األخرى هي الرسموبعض املسائل

نستعرض أمثلة تطبيقية مع الشرح لألفكـار واآلن .السابقة

ارسم شكل تقريبي للشكل أن لم يكن مرسوم١

)مثال ): ١ ١−

أوجد مساحة املستطيل الذي طوله ضـعف عرضـه

م١٢وحميطة يساوي حميط مربع مساحته . س : احلل

:بداية جيب أن نرسم كما يلي

)معطى ( حميط املربع =مبا أن حميط املستطيل

٤ ٢ ٤٢ ٤= ٦٣ ٣ ٦= ε ⇐ = =ε⇔ ε ∴

)مساحة املستطيل )( )٨ ٤ ٢٩ ٣ ٣= م٢ = س

)مثال ): ٢ ١−

١استهلكت سيارة يف اليوم األول ٢

كمية الوقـود

ــاين ــوم الث ٢يف خزاــا ، مث اســتهلكت يف الي٣

فما مقدار اجلزء . الكمية املتبقية يف هذا اخلزان املتبقي من الوقود ؟

) ١ ( استراتيجيات عامة ....األولالفصل

٩

: احلل طيلني كل مستطيل يساوي نصف نرسم مست

الكمية ، و حيث أن السيارة استهلكت ثلثي الكمية يف اليوم الثاين ، فإنه جيب تقسيم املستطيل الثاين إىل ثالثة أقسام مث نظلل املستطيل األول ، وخليتني من املستطيل الثاين كما يف

:الشكل التايل اليوم األول املتبقي اليوم الثاين

هي اجلزء غري املظلل يف ةأن الكمية املتبقي واضح

١الشكل أعاله وهي متثل ٦

١فترض أن كمية الوقود يف اخلزان تساوي لن

١املتبقي يف اخلزان بعد اليوم األول ١ ١٢ ٢= − =

١ما مت استهالكه يف اليوم الثاين ١٣ ٢= ٢×

٣=

)الكمية املتبقية )١ ١ ١ ١٦ ٣ ٢= + − =

) تدريب ): ١ ١−

مكافئـة لـه ريـاال ٤٥حصل طفل من والده على فإذا كان ما حصل . على اجتهاده خالل أربعة أيام

حصل عليه يف اليوم عليه يف اليوم الثاين ضعف ما األول ، وما حصل عليه يف اليوم الثالث نصـف مـا حصل عليه يف اليوم الثاين ، ومـا حصـل عليـه يف . اليوم الرابع نصف ما حصل عليه يف اليوم الثالـث

فما جمموع ماحصل عليه يف اليومني األولني ؟ : احلل

ريال=εلنفرض أن ما حصل عليه يف اليوم األول :منثل معطيات السؤال يف الشكل التايل

الرابع الثالث الثايناليوم األول

ε ١٢

ε

١٤٥٢

٤٥

= ε + + +ε∴

=ε

=ε=ε

:األولني هو جمموع ما حصل عليه يف اليومني = + = +ε∴ رياال.


١٠

)مثال ): ٣ ١− ٣٠ كــرات محــراء ، ١٠صــندوق حيتــوي علــى

كرة خضراء ، كم عدد الكرات احلمـراء الـيت جيــب أن نضــيفها لكــي حيتــوي الصــندوق علــى

. من الكرات احلمراء ⊇٦٠ : احلل

على الرغم من قدرتنا على حل هذا السـؤال بـدون رسم ، لكن الرسم التوضيحي التـايل يسـاعد يف

.سرعة احلل ε محراء ٣٠ خضراء ١٠ محراء

، واضـح أن عـدد الكـرات السـابق الشـكل منε+٤٠بالصندوق =

ε+١٠عدد الكرات احلمراء =

٣⊇٦٠نعلم أن ٦٠٥ ١٠٠= =

: الــيت حتقــق املعادلــةεاملطلــوب إجيــاد قيمــة ١٠٣

٥ ٤٠+ε=+ε

ومبا أن حاصـل ضـرب الطـرفني يسـاوي حاصـل :فنجد أن ضرب الوسطني

١٢٠ ٣ ٥٠ ٥٧٠ ٢٣٥

+ε = +ε=ε=ε

٣٥ عدد الكرات احلمراء املطلـوب إضـافتها ∴ .كرة

) تدريب ): ٢ ١−

كم مشـاال ٦ كم غربا ، مث ٨ته قاد رجل سيار فكـم يبعـد . كم مشاال ٦ كم شرقا ، مث ٣مث

عن نقطة البداية ؟

( )δ ١٣ ( )β١٩ ( )χ١٧ ( )α ٢١ للمطلوبا تقريبانرسم رمس :احلل

ــكل ــن الش ــظ م نالحإن السائق بدأ من ااور

ــد δالنقطــة وتوقــف عن ϖنقطة ال

ــو : إذا ــوب هــ املطلــ؟ = ϖδ

ϖχδ ــة يف ــائم الزاوي ــة χ ق ــق نظري وبتطبي

:فيثاغورس جند أن٢ ٢٢ ϖχ + χδ = ϖδ

+ =

+ ∂ = ϖδ

=

اإلجابة الصحيحة

استنتاج الطـول مباشـرة بق يف املثال السا ميكنك

ــم أن ــت تعل ــو ١٣ ،١٢، ٥إذا كن ــي أط ل ا ه أضالع مثلث قائم الزاوية


١١

ى ٢ وم عل كل مرس ن ش ات م تنتاج المعلوم اس القياس

ومل يذكر أن الرسم ،ا هندسي إذا أعطيت شكال ليس على القياس، فهذا يعين أنه ميكن االعتمـاد ــات ــتنباط املعلوم ــى يف اس ــكل املعط ــى الش عل

. املطلوبة )مثال ): ٤ ١−

دائرة املقابل يف الشكل سـم ، ٥نصف قطرها

رســـــــم داخلـــــــها فيه σωγδمستطيل٨ = γδ سم إذا كانت α منتصفγδ⎡ ⎤⎣ β و ⎦

⎡αδمنتصــف ⎤⎣ ⎡βδ منتصــف χ و ⎦ ⎤⎣ فأوجــد ⎦

.املظلل مساحة الشكل :احلل

سم١٠ =σωγδ قطر =قطر الدائرة العرض × الطول =مساحة املستطيل

٤ ٨

١ ٢

= αδ ⇐ = γδ

χβ = = χδ ⇐ = βδ ⇐

=١ = العرض ∴ χβ سم

ωγδ ائم الزاويـة يف مثلث قـγ بتطبيـق نظريـة٦: فيثاغورس جند أن = ωγسم

٦ولكن = χ = ωγζسم

٦مساحة املستطيل ١ ٦= × ٢سم =ال أضالع مثلـث قـائم هي أطو ١٠،٨،٦ : الحظ أن

.الزاوية

) تدريب ): ٣ ١−

املقابليف الشكل ؟ εقيمة ما

( )δ ٢ ( )β٣ ( )χ٢٫٥ ( )α ٣٫٥ :احلل

ألن =طول الوتر هي أطوال أضالع مثلث قائم الزاوية٨،٦،

٤ ٣

٤

= ε ⇐ =ε+ε

= =ε∴

∵

اإلجابة الصحيحة


١٢

)مثال ): ٥ ١− δ χ β α ، ــع مربــ

ة مثلثات قسم إىل أربع ــل ــيط ك ــها حم من

مكــــ ســــم ، ف١ حمـــيط ســـنتيمترا

؟املربع

( )δ ٤٣

( )β ٢

( )χ( )١ ٢ ٤− ∂ ( )α ٣ :احلل

ε =نفرض أن طول ضلع املربع

χκδ ٥ مثلث ٥ ٥٩٠ ٤٥ ٤٥− −

٢٢ ٢ε ε∂ = = κδ = χκ ∴

∂

٢ χκδحميط ٢٢ ٢ε ε∂ ∂ε+ + =

١٢ε+ ε =∂

( ) ١١ ٢١

١ ٢

١ ٢ ١١ ٢ ١ ٢

١ ٢

ε=+ ∂

= ε∴+ ∂

− ∂ × = ε− ∂ + ∂

− ∂ =

ε ٤ =حميط املربع

( )٤١ ٢ =− سم ∂

χاإلجابة الصحيحة

:أسئلة املقارنة قارنـة كمـا يف اجلـدول الصورة العامة ألسئلة امل

: أدناه قارن بني

العمود الثاين العمود األولحيث يعطى لك يف كـل عمـود كمـا يف اجلـدول أعاله صيغتني ويطلب منك املقارنـة بينـهما حسـب

:تعليمات أسئلة املقارنة التالية تعليمات أسئلة املقارنة

صـيغتان ، واحـدة هناك أسئلة املقارنة يف األسئلة مــود األول ، واألخــرى يف العمــود الثــاين ، يف الع

التظليل يف الصيغتني مث واملطلوب منك املقارنة بني :ورقة اإلجابة احلرف

δ ( الصيغة يف العمود األول أكرب منها إذا كانت .يف العمود الثاين

χ ( الصــيغة يف العمــود األول أصــغر إذا كانــت . يف العمود الثاين امنهβ ( نيان متساويتالصيغتإذا كانت α ( كافيــة املعطــاة غــري علومــات إذا كانــت امل

.للمقارنة

:ملحوظة

إذا ورد لفظ العمود األول أو الثاين فاملقصود مـا ن وردتـا بالسـؤال ، واخترنـا لفـظ ان اللتـ االصيغت

.العمود لسهولة االستدالل


١٣

)مثال ): ٦ ١− يف الشكل أدناه

قارن بني

١٧٠° ε :احلل

°٣٦٠نعلم أن جمموع زوايا أي رباعي = ٣٦٠ ٩٠ ٩٠ ٣٥

٢١٥ ٣٦٠١٤٥

° = ε+ ° + ° + ° ∴° − ° = ε⇐

° =

°١٧٠الحظ أن العمود األول = °١٤٥ الثاين ودمالع و =

δ حةاإلجابة الصحي

نعلم أن أي جمموع زوايا أي رباعي تساوي جممـوع

. أربع زوايا قائمة أعطي لنا زاويتان قائمتان يف الشـكل ، وبالتـايل

°١٨٠فإن جمموع الزاويتان املتبقيتان = ١٨٠ ٣٥

٣٥ ١٨٠١٤٥

° = ε+ ° ∴° − ° = ε⇐

° =

)مثال ): ٧ ١− دناه يف الشكل أ

قارن بني

ε λ :احلل

°١٨٠نعلم أن جمموع زوايا أي مثلث = ∆βχδيف

١٨٠

١ ١٨٠ ٩٠

° = β+χ+ δ

← ° = ε+χ+ ∴

∵

αχ يف δ∆

١٨٠

٢ ١٨٠ ٩٠

° = α+χ+λ

← ° = +χ+λ∴

∵

:جند أن ) ٢(مع ) ١(مبساواة

٩٠ + χ +λ =ε+ χ ٩٠+λ =ε∴

βبة الصحيحة اإلجا

δيف القائم ∆βχδيف

γ λ⎧⎪ε=λ⇐⎨γ ε⎪⎩

تتمــم

تتمــم

γ


١٤

)مثال ): ٨ ١− أي ااور يف الشكل

من اخليارات التالية

؟−١٨٠β−χ−δيساوي

( )( )( )( )٢

β+χ+ δ δ

β+ δ χβ+χ ββ +χ α

: احلل : نعلم أن

( )β+χ+ δ − = β−χ−δ−

ــا ــوع الزوايــ ــث أن جممــ ــكل وحيــ يف الشــ°١٨٠املعطى ألا زاوية مستقيمة =

٣ ٢ ١٨٠β +χ + δ = ° ∴ +β+χوبطرح δ من الطرفني يكون :

١٨٠β−χ−δ− ° = ٢ ٣ ٢β +χ =β−χ−δ−β +χ + δ

αاإلجابة الصحيحة

)مثال ): ٩ ١− مثلــــــث فيــــــه

βδ = χδ ،

أوجد قياس الزاوية ε . ( )δ ١٣٥° ( )β١١٥° ( )χ١٢٥° ( )α ٦٥° : احلل

يف الشــــكل الحــــظ أن الزاوية أكرب املقابل

وبالتايل °٩٠من بالتخمني اجليد خنمن أن الزاوية αنستبعد اخليار

٢٥األخرى تتراوح بـني ٢٠° − وبالتـايل قيمـة . °ε تكون :

١١٠ ٢٠ ٩٠° = ° + ١١٥ أو ° ٢٥ ٩٠° = ° + ° βاخليار األقرب للتخمني هو

β اإلجابة الصحيحة

متطابق الضلعني فـإن قيـاس βχδمبا أن املثلث

β =χ °١٨٠ومبا أن جمموع قياس زوايا أي مثلث =

°٦٥ فإن = β = χ

١١٥ ٦٥ ١٨٠° = ° − ° = ε∴


١٥

على القياساإعادة رسم شكل ليس مرسوم٣

يف اختبارات القدرات ملادة الرياضيات ، يكون يف على االغالب الرسم املعطى مع السؤال ليس مرسوم

وحـىت . بذلك القياس ، ويكتب للطالب مالحظة نستطيع التعامل مع هذا النـوع مـن املسـائل جيـب إعادة رسم الشكل حبيث يكون أقرب ما يكـون للرسم الصحيح ومن مث نستنبط املعلومـات بـنفس

اســتنتاج املعلومــات مــن الطريقــة الــيت وردت يف شكل مرسوم على القياس

) مثال ): ١٠ ١− املقابــل يف الشــكل

؟ε يمةما ق

( )δ ٧٥° ( )β ٤٥° ( )χ٦٠° ( )α ٣٠° :احلل

ليس ضـعف χδنالحظ من الشكل املعطى أن

βχ . وبالتــايل كــأول خطــوات احلــل جيــب βχضعف χδحبيث يكون إعادة الرسم

ــكل ــا يف الشــ كمــاملثلــــث اآلن اــــاور

ــأ ــبح م ــدينا أص لوف ل وبالتايل سهل إجياد

أن الزاويـة احملصـورة بـالوتر نعلم الزاوية ، فنحن والضلع الذي يساوي طوله نصف طول الوتر تساوي

٦٠° χ اإلجابة الصحيحة

علـى القيـاس ، اإلعادة رسم شكل ليس مرسـوم

:جيب يف البداية أن تسأل نفسك السؤال التايل "هو اخلطأ يف الرسم املعطى ؟ ما"

ورمسـت °٣٠فمثال لو كانت الزاوية يف السـؤال أعد الرسم . °٧٥يف الشكل كأا

يف الشـكل ، نيلو كان مستقيمان يبدوان متوازي ــهما ، ومل يعطــى لــك أي معلومــة يف الســؤال عن

م حبيث تالحظ يف الشكل عدم فيجب إعادة الرس .التوازي

ــا مســتقيم خمــتلفيت الطــول يف إذا كانــت قطعت ، نيالسؤال ولكن يف الشكل كأمـا متطـابقت

فهنا جيب إعادة رسم الشكل حبيث يكون واضح .الفرق بينهما

حتذير إعادة رسم شكل حتتاج لوقت عادة أنت يف اختبار

ال تلجــأ لــذلك . القــدرات يف أمــس احلاجــة إليــه سـتطيع قـراءة الشـكل نإلعادة الرسـم إال إذا مل

ويف األمثلة . مباشرة وتستنج منه املعلومات املطلوبة التالية سوف نستعرض بعـض األشـكال الـيت مل

يكن هناك داعي إلعـادة رسـم الشـكل فيهـا ، .وكانت للتوضيح فقط


١٦

)مثال ): ١١ ١− ــكل ــليف الش ا إذاملقاب

ــان : كـــــــــــــــــβχ χδ βδ

فأي من العبارات التالية صحة ؟أكثر

( )δ ٦٠β ° ( )βχ δ ( )χ٦٠δ ° ( )α β δ :احلل

نعيد الرسم وفق الشـروط املعطـاة يف السـؤال أي βχ: وفق الشرط χδ βδ

من الواضح من الرسـم هـــو أطـــول βδأن

ضلع باملثلث وبالتايل نسـتبعد وبالتـايل . يقابله أكـرب زاويـة يف املثلـث

. βاخليار

ــا أن ــن الشــكل يتضــح لن βوم δ . ــايل وبالت δ ، χن ابقي لدينا اخليار . αنستبعد اخليار

ومن الشكل يتضـح لنـا أن كـال مـن الـزاويتني

،β δ ــن ــل م ــارين ( °٦٠ أق ــن اخلي ) δ ، χم

ب أن يكون هناك إجابـة واحـدة فقـط ولكن جي

β: ومبا أن . صحيحة δ فإن الزاوية اليت جيـب

أي أن . δهــي الزاويــة °٦٠أن تكــون أقــل مــن

٦٠° δ .χ اإلجابة الصحيحة

) مثال ): ١٢ ١− يف الشكل أدناه

قارن بني

χδ سم١٠

:احلل :يف الرسم املعطى هناك مالحظتان مها

أو °٦٠وهي رمبـا °٤٠الزاوية املرسومة أكرب من ٧٠° .

βδ βχ ــرغم أن الطــول املعطــى علــى ال

. سم ١٠لكل منهما اخلطوة األوىل للحل هي : إذا

إعــادة رســم الشــكل يف الشـــكل كمـــا ااور

واضح من الشكل بعد إعادة رمسه بشكل أقـرب للشكل الصحيح بأن نما يكو .δ الصحيحة اإلجابة


١٧

)مثال ): ١٣ ١− يف الشكل أدناه

قارن بني

٤٥° ε : احلل

أول خطــوة هــي إعــادة يف الشكل الرسم كما

نالحــظ مــن اــاور ، الرسم والذي هو قريب

٤٥ε :جدا من الرسم احلقيقي أن °

.δ اإلجابة الصحيحة هي

١، ٢١٢٣٠

χκ = κδ κδ = βχ

κχ = βχ∴

° =ε⇐

∵

٤٥ ٣٠ ٤٥ε ° ⇐ ∵

التغيير في الشكل المعطى ٤

أحيانــا قــد يكــون مــن املناســب تغــيري الشــكل املعطى ، مبعىن أنه لو أعطي الرسم علـى القيـاس فنحتاج إىل إعادة رمسه بطريقة مبالغ فيهـا حـىت

أي يكــون الرســم لــيس علــى (تتضــح الصــورة يسهل علينـا إجيـاد املطلـوب كمـا يف ل ) القياس

.األمثلة التالية

)مثال ): ١٤ ١− يف الشـــكل

ااور

قارن بني

αδ βχ

:احلل ألنـه مل ( الشكل املعطـى مرسـوم علـى القيـاس

وصعب املقارنة ) عكس ذلك دب عليه ما يفي يكتمن الشكل مباشرة ، ألن طويل الضلعني املطلـوب

لـذا جيـب . ن ااملقارنة بينهما يف الشـكل متسـاوي إعادة الرسـم ولكـن لـيس علـى القيـاس حبيـث

β أصغر بكثري من الزاوية αتكون الزاوية كمــا يف الشــكل

واضح من ااور

βχأن الشكل αδ

δة حاإلجابة الصحي

٢٤= βχ= κδ


١٨

)مثال ): ١٥ ١− ااوريف الشكل

قارن بني

٤٥° ε :احلل

أعد الرسم بشكل مبالغ فيه حبيث

χδيكون βχ أعالهيف الشكل كما

٤٥ε: ن الشكل اجلديد أن واضح م ° δاإلجابة الصحيحة

) مثال ): ١٦ ١− ااوريف الشكل

قارن بني

ε λ :احلل

ميكننا إعادة رسم الشكل ، بأي طريقة بشـرط افظ على نفس قيـاس الـزاويتني املعطـاة يف أن حن

λفإذا كان . الرسم = ε كما يف الرسـم كما يف الرسم نياملعطى فيجب أن يكونا متساوي

:أدناه

يف الشكل كذلك و

ااور

وبالتــايل نســتنتج أنــه ال يكفــي الرســم املعطــى للمقارنة ، أي ال توجد معلومات كافية

αجابة الصحيحة اإل


١٩

)مثال ): ١٧ ١− يف الشـــــكل

ااور

قارن بني

ε λ :احلل

الرسم ليس علـى القيـاس ، نعيـد رسـم الشـكل بالسؤال إال شرط التـوازي د ال يوج حيث و .السابق

:فإنهعليه الذي جيب احملافظة ميكننـــــا حتريـــــك املســتقيم اآلخــر ، مــع . احملافظة على الشـرط

ــه ــد أن ــايل جن ال. وبالت ميكن املقارنة بني

معلومات كافيةد ألنه ال توجλε، طويل αاإلجابة الصحيحة .

كل ٥ ى الش تقيمات عل ض المس افة بع إض معطى الستنتاج المطلوبال

املسـتقيمات أو إلضـافة بعـض أحيانـا قد حنتـاج علـى الشـكل املعطـى للوصـول القطع املستقيمة

.للمطلوب

)مثال ): ١٨ ١− اـــاوريف الشـــكل

βκχδمســــتطيل رسم داخل الدائرة الـيت

، إذا كانκمركزها ٣طول قطره = βχ فما مساحة الدائرة ؟سم

:احلل :دعنا نفكر قليال

الرســم مرســوم علــى القيــاس لعــدم وجــود : أوال .مالحظة تفيد بعكس ذلك

حىت نوجد مسـاحة الـدائرة يلزمنـا معرفـة :ثانيا قطار املسـتطيل متسـاوية اآلن أ . Ωنصف القطر

⎡κولنرسم القطر اآلخر ⎤δ⎣ ⎦

كما فيكون الشكل يف الشكل ااور

: نصف قطر الدائرة

٣ = κ = Ωδسم

٢٩π مساحة الدائرة ∴ = Ωπ ٢ سم=


٢٠

)تدريب ): ٤ ١−

ــكل يف الش ااور ، مـا

مســـــــاحة αβχδ؟

:احلل

هنالـك صـيغة رياضـية تسـاعدنا دمبا أنه ال يوج على إجياد مساحة الشكل أعاله ، فسوف نضيف لــه بعــض القطــع املســتقيمة حــىت حنصــل علــى

:أشكال معروفة مساحاا كالتايل

+ βχδ مســـاحة =αβχδاآلن مســـاحة

.αβδمساحة

١ =βχδمساحة ٢

γβ × χδ

١٢

= × × ٢ سم=

١ =αβδ مساحة ٢

ωβ × αδ

١٢

= × × ٢ سم=

=مساحة + = αβχδ٢ سم

يمة على الشـكل حبيـث ميكنك رسم قطع مستق

:يكون بالصورة التالية

=وتكون مساحة الشكل املعطى

: ناقصــا مســاحيت املثلــثني ϖκχδمســاحة βχκ ، ϖβα


٢١

) تدريب ): ٥ ١−

اوراـــيف الشـــكل

αβχδ رمسنـــا ، ربعي دائرتني α،مركزيهما β مساحة اجلزء املظلل ؟، فما

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

١٠٥ ٢

٢ ٥ ٢٣ ٢

π − δπ − χπ − βπ + α

:احلل

=مساحة املستطيل × ٢ سم=سـاحة نصـف دائـرة م= ربعـي الـدائرتني امساحت

) سم٢نصف قطرها )٢ ١٢ ٢٢

π = π ٢ سم=

−مسـاحة املسـتطيل = مساحة الشـكل املظلـل مساحة نصف الدائرة

−مساحة الشكل املظلل =

− ٢ سم= .....اإلجابة الصحيحة

)مثال ): ١٩ ١− ــكل يف الشـــــــــــ

ــل ،مت αβχδاملقاب إىل ثالثـة ضلعه تقسيم

فما . وية أجزاء متسانسبة مساحة اجلزء املظلل إىل مسـاحة اجلـزء هي

غري املظلل ؟

( )δ ١٩

( )β١٦

( )χ١٨

( )α ١٤

:احلل مهمـا ε علـى املـتغري دحيث أن النسـبة ال تعتمـ

.ε=١كانت قيمته ، لذا نفرض أن ٢٩مساحة املربع ٣=

اجلزء املظلل عبارة عـن مربـع طـول εضلعه

=١مساحته مساحة اجلزء غري املظلل

مساحة اجلزء املظلل − مساحة املربع =٨مساحة اجلزء غري املظلل∴ ١ ٩= − =

= اجلــزء املظلــل

ــل ــري املظل اجلزء غ١٨



٢٢

) تدريب ): ٦ ١−

يف اــاوريف الشــكل αβχδ ــا ، رمسنــ

دائرة مركزها مركـز χγأوجد . κاملربع ( )( )( )( )

١

٢ ٢

٢ ٢ ٢

١ ٢

δ

∂ − χ

− ∂ β

− ∂ α

:احلل ]نكمـــل رســـم قطـــر املربـــع ]αχ مث ،

]نرسم ]ϖπ αδ⎡ ⎤⎣ ااوركما يف الشكل ⎦

αχδ ــابق متطـــــــون ــلعني فيكــ الضــ

٢ ٢∂ = αχ

١٢

= αχ = κχ ∴

=طول قطر الدائرة πϖ = = نصف قطر الدائرة ∴ γκ =

γκ − κχ = γχ ∴− =

..........اإلجابة الصحيحة

ال تعمل أآثر مما هو مطلوب منك٦

قصــد ــذا العنــوان ، بأنــه جيــب عليــك احلــل ن واألمثلة التالية توضح ذلك. بأفضل وأقصر الطرق

) مثال ): ٢٠ ١−

): إذا كان )٢٠ ٧ ٣ ٥= −ε٨فأوجد ٣−ε؟ :احلل

:يتبادر إىل الذهن احلل املعتاد التايل ( )٢٠ ٣٥ ١٥ ٢٠ ٧ ٣ ٥

٥٥ ١٥٥٥١٥١١٣

= −ε ⇐ = −ε

=ε

=ε

=

١١٨٣

− ٣× ٨ ٣

٨ ١١

٣

= −ε ∴

− =

=

وهو حل صحيح بالتأكيـد ولكنـه قـد يسـتغرق لـذلك . بعض الوقت الذي أنت حباجة ماسـة إليـه

دعنا نفكـر قلـيال يف املطلـوب وكيـف ميكـن .الوصول له

٥اقسم الطرفني يف املعادلة املعطاة على

( )٤ ٧ ٣ ٢٠ ٧ ٣ ٥= −ε ⇐ = −ε ٨حىت حنصل على ٣−ε مـن الطـرفني ١ نطرح :يف املعادلة أعاله

٣ ٨ ٣ ٤ ٧ ٣= −ε ⇐ = −ε .وهو املطلوب


٢٣

)مثال ): ٢١ ١− ٤ وحاصل ضرما يساوي ١٢ عددان جمموعهما

أوجد جمموع مقلوب العددين ؟ :احلل

:الطريقة املعتادة هي كالتايل =εنفرض أن العدد األول

=λنفرض أن العدد الثاين :نكون املعادلتني

٤ ،١٢=λε =λ+ε

ــو ــويض ، س ــة التع ــتخدام طريق ــل وباس ف تصبالتأكيد أن مل ترتكب أي خطأ فسوف تتوصـل

:للقيم التالية ٢ ٤ ٦

٢ ٤ ٦

∂ ± =ε

∂ ± =λ

. مث توجد مقلوب هذين العددين مث حاصل مجعهما . وهذه طريقة طويلة وشاقة دعنا نفكر بطريقة أخرى

١: املطلوب هو ١+λ ε

١: ولكن ١ε+λ = +λε λ ε

٤: ومبا أن ،١٢=λε =λ+ε ١٢ ١ ١٣٤

= = + ∴λ ε

λε، املطلوب ليس القيمة النهائية لـ الحظ أن

.ولكن املطلوب جمموع مقلوبيهما

)مثال ): ٢٢ ١− اـــاوريف الشـــكل

ــدتان ــان متحــ دائرتــن باملركز ، وتبتعدان ع

١٠بعضهما مبقدار الفرق بني حميطي هاتني الدائرتني ؟ ما. وحدات

:احلل :الطريقة املعتادة هي كما يلي

نوجد قطري الدائرتني ، ومن مث نوجد حميطيهمـا .وأخريا نوجد الفرق بينهما

ولنفرض أن نصف قطر الـدائرة الصـغرى يسـاوي ε ــدائرة الكــربى ــر ال ، فيكــون نصــف قط

١٠+ε = ) حميط الدائرة الكربى ∴ )١٠ ٢π +ε =

٢πεحميط الدائرة الصغرى = :الفرق بني حميطي الدائرتني

( )٢ ١٠ ٢٢٠

πε −π +ε =π =

. هو املطلوبوهذا

)يف املثال )٢٢ السـابق احتجنـا جهـد ووقـت −١

ولكن لو فكرنا قليال فسوف . للوصول للمطلوب :كما يلي نصل للمطلوب بدون مشقة

ختيل أن الدائرة الصغرى بدأت تصـغر حـىت صـار وبالتايل يصـبح نصـف قطـر . نصف قطرها صفر


٢٤

وحتـول اآلن الفـرق . وحـدات ١٠الدائرة الكربى بني حميطي الدائرتني إىل حميط الدائرة الكربى

٢٠πوهو

)مثال ): ٢٣ ١− : إذا كان

١٧ ٣ ٧=λ +ε ١٩، و ٧ ٣=λ +ε . فماλ، : ينهو الوسط احلسايب للمقدار ε؟

:احلل λ، : ين الوسط احلسايب للمقدار ε؟

هو ٢

λ+ε.

الطريقة املعتادة هي حـل نظـام املعـادلتني ومـن مث :ومها λε،إجياد قيميت ٣١٢٠

=ε

٤١٢٠

=λ

٤١ ٣١٢٠ ٢٠

٢ ٢٩٥

+ λ+ε= ∴

=

السؤال السابق مل يكن املطلوب فيه إجيـاد الحظλ،قيميت ε د أوجدنا على منط تفكري معتا تعودناألننا ولكن

.قيمتيهما

:دعنا اآلن نفكر بطريقة أخرى :جبمع املعادلتني جند أن

٣٦ ١٠ ١٠=λ +ε : جند أن ١٠وبقسمة الطرفني على

٣٫٦ =λ+ε ٣٫٦٩ ٣٦

٥ ٢٠ ٢ ٢λ+ε= = = ∴

) مثال ): ٢٤ ١−

٩ عمل حممـد مـن السـاعة صـباحا وحـىت ٤٥:١٢الساعة مساء ، وعمل فهـد مـن السـاعة ١١:

٩ ١٢ صباحا وحىت الساعة ١١: . مساء ٤٥: قارن بني

عدد الدقائق اليت عملها حممد

عدد الدقائق اليت عملها فهد

:احلل الطريقة املعتادة هي حساب الدقائق اليت استغرقها

. نة بينهما كال من الرجلني واملقار وقـت يف مثـل هـذه املسـائل ، كولكن ال تسـتهل

فكل املطلوب منـك معرفـة أيهمـا اسـتغرق وقـت أطول ، ومبا أن فهد بدأ مبكـرا وانتـهى متـأخرا مقارنة مع حممـد فهـو بالتأكيـد الـذي اسـتغرق

.دقائق أكثر يف العمل χاإلجابة الصحيحة


٢٥

دات في السؤالانتبه للوح٧

يف الغالــب تكــون الوحــدات املعطــاة يف الســؤال ختتلف عـن الوحـدات يف اإلجابـة ، لـذلك جيـب

غالبا . ووضع خط حتت املطلوب االنتباه للمعطيات حيتوي السؤال على إجابـة خاطئـة بـنفس الوحـدة

اليت أعطيت بالسؤال

)مثال ): ٢٥ ١− السـاعة ، كـم دقيقـة / م ل ك ٤٨ سرعة سيارة

كم ؟٣٢حتتاج هذه السيارة لتقطع مسافة

( )δ ٢٣

( )β٤٠

( )χ٣٢

( )α ٢٤٠٠

:احلل

= السرعة

الزمن ــافة املسـ

:يتبادر إىل ذهنك مباشرة سهولة احلل فيكون ٢ ٣٢٣ ٤٨٢ أي أن السيارة سوف تستغرق =

٣ سـاعة

وهـذه ( δطلوبة ، وختتار اإلجابـة لقطع املسافة امل ولكـن جيـب االنتبـاه ) . الوحدة املعطاة بالسـؤال

.وهي الدقائق ، للوحدات املطلوب فيها الناتج :حنول الساعات إىل دقائق كالتايل

٢٠٤٠ ٦٠= ٢٣

β)اإلجابة الصحيحة ( دقيقة×

لو كان املطلوب بالثواين فإن اإلجابـة الصـحيحة

.αهي

) مثال ): ٢٦ ١− دخل هيثم يف مسابقة القفز الرياضـي ، علـى أن

قفزات تزيد كل واحدة منها على املتر، ١٠يقفز ــال ــى أن ين ــة ، ٥عل ــزة ناجح ــاط لكــل قف نق

ابقة ونقطتان لكل قفزة خاسرة ، ويف ايـة املسـ ــثم ــزات ٤١مجــع هي ــدد القف ــة ، كــم ع نقط

اخلاسرة ؟

( )δ ١٠ ( )β٥ ( )χ٧ ( )α ٣ :احلل

بـأن املطلـوب هـو جيب االنتباه يف هذا السـؤال ، ، وهو ما جيب أن نتذكره عدد القفزات اخلاسرة

.ونبحث عنه :لنفرض أن

=εعدد القفزات الناجحة −١٠εعدد القفزات اخلاسرة =

: من املعادلة εنوجد قيمة ( )٤١ ١٠ ٢ ٥

٤١ ٢٠٢ ٥٢٠ ٤١ ٣

٢١ ٣٧

= ε− +ε=ε − +ε

− =ε=ε=ε

الحظ بأن الذي حصلنا عليـه هـو عـدد القفـزات وهو لـيس املطلـوب يف السـؤال ، علـى . الناجحة

.الرغم بأنه كان من ضمن اخليارات ٣ عدد القفزات اخلاسرة ٧ ١٠= − =

.αصحيحة اإلجابة ال


٢٦

فكر بدون آلة حاسبة٨

أداء اختبار القـدرات يف يف استخدام اآللة احلاسبة الوقت الراهن غري مسموح به ، لذلك جيب التعـود

.على تنمية مهاراتك يف احلل بدون اآللة احلاسبة

) مثال ): ٢٧ ١−

( )٣٧ ٣٫٧٥ ٢∂ + ×

( )δ ٧ ( )β٢٨ ( )χ١٤ ( )α ٣٥

:حلل ا :نستخدم التقريب فنجد أن

٦ ٦ ألن ∂٣٧ ٣٦= ∂

٤ ٣٫٧٥ ( ) ( )١٤ ٦ ٤ ٢ ٣٧ ٣٫٧٥ ٢= + × ∂ + × ∴

.χاإلجابة الصحيحة

)مثال ): ٢٨ ١− ٢Ξإذا كانــــت = ε فمــــا قيمــــة املقــــدار

( )( )١ ١−ε +εε ε

؟

( )δ ١ ( )β٢ ١∂ +

( )χ١٫٥ ( )α ٢ ٢∂ + :احلل

ليس هناك حاجة السـتخدام اآللـة احلاسـبة ، إذا كنت تتـذكر أن املقـدار املعطـى هـو فـرق بـني

:مربعني أي أن

( )( )٢٢١ ١ ١

١١٫٥ ٢٢

− ε = −ε +εε εε

= − =


) مثال ): ٢٩ ١− ، اشترى هدية رياال ١٥٠ ميلك حممد مبلغ وقدره

مبقــدار آلــة حاســبة مــن املبلــغ ، و⊇٥مبقــدار

كم املبلغ املتبقي معه؟. من املبلغ ⊇٨٥ :احلل

:معظم الطالب سوف يفكرون بالطريقة التالية ١٢٧٫٥ اآللةمثن ١٥٠ ٠٨٥= × ℜ رياال=

٧٫٥ة مثن اهلدي ١٥٠ ٠٫٠٥= × رياال=١٣٥مقدار ما أنفق ٧٫٥ ١٢٧٫٥= + رياال=١٥املبلغ املتبقي ١٣٥ ١٥٠= − . رياال=

وكل خطوة من اخلطوات السابقة بعـض الطـالب سوف حيتاجون لآللة احلاسبة من أجل السـرعة يف

مسموح ولكن حيث أن اآللة احلاسبة غري . الوقت ا فيجب أن نفكر بطريقة عملية تسـتهلك أقـل

:كالتايل وذلك وقت ممكن ⊇٩٠نسبة ما أنفقه حممد على الشراء =

⊇١٠املتبقي معه من املبلغ نسبة = ١٥ املبلغ املتبقي ∴ ١٥٠ ٠٫١٠= × .رياال=


٢٧

ضع قائمة من الحلول المحتملة٩

ويف ) ؟... كم عـدد ( تكون صيغة السؤال أحيانامثل هذه األسئلة مـن املناسـب جـدا وضـع قائمـة

باحللول احملتملة ، ومن مث اختيار احلل األنسب

)مثال ): ٣٠ ١− يحة املوجبة واليت أصـغر كم عدد األعداد الصح

عند قسمتها علـى الباقي نفسه واليت هلا ١٠٠من .٥ أو ٧ كال من

:احلل يف مثل هـذا املثـال ، جيـب وضـع مجيـع احللـول املمكنــة ، ومــن مث اختيــار األنســب منــها وذلــك

:كالتايل وجد أوال مجيع األعداد الصـحيحة والـيت أصـغر ن

يساوي الصفر٧ ، ٥ وباقي قسمتها على ١٠٠من ٧٠،٣٥: فنجد األعداد ،٠

ــوب لألعــداد الســابقة يضــناآلن ــاقي املطل ف الب :كالتايل

و ،٥د الصحيحة اليت بـاقي قسـمتها علـى األعدا

٧١،٣٦: يساوي الواحد هي معا ٧ ،١

٧٢،٣٧ : ٢الباقي ، ٢

٧٣ : ٣الباقي ،٣٨ ، ٣

٧٤ :٤الباقي ،٣٩،٤

عدد صحيح يكون البـاقي لـه دوحيث أنه ال يوج ، لـذلك ٥ عند قسـمة العـدد علـى ٥أكرب من

.نتوقف

ا عـدد ١٥وبالتايل عدد األعداد اليت وضعناها هي وبالتايل . ا موجب ا صحيح اولكن الصفر ليس عدد .ا عدد١٤فإن عدد األعداد يساوي

) مثال ): ٣١ ١−

٣٠٠ ثالثة أعداد صحيحة موجبة حاصل ضـرا فما هو أقل جمموع . ٥ دإذا كان أحد هذه األعدا

للعددين اآلخرين ؟ :احلل

، فـإن حاصـل ٥مبا أن أحـد هـذه األعـداد هـو ــاوي ــرين يسـ ــددين اآلخـ ــرب العـ ألن ( ٦٠ضـ

٣٠٠٣٠٠ ٦٠ ٥ ٦٠٥

= × ⇐ ٦٠، حنلل العدد ) =

كما يف اجلـدول δ ، χإىل حاصل ضرب عددين :التايل

δ χ χ+ δ ٦١ ٦٠ ١ ٣٢ ٣٠ ٢ ٢٣ ٢٠ ٣ ١٩ ١٥ ٤ ١٧ ١٢ ٥ ١٦ ١٠ ٦

.١٦أقل جمموع للعددين اآلخرين هو العدد : إذا


٢٨

استفد من الرسوم البيانية المعطاة بالسؤال١٠

املرسومة على شبكة تربيع ، هي لبعض األشكا أشكال ميكن االسـتفادة منـها وهـي يف الغالـب

:دقيقة فمثال الشكل التايل

:ميكننا نستنتج منه مايلي

ميـل ل أضالع املثلث ، حميطـه ، مسـاحته ، اأطو .أي ضلع فيه

) تدريب ): ٧ ١−

يف الشكل أدناه

.αβχδأوجد مساحة الشكل الرباعي

( )δ ١٩٫٥ ( )β٢٥٫٥ ( )χ٢١ ( )α ٢٧ :احلل

:من الشكل السابق جند أن القياسات كالتايل

ــه ــرف فيـ ــبه منحـ ــن شـ ــارة عـ ــكل عبـ الشـ

[ ]αβ χδ⎡ ⎤⎣ ⎦

مساحته ( )

٢χδ + αβ × κδ

=

( )٢

٢

+ × =

= وحدة مربعة=

.......اإلجابة الصحيحة

تستخدم الطريقة السابقة إذا كنت تتذكر قانون إجيــاد مســاحة شــبه املنحــرف ، ويف حالــة عــدم

واملستطيل نيثلثمن امل تذكره ، أوجد مساحة كل الشكل ، مث أمجـع مسـاحاا جتزئةالناجتة من

.لتحصل على مساحة الشكل كامل


٢٩

تعامل مع بعض الرموز الغريبة بالسؤال١١

يف بعض املسـائل تتعـرض علـى تعريـف لعمليـات .رياضية غري العمليات املعتادة

) مثال ): ٣٢ ١−

ــة ــا العملي إذا عرفنλ⊗ε ــة : بالصــورة التالي( )١+ λ×ε =λ⊗ε . ٢: فأوجد ٣⊗

: احلل ( )١ ٢ ٣ ٢ ٣١ ٦

٧

+ × = ⊗+ =

=

)مثال ): ٣٣ ١−

،األشــكال متثــل أرقامــا صــحيحة يف ، :عملية اجلمع التالية ٤ ٥

٨ ٦٩ ٩٦ ٩ ٦

+

+أوجد حاصل اجلمع + . : احلل ، متثل أعداد صـحيحة أكـرب أو تسـاوي ،

.١٠الصفر وأقل من ٥:من العمود األول جند أن ٦ ٦ ٥= ⇐ = + +

: من العمود الثاين جند أن

١ ٩ ٩ ٨ ١= ⇐ = + + + :أن من العمود الثالث جند

٢ ٦ ٩ ١٤= ⇐ = + + + ٨ ٥ ١ ٢= + + = + + ∴

الحظ عملية اجلمع املعتادة بعـد اسـتبدال الرمـوز :باألعداد

٤ ١ ٥٢ ٨ ٦٩ ٩

١

٦

١

٥١ ٦ ٩

+


٣٠

أمثلة متنوعة

)مثال ): ٣٤ ١− مسـاحة اـاور يف الشكل

ــاوي ــدائرة تس ــ١٢ال دة وحــة ــا. مربع ــاحة م ــي مس ه

.املنطقة املظللة ؟

:احلل ننعيد رسم الشكل حبيث يكون أقرب مـا يكـو

كما يف الشكل ااور للشكل الصحيح واضح مـن الشـكل أن

ــمت إىل ــدائرة قس ٨ال. أجــــزاء متســــاوية وبالتايل تكون مساحة

٣: اجلزء املظلل تساوي ١٢٢ ٨ مربعة وحدة=

١نسبة اجلزء املظلل ٤٥

٨ ٣٦٠= من الدائرة =

٣٣فتكون املساحة ١٢٢=

٢١٨

× وحدة مربعة=

) مثال. ): ٣٥ ١− ( ) ( )٠٫٥٠١٢ ١٩٨٫٢٨

٢٫٠٢×

( )δ ٢٥ ( )β٧٥ ( )χ٥٠ ( )α ١٠٠ :احلل

من اخلطأ إجراء العمليـات احلسـابية ، والسـؤال املطلوب فيـه إجيـاد القيمـة التقريبيـة للمقـدار ،

:لذلك نقرب املقدار بالصورة التالية

املقدار١ ٢٠٠

١٠٠ ٢٥٠٢ ٢

×= =


)مثال ): ٣٦ ١− ٤٦: إذا كانت ٢٫٣=λ فإن =λ

( )δ ٢ ( )β٩٢٫٦ ( )χ٢٠ ( )α ٢٠٠ :احلل ألنه يوجد β يسارع الطالب إىل اختيار اخليار رمبا

لة عشرية ، ولكن هذا خطـأ وبالتقريـب فيه فاص

٤٦٢٣جند أن ٢

= λ وهو قريب من اخليار χ

.

