الجمع في الجمع في النظام الثنائيالنظام الثنائي

Binary AdditionBinary Addition

األعداد العشرية األعداد العشرية في نظامفي نظامالعمليات الحسابية العمليات الحسابية

تتم تتم مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة،مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة،+ +أيضا في األنظمة العددية األخرى، وألهمية في األنظمة العددية األخرى، وألهمية أيضا

برمجة برمجة في دراستنا لموضوع في دراستنا لموضوع الثنائيالثنائيالنظام النظام

تلك تلك سندرس بعض سندرس بعض دوائر الحماية الرقمية،دوائر الحماية الرقمية،

النظام.النظام. ذلك ذلك العمليات الحسابية فيالعمليات الحسابية في

عملية جمع في النظام عملية جمع في النظام بسطبسطأأإن إن •

يتكون يتكون الثنائي هي التي تتم بين عددينالثنائي هي التي تتم بين عددين

..واحدواحدثنائي ثنائي )مرتبة ( )مرتبة ( رمزرمزمن من كل منهما كل منهما

+ للقواعد• + للقواعدتتم عملية الجمع طبقا التالية:التالية: تتم عملية الجمع طبقا

و و 22((1011.011011.01 ) ):: اجمع العددين اجمع العددينمثال:مثال:

((11010.111010.1))22

1

1

مMحLمKل1

مMحLمKل 1

Binary Binary الطرح في النظام الثنائيالطرح في النظام الثنائيSubtractionSubtraction

: : عملية طرح عددين ثنائيين عملية طرح عددين ثنائيين لناتج لناتج احتماالتاحتماالتهناك أربع هناك أربع •

من العدد من العدد 22((10111011 ) ) اطرح العدد اطرح العدد مثال:مثال:

((1101.11101.1))22 : :

الضرب في الضرب في النظام الثنائيالنظام الثنائي

Binary MultiplicationBinary Multiplication

إن احتماالت عملية الضرب في إن احتماالت عملية الضرب في النظام الثنائي هي :النظام الثنائي هي :

00 × × 00 = = 00 0 × 1 = 0 1 × 0 = 0 1 × 1 = 1

LLممِّـِّـممLLتتMـMـممــالالات ات ــ

ComplemeComplementsnts

عديد من العمليات عديد من العمليات في في المتممات المتممات يستخدم مفهوم يستخدم مفهوم •

إذ إذ ،،عداد السالبةعداد السالبةألألاا، خاصة ، خاصة تسهيلهاتسهيلهاالحسابية بغرض الحسابية بغرض

.. متكرر متكررجمعجمع إلى إلى الطرحالطرحيساعد على تحويل عملية يساعد على تحويل عملية

المسؤولة المسؤولة المنطقيةالمنطقية الدوائر الدوائر نفسنفس: : إحدى الفوائدإحدى الفوائد•

مع مع الطرحالطرح بتنفيذ عملية بتنفيذ عملية تقوم تقومالجمعالجمععن عملية عن عملية

بعض اإلضافات.بعض اإلضافات.

المتممات في النظام المتممات في النظام الثنائيالثنائي

:: من المتممات في النظام الثنائي من المتممات في النظام الثنائي نوعاننوعانهناك هناك •: مقلوب العدد : مقلوب العدد وهووهو ((s Complements Complement''11)) 1 لـالمتمم•

)أي جعل كل واحد صفر وكل صفر واحد (.)أي جعل كل واحد صفر وكل صفر واحد (.

