Леонард ЭйлерЛеонард ЭйлерКруги, теорема, следствие Круги, теорема, следствие

ЭйлераЭйлера(10-11 класс)(10-11 класс)

работа ученицы 10 а класаработа ученицы 10 а класаЛицея 229Лицея 229

Крыловой КсенииКрыловой Ксении

Леонард ЭйлерЛеонард Эйлер

Дата рождения: 4 Дата рождения: 4 апреля 1707 годапреля 1707 год

Место рождения: Место рождения: Швейцария Швейцария

Дата смерти: 7 Дата смерти: 7 сентября 1783 годсентября 1783 год

Научная сфера: Научная сфера: математика, механика, математика, механика, физикафизика

Леонард Эйлер Леонард Эйлер Эйлер — автор свыше 800 работ по математическому анализу, Эйлер — автор свыше 800 работ по математическому анализу,

дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. В 1726  г. был приглашён значительное влияние на развитие науки. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт -Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—работать в Санкт -Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии 1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии) Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, Петербургской Академии) Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в латинскую гимназию — под надзор бабушки. его направили в латинскую гимназию — под надзор бабушки. 8 июня8 июня 1724  г1724  г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни великолепную . 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений речь о сравнении философских воззрений ДекартаДекарта и и НьютонаНьютона — и был — и был удостоен учёной степени магистра.удостоен учёной степени магистра.

В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. В начале зимы работ. В начале зимы 17261726 года Эйлеру сообщили из года Эйлеру сообщили из Санкт- Санкт- Петербурга Петербурга : по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на : по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии. Эйлер был молод и полон энергии.должность адъюнкта по физиологии. Эйлер был молод и полон энергии.Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. Одна за другой мог не заниматься математикой или её приложениями. Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» (анализ бесконечных» (17481748 г.), «Морская наука» ( г.), «Морская наука» (17491749 г.), «Теория г.), «Теория движения луны» (движения луны» (17531753 г.), «Наставление по дифференциальному г.), «Наставление по дифференциальному исчислению» (исчислению» (1755  г1755  г.) — не говоря уже о десятках статей по отдельным .) — не говоря уже о десятках статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.Петербургской Академий.

Вклад Эйлера в наукуВклад Эйлера в науку Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество

стало достоянием всего человечества. До сих пор стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают школьники всех стран изучают тригонометриютригонометрию и и логарифмылогарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. в том виде, какой придал им Эйлер.

Евклидова геометрияЕвклидова геометрия Точки Эйлера; Точки Эйлера; Прямая ЭйлераПрямая Эйлера; ; Призма ЭйлераПризма Эйлера; ; Окружность ЭйлераОкружность Эйлера. .

ТопологияТопология Формула ЭйлераФормула Эйлера для многогранников. для многогранников. Вычислительная математикаВычислительная математика метод ломаных Эйлера, один из простейших методов метод ломаных Эйлера, один из простейших методов

приближённого решения дифференциальных приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых уравнений, широко применявшийся до самых последних лет. последних лет.

Круги Леонарда ЭйлераКруги Леонарда Эйлера Круги́ ЭйлераКруги́ Эйлера — геометрическая схема, с помощью — геометрическая схема, с помощью

которой можно изобразить несколько которой можно изобразить несколько подмножествподмножеств вместе и их объединениями, пересечениями, вместе и их объединениями, пересечениями, разностями. Все это было Изобретено разностями. Все это было Изобретено ЭйлеромЭйлером. . Используется в Используется в математикематематике, , логикелогике, , менеджментеменеджменте и и других прикладных направлениях.других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера—Веннадиаграммы Эйлера—Венна, изображающие все 2, изображающие все 2nn комбинаций комбинаций nn свойств, то есть конечную свойств, то есть конечную булеву булеву алгебруалгебру. При . При nn=3 диаграмма Эйлера—Венна обычно =3 диаграмма Эйлера—Венна обычно изображается в виде трёх изображается в виде трёх круговкругов с с центрамицентрами в в вершинах равностороннего вершинах равностороннего треугольникатреугольника и и одинаковым радиусом, приблизительно равным одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач При решении целого ряда задач Леонард ЭйлерЛеонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако, этим методом еще до кругов. Однако, этим методом еще до ЭйлераЭйлера пользовался выдающийся немецкий философ и пользовался выдающийся немецкий философ и математик математик Готфрид Вильгельм ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбниц ( (16461646——17161716). Но достаточно основательно развил этот метод ). Но достаточно основательно развил этот метод сам сам Л. ЭйлерЛ. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и . Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик немецкий математик Эрнст ШрёдерЭрнст Шрёдер ( (18411841——19021902) в ) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях графические методы достигли в сочинениях английского логика английского логика ДжонаДжона ВеннаВенна ( (18431843——19231923), ), подробно изложившего их в книге «Символическая подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в логика», изданной в ЛондонеЛондоне в в 18811881 году. Поэтому году. Поэтому такие схемы иногда называют такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Диаграммы Эйлера — ВеннаВенна..