٤٦٠ ٤٦٢٠٢٣ ٢٫٣

= = =λ



٣١

)مثال ): ٣٧ ١− اـــاوريف الشـــكل

ثالث دوائر متماسة مـن ــر اخلــارج ونصــف قط

فما . سم ١كال منها ؟مساحة اجلزء املظلل احملصور بني هذه الدوائر

:احلل نرســم أنصــاف األقطــار للــدوائر الــثالث حبيــث

تشكل لنا مثلث متطابق األضالع كما يف طـول ااورالشكل

ــاوي ــث يس ضــلع املثل

. سم ٢ مســاحة املثلــث نوجــد

:كما يلي

ة املثلثمساح٢٣ ٢٣

٤∂∂ = ٢ سم =

=مساحة املنطقة املظللة ×٣مساحة املثلث . مساحة القطاع الدائري −

مبا أن املثلث متطـابق األضـالع فـإن قيـاس كـل .°٦٠زاوية فيه تساوي

١نسبة القطاع الدائري ٦٠٦ ٣٦٠= من الدائرة =

فتكون مساحة القطاع الواحد

( )٢١ ١١٦ ٦

π =π × ٢سم =

مساحة ثالث قطاعات ٢١

٢ ٦π =π ٣× ٢سم =

٣ املظللة مساحة املنطقة٢π − ∂ .٢ سم=

) مثال ): ٣٨ ١− : صندوق حيتوي على أربع كرات خمتلفـة اللـون

ــاء ، صــفراء ، خضــراء ســحبنا . محــراء ، زرقالكــرات األربــع عشــوائيا مــن الصــندوق ، فــإذا

أن نسـحب كانت أول كرة محراء ، فما احتمال ؟الصفراءالكرة الزرقاء قبل

:احلل نضع قائمة باحللول احملتملة ، و لنرمز لكل كرة

.بأول حرف فيها فراغ العينة أللوان الكرات املتبقيـة بعـد اسـتبعاد

:الكرة احلمراء كالتايل ، ص ز خ ، خ ص ز ز ، ص خ ز خ ص ،ز ص خ .خ ز ص

السـت الـيت يوجد لدينا ثالث حاالت من احلـاالت .الصفراءيكون فيها سحب الكرة الزرقاء قبل

الصـفراء احتمال سحب الكـرة الزرقـاء قبـل ∴١ ٣٢ ٦= =


٣٢

)تمارين )١ ١−

أسئلة االختيار من متعدد: أوال

منـها أربعـة ا يلي عدد من األسئلة ، يتبع كل فيماختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات

ظلل حرف املقابل هلا يف ورقة اإلجابة كتــب يف ١٠ حممــد أقــر. ١٤٢٤γ يف عــام )١

١٤٢٥γويف عــام . كتــب يف األدب ٧التــاريخ و تــه لكتــب اء األدب ضــعف قرا حممــد كتبــأقــر

ــاريخ ــت أن . الت ــالل ⊇٦٠إذا علم ــه خ ــن قرأت مفكم كتـاب تـاريخ . العامني هي كتب يف األدب

؟١٤٢٥γ خالل العام أوأدب قر

( )δ ١٦ ( )β٣٩ ( )χ٢٦ ( )α ٤٨

اـاور يف الشكل )٢

ــدائرة ــر ال ــف قط نصما هـو . سم ١٠يساوي

]ل القطــر طــو ]βχ ؟βκχδيف

( )δ سم∂٢ ( )β٢ سم∂٥

( )χسم∂١٠( )α سم١٠

٣١: إذا كــان )٣ ١٣ ٥= +ε فمــا قيمــة :

٣١ ٥+ε ؟∂

( )δ ١٣∂ ( )β١٣ ( )χ٧ ( )α ١٦٩

ــاه ، )٤ ــكل أدن يف الش

مربـع أحــد رؤوســه علــى الدائرة ، فـإذا علمـت أن

فما . ٨مساحة املربع مساحة الدائرة ؟

( )δ ٨π ( )β١٦π ( )χ٢ ٨∂π ( )α ٣٢π

اــاوريف الشــكل )٥

αβχδ رسم داخلـه γαβ ــابق متطــــــ فإذا كان . األضالع

٢ = χδ فأوجد مساحة املنطقة املظللة.

( )δ ٣∂ ( )β ٣ ٢ ٤∂ −

( )χ ٣ ( )α ٣ ٤∂ −

٦( ( )٣ ٥١٫٠٠٠١٧ ٣٤≈ ∂ −+

( )δ ١− ( )β ١ ( )χ٠ ( )α ٢


٣٣

يف الشـــــــــــكل )٧ βχδاـــــــــاور

متطــابق األضــالع رســم داخل دائرة طـول نصـف

. ســـــم ٤قطرهـــــا .γαأوجد

( )δ ١ ( )β ٢ ( )χ٣∂ ( )α ٣ ٤∂

إذا كان جمموع ما مع نايف من قطـع نقديـة )٨

فـإذا . ف ريال والريـال ريال ، من فئيت النص ١٣٢كان عدد فئة النصف ريال ضعف عدد النقود فئة

فما عدد النقود اليت من فئة نصف ريال ؟ . ريال

( )δ ٨٨ ( )β٤٤ ( )χ٦٦ ( )α ٣٣

ــكل )٩ ــاوريف الشــ اــ

[ ] [ ]،βχ χδ ، وتران يف

٥ الدائرة اليت نصف قطرها فما هو جمموع حاصل . سم

طوليهما ؟

( )δ ١٥ ( )β١٠π ( )χ٥π ( )α ال ميكــــــن

معرفة ذلك

٢ صرف سليم )١٠٥

من مـا لديـه مـن نقـود ، مث

١أعطى ٣

الباقي ألخته غيداء ، مث قسـم مـا بقـي

فـأي مـن . معه على أخويه ماجد وطالل بالتساوي الكسور التالية ميثل ما ناله طالل من النقود ؟

( )δ ٣٥

( )β١٣

( )χ٢٥

( )α ١٥

إذا كانت الكتب اليت لدى سهيل تزيد بستة )١١

كتب على ثالثة أضعاف مـا لـدى أختـه سـهى ، بـا كتا ٣٨وجمموع ما لديهما مـن كتـب كـان

سهيل ؟ كتابا معفكم

( )δ ٢٢ ( )β٢٨ ( )χ٢٥ ( )α ٣٠

جهاز ،ا باع صاحب حمل أجهزة كهربائية إذ )١٢

مث عمـل . ⊇٢٠ريال ، وكان رحبـه ٢٤٠٠مببلغ ختفيضات على ذلك اجلهاز حبيـث يكـون رحبـه

فبكم يبيع ذلك اجلهاز مستقبال يف موسـم . ⊇٨ التخفيضات ؟

( )δ ٢٢٠٠ ( )β٢١٠٠ ( )χ٢١٦٠ ( )α ١٩٦٠


٣٤

لتـرا مـن الـبرتين لقطـع ٥٠ تستهلك سـيارة )١٣

لتـرا ٦٠وتسـتهلك . كم يف الطريق السـريع ٣٠٠فكم لترا تسـتهلك . كم داخل املدينة ٢٧٠لقطع

كــم منــها ٣٦٠لقطــع مســافة إمجاليــة قــدرها

كم داخل املدينة ؟٩٠

( )δ ٧٥ ( )β٤٥ ( )χ٦٥ ( )α ٣٥

عـدديا دائرة حميطها يساوي ضعف مساحتها ) ١٤ :فإن مساحتها تساوي .

( )δ ٢ ( )β٢π ( )χπ ( )α ٤π

إذا كان ضعف جمموع ثالثة أعـداد متتاليـة )١٥

فما العدد األكرب منها ؟ . ١٢يساوي

( )δ ٥ ( )β٣ ( )χ٤ ( )α ١

) إذا كانت )١٦ )٢٢٥ ١ ٢ ،٠= −ε ε . فما

؟٢εقيمة

( )δ ٤− ( )β٢ ( )χ٢− ( )α ٤

إىل ١كرة مرقمـة مـن ٣٠ وضع يف كيس )١٧

فما احتمال أن . عشوائيا منه مث سحب كرة . ٣٠ أو ٤حتمل هذه الكرة رقما يقبـل القسـمة علـى

؟٦

( )δ ١٥

( )β١٤

( )χ١٣

( )α ٢٥

مكعب من اخلشب مساحة سطحه اخلارجي )١٨

، نريد تقسيمه إىل مكعبات صـغرية ٢ سم ٢٤٠٠

كم مكعبـا . ٢ سم ١٥٠ح كل منها مساحة سط ميكننا عمله إذا مل نفقد أي جزء أثناء التقطيع ؟

( )δ ١٦ ( )β٦٤ ( )χ٢٤ ( )α ١٠٠

٥εإذا كانـــت )١٩ =λ . فـــإذا علمـــت أن

فكـم الزيـادة يف . ٦ تساوي εالزيادة يف قيمة ؟λقيمة

( )δ ٥ ( )β١١ ( )χ٦ ( )α ٣٠


٣٥

أسئلة املقارنة: ثانيا

يف كل من األسئلة التالية : ليمات أسئلة املقارنة تعصيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف

ظلـل يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث :ورقة اإلجابة احلرف


χ ( أصــغر الصــيغة يف العمــود األولإذا كانــت . يف العمود الثاين امنهβ ( نيالصيغتان متساويتإذا كانت α ( كافيــة املعطــاة غــري علومــات إذا كانــت امل

.للمقارنة

٢٠(

قارن بني ٣٠عدد قواسم العـدد

الفردية املوجبة ٣٠عدد قواسم العـدد

الزوجية املوجبة ٢١(

قارن بني

( )٣ ٥١١

٣٥

١١∂

إذا كان ،χ δ تعين باقي قسمة δ على ب

.٢٣ ، ٢٢أعتمد على ذلك يف حل السؤالني ٢٢(

قارن بني

٣٣، ١٠ ٥٥، ١٠

٢٣(

α،إذا كــان βــدد ــوجبني ، ان صــحيحا ع ن مαحبيث β

قارن بني

،α β ،β α

: إذا كان٢ι − ι = ι ٠حيث ι ، عدد صحيح

زوجي٢ι + ι = ι ٠حيث ι ، عدد صحيح

فردي .٢٥ ، ٢٤أعتمد على ذلك يف حل السؤالني

٢٤( قارن بني

٦ ٥ ٢٥(

ιعدد زوجي قارن بني

١ι+ι

١ι+ι


٣٦

٢٦( :يف الشكل أدناه

قارن بني

γ α+ χ δ+ ٢٧(

:يف الشكل أدناه χβ: إذا كان βδ

قارن بني

ε λ ٢٨(

ــاليف الشــكل أ ــيمه إىل هع ــتطيل مت تقس ، مس

.مستطيالت صغرية قارن بني

العدد الكلي للمستطيالت

١٥

٢٩(

ســم مت ٤أعــاله مربــع طــول ضــلعه يف الشــكل

طول ضلع ) مربع ١٦( تقسيمه إىل مربعات صغرية . سم ١كل منها

قارن بنيالعدد الكلي

للمربعات ٣٢

الباب األول ١

٣٨

) ٢( استراتيجيات عامة بعـض اإلرشـادات الفصـل سوف نستعرض يف هذا

أسـئلة االختيـار اليت تساعدك علـى التعامـل مـع وهـذه اإلرشـادات هـي تكملـة ملـا سـبق . املتعدد

على الطالب إذا وجيب . األول بالفصل اوتعرضنا هل كان متأكد من طريقة احلل اليت يتبعها أن يقوم ا بغض النظر عن الطرق املتبعة هنـا ، فاهلـدف هو القدرة علـى تطـوير مهاراتـك يف التعامـل مـع

ولــيس تلقينــك طــرق اختبــار قــدرات الرياضــيات .بعينها

متعدد من أسئلة االختيار

أو مخـس يف اختبار القدرات ، يكون هنالك أربع ــار الصــحيح ــارات أحــدمها اخلي يف الوقــت ( خي

الراهن األسئلة املعـدة مـن قبـل املركـز الـوطين ، وغالبـا ) للقياس تتكـون مـن أربعـة اختيـارات

ــدرات يف ــارات القـ ــارات يف اختبـ ــون اخليـ تكـــاالرياضــيات ــة تصــاعديا أو تنازلي وهــذه . مرتب

من أين نبدأ ؟ وكيف ؟املعلومة تساعدنا :نستعرض بأمثلة توضيحية اإلرشاداتوسوف احلل بطريقة عكسية )١ .αتعلم مىت تبدأ باخليار )٢ استبدل املتغريات بأرقام )٣ اختر األرقام املناسبة )٤ استنتج بعض املعادالت وتعامل معها )٥ التخمني الذكي )٦

الحل بطريقة عكسية ١ ، ولإجيـاد قيمـة جمهـ يستخدم هذا األسلوب يف

عرف ما هو املطلوب وكيفية الوصول له رياضيا نوولكن ترغب يف استهالك أقـل وقـت ممكـن يف

أكثـر فاعليـة تكون βباخليار والبداية . احلل إذا كان هنالـك مخـس اختيـارات فهـذا اخليـار

واهلــدف منــه اســتبعاد بعــض . يكــون بالوســط :اخليارات من احلل كما سترى من األمثلة التالية

)ل مثا )١ ٢−:

٧،٢ε،:إذا كــان الوســط احلســايب لألعــداد ؟ ε فماهي قيمة ١٢يساوي

( )δ ٩ ( )β ٢١ ( )χ١٢ ( )α ٢٧ :احلل

)ε=٢١أي نضع قيمة ( βنبدأ باخليار

٢١الوسط احلسايب ∴ ٧ ٢١٠٣+ += =

وهذا الوسط الذي أوجدناه أصغر مما هـو معطـى بالسؤال ، وبالتـايل نسـتبعد هـذا اخليـار ومجيـع

: تذكر أن ( له ألا أصغر منه السابقةاخليارات ــارات القــدرات يف الرياضــيات ــارات يف اختب اخلي

) مرتبة تصاعديا أو تنازليا αويبقى اخليار الوحيد وهو

αصحيحة اإلجابة ال

) ٢( استراتيجيات عامة .......الثانيالفصل

٣٩

١٢ مبا أن الوسط احلسايب لثالثة أعـداد يسـاوي

. ٣٦فإن جمموعها يساوي

٢٧ ٣٦ ٧ ٢= ε⇐ =ε+ + ∴

) مثال )٢ ٢−: باع صاحب قرطاسية يف اليوم األول نصف كميـة األقالم اليت لديـه ، ويف اليـوم الثـاين بـاع قلمـني

٢وبقي معه . فقط ٥

فكم عدد . من كل الكمية

األقالم بالقرطاسية ؟

( )δ ١٠ ( )β٣٠ ( )χ٢٠ ( )α ٤٠ :احلل

٣٠ أي أن عدد األقالم بالقرطاسية βابدأ باخليار وقلمني يف اليـوم ) قلم ١٥(باع نصفها باليوم األول

قلم وبقي لديه ١٧عه االثاين ، يكون جمموع ماب

.ا قلم١٣

٢هل ٥

: ؟ جنرب ١٣ الكمية تساوي

٢١٣ ١٢ ٣٠٥

≠ = ×

واضــح أن هــذا اخليــار كــبري وبالتــايل نســتبعده . α وكذلك اخليار

:χدعنا جنرب اخليار وقلمـني ) قلم ١٠(باع نصفها باليوم األول قلم ٢٠

قلـم ١٢يف اليوم الثاين ، يكـون جممـوع مابعـه . أقالم ٨وبقي لديه

٢هل ٥

: ؟ جنرب ٨ الكمية تساوي

٢٨ ٢٠٥

= )٨خمسني الكمية تساوي (×

χاإلجابة الصحيحة ) مثال )٣ ٢−:

إذا كان جمموع مخسـة أعـداد فرديـة صـحيحة ــاوي ــة يس ــذ . ٧٣٥متتالي ــو أكــرب ه ــا ه ه فم

األعداد ؟

( )δ ١٥٥ ( )β١٤٥ ( )χ١٥١ ( )α ١٤٣ :احلل

فـردي ، فإذا كـان أكـرب عـدد βيار ابدأ باخل : األخرى هي الفردية فإن األعداد ١٤٥صحيح هو

١٣٧،١٣٩،١٤١،١٤٣

٧٣٥وحاصل مجع هذه األعداد يساوي ٧٠٥≠ ٧٣٥( مبا أن الناتج أصغر من املطلـوب ٧٠٥ (

.β، αد اخليارين إذا نستبع

: ، األعداد هي χبنفس الطريقة خذ اخليار

وحاصل مجعها يساوي ١٤٣،١٤٥،١٤٧،١٤٩،١٥١

٧٣٥ χاإلجابة الصحيحة

وهو ٧٠٥ وجدنا أن اموع يساوي βيف اخليار

. ٣٠قـدار أقل من اموع املطلوب يف السـؤال مب وحيث أنه لدينا مخسة أعداد فإن كل عدد جيـب

. حىت نصل للمطلوب ٦أن يزيد مبقدار ١٥١ويكون أكرب عدد ٦ ١٤٥= + =


٤٠

( ) ( ) ( ) ( )٧٣٥ ٨ ٦ ٤ ٢= +ι + +ι + +ι + +ι +ι

١٤٣ ٧٣٥ ٢٠ ٥= ι⇐ = +ι ٨أكرب عدد هو +ι

١٥١ ٨ ١٤٣ ٨= + = +ι∴

) مثال )٤ ٢−: ريـال ٢٥٠٠٠٠إذا علمت أن جوائز مسـابقة هـي

١:٣متنح لثالثة فائزين وفقا للنسـب التاليـة :٦ فما هو نصيب صاحب أكرب جائزة ؟

( )δ ٧٥٠٠٠ ( )β١٢٥٠٠٠ ( )χ١٠٠٠٠٠ ( )α ١٥٠٠٠٠ :احلل

ة ، أي أن صــاحب أكــرب جــائزβابــدأ باخليــار ــى ــغ ١٢٥٠٠٠حيصــل عل ــال ، فيكــون مبل ري

ــاين ــخص الث ١:٢ألن ( ٦٢٥٠٠الش ٣ :٦= ( والشخص الثالث سوف حيصل على ثلـث ماحصـل

ريال ٢١٠٠٠عليه الثاين أي تقريبا اليت حصلوا عليهاويكون جمموع املبالغ املالية

٢٠٨٥٠٠ ٢١٠٠٠ ٦٢٥٠٠ ١٢٥٠٠٠= + + = ) ٢٥٠٠٠٠(وهو مبلغ أقل من املطلوب

δ ، χ ، وكذلك اخليارين βنستبعد اخليار αويبقى اخليار الوحيد وهو

.αاإلجابة الصحيحة

نقسم املبلغ على جمموع النسب ، مث نضرب الناتج

: كما يلي٦يف ٢٥٠٠٠٠ ٢٥٠٠٠٢٥٠٠٠١٠ ١ ٣ ٦

= =+ +

١٥٠٠٠٠نصيب أكرب حصة ٦ ٢٥٠٠٠= × = : رياضيا

٢٥٠٠٠ ٢٥٠٠٠٠ ٣ ٦١٥٠٠٠٠ ٦

=ε⇐ =ε+ε +ε=ε

) مثال )٥ ٢−:

):إذا كان )٢ ٥ ٢ ٣ε − =ε فإن =ε؟

( )δ ٠ ( )β١ ( )χ٣

٧ ( )α ١٠

٧

:احلل ق ،ميكنك تطبيق األسلوب املتبع باملثال الساب

: ، فنجد أن βابدأ باخليار ٣الطرف األمين = ٦الطرف األيسر = αونأخذ اخليار . βنستبعد اخليار

٣٠ =الطرف األمين ٧

=الطرف األيسر

( ) ( )٣٠ ١٥ ٢٠ ٣٥ ١٠٢ ٢ ٢ ٥ ٢٧ ٧ ٧ ٧ ٧= × = − = × −



٤١

( )٤ ١٠ ٣ ٢ ٥ ٢ ٣١٠ ٧١٠٧

ε − =ε ⇔ ε − =ε=ε ⇔

=ε⇔

إال إذا كـان السـؤال β باخليـار أال تبد جيب أن

صعب ، والطريقة اجلربية حتتاج إىل وقـت وجهـد وفيما عدا ذلك حاول . أكثر من جتريب اخليارات

.تستخدم أسهل وأسرع الطرق باحلل

αم متى تبدأ بالخيار تعل ٢ من متعدد الميكـن البـدء االختياريف بعض أسئلة

بالطريقة املستخدمة باألمثلة اخلمسـة السـابقة ، . منك حلـه رياضـيا بما يطل دال يوج ألنه بالواقع

وجنرب احلـل علـى السـؤال αلذلك نبدأ باخليار :املعطى ، وسوف نوضح ذلك باألمثلة التالية

) ثالم )٦ ٢−: ؟١٠٠١وامل األولية للعددما هو أكرب الع

( )δ ٣ ( )β١١ ( )χ٧ ( )α ١٣ :احلل

αابدأ باخليار ؟ ١٠٠١ عامل أوىل للعدد ١٣هل

١٠٠١٧٧١٣

نعم عامل أويل=


) مثال )٧ ٢−: حبيث يكون املقدار ιما هو أكرب عدد صحيح

١١٢٢ι

عدد صحيح ؟

( )δ ٢ ( )β٤ ( )χ٣ ( )α ٥ :احلل

αابدأ باخليار

هل ٥١١٢٢

عدد صحيح ؟

٥٧ ١١٢ ١١٢٢ ٣٢ ٢= .ا صحيحا وهذا ليس عدد=

β وجنرب اخليار αنستبعد اخليار

هل ٤١١٢٢

عدد صحيح ؟

٤١١٢ ١١٢٧١٦ ٢

= ذا عدد صحيح وه=

) δ ، χ( الحظ أننا مل جنرب اخليـارات الباقيـة واخليـارات ιوذلك ألن املطلوب أكرب قيمـة لــ

. ، واليت حققت احلل ٤املتبقية أصغر من

βاإلجابة الصحيحة


٤٢

) مثال )٨ ٢−: ٣ يا يلي ال يساوأي مم

٥ ؟

( )δ ٢٤٤٠

( )β٧ ٣٥ ٧×

( )χ٦٠⊆ ( )α ٧ ٣٥ ٧÷

:احلل αابدأ باخليار

٣هل ٧ ٣٥ ٥ ٧= : ؟ ال ألن ÷

٣ ١٥ ٥ ٣ ٧ ٣٥ ٤٩ ٧ ٧ ٥ ٧≠ = × = ÷

٣الحظ أن الكسر ٥

١٥ الكسر يكافئ ال ٤٩

ألنه

ــ ــر ا دال يوج ــام الكس ــربه يف مق ــدد نض ألول ع ٤٩ ملقام الكسر الثاينياويكون الناتج مساو αاإلجابة الصحيحة

عداداستبدل المتغيرات بأ ٣يوجد أحيانا يف كل اخليارات املعطاة مع السـؤال

سوف ، والتعامل معها جربيا اعدادمتغريات وليس أ ، لذلك للتعامـل ءيؤدي بالغالب إىل ارتكاب أخطا

:مع هذه املتغريات نتبع اخلطوات التالية استبدل كل مـتغري بـرقم سـهل التعامـل )١

.معهحل السؤال باألرقـام الـيت اسـتخدمتها يف )٢

.اخلطوة السابقة أوجد قيمة كل خيار من اخليـارات الـيت )٣

ــتخدمتها يف ــيت اس ــام ال ــؤال باألرق بالســة ــاهي اإلجاب ــة م ــوة األوىل ملقارن اخلط

ة حصحيال واألمثلة التالية سوف توضح اخلطوات السابقة

) مثال )٩ ٢−:

=βχ: إذا كــان δ فــأي ممــا يلــي يســاوي ، χβ ؟

( )δ δβχ

( )β٢δβ

( )χδχ

( )α ٢δβχ

:احلل =βχاختر ثالثة أعداد حتقق الشرط δ مثال :

٣ ،٢ ،٦= β =χ = δ :ذه األرقام حل السؤال باستخدام ه

٢٣

χ= β


٤٣

أوجد قيمة كل خيار باستبدال املتغريات باألرقـام )٣ ،٢ ،٦= β =χ = δ ( ملقارنة أي منها يساوي٢٣

؟

δ ( ٢ ٦١٣ ٣ ٢

δ≠ = =× βχ

).يستبعد (

χ ( ٢ ٦٢٣ ٣

δ≠ = =χ

)يستبعد (

β ( ٢ ٢

٢ ٦ ٦٣ ٩ ٣

δ= = =β

)صحيح (

α(٢٢ ١ ٦ ٦٣ ٣ ١٨ ٩ ٢

δ≠ = = =× βχ

حيث أنه ال يوجد إال إجابة صحيحة واحـدة فإـا . βتكون

.βاإلجابة الصحيحة

٢١

δ = χ⇐βχ= δβδβ÷ =β÷χ∴β

χδ δ= × = ⇐β β ββ

)تدريب ): ١ ٢−

حيحة أعــداد فرديــة صــأربعــةإذا كــان جممــوع فإن أكرب عدد صحيح من هـذه ιمتتالية يساوي

: األعداد يساوي

( )δ ١٢٤−ι ( )β٦

٤+ι

( )χ٦٤−ι ( )α ١٢

٤+ι

:احلل :اختر أربعة أعداد فردية صحيحة متتالية ولتكن

: فيكون ٧،٥،٣،١

= + + + = ι .وأكرب هذه األعداد هو العدد

=اآلن نعــوض عــن ι يف اخليــارات ويكــون ناجتـة اخليار الصحيح هو اخليار الذي يكون

=بعد التعويض عن ι :αابدأ باخليار

α (١٢٤

+ +ι= = =

β ( ٦٤

+ +ι= = =

χ ( ٦٤

− −ι= = =

δ (١٢٤

− −ι= = =

........اإلجابة الصحيحة


٤٤

ــة الصــحيحة ــة الفردي ــداد األربع أفــرض أن األع

:واملتتالية هي

٦ ،٤ ،٢ ،+ε +ε +ε ε ــا ــيكن جمموعه ول

: أي أن ιهو ٦ ٤ ٢

١٢ ٤١٢٤

+ε+ +ε+ +ε+ε = ι+ε = ι−ι =ε∴

أصغر عدد عدد وليس أكربولكن املطلوب هو١٢٦ ٦٤

٢٤ ١٢٤١٢٤

−ι+ = +ε∴

+ −ι =

+ι =

) مثال )١٠ ٢−:

ــوفر ملدرســة عــدد طالــا εمتعهــد نظافــة ي قالبــا مــن الصــابون أســبوعيا لكــل λطالبــا،الصابون هلذه املدرسة قالبا من Ψفإذا وفر . طالب

فكم عدد األسابيع الالزمة اليت يستنفذ فيها هذه الكمية ؟

( )δ Ψελ

( )βΨελ

( )χελΨ

( )α λΨε

:احلل :اختر ثالثة أعداد كما يلي

٥ املدرسـة طـالب إذا كان عدد = ε طـالب ،٢وكل طالب حيتاج إىل =λ قالبا من الصابون

املسـتهلكة بأسـبوع أسبوعيا فـإن عـدد القوالـب

١٠ ٥ ٢= =٢٠فـإذا كـان لـدينا قوالب ، × Ψ

٢٠٢تكفيهم ملـدة قالب من الصابون فإا ١٠

= =

ــام ــوض باألرقـ ــبوع ، اآلن نعـ ، ε=٥( أسـ

٢ =λ ، ٢٠= Ψ ( أي من يارات لنوجد يف اخل٢اخليارات ؟=

δ ( ٢٠ ٢٠٢ ٢١٠ ٥ ٢

Ψ= = = =× ελ

)صح(

χ (١ ٥ ٥٢٨ ٤٠ ٢ ٢٠

ε≠ = = =× λΨ

β (١٠٠ ٢٠ ٥٢ ٥٠٢ ٢

Ψε×≠ = = =λ

α (٤٠ ٢ ٢٠٢ ٨٥ ٥

λΨ×≠ = = =ε

δاإلجابة الصحيحة

باألسـبوع ا قالبـ λإذا كانت املدرسة حتتاج إىل

طالب ، فإا حتتـاج باألسـبوع الواحـد εلكل وحيث أن الكمية اليت توفرهـا . قالب λεإىل

قالب من الصابون، فإا تكفـي Ψاملدرسة هي

Ψملدة λε

.أسبوع


٤٥

يف عدادجيب التعويض باأل يف مثل األمثلة السابقة

الـيت عـداد وذلك ألنـه احتمـال األ كل اخليارات اخترناها تؤدي إىل نفس النتيجة خبيارين أو أكثر

عداد أخرى بأعدادويف هذه احلالة نستبدل تلك األ .ذلك واملثال التايل يوضح

) مثال )١١ ٢−:

ويقومـون . ε يسـاوي دهـان عدد عمال إذا كان يسـتطيع يوم ، كـم مـرتال Ψ يف مرتال λدهن ب

إذا كـان يعملـون ؟ يف يـومني دهنـه مخسة عمال .بنفس السرعة

( )δ ٥٢

λεΨ

( )β١٠λεΨ

( )χ٢٥

λεΨ

( )α ١٠εΨλ

:احلل مـرتل واحـد دهن يستطيع ا واحد أفرض أن عامال

املني يسـتطيع كـل خالل يوم واحد ، فيكون عـ مرتلني يف يومني ومخسة عمال يستطيع دهنمنهما

.. مخســة منــازل خبمســة أيــام دهــنكــل منــهم .وهكذا

اجلـدول وميكن توضيح الفرض السابق من خالل :التايل

عدد األيام عدد املنازل عدد العمال١ ١ ١ ٢ ٢ ١ ٢ ١٠ ٥

لقيماملــتغريات يف االختيــارات بــاعــن عــوض ناآلن ١: تاليةال ،١ ،١= Ψ =λ =ε مث نبحث أي منها

.؟١٠يساوي

δ( ٥٥ ١ ١ ٥١٠

٢ ١ ٢ ٢λε× ×≠ = =

× Ψ

χ ( ٢٢ ١ ١ ٢١٠٥ ١ ٥ ٥

λε× ×≠ = =× Ψ

β (١٠١ ١٠١٠١ ١

λ×= =× εΨ

)صح (

α ( ١٠١ ١ ١٠١٠١

εΨ× ×= =λ

)صح (

ــارين ولكــن أي مــن . δ ، χاآلن نســتبعد اخلي .؟ خنتار فكالمها متساويان α ،βاخليارين

: مثال على األقلغري رقم واحدنيف مثل هذه احلالة

١ ،١٠ ،١= Ψ =λ =ε توضيحي يساعدك بالعدد الذي ترغب جدولارسم

:البحث عنه كما يلي عدد األيام عدد املنازل عدد العمال

١ ١٠ ١ ٢ ٢٠ ١ ٢ ١٠٠ ٥

؟١٠٠ فقط ونبحث أيهما يساوي α ، βاخترب مث :كما يلي

β ( ١٠١٠ ١٠١٠٠١ ١

λ×= =× εΨ

)صح (

α ( ١٠١ ١ ١٠١٠٠ ١١٠

εΨ× ×≠ = =λ



٤٦

يف مثـل ١ عـدد نستنتج من هذا املثال أن اختيـار ال

هذه النوعية من املسائل غـري مناسـب ألن حاصـل أو قسمة مقدار على الواحـد يسـاوي نفـس ضرب

عـدد نضع نفـس ال ال كذلك يستحسن أن .املقدار . خمتلفة عدادألكثر من متغري بل جيب اختيار أ

رمبا كان من أفضل اخليارات للمتغريات السـابقة :كما يلي

٢ ،٤ ،٥= Ψ =λ =ε .عدد بأي λوميكنك استبدال

) مثال )١٢ ٢−: سـنة مـن اآلن λبعـد سوف يكون عمر حممـد

εفكم كان عمره قبل . سنةΨ سنة ؟

( )( )( )( )

Ψ +λ+ε δ

Ψ −λ+ε χ

Ψ −λ−ε β

Ψ −ε−λ α

:احلل سـنوات ١٠أفرض أن عمر حممد سـوف يكـون

. سنوات ٣بعد سنتني ، فكم كان عمره قبل سـنوات بعـد ١٠الحظ بأنه إذا كان عمر حممد

سـنوات ، ٨، فإن عمـره احلـايل من اآلن سنتني . سنوات ٥ سنوات يساوي ٣ عمره قبل يكونو

: كما يلي عداداآلن استبدل املتغريات بأ

٣ ،٢ ،١٠= Ψ =λ =ε مث نعوض يف اخليارات

. هو اخليار الصحيح ٥واخليار الذي يساوي

( )٥ ١٥ ٣ ٢ ١٠≠ = + + = Ψ +λ+ε δ

( )٥ ٩ ٣ ٢ ١٠≠ = − + = Ψ −λ+ε χ ( )٥ ٣ ٢ ١٠= − − = Ψ −λ−ε β

( )٥ ١١ ٣ ١٠ ٢≠ − = − − = Ψ −ε−λ α βاإلجابة الصحيحة

)تدريب ): ٢ ٢−

١: إذا كان ٢+ χ= δ ، ١ ٢

٢+β = χ ،

١ ٣٢+α = β . فإن قيمةα بداللة δ تساوي :

( )δ ٢٦− δ ( )β ٣ ٢

١٢− δ

( )χ ٣ ٢٦− δ ( )α ٢ ٣

١٨− δ

:احلل =١ضع α فيكون :

١ ٣٢

= + = +α = β

١ ٢٢

= + × = +β =χ

١٢

= = + = +χ = δ

=اآلن عوض عن قيمة δ يف اخليارات وأحبـث =١أيهم يساوي α ؟.

δ ( ٢٦ ٦ ٦

− − δ= =

χ ( ٣ ٣ ٢٦ ٦ ٦

− − δ= =

β ( ٣ ٣ ٢١٢ ١٢ ١٢

− − δ= =

α ( ٢ ٢ ٣١٨ ١٨ ١٨

− − δ= =

......اإلجابة الصحيحة


٤٧

)تدريب ): ٣ ٢−

سـاعة بسـرعة ثابتـة εقاد حممد سيارته ملـدة الســـاعة ، كـــم عـــدد / كلـــم λتســـاوي دقيقـة مـن ٢٠رات اليت قطعها يف آخر الكيلومت رحلته ؟

( )δ ٣

λε ( )β ٢٠

λε

( )χ ٣λε ( )α ٣λ

:احلل لنفرض أن رحلته استغرقت ساعتني

رض أن تـ لنف) مـدة الرحلـة ( سـاعتني الخالل ∴، فكـم قطـع السـاعة / كلم ٦٠حممد سرعة

دقيقة من رحلته ؟٢٠خالل آخر

=دقيقة ٢٠ ساعة =

=٦٠ الزمن × السرعة = املسافة × =

:اآلن عوض يف اخليارات بالقيم التالية

٦٠ ،٢=λ =ε هـو واخليار الـذي قيمتـه

.خليار الصحيح ا

δ ( ٣ ٣

λε×= =

χ ( ٣= × × =λε

β ( ٢٠ ٢٠

λε×= =

α ( ٣ ٣

λ= =

............اإلجابة الصحيحة

المناسبةعداد اختر األ٤ لتعوض ـا ، عداديف بعض املسائل ، حتتاج إىل أ

اسـتبدال ( بنفس الطريقة اليت تعرضنا هلا سـابقا مـتغريات يف دولكـن ال يوجـ ) عـداد املتغريات بأ

ــائل ــن املس ــة م ــذه النوعي ــها فعه ــة ، ولكن ال املناسـب لالختيـار عدد حيث يكون ال يف الكسور

بــني الكســور األصــغر املشــترك املضــاعفهــو حيـث يكـون ب املئويـة النساملعطاة بالسؤال ، أو

وسوف نوضـح ذلـك مـن . ١٠٠ املناسب هو عددال .خالل األمثلة التالية

) مثال )١٣ ٢−:

ــب ــزم كــل طال ــة مل ــدارس الثانوي يف إحــدى املباالشتراك يف نشاط الصـفي واحـد فقـط، فـإذا ــة أمخــاس الطــالب أخــذوا النشــاط كــان ثالث

بع الطالب املتبقني التحقوا بالنشاط ياضي ، ور الر. العلمي وبقية الطالب التحقـوا بالنشـاط الثقـايف

فكم نسبة الذين اختاروا النشاط الثقايف ؟

( )δ ١٥⊆ ( )β ٢٥⊆ ( )χ ٢٠⊆ ( )α ٣٠⊆ :احلل

٣لكسرين ملقامي ا املشترك األصغر املضاعف٥

و

١٤

.٢٠ هو

. طالب =٢٠رسة أفرض أن عدد طالب املدعــــــدد طــــــالب النشــــــاط الرياضــــــي

٣١٢ ٢٠٥

= × طالبا=


٤٨

٨عدد الطالب املتبقني ١٢ ٢٠= − طالب=

١٢عدد طالب النشاط العلمي ٨٤

= × طالبني =

٦عدد طالب النشاط الثقايف ٢ ٨= − طالب= نسبة طالب النشاط الثقايف

٥٣٠ ١٠٠⊆ =⊆ ٦٢٠

× =


) مثال )١٤ ٢−: عـدد أعضـاء نـادي أديب كان ١٤٢٤γ العام يف

النسـاء ويف أعضـاءه مـن يساوي عـدد من الرجال مـن النـادي عدد أعضـاء اخنفض ١٤٢٥γالعام

، بينمــا زاد عــدد أعضــاء ⊇٢٠الرجــال بنســبة ، كم نسـبة عـدد ⊇٢٠النادي من النساء بنسبة

هـ ؟١٤٢٥النساء إىل الرجال يف عام

( )δ ٣٢

( )β ١

( )χ ٥٤

( )α ٤٥

:احلل ــة ، فســوف ــبة مئوي ــؤال حيــوي نس ــا أن الس مب

.١٠٠ لعددنستخدم ا، عدد أعضـاءه ١٤٢٤γم أفرض أن النادي يف عا

. من النساء ١٠٠ من الرجال ، وكذلك ١٠٠ ٢٠ تساوي ١٠٠ من ⊇٢٠مبا أن :عدد أعضاء النادي كالتايل١٤٢٥γيف عام

٨٠عدد الرجال ٢٠ ١٠٠= − رجال=١٢٠عدد النساء ٢٠ ١٠٠= + امرأة =

٣نسبة النساء إىل الرجال ١٢٠٢ ٨٠= =


)تدريب ): ٤ ٢−

لعينـة مـن اخنفض بيع مكتبـة ١٤٢٤γ العام يفزادت .١٤٢٥γويف العـام ، ⊇٨٠بنسـبة الكتب

، كـم ⊇٨٠ بنسـبة نفسـها العينـة مبيعات تلك عام إىل١٤٢٤γالزيادة يف املبيعات من العام نسبة ١٤٢٥γ؟

( )δ ١٠٠⊆ ( )β ٤٠٠⊆ ( )χ ١٢٠⊆ ( )α ٥٠٠⊆ :احلل

ن نفرض أ كتاب =١٠٠الكتب املباعة عينة عدد

= ١٠٠ من ⊇٨٠ ١٤٢٤γعدد الكتب املباعة يف عام

٢٠ ٨٠= − = زادت املبيعات من نفس الكتاب ١٤٢٥γويف عام

١٠٠إىل ) الكمية احلالية ( ٢٠ أي من ٨٠

١٠٠نسبة الزيادة الزيـــادة الفعليـــة الكمية احلاليــة

⊆ × =

⊆ =⊆ × =



٤٩

استنتج بعض المعادالت وتعامل معها٥يف املسائل اليت حتتوي على معادلتني ، فإنه جيـب مجعهما أو طرحهما للوصـول للمطلـوب ، أمـا إذا كانت حتوي ثالث معادالت فاجلمع هو األفضل ، وجيب أن تتذكر أنه يف الغالب ليس املطلوب منـك

ــة ــادالت ، كــذلك ااهإجيــاد قيم ــل باملع ال ي مناسبة ألنه بالغالـب لـديك عداد اختيار أ كميكن

نظـرا عـداد معادالت وليس لك احلرية باختيـار األ .ألن املعادالت بالغالب حتتوي على شروط معينة

)تدريب ): ٥ ٢−

ــان ١٤إذا كــ ٥ ٣=λ +ε ، ٦ =λ−ε .ε ، λفأوجد الوسط احلسايب لكل من

( )δ ٢٫٥ ( )β ٣٫٥ ( )χ ٣ ( )α ٥ :احلل

:جبمع املعادلتني ١٤ ٥ ٣٦

=λ +ε=λ−ε +

= +

:بالقسمة على

= +ε هو حاصـل ε ،λلكل من الوسط احلسايب

: أي أن ٢مجعهما مقسوما على

٢ ٢λ+ε= =


) مثال )١٥ ٢−: :إذا كان

٧ = β+χ−δ،١١= β−χ+ δ ــن ــأي م ف :العبارات التالية صحيحة

I ( δ موجبة .II ( β χ III ( ٠ βχ

( )δ Iفقط ( )β IIIفقط

( )χ IIفقط ( )α I و IIفقط :احلل

:جبمع املعادلتني جند أن ٧ = β+χ−١١

δ= β−χ+

٩ ١٨ ٢

δ

= δ⇐ = δ

٩مبا أن = δ فإن I صحيحة . : يف املعادلتني δبالتعويض عن قيمة

٢ ٧ ٩٢ ١١ ٩− = β+χ− ⇐ =β+χ−=β−χ⇐ =β−χ+

٢β χ⇐ =β−χ∵ ) II صحيح ( ٢+β = χ∵ ى كال شروط عل دال يوج وحيث

٢، فلو كانت χ، βمن = χ فإن :

٠ ٢ ٢= − = βوبالتايل : ٠= βχ∴ ) III غري صحيحة (



٥٠

) مثال )١٦ ٢−: :إذا كان

١= χ−δ،٢ = β−χ، α = δ−β ــا فمـ ؟αهي قيمة

( )δ ٣− ( )β ١ ( )χ ١− ( )α ٣ :احلل

:جبمع املعادالت الثالث جند أن ١

٢

٣ ٠٣

= χ− δ= β−χα = δ−β

+α =−=α⇐


التخمين الذآي٦ حلـه ةعندما تواجه سؤال المتلك فكرة عن طريق

واختيـار فإن اخليار األنسب أمامـك هـو الـتخمني ــق بعــض ــك وف ــرى صــحتها وذل ــيت ت ــة ال اإلجاب

:اإلرشادات اليت جيب مالحظتها ومنها مثال اإلجابة جيب أن تكون موجبـة ، ولكـن )١

.هناك خيارات سالبة اإلجابــة جيــب أن تكــون عــدد زوجــي ، )٢

.ولكن هناك أعداد فردية ، ١٠٠اإلجابة جيب أن تكون أصغر مـن )٣

... ١٠٠ولكن هناك إجابـات أكـرب مـن .وهكذا

، إذا نستخدم التخمني الذكي ويف مجيع األحوال كال نسـتهل مل نعرف كيف طريقة اإلجابة وحـىت

يف السـؤال علـى حسـاب وقـت وقت يف الـتفكري .االختبار

.و األمثلة توضح ذلك

) مثال )١٧ ٢−: منطقة مظللة رمست داخل نصـف دائـرة ، نصـف

ماهي مساحة هذه املنطقة ؟ . Ωقطرها

( )δ ٢ ١٤

Ωπ ( )β ٢ ٢٣

Ωπ

( )χ ٢ ١٢

Ωπ ( )α ٢ ٣٤

Ωπ

:احلل ليس لدينا فكرة كيـف نوجـد مسـاحة املنطقـة

فلم يعطينا رسم توضيحي حـىت نسـتنبط ؟املظللة ــه ــا جيــب أن . املعلومــات من ــة خنمــنوهن اإلجاب

.الصحيحة

وبالتـايل فـإن ٢Ωπ =الحظ أن مساحة الدائرة

٢ =مساحة نصف الدائرة ١٢

Ωπ .