1 لـالمتمم: هو (s Complement'2) 2 لـ المتمم• 1 إليه +مضافا

تمهيد:تمهيد:القوانين القوانين نظرياته عن نظرياته عن جورج بوولجورج بوولنشر العالم نشر العالم •

الخاصة بالعالقات المنطقية في منتصف الخاصة بالعالقات المنطقية في منتصف الجبريةالجبرية

القرن التاسع عشر لتصبح فيما بعد األساس في القرن التاسع عشر لتصبح فيما بعد األساس في

التي تدخل في العديد التي تدخل في العديد الدوائر المنطقيةالدوائر المنطقيةتصميم تصميم

من التطبيقات كالتحكم والحاسب اآللي وغيرها.من التطبيقات كالتحكم والحاسب اآللي وغيرها.والعمليات والعمليات المتغيرات المتغيرات مع مع المنطق الثنائيالمنطق الثنائييتعامل يتعامل •

مثل مثل : : ةةمنطقيمنطقيالمعاني الالمعاني الزوج من زوج من تتسم بتتسم بالتي التي

“.“.الال”” ” -” - نعمنعم””و و أأ “ “ خطأخطأ “ -”“ -”صوابصواب””و و أن نفكر بلغة األرقام أن نفكر بلغة األرقام المالئم المالئم من من وMجnد أنه وMجnد أنه •

في التعامل مع في التعامل مع 00 و و11ن ن يينخصص لهما القيمتنخصص لهما القيمت

في في ووأأ سواء عند تحليلهاسواء عند تحليلها المعلومات الثنائيةالمعلومات الثنائية

تصميم األنظمة الرقمية بصفة عامة.تصميم األنظمة الرقمية بصفة عامة.

تبسيط العمليات المنطقيةتبسيط العمليات المنطقيةLفKذ الدوائر المنطقية باستخدام • Mن عادة ت

العالقات الجبرية التي تربط بين متغيرالخرج ومتغيرات الدخول. ومن ثم

كلما كانت العالقة أو الصيغة الجبرية أبسطكلما كانت العالقة أو الصيغة الجبرية أبسطكلما كانت الدائرة المنوط بها التنفيذ أقل

+ النخفاض عدد البوابات المنطقية Mلفة+ نظرا ك.+ الالزمة لتحقيق تلك العالقة عمليا

بناء على ماتقدم تصبح احد العمليات •األساسية المطلوبة عند التعامل مع الدوائر

بعض بعض تبسيطها باستخدام المنطقية هي

القواعد والعالقات الجبرية البسيطةالقواعد والعالقات الجبرية البسيطة

حاالت المتغير البولي حاالت المتغير البولي )المنطقي()المنطقي(

( (TrueTrue)) الصحيحة الصحيحة الحالة • ( (FalseFalse)) الخاطئة الخاطئة الحالة •ويمثل الرمز البولي )المنطقي( بأحد األحرف •

Z..., B , AZ..., B , Aوطالما أن أي رمز منطقي يحتمل إحدى الحالتين •

الثنائيفإنه من المناسب استخدام النظام لتمثيل حاالت المتغير البولي حيث:

الصحيحة.الصحيحة. الحالة 11 يمثل الرقم •الخاطئة.الخاطئة. الحالة 00والرقم •

العمليات والتعبيرات المنطقيةالعمليات والتعبيرات المنطقية Logic OperationsLogic Operations

تنقسم العمليات المنطقية إلى:تنقسم العمليات المنطقية إلى:• العمليات المنطقية األساسية. العمليات المنطقية العمليات المنطقية األساسية. العمليات المنطقية •

المشتقة.المشتقة.البوابات العمليات المنطقية االساسية وهي تمثل •

مثل:األساسية ANDAND Operation Operation و“و“”عملية • OROR Operation Operation و“و“”أعملية •

NOTNOT Operation Operation ”النفي“”النفي“عملية •

عمليتان ثنائيتانعمليتان ثنائيتانوتسمى العمليتان االولى والثانية •((Binary OperationsBinary Operations) ) ألن كال منها تتم على متغيرين على

( ( UnaryUnary)) أحاديةأحادية عملية NOTNOTاألقل ، بينما تسمى العملية ألنها تتم على متغير واحد فقط.