Теорема Теорема Теорема Эйлера говорит о соотношении Теорема Эйлера говорит о соотношении

между количеством вершин, ребер и между количеством вершин, ребер и граней многогранника. Она впервые граней многогранника. Она впервые появилась в журнале Петербургской появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Академии наук в работах Леонарда Леонарда ЭйлераЭйлера "Элементы учения о телах" и "Элементы учения о телах" и "Доказательство некоторых "Доказательство некоторых замечательных свойств, которым замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".гранями".

Теорема Эйлера:Теорема Эйлера: Пусть В - число вершин выпуклого Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство В - Р число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г = 2 + Г = 2

Число х = В - Р + Г называется Число х = В - Р + Г называется эйлеровой эйлеровой характеристикойхарактеристикой многогранника. многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы: следующей таблицы:

2N+23n2nn-угольная призма

26128куб

2464тетраэдр

хГРВМного-гранник

доказательстводоказательство Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из

них используется формула для суммы углов них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем с многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем с наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О . Их F и спроектируем остальные грани на F из центра О . Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В - k). Углы при грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2. требуемое равенство Р - Г = В - 2.

Следствие Следствие

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется которая называется топологиейтопологией..

Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам: утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

1.1. Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г; Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г; 2.2. Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г; Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г; 3.У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная 3.У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная

или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол; или пятигранный пространственный угол;

4.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π. 4.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π.

доказательствадоказательства Доказать утверждение (Р+6≤ 3В). Доказать утверждение (Р+6≤ 3В). Доказательство: Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р + 2 = В + ГР + 2 = В + Г И другой раз в виде И другой раз в виде 4 = 2В - 2Р + 2Г4 = 2В - 2Р + 2Г Складывая эти равенства, получаем Складывая эти равенства, получаем Р + 6 = 3В + 3Г - 2РР + 6 = 3В + 3Г - 2Р Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу

получаем Р + 6≤ 3В. получаем Р + 6≤ 3В. Утверждение доказано. Утверждение доказано.

Решение задачРешение задач

Задача 1Задача 1

В классе 38 человек. Из них 16 В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.футболом.

Сколько ребят увлекаются Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?одновременно тремя видами спорта?

Сколько ребят увлекается лишь Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?одним из этих видов спорта?

решениерешение Воспользуемся кругами Эйлера.Воспользуемся кругами Эйлера. Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга а три меньших круга ББ, , ХХ и и ФФ изображают соответственно изображают соответственно

баскетболистов, хоккеистов и футболистов.баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Тогда фигура ZZ, общая часть кругов , общая часть кругов ББ, , ХХ и и ФФ, изображает ребят, , изображает ребят,

увлекающихся тремя видами спорта.увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом

спорта - спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + баскетболом занимаются 16 - (4 + zz + 3) = 9 - + 3) = 9 - zz;; одним лишь хоккеем 17 - (4 + одним лишь хоккеем 17 - (4 + zz + 5) = 8 - + 5) = 8 - zz;; одним лишь футболом 18 - (3 + одним лишь футболом 18 - (3 + zz + 5) = 10 - + 5) = 10 - zz..

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - zz) + (8 - ) + (8 - zz) + (10 - ) + (10 - zz) + 4 ) + 4 + 3 + 5 + + 3 + 5 + zz = 38, = 38,

zz = 2. = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами

спорта. Складывая числа 9 - спорта. Складывая числа 9 - zz, 8 - , 8 - zz и 10 - и 10 - zz, где , где zz = 2, найдем = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.человек.

Ответ.Ответ. Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Задача 2Задача 2

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?названных стран?

решениерешение

Нам известно, что во всех трех Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение:составить и решить уравнение:1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы. сотрудника фирмы.

Задача 3Задача 3

Из 100 туристов, отправляющихся в Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? ни одним языком?

решениерешение Выразим условие этой задачи графически. Выразим условие этой задачи графически.

Обозначим кругом тех кто знает английский, другим Обозначим кругом тех кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкийкругом - тех, кто знают немецкий

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие частисоответствующие части

Определим теперь, сколько человек владеют только Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков. одним из данных языков.

Картинки подобные тем, что мы рисовали при Картинки подобные тем, что мы рисовали при решении этой задачи, называются решении этой задачи, называются кругами Эйлеракругами Эйлера по по имени известного математика Леонарда Эйлера. имени известного математика Леонарда Эйлера.

заключениезаключение

Эйлер был Эйлер был выдающимся выдающимся математиком. Многое математиком. Многое из его работ из его работ сохранилось по сей сохранилось по сей день: круги Эйлера, день: круги Эйлера, теорема, следствие.теорема, следствие.