وبالتايل فإن مساحة املنطقة املظللة جيب أن تكون .أصغر من مساحة نصف الدائرة

ويبقـى . χ ، β ، α: ات نستبعد اخليـار : إذا . δ لدينا اخليار



٥١

) مثال )١٨ ٢−: يساوي ١٥،١٠،٥ε،: الوسط احلسايب لألعداد

؟ε فما هي قيمة ٢٠

( )δ ٠ ( )β ٢٥ ( )χ ٢٠ ( )α ٥٠ :احلل

. طريقة حل السؤال فال نعرلنفترض أننا إذا كان الوسط احلسايب ألربعـة أعـداد يسـاوي

فهذا . ٢٠ ، وثالثة من هذه األعداد أصغر من ٢٠لذلك استبعد . ٢٠يعين أن العدد الرابع أكرب من

. δ ،χ يناخليار أصـغر مـن ١٠،٥من ناحية أخرى مبا أن العددين

جيب أن تكون أكرب ε بكثري ، فإن قيمة ٢٠ β اخليار استبعد . ٢٠بكثري عن .α خيار واحد فقط وهوبقي لدينا


١٥ ١٠ ٥٢٠٤

٨٠ ٣٠٥٠

ε+ + +=

= ε+ ⇔=ε∴

) مثال )١٩ ٢−: ريــال ٢٧٠٠٠إذا علمــت أن جــوائز مســابقة هــي

لنسـب معينـة فمـا هـو متنح لثالثة فـائزين وفقـا جائزة ؟نصيب صاحب أكرب

( )δ ١٣٥٠٠ ( )β٥٤٠٠ ( )χ٨١٠٠ ( )α ٢٧٠٠ :احلل

قسمت بالتساوي ، فكل فائز لنفترض أن اجلائزة وإذا قسـمت . ريـال ٩٠٠٠سوف يكـون نصـيبه

بنسب غري متسـاوية فـإن نصـيب صـاحب أكـرب ٩٠٠٠جائزة سوف يكون بالتأكيد أكثـر مـن

χ ، β ، αريال ، وبالتايل نستبعد اخليارات وتبقى اإلجابة . ريال ٩٠٠٠ألن كال منها أقل من

. δالصحيحة . δاإلجابة الصحيحة


٥٢

) مثال )٢٠ ٢−: فـإذا . زرقـاء صندوق حيتوي على كرات محراء و

كانت نسبة الكـرات احلمـراء إىل الزرقـاء هـي

٣ الزرقــاء كــراتاملئويــة للنســبة الفكــم . ٥: بالصندوق ؟

( )δ ٦٢٫٥⊆ ( )β٥٠⊆ ( )χ٦٠⊆ ( )α ٣٧٫٥⊆ :احلل

كرات محراء ، مقابل ٥الصندوق حيتوي مبا أن ــذا يعــين أن عــدد ٣كــل ــاء ، فه كــرات زرق

الكــرات الزرقــاء بالصــندوق أقــل مــن النصــف δ، χ، β، وبالتايل نستبعد اخليارات ) ⊇٥٠(

αويبقى لدينا اخليار الوحيد وهو αاإلجابة الصحيحة

) مثال )٢١ ٢−:

زاد وزن . γ ١٤٢٥ إىل ١٤١٥γخالل الفترة من عام εفـإذا كـان وزنـه حاليـا . ⊇٢٥ماجد بنسـبة

؟γ ١٤١٥فكم كان وزنه يف عام . كيلوغرام

( )δ ١٫٧٥ε ( )β١٫٢ε ( )χ١٫٢٥ε ( )α ٠٫٨٠ε :احلل

مبا أن وزن ماجد زاد خالل العشـر سـنوات ، فـإن . ε أقل من γ ١٤١٥وزنه يف عام

ويبقـى . δ ، χ ، βتايل نسـتبعد اخليـارات وبال α هو εلنا اخليار الذي أقل من


) مثال )٢٢ ٢−: اـــــاور الشـــــكل يف

αβχδ ــلعه ــول ضـ طـ

سم رمسنا أربعة أنصاف ٤لع مـن أضـالع دوائر مركز كال من منتصف ضـ

فما مساحة املنطقة املظللة ؟. املربع

( )δ ٨ ٣٢π − ( )β٣٢ ٨−π ( )χ٨ ١٦π − ( )α ١٦ ٨−π :احلل

١٦مساحة املربع ٢سم= االعتمـاد ومبا أن الرسم على القيـاس ، فـيمكن

واضح مـن الرسـم أن . عليه يف استخراج املعلومات مساحة اجلزء املظلـل أكـرب مـن مسـاحة نصـف

ل جيـب أن وبالتايل فإن مساحة اجلزء املظل . املربع

٢سم٩تكون قريبة من يف مجيع اإلجابـات ، لـذلك نوجـد هلـا ٨πجند

:قيمة تقريبية

٢٥ ٣٫١٤ ٨ ٨= × π δ ( ٧ ٢٥ ٣٢ ٣٢٨= − π )صغرية ( −χ ( ٩ ٢٥ ١٦ ١٦٨=− − π )مستحيلة ( −

β ( ٧ ٣٢ ٢٥ ٣٢ ٨=− − −π) مستحيلة(

α ( ٩ ١٦ ٢٥ ١٦ ٨= − −π ) صحيحة( ألما سـالبني χ ، βالحظ استبعدنا اخليارين

δ ، أمـا اخليـار كوا سـالب واملساحة مستحيل فهو أقل من نصف مساحة املربع وبالتايل يستبعد

αاإلجابة الصحيحة هي


٥٣

) مثال )٢٣ ٢−: إذا كـــان الوســـط احلســـايب لعشـــرة أعـــداد

وجمموع سـتة أعـداد منـها يسـاوي . −١٠يساوي

فما هو الوسط احلسايب لألعـداد األربعـة . ١٠٠ الباقية ؟

( )δ ٥٠− ( )β٥٠ ( )χ٢٥ ( )α ١٠٠ :احلل

مبا أن الوسط احلسايب لتلك األعداد سالب ، فإن أعـداد ومبـا أن جممـوع السـتة . جمموعها سالب

) وكذلك الوسط احلسايب ( فإن اموع . موجب . لبقية األعداد األربعة سالب

ــى ــة ونبقــي عل ــارات املوجب ــع اخلي نســتبعد مجي δوهو اخليار الوحيد . اخليارات السالبة


) مثال )٢٤ ٢−: هللة كأرباح شخصـيه ٢٥عامل يف حمل ، يأخذ

كـم . ريـال ٢٠له مقابـل بيعـه ألي سـلع بقيمـة رباحه ؟املئوية ألنسبة ال

( )δ ٢٥⊆ ( )β٢٫٥⊆ ( )χ٥⊆ ( )α ١٫٢٥⊆ :احلل

صغرية جدا رياال ٢٠ هللة من ٢٥واضح أن نسبة δ ، χ اإلجاباتلذلك نستبعد

هللة=٢٠ريال ٢٠ من ⊇١: نعلم أن

ريال هي أكثر بقليـل ٢٠ هللة من ٢٥ نسبة : إذا βنستبعد اخليار . ⊇١جدا من


٢٠٠٠ريال ٢٠ ١٠٠ ٢٠= × هللة=

املطلوبةاملئوية النسبة

٢٥ ٢٥١٫٢٥ ١٠٠٢٠ ٢٠٠٠

⊆ ⊆ ⊆= = × =

) مثال )٢٥ ٢−: ؟⊇٤ من ⊇٣كم

( )δ ٠٫١٢⊆ ( )β٧⊆ ( )χ١٫٢⊆ ( )α ١٢⊆ :احلل

ــح أن ــن ⊇٣واض ــن ⊇٤ م ــغر م ــي أص ⊇٤ ه β ، αوبالتايل نستبعد اخليارين

هي جزء صغري من أي عدد ، فهـي ⊇٣وحيث أن واخليار الصحيح هـو . صغرية جدا ⊇٤تكون من

δ. δاإلجابة الصحيحة

=١٠٠أفرض أن العدد

٤ ١٠٠ من ⊇٤ : إذا =

٤١٢ من ⊇٣ ٣٠١٢ ٤١٠٠ ١٠٠

ℜ⊆ =⊆ = × =


٥٤

أمثلة متنوعة ) مثال )٢٦ ٢−:

أحـد يف حمل أجهزة الكترونية ، عمـل ختفيضـا ــت نســبة التخفــيض ــاز ، وكان ــى جه ــام عل األي

١٣٣٣

، كم النسـبة الـيت يلـزم زيادـا لبيـع ⊇

اجلهاز بسعره األصلي إذا انتهى التخفيض ؟ :احلل

، فيجـب نسبة مئوية حيث أن السؤال حيتوي على .١٠٠ عددالتفكري باستخدام ال

١ل حيتوي علـى الكسـر ولكن السؤا ٣

فيكـون

.٣٠٠عدد من املناسب جدا اختيار ال ريال=٣٠٠أفرض أن سعر اجلهاز األصلي

∵ ١٣٣٣

١= ٣٠٠ من ⊇٣

١٠٠ من ٣٠٠=

وهذا الرقم يعين مقدار التخفيض بسعر اجلهاز سعر اجلهاز بعد التخفيض يساوي

٢٠٠ ١٠٠ ٣٠٠= . ريال −حىت يبيع اجلهاز بسعره األصـلي ، فإنـه جيـب أن

وتكون. ريال ١٠٠ مبلغيزيد يف سعره

١٠٠نسبة الزيادة الزيـــادة الفعليـــة الســعر احلــايل

⊆ × =

١٠٠٥٠ ١٠٠٢٠٠

⊆ =⊆ × =

) مثال )٢٧ ٢−: أقالم بريال ، وسـعر ٣إذا كان سعر علبة حتتوي

أقالم من نفس النوعية بريال ٥علبه أخرى حتتوي ــة ــبة ) . ١٫٩٥( ومخــس وتســعني هلل فكــم نس

الزيادة يف سعر هذه األقالم ؟ :احلل

.١٥ هو ٥ ، ٣بني األصغر املشترك املضاعف ــعر ــان س ــ١٥ك ــب ٥( ا قلم ٥) عل ١ ٥= × =

ترياال ) علب ٣( ا قلم١٥وأصبح اآلن سعر

٥٫٨٥ ١٫٩٥ ٣= × ت رياال=٠٫٨٥مقدار الزيادة ٥ ٥٫٨٥= − =

حاليا الكمية اليت تبـاع هـي الـيت حتتـوي علـى ) الكمية احلالية ( مخسة أقالم بالعلبة

١٠٠نسبة الزيادة الزيـــادة الفعليـــة الكمية احلاليــة

⊆ × =

٠٫٨٥٨٥١٧ ١٠٠٥ ٥

⊆ =⊆ =⊆ × =

) مثال )٢٨ ٢−:

٠أوجد قيمة δ ، حبيث أن ناتج قسـمة δ علـى

⊆δ من δ يساوي δ. :احلل

÷δ) ⊆δ من δ ( ( )١٠٠δδ× ÷ δ =

( )٢

٢١٠٠ ١٠٠

١٠٠δ= ×δ = ÷ δ =

δ δ

: أي أن δ =جيب أن يكون املقدار السابق ٢ ١٠٠١٠ ١٠٠= δ⇐ = δ⇐ δ =

δ


٥٥

) مثال )٢٩ ٢−: قطعـة نقديـة ، ومجيعهـا مـن ١٥٠ميلك حممـد ) هالالت ١٠(و القرشني ) هللة ٢٥( فئيت ربع ريال

فإذا كانـت قيمـة هـذه القطـع النقديـة تسـاوي

كم عدد القطع النقديـة ذات الفئـة . ريال ٢٧٫٩٠ ربع ريال ؟

:احلل =أفرض أن ε فئات الربع ريالعدد

١٥٠= ε− فئات القرشنيعدد ، مث كون جـدول حيـوي ١٠٠اختر رقم وليكن

كـان النـاتج أكـرب مجيع االحتماالت ، حيث إذا ، وإذا كـان أصـغر εرقم ال فصغر ٢٧٫٩٠من : وذلك كما يلي εرقم ال فكرب εمن

عدد فئات الربع ريال

عدد فئات القرشني

القيمة

٣٠ ٥٠ ١٠٠ ٥ ٢٥= ريال+

٢٧ ٧٠ ٨٠ ٧ ٢٠= ريال+

٢٧٫٧٥ ٦٥ ٨٥ ٦٫٥ ٢١٫٢٥= +

٢٩٫٩٠ ٦٤ ٨٦ ٦٫٤ ٢١٫٥= + قطعة ٨٦ =دد فئة الربع ريال ع: إذا

( )٢٧٩٠ ١٥٠ ١٠ ٢٥٢٧٩٠ ١٠ ١٥٠٠ ٢٥١٢٩٠ ١٥٨٦

= ε− +ε=ε − +ε ⇔=ε ⇔=ε⇔

) مثال )٣٠ ٢−: يستخدم خالد وعماد لعبة بقطعة نقود ، حبيث إذا

صـورة حيصـل خالـد علـى ترميت القطعة وظهر نقطة ، وإذا ظهرت كتابة حيصل عماد على نقطة

تنتــهي ما علــى مخــس نقــاط إذا حصــل أي منــهو نقـاط خلالـد ٤فإذا كانـت النتيجـة اآلن .اللعبة

كـان احتمـال فـوز و ،مقابل ثالث نقاط لعمـاد فماهي . فوز عماد مقارنة مع مرة εخالد يساوي

؟εقيمة :احلل

يفوز عمـاد باللعبـة إذا ظهـر كتابـة يف الـرميتني املتبقية لـه ، فيكـون احتمـال ظهـور كتابـة يف

١رميتنيال ١ ١٤ ٢ ٢= × =

٣احتمال فوز خالد ١ ١٤ ٤= − =

)ومبا أن )١ ٣٣٤ ٤

=

٣ =ε∴. احتمال فوز خالد باللعبة هو ثالثـة أضـعاف : إذا

.فوز عماد


٥٦

) مثال )٣١ ٢−: ؤون القبـول والتسـجيل بإحـدى وجدت عمـادة شـ

١اجلامعات أن ٤

الشـروط قال حتقـ طلبات القبول

ــايل ــول ، وبالت ــدنيا للقب ــرال ٢ وأن. فض ت٥

ــن م

فإذا كان عدد . تقبلحتقق الشروط اليتالطلبات د طلبـات فكـم عـد طلـب ١٢٠٠الطلبات املقبولة

القبول اليت قدمت لتلك اجلامعة ؟ :احلل

املشــترك املضــاعف مناســب ، وهــو عــدداختــر

١ : كسرينلملقام ااألصغر ٤

، ٢٥

٢٠ وهو العدد

ا طلب=٢٠نفرض أن عدد طلبات القبول علــيهم الشــروط قعــدد الطلبــات الــيت ال تنطبــ

١٥: يساوي ٢٠٤

= طلبات ×

: يقبل منها اطلب١٥من الطلبات املتبقية ٢٦ ١٥٥

= طلبات ×

ــها ٢٠ نســتنتج أن كــل : إذا ــل من ــب يقب ٦ طل . طلبات فقط

εنفرض أن عدد الطلبات = ١٢٠٠ ٦٢٤٠٠٠ ٦

٢٠= ε ⇐ =

ε

٤٠٠٠=ε∴ا طلب .

) مثال )٣٢ ٢−: نادي أديب ، أعضاءه من الرجـال والنسـاء ،حيـث

٤الرجـال ، وكـان أكثر من نصف أعضاءه من ٧

٦من الرجال ، و ١١

من النساء حضروا بالنـادي يف

كم أقل عـدد ممكـن . للقاء السنوي شهر حمرم ؟حضر هذا اللقاء من األعضاء

:احلل

٤مبا أن ٧

من الرجال حضروا اللقاء ، فإن عددهم

: أي ٧جيب أن يكون من مضاعفات العدد اخل٢١،١٤،٧،

٧مبا أن ١١

من النساء حضروا اللقاء ، فإن عددهم

: أي ١١جيب أن يكون من مضاعفات العدد

،٣٣،٢٢،١١ مـن النسـاء ، ١١ا أنه حضر النادي على األقل ومب

وحيث أن عدد الرجال أكثـر مـن عـدد النسـاء ، ١٤فإنه جيب أن حيضر مـن الرجـال علـى األقـل

.رجال٢٥أقل عدد حضر النادي ١١ ١٤= + اعضو=


٥٧

) مثال )٣٣ ٢−: اشــترى جنــار حقيبــة حتتــوي علــى بعــض أدوات

. الت ريـا ١٠٥النجارة ، وصندوق مسـامري مببلـغ ١٠٠فإذا علمت أن سـعر احلقيبـة يزيـد مبقـدار

ريــال عــن ســعر صــندوق املســامري، فكــم عــدد يها بسـعر صناديق املسامري اليت ميكـن أن يشـتر

احلقيبة ؟ :احلل

١٠٠ أن سعر احلقيبة يساوي الذهنقد يتبادر إىل . رياالت ٥ريال ، وسعر صندوق املسامري يساوي

.وهذا غري صحيح :أفرض أن

= ε سعر صندوق املسامري

١٠٠= +ε سعر احلقيبة ( )١٠٥ ١٠٠

١٠٥ ١٠٠ ٢٥ ٢

= +ε +ε∴= +ε=ε

٥٢٫٥٢

= =ε ريال

١٠٢٫٥سعر احلقيبة ١٠٠ ٢٫٥= + ريال =عدد صناديق املسامري اليت ميكن شـراءها بسـعر

١٠٢٫٥٤١احلقيبة ٢٫٥

= .ا صندوق=

:الحظ أن ١٠٢٫٥٢٠٥ ١٠٢٥٤١

٥ ٢٥ ٢٫٥= = =

) مثال )٣٤ ٢−: أعطى معلم الرياضـيات ألحـد طالبـه قائمـة مـن

وقام الطالـب بـاجلمع و . األرقام وطلب منه مجعها بـدال ٥٠٩٥ارتكب خطأ واحد حيث مجع الرقم

اصل اجلمع الذي وجـده وكان ح ٥٫٩٥من الرقم

فما هو حاصل اجلمع الصحيح ؟ . ٨٥٤٥٫٠٥ :احلل

حىت حنصـل علـى النـاتج الصـحيح ، اطـرح مـن ) ٥٠٩٥(اموع الذي وجده الطالب الرقم اخلطأ

:كما يلي) ٥٫٩٥(مث أضف الرقم الصحيح :طلوب العدد امل

٣٤٥٦ ٥٫٩٥ ٥٠٩٥ ٨٥٤٥٫٠٥= + − =

) مثال )٣٥ ٢−: ــني ــداد الصــحيحة احملصــورة ب كــم عــدد األع

والــيت حاصــل ضــرب أي عــددين . ١٠٠٠، ١ ؟١٠٠٠ عن دمتتاليني فيها ال يزي

: احلل :نضع قائمة باحللول احملتملة

٢ ٣ ، ×١ ٢٥، ..... ، ×٢ ٢٤× ، ..... ليس املطلوب إجياد النواتج ، ولكن مـن املهـم أن

فنالحظ أن أكرب ناتج لضـرب . تعرف أين تتوقف : هو ١٠٠٠ عن دعددين صحيحني ال يزي

٩٩٢ ٣٢ ٣١= ×. .ا عدد٣١ عدد األعداد يساوي : إذا


٥٨

)تدريب ): ٦ ٢−

٧عمر حممد اآلن ثالثة أضعاف عمر خالد ، وبعد . سنوات سوف يكون عمر حممد ضعف عمر خالد

كم عمر حممد اآلن ؟ :ل احل

:استخدم الرسم التايل حممدعمر خالدعمر الوقت ٣ε ε اآلن

٧ بعد سبع سنوات +ε ٧ ٣+ε سنوات سـوف يكـون عمـر حممـد ٧مبا أنه بعد

ضعف عمر خالد ( )٧ ٢١٤ ٢

+ = +ε ∴+ε = +ε ⇔

=ε⇔

٣عمر حممد اآلن ٣= × =ε سنة=

)مارين ت )١ ٢−


منـها أربعـة ا يلي عدد من األسئلة ، يتبع كل فيماختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات

جابةرف املقابل هلا يف ورقة اإلاحلظلل

:إذا كان )١

٢ ٢٦ ٢ ٦ ٢+ε − ε −ε + ε، فأي من العبارات التالية صحيحة ؟

( )δ ٣ ε ( )β ٣ ε ( )χ ٣ = ε ( )α ٤ = ε

لدى حممد أربعة أضعاف الكتب اليت مع خالد )٢

فـإذا . و مخسة أضعاف الكتـب الـيت مـع باسـل فكـم . ا كتاب ٤٠علمت أن باسل لديه أكثر من

أقل عدد ممكن من الكتب مع حممد ؟

( )δ ٢٤٠ ( )β ٢١٠ ( )χ ٢٢٠ ( )α ٢٠٥

إذا كان عمر فهـد اآلن ضـعف عمـر سـعد ، )٣

مخسة أضعاف عمر وقبل ست سنوات كان عمره ؟كم عمر فهد اآلن. سعد يف ذلك الوقت

( )δ ١٠ ( )β ٢٠ ( )χ ١٦ ( )α ٢٤


٥٩

؟٢٥٥ما أكرب عامل أوىل للعدد )٤

( )δ ٥ ( )β ١٧ ( )χ ١٥ ( )α ٥١

: حيقق املتباينة ιهو أكرب عدد صحيح ما )٥

٢ ٢٣ ٨ ٨ ٧−ι + ι +ι + ι؟

( )δ ٠ ( )β٧ ( )χ٥ ( )α ١٠

χ: إذا كان )٦ δ ، χ+ δ = β . فأي مـن

χ،العبارات التالية هي الفرق املوجب بني δ؟

( )δ ٢β−δ ( )β ٢χ −β ( )χ ٢β−χ ( )α χ+ δ−β

ε قطعة معدنية يكلـف λسعر إذا كان )٧

ـ Ψ مبلغهللـة فكـم قطعــه تسـتطيع شـرائها بــ ؟رياال

( )δ ١٠٠λΨε

( )β ١٠٠λΨε

( )χ ١٠٠

λΨε

( )α λΨε

χ من ⊇٨٠ تساوي δ من ⊇١٢٠إذا علمت أن )٨

+χيلي يساوي فأي مما δ؟

( )δ ١٫٥δ ( )β ٢٫٥δ

( )χ ٢δ ( )α ٣δ

؟δ من δ⊇ على δهو ناتج قسمة ما )٩

( )δ ١٠٠δ ( )β ٢

١٠٠δ

( )χ ١٠٠δ

( )α ٢١٠٠δ

:سايب للمقدارين هو الوسط احل ما )١٠

٣ ٤ ،١ ٢+ε −ε؟

( )δ ١ ٣+ε ( )β ٤ ٣+ε ( )χ ٢ ٣+ε ( )α ١+ε

١ :إذا كان )١١ ٣ ١٢= χ + δ و كان

٩ ٢ ٧= δ − χ فما هو الوسط احلسـايب لــ δ و

χ؟

( )δ ٠٫١ ( )β ١ ( )χ ٠٫٥ ( )α ٢٫٥

٤ :إذا كان )١٢ ٢١٦ ٨ε −ε= فمـا هـي قيمـة ε؟

( )δ ٢ ( )β ٤ ( )χ ٣ ( )α ٦

فما هي ١٠ تساوي λ من ε⊇ :إذا كان )١٣

؟λقيمة

( )δ ١٠ε

( )β ١٠٠٠ε

( )χ ١٠٠ε

( )α ١٠٠ε


٦٠

عـــددين صـــحيحني ε، λ :إذا كـــان )١٤٢حبيث أن ٣λ= ε . فـأي مـن القـيم التاليـة ؟λ أن يكون قيمة لـالميكن

( )δ ١− ( )β ٨ ( )χ ١ ( )α ١٦

يف كل شهر ترفيهية مدينة ألعاب طالليزور )١٥

مرة ، وثـالث مـرات يف كـل مـن شـهري حمـرم تذكرة الدخول لكل مرة سعركان فإذا . وصفر

وسعر تذكرة الدخول لثالثة أشـهر . ت رياال ٣٫٥أما تـذكرة الـدخول املفتوحـة . رياال١٨مفتوحة

فكم أقل سعر ينفقه . رياال ٦٠ملدة سنة فسعرها ؟على زياراته خالل سنة

( )δ ٦٠ ( )β ٤٩٫٥ ( )χ ٥٦ ( )α ٤٨

. السـاعة / كلم ٣٦جسيم يتحرك بسرعة )١٦

كم عدد األمتار اليت يقطعها يف ثانية واحدة ؟

( )δ ١٠ ( )β ١٠٠ ( )χ ٣٦ ( )α ٣٦٠

، حبيث أن ا موجب ا صحيح ا عدد εإذا كان )١٧

٢٠≠ ε . وعرفنا العمليتني التاليتني:

٢٠+ε = ⊗ ، ٢٠ε− = ــان . ⊕ ــإذا ك : ف

٤ ⊗=⊕

؟ εما قيمة ف .

( )δ ٢٠ ( )β ١٢ ( )χ ١٥ ( )α ١٠

يف الشــــــــكل )١٨

ــاو . αβχδ راــ سم إذا ١٢طول ضلعه

: كان

٨ = λε = πγ = ικ = ϖτ سم

رسـم نصـف كـل . وكال منهم طول قطر دائـرة فمـا هـي . دائرة منـها كمـا يف الشـكل أعـاله

مساحة الشكل املظلل ؟

( )δ ١٢٨ ١٤٤π − ( )β٣٢ ١٤٤π − ( )χ٦٤ ١٤٤π − ( )α ١٦ ١٤٤π −

يعمل يف مستوصـف عـدد مـن املـوظفني مـن )١٩

٢جنسيات خمتلفة ، إذا علمت أن ٣

مـن املـوظفني

٣رجال و ٨

٣ وكـان هوالء املوظفني سـعوديني ، ٥

املوظفني من جنسية غري سعودية فما هو الكسـر الذي ميثل عدد املوظفات السعوديات ؟

( )δ ٣٢٠

( )β ١٤

( )χ١١٦٠

( )α ٢٥


٦١

املقابـل الشكل يف )٢٠αβχδ طــول قطــره

βδ ــه ــم داخلــ رســξψζσ والذي طـول

قطره ١٢

βδ = ψσ .فما هي نسبة مساحة املنطقة

.αβχδاملظللة إىل مساحة

( )δ ١: ٢∂ ( )β٢ :٢∂

( )χ٤ :٣ ( )α ١:٢ ٤٠٠،٢٠٠ احملصـورة بـني األعدادكم عدد )٢١

؟٣واليت تبدأ أو تنتهي بالرقم

( )δ ١٢٠ ( )β ١١٢ ( )χ ١١٥ ( )α ١١٠

الزاوية اليت يصنعها عقرب الساعات قياس ما )٢٢

؟٢:٣٠مع عقرب الدقائق عند الساعة

( )δ ١٢٠° ( )β ٩٠° ( )χ ١٠٥° ( )α ٧٥°

مث ⊇٢٥إذا كان سعر دراجة خفـض بنسـبة )٢٣

فإن التخفيضان ⊇٢٠خفض السعر اجلديد بنسبة :معا يساويان

( )δ ٤٥⊆ ( )β ٣٥⊆ ( )χ ٤٠⊆ ( )α ٣٠⊆

كانإذا )٢٤

( )( )٢ ٥ ٢ ٢ ٣β−εχ− ε= −ε +ε

؟χ+β−δفما قيمة املقدار

( )δ ٧ ( )β ٩ ( )χ ٨ ( )α ١٠

تعمل رغد يف معرض بيع مالبس نسـائية ، إذا )٢٥

بنسـبة ا رياال ويباع خمفضـ εكان سعر فستان

، وميكن للعاملني باملعرض احلصول علـى ⊇١٥فإذا اشترت . من السعر املخفض ⊇١٠خصم قدره

هذا الفستان فكم رياال ستدفع ؟رغد

( )δ ٠٫٧٦ε ( )β ٠٫٧٧٥ε

( )χ ٠٫٧٦٥ε ( )α ٠٫٨٠٥ε


٦٢

الطالبة اخلاصة/ مالحظات الطالب


٦٤

) ٣( استراتيجيات عامة بعـض اإلرشـادات الفصـل سوف نستعرض يف هذا

و. أسـئلة املقارنـة اليت تساعدك على التعامل مـع أسـئلة ماهيـة سبق وتعرفنـا بالفصـل األول علـى

الفصل كيفية ، فسوف نستعرض يف هذا املقارنة .التعامل مع اإلجابة ملثل هذه النوعية من األسئلة

املقارنةأسئلة تعترب أسئلة املقارنة ، جديدة إىل حـد مـا بالنسـبة للطالب ، فأسئلة االختيار من متعدد سبق وتعامـل

أما أسئلة املقارنة هلا تعليمات وصيغة .معها الطالب : معينة نعيد تذكريك ا فيما يلي

يف كل من األسئلة التالية : ات أسئلة املقارنة تعليمصيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف

يف اختـر العمود الثاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث :احلرف ورقة اإلجابة


χ ( الصــيغة يف العمــود األول أصــغر إذا كانــت .مود الثاين يف العامنهβ ( نيالصيغتان متساويتإذا كانت α ( كافيــة املعطــاة غــري علومــات إذا كانــت امل

.للمقارنة

عند مقارنة الصيغة بالعمود األول مع الصـيغة :بالعمود الثاين فإن

ت الصــيغة إذا كانــ :δاإلجابــة تكــون -١العمود الصـيغة بـ العمود األول أكرب من ب

ــبعض ا ــيس ل ــا ول ــاين دائم ــارات الث لعب .الرياضية فقط

الصــيغة إذا كــان :χاإلجابــة تكــون -٢العمود الصـيغة بـ العمود األول أصغر من ب

ــارات ــبعض العب ــيس ل ــا ول ــاين دائم الث .الرياضية فقط

الصـيغة إذا كـان :βاإلجابة تكـون -٣ــالعمود األول بــ العمود تســاوي الصــيغة ب

ــارات ــبعض العب ــيس ل ــا ول ــاين دائم الث .الرياضية فقط

إذا كانت املعلومـات :αإلجابة تكون ا -٤ــة ــري كافي ــؤال غ ــت بالس ــيت أعطي ال

.للمقارنة ، والـيت جيـب تعليمات أسئلة املقارنـة كانت تلك

قحـىت ال يسـتغر واسـتيعاا على الطالب حفظها .ا أثناء االختبار اءوقت بقر

وهذه بعض القواعـد السـريعة الـيت تسـاعدك يف .ختمني اإلجابة الصحيحة

) ٣( استراتيجيات عامة .......الثالثالفصل

٦٥

أكرب من إذا كانت الصيغة بالعمود األول )١

الصيغة بـالعمود الثـاين لـبعض العبـارات χالرياضية ، فمباشرة نستبعد اخليارين

أو δوتبقى اإلجابة إحدى اخليارين . β وα.

أصـغر إذا كانت الصـيغة بـالعمود األول )٢ الصيغة بالعمود الثاين لبعض العبارات نم

δعد اخليـارين الرياضية ، فمباشرة نسـتب χوتبقى اإلجابة إحدى اخليـارين . β و

.αأو تسـاوي إذا كانت الصيغة بـالعمود األول )٣

الصيغة بـالعمود الثـاين لـبعض العبـارات δالرياضية ، فمباشرة نسـتبعد اخليـارين

βوتبقى اإلجابة إحدى اخليـارين . χ و .αأو

خطوات توضيحمع ( توضيحية نستعرض بأمثلة سو :التالية االستراتيجيات ) احلل عداداستبدل املتغريات بأ )١ املناسبةعداداختر األ )٢سهل السؤال ، بعمل نفس العمليـات علـى )٣

.الصيغتني أسأل هـل ميكـن أن تكـون الصـيغتان )٤

؟ أو هل جيب أن تتساوى ؟نيمتساويت ال تستهلك الوقت باحلسابات )٥ αتعلم مىت تستبعد اخليار )٦ رية تعامل مع األرقام الكب )٧

عداداستبدل املتغريات بأ ١

حتتوي بعض أسئلة املقارنة على متغريات ، ويطلـب منــك املقارنــة بــني الصــيغتني يف العمــودين ، ويف

هـو عـداد الغالب يكون استبدال تلك املـتغريات بأ األفضل من املقارنة باستخدام نفس املتغريات واليت

يف العادة إىل مهارات عالية -ات أي املتغري –حتتاج ــت يف أمــس ــد أن ــت وجه يف الرياضــيات وإىل وق

وهناك بعض . احلاجة له يف اختبار القدرات العامة عـداد القواعد اليت ينصـح بأتباعهـا يف اختيـار األ

:التايلوسوف نستعرضها بعد استعراضنا للمثال

) مثال ): ١ ٣− α: إذا كان β χ δ

قارن بني

χδ αβ :احلل

سهلة االستخدام وحتقـق عداد استبدل املتغريات بأ :ولنفرض أن . الشرط املوجود بالسؤال

١٠ ،٥ ، ٢ ،١= α =β =χ = δ :واضح أن

( )( )٢ ٢ ١= = χδ ( )( )٥٠ ١٠ ٥= =αβ

مما سبق جند أن العمود الثاين أكرب مـن العمـود δ ، βاألول ، وبالتايل نستبعد اخليارين

وإذا مل تسـتطع . α أو χاإلجابة جيب أن تكون املقارنة فيجب اختيـار أحـدمها ، وسـوف تضـمن


٦٦

دعنـا نكمـل . من أن احلل صـحيح ⊇٥٠بنسبة .النقاش

χδهل : سؤال اآلن ال αβدائما ؟ : اختر أرقام أخرى ولتكن سالبة مثال

١ ،٢ ، ٣ ،١− = α − = β − = χ − = δ : واضح أن

( )( )١٥ ٥ ٣= − − = χδ ( )( )٢ ١ ٢= − − =αβ

اآلن جند أن العمود األول أكرب من العمود الثاين .نه ليس صـحيح دائمـا أل χ نستبعد اخليار : إذا

:وبالتايل αاإلجابة الصحيحة

موجبـة حتقـق الشـرط عـداد إذا اخترت أ )١

بالسؤال فسوف تالحظ دائمـا أن الصـيغة بالعمود الثـاين دائمـا أكـرب مـن العمـود

ــة كــ ــحيحة يف حال ــذه ص ن واألول وه :الشـــــرط بالســــــؤال كالتــــــايل

٠α β χ δ. ــتغريات يف الســؤال ، مل )٢ يشــترط هــل امل

وهـذه . موجبة أم سالبة أم موجبة وسـالبة ألنه يف اءتؤدي بالطالب إىل ارتكاب أخط

عـداد مثل هذه احلالة جيب عليك اختيار أ . سالبة وموجبة

عـداد بعض القواعد اليت تساعدك على اختيار األ :املناسبة

اسـتخدامها يف حيسن اليت عدادأفضل األ )١ .−١،٠،١البداية هي

يف الكسور استخدم كسور بـني الصـفر )٢ والواحد

ميكنك استخدام األعداد الكـبرية مثـل )٣١٠٠،١٠.

جيب أن ختتار لكل مـتغري عـدد خيتلـف )٤ــرى الــيت اخترــا ــن األعــداد األخ ع

.للمتغريات األخرى شروط على السؤال غري موجودة ، عال تض )٥

جيـب أن تكـون عدادترض أن األ مثال تف موجبة فقط ، ومل يذكر لك ذلك الشرط

.بالسؤال ا جيـد ا املتتابعة ليست دائما خيـار عداداأل )٦

.تبدأ به


٦٧

)مثال ): ٢ ٣− ١: إذا كان ،٠≠ ι ι

قارن بني٢ι ٣ι

:احلل ١: حيقق الشرط عدد بιاستبدل ،٠≠ ι ι

العمــود األول

العمــود الثاين

نتيجـــة املقارنة

اخليارات املستبعدة

٢ = ι٨ ٤ χ δو β ١٢= ι١

٤ ١

٨ δ χ

α هو - الذي مل يستبعد –اخليار الوحيد املتبقي αاإلجابة الصحيحة

)مثال ): ٣ ٣−

قارن بني

١١ε ١٣ε :احلل ، استخدم أفضل األرقامε شروط على دال يوج

العمود األول

العمود الثاين

ــة نتيجاملقارنة


١= ε ١٣ ١١ χ δو β

٠= ε ٠ ٠ β χ

١− =ε١٣ −١١− δ β و χ α هو - الذي مل يستبعد –اخليار الوحيد املتبقي


)تدريب ): ١ ٣−

قارن بني

١٠+ε ١١−ε :احلل ، استخدم أفضل األرقامε شروط على دال يوج





١= ε ...... .....و .....