العمليات العملياتتعريف منطقتعريف منطق ة األساسيةة األساسيةالثنائيالثنائي

ANDAND : :”و“”و“•Mم• Mمت ال شيئ (، ال شيئ (، أوأو)) بين المتغيرين بين المتغيرينبنقطةبنقطةل هذه العملية ل هذه العملية KKثثLLت

Mكتب Mكتبفت هكذا: هكذا: فت

• x.y=zx.y=z ( ( أوأو xy=zxy=z ) ) تتووMM :قرأ: قرأ”” zz تساوي تساوي xx وو yy““..::تعني أنتعني أن ANDAND ”و“ ”و“ العملية المنطقيةالعملية المنطقية•

11==ZZ ” ” من كان كان“، “، إذا إذا وفقط وفقط إذاإذا + + منكال y=1y=1 و و x=1x=1 كال

. .z=0z=0 فإنفإن وإال وإال

OROR”أو“ : ..++ تمثل هذه العملية بعالمة زائدتمثل هذه العملية بعالمة زائد • ““yy أو أو xxتساوي تساوي ZZ ”” تقرأ: تقرأ: x+y=Zx+y=Z + + فمثال فمثال•

:: أن أنييعنعنو تو ت

•z=1z=1 أي� من“”أي� من“ إذا كانإذا كان”xx أوأوyy أوأو

..11 يساويان يساويان ““كالهماكالهما””

00 يساويان يساويان كالهماكالهما yy و و xx أما إذا كانأما إذا كان •

z=0z=0::فإن فإن

::NOTNOT النفي النفي •هذه العملية المنطقية إسمها يدل هذه العملية المنطقية إسمها يدل •

Mكتب هكذا: Mكتب هكذا:عليها وت عليها وت

أي أن: أي أن: XX هي نفي هي نفي ZZوتعني أن وتعني أن ••Z=1Z=1 إذا كان إذا كان XX ==00

xأو z z = x '

جدول الحقيقة )أو الصواب(جدول الحقيقة )أو الصواب( Truth TableTruth Table

zz لـ لـ هناك قيمة هناك قيمة yy و و xxلكل توفيق من توافيق قيم لكل توفيق من توافيق قيم هذه هذه . يمكن ذكر. يمكن ذكرتعريف العملية المنطقيةتعريف العملية المنطقيةيحددها يحددها

جداول جداول عن طريق استخدام عن طريق استخدام مختصرمختصرالتعاريف بشكل التعاريف بشكل كل كل تظهر في تلك الجداولتظهر في تلك الجداول (. (. truth tablestruth tables) ) الحقيقةالحقيقة

العالقة بين القيم التي العالقة بين القيم التي ووللمتغيرات للمتغيرات التوافيق الممكنةالتوافيق الممكنة قد تأخذها المتغيرات وناتج العملية.قد تأخذها المتغيرات وناتج العملية.

العمليات العمليات المنطقية المنطقية سميت بهذا االسم ألنها اشتقت من العمليات المشتقةالمشتقة

المنطقية األساسية و هي:

وقد أخذت تسميتها وقد أخذت تسميتها ( NAND) “نفي ونفي و”عملية •

( (NOT ANDNOT AND))من من

وقد أخذت تسميتها وقد أخذت تسميتها (( NORNOR)) ““نفي أونفي أو””عملية عملية •

( (NOT ORNOT OR))من من

( (XORXOR)) ““أو الحصريةأو الحصرية””عملية عملية •

( (XNORXNOR)) ”نفي أو الحصرية“”نفي أو الحصرية“عملية عملية •

جدول الحقيقة المجمل للعمليات جدول الحقيقة المجمل للعمليات المنطقية المشتقةالمنطقية المشتقة

المدخلين أصفارتطابق المدخلينإختالف المدخلين

أو كلأحد

المدخلين أصفار

قوانين الجبر )البولي( قوانين الجبر )البولي( Boolean AlgebraBoolean Algebra

مبدأ عام:مبدأ عام:

