ΑΕΕ4Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί.

Υπεύθυνος καθηγητής: Κ.Ι.Σκουρογιάννης

Ομάδα: Οι εμπειρογνώμονες

Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ

Ερευνητικά ερωτήματα• Συνδυασμός μουσικής και Μαθηματικών του Πυθαγόρα

(Αριστείδης Κίγκος)• Τετρακτύς

(Μιχάλης Κύρου)• Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος

(Μάριος Ιωάννου)• Πως επηρεάστηκε η σημερινή γεωμετρία από τον

Πυθαγόρα(Γιώργος Παράσχος)

• Η συνεισφορά του Πυθαγόρα στην Γεωμετρία(Ιωάννης Κοντογιώργης

Σκοποί έρευνας

• Να γνωρίσουμε τον Πυθαγόρα.

• Να παρουσιάσουμε την προσφορά του στα Μαθηματικά.

• Να προσεγγίσουμε την διδασκαλία και την φιλοσοφία του.

Η συνεισφορά του Πυθαγόρα στην Γεωμετρία

• Ο Πυθαγόρας επηρέασε την γεωμετρία που θα βρισκόταν σε πιο χαμηλό επίπεδο χωρίς την συμβολή του.

• Επίσης, βοήθησε την γεωμετρία να αναπτυχθεί και να φτάσει σε πολύ υψηλό επίπεδο.

Μαθηματικά-Μουσική

• Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του αποτελούν τον συνδετικό κρίκο ανάμεσα στα Μαθηματικά και στην Μουσική.

• Το μονόχορδο αποτέλεσε πηγή έμπνευσης για τον Πυθαγόρα.

• Οι Πυθαγόρειοι σύνδεσαν την μουσική με τα ουράνια σώματα μέσω Μαθηματικών υπολογισμών.

μονόχορδο

Αποδείξεις Πυθαγορείου Θεωρήματος

• Πως αποδεικνύεται το Πυθαγόρειο θεώρημα.• Αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές εφευρέσεις

στην Γεωμετρία.• Υπάρχουν παραπάνω από 350 αποδείξεις για

το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Απόδειξη Πυθαγορείου θεωρήματος

Τετρακτύς• Για τους Πυθαγόρειους όλα και φυσικά και

αριθμητικά ολοκληρώθηκαν μέχρι το 4.

• Η Τετρακτύς είναι τό άθροισμα τών τεσσάρων πρώτων αριθμών και συμβολίζεται με ενα ισοπλευρο τριγωνο .

Οι Πυθαγόρειοι συμβολισμοί των αριθμών

– Ο Αριθμός είναι το κλειδί του Κόσμου κατά τους Πυθαγόρειους.

– Τα πάντα δύναται να αναχθούν σε έναν αριθμό είτε είναι συγκεκριμένα, είτε αφηρημένα, υλικά, νοητικά.

– Οι αριθμός είναι ένας ολόκληρος κόσμος αντανάκλασης μεταφυσικών εννοιών και οντοτήτων βάσει των οποίων μπορεί να ανακαλυφθεί η σύσταση του Κόσμου.

Τα Ερευνητικα Ερωτηματα

 Η ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ

Τα Στοιχεια του ΕυκλειδηΕπιμελητής: Γιάννης Βαγιάκος

Ευκλείδης

Βιβλιοθηκη τησ Αλεξανδρειασ

•Η Αρχή

Οι μαθηματικοί της Αλεξάνδρειας εργάστηκαν και έκαναν συγκεκριμένες έρευνες πάνω στην θεωρία των πρώτων αριθμών . Ο Ευκλείδης, μετά την έρευνα των Πυθαγόρα και Ερατοσθένη ("Κόσκινο του Ερατοσθένη"),ασχολήθηκε με τους πρώτους αριθμούς συνεισφέροντας στην συλλογή υλικού στην Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρεια . Ο Ευκλείδης με το έργο του "Στοιχεία του Ευκλείδη"(300 π.χ.) αναφέρεται σε σημαντικά θεωρήματα για τους πρώτους αριθμούς(συμπεριλαμβανομένων της απειρίας των πρώτων αριθμών και του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής).• Θεωρήματα

1)Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής

2)Θεώρημα των πρώτων αριθμών

3)Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας•Ορισμός: Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής ,βαθμού μεγαλύτερου της μονάδας και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών.

Επιμελητής: Καλογήρου Κωνσταντίνος

Ευκλειδεια Γεωμετρια

•Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν .•Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία γραμμή, η γραμμή, το επίπεδο και η επιφάνεια.

Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται: •αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης. •αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος•  αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.