٠=ε ........

١− =ε ....... موجبة وسالبة والصفر والنتيجـة عداداستخدمنا أ

صيغة بالعمود األول أكرب من الصيغة بالعمود أن ال . الثاين


١١ ١٠− إىل الطــــــرفني ε فبإضــــــافة ∵

١١ ١٠−ε +ε∴.


٦٨

)مثال ): ٤ ٣− قارن بني

حميط مستطيل

٢سم١٨مساحته


٢سم٢٨مساحته :احلل

اختــر مســتطيلني حيققــان الشــروط املطلوبــة يف .السؤال مث قارن بني حميطيهما

:خنتار املستطيل : العمود األول

١٨مساحته ٩ ٢= × ٢ سم=

)حميطه )٢٢ ٩ ٢ ٢= + سم =

:خنتار املستطيل : العمود الثاين

٢٨مساحته ٧ ٤= × ٢ سم=

)حميطه )٢٢ ٧ ٤ ٢= + سم=

ــاويت : إذا ــالعمودين متس ــايل ا الصــيغتان ب ن وبالت .δ ، χبعد اخليارين نست

أبقي علـى املسـتطيل يف العمـود الثـاين ، واختـر يف العمود األول مث قارنه مع العمود ا آخر مستطيال

:الثاين :خنتار املستطيل : العمود األول

١٨مساحته ٦ ٣= × ٢ سم=)حميطه )١٨ ٦ ٣ ٢= + سم =

نالحظ أن العمود الثاين أكرب من العمـود األول ، .βنستبعد اخليار

نالحظ أن اخليار الوحيد املتبقي والذي مل يستبعد .αهو اخليار


)مثال ): ٥ ٣− : إذا كان

٣ ٥ ٢، ،٥ ٦ ٣

χ =β ε =χ ε = δ

قارن بني

٣δ ٤β :احلل =٠اختر ε . وبالتايل يكون كـال مـنδ ، χ βا يساوي صفر.

٠العمود األول ٠ ٣= × = ٠العمود الثاين ٠ ٤= × =

، δن وبالتايل نستبعد اخليـارين ان متساوي االعمودχ. املضـاعف يكـون يفضـل ( ε آخر لـ عددر اخت

٦للعددين األصغر املشترك مـع لحىت ال تتعام ٣،

)الكسور٦: لنفترض أن =ε

٢٤ ٦٣

= × = δ

٥٥ ٦٦

= × = χ

٣٣ ٥٥

= × = β

١٢العمود األول ٤ ٣= × =


٦٩

١٢العمود الثاين ٣ ٤= × = :فتكون. ن أيضا انالحظ أن العمودين متساوي


( )١ ٥ ٣ ٣٢ ٦ ٥ ٥

٢

ε =β⇐ ε =χ =β

ε =β ⇐

٢ ٤ ٢ε =β ⇐ε =β ∵ ٢٢ ٣٣

ε = δ ⇐ε = δ∵

.دين متساويتني الصيغتان يف العمو∴

املناسبةعداداختر األ ٢

تساعدك يف احلـل ، مثـل عدادواملقصود اختيار أ املشـترك ملضاعف يف النسب املئوية ، وا ١٠٠الرقم

وغالبا هذه النوعية من . الكسور ملقاماتاألصغر املسائل ال حتتـوي مـتغريات كمـا ورد يف األمثلـة

.السابقة

) مثال ): ٦ ٣− ١٥ أحد الفصول الدراسية أعمار الطالب فيه إما

إذا كان ثلث طـالب الفصـل . سنة ١٧ أو ١٦أو الطــالب الــذين أي– ســنة ، وهــم ١٦أعمــارهم ــارهم ــنة ١٦أعم ــذين - س ــالب ال ــعف الط ض

. سنة ١٥أعمارهم قارن بني

عدد الطالب الذين سنة١٧أعمارهم

الطالب الذين موع جم ١٦ و١٥أعمارهم

سنة :احلل

٦أفرض أن عدد طالب الفصل طالب = ســــــنة ١٦عــــــدد الــــــذين أعمــــــارهم

( )١٢ ٦٣

= طالبني=

)دواح( طالب =١ سنة ١٥عدد الذين أعمارهم ٣ سنة ١٧عدد الذين أعمارهم طالب=

ن اواضح أن العمودين متساوي .βاإلجابة الصحيحة


٧٠

)تدريب ): ٢ ٣−

أقتسم سهيل وسامل جائزة مالية ، وكـان نصـيب

٣، وأنفق ⊇٥٠سهيل منها ٥

. منـها علـى كتـب

٣، وأنفــق منــها ⊇٤٠ونصــيب ســامل ٤

علــى

.مشترياته قارن بني

املبلغ الذي أنفقه سهيل على شراء الكتب

املبلغ الذي أنفقه سامل على مشترياته

:احلل . ريال =١٠٠أفرض أن اجلائزة . ريال =نصيب سهيل منها

مقدار ما أنفقه منها على شراء الكتب ٣٥

= × ريال=

. ريال =نصيب سامل من اجلائزة مقدار ما أنفقه منها على مشترياته

٣٤

= × ريال=

املبلـغ مـن ................... نالحظ أمـا أنفقـا : إذا املال على مشتريام


)مثال ): ٧ ٣− إذا كانت سرعة حممد يف الكتابـة علـى لوحـة

وحيصـل خالـد علـى . املفاتيح ضعف سرعة خالد

عن كل صـفحة حممدزيادة عن من األجر ⊇٥٠ .يكتبها

قارن بنيمقدار دخل حممد

ساعات٩خالل مقدار دخل خالد

ساعة١٢خالل :احلل

: أفرض أن يكتب صفحة واحدة بالساعة اخالد

. يكتب صفحتني بالساعة اوأن حممد : أن أفرض و

. واحد على الصفحة يتقاضى رياالاحممد ونصف على الصفحةوخالد يتقاضى رياال

عدد الصفحات اليت كتبها حممد يكون وبالتايل ١٨ ساعات ٩خالل ٢ ٩= × . صفحة =

١٨أجرته املستحقة وتكون ١ ١٨= × رياال= ١٢د خـالل عدد الصـفحات الـيت كتبـها خالـ و

١٢ ساعة ١ ١٢= × . صفحة =١٨أجرته املستحقة و ١٫٥ ١٢= × رياال=

نالحظ أن كال منهما حصل على نفس األجر βاإلجابة الصحيحة


٧١

)تدريب ): ٣ ٣−

ط دائرة إذا علمت أن حميط مربع يساوي حمي مساحةقارن بني

املربع الدائرة :احلل

سم ١أفرض أن نصف قطر الدائرة يساوي =حميط الدائرة سم =

٢πمساحتها = Ωπ ٢ سم٣٫١٤ = =εول ضلع املربع أفرض أن ط

حميط الدائرة =مبا أن حميط املربع

٦= ε⇐ = ∴ )مساحة املربع ٢ سم=٢(

واضح أن مساحة الدائرة أكرب من مساحة املربع ............حيحة اإلجابة الص

سهل السـؤال ، بعمـل نفـس العمليـات علـى ٣ .الصيغتني

يف املتباينات واملعادالت نسـتطيع دائمـا إضـافة أو طرح نفس الكمية من الطرفني وتبقى املسـاواة أو

ــة ــة قائم ــا يف . املتباين ــا أيض ــذلك ميكنن وكلى نفس الكميـة املعادالت قسمة طريف املساواة ع

أو ضــرب طــريف املعادلــة بــنفس الكميــة وتبقــى .املساواة قائمة

أما يف املتباينات فإنه ميكننا القسـمة أو الضـرب على عدد موجب حىت تبقـى املتباينـة قائمـة ، ويف

حالة القسـمة أو الضـرب علـى عـدد سـالب فـإن . اجتاهها يتغري

وميكننا استخدام نفـس الفكـرة للمقارنـة بـني . لصيغتني يف أسئلة املقارنة ا

)مثال ): ٨ ٣− قارن بني

١٠+ε ١١−ε :احلل

أنظـر ( تعرضك هلذا املثال كتدريب سبق وأن مت ) تــدريب )١ اآلن نســتعرض حلــه وســوف ) −٣

بطريقة أخرى : من الصيغتني جند أن ε بطرح

=١٠العمود األول ε ١٠− + ε = −١١العمود الثاين = ε ١١− − ε =

اآلن أصبح سهل جدا املقارنة بني العمودين ١١: واضح أن ١٠−

العمود الثاين من وهذا يعين أن العمود األول أكرب δاإلجابة الصحيحة


٧٢

)مثال ): ٩ ٣− قارن بني

١١ε ١٣ε :احلل

مثالأنظر ( سابقاتعرضك هلذا املثال سبق وأن مت ( )٣ هنــا اآلن نســتعرض حلــه وســوف ) −٣

: بطريقة أخرى : من العمودين جند أن ١١εبطرح

٠العمود األول ١١ ١١= ε −ε = ٢العمود الثاين ١١ ١٣ε =ε −ε =

فـيمكن أن εيوجـد شـروط علـى ومبا أنـه ال أكرب أو أصغر أو تساوي الصفر ٢εتكون

ة بني العمـودين ، حيـث ال ميكننا املقارن ال : إذا توجد معلومات كافية


)مثال ): ١٠ ٣− ١: إذا كان ،٠≠ ι ι

قارن بني٢ι ٣ι

احللمثـال أنظـر ( سبق وأن مت حل هذا املثال بطريقـة

( )٢ :طريقة أخرىب هناوسوف حنله اآلن ) −٣ عـدد ٢ιالحظ أن ( ٢ιبقسمة العمودين على :جند أن ) اجتاه املتباينة موجب وبالتايل ال يتغري

٢العمود األول

٢١ ι= =ι

٣العمود الثاين

٢ιι = =ι

سـوى الشـرطني ι شروط على دال يوج ومبا أنه

١ ،٠≠ ι ι فيمكن أن تكون ι أكـرب أو

من الواحدأصغر ال املقارنة بني العمـودين ، حيـث اال ميكنن : إذا معلومات كافية دتوج

αالصحيحة اإلجابة

)مثال ): ١١ ٣− قارن بني

١ ١ ١٥ ٣ ٩+ + ١ ١ ١

٩ ٤ ٣+ +

احلل

ــرين ــود الكس ــظ وج ١نالح ١،٣ ٩

ــودين يف العم

: وبطرحهما من العمودين جند أن

١العمود األول ١٥ ٣= ١

٩− ١ ١

٥ ٣− + ١

٩+ =

١الثاين العمود ١٤ ٩= ١

٣− ١

٩− ١ ١

٤ ٣+ + =

من السهل املقارنة بني العمودينأصبحاآلن

١واضح أن ١٥ ٤

χاإلجابة الصحيحة :كان باإلمكان االختصار بالصورة التالية

١٩

١ ١٤ ٣

+ + ١ ١٥ ٣+ ١

٩+

١ ١٤ ٥


٧٣

)مثال ): ١٢ ٣− قارن بني

( )( )٦ ١٧ ٥٩ ٤٣− + ( )( )٦ ١٧ ٥٩ ٤٣+ + احلل

)بقسمة العمـودين علـى )٥٩ الحـظ أن ( +٤٣

( )٥٩ اجتـاه عدد موجب وبالتـايل ال يـتغري +٤٣

:جند أن ) املتباينة

)األول ) ( ) ( )٦ ١٧ ٥٩ ٤٣٦ ١٧

− +− =

( )٥٩ ٤٣+=

)الثاين ) ( ) ( )٦ ١٧ ٥٩ ٤٣٦ ١٧

+ ++ =

( )٥٩ ٤٣+=

)واضح أن ) ( )٦ ١٧ ٦ ١٧− +


)مثال ): ١٣ ٣− قارن بني

( )( )٢٦ ١٧ ٥٩ ٤٣− −( )( )٢٦ ١٧ ٥٩ ٤٣+ −

احلل٥٩ :الحظ أن ٤٣= عدد سالب ، وبالتايل عند −وهـذه . املتباينـة عليه سوف تـتغري إشـارة القسمة

.الطريقة غري جمدية هنا موجب ألنه حاصـل ضـرب عـددين :العمود األول

.سالبني سـالب ألنـه حاصـل ضـرب عـدد : العمود الثاين

موجب يف عدد سالب الثاين أكرب من العمود األولواضح أن العمود

.δاإلجابة الصحيحة

)مثال ): ١٤ ٣− سالب عددεإذا كان

قارن بني٢ε ٢ε−

احلل

: إىل الطرفني ، جند أن ٢εبإضافة

٢العمود األول ٢ ٢٢ε = ε+ ε =

٢العمود الثاين ٢٠= ε− ε = ٢ فـإن عدد سـالب εومبا أن ٢ε عـدد موجـب

وبالتايل يكـون العمـود األول أكـرب مـن العمـود الثاين


)تدريب ): ٤ ٣−

قارن بني

٢٠٢∂

٥٥∂

احلل :بتربيع كل عمود ، جند أن

)العمود األول )= = =

)العمود الثاين )= = =

العمود الثاين...............واضح أن العمود األول ...........اإلجابة الصحيحة


٧٤

ــيغتان ٤ ــون الص ــن أن تك ــل ميك ــأل ه أس ؟ أو هل جيب أن تتساوى ؟نيمتساويت

ن التطبيقـات تستخدم هذه الطريقـة يف كـثري مـ ولكن تستخدم بشكل فعـال عنـد املقارنـة بـني

أحـدمها حيتـوي علـى مـتغريات واآلخـر عمودين .حيتوي على أرقام

:وسوف نستعرض ذلك من خالل األمثلة التالية

)مثال ): ١٥ ٣− أطوال أضالع مثلث ٤،٣ε،إذا كان

قارن بني

ε ٥ احلل

ــؤال ــرح الس ــدأ بط ــل ميكــن أن يكــون :اب ه ؟ مبعـىن آخـر هـل ميكـن أن نيالعمودان متساوي

٥تكون = ε؟ هي أطوال أضالع املثلـث ٥،٤،٣نعم ألن : اإلجابة

. املشهور القائم الزاوية δ ، χ نستبعد اخليارين : إذا

٥ هــل جيــب أن تكــون :الســؤال الثــاين = ε فقط ؟

ال، فنحن نعلم من متباينة املثلث أن طـول : اإلجابة أي ضلع فيه أصغر من جمموع الضلعني اآلخرين ،

٧: أي أن وأكرب من الفرق بينهما ١ε

:لتوايل توضح ذلك واألشكال ا

ــود األول أكــرب أو : إذا ميكــن أن يكــون العم

أصغر أو يساوي العمود الثاين α اإلجابة الصحيحة

)مثال ): ١٦ ٣−

٧٥إذا كان ٤ ٦٩ε

قارن بني

ε ١٨ احللــد ــؤال اب ــرح الس ــل ميكــن أن يكــون : أ بط ه

؟ مبعـىن آخـر هـل ميكـن أن نيالعمودان متساوي ١٨تكون =ε؟

ــة ــت : اإلجاب ــه إذا كان ــم ألن ١٨نع = ε ــإن ف

٧٢ ٤= ε حتقق الشرط يف السؤال. δ ، χ نستبعد اخليارين : إذا

١٨ هـل جيـب أن تكـون :لثـاين السؤال ا =ε أكرب ε مبعىن آخر هل ميكن أن تكون فقط ؟

وحتقق الشرط بالسؤال؟١٨أو أصغر من : اإلجابة

٦٩ ٦٨ ١٧ ٤ ٤ ١٧= × = ε ⇐ =ε ٧٥ ٧٦ ١٩ ٤ ٤ ١٩= × = ε ⇐ =ε

ال هو العدد الصحيح الذي حيقق شرط السؤ : إذا ١٨ = ε .

حيـث أن . عـدد صـحيح εولكن مل يشترط أن ٧٥الشرط الوحيد هو ٤ ٦٩ε .


٧٥

٧٠فلو كانت ٤= ε فإن قيمـة ٧٣ أو ٧١٫٦ أو ε ١٨ عندها سوف تكون أصغر من معلومات كافية للمقارنةدال توج : إذا


)مثال ): ١٧ ٣− فيــه χ فيــه عشــرة صــرافني ، والبنــك δالبنــك

عشرين صراف ، وكل بنك عدد الصـرافني فيـه السعوديني أكثر من الصرافني الغري سعوديني

قارن بنيفني عدد الصرا

δالسعوديني يف البنك عدد الصرافني χالسعوديني يف البنك

احللــؤال ــرح الس ــدأ بط ــل ميكــن أن يكــون : اب ه

؟ مبعـىن آخـر هـل ميكـن أن نيالعمودان متساوي عدد الصرافني السعوديني يف البنكني متساوي ؟

ال ألن أكثر من نصف الصرافني بالبنـك : اإلجابة χ ي على األقل عـدد وهذا العدد يساو ( سعوديني

) .δالصرافني يف البنك األول أكرب من العمود الثاينواضح أن العمود


)مثال ): ١٨ ٣− :إذا كان

( )( )( )٧٢٠ ٣ ٢ ١= +ε +ε +ε قارن بني

٢+ε ١٠ احللــ ــؤال اب ــرح الس ــل ميكــن أن يكــون : دأ بط ه

العمودان متساويان ؟ مبعـىن آخـر هـل ميكـن أن ١٠تكون ٢= +ε؟

ــة ــت : اإلجاب ــه إذا كان ١٠ال ألن ٢= +ε ــإن ف

٩ ١= +ε، ١١ ٣= +ε وبالتايل يكون:

( )( )( )٧٢٠ ٩٩٠ ٣ ٢ ١= +ε +ε +ε والناتج هنا أكرب من الشرط املعطى يف السؤال

.βاخليار نستبعد : إذا :وحىت يتحقق الشرط جيب أن يكون

١٠ ٢+ε χاإلجابة الصحيحة


٧٦

)مثال ): ١٩ ٣− قارن بني


٢ سم٢١مساحته سم٢٠

:احللــؤال ــرح الس ــدأ بط ــل ميكــن أن يكــون : اب ه

؟ مبعـىن آخـر هـل ميكـن أن نيالعمودان متساوي

حميطـه ٢ سم ٢١يكون املستطيل الذي مساحته سم ؟٢٠يساوي ٣ ، ٧خذ املستطيل الـذي أبعـاده . نعم : اإلجابة :سم فإن

٢١مساحته ٣ ٧= × ٢ سم=)حميطه )٢٠ ٣ ٧ ٢= + سم=

δ ، χ نستبعد اخليارين : إذا هل جيب أن يكون املستطيل الذي :سؤال الثاين ال

سم فقـط ؟ ٢٠ حميطه يساوي ٢ سم ٢١مساحته مبعىن آخر هل ميكن أن يوجد مستطيل مسـاحته

سم ؟٢٠يطه ليس بالضرورة يساوي حمو٢ سم٢١ نعـم ، فهنـاك عـدة مسـتطيالت حتقـق :اإلجابة

اإلجابـة عــن الســؤال أعــاله كمــا يف األشــكال :التالية


ال تستهلك الوقت باحلسابات ٥

قارنة بـني اليت يرتكبها الطالب يف امل اءمن األخط إجياد ةان عمليات حسابية هو حماول يصيغتني حتتو

القيمة الصـحيحة لكـل عمـود ومـن مث املقارنـة ولكن ليس من الضروري استهالك الوقت . بينهما

ألن املطلــوب منــك املقارنــة ولــيس يف احلســابات . إجياد القيمة

) مثال ): ٢٠ ٣−

قارن بني

٤١ ٣٧ ×٥٥ ٥١× احلل

٥١من الواضح أن ٣٧ وكذلك ٥٥ ٤١ ٣٧: وبالتايل فأن ٥١ ٤١ ٥٥× ×



٧٧

)مثال ): ٢١ ٣− قارن بني

لعام عدد السنوات من ا١١٢٠ γ إىل عام

١٤١٥γ

عدد السنوات من العام ١١٠٠ γ إىل عام

١٤٢٥γ احلل

ليس هنـاك داعـي لعمـل احلسـابات ، واضـح أن بداية السنوات يف العمود الثاين قبل بداية السنوات يف العمود األول ، واية السنوات يف العمود الثاين

بعد اية السنوات يف العمود األولح أن عـدد السـنوات يف العمـود الثـاين واض : إذا

أكرب من عدد السنوات يف العمود األول χاإلجابة الصحيحة

عدد السنوات يف العمود األول

٢٩٦ ١ ١١٢٠ ١٤١٥= + − سنة = عدد السنوات يف العمود الثاين

٣٢٦ ١ ١١٠٠ ١٤٢٥= + − سنة =

)مثال ): ٢٢ ٣− قارن بني

٢ ٢٢٧ ٤٣+ ( )٢ ٢٧ ٤٣+ احلل

هـذه فتوجد قيمة كل عمـود إذا كنـت ال تعـر : احلقيقية الرياضية

: عددين موجبني فإن δ ، χإذا كان

( )٢٢ ٢χ+ δ χ+ δ

العمود الثـاين : وباستخدام تلك احلقيقة واضح أن ولأكرب من العمود األ .χاإلجابة الصحيحة

) مثال ): ٢٣ ٣−

قارن بني

( )٥٦ ٣٤ ٥٦ +١٢ ١٢ ٣٤ ١٢× + × احلل

هـذه فتوجد قيمة كل عمـود إذا كنـت ال تعـر : احلقيقية الرياضية

: أعداد حقيقية فإن δ ، χ ، βإذا كان

( )χβ+ δβ = χ+ δ β

العمود األول يساوي العمود الثاين: ضح أن وا .βاإلجابة الصحيحة


٧٨

)مثال ): ٢٤ ٣− إذا كان معـدل درجـات طالـب بالرياضـيات ألول

درجة ، وحصل يف االختبـارين ٧٥ثالثة اختبارات درجة ٨٠الرابع واخلامس

قارن بنيــدل ــبمع ــد الطال بع

اختباره الرابعــدل ــبمع ــد الطال بع

اختباره اخلامس احلل

ستذكر أن املطلـوب أي مـن املعـدلني أعلـى ولـي .املطلوب إجياد قيمة هذا املعدل

٨٠واضح أن معدله بعد االختبار الرابع أصغر مـن درجـة يف ٨٠و معدله بعـد حصـوله علـى . درجة

.االختبار اخلامس ، سوف يرتفع العمود الثاين أكرب من العمود األول : إذا


:العمود األول

٣٠٥ ٨٠ ٧٥ ٧٥ ٧٥٧٦٫٢٥٤ ٤

+ + += =

:العمود الثاين ٣٨٥ ٨٠ ٨٠ ٧٥ ٧٥ ٧٥٧٧٥ ٥

+ + + += =

العمود الثاين أكرب من العمود األول : إذا

αتعلم مىت تستبعد اخليار ٦

إذا كانت املعطيات يف العمودين هي أرقام ، فـإن ألن أي رقمني إما يكونا . مستبعد متاما αاخليار

متساويني أو أحدمها أكرب من اآلخر أو أصغر منهوإذا وجدت مسائل من هـذه النوعيـة وال تسـتطيع

ارات الثالث األخرى غـري حلها ، فقط فكر باخلي .αاخليار

.وسوف نستعرض أمثلة توضيحية

) مثال ): ٢٥ ٣− عددقارن بني

األيام يف قرن واحد يف يوم واحدالثوان :احلل

ــار ــتبعاد اخلي ــابق اس ــال الس ، αواضــح يف املث ، لذلك استبعد نيكذلك واضح أما غري متساوي

تكن تعرف حتل املثال السابق ، إذا مل βاخليار .δ ، χفقط مخن بني اخليارين



٨٦٤٠٠ ٦٠ ٦٠ ٢٤= × × :العمود الثاين

٣٦٥٠٠ ٣٦٥ ١٠٠= × واضح أن العمود األول أكرب من العمود الثاين


٧٩

)مثال ): ٢٦ ٣− قارن بني

احة مربع طول مس سم٤ضلعه

ضعف مساحة مثلث متطابق األضالع طول

سم٤ضلعه :احلل

، ألن كل αمن الواضح أنه جيب استبعاد اخليار .من العمودين حيتوي على أرقام

فـإن مسـاحته ٤مبا أن ارتفاع املثلـث أصـغر مـن

١٨سوف تكون أصغر من ٤ ٤٢

= × م٢× س

وعليه فإن ضـعف مسـاحته سـوف تكـون حتمـا ١٦أصغر من ٨ ٢= م٢× س

٢١٦ومبا أن مساحة املربع ٤= م٢= س مســاحة املربــع أكــرب مــن ضــعف مســاحة : إذا

.املستطيل δاإلجابة الصحيحة


٢١٦مساحة املربع ٤= م٢= س :العمود الثاين

٣مساحة املثلث ٤٣٤∂∂ = م٢= س

٣ضعف مساحته ٢∂ م٢= س

١٦وواضح أن ٣ ٢∂

)مثال ): ٢٧ ٣− مرة واحدة ديةقطع نقثالث قذفت

قارن بني احلصول على احتمال

صورة فقطاحتمال احلصول على

صورتني فقط :احلل

مـي ثـالث قطـع بدون إجراء حسابات ، عنـدما تر فإن احلصول على صـورتني يعـين احلصـول نقدية

وهذا يعين أن احتمال احلصول على على كتابة ، صورتني يسـاوي احتمـال احلصـول علـى كتابـة واحدة ، وهذه تساوي احلصول على صورة واحدة

. العمودان متساويان : إذا βاإلجابة الصحيحة

:فراغ العينة سوف يكون كالتايل

، ، ،، ، ، ،

ΘΘλ λΘλ Θλλ λλλΘΘΘ λΘΘ ΘλΘ λλΘ

حيث

λ : تعين صورة.

Θ : تعين كتابة ٨عدد عناصر فراغ العينة =

٣احتمال ظهور صورة واحدة فقط ٨=

٣احتمال ظهور صورتني فقط ٨=

. العمودان متساويان : إذا βاإلجابة الصحيحة


٨٠

)مثال ): ٢٨ ٣− قارن بني

الوقت املستغرق لقطع كلم ٤٠مسافة

س/ كلم ٣٥بسرعة

الوقت املستغرق لقطع كلم ٣٥ مسافة س/كلم ٤٠بسرعة

:احلل واضح أن السرعة أقل من املسافة العمود األوليف

.وبالتايل سوف حيتاج ألكثر من ساعة لقطعها السرعة أكرب من املسافة ، العمود الثاينويف

.وبالتايل سوف حيتاج ألقل من ساعة لقطعها العمود األول أكرب من العمود الثاين: إذا


ــافة املسـ

الزمن السرعة

=

٤٠ :العمود األول٣٥

= الزمن ساعة١٫١٤٢=

٣٥ :العمود الثاين٤٠

= الزمن ساعة ٠٫٨٧٥=

الكبريةاألعدادتعامل مع ٧

عــدادايف بعــض التمــارين ، جنــد يف العمــودين أ كبرية إلجياد قيمـة كـال منـها حتتـاج إىل وقـت

ولكـن باسـتخدام بعـض املنطـق . طويل نوعا مـا الرياضي واالستقراء ستجد أن احلل أكثر سهولة

)مثال ): ٢٩ ٣−

قارن بني٦ ٥٦ ٧٧ +٥

احللمن الصعب حسـاب قيمـة كـل عمـود ، ولكـن

:نالحظ أن ٧ ٧ ٦ ٦ ٦ ٦ ٦ ٥٧ ٦ ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٦ ٦ ٥= × × = + +

ي أن العمود الثاين أكرب من العمود األولأ χاإلجابة الصحيحة

) مثال ): ٣٠ ٣−

قارن بني٩٩ ٩٨٩٩ ١٠٠١٠٠ +٩٨

احلل :استخدم االستقراء الرياضي

٣ ٢ ١

٤ ٣ ٢

١٠٠ ٩٩ ٩٨

٢٧ ٣ ٥ ٢ ١

٢٥٦ ٤ ٣١ ٣ ٢

١٠٠ ٩٩ ٩٨

= = +

= = +

+ ∴

∵

∵



٨١

)مثال ): ٣١ ٣− قارن بني

!١٠٠!٩٨

( )!٥٠ ٢!٤٩

احلل :استخدم االستقراء الرياضي

( )( )

( )

!٢ !٤٤ ٢ ١٢!١ !٢!٣ !٦٦ ٢ ٣٠!٢ !٤

!٥٠ !١٠٠٢!٤٩ !٩٨

= =

= =


:لعمود األول ا

!٩٨٩٩٠٠= ٩٩ ١٠٠!٩٨× × !١٠٠

!٩٨=

:العمود الثاين !٤٩١٠٠= ٥٠

!٤٩×( ) ( )!٥٠٢ ٢

!٤٩=

)١ -٣( تمارين

يف كل من األسئلة التالية : تعليمات أسئلة املقارنة صيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف

يفمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل الع :احلرفورقة اإلجابة

δ ( إذا كانت الصيغة يف العمود األول أكرب منها .يف العمود الثاين

χ ( إذا كانــت الصــيغة يف العمــود األول أصــغر . يف العمود الثاين امنهβ (نيإذا كانت الصيغتان متساويت α ( كافيــة إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري

.للمقارنة

٠إذا كان )١ δ

قارن بني

٤δ ٤ δ ٠ إذا كان )٢ δ

قارن بني

١٠δ ١٠δ

٠ إذا كان )٣ χδ

قارن بني

( )٢ χ+ δ ٢ ٢χ+ δ


٨٢

٠ إذا كان )٤ ε قارن بني

ε∂ ε ٤ إذا كان )٥ ١ε

قارن بني

επ ٢ε

: إذا كان )٦٥٥

=λ+ε−=ε−λ

قارن بنيλ ٠

ــتقيم )٧ ــان املسـ ــالنقطتني τ إذا كـ ــر بـ ميـ

( ) ( )٢،٥ ، ⊥τ واملستقيم١،١ κ

ميل املستقيم قارن بني

τ κ

عدد صحيح موجب ε إذا كان )٨

عدد مضاعفات العددقارن بني

واحملصورة بني ٣

ε+١٠٠ و ١٠٠ واحملصورة بني ٧

ε+١٠٠ و ١٠٠

، إذا كانت )٩ ،ς λ ε ثالثة أعداد صـحيحة

٤٠٠،٣٠٠متتابعة بني العددين

حلسايب الوسط اقارن بنيς،للعددين ε لألعداد، ،ς λ ε

، إذا كـان احملـل از حمالن لبيع أجهـزة تلفـ )١٠ ⊇١٠األول يبيع جهاز التلفزيـون بتخفـيض قـدره

بيع احملل الثاين لنفس التلفزيون سعر أقل من ون عندما سعر التلفزيقارن بني

يبيعه احملل األول ⊇١٠بتخفيض

يبيعه احملل الثاين ⊇٢٠بتخفيض

٣ إذا كان )١١ ٢ ١، ،γ γ γ هي قياسات زوايا املثلث

٣ ،وكانـت βχδاملنفرج الزاوية ٢ ١، ،κ κ κ هـي

ςλεقياسات زوايا املثلث القائم الزاوية

ياا الوسط احلسايب لزوقارن بنيβχ δ ςλε

إذا كان )١٢٢

٢٥٥

٧ ٧ε=ε

قارن بنيε ١

عدد السـنتيمترات املربعـة ملسـاحة إذا كان )١٣

سطح خارجي ملكعب يسـاوي عـدد السـنتيمترات املكعبة حلجمه

قارن بني سم٦ طول ضلع املكعب


٨٣

١٤( قارن بني

٤٩٩ ٢٩٩ ٩٩+ + ٥٠٧ ٣٠٥ ١٠٣+ + ١٥(

احة دائرة مسقارن بني سم٣٥قطرها سم١٧نصف قطرها

١٦(

قارن بني٧٨

( )٥ ٧٨

وδ إذا كان حميط كـل مـن املسـتطيلني )١٧χسم ٢٦اوي يس

قارن بني χ: مساحة δ: مساحة

ريال ٦٠٠ يزيد مببلغ دفع أمحد فاتورة هاتفه )١٨

عن فـاتورة يوسـف ، لكـن فـاتورة يوسـف تقـل ــدار ــة ٤٠٠مبق ــد البالغ ــاتورة ماج ــن ف ــال ع ري

ريال ١٨٠٠ قارن بني

ريال٣٢٠٠يوسفما دفعه أمحد و

=٤٨١ إذا كان )١٩ ε قارن بني

ε ٤ ٢ε إذا كـــــــان )٢٠ λ+ε حيـــــــث ،Η∈λ ε

قارن بني٢ε ٢λ

٢١(

قارن بنيطول ضلع مربع

٢سم٤مساحته

طول ضلع مكعب

٣سم٨حجمه ٢٢(

قارن بني١ ١١ ÷

εε

١ ١×ε ε

٣١: إذا كان )٢٣ ٠ε حيث ، ε قابلـة

.٩ وعلى ٣للقسمة على قارن بني

ε ٢٧


٨٤

إذا كان التحويل مـن درجـة احلـرارة املئويـة )٢٤

( )°κ ــت ــرارة بالفهراي ــة احل ) إىل درج )°ν

٩٣٢: تعطى بالعالقة ٥

+ °κ = °ν

قارن بني٠٢٥°κ ٤٧٠°ν

١إذا كان )٢٥ ε

قارن بني

٢٢

λε ελ

∂× ∂ ε

٢٦(

قارن بني٣٤١١٢

+

١٢

٢٧(

قارن بني١١٣١ ١٤١٧

تمارين عامة على الباب األول أسئلة االختيار من متعدد: أوال

فيما يلي عدد من األسئلة ، يتبع كال منـها أربعـة جابـة الصـحيحة مث اختر مـن بينـها اإل . اختيارات

رف املقابل هلا يف ورقة اإلجابةاحلظلل

١ أي من األعداد التالية أكرب من )١٢

؟

( )δ ٢٥

( )β٤٩

( )χ٤٧

( )α ٥١١

كم املسـافة . ث / م ٥ جسيم يتحرك بسرعة )٢

اليت يقطعها يف ساعة ؟

( )δ ٣٠٠ ( )β١٨٠٠ ( )χ٧٢٠ ( )α ١٨٠٠٠

ما هـو الوسـط احلسـايب ملضـاعفات العشـرة )٣

؟١٩٠ إىل ١٠ منلألعداد

( )δ ٩٠ ( )β١٠٠ ( )χ٩٥ ( )α ١٠٥

. كجـم ٦لشكل تزن قطعة معدنية مكعبة ا )٤

من نفـس مكعبة الشكل و كم وزن قطعة أخرى القطعة األوىل ؟حرف ضعف حرفهااملعدن إذا

( )δ ٤٨ ( )β٢٤ ( )χ٣٢ ( )α ١٨


٨٥

بالنشاط ون مشترك ٤١ طالبا ، ٧٨ صف به )٥ بالنشاط االجتماعي ، ون مشترك ٢٢الرياضي ،

. مشتركني بالنشاطني الرياضي واالجتمـاعي ٩ كم عدد الطالب الذين مل يشتركوا بأي نشاط ؟

( )δ ٦ ( )β٢٤ ( )χ١٥ ( )α ٣٣

٦( ( )٢٣ ٢= ∂ + ؟∂

( )δ ٦ ٢ ٥∂ + ( )β٦ ٢ ١∂ −

( )χ٦ ٥∂ − ( )α ٢ ١∂ −

٣٠ )٧ ٣٠ ٣٠ ٣٠٢ ٢ ٢ ٢= + + ؟+

( )δ ١٢٠٨ ( )β٣٢٢ ( )χ٣٠٨ ( )α ٣٠٢

سـعودية ، وهنديـة :فئات نقديـة لدى حممد )٨

وبريطانية ، إذا كانت نسبة السعودية إىل اهلندية

٢ فما هـي ١:٥ ونسبة اهلندية إىل الربيطانية ٥: النقود السعودية إىل الربيطانية ؟نسبة

( )δ ٥ :١٠ ( )β٢:٢٠

( )χ٢ :١٥ ( )α ٢ :٢٥ سم ٤سم ، ٣أبعاده دائرة داخل مستطيل رسم )٩

؟ الدائرة فما هو حميط

( )δ ٢٫٥π ( )β٥π

( )χ٣π ( )α ١٠π

٥ )١٠⊆ ٥ من املقدار ∂ :تساوي ∂٥

( )δ ٠٫٠٥ ( )β٠٫٥

( )χ٠٫٢٥ ( )α ٢٫٥ =٢١٢ إذا كان )١١ ε ٤فإن= ε

( )δ ١٤٤ ( )β٣٦ ( )χ٧٢ ( )α ٢٤

١٢(

إىل املـدينتني δيريد حممد االنتقـال مـن املدينـة ،β χ، والطرق تربط املدن كما هو بأي ترتيب

كم . ااورموضح بالرسم عدد الطرق اليت يسلكها

عائدا لنفس املدينة ، ومارا باملـدينتني δحممد من ،β χ يف حبيث ال مير بالطريق أكثـر مـن مـرة

؟الرحلة الواحدة

( )δ ١٠ ( )β٦ ( )χ٨ ( )α ٤

١٣( ٤ ٥٦ ٦٥−=

( )δ ٦٥

( )β٤٦٥

( )χ٣٦ ( )α ٤٦


٨٦

املقابليف الشكل )١٤

٣ = χδم س

٤ = αδ ٩ سم = αβ احسـب مسـاحة . سم املنطقة املظللة

( )δ ١٨ ( )β٩ ( )χ١٣٫٥ ( )α ٤٫٥

يف الشـــــكل )١٥

ــل ــع املقابــ ، املربــ

αβχδ طــــــول γ سم ، ٣ضلعه

] تقع منتصف ]χδ ، κ تقـع منتصـف [ ]αδ .

.احسب مساحة املنطقة املظللة

( )δ ٣ ( )β٤٫٥

( )χ٤ ( )α ٦ سـم ٥٠ يف حوض ماء طولـه ا لتر ١٢ سكب )١٦

فمــا هــو . ســم ٤٠ ســم ،وارتفاعــه ٣٠وعرضــه ارتفاع املاء يف احلوض بالسنتيمتر ؟

( )δ ٦ ( )β١٠ ( )χ٨ ( )α ٢٠

حافلــة نقــل مجــاعي ، محلــت ركــاب مــن )١٧طة األوىل ، فإذا علمت بأنـه يف كـل حمطـة احمل

حتوقف يغـادر احلافلـة نصـف ركاـا وال يسـم بركوب أي راكب بعد احملطة األوىل ، فإذا نـزل

كـم كـان . راكب واحد يف احملطة رقـم سـبعة عدد ركاب احلافلة يف احملطة األوىل ؟

( )δ ١٢٨ ( )β٣٢ ( )χ٦٤ ( )α ١٦

بكم طريقة ميكننا اختيـار قلـم ومسـطرة )١٨

ودفتر من بني ثالثة أقـالم وثالثـة مسـاطر وثالثـة األلوان ؟ دفاتر خمتلفة

( )δ ٩ ( )β١٨ ( )χ١٢ ( )α ٢٧

ساعات أيام السبت ، االثـنني ٨ يعمل حممد )١٩

وال . الثالثـاء ، األحـد يومي ساعات ٦ ، األربعاءإذا علمــت أنــه . يــومي اخلمــيس واجلمعــة ليعمــ

فكـم أجـره . ريـال أسـبوعيا ٣٢٤حيصل علـى بالساعة الواحدة ؟

( )δ ١١ ( )β٩ ( )χ١٠ ( )α ٨


٨٧

، املقابــليف الشــكل )٢٠ضلعا املربع مماسان للدائرة

٢ليت مساحتها ا ٤π δ.

فما مساحة املربع ؟

( )δ ٢ ٢δ ( )β٢ ١٦δ ( )χ٢ ٤δ ( )α ٢ ٦٤δ

ــث حميطــه )٢١ ه ي ســم ، وطــويل ضــلع ١٣ مثل

١ن يالقصري ،+ι ι فمـا هـو طـول ضـلعه . سم

الثالث ؟

( )δ ٢ ( )β٦ ( )χ٤ ( )α ٨

ــا )٢٢ ــة م ــدد خان ــاد يف الع ــدما ٣٢٠٢ اآلح عن

نضاعفه ؟

( )δ ٢ ( )β٦ ( )χ٤ ( )α ٨

٢٣( ( ) ( ) ( )٢ ٤١٠ ٤ ١٠ ٢ ١٠ ٣= × + × + ×

( )δ ٣٠٢٤٠٠ ( )β٣٠٢٤٠ ( )χ٣٢٤٠٠ ( )α ٣٢٤٠

ــكل )٢٤ يف الشــــــل ــة املقابــ ، بطاقــ طوهلامستطيلة

ــم ، ١٦ ــان ٨وعرضــها س ــم ، قصــت دائرت س. متساويتان حيث قطر كل منها أكرب ما ميكـن

؟تقريبا ما مساحة املنطقة املظللة

( )δ ٧٨ ( )β٢٧ ( )χ٥٤ ( )α ١٣

ــا ، إذا )٢٥ ــل ســتة أشــخاص يف مكــان م تقاب

. مرة واحدة فقـط صافح كل شخص منهم اآلخر كم عدد املصافحات اليت متت ؟

( )δ ٣٠ ( )β١٨ ( )χ٢١ ( )α ١٥

٢ إذا كــــــــــــــان )٢٦ ٢٥٥ = λ− ε ،

١١=λ−ε فإن =λ

( )δ ٥ ( )β٨−

( )χ٣ ( )α ٣−


٨٨

يف الشــــــكل )٢٧ مســـتطيل اـــاور ســم ، ٢٦حميطــه

رمست نصف دائرة

٢ سـم ٨πومسـاحتها . سم αβطول قطرها املظللة ؟غريما حميط املنطقة

( )δ ٤ ٢٦π − ( )β٤ ١٤π −

( )χ٤ ١٨π − ( )α ٨ ١٨π − ٦٥ إذا كان أجرة طرد بريدي حملطة معينـة )٢٨

١٠٠ هالالت لكـل ١٠ جرام ، و ٢٥٠هللة ألول كم يكون وزن الطـرد . أو جزء منه جرام إضايف ريال ؟ ١٫٥٥الذي يكلف

( )δ ١١٥٥ ( )β١١٤٥ ( )χ١١٥٠ ( )α ١٠٤٠

إذا كان الوزن اإلمجايل لعلبة طعـام ممتلئـة )٢٩

٣وبعد أكـل . كجم ٢بطعام ٤

الطعـام ،أصـبح

كم وزن العلبة فارغة ؟ . كجم ٠٫٨بة وزن العل

( )δ كجم٠٫٢ ( )βكجم٠٫٤ ( )χكجم٠٫٣ ( )α كجم٠٫٥

وحدها الثـاين ١ متتابعة حدها األول يساوي )٣٠، وبدء من احلد الثالث كـل حـد فيهـا ٥يساوي

يساوي الوسط احلسايب لكل احلدود السابقة لـه ؟ فما هو حدها اخلامس والعشرون .