“ “ مرافقمرافقكل قانون بولي له ”كل قانون بولي له ”DUALDUAL

قانون اإلنفراد:قانون اإلنفراد:• XX==11 فإن فإن XX≠≠00اذا كانت اذا كانت •XX==00 فإن فإن XX≠≠11اذا كانت اذا كانت •

:قانون عمليات الصفر -2•X+0=XX+0=X •X.0 =0X.0 =0 ويمكن إثبات صحة هذا القانون بشقيه كالتالي:•11 أو 00 متغير ثنائي فإن له حالتين إما XXبما أن •: فأنX=0X=0 في حالة كون•00==00++00 ← ← 00==00أو أو 00

←← 00==0.00.0 00==00و و 00 فأن:X=1X=1وفي حالة • 11==11أو أو 00 •11==11و و 11 •ويبين هذا الجدول صحة ذلك القانون•

- قانون:- قانون:33•• X+1=1X+1=1 •X.1=XX.1=X

– قانون:– قانون: 44•

والجدول التاليوالجدول التالي• يبين اثباتهما يبين اثباتهما

X+X=1

X.X=0

قانون النفي المزدوج: قانون النفي المزدوج: --55Double NegationDouble Negation

X =X

::قانون التماثلقانون التماثل --66

X+X=XX+X=X

++ ومرافقه )تبديل الـ ومرافقه )تبديل الـ ((..إلى إلى

X.X=XX.X=X

- قانون االختزال:- قانون االختزال:77

X X ++ X XYY == X X :ومرافقه:ومرافقهX.X.))XX++YY(=(=XX

الجدول التالي يوضح اإلثباتالجدول التالي يوضح اإلثبات

قانون قانون - - 88 Commutative LawCommutative Lawالتبديل:التبديل:

X + Y = Y+ XX + Y = Y+ X

X.Y= Y.XX.Y= Y.X

Associative Associative: : قانون االقترانقانون االقتران --99LawLaw

X+X+YY++ZZ=X+)=X+)YY++ZZ(=)X+(=)X+YY(+(+ZZ

::ومرافقهومرافقهX.X.YY..ZZ=X.)=X.)YY..ZZ(=)X.(=)X.YY(.(.ZZ

Distributive LawDistributive Law قانون التوزيع:قانون التوزيع:- 1010

X.X.))Y+Y+ZZ(( = = X.X.Y + Y + X.X.ZZ

XX++))YY..ZZ(( = =))XX+Y+Y((..))XX++ZZ((

قانون اإلمتصاص:قانون اإلمتصاص: --1111Absorption LawAbsorption Law

الجدول التالي يوضح صحة القانون الجدول التالي يوضح صحة القانون السابق )االمتصاص(السابق )االمتصاص(

ConsensusConsensus نظرية اإلجماعنظرية اإلجماع --1212

: : ومرافقهاومرافقها

De Deنظرية ”دي مورجان“ نظرية ”دي مورجان“ Morgan LawMorgan Law

ComplementComplement متمممتممتستخدم في ايجاد تستخدم في ايجاد • أو حاصل أو حاصل جمعجمع( حاصل ( حاصل معكوسمعكوس ) )

مجموعة من المتغيرات مجموعة من المتغيرات ضربضربالثنائية.وتنص على:الثنائية.وتنص على:

عدد عدد ناتج جمعناتج جمع معكوسمعكوس أو أو متمممتمم”أن ”أن •""nn حاصل حاصل " من المتغيرات يساوي " من المتغيرات يساوي

والعكس صحيح أي أن: والعكس صحيح أي أن:ضرب متمماتهاضرب متمماتها

)X1+X2+X3+....( =X1 X2 X3.....

)X1 X2 X3 ....( =X1 X2 X3.....

جدول الحقيقة لنظرية ”دي جدول الحقيقة لنظرية ”دي مورجان“مورجان“

جدول الحقيقة للبوابات المنطقية الرئيسة

نظريات الجبر البولينظريات الجبر البولي