 Επιμελητής - Κουφόπουλος Αλέξανδρος

 Αλγοριθμοι Ευκλειδη

ΕΕΑ4ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Ο ΘΑΛΗΣΟμάδα έρευνας:Boomslang

Υπεύθυνος καθηγητής: Κ.Ι.Σκουρογιάννης

Σκοποί της έρευνας

• Να μάθουμε για τη ζωή του Θαλή.

• Να παρουσιάσουμε το έργο του στη φιλοσοφία.

• Να παρουσιάσουμε την συνεισφορά του στις θετικές επιστήμες.

Ερευνητικά ερωτήματα

• Ανέκδοτες ιστορίες και αποφθέγματα για το Θαλή. Αλκαίος Τυλιπάκης.

• Ο Θαλής και η Γεωμετρία. Νεκταρία Γιώτη.

• Ο Θαλής ως Φυσικός και Αστρονόμος. Κωνσταντίνα Πετροπούλου.

• Τα πιστεύω και η ζωή του Θαλή. Αναστασία Γκουμάκη.

Ανέκδοτες Ιστορίες για το Θαλή

Κατά τη διάρκεια της ζωής του ,ο Θαλής απέσπασε την προσοχή του πλήθους με τις απαντήσεις που έδινε και τα στιγμιότυπα στα οποία μπλέκονταν δίνοντας και εκφράζοντας σκέψεις που τον οδήγησαν σε μια από τις εφτά θέσεις των σοφών της Ελλάδας και γράφοντας τον η ιστορία.Έτσι ειπώθηκαν ρητά και ανέκδοτες ιστορίες που τον έκαναν διάσημο όπως τα εξής:• Να γνωρίζεις τον εαυτό σου. •Να χρησιμοποιείς μέτρο.•Το μεν σώμα υγιές, την δε ψυχή πλούσια, και κλίση προς τη μάθηση.•Η ιδέα ότι κάτω από τη γη υπάρχουν νερά υποδεικνύει μια άμεση επαφή του Θαλή με τις μυθολογίες της Εγγύς Ανατολής. Αφαιρεί από το νερό τη θεϊκή του ιδιότητα και το αναγνωρίζει μόνο ως φυσικό σώμα, πράγμα που φέρνει σύγχυση στα θρησκευτικά ζητήματα.

Θεωρήματα του Θαλή

Λέγεται πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που απέδειξε ότι:ένας κύκλος διχοτομείται από τη διάμετρο του. οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι μεταξύ τους ίσες, αν και χρησιμοποίησε τον πιο αρχαϊκό όρο ''όμοιες'' αντί του ''ίσες''. αν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους, τότε οι κατακόρυφη γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες ίσες, τότε είναι μεταξύ τους ίσα.Μπορεί να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο εντός κύκλου.

Φυσική και Αστρονομία• Ανακάλυψε (με σκιοθηρικό γνώμονα) την ανισότητα των

εξαμήνων (θερινού και χειμερινού).• Μέτρησε τη διάρκεια του έτους (365 ημέρες).• Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του Ήλιου.• Πρόβλεψε μία έκλειψη Ηλίου (Μάιος 585 π.Χ.).• Έγραψε τα βιβλία «Περί Τροπής και Ισημερίας» και «Ναυτική

Αστρολογία».• Διατύπωσε την άποψη ότι το σχήμα της Γης είναι σφαιρικό,

καθώς και ότι τα άστρα αποτελούνται από τα ίδια συστατικά με τη Γη.

• Υπολόγισε τον λόγο τις διαμέτρους του Ήλιου και της Σελήνης προς την τροχιά τους γύρω από την Γη και τους βρήκε 1/720.

• Ανακάλυψε το φαινόμενο της έλξεως ελαφρών σωματιδίων από το τριβόμενο ήλεκτρο.

• Ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα

Η ζωή του Θαλή

•Γεννήθηκε στη Μίλητο (630-635 π.Χ.) και πέθανε σε ηλικία 78 ετών, περίπου το 543 π.Χ. •Υπήρξε μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και προσωκρατικός φιλόσοφος, ιδρυτής της Μιλησιακής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας.•Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη οι συμπολίτες του Θαλή αμφισβητούσαν την χρησιμότητα της φιλοσοφίας αφού αυτή δεν σε βοηθάει να πλουτίσεις.•Σημαντικότερη ρήση του Θαλή: Το ότι το ύδωρ αποτελεί την αρχή του σύμπαντος (‘από αυτό έχουν δημιουργηθεί, προέρχονται, καταστρέφονταν’). Ήταν η αρχαιότερη θεωρία του Θαλή που είχε διατυπωθεί..