( )δ ٢٫٥ ( )β٥ ( )χ٣ ( )α ٢٥

ــا العمليـــة )٣١ ε إذا عرفنـ λ كالتـــايل :

٢ε λ=ε λ لكـــل األعـــداد الصـــحيحة)فإن . املوجبة )٢ ٤ ٣=

( )δ ١٢٣ ( )β٢٤٣ ( )χ١٦٣ ( )α ٣٢٣

ــان )٣٢ λ∋، : إذا كـــ εــان ، وكـــ

١٣ ٢ ٣=λ +ε . فأي من القيم التالية ميكن ؟λتكون قيمة لـ

( )δ ١ ( )β٣ ( )χ٢ ( )α ٤

ــداد )٣٣ ،األع ، ،α β χ δــل أ يف رقامــا متث

:ع التالية عملية اجلم٥

٤ ٣

δβ χ +

α

α: أوجد حاصل اجلمع + β + χ+ δ؟

( )δ ٢٣ ( )β١٨ ( )χ٢٢ ( )α ١٦


٨٩

٣٤( • • •• • •• • •

يف الشكل أعاله ، أي نقطـة تبعـد عـن األخـرى ما هو طـول أكـرب . وحدتني أفقيا وكذلك رأسيا

قطعة مستقيمة ميكن رمسهـا حبيـث تـربط بـني اه بشرط أن ال متر بنقطة ثالثة ؟نقطتني بأي اجت

( )δ ٢ ( )β١٠∂ ( )χ٢ ٢∂ ( )α ٥ ٢∂

) مستقيم مير بالنقطة )٣٥ ٥ وميلـه ٥،٥(٦

فـأي

؟ من النقاط التالية ال تقع عليه

( )δ ( )٢،٢٫٥ ( )β( )٧٫٥،٨

( )χ( )١٠،١١ ( )α ( )٠،١− أي مما يلـي ال ميكـن أن يكـون حـدا مـن )٣٦

٨،: حدود املتتابعة ،١٢ ،١٦ ،٢٠− − − ؟−

( )δ ٢٠٠ ( )β٦٦٨ ( )χ٤٤٠ ( )α ٧٦٢

أجاب طالل يف اختبار مـا عـن األسـئلة مـن )٣٧

ليت أجاب عنها؟كم عدد األسئلة ا. ١٢٥إىل ٧٤

( )δ ٥٣ ( )β٥١ ( )χ٥٢ ( )α ٥٠

يف الشــكل )٣٨ــل ــث املقابـ املثلـβχδ مساحته

ــم٤٠ ــه ،٢ ســــــ χιوفيــــــ = ιδ ،

[ ] [ ]βχ ιγ احسب مساحة املثلث ، ιγδ

( )δ ١٠ ( )β٢٠ ( )χ١٥ ( )α ٣٠

ــكل )٣٩ يف الشـ

ــل املقابـــــــــــ

] ]αβ χδ ، °٣٠وقيــاس = γδχ ٥٠ ، وقيــاس° = αβγ .

؟βγδكم قياس

( )δ ١٠٠° ( )β٨٠° ( )χ٩٠° ( )α ٧٠°

٤٠( ٢ ٢χ− δ=χ−δ

( )δ ٢ ٢١+ χ+ δ( )βχ−δ ( )χχ + δ ( )α χδ


٩٠

٤١(

ــها ــم داخل ــرة ، رس ــع دائ ــاله رب يف الشــكل أع

ما طـول . سم ٦ سم ، وعرضه ٨مستطيل طوله

⎡القوس ⎤βχδ⎣ ) βχδ( ؟ ⎦

( )δ ٥π ( )β٢٥ ( )χ١٠π ( )α ١٤

٤٢ (

ε λ

٥ ٢ ١٠ ٣

١٧ ٤ ٢٦ ٥

ــني ــربط ب ــيت ت ــة ال ــاله ، العالق يف اجلــدول أع

،λ ε هي :

( )δ ٤+ε =λ ( )β١ ٣−ε

( )χ١ ٢+ ε =λ( )α ٢١+ ε

يف εما قيمـة )٤٣ الشكل ااور ؟

( )δ ٤٠° ( )β ٩٠° ( )χ ٥٠° ( )α ١٤٠°

كــم عــدد الــدرجات الــيت يقطعهــا عقــرب ) ٤٤

دقيقة ؟٨٠الساعات خالل

( )δ ٢٠° ( )β ٦٠° ( )χ ٤٠° ( )α ٨٠°

:إذا كان ) ٤٥

٢ ٢٢٠= λ− ε ، ١٠=λ−ε ؟λفما هي قيمة

( )δ ٦− ( )β ٤ ( )χ ٤− ( )α ٦

χ،: إذا كان )٤٦ δ مها طويل ضلعي القائمة يف

سـم ، ومسـاحته ١٠مثلث قائم الزاوية طول وتـره

)فما قيمة . ٢سم٢٠ )٢ χ+ δ؟

( )δ ١٠٠ ( )β ١٤٠ ( )χ ١٢٠ ( )α ١٨٠


٩١

ــان )٤٧ ١: إذا كـ ١ ١١٢ = + +ε ε ε

ــإن . فـ

= ε ( )δ ١

١٢ ( )β ١

٣

( )χ ١٤

( )α ٣

ما الـرقم الـذي فيـه خانـة املئـات يف جـزءه )٤٨

الصحيح تساوي خانة املئات يف جزءه العشري ؟

( )δ ٢٢٠٠٫٠٠٢٢ ( )β ٢٢٤٢٫٤٢٤٢

( )χ ٢٢٢٤٫٢٤٤٢ ( )α ٢٢٤٦٫٢٤٦٢ سـب منـها ، وك εفريق كرة قـدم لعـب )٤٩λ فما هو الكسر الذي ميثـل خسـارته . مباراة

يف املباريات ؟

( )δ ε−λλ

( )β λ−εε

( )χ ε−λε

( )α ελ−ε

ريـاال εدخل بسام يف مشروع جتاري مببلغ )٥٠

⊇١٠ ، مث كسـب فيـه الحقـا ⊇١٠فخسر فيه . ؟ ١٠εفكم نسبة

( )δ ٩⊆ ( )β ١٠⊆ ( )χ ٩٫٩⊆ ( )α ٩٩⊆

أسئلة املقارنة: ثانيا

يف كل من األسئلة التالية : أسئلة املقارنة تعليماتصيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل يف

:ورقة اإلجابة احلرفδ ( إذا كانت الصيغة يف العمود األول أكرب منها

.يف العمود الثاين χ ( إذا كانــت الصــيغة يف العمــود األول أصــغر . يف العمود الثاين امنهβ (نيإذا كانت الصيغتان متساويت α ( إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري كافيــة

.للمقارنة

٥١(

قارن بنيδχβα

α×δβ×χ

إذا كــان الوســط احلســايب ألربعــة أعــداد )٥٢

٦٠وجمموع ثالثة أعداد منها يساوي ٢٠يساوي قارن بني

العدد الرابع ٢٠


٩٢

٥٣ ( قارن بني

١٦ ٩∂+ ∂ ١٦ ٩+ ∂ الساعة ، دراجة / كلم ٤ يقود رجل بسرعة )٥٤طــول قطــر العجلــة . جلــتني خمــتلفيت احلجــم بع

سم ، وطـول قطـر العجلـة اخللفيـة ٥٠األمامية

. سم ٧٦ قارن بني ما جتتازه يف ساعة

اخللفيةالعجلة ماميةالعجلة األ ٤ربع امل حميط )٥٥ ٤+ι =αβχδ

قارن بنيβχ + χδ ٢ι

ــال بنســبة٥٠٠٠اقتســم طــالل وماجــد )٥٦ ري

٣ مث اقتسم ماجد حصـته مـع باسـل وسـهيل ٥: ١:١:٣بنسبة

قارن بني حصة سهيل حصة باسل

٠: يف املســـــتقيمني )٥٧ ٣ ٦= −λ+ε و

٠ ٣ ٤= −ε −λ قارن بني

ميل املستقيم الثاين ميل املستقيم األول

٥٨( قارن بني

١ من ⊇٤٠٤

٢ من ⊇٢٥ ٥

٥٩( فإذا . ا يوم٣٥عامال عمال حمددا خالل ٤٠نجز ي

. ١٠زاد عدد العمال مبقدار قارن بني

عدد األيام اليت ميكنهم إاء العمل

نفسه

يوم٢٧

الثانيمقدمة للباب

٩٤

مقدمة يف اإلتقـان نتناول مناذج من االختبارات التجريبية ، واهلدف منها التدريب على السـرعة مـع يف هذا الباب

سـؤاال ٥١ سؤاال موضـوعيا منـها ٦٠ويتكون كل منوذج من احلل والتعرض لنماذج خمتلفة من األسئلة ة و مخسـ سـاعة أسئلة من نوع املقارنات والزمن الكلي لكل اختبار جترييب هـو ٩من االختيار املتعدد و

. د بأخر هذا الكتاب أوراق اإلجابة لكل اختبار جترييب وسوف جت) دقيقة ٧٥ ( يقة دقعشرولكي يكون االختبار فعال ، فيجب عليك االلتزام بالتعليمات الـواردة يف بدايـة كـل قسـم مـن أقسـام

تبار الواحد ، واستخدام ورقة اإلجابة املرفقة بآخر الكتاب ، وسـوف جتـد الطريقـة املسـتخدمة يف خاال، وهـذه ) SAT( هـي الطريقـة املسـتخدمة يف االختبـار االمريكـي املشـهور احتساب نتيجة االختبـار

. أوردت هنا كنوع من أنواع القياس ملستوى الطالب املتدرب الطريقة من قبل املركز الوطين للقياس والتقومي هي طريقـة يف حساب درجات االختبار املستخدمة بينما الطريقة

عني مث تفسر الدرجات املعيارية حيث حتول الدرجات اخلام إىل درجات معيارية مبتوسط واحنراف معياري م . ١النتائج وفق مفاهيم املنحىن االعتدايل الطبيعي

وحيتوي هذا الباب على فصلني كما يلي اختبارات جتريبية : الرابعالفصل )١

االختبار التجرييب األول .١ االختبار التجرييب الثاين .٢ االختبار التجرييب الثالث .٣ االختبار التجرييب الرابع .٤

إرشادات احللول : اخلامسالفصل )٢ التمارين الواردة بالباب األول التدريبات و حلول .١ مفاتيح اإلجابة لالختبارات التجريبية .٢

) مرجع سابق ( ٣٢دليل الطالب التدريبي الختبار القدرات العامة ، ص : انظر ١

) ١(الفصل الرابع نموذج

٩٨

األول : القسم دقيقة ٣٠: الزمن

سؤال٢٥: عدد األسئلة

سـؤاال مـن نـوع ٢١ سـؤاال موضـوعيا منـها ٢٥يتكون هذا القسم مـن وهنـاك إجابـة صـحيحة . نات أسئلة من نوع املقار ٤االختيار من متعدد و

واحدة لكل سؤال ظلل اإلجابة الصـحيحة يف ورقـة اإلجابـة يف العمـود .املخصص هلذا القسم بورقة اإلجابة

:تعليمات عامة . مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية – ٣ غري مسموح باستخدام اآللة احلاسبة-١القيـاس األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على -٢

ما مل يذكر خالف ذلكــودة و -٤ ــة كمس ــة خارجي ــتخدم ورق ال اس

.تكتب على ورقة األسئلة :معلومات وأشكال هندسية ميكنك استخدامها إن احتجت هلا

=٢πΩاملساحة

٢πΩاحمليط =

=λεاملساحة)احمليط )٢λ+ε =

°١٨٠جمموع الزوايا =

املساحة ٢

αδ × χβ=

مثلث قائم متساوي الساقني

مثلث ستيين –ثالثيين

٢ ٢ ٢βδ + βχ = χδ احلجمελ=Ψ ٢احلجمςπΩ=

:إذا تشابه مضلعان فإن النسبة بني مساحتيهما تساوي مربع نسبة

.التشابه


منها أربعة ، يتبع كل )٢١-١( سؤاال ٢١ا يلي فيماختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات

.ظلل حرف املقابل هلا يف ورقة اإلجابة

٤٩ )١ ٥١= ×

( )δ ٥٤٩ ( )β٢٤٩٩ ( )χ٢٢١٩ ( )α ٢٥٤٩

١٦اآلحاد للعدد ما خانة )٢ ٩١ ٦٣ ٦٢٤× × ؟×

( )δ ٢ ( )β٤ ( )χ٣ ( )α ٦

٢٥إذا كانت )٣ =ε ٢ فإن=ε∂ − ε

( )δ ٤٢٨ ( )β٥٩٦ ( )χ٥١٤ ( )α ٦٢٠

القسم األول االختبار التجريبي األول ١ ١ ١ ١

٩٩

٤( كم عدد الزوايا احلادة يف الشكل اـاور إذا

°٩٠كان =χκδ؟ ( )δ ٤ ( )β٩ ( )χ٧ ( )α ١٠

قرشا ؟٣εكم هللة يف )٥

( )δ ٣ε ( )β٣٠ε

( )χ١٥ε ( )α ٧٥ε

١إذا كان )٦٤

. ٦ من العـدد ⊇٥٠ عدد يساوي

فما هو العدد ؟

( )δ ٣٠ ( )β٤ ( )χ١٢ ( )α ١

٧(

يف الشكل اـاور إذا )كانــــــت )٣،٧ δ ،

( )٣،٣ χ فما هو ميـل

χδاملستقيم ( )δ ٥ ( )β٣ ( )χ٤ ( )α ٠

ما هو الوسط احلسايب لألعداد الصحيحة بني )٨

٣ ؟١١ و

( )δ ٥ ( )β٧ ( )χ٦ ( )α ٨

ــه )٩ ــذي معادلتــ ــتقيم الــ ــا املســ إذا رمسنــ

٠=β+λχ+εδ ــداثي ــتوى اإلحـ يف املسـ٠حبيث كان ،β δ ٠ و χ . فإنه لن مير يف

-:الربع

( )δ األول ( )βالثالث ( )χالثاين ( )α الرابع

١ )١٠١١٢

=+

( )δ ٢ ( )β٢٣

( )χ٣٢

( )α ١٣

٢إذا كان )١١ ،٣χ= =δδ

=٢χ+δ فإن δ

( )δ ٣ ( )β٨٣

( )χ٤ ( )α ١١٣

) ١(الفصل الرابع نموذج

١٠٠

١٢( يف الشكل اـاور إذا

٢كــان ١τ τ فمــا

؟εقيمة

( )δ ٤٠ ( )β٧٥ ( )χ٥٥ ( )α ٩٥

" " ، وعرفنـا العمليـة ε≠٠إذا كانت )١٣

λ+١: كما يلي =λ εε

٢ فإن ٣=

( )δ ١ ( )β٣ ( )χ٢ ( )α ٢

٣

عدد النقـود الـيت مـع طـالل تزيـد مبقـدار )١٤

مخسة رياالت عن ضعف النقود اليت مـع ماجـد ، رياال مع طالل ؟فكم. فإذا كان مع ماجد ريالني

( )δ ٦ ( )β٨ ( )χ٧ ( )α ٩

١٥(

ــ ــكل اـ اور يف الشـ

= χδ

( )δ ١٣∂ ( )β٥ ( )χ٥ ٢∂ ( )α ٣١∂

ــربناه يف )١٦ ــدد ض ــاتج ٢ع ــفنا للن مث ٥ وأض ٢٥ وطرحنـا مـن ذلـك ٥ضربنا الناتج األخري يف

، ما العـدد الـذي حنصـل ١٠وقسمنا الكل على النهاية ؟عليه يف

( )δ نصف العدد ( )βضعف العدد ( )χالعدد نفسه ( )α مربع العدد

أي من القياسات التالية ال ميكن أن يكـون )١٧

جمموع قياسات الزوايا الداخلية ملضلع ؟

( )δ ٢٧٠٠° ( )β٢٠٠٠° ( )χ٢٣٤٠° ( )α ١٩٨٠°

١٨( ( )١١= ε−

( )δ ١١ε− ( )β١١ε

( )χ١١ε − ( )α ١١ε

δκإذا كان )١٩ = χ ، εκ=δ

؟δ فما قيمة

( )δ χ+ε ( )βχε∂ ( )χε ( )α χε∂ ±

ــاوي )٢٠ ــه يس ــلعني حميط ــابق الض ــث متط مثل

فما طول كل من الضلعني املتطابقني إذا . سم ٤٠ سم ؟١٦كان طول الضلع الثالث يساوي

( )δ ١٥ ( )β١٣ ( )χ١٤ ( )α ١٢

القسم األول االختبار التجريبي األول ١ ١ ١ ١

١٠١

٢١( الشكل املقابـل ميثـل مصـــروفات أســـرة يف

ــهر ــدى األش ــا . إح منسبة ما تصرفه األسرة

من دخلها على دارس ؟امل

( )δ ١٥⊆ ( )β٢٥⊆ ( )χ٢٠⊆ ( )α ٣٠⊆

للقسم األول انتهت أسئلة االختيار من متعدد .اآلن انتقل ألسئلة املقارنة

)٢٥ – ٢٢ ( أسئلة املقارنة:ثانيا

يف كل من األسئلة التالية : تعليمات أسئلة املقارنة صيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل يف



.للمقارنة

٠إذا كان )٢٢ ،٠≠λ ≠ε

رن بنيقا

λε ٠ ١إذا كان )٢٣ ٣ ،٤ ٢=λ−ε =λ+ε

قارن بني

ε λ

٣إذا كان )٢٤٢=ε

قارن بني

( )( )( )٣ ٢ ١−ε −ε −ε( )( )( )٢ ١ ٥−ε −ε +ε

٤٠٠٠ إذا كان راتـب موظـف قـد زاد مـن )٢٥

. رياال ٦٠٠٠رياال إىل قارن بني

⊇٦٠ نسبة الزيادة

! توقف إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك

ــك وجيــب عــدم ــة إجابات مراجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

) ١( نموذج الفصل الرابع

١٠٢

الثاين : القسم دقيقة ٣٠: الزمن


سـؤاال مـن نـوع ٢٠ سـؤاال موضـوعيا منـها ٢٥يتكون هذا القسم مـن وهنـاك إجابـة صـحيحة . أسئلة من نوع املقارنات ٥االختيار من متعدد و

واحدة لكل سؤال ظلل اإلجابة الصـحيحة يف ورقـة اإلجابـة يف العمـود .قسم بورقة اإلجابة املخصص هلذا ال

:تعليمات عامة . مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية – ٣ غري مسموح باستخدام اآللة احلاسبة-١ األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على القيـاس -٢


.تكتب على ورقة األسئلة :ل هندسية ميكنك استخدامها إن احتجت هلامعلومات وأشكا





املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه

الختيار من متعددأسئلة ا: أوال

منـها ، يتبـع كـل )٢٠ -١( سـؤاال ٢٠ا يلـي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات

.مث ظلل حرف املقابل هلا يف ورقة اإلجابة

١( ( ) ( ) ( ) ( )٢ ٣ ٤ ٥٣٣ ٢ ١٢

−= − ÷ − ÷ − × −

( )δ ٦ ( )β١− ( )χ٣ ( )α ٢−

مـن السـعر ⊇١٥باع تاجر بضاعة فربح فيهـا )٢فمـا . ريـاال ٣٤٥األصلي ، فإذا كان سعر بيعها

هو سعرها األصلي ؟

( )δ ٢٥٠ ( )β٣٢٥ ( )χ٣٠٠ ( )α ٣٤٠

الثانيالقسم االختبار التجريبي األول ٢ ٢ ٢ ٢

١٠٣

٢إذا كان )٣ ٢ ∂ε+λ= λ+ ε فـأي مـن

العبارات التالية صحيحة ؟

( )δ λ =ε ( )β٠=λ+ε

( )χ١= ε ( )α ٠=λε ٤(

يف الشكل املقابـل مـا قيمـة

ε؟ ( )δ ٩٠ι − ( )β٩٠ι+ ( )χ٩٠ ( )α ١٨٠ι−

عددا فرديـا ، فـأي ممـا يلـي ال εإذا كان )٥

ميكن أن يكون عددا فرديا ؟

( )δ ٢+ε ( )β٣ ٣+ε

( )χ١ ٢+ε ( )α ٤ ٣+ε كـم يومـا . يوم ١٢ عمال مشروعا يف ٩ينهي )٦

عددهم ثالثة ؟حيتاجون إلاء العمل نفسه إذا زيد

( )δ ٨ ( )β١٠ ( )χ٩ ( )α ١١

ريال ٣٠٠ رياال ، بيعت بسعر ٤٠٠سعر سلعة )٧

كم نسبة التخفيض ؟

( )δ ٧٥⊆ ( )β٥٠⊆ ( )χ٦٠⊆ ( )α ٢٥⊆

سـم ، وطولـه يزيـد عـن εمستطيل عرضه )٨ فما حميطه ؟. سم ٥عرضه مبقدار

( )δ ١٠+ε ( )β١٠ ٣+ε

( )χ١٠ ٢+ε ( )α ١٠ ٤+ε أي من املعادالت التالية جيب أن يكون حاصـل )٩

ضرب جذريها عدد سالب ؟

((((

٢

٢

٢

٢

٠ ٢٤ ٥

٠ ١٨ ٧ ٣

٠ ٥

٠ ١٥ ٢

= +ε − ε δ

= −ε + ε χ

=ε + ε β

= +ε + ε α

كرات متماثلـة إال مـن ١٠وعاء حيتوي على )١٠

. بيضـاء ٤ كـرات محـراء ، و ٦حيث اللون فيه إذا سحبنا كرة عشوائيا فمـا احتمـال أن تكـون

محراء ؟

( )δ ٠٫٣ ( )β٠٫٥

( )χ٠٫٤ ( )α ٠٫٦

١١( رمست دائرة داخل مربـع طـول

ــلعه ــكل ٨ض ــا يف الش كم فما مساحة ملنطقة. ااور ،

ظللة ؟امل

( )δ ( )٤ ١٦π + ( )β( )٤ ١٦π−

( )χ( )١ ١٦π + ( )α ٤ ١٦π +


١٠٤

تساوي λاوية إذا علمت أن قياس متممة الز )١٢

°ε فإن مكملتها تساوي ، :

( )δ ٩٠ε− ( )β١٨٠ε−

( )χ٩٠ε+ ( )α ٢ε

١٣(

:يف الشكل أعاله ، إذا علمت أن

γαβ ι χδ و ϕγ βχ ικ ؟εفما قيمة

( )δ ٧٢° ( )β٩٦° ( )χ٨٤° ( )α ١٠٦°

إذا كانت درجات احلـرارة املسـجلة يف أحـد )١٤

:أشهر السنة السابقة كم يلي

١٧ ١٦ ١٦ ١٥ ١٤١٨ ١٩ ١٩ ١٨ ١٨ ١٨ ١٧٢٠ ٢٠ ١٩ ١٨ ١٨ ١٧ ١٧٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ ١٨ ١٩ ١٩

٢٠ ٢٠ ٢٠ ١٩

و املنوال ؟فما ه

( )δ ١٧ ( )β١٩ ( )χ١٨ ( )α ٢٠

١٥( مــا حجــم املنطقــة

ملظللة بالسـنتيمتر ااملكعـــــــــب يف الشكل ااور ؟

( )δ ١٥٢٠٠ ( )β١٢٦٠٠ ( )χ١٣٦٠٠ ( )α ١١٢٠٠

يف الشـــكل )١٦

ما نسـبة مسـاحة ακδ إىل

؟χκδمساحة

( )δ ٢٥٩

( )β ٣٥

( )χ٥٣

( )α ٩٥

:ما مساحة الدائرة اليت معادلتها )١٧

٢ ٢١ ١٠ ٦ ٢ ٢= − λ + ε؟

( )δ ٦π ( )β٢٤π

( )χ١٢π ( )α ٤٨π

:ما مساحة الشكل الرباعي الذي رؤوسه )١٨

( ) ( ) ( ) ( )٢ ،٣ ، ٢،٣ ، ٤،٣ ، ٤،٣− − − ؟−

( )δ ٢٤ ( )β٢٥ ( )χ٣٦ ( )α ١٦

الثانيالقسم االختبار التجريبي األول ٢ ٢ ٢ ٢

١٠٥

صنبور ماء ميـأل خزانـا يف سـاعة ونصـف ، )١٩. دقيقـة ٤٥وصنبورا آخر ميأل اخلـزان نفسـه يف

ــاعة ــم س ــتح فك ــزان إذا ف ــلء اخل ــتغرق م يس ن معا ؟االصنبور

( )δ ١٣

( )β٥٦

( )χ١٢

( )α ١١٢

ريـاال ، أقرضـت " Θ" متلك رمي من النقـود )٢٠

. زميلة هلا ربع ما عندها ، وصـرفت ثلـث البـاقي فكم أصبح معها ؟

( )δ ٦Θ ( )β

٣Θ

( )χ٤Θ ( )α

٢Θ

٢١(

ــاور ــكل اـ يف الشـأسطوانة دائريـة قائمـة

سـم ٦حميط قاعدا مــا . ســم ٤وارتفاعهــا

هي أقصر مسافة بني

χ،النقطتني δعلى سطح األسطوانة ؟

( )δ ٣ ( )β٥ ( )χ٤ ( )α ٦

انتهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم األول املقارنةاآلن انتقل ألسئلة

)٢٥-٢٢ ( أسئلة املقارنة:ثانيا


مث ظلـل يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني :ورقة اإلجابة احلرف


χ ( إذا كانــت الصــيغة يف العمــود األول أصــغر . يف العمود الثاين امنهβ (نيإذا كانت الصيغتان متساويت α ( إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري كافيــة

.للمقارنة

١ بالصورة ε+نا إذا عرف )٢٢ ++ε= ε قارن بني

٣ +٢ ألقي حجر نرد منتظم مرة واحدة )٢٣

احتمال قارن بني ٥ظهور العدد ٣ أو ٢ظهور العدد

٢٤(

قارن بني٢ ٣٥ ٢١ ١٤ ٥

−

−+

١١−


١٠٦

٢٥(

قارن بني

جمموع قياسات الزوايا اليت وضع

"×" عليها عالمة

جمموع قياسات الزوايا الداخلية

αβχδ: للرباعي

! توقف إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك ــك وجيــب عــدم ــة إجابات مراجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

الثالثالقسم االختبار التجريبي األول ٣ ٣ ٣ ٣

١٠٧

الثالث :القسم دقيقة ١٥: الزمن

أسئلة١٠ : عدد األسئلة

من نوع االختيـار مـن متعـدد ة موضوعي أسئلة ١٠يتكون هذا القسم من وهناك إجابة صحيحة واحدة لكل سؤال ظلل اإلجابة الصحيحة يف ورقة

.اإلجابة يف العمود املخصص هلذا القسم بورقة اإلجابة :تعليمات عامة

. مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية – ٣ مسموح باستخدام اآللة احلاسبة غري -١ األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على القيـاس -٢







املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منها أربعة يتبع كل ، )١٠ -١( أسئلة ١٠ا يلي فيماختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات


أي من األعداد التالية يقبل القسمة علـى كـل )١

٢ وال يقبل القسمة على ٥ و ٣من

( )δ ٧٥ ( )β٢٥ ( )χ٣٠ ( )α ٢١

مترا ١٢ مترا مشاال مث ١٦سار شخص مسافة )٢ ما بعد الشخص عن نقطة االنطالق ؟. شرقا

( )δ ٤ ( )β٢٠ ( )χ١٤ ( )α ٢٨

مربع مساحته ثالثة أضعاف مسـاحة مسـتطيل )٣

فما مساحة املربع ؟. سم ١٥ سم ، ٥أبعاده

( )δ ٢٠ ( )β٧٥ ( )χ٦٠ ( )α ٢٢٥

) ١( نوذج الفصل الرابع

١٠٨

عامـا ١٢إذا كانت غاده اآلن تكرب رغـد بــ )٤ فبكم تكربها بعد عشرة أعوام ؟

( )δ ٢ ( )β١٢ ( )χ١٠ ( )α ٢٢

:ما احلد السادس يف املتتابعة )٥

،٥٨،٣٣،١٧،٨،٤ ( )δ ٤٠ ( )β٤٤ ( )χ٤٢ ( )α ٩٤

إذا كــان ترتيــب هيــثم الواقــف يف صــف مــن )٦

كـم . اليمني السابع ، ومن اليسـار الثالـث عشـر عدد الواقفني يف الصف ؟

( )δ ١٣ ( )β١٩ ( )χ١٧ ( )α ٢٠

صناديق برتقـال بقيمـة ١٠اشترى بائع فاكهة )٧

ــها صــندوقني فاســدين ٣٠٠ ــال ، ورمــى من . ريجيب أن يبيع الصندوق الواحد ليحقـق رياال كم بف

؟⊇٢٠ربح قدره

( )δ ٣٠ ( )β٤٥ ( )χ٣٦ ( )α ٥٠

لعمله التاسعة صباحا عندما تكون يصل سامل )٨ــرعته ــم ٣٠س ــاعة / كل ــل يف . الس ــا يص بينم

احلاديــة عشــرة صــباحا عنــدما تكــون ســرعته

كم جيب أن تكون سـرعته . الساعة / كلم ٢٠ ليصل يف العاشرة صباحا ؟

( )δ ٢٥ ( )β٢٣ ( )χ٢٤ ( )α ٢٢

كلم يسـري بسـرعة ثابتـة ١قطار شحن طوله )٩

إذا دخـل نفـق طولـه . السـاعة / كلم ٢٠ها قدر

فمـا الوقـت الـذي . مسـاء ١:٠٠ كلم السـاعة ١ يشاهد فيه القطار كامال بعد خروجه من النفق ؟

( )δ ١:٠٣ ( )β١:٠٥

( )χ١:٠٤ ( )α ١:٠٦ سوداء ٥ خرزات بيضاء ، ٤عقد مكون من )١٠

عدد العقود اليت ميكن تكوينها كم. محراء ٧ خرزة من كل نوع ؟٥٠إذا كان لدينا

( )δ ٧ ( )β٩ ( )χ٨ ( )α ١٠

! توقف إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك

.مراجعة إجاباتك

)٢(الفصل الرابع نموذج

١١٠

األول : القسم دقيقة ٣٠: الزمن


سـؤاال مـن نـوع ٢٢ سـؤاال موضـوعيا منـها ٢٥يتكون هذا القسم مـن وهنـاك إجابـة صـحيحة . رنات أسئلة من نوع املقا ٣االختيار من متعدد و


:تعليمات عامة . مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية – ٣ غري مسموح باستخدام اآللة احلاسبة-١ القيـاس األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على -٢







املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها ، يتبـع كـل )٢٢ -١( سـؤاال ٢٢ا يلـي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


١( ( )١٠٠ ٢ ٢٨ ٧٢ ٧= × − +

( )δ ٤٦٢ ( )β٥٦٠ ( )χ٥٠٠ ( )α ٦٢٨

١ )٢٤

=١٠٠٠ من ⊇

( )δ ٨ ( )β٢٫٥

( )χ٤ ( )α ١ ٤ فإن ε=٨١ذا كانت إ )٣ ٢=ε∂ − ε

( )δ ٦٥٤٢ ( )β٦٥٤٦ ( )χ٦٥٤٤ ( )α ٦٥٥٨

القسم األول االختبار التجريبي الثاني ١ ١ ١ ١

١١١

٥٧جمموع ثالثة أعداد فردية متتالية تساوي )٤ فما جمموع األول والثاين من تلك األعداد ؟

( )δ ٣٦ ( )β٤٠ ( )χ٣٩ ( )α ٤١

١إذا كان )٥ ١٣ ٢=ε فإن ، =ε

( )δ ٢٣

( )β١٦

( )χ٣٢

( )α ٦

٨إذا كـــــــــــان )٦٤

α+β+χ+δ= ،

١٠٢

χ+δ= فإن ، ٢

α+β=

( )δ ٦ ( )β٨ ( )χ٧ ( )α ٩

ــحيحة )٧ ــداد الص ــايب لألع ــط حلس ــا الوس م

؟١٣ و ٣حملصورة بني الزوجية ا

( )δ ٤ ( )β٨ ( )χ٦ ( )α ١٠

ــاء )٨ ــوم األربع ــان الي ــد . إذا ك ــوم ٦٠فبع ي

:سيكون

( )δ األحد ( )βالثالثاء ( )χاالثنني ( )α اجلمعة

إذا كان سعر لتـر الـبرتين مـن حمطـة داخـل )٩ هللة ومن حمطـة خـارج املدينـة ٩٠املدينة يساوي

فمــا الزيــادة الــيت ســيدفعها . هللــة ٩٦يســاوي الـذي مل يشـتري الـبرتين مـن ) بالريـال ( السائق

رياال ؟٤٨حمطة املدينة وشراه من خارجها مببلغ

( )δ ٢ ( )β٤ ( )χ٣ ( )α ٥

)كم هللة يف )١٠ )٣ ٢+εقرشا ؟

( )δ ( )٣ ٢ ٥+ ε ( )β( )٣ ٢ ٢٥+ε

( )χ( )٣ ٢ ١٠+ ε( )α ( )٣ ٢ ١٠٠+ε

)إذا كانت )١١ )λ+ε ε=λ ε فـإن

( )٤ ٣ ٢=

( )δ ٢٤ ( )β٣٤ ( )χ٣٢ ( )α ٤٦

١٢(

يف الشكل اـاور أي ــة ــارات التالي ــن العب م

صحيحة ؟( )δ γα βδ ( )βια βδ ( )χγα χδ ( )α ια χδ


١١٢

يف الشــــكل )١٣املقابـــل إذا كـــان

٢= βδ فــــــإن

= αδ

( )δ ٢∂ ( )β٦∂ ( )χ٣∂ ( )α ٣ ٢∂

١٤(

يف الشكل املقابـل ؟εما قيمة

( )δ ٥٠° ( )β٧٠° ( )χ٦٠° ( )α ٧٥°

إذا رمسنــــا املســــتقيم الــــذي معادلتــــه )١٥

٠=β+λχ+εδ ــداثي ــتوى اإلحـ يف املسـ٠حبيث أن ،٠ ،٠β χ δ فإنه لـن ميـر يف

:الربع

( )δ األول ( )βالثالث ( )χالثاين ( )α الرابع

؟١٥ إىل العدد ٣٠ ما النسبة املئوية للعدد )١٦

( )δ ٢٠٠⊆ ( )β٥٠⊆ ( )χ١٠٠⊆ ( )α ٢٠⊆

)حميط الدائرة إذا كان )١٧ )κ ٦ يساويπ سم

)وحميط الـدائرة )ι ١٢ يسـاويπ فـإذا . سـم

يف نقطـة من اخلـارج تقاطعان تعلمت أن الدائرتني واحدة فقط فما هي املسافة بني مركزيهما ؟

( )δ ١٨ ( )β١٢ ( )χ١٥ ( )α ٩

ــت )١٨ )إذا كانـ )٢ ،٣− βــي ــف هـ منتصـ

⎡ ⎤χδ⎣ ) وكانت ⎦ )٣،٢ δ فإن إحداثي النقطة χ

: هو

( )δ ( )٤،٧− ( )β( )٧ ،٤−

( )χ( )٨،٥ − ( )α ( )٥ ،٨− م كان عدد سكان اململكـة ١٩٤٠يف عام )١٩

مليون نسمة ، فـإذا علمـت أن عـدد السـكان ٢فكــم يكــون عــدد . ســنة ٢٠يتضــاعف كــل م ؟٢٠٢٠عام ) باملليون ( سكان اململكة

( )δ ٨ ( )β٣٢ ( )χ١٦ ( )α ٦٤

القسم األول االختبار التجريبي الثاني ١ ١ ١ ١

١١٣

تتعلــق ) ٢٢ ، ٢١ ، ٢٠( األسـئلة الثالثـة التاليـة والذي فيه نتيجـة سـؤال كـل مـن بالرسم التايل

: طالبا عن عدد إخوانه ٣٠

مــا عــدد الطــالب الــذين لــديهم أخــوان أو )٢٠

أكثر ؟

( )δ ٨ ( )β٢٢ ( )χ١٦ ( )α ٢٦

كم عدد األخوة جلميع الطالب الثالثني ؟ )٢١

( )δ ٤ ( )β٣٠ ( )χ٢٦ ( )α ٥٢

الطالب الذين ليس لديهم أخـوة مقارنـة مـع )٢٢ : أخوة هم ٤الب الذين لديهم الط

( )δ أكثر عددا ( )βمتساوون عددا( )χأقل عددأ ( )α الميكــــــن

املقارنة

ألول انتهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم ا اآلن انتقل ألسئلة املقارنة

)٢٥ -٢٣ ( أسئلة املقارنة:ثانيا


:ورقة اإلجابة احلرفδ ( د األول أكرب منها إذا كانت الصيغة يف العمو


.للمقارنة

٢٣(

قارن بني٢ ٢٥ ٢٤ −٩

٢ )٢٤ ٧ ٣ ٢١٣ ٢٩ ١٣ ١١

× × × ×ι

قارن بني

ι ٣٢


١١٤

٢٥( ١٥ ٣=λ−ε= +λ

قارن بني

ε λ

! توقف إذا وصلت هنا قبل اية الوقـت

القسـم ميكنـك املخصص هلذا مراجعــة إجاباتــك وجيــب عــدم االنتقال للقسم التايل قبل ايـة

.الوقت

الثانيالقسم االختبار التجريبي الثاني ٢ ٢ ٢ ٢

١١٥

الثاين :القسم دقيقة ٣٠: الزمن











املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها ، يتبـع كـل ) ٢٠ – ١( سؤاال ٢٠ا يلي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


كم طول القطعة املستقيمة اليت متر بالنقطتني )١

( ) ( )٦،٦ ، ؟٣،٢

( )δ ٢ ( )β٥ ( )χ٤ ( )α ٦

أي من األعداد التالية غري نسيب ؟ )٢

( )δ ١٦٩∂ ( )β٥٠∂ ( )χ٢ ٣٢∂ × ∂ ( )α ١٨

٢ ∂

٠٫٠٠٠٩ )٣= ∂

( )δ ٠٫٠٠٠٣ ( )β٠٫٠٣

( )χ٠٫٠٠٣ ( )α ٣

) ٢( النموذج الرابعالفصل

١١٦

؟٣ ويبقى ١٨ما العدد الذي يقسم على )٤

( )δ ٦٣٠ ( )β٦٣٥ ( )χ٦٣٣ ( )α ٦٣٨

إذا كان مؤشر خزان البرتين يف سيارة إبراهيم )٥

٣عند العالمة ٨

لترا من البرتين ٦٠ ، أضاف إليه

كــم لتــرا ســعة خــزان ســيارة . فــامتأل اخلــزان إبراهيم ؟

( )δ ٨٠ ( )β٩٠ ( )χ٨٦ ( )α ٩٦

يومـا ١٢عمـل مـا يف عمال إجناز ٣يستطيع )٦

عمال إلجناز هذا العمل ؟٩كم يستغرق

( )δ ٤ ( )β٦ ( )χ٥ ( )α ٣٦

ريـال ٨٠٠٠٠اشترى رجل قطعـة أرض بسـعر )٧

٥فدفع ٨

فكم بقي من مثن قطعة األرض ؟. املبلغ

( )δ ١٠٠٠٠ ( )β٥٠٠٠٠ ( )χ٣٠٠٠٠ ( )α ٧٠٠٠٠

سـنة ٢٠جمموع عمري حممد وأمحد يسـاوي )٨

مر أمحد ، وبعد سنتني يصبح عمر حممد ضعف ع فما عمر حممد اآلن ؟

( )δ ٦ ( )β١٤ ( )χ٨ ( )α ١٦

أشـخاص يسـاوي ٥كان متوسـط أعمـار إذا )٩

٢٧ عاما ، فإذا أخذنا أحدهم صار املتوسـط ٢٥ فكم عمر الشخص اخلامس ؟. عاما

( )δ ١٥ ( )β١٧ ( )χ١٦ ( )α ١٨

١٠(

ــاور ــكل اـ يف الشـ

αβχδ متــــــوازي . أضالع

؟αβκ مساحة إىلχκγما نسبة مساحة

( )δ ١٤

( )β٢٩

( )χ١٣

( )α ٤٩

٣يستخدم دلو سـعته )١١ ٠٫٠٠٤κ لـيمأل حـوض

٣ماء سعته ٤κكم دلوا سنحتاج ؟ ،

( )δ ١٠ ( )β١٠٠٠ ( )χ١٠٠ ( )α ١٠٠٠٠

ــه الشــهري )١٢ ــزاد ٣٠٠موظــف راتب ــال ، ف ري

كم نسبة الزيادة يف الراتب ؟. ريال ١٢٠٠ليصبح

( )δ ٢٠٠⊆ ( )β٣٠٠⊆ ( )χ٢٥٠⊆ ( )α ٤٠٠⊆


١١٧

ريـاال لكـل ٦٠٠٠٠باع رجل سيارتني بسعر )١٣ وخسـر ⊇٢٠ يف السـيارة األوىل منهما ، فإذا ربح

فكم إمجايل خسارته ؟ . ⊇٢٠يف السيارة الثانية

( )δ ريال١٢٠٠٠ ( )βريال٥٠٠٠ ( )χريال١٠٠٠٠ ( )α مل خيسر

رمي مكعب سداسي األوجـه مكتـوب علـى )١٤

أوجهه األرقام على مستو أفقـي ٦،٥،٤،٣،٢،١

فما احتمال أن يكون العدد علـى السـطح العلـوي زوجي ؟

( )δ ٠٫٢ ( )β٠٫٥

( )χ٠٫٣ ( )α ٠٫٦٦ قاد حممد سـيارته بـني بيتـه وعملـه بسـرعة )١٥

السـاعة ذهابـا ، وعنـد عودتـه مـن / كلم ٦٠. السـاعة / كلـم ٤٠العمل للبيت كانت سرعته

فما متوسط سرعته ذهابا وإيابا ؟

( )δ ٥٠ ( )β٤٦ ( )χ٤٨ ( )α ٤٤

مادة تضاعف حجمها كل دقيقـة ، وضـعت )١٦

صــباحا ، وبعــد ســاعة ٩:٠٠يف حاويــة الســاعة فما الوقت الذي كانت فيه هـذه . امتألت احلاوية

بع احلاوية ؟املادة متأل ر

( )δ ٩ :١٥ ( )β٩ :٥٨

( )χ٩ : ٣٠ ( )α ٩ :٥٩

١٧( ، ،ς λ ε متثل أرقاما صحيحة يف عمليـة :اجلمع التالية

١ ٣٤ ٦

٧٧ ١ ٦

ελ +ς

؟ςفما هي القيم املمكنة لـ I ( ١ II ( ٤ III ( ٩

( )δ IIفقط ( )βI ، IIفقط ( )χIIIفقط ( )α II ، IIIفقط

١٨(

يف الشكل اـاور :إذا كان

٣ = γδ سم

٦= κγ سم

١٢= αχ ، سمα=κ فإن ، = χδ

( )δ ٣ ( )β١٢ ( )χ٦ ( )α ١٨

١٩(

ــاور ــكل ا يف الشــالع ــوازي أض ــا مت م

؟فيه εقياس ( )δ ٦٠° ( )β١٢٠° ( )χ٨٠° ( )α ١٨٠°

) ٢( النموذج الرابعالفصل

١١٨

٢٠( يف الشـــــــكل

ــة ــع κالنقطـ تقـعلى منتصف قطر

]املستطيل فإذا كـان ] [ ]βχ γκ فمـا نسـبة

γκ إىل βχ؟

( )δ ٢ :١ ( )β ٤:١

( )χ٣ :١ ( )α ٨ :١

للقسم األول انتهت أسئلة االختيار من متعدد ةاآلن انتقل ألسئلة املقارن

)٢٥ -٢١ ( أسئلة املقارنة:ثانيا


:ورقة اإلجابة احلرفδ ( العمود األول أكرب منها إذا كانت الصيغة يف

.يف العمود الثاين χ ( إذا كانــت الصــيغة يف العمــود األول أصــغر . يف العمود الثاين امنهβ (إذا كانت الصيغتان متساويتان α ( إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري كافيــة

.للمقارنة

٢١(

قارن بني

ε ٢λ

ومــدى ٢ إىل ٠٫٠٢ مــن εإذا كـان مــدى )٢٢λ ٠٫٠٢ إىل ٠٫٠٠٢ من.

قارن بنيالقيمة القصوى

εللكسر λ

١٠٠٠

٢٣(

كل من يف الشكل املـــــــــــــربعني

،γϖµκ αβχδ ــول ــس ط ــا نف هلم

. سم ١٠الضلع

αβχδيف مركز املربع γϖµκورأس املربع قارن بني

مساحة الشكل املظلل

٢٥


١١٩


طول ضلع مربع

٢ سم١٢١مساحته ( )١ ٢ ٢٢− ×

٢٥(

قارن بني

٣٠ من ⊇١٢٥ ١٢٥ من ⊇٣٠

! توقف

إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك ــك وجيــب عــدم ــة إجابات مراجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

) ٢( نموذج الفصل الرابع

١٢٠

الثالث :لقسما دقيقة ١٥: الزمن




. مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية – ٣ مسموح باستخدام اآللة احلاسبة غري -١ األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على القيـاس -٢







املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منها أربعة يتبع كل ، )١٠ -١( أسئلة ١٠ا يلي فيماختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات


٤٣فكم سـتكون بعـد . ٩:٤٥الساعة اآلن )١

ساعة ؟

( )δ ٥ :٤٥ ( )β٣ :٤٥

( )χ٤ :٤٥ ( )α ٢ :٤٥

٢ ريـاال ، أعطـى أبنـه األول ٧٥٠لدى رجـل )٢٥

١بلغ ،مث أعطـى أبنـه الثـاين امل٢

. املبلـغ املتبقـي

فكم رياال بقي معه ؟

( )δ ٢٢٥ ( )β٣٠٠ ( )χ٢٥٠ ( )α ٤٥٠

الثالثالقسم االختبار التجريبي الثاني ٣ ٣ ٣ ٣

١٢١

١٢إذا كان )٣٦

−∂ = ε فما قيمة ε؟

( )δ ٢ ٦∂ ( )β٣٢∂

( )χ٢ ٣∂ ( )α ٢٦∂

يف الشكل اـاور )٤

مــا مســـاحة املنطقـــة املظللة ؟

( )δ ( )٤ ١٨π − ( )β( )٤ ٧٢π −

( )χ( )٢ ٣ ٣٦π −( )α ( )٢ ٤ ٧٢π − ريـال ، ٢٠٠٠٠٠باع حممد قطعة أرض مببلغ )٥

فكم دفع رياال مثنا . ⊇٢٥إذا كان رحبه يساوي لشرائها ؟

( )δ ١٢٠٠٠٠ ( )β١٦٠٠٠٠ ( )χ١٥٠٠٠٠ ( )α ١٧٥٠٠٠

.:٩،٧،٥،٣،١،ما احلد الناقص يف املتتابعة )٦

( )δ ١٠ ( )β١٢ ( )χ١١ ( )α ١٣

°٨رجة حرارة حملول كيميائي مـن لرفع د )٧ − فمـا هـو الوسـط . دقيقـة ٩٠ حنتاج ملدة °٧إىل

احلسايب لزيادة درجة احلرارة يف الساعة ؟

( )δ ٥° ( )β١٠° ( )χ٦° ( )α ١١°

مكعب من اخلشب ، مساحة السطح اخلارجي )٨

إىل مكعبات صغرية مسـاحة قطع . ٢ سم ٦٠٠له

كـم . ٢سـم ١٥٠السطح اخلارجي لكل منها عدد هـذه املكعبـات إذا مل نفقـد أي جـزء أثنـاء

عملية التقطيع ؟

( )δ ٥ ( )β٦ ( )χ٨ ( )α ١٠

اجلــدول التــايل يوضــح عــدد و أجــور عمــال )٩

:بالساعة يف إحدى املؤسسات عدد العماللساعةا/ لريال األجر با ٣ رياالت٦

٥ ٨ ٤ ١٠ ٤ ١٣

ــوال والوســيط ــو الوســط احلســايب للمن ــا ه فم لألجور ؟

( )δ ٤٫٥ ( )β٨٫٥

( )χ٨ ( )α ٩

) ٢( نموذج الفصل الرابع

١٢٢

١٠(

يف الشكل أعاله ، ما مساحة املنطقة املظللة ؟

( )δ ٤ ( )β٥٫٥

( )χ٥ ( )α ٦

! توقف

إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك


) ٣(الفصل الرابع نموذج

١٢٤

األول :القسم دقيقة ٣٠: الزمن











املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها ، يتبـع كـل ) ٢١ -١( سـؤاال ٢١ا يلي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


١( ( ) ١٥ ١١ ٧ ٢٠ ٦٤= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦

( )δ ٢٥ ( )β٤٧ ( )χ٣٣ ( )α ٥٥

ــددان )٢ ــا ع ــبيان جمموعهم ٥نس٤

، إذا كــان

١أحدمها يساوي ٢

، فما العدد اآلخر ؟

( )δ ٦٦

( )β٦١٠

( )χ٦٨

( )α ٦١٢

القسم األول االختبار التجريبي الثالث ١ ١ ١ ١

١٢٥

ــدور األوىل )٣ ــة ت ــان للطباع دورة يف ٢٠مكينتفـإذا . دورة ١٤نفس الوقت الذي تدور فيه الثانية

فكــم عــدد . صــفحة ٣٢٠كانــت األوىل تطبــع الصــفحات الــيت تطبعهــا اآللــة الثانيــة يف نفــس

الوقت ؟

( )δ ١٤٠ ( )β٢٢٤ ( )χ١٦٠ ( )α ٣١٤

ــان )٤ ٥إذا كــ ٣=λ+ε ــة ــا قيمــ فمــ

٢ ٦λ +ε؟

( )δ ١٥ ( )β٥ ( )χ١٠ ( )α ٢

:ما هو أكرب الكسور التالية )٥

( )δ ٣٤

( )β٧١٢

( )χ٧٨

( )α ١٩٢٤

انطلقت سيارتان يف نفس الوقت وبنفس االجتاه )٦

ــت ســرعة األوىل ــم ١٠٠وكان الســاعة ، / كلبعـد كـم . السـاعة / كلـم ١١٠وسرعة الثانية

كلم ؟٢٠املسافة بينهما ساعة تصبح

( )δ ١٢

( )β٢

( )χ١١٢

( )α ٣

إذا كان عقرب الدقائق يدور دورة واحدة كل )٧

فكم دورة يدور إذا كانت بدايته عند . دقيقة ٦٠٣ قبل الظهر إىل الساعة ١٠:١٠الساعة بعد ٢٥: الظهر ؟

( )δ ٤ ( )β٦ ( )χ٥ ( )α ٥٥

سيارة سنويا يف العـادة ، ويف ٢٠تبيع شركة )٨

سيارات يف بدايتها ، ٤هذه السنة باعت الشركة كم يلزمها أن تبيع فيما تبقى مـن السـنة ليصـبح

من املبيعات املعتادة ؟⊇٨٠عدد املبيعات

( )δ ١٦ ( )β١٠ ( )χ١٢ ( )α ٨

كــم مــرة حصــل تصــافح إذا تصــافح ســتة )٩

ــهما بعضــهما ــان من أشــخاص ، ومل يتصــافح اثن أكثر من مرة ؟

( )δ ١٠ ( )β١٥ ( )χ١٢ ( )α ٢٠

مثلث يزيـد ارتفاعـه عـن قاعدتـه سـنتيمترا )١٠

فمـا . ٢ سـم ٢١تسـاوي واحدا فقط ، ومسـاحته طول ضلع قاعدته ؟

( )δ ٤ ( )β٦ ( )χ٥ ( )α ٧


١٢٦

تتعلق بالرسم ) ، ١٢ ، ١١( األسئلة الثالثة التالية :التايل

١١( = ιχ

( )δ ٨ε− ( )β٢ ١٠ε −

( )χ٩ε− ( )α ٣ ١١ε − ؟αγκδما مساحة شبه املنحرف )١٢

( )δ ٨ε− ( )β٩ ٩+ε

( )χ٩ε− ( )α ١٠ ١٠+ε ١٢إذا كان )١٣ ٣ ٥−ε فإن :

( )δ ٤ ε ( )β٣− ε−

( )χ٦ ε ( )α ٣− ε− سـاعات ٦ثالثة عمال عملـوا يف مـرتل ملـدة )١٤

ظـري عملـهم ، فـإذا ن ١١٠٠وتقاضوا مبلغ قـدره عمل األول كل املـدة ، والثـاين نصـف املـدة ، و

فكم نصيب الثاين منهم ؟. الثالث ثلث املدة

( )δ ٦٠٠ ( )β٣٠٠ ( )χ٥٥٠ ( )α ٢٠٠

تتعلق ) ١٧ ، ١٦ ، ١٥ ( التالية الثالثةاألسئلة :باملعطيات التالية

الرسم البيـاين اـاور ــائج طـــالب ــل نتـ ميثـ

ــددهم ــة ع ٣٠٠مدرس .طالب

)الرسم ليس على القياس (

دد الطالب الراسبني ؟كم ع )١٥

( )δ ٦٠ ( )β١٢٠ ( )χ٩٠ ( )α ١٥٠

ب الغائبني ؟كم عدد الطال )١٦

( )δ ٦٠ ( )β١٢٠ ( )χ٩٠ ( )α ١٥٠

ثلها الطالب الراسبني يف كم الدرجة اليت مي )١٧

الشكل البياين ؟

( )δ ١٢٠° ( )β٧٢° ( )χ١٠٨° ( )α ٤٠°

٠إذا كـــان )١٨ ٩= −ε ٦٤ و∂ =λ فـــإن

=λε

( )δ ٦٤∂ ( )β٧٢± ( )χ٧٠∂ ( )α ٧٢

القسم األول االختبار التجريبي الثالث ١ ١ ١ ١

١٢٧

متوازي أضالع فيه قياس αβχδإذا كان )١٩

٧٥° = δ . اورة هلا ؟فما قياس الزاوية ا

( )δ ١٥٠° ( )β٧٥° ( )χ١٠٥° ( )α ٥٧°

٢٠للمعادلة )٢٠ ٦=β+ε + ε جذر مكـرر β=إذا كانت ) حلني متساويني (

( )δ ٩− ( )β٣ ( )χ٣ − ( )α ٩

: احلدود القيمة العددية لكثرية )٢١

١ ٣−ε +ε ٢ عندما− =ε هي :

( )δ ١١− ( )β٥ ( )χ٩− ( )α ١١

انتهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم األول اآلن انتقل ألسئلة املقارنة



د الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل يف العمو :ورقة اإلجابة احلرف


χ ( إذا كانــت الصــيغة يف العمــود األول أصــغر . يف العمود الثاين امنهβ (نيإذا كانت الصيغتان متساويت α ( افيــة إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري ك

.للمقارنة

٣٣عددان متتاليان جمموعهما يساوي )٢٢

قارن بني ١٧ العدد األكرب بينهما

٢٣(

قارن بني

( )( )( )١ ١ ١− − − ( ) ( )١ ١− + −


١٢٨

٢٤(

إىل عدو يف الشكل أعاله مستطيل مت تقسيمه

مستطيال صغرية قارن بني

عدد املستطيالت الكلي

١٧

١٠: زوايا مثلث هي )٢٥ ،٤٠ ٢، ٣+ γ − γ γ

قارن بني

أصغر زوايا املثلث °٣٥

! توقف


ــك وجيــب عــدم م ــة إجابات راجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

الثانيالقسم االختبار التجريبي الثالث ٢ ٢ ٢ ٢

١٢٩


سؤال ٢٥: عدد األسئلة










املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها ، يتبـع كـل ) ٢٠ -١( سـؤاال ٢٠ا يلي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات

.مث ظلل حرف املقابل هلا يف ورقة اإلجابة ما العدد الذي إذا أضـفت إليـه مربعـه كـان )١

؟٢٠الناتج يساوي

( )δ ٢ ( )β٤ ( )χ٣ ( )α ٥

أي من األعداد التالية تسـتطيع كتابتـه علـى )٢

عدد صحيح ؟κ حيث ٣κشكل

( )δ ٢٢ ( )β٢٢٢٢٢ ( )χ٢٢٢٢ ( )α ٢٢٢٢٢٢

٣٢ )٣ ٥٠٢∂ + ∂=∂

( )δ ٤١ ( )β٢ ٤ ٥∂ + ( )χ٢ ٥ ٤∂ + ( )α ٩

) ٣( نموذج لرابعالفصل ا

١٣٠

٢إذا كان )٤٣

٣ مـن ٥

فمـا ٦ تسـاوي ε مـن

١مقدار قيمة ٣

؟ ε من

( )δ ٢ ( )β٩ ( )χ٥ ( )α ١٥

ــري يكــايفء )٥ ــدد كس ١ع

٢ وإذا أضــفنا إىل

٤ أصـبح يكـايفء ٥ وإىل مقامه ١بسطه ٩

فمـا .

هو الكسر األصلي ؟

( )δ ٩١٩

( )β٦١٢

( )χ٧١٤

( )α ١١٢٢

أثـواب و ٣ ريـاال ، ومثـن ٩٠مثن ثوب وغترة )٦

مــا مثــن كــل مــن الثــوب . ريــاال ٢٤٠غتــرتني والغترة ؟

( )δ رياال =٣٠ رياال ، الغترة =٦٠ الثوب .

( )χ ٠٥ الثوب . رياال =٤٠ رياال ، الغترة =( )β ٠٥ رياال ، الغترة =٤٠ الثوب . رياال =( )α رياال =٦٠ رياال ، الغترة =٣٠ الثوب .

٢٦١ )٧ ١٠٠= + ∂

( )δ ٢٦١ ١٠٠∂ + ∂( )β١٨ ( )χ١٩ ( )α ١٥

ر مترا يف عمـل سـو ٨εاستخدم سلك طوله )٨

حول قطعة أرض مربعـة الشـكل طـول حميطهـا

( )٤ ٢+ε فكم طول السلك املتبقـي بعـد . مترا

عمل السور ؟

( )δ ٤ ٦−ε − ( )β٤ ٦+ε

( )χ٤ ٦−ε ( )α ٤ ١٠−ε أقام ماجد حفلة مبناسبة جناحه بتفـوق ودعـا )٩

إليها زمالئه ، فإذا علمت أن عدد املصافحات اليت مصافحة ، حيث صافح كـل ٢٨متت يف احلفلة

كــم عــدد ف. شــخص اآلخــر مــرة واحــدة فقــط املدعوين يف احلفلة ؟

( )δ ٥٦ ( )β٨ ( )χ٢٨ ( )α ٧

ب مسـاحة سـطحه اخلـارجي تسـاوي مكع )١٠

فما حجمه ؟ . ٢ سم٥٤

( )δ ٢٩١٦ ( )β٨١ ( )χ٧٢٩ ( )α ٢٧

⊇٥خالل عمله يف خط اإلنتاج اخـرج حممـد )١١إذا كـان . من القطع اليت مرت عليه بسبب تلفهـا

فكم قطعة مرت عليه ؟. قطع ٤حممد قد اخرج

( )δ ٨ ( )β٨٠٠ ( )χ٨٠ ( )α ٨٠٠٠


١٣١

ــت )١٢ إذا كانــ ٢ ٢χ− δ= χ+δ ــإن فــ

( ) = λ+ε ÷ λ+ε

( )δ ١ ( )βλ−ε

( )χε −λ ( )α ( )٢ λ+ε

عدد صـحيح موجـب فـأي مـن Θإذا كان )١٣١األعداد أدناه يساوي ٦+Θ؟

( )δ ٧٠ ( )β٧٢ ( )χ٧١ ( )α ٧٣

، فــإذا م ٦ م ، وعرضــها ٩ســجادة طوهلــا )١٤

نسـبة ، وكانـت ٢م٤٢ مساحتها مبقدار تازدادفكـم متـرا . يادة يف الطول والعرض متسـاوية الز

؟ الطول اجلديديساوي

( )δ ١٠ ( )β١٢ ( )χ١١ ( )α ١٣

ــابقات ٥٠اجتمـــع )١٥ ــا يف إحـــدى مسـ طالبـــان ــإذا ك ــة ، ف ــيات الدولي ــا ٣٠الرياض طالب

طالبا يتحدثون اللغة ٣٠يتحدثون اللغة العربية ، و دثون اللغتني معا ؟كم عدد الذين يتح. االجنليزية

( )δ ١٠ ( )β٣٠ ( )χ٢٠ ( )α ال ميكــــــن

التحديد

اهلواة واحملتـرفني يف اجلدول التايل يبني عدد )١٦) وبـني ١٨للفئات العمرية اليت أقل من )٣٠ ١٨−

. سنة ٣٠وأكرب من الفئات العمرية

أقل من

١٨ ٣٠ أكرب −١٨

٣٠من

وعم

ا

١٥ ٢ ٥ ٨ اهلواة ٩٩ ٣٦ ٣٣ ٣٠حمترفني ١١٤ ٣٨ ٣٨ ٣٨ اموع

:فأي من العبارات التالية صحيحة

( δالعمر ليس معيارا يف حتديد اهلواة واحملترفني

(χ احملترفني بازدياد العمرعدد يزداد

(βيقل عدد اهلواة بازدياد العمر

(α احملترفني بازدياد العمـر ويقـل بـه عدد يزداد

اهلواة أيضا

١٧( ( ) ( ) ( ) ( )( )١ ١ ١ ١ ١١ ١ ١ ١٧ ٥ ٣ ٢

− − − − −= + + +

( )δ ١٧ ( )β١١٥

( )χ١٥ ( )α ١١٧

١٥إذا كان )١٨ ٣= ε فما قيمة ε؟

( )δ ٥ + ( )β٥± ( )χ٣ + ( )α ٥−

) ٣( نموذج لرابعالفصل ا

١٣٢

رة هيثم يعطي إذا كان مؤشر السرعة يف سيا )١٩ عــن ســرعتها ⊇١٠قــراءة خاطئــة تزيــد مبقــدار

فكم سرعة سيارة هيـثم احلقيقيـة إذا . احلقيقية ــراءة ــي قــ ــرعة يعطــ ــر الســ ــان مؤشــ كــ

الساعة ؟/ كلم ١٠٠

( )δ ١١٠ ( )β٥٩٠١١

( )χ١٠٩٠١١

( )α ٩٠

٤لدينا )٢٠ =ελ ، إذا أردنا أن نضاعف قيمة

ε نقوم مبا يلي :

(δ ٢ نضرب λ×٤ ونضرب ×٤

(χ ونقسم ٢ على ٤ نقسم λ ٢ على.

(β نقسم λ ٢ وحدها على

(α نقسم λ ٢ و نضرب ٢ على ٤×. تهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم األول ان

.ة اآلن انتقل ألسئلة املقارن

)٢٥ -٢١ ( أسئلة املقارنة:ثانيا


:رقة اإلجابة احلرفوδ ( إذا كانت الصيغة يف العمود األول أكرب منها


.للمقارنة

٢١(

قارن بنيتربيعي للعدد اجلذر ال

( )٦ ٢− ٨

إناءان حجم األول أكرب من الثاين )٢٢ املساحة قارن بني

اجلانبية للثاين اجلانبية لألول

٠إذا كان )٢٣ ٧= +λ+ε قارن بني

−١ ميل املستقيم


١٣٣


عقرب لفات عددالدقائق إذا حترك من

إىل ١٤:٢٠الساعة ٧الساعة مساء٢٠:

٧

سـاعة يف األسـبوع بـأجرة ٤٠شخص يعمـل )٢٥

رياالت للساعة الواحدة ، واآلخـر يعمـل ٦قدرها

ريــاالت ٤ ســاعة يف األســبوع بــأجرة قــدرها ٥٥ للساعة الواحدة

قارن بني أجرة الثاين أجرة األول

! توقف


ــة إجاب ــك وجيــب عــدم مراجع اتاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

)٣( نموذج الرابعالفصل

١٣٤

الثالث : القسم دقيقة ١٥: الزمن




.مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية –٣ مسموح باستخدام اآللة احلاسبة غري -١ األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على القيـاس -٢







املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها يتبـع كـل ، )١٠ -١( أسـئلة ١٠ا يلـي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


مث أضفت إىل ٨ما العدد الذي إذا طرحت منه )١

؟٧ كان الناتج ٣حاصل الطرح

( )δ ٤− ( )β١٢ ( )χ٢ ( )α ١٨

٩ )٢ ٧= − −

( )δ ١٦ ( )β٢− ( )χ٢ ( )α ١٦−

٣ )٣ ٢٥ ٤= ε × ε

( )δ ٦ ٢٠ε ( )β٥ ٢٠ε ( )χ٦ ٩ε ( )α ٥ ٩ε

الثالثالقسم االختبار التجريبي الثالث ٣ ٣ ٣ ٣

١٣٥

فمـا ٧، والفرق بينهما ٢٥ عددان جمموعهما )٤نسبة ناتج اموع والفرق بينهما إىل العدد األكرب

منهما ؟

( )δ ثلثه ( )βضعفه ( )χنصفه ( )α ثالثة أضعافه

ريـاالت للقلـم ٣ قلما بسـعر ١٥ترى علي اش )٥

مـن السـعر اإلمجـايل ⊇١٠الواحد ، وخصـم لـه فكم رياال دفعه علي ؟. لألقالم

( )δ ٣٨٫٥ ( )β٤٢٫٥

( )χ٤٠٫٥ ( )α ٤٣٫٥ ما هـي إحـداثيات )٦

يف الشــكل δالنقطــة املقابل ؟

( )δ ( )١٠،٨ ( )β( )٨،٦

( )χ( )٨،١٠ ( )α ( )١٠،٦ يف الشكل املقابـل )٧

إذا كانت رؤوس املثلث

βχδ تقع على

فمـا نسـبة مسـاحة ιγαمنتصف أضالع املثلث املثلث األصغر إىل األكرب ؟

( )δ ٣ :١ ( )β٣ :٢

( )χ٤ :١ ( )α ١:٤

بعـض املـدن توقيت اململكة يتقـدم إذا كان )٨وتتأخر هذه املدن ساعات ، ٨األمريكية مبقدار

فكــم تكــون . ســاعات ٥ مبقــدار عــن فرنســاملدن األمريكية ويف فرنسـا علـى الساعة يف تلك ا

ــعودية ــت يف الس ــدما يكــون الوق ــوايل ، عن الت الواحدة مساء ؟

( )δ ١٢ ،٧ ( )β٦،١

( )χ٤ ،٩ ( )α ١٠،٥ ٨ ما هو نصف العدد )٩ ؟٢

( )δ ٣٢ ( )β٥٢ ( )χ٤٢ ( )α ٧٢

السـاعة ، / كلم ٨٠٠ تطري طائرة بسرعة )١٠

يف الثلث األول من رحلتها ، فما متوسـط سـرعتها لبقية الرحلـة إذا كـان متوسـط سـرعتها خـالل

الساعة ؟/ كلم ٧٠٠الرحلة كاملة كان

( )δ ٧٥٠ ( )β٦٥٠ ( )χ٧٠٠ ( )α ٦٠٠

! توقف

ا قبل ايـة الوقـت إذا وصلت هن املخصص هلـذا القسـم ميكنـك


) ٤( نموذج الفصل الرابع

١٣٨

األول: القسم دقيقة ٣٠: الزمن











املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه


منـها ، يتبـع كـل ) ٢١ -١( سـؤاال ٢١ا يلي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


٢٠٠ فـإذا دفعـت ⊇٢٫٥بة زكـاة املـال نس )١

رياال ، فما املبلغ الذي زكيته ؟

( )δ ٣٠٠٠ ( )β٦٠٠٠ ( )χ٤٠٠٠ ( )α ٨٠٠٠

لدى أمحد مبلغ من املال أعطى نصفه ألمـه مث )٢

أعطى ربع الباقي لزوجتـه مث أعطـى ثلـث البـاقي ألخيه ، مث أعطى نصف ما تبقـى مـن ذلـك ألبنـه

فكم رياال كـان عنـد . الذي كان نصيبه ريالني البداية ؟أمحد يف

( )δ ٤٨ ( )β١٦ ( )χ٢٤ ( )α ٨

القسم األول االختبار التجريبي الرابع ١ ١ ١ ١

١٣٩

٩٩إذا كانت )٣ ١٠٠٢ ٢ ٢ε = ε= فإن −

( )δ ١ ( )β٩٩ ( )χ٢ ( )α ١٠٠

٤(

يف الشكل اـاور ما حميط املستطيل

نصفإذا كان

)قطر كل من الدائرتني ) ( )،ι κ اليت بداخله

=١ سم ، و ٢يساوي εسم ؟

( )δ ٢٦ ( )β ٢٢ ( )χ٢٤ ( )α ٢٠

٥( ( ) ( ) ( ) ( )١٠٠ ٣ ٢ ١١ ١ ١ ١= − + + − + − + −

( )δ ١− ( )β١ ( )χ٠ ( )α ١٠٠

٣مثلث النسـب بـني زوايـاه هـي )٦ :٢ فمـا . ١:

أكرب زاوية فيه ؟

( )δ ٩٠° ( )β١١٩° ( )χ١٠٨° ( )α ٢٤٤°

٧( ٤ ٥٦ ٦٥−=

( )δ ٢٦ ( )β٤٦ ( )χ٣٦ ( )α ٥٦

٨( مــا حمــيط الشــكل ااور إذا كـان طـول

كل ضلع من أضالع سم ؟٥املربعات األربعة يساوي

( )δ ٤٠ ( )β٥٠ ( )χ٤٥ ( )α ٨٠

١٠إذا كــان )٩ ٢ ٢ ٢= ς +λ +ε ١٣ و٢

= ς

ςفما قيمة +λ+ελ+ε

؟

( )δ ٥ − ( )β١ ( )χ٥

٢− ( )α ٣

إذا كان لترا واحدا من البرتين يكفي نوعـا )١٠

فكـم . كلـم ١٢٫٥من السيارات لقطع مسـافة را من البرتين حتتاج تلك السيارة لتقطـع مسـافة لت

كلم ؟١٠٠

( )δ ٨ ( )β١٢ ( )χ١٠ ( )α ١٤

كم املسافة اليت يقطعها رجل يسري بسـرعة )١١

دقائق ؟١٠الساعة يف زمن قدره / كلم ٥

( )δ ٦٥

( )β٥١٠

( )χ٥٦

( )α ١٥


١٤٠

، كم تساوي مثانيـة ١٥عدد مخسة أمثاله )١٢ أمثاله ؟

( )δ ١٣ ( )β٢٣ ( )χ٢٠ ( )α ٢٤

١٣(

ما الفرق بـني مسـاحيت ــع يف ــدائرة واملربــ الــ

الشكل ااور إذا

) سم ؟ ٤ربع يساوي كان طول ضلع امل )٢٢٧=π

( )δ ٢٠٠٧

( )β٦٨٧

( )χ٩٠٧

( )α ٢٤٧

سـاعة ١٧ما سرعة الراكب الذي يقطع يف )١٤ دقائق املسافة نفسها اليت يقطعها راكب آخر ٥و

بسـرعة دقيقة حينمـا يسـري ١٥ ساعات و ١٠يف

الساعة ؟/ كلم ٥

( )δ ٦ ( )β٤ ( )χ٥ ( )α ٣

دقـائق ٥ صناديق يف ٥مخسة عمال ينتجون )١٥

ساعات ؟١٠ عمال يف ١٠كم صندوقا ينتج

( )δ ٣٠٠ ( )β٦٠٠ ( )χ٥٠٠ ( )α ١٢٠٠

جمســم هندســي يتكــون مــن وجهــني علــى )١٦ أربعـة سم ، و ٤شكل مربع طول ضلع كل منها

سـم و ٤أوجه مستطيلة الشكل أبعاد كل منـها

فما حجم . سم ، عمودية على كل من املربعني ٨ اسم ؟

( )δ ٣٢ ( )β١٢٨ ( )χ٤٨ ( )α ١٦٠

١٧(

يف الشـــــــكل اــــــــاور إذا ــاحة ــت مس كان

τالـــــــدائرة

٢ سمπتساوي

]فكم طول ]κε الدائرة الكـبرية : مالحظة ( ؟

κ مث ، µ مث Θ مث τ(

( )δ ١ ( )β٤ ( )χ٢ ( )α ٨

ميل املسـتقيم العمـودي علـى املسـتقيم املـار )١٨

)بالنقطتني ) ( )١،٠ ، : يساوي ٠،٣

( )δ ٣ − ( )β١٣

( )χ١٣− ( )α ٣

القسم األول االختبار التجريبي الرابع ١ ١ ١ ١

١٤١

تقضي نـوال ثلـث اليـوم يف النـوم و ربعـه يف )١٩فما هو الكسر الذي يعرب عن ما تقضيه . درسة امل

نوال يف بقية اليوم من أعمال ؟

( )δ ١ ١٤ ٣÷ ( )β( )١ ١ ١

٤ ٣+ −

( )χ١ ١٣ ٤÷ ( )α ١ ١

٤ ٣+

رياال ٧٥اشترى حسني حقيبتني األوىل سعرها )٢٠

ريـاال ٥٠والثانية سـعرها أقـل مـن األوىل مببلـغ فكم رياال دفع مثنا للحقيبتني ؟

( )δ ١٢٥ ( )β٩٨ ( )χ١٠٠ ( )α ٩٦

تنطلق سيارتني يف اجتاهني خمتلفني يف نفـس )٢١

ــم ٩٥الوقــت ، األوىل بســرعة الســاعة ، / كلفما املسـافة . الساعة / كلم ٧٥والثانية بسرعة بعــد ســاعة مــن ) بــالكيلومتر ( بــني الســيارتني

انطالقهما ؟

( )δ ٥ ( )β٢٠ ( )χ١٠ ( )α ١٧٠

انتهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم األول اآلن انتقل ألسئلة املقارنة


ن األسئلة التالية يف كل م : تعليمات أسئلة املقارنة صيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل يف



.للمقارنة

٢٢(

قارن بني

حميط الشكل αβχδالرباعي

٣٥

٢٣(

قارن بني١

١ ١٢+

٣٨


١٤٢

١٠٠صــندوقا تفــاح بكــل واحــد منــهما )٢٤ من التفاح ⊇٣٠إذا أخذ خالد من أحدمها . تفاحة

. من الصندوق اآلخر ٠٫٣وأخذ أمحد ما أخذهقارن بني

أمحد خالد ٩إذا كان )٢٥ ،٣=λ =ε

قارن بني٢ε ٢ ∂λ

! توقف إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك ــك وجيــب عــدم ــة إجابات مراجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.الوقت

الثانيالقسم االختبار التجريبي الرابع ٢ ٢ ٢ ٢

١٤٣












املساحة ٢

αδ × χβ=





.التشابه

االختيار من متعددأسئلة : أوال

، يتبع كل منها أربعة )٢٠ - ١( سؤاال ٢٠فيما يلي اختر مـن بينـها اإلجابـة الصـحيحة مث . اختيارات


ــة )١ ــت تكلف ــواب ٧إذا كان ــاال ، ٥٦٠ أث ري

كلفة ثوبني ؟تفكم رياال

( )δ ١٧٠ ( )β١٥٠ ( )χ١٦٠ ( )α ١٤٠

) ٤(الفصل الرابع نموذج

١٤٤

ر يف الشكل اـاو )٢كـــم طـــول القطعـــة

املستقيمة ؟

( )δ ٥ ( )β٣ ( )χ٤ ( )α ١

ــان إذ )٣ ا كـــــ١ ١λ+ε =µ

+λ ε

ــث حيـــــ

٥ ،٣=λ =ε فما قيمة ، µ؟

( )δ ٨ ( )β١٥ ( )χ١٠ ( )α ١٢٥

٤(

ــول ــط ط ــان متوس ــاله ، إذا ك ــكل أع يف الش

]القطعتني ]،⎡ ⎤βχ χδ⎣ فكم . سم ٦٥ يساوي ⎦

]طول ]βχ؟

( )δ ٥٢ ( )β٧٨ ( )χ٦٥ ( )α ١٣٠

مــن طــالب إحــدى اجلامعــات ⊇٥ إذا كــان )٥ يف قســم ⊇١٥ســجلني يف قســم الكيميــاء ، و م

٢٢٠الرياضيات ، وكان عدد الطالب املسـجلني فكــم عــدد الطــالب املســجلني يف بقيــة . طالبــا

األقسام ؟

( )δ ١٢٠ ( )β١٧٦ ( )χ١٤٠ ( )α ١٨٠

يتكرر إىل ما الاية ٠٫٣١٧٥٢ العدد الدوري )٦

فأي األعداد التالية ميثل العدد املوجـود يف اخلانـة ؟٩٦٨قم ر

( )δ ١ ( )β٥ ( )χ٣ ( )α ٧

ريـال ، اشـترت حاجيـات ١٠٠لدى أم خالـد )٧

كم عدد املرطبات الـيت ميكـن . رياال ٤٠مببلغ رياالت ؟٤شراؤها إذا كان مثن العلبة الواحدة

( )δ ١٥ ( )β٢٥ ( )χ٢٠ ( )α ٣٠

، وطـول °٣٠ إذا كانت زاوية ارتفاع الشمس )٨

٣ظل النخلة كم طول النخلة ؟. م ∂٤٠

( )δ ٢٠ ( )β٣٥ ( )χ٢٣ ( )α ٤٠


١٤٥

ــه األوىل تســاوي )٩ ــث زاويت ــه °٦٥ مثل ، وزاويت فكم قياس زاويته الثالثة ؟ . ι°الثانية تساوي

( ) (((

( ) (

٦٥ ١٨٠

١٨٠ ٦٥

١١٥

٦٥ ١١٥ ٣٦٠

ι− − δ

−ι+ χ

ι− β

ι+ + − α

ســنوات يســاوي ١٠ إذا كــان عمــري بعــد )١٠

فما عمري اآلن ؟. سنة ٢٠عمري منذ ضعف

( )δ ٢٥ ( )β٥٠ ( )χ٤٥ ( )α ٦٠

١١(

يف الشكل املقابل ، ــاحة ــبة مس ــا نس ماملثلــث الصــغري إىل ــث ــاحة املثلــ مســ

الكبري ؟

( )δ ٣ :١ ( )β٩:٤

( )χ٣ :٢ ( )α ٩ :٦ : إذا كان الوسط احلسايب لألعداد )١٢

٥ ،١ ،+ε +ε ε ــاوي ــيط ٦يسـ ــإن الوسـ فـ

:يساوي

( )δ ٤ ( )β٦ ( )χ٥ ( )α ٩

١٣(

و ١يف الشكل أعاله ، ما جمموع قياس الزاويتني

؟٢

( )δ ٢٢٠° ( )β١٤٣° ( )χ١٥٠° ( )α ١٤٢٫٥°

ــى تفــاح وبرتقــال ، إذا )١٤ ــوي عل صــندوق حيت

ة عشـوائيا فاحتمـال أن سحبنا من الصـندوق حبـ

٢تكون تفاحة يساوي ٣

، فإذا علمـت بـأن عـدد

فكـم . تفاحة ١٢التفاح يف هذا الصندوق يساوي برتقالة فيه ؟

( )δ ٣ ( )β٩ ( )χ٦ ( )α ١٢

إذا كانت مسـاحة كـل وجهـة مـن أوجهـة )١٥

فكــم حجمــه . ٢ ســم٦٤املكعــب يســاوي تيمتر املكعب ؟بالسن

( )δ ٢٥٦ ( )β٤٠٠ ( )χ٣٨٤ ( )α ٥١٢

) ٤(الفصل الرابع نموذج

١٤٦

يف الشــــــكل )١٦ مـــا قيـــاس املقابـــل

الزاوية الـيت يصـنعها ــع ــدقائق م ــرب ال عق

عقرب الساعات ؟( )δ ٩٥° ( )β١٢٠° ( )χ١١٧٫٥° ( )α ١٢٥°

ما الوسط احلسايب لألعداد الصـحيحة بـني )١٧

؟٨٠ و −٧٩

( )δ ٠٫٥ ( )β٤٠ ( )χ١ ( )α ١٦٠

إذا كــان )١٨٢٧ ٥ ٨

λ=ε⎫⎬=λ −ε ⎭

فمــا قيمــة

٥λ؟

( )δ ٢٧٥

( )β٤٥

( )χ٩ ( )α ٧٢ كرة متماثلة إال من ٣٥صندوق حيتوي على )١٩

حيث اللون ، إذا سحبنا كرة عشوائيا فإن احتمال

٣ محراء يساوي أن تكون ٥

كم عدد الكـرات .