•Βρέθηκε στο προσκήνιο σημαντικών γεγονότων που εκτυλίσσονταν στην Μικρά Ασία κατά τη διάρκεια της ζωής του.•Ο Θαλής είχε προβλέψει την ακριβή ημερομηνία της έκλειψης Ηλίου (585 π.Χ.).•Ο Θαλής ως Φυσικός επιστήμων ανακάλυψε τις τροπές (ηλιοστάσια), το ετερόφωτο της Σελήνης, τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό, από τις ελκτικές ιδιότητες του ορυκτού μαγνητίτη και του ήλεκτρου.•Μέτρησε το ύψος των πυραμίδων.•Αποδίδονται διάσημα γνωμικά της αρχαιότητας στον Θαλή:«πρεσβύτατον των όντων θεός αγέννητον γαρ»«κάλλιστον κόσμος ποίημα γαρ θεού»«μέγιστον τόπος άπαντα γαρ χωρεί»«τάχιστον νους δια παντός γαρ τρέχει»«σοφώτατον χρόνος ανευρίσκει γαρ πάντα».

Συμπεράσματα:

• Ο Θαλής ήταν πρωτοπόρος στις Θετικές Επιστήμες εξελίσσοντας μια μεγάλη

παράδοση και ανοίγοντας νέους δρόμους (ηλεκτρισμός) .

• Τα ρητά του έμειναν στην ιστορία.

• Τα θεωρήματά του αποτελούν ακόμα τη βάση της Γεωμετρίας.

• Ήταν ιδρυτής της Μιλησιακής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας.

Ευχαριστούμε!

ΕΕΑ4ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Ο AΡΧΙΜΗΔΗΣΟμάδα έρευνας: NOSTRA

Υπεύθυνος καθηγητής: Κ.Ι.Σκουρογιάννης

Σκοποί της έρευνας

• Να γνωρίσουμε τη ζωή του Αρχιμήδη.

• Να παρουσιάσουμε τη συνεισφορά του στις Θετικές Επιστήμες

• Να δείξουμε τις πολεμικές μηχανές του.

Ερευνητικά ερωτήματα

• Ζωή του Αρχιμήδη-Δανιήλ Πέτρου • Τα έργα του Αρχιμήδη στη μηχανική-

Βαγγέλης Πρέκας• Τα κάτοπτρα του Αρχιμήδη-Βαγγέλης

Παναγιωτακόπουλος• Συγγράμματα του Αρχιμήδη-Κώστας

Ντελής• Το έργο του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά-

Πέτρος Σώχος

Ο Αρχιμήδης έζησε τον 3ο αι. π.Χ. και ήταν

μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, εφευρέτης και αστρονόμος.

Θεωρείται ως ένας από τους καθοδηγητές επιστήμονες στην

κλασσική αρχαιότητα.

.Πέθανε το 212 π.Χ περίπου στην ηλικία των 75 χρονών. Ανέπτυξε μεθόδους που βοήθησαν στην

επίλυση πολλών προβλημάτων.

Ο Αρχιμηδης ηταν μαθηματικος και εφευρετης,ενας απο τους επιφανεστερους

σοφους και ειδικος στην μηχανικη.Ανεπτυξε μεθοδους που βοηθησαν στην επιλυση

πολλων προβληματων. Επισης Ο Αρχιμηδης ηταν ενας απο τους θεμελιωτες της μηχανικης,

σαν επιστημη.

O αρχιμήδης κατασκευάζοντας τα κάτοπτρα βοηθησε πολύ στον Σικελικό πόλεμο για την άμυνα τις πόλης αφού με τα κάτοπτρα έκαιγε από μακριά τα αντίπαλα πολεμικά πλοία τα οποια ήταν πολύ έφλεκτα λόγο τις επικάλειψης από πίσα που είχαν ώστε να μην σαπίζουν.

• Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη συνέβαλαν στην καλύτερη κατανόηση της Γεωμετρίας και της Μηχανικής και κάποια από αυτά αποτελούν θεμέλιο λίθο της επιστήμης.

• Ενώ συχνά θεωρείται ως σχεδιαστής μηχανικών συσκευών, ο Αρχιμήδης έκανε επίσης συνεισφορές στο τομέα των Μαθηματικών. Επίσης εδωσε απαντησεις σε πολλα προβληματα και δημιούργησε θεωρίες.

Συμπεράσματα:

• Πολλές από τις προτάσεις και τις εφευρέσεις του Αρχιμήδη έπαιξαν

σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της Μηχανικής, καθώς και στην Γεωμετρία.

• Οι εφευρέσεις και οι ανακαλύψεις του αποτελούν ακόμα και σήμερα χρήσιμα

εργαλεία της Επιστήμης.

• Ήταν πρωτοπόρος στην εφαρμοσμένη επιστήμη.