غري احلمراء بالصندوق ؟

( )δ ٧ ( )β٢١ ( )χ١٤ ( )α ٣٠

كلـم ٤٠تقطع سـيارة نصـف طريـق طولـه )٢٠وتقطع بقيته بسـرعة . الساعة / كلم ٤٠بسرعة

فكم دقيقة تسـتغرق لقطـع . الساعة / كلم ٦٠ الطريق كامال ؟

( )δ ٤٠ ( )β٥٠ ( )χ٤٥ ( )α ٥٥

ول انتهت أسئلة االختيار من متعدد للقسم األ . ةاآلن انتقل ألسئلة املقارن

)٢٥ – ٢١( أسئلة املقارنة: ثانيا

يف كل من األسئلة التالية :تعليمات أسئلة املقارنة صيغتان ، واحـدة يف العمـود األول ، واألخـرى يف العمود الثـاين ، قـارن بـني الصـيغتني مث ظلـل يف

:ورقة اإلجابة احلرفδ ( د األول أكرب منها إذا كانت الصيغة يف العمو

.يف العمود الثاين χ ( إذا كانت الصـيغة يف العمـود األول أصـغر . يف العمود الثاين امنهβ (نيإذا كانت الصيغتان متساويت α ( إذا كانــت املعلومــات املعطــاة غــري كافيــة

.للمقارنة

٢١(

قارن بني

١٠ ٤ ٦٣× × ٩ ٨ ٥ ٧× × ×


١٤٧

٠ إذا كان )٢٢ ،٠λ ε

قارن بني

λε ε−λ

٢٣(

قارن بني٢ε ٦٤

٢٤(

يف الشكل أعاله شبه منحرف فيه مساحة املنطقة

. ٢ سم٢٤املظللة تساوي قارن بني

ακ βα + γκ

٢٥(

)يف الشكل أعاله ، حميط الـدائرة )β يسـاوي

١٢π ــدائرة ــم ، وحمــيط ال ) س )= χ حمــيط

)الدائرة )٨π = δسم

قارن بني

χδ βχ

! توقف

إذا وصلت هنا قبل ايـة الوقـت املخصص هلـذا القسـم ميكنـك ــك وجيــب عــدم ــة إجابات مراجعاالنتقال للقسم التايل قبـل ايـة

.لوقت ا

)٤(نموذج الرابعالفصل

١٤٨

الثالث : القسم دقيقة ١٥: الزمن




.مجيع األعداد الواردة هي أعداد حقيقية –٣ مسموح باستخدام اآللة احلاسبة غري -١ األشكال املصاحبة يف األسئلة رمست على القيـاس -٢







املساحة ٢

αδ × χβ=


مثلث ستيين –ثيين ثال



.التشابه


منـها بـع كـل ، يت )١٠ – ١( أسـئلة ١٠ا يلـي فيماختر من بينها اإلجابة الصحيحة . أربعة اختيارات


صـناديق يف كـل منـها ةصندوق بداخله ثالثـ )١

ما جمموع الصناديق ؟. صناديق ةثالث

( )δ ١٠ ( )β١٢ ( )χ١١ ( )α ١٣

٣خزان حيمل )٢ ٣κ كم خـزان يلزمنـا . من املاء

٣حلمل ١٥κ؟

( )δ ٣ ( )β٥ ( )χ٤ ( )α ٦

µ=٣ فإن =٣εµإذا كانت )٣

( )δ ١+εµ ( )β٣+εµ ( )χ٢+εµ ( )α ٣ε µ

الثالثالقسم االختبار التجريبي الرابع ٣ ٣ ٣ ٣

١٤٩

ــيا )٤ ــت ســ ــرعة انطلقــ ١٠٠رتان األوىل بســــم ــرعة / كلـ ــرى بسـ ــاعة ، واألخـ ١٢٠السـ

بعد كـم سـاعة يصـبح الفـارق . الساعة / كلم كلم ؟٢٠بينهما

( )δ ١ ( )β٥ ( )χ٢ ( )α ١٠

يف مادة توزن ⊇٧٥ما معدل طالب حصل على )٥

يف ⊇٩٠ل علـى وحصـ )أي كمـادتني ( بضعفني املادة األخرى ؟

( )δ ٩٠⊆ ( )β٨٠⊆ ( )χ٨٥⊆ ( )α ٧٥⊆

) من عدد ⊇٥ )٦ )κ من عدد ⊇١٠ تساوي ( )ι

)فما هي النسبة املئوية للعدد . )κ بالنسـبة للعـدد

( )ι؟

( )δ النصف ( )βالضعف ( )χمتساوية ( )α ال ميكــــــن

التحديد مربعا على عـدد مـن الصـفوف ٤٥ إذا وزعنا )٧

حبيث حيوي الصف األول مربعا واحـدا ، والصـف .... ثاين مربعني ، والصف الثالث ثالثـة مربعـات ال

وهكذا ، فكم يكون عدد املربعـات يف الصـف األخري ؟

( )δ ٨ ( )β١٠ ( )χ٩ ( )α ١١

δ ظهـرا يف املدينـة ١٢عندما تكون الساعة )٨فإذا . صباحا ٩ تكون χفإن الساعة يف املدينة

صــباحا ٧ السـاعة δة مـن املدينــة أقلعـت طــائر ١٠ السـاعة χ ووصلت املدينـة δبتوقيت املدينة

كم ساعة استغرقت ف . χصباحا بتوقيت املدينة الرحلة ؟

( )δ ٣ ( )β٦ ( )χ٥ ( )α ١٠

فكـم يكـون طولـه . كلـم ٣٠له شارع طو )٩

بالسنتيمتر على خارطة مقاسها ٥١

١٠ ٢× ؟

( )δ ١٫٥ ( )β٣٠ ( )χ١٥ ( )α ١٥٠

٣إذا كانت حنفية متأل خزان سـعته )١٠ ٢٤κ يف

ساعتني ، وحنفية أخـرى متـأل اخلـزان نفسـه يف فإذا فتحـت احلنفيـتني معـا فكـم . أربع ساعات

اخلزان ؟ مناألخرىمترا مكعبا متأل احلنفية

( )δ ٦ ( )β١٢ ( )χ٨ ( )α ١٦

! توقف ايـة الوقـت إذا وصلت هنا قبل

املخصص هلـذا القسـم ميكنـك .مراجعة إجاباتك

الباب الثاني ٢

١٥٢

الـواردة بالكتـاب مرتبـة حسـب التدريبات حلول ورودها

ــاللون ــدريبات كتبــت ب مجيــع الفراغــات يف الت األمحر

الفصل األول

)١-١( تدريب لنفـــرض أن مـــا حصـــل عليـــه يف اليـــوم األول

ε=رياال :منثل معطيات السؤال يف الشكل التايل

الرابع ثالثال الثايناليوم األول

ε ٢ε ε ١٢

ε

١٤٥٢

٤

٢

٩٢

٩٠ ٩١٠

٥

= ε + +ε∴

=ε

=ε

ε+ε

=ε

:جمموع ما حصل عليه يف اليومني األولني هو ٣٠ ٢٠ ١٠ ٢= + = ε +ε∴رياال.

)٢-١( تدريب

:ة فيثاغورس جند أنوبتطبيق نظري٢ ٢٢

١٤٤ ٢٥

١٤٤ ٢٥

١٣

+

+

ϖχ + χδ = ϖδ

=

∂ = ϖδ

=


)٣-١( تدريب ألن ١٠ =طول الوتر

هي أطوال أضالع مثلث قائم الزاوية١٠،٨،٦

٤ ٣١٠ ١٠

٤١٠٢٫٥

= ε ⇐ =ε+ε

= =ε∴

∵


)٤-١( تدريب

١ =βχδمساحة ٢

γβ × χδ

١٠٢

٣ ١٠ ٦= × × ٢ سم=

١ =αβδ مساحة ٢

ωβ × αδ

٨ ٤ ٤ ١٢

= × × ٢ سم=

٣٨مساحة ٨ ٣٠= + = αβχδ٢ سم

)٥-١( تدريب

١٠مساحة املستطيل ٥ ٢= × ٢ سم= دائـرة مسـاحة نصـف = الـدائرتني ا ربعـ امساحت

) سم٢نصف قطرها )٢ ١٢ ٢٢

π = π ٢ سم=

−مسـاحة املسـتطيل = مساحة الشـكل املظلـل مساحة نصف الدائرة

٢مساحة الشكل املظلل ١٠π − =

( )٥ ٢π − ٢ سم= χاإلجابة الصحيحة

الفصل الخامس إرشادات الحلول

١٥٣

)٦-١( تدريب ١٢

٢∂ = αχ = κχ ∴

٢طول قطر الدائرة = πϖ = =١ نصف قطر الدائرة ∴ γκ =

١ ٢

γκ − κχ = γχ ∴

− ∂ =


)٧-١( تدريب

مساحته ( )

٢χδ + αβ × κδ

=

( )٩ ٤ ٣

٣٩١٩٢

٢.٥

+ × =

= =


الفصل الثاين

)١-٢( تدريب

:اختر أربعة أعداد فردية صحيحة متتالية ولتكن

: فيكون ٧،٥،٣،١

١٦ ٧ ٥ ٣ ١= + + + = ι .٧وأكرب هذه األعداد هو العدد

١٦اآلن نعــوض عــن = ι يف اخليــارات ويكــون ٧اخليار الصحيح هو اخليار الذي يكـون ناجتـة

١٦ويض عن بعد التع = ι

:αابدأ باخليار

α (٢٨ ١٢ ١٦٧٤ ٤

١٢٤

+ +ι= = )صحيح ( =

β ( ١١ ٢٢ ٦ ١٦٧٢ ٤ ٤

٦٤

+ +ι≠ = = =

χ ( ٥ ١٠ ٦ ١٦٧٢ ٤ ٤

٦٤

− −ι≠ = = =

δ ( ١٤ ١٢ ١٦٧ ١٤ ٤

٢٤

− −ι≠ = = =


)٢-٢( تدريب =١ضع αون فيك:

٧ ١ ٣٢ ٢

١ ٣٢

= + = +α = β

١ ٢٢

١٥ ١ ٧ ٢٢ ٢ ٢= + × = +β =χ

١٦ ١ ١٥٨٢ ٢ ٢

١٢

= = + = +χ = δ

٨اآلن عوض عن قيمة = δ يف اخليـارات وأحبـث =١أيهم يساوي α.

δ ( ٦ ٢ ٨ ٢٦ ٦ ٦

١ − − δ= = )صح ( =

χ ( ١٣ ١٣ ٣ ٢٦ ٦

٦١٦

− − δ≠ = =

β ( ١٣ ١٦٣ ٣ ٢١٢ ١٢

١١٢

− − δ≠ = =

α ( ٢٤ ٢ ٣١٨ ١٢٢ ٢

١١

٨ ٨− − δ≠ = =



١٥٤

)٣-٢( تدريب

١دقيقة ٢٠ ٢٠٣ ٦٠= ساعة =

١٢٠ الزمن × السرعة = املسافة٣

٦٠= × =

:اآلن عوض يف اخليارات بالقيم التالية

٦٠ ،٢=λ =ε هـو ٢٠ واخليار الـذي قيمتـه

.اخليار الصحيح

δ ( ٦٠ ٢٢٠٣

٤٠٣

λε×≠ = =

χ ( ٢٠ ٣٦٠ ٦٠ ٢ ٣ ٣≠ = × × =λε

β ( ٦٠ ٢٢٠

٢٠ ٦٢٠

λε×≠ = =

α ( ٦٠٣

٢٠٣

λ= )صح ( =


)٤-٢( تدريب نفرض أن

كتاب =١٠٠الكتب املباعة عينة عدد

=٨٠ ١٠٠ من ⊇٨٠ ١٤٢٤γعدد الكتب املباعة يف عام

٠٠ ٠٢ ٨٠ ١= − = زادت املبيعات من نفس الكتاب ١٤٢٥γويف عام

١٠٠إىل ) الكمية احلالية ( ٢٠ أي من ٨٠

١٠٠نسبة الزيادة الزيـــادة الفعليـــةــة الكمية احلالي

⊆ × =

٨٠٤٠٠ ١٠٠٢٠

⊆ =⊆ × =


)٥-٢( تدريب :جبمع املعادلتني

١٤ ٥ ٣٦

٢٠ ٤ ٤

=λ +ε=λ−

=λ

+

+ε

ε

:٤بالقسمة على

٥ =λ+ε صـل هو حا ε ، λالوسط احلسايب لكل من

: أي أن ٢مجعهما مقسوما على

٢٥٢٫٥

٢λ+ε= =


)٦-٢( تدريب سنوات سـوف يكـون عمـر حممـد ٧مبا أنه بعد

ضعف عمر خالد ( )٧ ٢١٤

٧ ٣٧ ٣

٧٢

+ = +ε ∴+ε = +εε

=ε∴

٣٢١عمر حممد اآلن ٧ ٣= × = ε سنة=


١٥٥

لفصل الثالث ا

)١-٣( تدريب ، استخدم أفضل األرقامε شروط على دال يوج





١= ε ١٠ ١١− δ χو β

٠= ε ١١ ١٠− δ

١− =ε١٢ ٩− δ استخدمنا أرقام موجبة وسالبة والصـفر والنتيجـة أن الصيغة بالعمود األول أكرب من الصيغة بالعمود

. الثاين δلصحيحة اإلجابة ا

)٢-٣( تدريب

. ريال =١٠٠أفرض أن اجلائزة . رياال=٥٠نصيب سهيل منها

مقدار ما أنفقه منها على شراء الكتب ٣٣٠ ٥٠٥

= × رياال=

. رياال=٤٠نصيب سامل من اجلائزة مقدار ما أنفقه منها على مشترياته

٣٠ ٤٠ ٣٤

= × =

من املال علـى املبلغ نفس نالحظ أما أنفقا : إذا مشتريام


)٣-٣( تدريب سم ١أفرض أن نصف قطر الدائرة يساوي

٢حميط الدائرة ٢π =Ωπ سم =

٢πمساحتها = Ωπ ٢ سم٣٫١٤ = سم=εأفرض أن طول ضلع املربع

حميط الدائرة =مبا أن حميط املربع ٦١٫٥ ٢ ٤π= ⇐ = ∴εεسم

)حة املربع مسا )٢٢٫٢٥ ٢ سم=١٫٥

واضح أن مساحة الدائرة أكرب من مساحة املربع .δاإلجابة الصحيحة

)٤-٣( تدريب

:بتربيع كل عمود ، جند أن

العمود األول ٢

٢٠٢٠٥٤ ٢

∂⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

العمود الثاين ٢

٢٥ ٥٥٥ ٥

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∂

العمود الثاينيساوياضح أن العمود األول و βاإلجابة الصحيحة


١٥٦

)١-١( حلول متارين

:مفاتيح اإلجابة

٤ ٣ ٢ ١ السؤال α α χ β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال

α δ β δ جابةاإل ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال α α α χ اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ لالسؤا χ χ β α اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال χ β α β اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال χ δ δ β اإلجابة ٢٨ ٢٧ ٢٦ ٢٥ السؤال δ χ χ δ اإلجابة ٢٩ السؤال χ اإلجابة

.شرح احللول ١ (α

، نضـع البيانـات ) ١(باستخدام اإلستراتيجية رقم :يف جدول كما يلي

تاريخ ١٠ أدب ٧

هـ١٤٢٤

تاريخ س أدب س٢

هـ١٤٢٥

اموع س٣+١٧عدد كتب األدب اليت قراءهـا حممـد يف العـامني

٧يساوي ٢+ε من قراءته ⊇٦٠ وهي تشكل ٧ ٢٣ ٣ ٦٠ ٦٠

٥ ١٧ ٣ ٥ ١٠٠٥١ ٩ ٣٥ ١٠

١٦

+ε= ⇐ = =⊆+ε

+ε = +ε ⇐=ε∴

∵

هـ يسـاوي ١٤٢٥جمموع الكتب اليت قراءها عام

٤٨ ١٦ ٣ ٣= × =ε كتاب ♦ ٢ ( α قطرا املستطيل متطابقني ∵

١٠ ∴=Ω= κδ سم

♦


١٥٧

٣ (χ نوجـد املطلـوب ) ٧(باستخدام اإلستراتيجية رقـم

.بدون إجياد قيمة س ١٨ ٥ ٣١ ١٣ ٥

٣١ ١٨ ٣١ ٥٤٩ ٣١ ٥

٤٩ ٣١ ٥٧

=ε ⇐ = +ε+ = +ε ∴

= +ε

∂ = +ε ∂=

♦ ٤ ( β

، أرسم القطعـة ) ٥( رقم اإلستراتيجيةباستخدام

⎡ ⎤κδ⎣ . وطوهلا يساوي نصف قطر الدائرة ⎦

∂٨طول ضلع املربع =

٤ ٨ ٢= ∂ × ∂ = κδ ) ــاوي ــع يس ــر املرب ألن قط

٢× ) . طول ضلع املربع ∂

)مساحة الدائرة )٢ ٢١٦ ٤π =π =π Ω=

♦ ٥ ( α

، نطـــرح )٦( باســـتخدام اإلســـتراتيجية رقـــم املساحتني لنوجد مساحة املنطقة املظللة جند أن

=٤مساحة املربع

مساحة املثلث ٢٣ ٢٣٤∂∂ = =

٣قة املظللة مساحة املنط ٤∂ − = ♦

٦ ( δ ــتخدام ــتراتيجيةباس ــم اإلس ــتخدم ) ٩( رق ، نس

التقريب

( )٣ ٣١ ١ ١٫٠٠٠١٧=

٦ ٣٦ ٣٥ ١ ٣٤= ∂ ∂ = + ∂

( )٢١ ٦ ٥ ٥١٫٠٠٠١٧ ٣٤− = − ∂ − ∴+

♦ ٧ ( β

، نرسـم نصـف ) ٥( رقم ستراتيجيةاإلباستخدام χقطر الدائرة من املركز إىل الرأس

٤αγ − = αγ − ακ = γκ∵

βχδ °٦٠ متطابق األضالع ∵ =χ⇐ أن ستيين وبالتايل جند– ثالثيين γχκاملثلث

٢= γκ ــل ( ســم ــة الضــلع املقاب يف °٣٠للزاوي

)القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر

٢ ٢ ٤ αγ ⇐ αγ − ακ = γκ= − = سم∵♦


١٥٨

٨ ( δ فئة النصف ريال فئة الريال

س س٢ ١٣٢ اموع ٢=ε +ε

٤٤ ١٣٢ ٢=ε⇐ =ε +ε ٨٨عدد النقود من فئة الريال ٤٤ ٢ ٢= × =ε =

♦ ٩ (α

، ميكنك رسم ) ٣( رقم اإلستراتيجيةباستخدام ن بأكثر من طريقة ، وبالتايل لـن تسـتطيع يالوتر

أن تتوصل موعهما ♦ ١٠ ( α

. مناسب ر عدد خنتانيف مثل هذه املسائل جيب أكامـل ( ١لنفرض أن ما ميلكـه سـليم يسـاوي

) املبلغ

٣الباقي بعد الصرف ٢ ١٥ ٥= − =

١ما حصلت عليه غيداء ٣ ١٥ ٥ ٣= × =

٢الباقي ألخويه ١ ٣٥ ٥ ٥= − =

١نصيب طالل ٢ ١٥ ٥ ٢= × =

♦

١١ ( α سهى سهيل

ص س عدد الكتب :املطلوب قيمة س بعد حل النظام

٣٨٦ ٣

=λ+ε⎫⎬=λ −ε⎭

ε=٣٠حبل النظام السابق نستنتج أن ♦ ١٢ ( χ

. رياال =εأفرض أن سعر اجلهاز األساسي ربح ال

٢٤٠٠ ١٫٢ ٢٤٠٠ ٠٫٢٢٤٠٠١٫٢٢٠٠٠

=ε ⇐ =ε+ε×

=ε

=

ســـــعر اجلهـــــاز يف موســـــم التخفيضـــــات تهدف ربح المس ال

٠٫٠٨ε +ε=

٢١٦٠ ٢٠٠٠ ٠٫٠٨ ٢٠٠٠= × + ريال =♦


١٥٩

١٣ ( χ برتين املستهلكة لكل كيلـومتر حنسب كمية ال

داخل املدينة وعلى الطريق السريع

١ الطريـق السـريع لىكمية البرتين ع ٥٠٦ ١٠٠= =

كلم / لتر

ــة ــل املدينـ ــبرتين داخـ ــة الـ ٢كميـ ٦٠٩ ٢٧٠= =

.كلم / لتر على الطريق السريع داخل املدينة

٢٧٠ ٩٠ املسافة

١دد اللترات ع ٢٦٥ ٢٧٠ ٩٠٦ ٩= × + × . لتر =

♦ ١٤ ( χ

( )

٢ ٢

٢

٢ ٢

٠٠ ١

Ω=Ω⇐πΩ =πΩ

=Ω− Ω= −Ω Ω

∵

وهذا مستحيل Ω=٠إما : وبالتايل تكون Ω=١أو

)املساحة )٢ ٢١π =π =πΩ=

♦ ١٥ ( β

الثالث الثاين األول ٢+س ١+س س

( ) ( )١٢ ٢ ١ ٢

٦ ٣ ٣١

= +ε + +ε +ε⎡ ⎤⎣ ⎦= +ε ⇔=ε⇔

٣العدد األكرب ∴ ٢ ١ ٢= + = +ε= ♦

١٦ ( α ≥٢٠قيمة ε ) مبعىن أصح ليست سالبة (

χ،لذلك نستبعد اخليارين δ

( )٢٥ ١ ٢ ٢٥ ١ ٢± = −ε ⇐ = −ε ∵

ــا ٢٩أمـــــــ ٦ ٢ ٥ ١ ٢= ε⇐ =ε ⇐ = −ε )تستبعد هذه القيمة لعدم إدراجها يف خليارات (

٢٤أو ٤ ٢ ٥ ١ ٢= ε⇐ − =ε ⇐ − = −ε ♦ ١٧ ( χ

٣٠٧عدد مضـاعفات الـرقم ٤٤⎡ ⎤= =⎣ ⎦

تـذكر (

.)دالة صحيح س

٣٠٥عفات الرقم عدد مضا ٦٦⎡ ⎤= =⎣ ⎦

١٢عدد االحتماالت ٥ ٧= + = ن بسـبب وجودمهـا ان مكررولكن هناك احتماال

ــا ــاعفات العـــددين ومهـ ــا يف مضـ ٢٤ ، ١٢معـ عدد االحتماالت :وباستبعادمها يكون

)بدون تكرار )١٠ ٢ ٥ ٧= − + =

أو ٤بطاقة القسمة علـى احتمال أن يقبل رقم ال ∴

١ هو ٦ ١٠٣ ٣٠=

♦


١٦٠

١٨ ( β نفرض أن طول ضلع كل من املكعبـات الصـغرية

εيساوي ٢ ٢

٣ ٣

٥ ٢٥ ١٥٠ ٦

١٢٥ ٥

=ε⇐ = ε⇐ = ε ∴

= = ε=η ∴

λنفرض أن طول ضلع املكعب األكرب يساوي ٢ ٢

٣ ٣

٢٠ ٤٠٠ ٢٤٠٠ ٦

٨٠٠٠ ٢٠

=λ⇐ = λ⇐ = λ ∴

= = λ=η ∴

٨٠٠٠٦٤عدد املكعبات ∴ ١٢٥= . مكعب =

♦ ١٩ ( α

( ) ٥٣٠٦ ٥

٥+ε =λ⇐ε =λ+ε =

∵

♦ ٢٠ ( β

قواسم العدد ٣٠،١٥،١٠،٦،٥،٣،٢،١ ٣٠=

اوي عـدد ونالحظ أن عـدد القواسـم الفرديـة يسـ القواسم الزوجية

العمودان متساويان ∴♦ ٢١ ( χ

: قاعدة ١

١ ٠ιιε ε⇐ ε

نفكر يف احلل بدون آلة حاسبة

( )٣ ٥ ٥١١ ١١∵ ( )١

٣ ٥ ٥١١ ١١∵

من العمود األول العمود الثاين أكرب∴♦

٢٢ ( δ :العمود األول

١ ٣٣٣ ٣ ٣ ١٠٠٠+ × = ÷ :العمود الثاين

. فإن الباقي صفر ٥ تقبل القسمة على ∵٥١٠ العمود األول أكرب من الثاين ∴♦ ٢٣ ( δ


٠ ββ+α× = ⇐α βα ∵

:العمود الثاين فـإن البـاقي جيـب أن β علـى αعندما نقسـم

.βيكون أصغر من الثاين العمود العمود األول أكرب من ∴♦ ٢٤ ( β

:ألول العمود ا٢٣٠ ٥ ٢٥ ٥ ٥ ٥= + = + =

:العمود الثاين ٢٣٠ ٦ ٣٦ ٦ ٦ ٦= − = − =

العمودان متساويان ∴♦


١٦١

٢٥ ( δ :العمود األول

ι∵ ١ عدد زوجي+ι عدد فردي⇐

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

٢٢ ١١ ١

١١ ١ ١

١٢ ١

ιι− ι = +ι+ι + +ι

−ι ι =+ +ι +ι⎡ ⎤⎣ ⎦

−ι ι =+ι +ι

:العمود الثاين ( )

( )( )١

١٢ ١−ι ι ι

+ι+ι +ι ∵

١١ألن ٢−ι+ι

♦ ٢٦ ( χ

γ +α=χ∵ا زاوية خارجية للمثلث األيسرأل

γ +α δ+χ⇐δ+ γ +α= δ+χ∴ من العمود األولالعمود الثاين أكرب ∴♦ ٢٧ ( χ

ستنتج املطلوب ن ) ٣( باستخدام اإلستراتيجية رقم :أو من حقائق الزوايا

⇐ χβ βδ∵ ــلع ــة للضـ ــة املقابلـ الزاويـ

⎡ ⎤βδ⎣ ] أصغر من الزاوية املقابلة للضلع ⎦ ]βχ

ε λ∴ . ♦

٢٨ ( δ

:قاعدة لنفرض أن عدد الصفوف يف الشـكل النـاتج مـن

κتقسيم مستطيل يساوي لنفرض أن عدد األعمـدة يف الشـكل النـاتج مـن

ιتقسيم مستطيل يساوي قســيم فيكــون عــدد املســتطيالت الناشــئة مــن ت

مستطيل إىل مسـتطيالت صـغرية يعطـى بالقـانون :التايل

)ستطيالت املعدد ) ( )١ ١٤

+ι ι +κ κ=

:عدد املستطيالت يف الشكل املعطى ∴٤ ٣ ٣ ٢١٨

٤× × ×= . مستطيل =

♦ ٢٩ ( χ

:قاعدة عدد املربعات الناشئة من تقسيم مربع طول ضـلعه

ι يعطى بالقانون التايل :

٢

١

ι

=ϕϕ∑ ٢،١ حيثℵ ℵι =ϕ

:عدد املربعات يف الشكل املعطى ∴٢ ٢ ٢ ٢٣٠ ٤ ٣ ٢ ١= + + مربع +

♦


١٦٢

)١-٢( حلول متارين


٤ ٣ ٢ ١ السؤال β χ χ β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α χ δ β اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال

χ δ χ α جابةاإل ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال β α β δ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ لالسؤا δ β δ χ اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال δ χ χ δ اإلجابة ٢٥ السؤال χ اإلجابة

.شرح احللول

١ ( β

٢ ٢٦ ٢ ٦ ٢٦ ٢ ٦ ٢

١٢ ٤٣

+ε − ε −ε + ε+ε − −ε ⇐

ε ⇐ε⇐

∵

♦

٢ ( χ لنفرض أن أقل عدد ممكن من الكتب مع باسـل

. ا كتاب٤١تساوي ٢٠٥فيكون مع حممد ٤١ ٥= .ا كتاب×

ولكن عـدد الكتـب الـيت مـع حممـد جيـب أن ) كتــب خالــد ( ٤تكــون مــن مضــاعفة العــدد

) .كتب باسل ( ٥ والعدد يسـاوي ٥ ، ٤املضاعف املشترك األصغر للعددين

٢٠. ٢٠وبالتايل يكـون أصـغر عـدد مـن مضـاعفات

.٢٢٠ هو العدد ٢٠٥وأكرب من ا كتاب٢٢٠عدد كتب حممد يساوي

♦ ٣ ( χ سنوات٦قبل اآلن

٦ -س س سعد ٦ -س ٢ س٢ فهد

( )٦ ٥ ٦ ٢٨

−ε = −ε=ε∴

١٦عمر فهد اآلن ٨ ٢ ٢= × =ε سنة =♦ ٤ ( β

٥١ ٥ ٢٥٥

١٧ ٣ ٥

× =

× × =

♦


١٦٣

٥( α أو جربيـا عداد ميكنك احلل باستبدال املتغريات بأ

:كما يلي ٢ ٢٣ ٨ ٨ ٧

٣ ٨ ٨ ٧١١

−ι + ι +ι + ι−ι +ι

ι

١٠=ι∴ ) اعدد صحيح أكرب أل ( ♦ ٦ ( χ

( )٢χ−β=δ⇐χ+δ=β

β−χ = χ−β −χ=δ−χ∴∵

♦ ٧ ( δ

ــتغريات بأ ــتبدال امل ــك احلــل باس ــدادميكن أو ع :لتناسب كما يلي ستخدام اباς ١٠٠ ريالς . هللة =

قطعة =µلنفرض أن عدد القطع

١٠٠ ١٠٠١٠٠

λµλς =εµ⇐ =ς ελς =µε

♦ ٨ ( β

باختيار أرقام مناسبة

١٢٠⊆ ٨٠ من ∵ ٨٠⊆ ١٢٠ من =٨٠خذ ،١٢٠=χ = δ

٢٠٠=χ+δ∴ ٢٫٥ ٨٠ ٢٠٠= ÷ ⇐

♦

٩ ( χ

)⊆δ ÷δ من( ) (١٠٠δδ× ÷δ = δ

( )٢

٢

١٠٠ ١٠٠١٠٠

١٠٠

δ δ÷δ = δ× ÷δ

×δ =δ

=δ

♦ ١٠ ( δ

٢إلجياد الوسط جنمع املقدارين ونقسم الناتج على ٢حاصل مجع املقدارين ٦+ε =

٢الوسط احلسايب ٢١ ٣ ٢+ε+ε = =

♦ ١١ ( χ

٢إلجياد الوسط جنمع املقدارين ونقسم الناتج على :حاصل مجع املقدارين

١ ١٠ ١٠ ١٠=χ+δ⇐ =χ +δ

١٠٫٥الوسط احلسايب ٢ ٢χ+δ= = =

♦ ١٢ ( α

( )٤ ٢ ٣٤ ٤ ٢٢ ٢ ١٦ ٨٤ ١٢ ٦١٢ ٢٦

−εε ε −ε= ⇔ =ε = −ε ⇔

=ε ⇔=ε⇔

♦


١٦٤

١٣ ( β مناسبة عداداباختيار أ

١٠٠⊆ ١٠ من ∵ ١٠=

١٠خذ ،١٠٠=λ =ε

نعــوض عــن س يف اخليــارات اخليــار الــذي قمتــه . هو املطلوب ١٠تساوي

وبالتعويض جند أن اخليار الوحيد الذي حيقق ذلك βهو ♦ ١٤ ( α

.αابدأ باخليار للمـتغري س يف واضح أنه ال يوجد قيمـة صـحيحة

:املعادلة ٢ ٣٢٥٦ ١٦= = ε ١٦≠λ∴

♦ ١٥ ( β

يهـا طـالل مدينـة عدد املرات اليت سـوف يـزور ف ٦األلعاب ١٠+ . زيارة =

ألنه سوف يزورها مرة كل شهر ملدة عشرة أشهر ( زيارات خالل شهرين بواقع ثالث زيارات لكل ٦مث

) .منهما :اآلن نناقش احلاالت التالية

. رياال٦٠اشتراك سنوي سعره -١ كل زيارة يشتري تذكرة يف -٢

٥٦تكون التكلفة ٣٫٥ ١٦= × رياال = .وبالتايل يستبعد اخليار السنوي

شهور وبقية ٣يشترى تذكرة مفتوحة ملدة -٣ شهور يشتري تذكرة كل مرة ٩

:تكون التكلفة

٤٩٫٥ ٣١٫٥ ١٨ ٣٫٥ ٩ ١٨= + = × رياال + .اخليار الثالث هو األقل تكلفة

♦ ١٦ ( δ

= ∵ــافة املسـ

الزمن السرعة

باالنتباه للوحدات وحتويلها ١٠٠٠السرعة ٣٦١٠ ٣٦٠٠

×= ث / م =

♦ ١٧ ( δ

٢٠٤: املطلوب حل املعادلة ٢٠

+ε=ε−

٢٠٤ ٨٠ ٢٠ ٤٢٠

١٠٠ ٥٢٠

+εε − = +ε⇔ =ε−

=ε ⇔=ε⇔

♦ ١٨ ( β

٢١٤٤مساحة املربع ١٢= ٢ سم=

٢١٦πمساحة الدائرة الواحدة =πΩ=٢ سم مســاحة أربعــة أنصــاف الــدوائر يســاوي مســاحة

٣٢πدائرتني ٢ سم=مســاحة املنطقــة املظللــة تســاوي مســاحة املربــع

مطروحا منها مساحة دائرتني

٣٢مساحة املنطقة املظللة ١٤٤π − ٢ سم=♦


١٦٥

١٩ ( δ املناسبة عدادباختيار األ

١٢٠( موظــف =١٢٠نفــرض أن عــدد املــوظفني ، ٣عبارة عن املضاعف املشترك األصغر لألعـداد

) . واليت هي مقامات الكسور ٥ ، ٨

٣٨٠عدد الرجال ١٢٠٢

= × . رجال =

٤٠عدد النساء ٨٠ ١٢٠= − . امرأة =

٣٣٠عدد الرجال السعوديني ٨٠٨

= × رجال =

٣٧٢ السعوديني عدد غري ١٢٠٥

= × موظفا =

عــدد الســعوديني مــن اجلنســني والعــاملني يف ٤٨املستوصف ٧٢ ١٢٠= − سعوديا =

١٨عدد النساء السعوديات ٣٠ ٤٨= − سعودية =

٣الكسر الذي ميثل السعوديات هو ١٨٢٠ ١٢٠

=

♦ ٢٠ ( χ

واضح من الشكل أن مساحة املنطقة املظللة أقـل من مساحة املربع

نستبعد من اخليارات كل خيار فيه احلد األول من .النسبة أكرب من احلد الثاين

. χويبقى لنا اخليار الوحيد ♦ ٢١ ( δ : هي ٣٠٠ ، ٢٠٠ بني ٣ اليت تبدأ بالرقم ادعداأل

،٢٥٣،٢٤٣،٢٣٣،٢٢٣،٢١٣،٢٠٣٢٩٣،٢٨٣،٢٧٣،٢٦٣

.عداد أ١٠وعددها يساوي

٤٠٠ و ٣٠٠ بـني ٣ اليت تبـدأ بـالرقم عدادعدد األ عداد أ١٠يساوي

٤٠٠ و ٣٠٠ بـني ٣عدد األرقام اليت تنتهي بـالرقم عدد ١٠٠يساوي

يساوي٣جمموع األرقام اليت تبدأ أو تنتهي بالرقم

١٢٠ ١٠٠ ١٠ ١٠= + .عددا +♦ ٢٢ ( χ

ا توضيحينرسم شكال

١γ قياس الزاويـة الـيت قطعهـا عقـرب السـاعات

.خالل ساعتني ونصف

١

٥٥ ٢٧٥ ٣٦٠ ٣٦٠٢٤ ١٢

° = × = × = γ

٢γ قطعها عقرب الدقائق خالل قياس الزاوية اليت .نصف ساعة

٢٣٠١٨٠ ٣٦٠ ٦٠° = ° × = γ

:والزاوية املطلوب هقياس

٢ ١١٠٥° = γ − γ ♦


١٦٦

٢٣ ( χ ا مناسباعددخنتار

ريال =١٠٠أفرض أن سعر الدراجة ٧٥ول السعر بعد التخفيض األ رياال=

٦٠السعر بعد التخفيض الثاين ٧٥ ٠٫٢ ٧٥= × − ٤٠التخفيضان معا ٦٠ ١٠٠⊆ =⊆ −⊆ =

♦ ٢٤ ( δ

٢ ٢١٠ ١١ ٦β−εχ− εδ= −ε − ε ∵

١٠ ،١١ ، ٦٧ ١١ ١٠ ٦=β =χ =δ∴= + − =χ+β−δ

♦ ٢٥ ( χ

ا مناسباعددخنتار ريال =١٠٠أفرض أن سعر الفستان

رياال=٨٥السعر بعد التخفيض األول السعر الذي ميكن تدفعه رغـد يف حالـة شـرائها

٧٦٫٥للفستان ٨٥ ٠٫١ ٨٥= × − ريال= ياالنسبة ما ستدفعه بالنسبة لسعره س ر

٧٦٫٥٠٫٧٦٥١٠٠

ε =ε× =

♦

) ١ -٣( حلول متارين

:مفاتيح اإلجابة ٤ ٣ ٢ ١ السؤال χ α χ α اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α β δ α اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β δ β α اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال β χ χ δ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال α δ χ α اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β β α δ اإلجابة ٢٧ ٢٦ ٢٥ السؤال β β δ اإلجابة


١ ( χ :العمود األول

٠ ٤ ٠δ ⇐ δ∵ :العمود الثاين ٤٠ ٠δ⇐ δ∵

.العمود الثاين أكرب من األول ♦


١٦٧

٢ ( α :العمود األول

١٠١٠ ٠δ= ⇐ δδ∵

:العمود الثاين =١ضع δ ن متسـاويني إذا نسـتبعد ا أصبح العمود

χ،اخليارين δ

٥ضع = δ أصبح العمود الثاين أصغر من العمـود βاألول ، إذا نستبعد اخليار .αاخليار الوحيد املتبقي هو

♦ ٣ ( χ


( )٢ ٢ ٢٢χ+χδ + δ= χ+δ

:العمود الثاين ٢ ٢χ+ δ

٢بطرح ٢χ+ δ من العمودين يكون ٠العمود األول ٢χδ ٠ألن ( = χδ (

=٠العمود الثاين إذا العمود الثاين أكرب من األول

♦

٤ ( α ــدما ــاوي ε=١عن ــودان متس ــون العم ، ني يك

χ،وبالتايل نستبعد اخليارين δ

: يكون ε=٤عندما ٢العمود األول ٤= ∂ =٤ ، العمود الثاين =

، ويكــون اخليــار βوبالتــايل نســتبعد اخليــار .αالوحيد املتبقي هو

♦ ٥ ( α

: يكون ε=٢ عندما =٤ ، العمود الثاين ٦العمود األول

β،وبالتايل نستبعد اخليارين χ ٣عندما =ε يكون :

=٩ ، العمود الثاين ٩العمود األول ، ويكــون اخليــار βوبالتــايل نســتبعد اخليــار

.αالوحيد املتبقي هو ♦ ٦ ( β

٠حبل النظام جند أن ٠ ٢=λ⇐ =λ .العمودان متساويان

♦


١٦٨

٧ ( δ :العمود األول

١ميل املستقيم ١ ٢٤ ١ ٥

−= =τ−

:العمود الثاين −٤ميل املستقيم = κ ) ألنτ⊥κ (

.الثاين العمود العمود األول أكرب من ∴♦ ٨( α

،ألنـه ال ني يكون العمودان متساوي ε=١عندما وكذلك ١٠١ و ١٠٠ بني ٣يوجد مضاعفات للعدد

ــدد ــاعفات للع ــد مض ١٠١ و ١٠٠ بــني ٧ال يوجχ،وبالتايل نستبعد اخليارين δ

: يكون ε=١٠٠عندما أكرب من ٢٠٠ ، ١٠٠ بني ٣ مضاعفات العدد عدد

ألن ( ٢٠٠ و ١٠٠ بـني ٧عدد مضـاعفات العـدد ٣كل ثالث عـدد صـحيح مـن مضـاعفات العـدد

)٧وكل سابع عدد صحيح من مضاعفات العدد ، ويكــون اخليــار βوبالتــايل نســتبعد اخليــار

.αالوحيد املتبقي هو ♦ ٩ ( β

=εالعدد األول =ε=λ+١العدد الثاين =ε+٢العدد الثالث ς = :العمود األول

( )٢١٢ ٢

+ε +ε ς +ε+ε= =

:العمود الثاين ( ) ( )٢ ١

٣ ٣٣ ٣١٣

+ε + +ε +ε ς +λ+ε=

+ε+ε= =

العمودان متساويان ∴♦ ١٠ ( δ

مث δ⊇إذا بيعت سلعة بتخفيض أول قـدره : قاعدة فإن χ⊇ختفيض آخر من التخفيض األول مبقدار

األصـلي دائما أقل من التخفيض نين التخفيض يهذ)مبقدار )⊆ χ+δ.

باستخدام القاعدة السـابقة يكـون التخفـيض يف أقل مـن التخفـيض ) ⊇١٠ مث ⊇١٠( احملل األول

) .⊇٢٠( يف احملل األخرز يف احملل األول أغلى منه يف احملل اسعر التلف : إذا .ثاين ال

ز يف احملـل اأفـرض أن سـعر التلفـ :طريقة أخرى . ريال ١٠٠الثاين يساوي

يف احملـل األول املعتـاد ز اسـعر التلفـ : احملل األول . رياال ٩٠يساوي

إذا عمل ختفيض على السعر يصبح : العمود األول

٨١ ٩ ٩٠ ٩٠ ٠٫١ ٩٠= − = × . رياال −ل الثاين يساوي ز يف احمل اسعر التلف : العمود الثاين

. رياال ٨٠♦


١٦٩

١١ ( β °١٨٠جمموع زوايا أي مثلث =

الوسط احلسايب يف كل من العمودين يساوي : إذا ١٨٠٦٠٣

° =.

♦ ١٢ ( α

ريات يف اآلخـر مبا أنه يوجد أعداد يف عمـود ومـتغ ) .٤( نستخدم اإلستراتيجية رقم

هل ميكن أن يكون العمودان متساويان ؟ مبعـىن ؟ε=١هل ميكن أن تكون

χ،وبالتايل نستبعد اخليارين .نعم : اإلجابة δ فقط ؟ε=١هل جيب أن تكون

١ -=خذ س) عدا أن تكون صفر ( أل : بة اإلجاإذا ميكن أن يكون العمود األول أكرب أو أصـغر

.أو يساوي العمود الثاين ♦ ١٣ ( β

استخدم نفـس اإلسـتراتيجية املسـتخدمة يف حـل .السؤال السابق

♦ ١٤ ( χ

اين أكـرب ألن كـل مـن بدون حسابات العمود الث األعداد الثالثة املستخدمة فيه أكرب من نظائرهـا

.يف العمود األول ♦

١٥ ( χ بــدون حســابات العمــود الثــاين أكــرب ألن قطــر

سـم أكـرب مـن قطـر الـدائرة يف ٣٥الدائرة فيه . سم ٣٤العمود األول

♦ ١٦ ( δ

١إذا كــان : قاعــدة ٠ε ) كســر موجــب١و ) أصغر من الواحد ι فإن :

ιε ε بتطبيــق القاعــدة الســابقة جنــد أن العمــود األول

)الثاين العمود أكرب من )٧٥ ،٨

=ι =ε

♦ ١٧ ( α

١٣= العرض + الطول :العمود األول

٣= ، العرض ١٠= خذ الطول ٣٠= املساحة

:العمود الثاين ٣= ، العرض ١٠= خذ الطول

٣٠= املساحة ــارين العمــودان متســاويان وبالتــايل نســتبعد اخلي

،χ δ

٧اآلن خــذ الطــول للمســتطيل يف العمــود الثــاين أكرب من مسـاحة ٤٢ فتكون مساحته ٦والعرض

نســتبعد اخليــار ) . ٣٠( املســتطيل بــالعمود األول β . اإلجابة املتبقية هيα. ♦


١٧٠

١٨ ( δ ريال=١٨٠٠فاتورة ماجد ١٤٠٠ فاتورة يوسف ٤٠٠ ١٨٠٠= − ريال=٢٠٠٠فاتورة أمحد ٦٠٠ ١٤٠٠= + ريال=٣٤٠٠: العمود األول ٢٠٠٠ ١٤٠٠= +

٣٢٠٠:العمود الثاين .الثاين العمود واضح أن العمود األول أكرب من

♦ ١٩ ( χ

٤ ٤ ٤٣ ٣ ٨١± =ε⇐ = ε⇐ = ε ٣: العمود األول ٣ أو −

٤: العمود الثاين .يف احلالتني األول العمود العمود الثاين أكرب من

♦ ٢٠ ( α

٢ε λ⇐ε λ+ε∵ ٢خذ ،٢=λ − =ε

=٢٤العمود األول ε= =٢٤ العمود الثاين λ=

ــارين العمــودان متســاويان وبالتــايل نســتبعد اخلي،χ δ.

٢اآلن خذ ،٣=λ − =ε

=٢٩العمود األول ε= =٢٤ العمود الثاين λ=

الثـاين ، وبالتـايل العمـود العمود األول أكرب مـن .βنستبعد اخليار

αاخليار الوحيد املتبقي هو ♦

٢١ ( β :العمود األول

٢طول ضلع املربع ٤= ∂ =

:العمود الثاين ٣٢طول ضلع املكعب ٨ == ∂

.ن متساويان يواضح أن العمود♦ ٢٢ ( β

:العمود األول ١ ١ ١ ١

١× = ÷ε ε ε

ε

١: العمود الثاين ١×ε ε

.العمودان متساويان ♦ ٢٣ ( α

٣٠،٢٧،١٨،٩ ∈ε العمود األول ممكن يكـون أصـغر أو يسـاوي أو أكرب من العمود الثاين حسب ما خنتاره مـن قـيم

.س ♦


١٧١

٢٤ ( δ ن إما حنول الدرجات إىل فهرايت أو اينا طريقت دل

. درجات الفهرايت إىل :العمود األول

٩٤٨٢ ٣٢ ٢٥٠٥

= + × =ν

:العمود الثاين

٤٧٠ العمود األول أكرب من الثاين

♦ ٢٥ ( β

:العمود األول ٢٢

س٢ λε ελε= ε = ∂ = ∂× ∂

ε: العمود الثاين .متساويان العمودان

♦ ٢٦ ( β

:العمود األول ٣ ٣

١ ٢ ٣ ٤ ٤٣ ١٢ ٣ ٤ ١٢ ٢

= × = =+

١: العمود الثاين ٢

♦

♦ ٢٧ ( δ

( )( )

٥٦ ١٤ ٤ ١٤ ١٤

٥٥ ١١ ٥ ١١ ١١

١١ ١٤ ١١ ٥٥ ٥٦ ١٤

٢ ٢ ١٦ ١٧

٢ ٢ ٣٢ ٣١

٣١ ١٧ ٣١ ٢ ٢ ١٧

= =

= =

⇐

∵

∵

♦


١٧٢

لباب األولحلول التمارين العامة على ا


٤ ٣ ٢ ١ السؤال χ α β δ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α δ β α اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β χ δ χ اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال α α β χ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال χ α β β اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β α β β اإلجابة ٢٨ ٢٧ ٢٦ ٢٥ السؤال α α β χ اإلجابة ٣٢ ٣١ ٣٠ ٢٩ السؤال β χ α χ اإلجابة ٣٦ ٣٥ ٣٤ ٣٣ السؤال χ α δ α اإلجابة ٤٠ ٣٩ ٣٨ ٣٧ السؤال χ δ β χ اإلجابة ٤٤ ٤٣ ٤٢ ٤١ السؤال δ α δ χ اإلجابة ٤٨ ٤٧ ٤٦ ٤٥ السؤال χ α χ χ اإلجابة

٥٢ ٥١ ٥٠ ٤٩ السؤال β χ β β اإلجابة ٥٦ ٥٥ ٥٤ ٥٣ السؤال δ β δ β اإلجابة ٥٩ ٥٨ ٥٧ السؤال χ β δ اإلجابة


١( χ β δβ×χ α×δ⇔α χ∵

((

(

(

٢ ١٤ ٥٥ ٢٤ ١٨ ٧٧ ٢٤ ١٨ ٩٩ ٢٥ ١١٠ ١١١١ ٢

⇔ δ

⇔ χ

⇔ β

⇔ α

♦ ٢ ( α

الزمن × السرعة =املسافة ١٨٠٠٠ ٣٦٠٠ ٥= × م =

♦ ٣ (β

١٩٠٠١٠٠الوسط احلسايب١٩

= =

♦


١٧٣

٤ ( δ نفرض أن طـول حـرف األوىل يسـاوي س والثانيـة

.يساوي ص

( )

٣ ٣

٣ ٣ ٣ ٣

٦ ٦٢

٤٨ ٦ ٢ ٦ ٢

∂ =ε⇐ = εε =λ

= ∂ = λ⇐ ∂ =λ

∵

♦ ٥ ( α

من شكل فن املقابل ــدد ــد أن عـــ جنـــ

كني باألنشطةاملشتر٥٤يساوي ١٣ ٩ ٢٢= + . طالب +

٣٣عدد من مل يشتركوا بأي نشاط ٥٤ ٧٨= − ♦ ٦ ( δ

( )٢ ٢ ٢٢χ+χδ + δ = χ+δ ∵

( )٢٣ ٦ ٢ ٢ ٣ ٢

٦ ٢ ٥

+ ∂ + = ∂ + ∂ ∴

∂ + =

♦ ٧ ( β

٣٠ ٣٠ ٣٠ ٣٠ ٣٠

٣٠ ٢

٣٢

٢ ٤ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢

٢

× = + + +

× =

=

♦

٨ ( α بريطانية : هندية: سعودية

٢ : ٥ :

: ١ : ٥ ٢ : ١٠ : ٢٥ ♦ ٩ ( β املستطيل مرسوم داخل دائرة فـإن طـول قطـره ∵

.يساوي طول قطر الدائرة ــره ــول قط ٥ط ــم = ــوال ٥ ، ٤ ، ٣ألن ( س أط

) .أضالع مثلث قائم الزاوية ٢٥πحميط الدائرة =πΩ سم =

♦ ١٠ ( χ

٥ ٥ ٥ ٥٢٥ ٥ ٥٠٫٢٥ ٥ ٥١٠٠ ١٠٠ ١٠٠ ١٠٠

∂ × ∂ ∂×= = = = ∂ ×

♦ ١١ ( δ

( )٤ ٢ ٢ ٢١٤٤ ١٢= ε⇐ = ε

♦ ١٢ ( χ

ت اليت يسلكها حممد سوف جتد أا بعد املسارا .مثان مسارات ممكنة له

♦ ١٣ ( α

( )٤ ٤ ٥٤ ١ ٦ ٦ ٦ ٦٦٥ ٥− −= =

♦


١٧٤

١٤ ( α :بالتناظر يف الشكل جند أن

٣ = χδ = γα سم

١= γδ∴ سم .

١٤٫٥املساحة ٩ ١٢

= × × ٢ سم=

♦ ١٥ ( β

مســاحة املنطقــة املظللــة تســاوي مســاحة املربــع منها مساحيت املثلثني املتطابقني مطروحا

مساحة املثلث الواحد ٢ ٩ ٣ ١٢٫٢٥ ٣

٤ ٢ ٢= = × × سم =

٢مساحة املربع سم =٩

مساحة املنطقة املظللة ٢ ٤٫٥ ٢٫٢٥ ٢ ٩= × − سم =

♦ ١٦ ( χ

١ ٣ سم=١٠٠٠لتر ∵

١٢ ٣ سم=١٢٠٠٠لتر ∴ احلجم

ــاء ــاع امل ارتف مساحة القاعدة

= ∴

١٢٠٠٠٨٥٠ ٣٠

= =×

سم

♦

١٧ ( χ حنل السؤال بطريقـة عكسـية بـدء مـن احملطـة األخرية مث نضاعف عدد الركاب يف كـل حمطـة

سابقة هلا حىت نوصل للمحطة األوىل ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧طةاحمل

٦٤ ٣٢ ١٦ ٨ ٤ ٢ ١ العدد ♦ ١٨ ( α

٣عدد طرق اختيار قلم واحد = ٣عدد طرق اختيار دفتر واحد =

٣عدد طرق اختيار مسطرة واحدة = ــرق االخت ــدد طــــ ــة عــــ ــار املطلوبــــ يــــ

٢٧ ٣ ٣ ٣= × × طريقة =♦ ١٩ ( β

عدد الساعات اليت يعملها باألسبوع

٣٦ ٢ ٦ ٣ ٨= × + ساعة ×

٣٢٤٩أجرة بالساعة ٣٦

= . رياالت =

♦ ٢٠ ( β

٢ ٢٢ ٤δ =Ω⇐π δ =πΩ ٤طول ضلع املربع ٢ ٢δ = δ × =

٢مساحة املربع ١٦δ = ♦


١٧٥

٢١ ( β =εأفرض أن طول الضلع الثالث :ومن متباينة املثلث تكون س

( ) ( )١ ٢ ١ ١ ١+ι ε ⇐ +ι +ι ε ι− +ι

( )٢ ١٢ ١٣ ١ι − =ε⇐ =ε+ι+ +ι ∵ ١ ٢ ٢ ١٢١١ ٤١١٤٣

+ι ι −− ι −

ι

=ι∴

٦ ٣ ٢ ١٢ ٢ ١٢= × − =ε⇐ι − =ε∵ ♦ ٢٢ ( α

الفكرة هي إجياد خانة اآلحاد يف الرقم املعطى مث .مضاعفته

) األساس املعطـى ( إلجياد خانة اآلحاد نرفع العدد إىل قوى كلية متوالية من الصفر حـىت يظهـر لنـا

.قم متكرر ويكون هو خانة اآلحاد الرنالحـــظ يف العمليـــات

" ٤" ااورة أن العـدد ــدأ ــدد بـ ــو أول عـ هـالتكــرار يف عمليــات الرفع للقـوى املتتاليـة ، ــة وبالتــايل يكــون خان

ــرقم ــاد الـــ ٤اآلحـــ ٨ومبضاعفته يكون

٠

١

٢

٣

٤

٥

٦

١ ٢

٢ ٢

٤ ٢

٨ ٢

٦ ١٦ ٢

٢ ٣٢ ٢

٤ ٦٤ ٢

=

=

=

=

← =

← =

← =

♦

٢٣ ( β

٣٠٢٤٠ ٣٠٠٠٠ ٢٠٠ ٤٠= + + ♦ ٢٤ ( β

أكرب طول قطر للدائرة يساوي عرض املستطيلمساحة املنطقة املظللة تسـاوي مسـاحة املسـتطيل

.مطروحا منها مساحة دائرتني متطابقتني مساحة الدائرة الواحدة

( )٢ ٢٢ ١٦ ٤π =π =πΩ= سم

٢مساحة املستطيل ١٢٨ ٨ ١٦= × سم =

:مساحة املنطقة املظللة ٢ ٢٧ ٣٢ ١٢٨ ١٦ ٢ ١٢٨π − =π × سم −

♦ ٢٥ ( α ٦٥ ٦١٥

١ ٢ ٢⎛ ⎞×= = ⎜ ⎟× ⎝ ⎠

. مصافحة

♦ ٢٦ ( α

( )( )( )

٥٥

٥٥ ١١٥

= λ−ε λ+ε

= × λ+ε=λ+ε∴

: وحبل النظام ١١٥=λ−ε⎫

⎬=λ+ε ⎭

−٣ جند أن =λ. ♦


١٧٦

٢٧ ( χ طول قطر نصف الدائرة يساوي طول املستطيل

٢ ١٨٢

٤ ١٦

π =πΩ×

π=Ω⇐ سم =٨ ٢×π

٢= Ω

٨طول املستطيل ٤ ٢ ε= × = سم = =λعرض املستطيل

٥ ٨ ١٣ ١٣= − =λ⇐ =λ+ε∵سم ٤πيط نصف الدائرة حم =πΩ=

+ حميط نصف الـدائرة =حميط املنطقة املظللة ٤طول املستطيل م٨ π س + = : ةالغري مظللحميط املنطقة

( )٤ ١٨ ٤ ٨ ٢٦−π = π + − سم =♦ ٢٨ ( χ

١٥٥ ريال ١٫٥٥ . هللة = ١٥٥ ٩٠ ٦٥ )للة باهل( السعر ١١٥٠ ٩٠٠ ٢٥٠ )باجلرام ( الوزن♦ ٢٩ ( β

=λأفرض أن وزن العلبة فارغة =εوزن الطعام

: املطلوب حل النظام ٢

١٠٫٨٤

=λ+ε⎫⎪⎬=λ+ε ⎪⎭

. كجم λ=٠٫٤وحبل النظام جند أن ♦

٣٠ ( χ ٣،٣،٥،١املتتابعة هي

الحظ بأن حدود املتتابعة بدء من احلد الثالث إىل ( ) ٣ما الائية تكون ثابتة وتساوي

٣احلد اخلامس والعشرون فيها يساوي ♦ ٣١ ( α

٢ε λ=ε λ∵ ٨ ٤ ٢٣ ٣ ٤ ٣×= = ∴

( )٣٢ ٤ ٨ ٢ ٢ ٨ ٨٣ ٣ ٣ ٢ ٣× ×= = = ⇐

♦ ٣٢ ( χ

نوجد س بداللة ص ٢ ١٣٣

λ − =ε∵

املطلوب قيمة ص من أحد اخليارات حبيث يكـون .ه يف املعادلة أعال٣البسط يقبل القسمة على .λ=٢بالتجريب سوف جتد أن

♦


١٧٧

٣٣ ( χ ٥

٤ ٣

δβ χ +

α

٨يف العمود األول جيب أن تكون قيمة =χ ١٣ألن ( ٨ ٥= )١ وباليد ٣نكتب ( ) +

:ثاين يف العمود ال١٣ ١٤ ١=β+δ⇐ =β+δ+ ) ٤نكتــــــب

) ١وباليد :يف العمود الثالث

١ ٠ ١α= = +

٢٢ ١ ١٣ ٨= + + =α+β+χ+δ∴ ♦ ٣٤ ( α

ــل ــكل املقاب ــن الش مأكـــرب طـــول قطعـــة

مستقيمة هي الوتر يف ٤،٢ن ااملثلث الذي ضلعاه القائم

٥وطوهلا ٢ ٥ ٤ ٢٠∂ = × ∂ = ∂ .وحدة =♦ ٣٥ ( δ

:معادلة املستقيم هي ٥٥٢٥ ٥ ٣٠ ٦

٦ ٥٥ ٥ ٦

−λ−ε = −λ ⇐ =−ε

=ε −λ ∴

بتجريب اخليـارات يف املعادلـة املسـتنتجة جنـد أن حيققها ال اخليار األول هو الوحيد الذي

:ألن

٥ ٠٫٥ ١٢٫٥ ١٢ ٥ ٦≠ = − ⇐ε −λ ♦ ٣٦ ( α

واضح أن كل حد من حدود املتتابعـة أكـرب مـن .٤احلد الذي يسبقه مبقدار ثابت هو العدد

فـإن ٤وحيث أن أول حد هو من مضاعفات العـدد ــن ــدودها جيــب أن يكــون م ــن ح ــد م كــل ح

.٤لعدد مضاعفات اجنرب اخليارات فاخليار الذي ال يقبل القسمة : إذا

.املطلوب هو اخليار ٤على ♦ ٣٧ ( χ

٥٢عدد األسئلة ١ ٧٤ ١٢٥= + − سؤاال=♦ ٣٨ ( δ βχδ،ثلثان امل διγ ان ألنمتشا :

δ زاوية مشتركة .

ιβχ=διγ بالتناظر ألن [ ] [ ]γβχ ι

ιγδ=βχγ بالتناظر ألن[ ] [ ]γβχ ι

١نسبة التشابه ٢=

( )٢ ١١٠٢ ٤٠

γιδ κ= γιδ κ⇐ = م٢∵ س

)γιδ κ تعين مساحة املثلث γιδ ( ♦


١٧٨

٣٩ ( β يف الشــكل اــاور رمسنـــــــــــــــــا

] ]⎤αβ χδ κγ⎦٥٠° =βγ =αβγκ بالتبادل

٣٠° = κγδ = γδχ

٨٠ ٣٠ ٥٠° = + =βγδ∴ ♦ ٤٠ ( χ

( )χ−δχ+δ=

( )χ+δ

χ−δ٢ ٢χ− δ=χ−δ

♦ ٤١ ( δ

ــدائرة يســاوي طــول قطــر طــول نصــف قطــر ال =١٠املستطيل

الزاوية املركزية املقابلـة للقـوس بالراديـان قياس

يساوي ٢π راديان .

طول القوس

٥ ١٠٢ππ = × =Ω× α =τ=سم

♦ ٤٢ ( α

كل قيمة لـ ص تنتج من تربيـع قـيم س املنـاظرة .١هلا وإضافة

♦

٤٣ ( δ مبا أن الشكل يوجد فيه مربعني صغريين ، فهـذا يعين أن املستقيم العمودي هو عمـودي علـى كـال

.من املستقيمني األفقيني .إذن املستقيمان األفقيان متوازيان

كل زاويتني داخليتني ويف جهة واحـدة مـن مبا أن .القاطع متكاملتان

١٨٠ ١٤٠٤٠ ١٤٠ ١٨٠

° = +ε° = − =ε∴

∵

♦ ٤٤ ( χ

١٢يكمل عقـرب السـاعات دورة كاملـة خـالل وبالتايل فإن عدد الدرجات اليت يقطعها يف . ساعة

٣٦٠٣٠كل ساعة ١٢°° = =

°٣٠ دقيقة يقطع عقرب الساعات ٦٠أي يف كل : دقيقة سوف يقطع ٨٠تايل فإنه يف وبال

٣٠ ٨٠٤٠٦٠

° ×° =

♦ ٤٥ (χ

( )( ) ٢ ٢

٢ ٢

٢٠١٠٢

λ−ε λ+ε = λ− ε

λ− ε =λ+ε∴λ−ε

=

=λ+ε⇐

∵

وحبل املعادلتني ١٠=λ−ε ، ٢ =λ+ε

٤جند أن − =λ♦


١٧٩

٤٦ ( α

( )٢٢ ٢٢χ+χδ + δ = χ+ δ ٢ ٢١٠٠= χ+ δ∵

١٢٠ املساحة ∵٢

= χδ =

٤٠= χδ∴ ( ) ( )٢٢ ٢٢χδ + χ+ δ = χ+ δ ∵ ( ) ( )٢١٨٠ ٤٠ ١٠٠٢= + = χ+ δ ∴

♦ ٤٧ ( χ

٣ ١ ١ ١١٢ ١٢= ⇐ = + +ε ε ε ε

∵

١ ٣ ٣ ١٢٤ ١٢= = ε⇐ =ε ∴

♦ ٤٨ ( β

خانة علـى ثالث خانة املئات يف اجلزء الصحيح هي ، وخانـة املئـات يف اجلـزء يسار الفاصلة العشرية

ميني الفاصلة العشرية خانة على ثاينالعشري هي ٢٢٤٢٫٤٢٤٢: طلوب هو العدد امل

♦ ٤٩ ( β λ−εد املباريات اليت خسرها عد =

ــر الــذي ميثــل خســارته يف املباريــات : الكسλ−εε

♦

٥٠ ( χ رياالت=١٠أفرض أن املبلغ

١ من ⊇١٠خسر . ريال واحد=١٠٩الباقي بعد خسارته ١ ١٠= − . رياالت =

٠٫٩ من ⊇١٠ربح . ريال =٩

٩٫٩املبلغ بعد الربح ٠٫٩ ٩= + ريال=

: هي ١٠εنسبة ∴

١٠) من ⊇٩٫٩( ١٠×

٩٫٩ ٩٫٩من = ١٠٠⊆ = ♦ ٥١ ( β

:العمود األول δχβα

α×δ α δ β δ= × = ÷ =β×χ β χ α χ

:العمود الثاين α×δβ×χ

العمودان متساويان ∴♦ ٥٢ ( β

٢٠: العمود األول :العمود الثاين

٨٠جمموع األعداد األربعة ٢٠ ٤= × = ٢٠العدد الرابع ٦٠ ٨٠= − =

♦


١٨٠

٥٣ ( δ ٧:العمود األول ٤ ٣ ١٦ ٩= + = ∂ + ∂

٥:العمود الثاين ٢٥ ١٦ ٩= ∂ = + ∂

.الثاين العمود العمود األول أكرب من ♦ ٥٤ ( β

بدون إجراء حسابات مبا أن العجلـتني علـى نفـس لدراجة فإما سوف يقطعان املسافة نفسهاا♦ ٥٥ ( δ


= βχ + χδنصف احمليط

٢ ٢ ∴+ι = βχ + χδ

٢ι: العمود الثاين

مـود األول مـن العمـودين جنـد أن الع ٢ιوبطرح

٠ألن ( أكرب من العمود الثاين ٢( ♦ ٥٦ ( β

بدون إجراء حسابات مبا أن باسل وسـهيل كانـت فـإن كـل منـهما حصـل علـى ١ : ١نسبتهما هي

.نفس املبلغ .العمودان متساويان ∴♦

٥٧ ( χ - معامل س

ــل امليـ معامل ص

= ∵

:العمود األول ٦٦١−− = = κ

:العمود الثاين ( )٤٤١− −= = κ

األول العمود العمود الثاين أكرب من : إذا ♦ ٥٨ ( β

: العمود األول

١ من ⊇٤٠ ١١٠ ٤٠٤ ٤

⊆ = ×⊆ =

: الثاينالعمود

٢ من ⊇٢٥ ٢١٠ ٢٥٥ ٥

⊆ = ×⊆ =

العمودان متساويان: إذا ♦ ٥٩ ( δ

:العمود األول ( )١٠ ٤٠ ٣٥ ٤٠٣٥ ٤٠٥٠٢٨

ε× + = × ∴× =ε ∴

=

٢٨عدد األيام املطلوبة : إذا .ا يوم= الثاينالعمود واضح أن العمود األول أكرب من

♦

الفصل الخامس مفاتيح اإلجابة لالختبارات التجريبية

١٨١

اتيح اإلجابة لالختبار التجرييب األولمف

:القسم األول

٤ ٣ ٢ ١ السؤال β δ α β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال χ χ α β ابةاإلج

١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال α β χ α اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال δ α α χ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال β δ α α اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال χ α χ δ اإلجابة ٢٥ السؤال χ اإلجابة

:القسم الثاين

٤ ٣ ٢ ١ السؤال δ χ α δ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال β χ α α اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال χ α β χ اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال β χ α δ اإلجابة

٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال χ δ χ α اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β β δ δ اإلجابة ٢٥ السؤال β اإلجابة

:القسم الثالث

٤ ٣ ٢ ١ السؤال δ β α β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α β β χ اإلجابة ١٠ ٩ السؤال α δ اإلجابة


١٨٢

مفاتيح اإلجابة لالختبار التجرييب الثاين


٤ ٣ ٢ ١ السؤال χ β α δ ةاإلجاب ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال δ δ β δ اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال χ δ α α اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال δ χ δ δ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال α β β χ اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال α δ δ α اإلجابة ٢٥ السؤال δ اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال β β β χ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α δ χ β اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β α β β اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال β β χ β اإلجابة

٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال α χ δ δ اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β β β β اإلجابة ٢٥ السؤال β اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال χ δ χ β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال β χ β χ اإلجابة ١٠ ٩ السؤال β δ اإلجابة

الفصل الخامس مفاتيح اإلجابة لالختبارات التجريبية

١٨٣

مفاتيح اإلجابة لالختبار التجرييب الثالث


٤ ٣ ٢ ١ السؤال δ χ β χ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال χ β χ χ اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β β χ α اإلجابة

١٦ ١٥ ١٤ ١٣ لسؤالا α β δ χ اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال β α χ α اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال χ β δ δ اإلجابة ٢٥ السؤال δ اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال β α α χ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال α δ χ χ اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β α χ β ابةاإلج

١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال α β δ α اإلجابة

٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال α β χ β اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β α β χ اإلجابة ٢٥ السؤال δ اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال β β β β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال χ β χ α اإلجابة ١٠ ٩ السؤال α β اإلجابة


١٨٤

مفاتيح اإلجابة لالختبار التجرييب الرابع


٤ ٣ ٢ ١ السؤال α β β β اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال χ δ β β اإلجابة ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال δ δ χ α اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال α α α β اإلجابة ٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال α α β χ اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال α χ δ β اإلجابة ٢٥ السؤال β اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال χ δ β δ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال

β α δ α جابةاإل ١٢ ١١ ١٠ ٩ السؤال β β β χ اإلجابة ١٦ ١٥ ١٤ ١٣ السؤال χ χ α χ اإلجابة

٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ السؤال δ β χ β اإلجابة ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ السؤال β χ α δ اإلجابة ٢٥ السؤال χ اإلجابة


٤ ٣ ٢ ١ السؤال α β δ δ اإلجابة ٨ ٧ ٦ ٥ السؤال β β χ β اإلجابة ١٠ ٩ السؤال χ χ اإلجابة

املالحق ورقة اإلجابة لالختبارات التجريبية املراجع

الفصل الخامس ورقة اإلجابة

١٨٧

ورقة إجابة النموذج األول

النموذج األول القسم الثالث القسم الثاني القسم األول

١ ١ ١ ٢ ٢ ٢ ٣ ٣ ٣ ٤ ٤ ٤ ٥ ٥ ٥ ٦ ٦ ٦ ٧ ٧ ٧ ٨ ٨ ٨ ٩ ٩ ٩ ١٠ ١٠ ١٠ ١٢ ١٢ ١٣ ١٣ ١٤ ١٤ ١٥ ١٥ ١٦ ١٦ ١٧ ١٧ ١٨ ١٨ ١٩ ١٩ ٢٠ ٢٠ ٢١ ٢١ ٢٢ ٢٢ ٢٣ ٢٣ ٢٤ ٢٤ ٢٥ ٢٥

ورقة اإلجابة) أ ( المالحق

١٨٨

: صفحة النتائج أرقام

األسئلةعدد اإلجابات الصحيحة

عدد اإلجابات اخلاطئة

الدرجة

٢١ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سمالق

ول األ

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = ٢٢ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سم الق

ينلثاا

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = القسم الثالث

١٠ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

= ) ٦٠من ( الدرجة استخدم اجلدول أدناه ، إلجياد النقاط املقابلة للدرجة اليت حصلت عليها من اجلدول السابق ، مث

.الصفحة إلجياد النسبة املئوية لدرجتك املعادلة اليت أسفل هذه عوض ا يف النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة٢٨٠ ٣ ٤٦٠ ٢٢ ٦٠٠ ٤١ ٨٠٠ ٦٠ ٢٧٠ ٢ ٤٥٠ ٢١ ٥٩٠ ٤٠ ٨٠٠ ٥٩ ٢٥٠ ١ ٤٤٠ ٢٠ ٥٨٠ ٣٩ ٧٩٠ ٥٨ ٢٤٠ ٠ ٤٣٠ ١٩ ٥٧٠ ٣٨ ٧٧٠ ٥٧ ٢٢٠ ١ - ٤٢٠ ١٨ ٥٦٠ ٣٧ ٧٦٠ ٥٦ ٢١٠ ٢ - ٤٢٠ ١٧ ٥٦٠ ٣٦ ٧٤٠ ٥٥ ٢٠٠ فأقل٣ - ٤١٠ ١٦ ٥٥٠ ٣٥ ٧٢٠ ٥٤٤١٠ ١٥ ٥٤٠ ٣٤ ٧١٠ ٥٣ ٤٠٠ ١٤ ٥٤٠ ٣٣ ٧٠٠ ٥٢ ٣٩٠ ١٣ ٥٣٠ ٣٢ ٦٩٠ ٥١ ٣٨٠ ١٢ ٥٢٠ ٣١ ٦٨٠ ٥٠ ٣٧٠ ١١ ٥١٠ ٣٠ ٦٧٠ ٤٩ ٣٦٠ ١٠ ٥١٠ ٢٩ ٦٦٠ ٤٨ ٣٥٠ ٩ ٥٠٠ ٢٨ ٦٥٠ ٤٧ ٣٤٠ ٨ ٤٩٠ ٢٧ ٦٤٠ ٤٦ ٣٣٠ ٧ ٤٩٠ ٢٦ ٦٣٠ ٤٥ ٣٢٠ ٦ ٤٨٠ ٢٥ ٦٢٠ ٤٤ ٣١٠ ٥ ٤٧٠ ٢٤ ٦١٠ ٤٣ ٣٠٠ ٤ ٤٦٠ ٢٣ ٦٠٠ ٤٢

١٠٠النسبة املئوية ٨٠٠⊆ =⊆ × =ــة ــة للدرج ــاط املقابل النق


١٨٩

الثاينورقة إجابة النموذج

النموذج األول

القسم الثالث القسم الثاني القسم األول١ ١ ١ ٢ ٢ ٢ ٣ ٣ ٣ ٤ ٤ ٤ ٥ ٥ ٥ ٦ ٦ ٦ ٧ ٧ ٧ ٨ ٨ ٨ ٩ ٩ ٩ ١٠ ١٠ ١٠ ١٢ ١٢ ١٣ ١٣ ١٤ ١٤ ١٥ ١٥ ١٦ ١٦ ١٧ ١٧ ١٨ ١٨ ١٩ ١٩ ٢٠ ٢٠ ٢١ ٢١ ٢٢ ٢٢ ٢٣ ٢٣ ٢٤ ٢٤ ٢٥ ٢٥


١٩٠

: النتائج تفسري أرقام



الدرجة

٢١ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سمالق

ول األ

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = ٢٢ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سم الق

ينلثاا

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = القسم الثالث

١٠ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

= ) ٦٠من ( الدرجة النقاط املقابلة للدرجة اليت حصلت عليها من اجلدول السابق ، مث استخدم اجلدول أدناه ، إلجياد .املعادلة اليت أسفل هذه الصفحة إلجياد النسبة املئوية لدرجتك عوض ا يف

النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة٢٨٠ ٣ ٤٦٠ ٢٢ ٦٠٠ ٤١ ٨٠٠ ٦٠ ٢٧٠ ٢ ٤٥٠ ٢١ ٥٩٠ ٤٠ ٨٠٠ ٥٩ ٢٥٠ ١ ٤٤٠ ٢٠ ٥٨٠ ٣٩ ٧٩٠ ٥٨ ٢٤٠ ٠ ٤٣٠ ١٩ ٥٧٠ ٣٨ ٧٧٠ ٥٧ ٢٢٠ ١ - ٤٢٠ ١٨ ٥٦٠ ٣٧ ٧٦٠ ٥٦ ٢١٠ ٢ - ٤٢٠ ١٧ ٥٦٠ ٣٦ ٧٤٠ ٥٥ ٢٠٠ فأقل٣ - ٤١٠ ١٦ ٥٥٠ ٣٥ ٧٢٠ ٥٤٤١٠ ١٥ ٥٤٠ ٣٤ ٧١٠ ٥٣ ٤٠٠ ١٤ ٥٤٠ ٣٣ ٧٠٠ ٥٢ ٣٩٠ ١٣ ٥٣٠ ٣٢ ٦٩٠ ٥١ ٣٨٠ ١٢ ٥٢٠ ٣١ ٦٨٠ ٥٠ ٣٧٠ ١١ ٥١٠ ٣٠ ٦٧٠ ٤٩ ٣٦٠ ١٠ ٥١٠ ٢٩ ٦٦٠ ٤٨ ٣٥٠ ٩ ٥٠٠ ٢٨ ٦٥٠ ٤٧ ٣٤٠ ٨ ٤٩٠ ٢٧ ٦٤٠ ٤٦ ٣٣٠ ٧ ٤٩٠ ٢٦ ٦٣٠ ٤٥ ٣٢٠ ٦ ٤٨٠ ٢٥ ٦٢٠ ٤٤ ٣١٠ ٥ ٤٧٠ ٢٤ ٦١٠ ٤٣ ٣٠٠ ٤ ٤٦٠ ٢٣ ٦٠٠ ٤٢



١٩١

الثالثذج ورقة إجابة النمو




١٩٢




الدرجة

٢١ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سمالق

ول األ

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = ٢٢ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سم الق

ينلثاا

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = القسم الثالث

١٠ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

= ) ٦٠من ( الدرجة استخدم اجلدول أدناه ، إلجياد النقاط املقابلة للدرجة اليت حصلت عليها من اجلدول السابق ، مث النسبة املئوية لدرجتك املعادلة اليت أسفل هذه الصفحة إلجياد عوض ا يف

النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة٢٨٠ ٣ ٤٦٠ ٢٢ ٦٠٠ ٤١ ٨٠٠ ٦٠ ٢٧٠ ٢ ٤٥٠ ٢١ ٥٩٠ ٤٠ ٨٠٠ ٥٩ ٢٥٠ ١ ٤٤٠ ٢٠ ٥٨٠ ٣٩ ٧٩٠ ٥٨ ٢٤٠ ٠ ٤٣٠ ١٩ ٥٧٠ ٣٨ ٧٧٠ ٥٧ ٢٢٠ ١ - ٤٢٠ ١٨ ٥٦٠ ٣٧ ٧٦٠ ٥٦ ٢١٠ ٢ - ٤٢٠ ١٧ ٥٦٠ ٣٦ ٧٤٠ ٥٥ ٢٠٠ فأقل٣ - ٤١٠ ١٦ ٥٥٠ ٣٥ ٧٢٠ ٥٤٤١٠ ١٥ ٥٤٠ ٣٤ ٧١٠ ٥٣ ٤٠٠ ١٤ ٥٤٠ ٣٣ ٧٠٠ ٥٢ ٣٩٠ ١٣ ٥٣٠ ٣٢ ٦٩٠ ٥١ ٣٨٠ ١٢ ٥٢٠ ٣١ ٦٨٠ ٥٠ ٣٧٠ ١١ ٥١٠ ٣٠ ٦٧٠ ٤٩ ٣٦٠ ١٠ ٥١٠ ٢٩ ٦٦٠ ٤٨ ٣٥٠ ٩ ٥٠٠ ٢٨ ٦٥٠ ٤٧ ٣٤٠ ٨ ٤٩٠ ٢٧ ٦٤٠ ٤٦ ٣٣٠ ٧ ٤٩٠ ٢٦ ٦٣٠ ٤٥ ٣٢٠ ٦ ٤٨٠ ٢٥ ٦٢٠ ٤٤ ٣١٠ ٥ ٤٧٠ ٢٤ ٦١٠ ٤٣ ٣٠٠ ٤ ٤٦٠ ٢٣ ٦٠٠ ٤٢



١٩٣

الرابعورقة إجابة النموذج




١٩٤




الدرجة

٢١ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سمالق

ول األ

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = ٢٢ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

سم الق

ينلثاا

٢٥ ٢٢−( ) ( ) ٠٫٣٣× − = القسم الثالث

١٠ ١− ( ) ( ) ٠٫٢٥× − =

= ) ٦٠من ( الدرجة أدناه ، إلجياد النقاط املقابلة للدرجة اليت حصلت عليها من اجلدول السابق ، مث استخدم اجلدول

.املعادلة اليت أسفل هذه الصفحة إلجياد النسبة املئوية لدرجتك عوض ا يف النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة النقاط الدرجة٢٨٠ ٣ ٤٦٠ ٢٢ ٦٠٠ ٤١ ٨٠٠ ٦٠ ٢٧٠ ٢ ٤٥٠ ٢١ ٥٩٠ ٤٠ ٨٠٠ ٥٩ ٢٥٠ ١ ٤٤٠ ٢٠ ٥٨٠ ٣٩ ٧٩٠ ٥٨ ٢٤٠ ٠ ٤٣٠ ١٩ ٥٧٠ ٣٨ ٧٧٠ ٥٧ ٢٢٠ ١ - ٤٢٠ ١٨ ٥٦٠ ٣٧ ٧٦٠ ٥٦ ٢١٠ ٢ - ٤٢٠ ١٧ ٥٦٠ ٣٦ ٧٤٠ ٥٥ ٢٠٠ فأقل٣ - ٤١٠ ١٦ ٥٥٠ ٣٥ ٧٢٠ ٥٤٤١٠ ١٥ ٥٤٠ ٣٤ ٧١٠ ٥٣ ٤٠٠ ١٤ ٥٤٠ ٣٣ ٧٠٠ ٥٢ ٣٩٠ ١٣ ٥٣٠ ٣٢ ٦٩٠ ٥١ ٣٨٠ ١٢ ٥٢٠ ٣١ ٦٨٠ ٥٠ ٣٧٠ ١١ ٥١٠ ٣٠ ٦٧٠ ٤٩ ٣٦٠ ١٠ ٥١٠ ٢٩ ٦٦٠ ٤٨ ٣٥٠ ٩ ٥٠٠ ٢٨ ٦٥٠ ٤٧ ٣٤٠ ٨ ٤٩٠ ٢٧ ٦٤٠ ٤٦ ٣٣٠ ٧ ٤٩٠ ٢٦ ٦٣٠ ٤٥ ٣٢٠ ٦ ٤٨٠ ٢٥ ٦٢٠ ٤٤ ٣١٠ ٥ ٤٧٠ ٢٤ ٦١٠ ٤٣ ٣٠٠ ٤ ٤٦٠ ٢٣ ٦٠٠ ٤٢


المراجع) ب( الملحق

:العربية املراجع ، مركز القياس ) 1رام ( رائز األهلية املدرسية للقبول اجلامعي ) . هـ 1423.( عطية نعيم )1

. والتقييم ، جامعة امللك فهد للبترول واملعادن ، الظهران دليل الطالب الختبار القدرات العامة ، الطبعة ). هـ 1425.( املركز الوطين للقياس والتقومي )2

ة ، الرياض الثاني3( Stepelman، Jey ). 2002 أساليب ووحدات إثرائية –تعليم الرياضيات للمرحلة الثانوية ). م

.حسن مظفر الرزو ، ، دار الكتاب اجلامعي ، الطبعة السادسة ، العني : ترمجة ة األوىل فصول يف مباديء الرياضيات ، الطبع) . م 2004.(اجلوعي ، عبداهللا ، السيد السعيد )4

.، مكتبة الرشد ، الرياض

:املراجع األجنبية 1) College Board. (2005). The Official SAT Study Guide: For the New

SAT,usa 2) Kaplan.(2005).New SAT Math Workbook,USA. 3) Kaplan.(2005).New SAT,USA. 4) Lawrnce S,Leff.(2005).Barron’s Math Workbook For The SAT I ,

Barron’s Educational Series,USA. 5) Taylor,PJ.(2003). International Mathematics Tournament of Towns

1984-1989 , 1rd edition, AMT Publishing , Canberra , Australia . 6) Liza, Kleinman,MaureenSteddin.(2002).SAT SUCCESS, Peterson’s

Thomson Learning,USA. 7) W ATKINS.(2003).Problem Solving VIA the AMC,3rd edition, AMT

Publishing , Canberra , Australia . 8) Plank ,A.W,Williams . ( 2000). Mathematical Toolchest , 3rd edition,

AMT Publishing , Canberra , Australia . 9) Sharon Green,K.Wolf.(2002).How to prepare for the SAT*I,20TH

edition ,Barron’s Educational Series,USA.

تنمية التفكير في مادة الرياضيات

Education

Transcript of تنمية التفكير في مادة الرياضيات