Âîñïîìèíàíèÿ î ðàçíîñòíûõ ñõåìàõ

Ñ.Ê. Ãîäóíîâ

Äîêëàä íà Ìåæäóíàðîäíîì ñèìïîçèóìå

¾Ìåòîä Ãîäóíîâà â ãàçîâîé äèíàìèêå¿

Ìè÷èãàíñêèé óíèâåðñèòåò (ÑØÀ). Ìàé, 1997

Íàó÷íàÿ êíèãà

Íîâîñèáèðñê - 1997

ÓÄÊ 512.64.

Ãîäóíîâ Ñ.Ê. Âîñïîìèíàíèÿ î ðàçíîñòíûõ ñõåìàõ. Äîêëàä íà Ìåæäóíà-ðîäíîì ñèìïîçèóìå ¾Ìåòîä Ãîäóíîâà â ãàçîâîé äèíàìèêå¿. Ìè÷èãàíñêèé óíèâåð-ñèòåò (ÑØÀ). Ìàé, 1997. � Íîâîñèáèðñê: Íàó÷íàÿ êíèãà, 1997. 40 ñ., èë.

ISBN 5-88119-011-4

Äîêëàä ïîäãîòîâëåí ïî çàêàçó Îðãêîìèòåòà Ìåæäóíàðîäíîãî ñèìïîçèóìà ¾Ìå-òîä Ãîäóíîâà â ãàçîâîé äèíàìèêå¿, ïðîâîäèìîãî Ìè÷èãàíñêèì óíèâåðñèòåòîì (ÑØÀ)â ìàå 1997 ã. è ñîäåðæèò âîñïîìèíàíèÿ îá èçîáðåòåíèè îäíîãî èç ìåòîäîâ ðåøåíèÿóðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè (1953-1969 ãã.). Ñåðüåçíîå âíèìàíèå óäåëåíî âîïðîñàì,îòâåòû íà êîòîðûå íåèçâåñòíû äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè.

Äëÿ íàó÷íûõ ñîòðóäíèêîâ è èíæåíåðîâ, à òàêæå äëÿ èíòåðåñóþùèõñÿ âîïðîñà-ìè èñòîðèè ìàòåìàòèêè.

Èçäàíèå îñóùåñòâëåíî ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêåÍàó÷íîé êíèãè (ÍÈÈ ÌÈÎÎ ÍÃÓ)

Ââåäåíèå

B ïðåäëàãàåìûõ çàìåòêàõ ÿ ðàññêàæó î òîì, êàê â 1953-1954 ãã. áûë ðàçðàáîòàíïåðâûé âàðèàíò ¾ñõåìû Ãîäóíîâà¿, î òîì, êàêèì ìîäèôèêàöèÿì îíà ïîäâåðãëàñü âðàáîòàõ, êîòîðûå ïðîâîäèëèñü ìíîé (äî 1969 ã.) è îêðóæàâøèì ìåíÿ êîëëåêòèâîìÈíñòèòóòà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè â Ìîñêâå (òåïåðü ýòîò èíñòèòóò íîñèò èìÿ åãîîðãàíèçàòîðà àêàäåìèêà Ì. B. Êåëäûøà).

Íàðÿäó ñ ìîäèôèêàöèÿìè, î êîòîðûõ ðå÷ü ïîéäåò íèæå (ñì. �1, �3) â ýòî âðåìÿðàçðàáàòûâàëèñü è äðóãèå àëãîðèòìû, â ÷àñòíîñòè, ñõåìû âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íî-ñòè äëÿ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè ñ íå ñëèøêîì áîëüøèì ÷èñëîì ñèëüíûõ è ñëàáûõðàçðûâîâ [1, 2, 3]. Íàøà äåÿòåëüíîñòü áûëà ñâÿçàíà ñ ïðîâåäåíèåì áîëüøîãî ÷èñ-ëà ðàñ÷åòîâ, ïåðâûå ïðîãðàììû äëÿ êîòîðûõ áûëè ñîñòàâëåíû Â. Â. Ëóöèêîâè÷åì.Óñëîæíåíèå çàäà÷ ïîòðåáîâàëî ðàçðàáîòêè âèðòóîçíûõ ïðèåìîâ ðàñêðîÿ ðàñ÷åòíîãîïîëÿ íà ïîäîáëàñòè. Çäåñü ïðîÿâèë ñâîå èñêóññòâî À. Â. Çàáðîäèí. Èñïîëüçîâàíèåðàñêðîåâ ïðèâåëî ê íåîáõîäèìîñòè àëãîðèòìèçàöèè ïðîöåññîâ ïîñòðîåíèÿ ñåòîê.

 1961-1968 ãã. ìû âìåñòå ñ Ã. Ï. Ïðîêîïîâûì äîëãî è óïîðíî âûðàáàòûâàëè ïîä-õîä ê êîíñòðóèðîâàíèþ ïîäâèæíûõ ðàçíîñòíûõ ñåòîê, êîòîðûå áûëè â 1968-1969 ãã.À. Â. Çàáðîäèíûì è ñîñòàâèòåëÿìè ïðîãðàìì Ã. Í. Íîâîæèëîâîé è Ã. Á. Àëàëûêè-íûì âêëþ÷åíû â ïðîãðàììû äëÿ ñåðèéíûõ ðàñ÷åòîâ (ñì. [4, 5, 6]). Çàäà÷è, âîçíèê-øèå â ïðîáëåìå ïîñòðîåíèÿ ñåòîê, ïîòðåáîâàëè îò íàñ óäåëèòü, ñåðüåçíîå âíèìàíèåðåøåíèþ ýëëèïòè÷åñêèõ Ñèñòåì (ñì. [7, 8]).  ñâîþ î÷åðåäü, îñâîåííûå ïðè ýòîììåòîäû áûëè èñïîëüçîâàíû â ýëëèïòè÷åñêèõ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷àõ (ñì. [9, 10]),ïîäòîëêíóâøèõ ìåíÿ ê ðàáîòàì ïî âû÷èñëèòåëüíîé ëèíåéíîé àëãåáðå. Öåëûé ðÿäóäèâèòåëüíûõ íàáëþäåíèé, ñäåëàííûõ â ýòî âðåìÿ ïðè àíàëèçå ðàñ÷åòîâ, åùå äîëãîñëóæèë èñòî÷íèêîì äèñêóññèé íà ñåìèíàðàõ â Ìîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå, à ñ 1969ã. � â Íîâîñèáèðñêîì óíèâåðñèòåòå.  ðåçóëüòàòå òàêèõ äèñêóññèé áûëè, íàïðèìåð,ðàçðàáîòàíû êðèòåðèè ñïåêòðàëüíîé äèõîòîìèè [11, 12] è ïðåöèçèîííûå ìåòîäûðàñ÷åòà ñèíãóëÿðíûõ âåêòîðîâ, ïîñëóæèâøèå îñíîâîé äëÿ ìàòåðèàëà, èçëîæåííîãîâ íàøèõ êíèãàõ [11, 13]. Òðóäíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ òàêèõ èññëåäî-âàíèé ÿâèëàñü ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è êîíñòðóèðîâàíèåäëÿ ýòèõ öåëåé ðàçíîñòíûõ ñåòîê.

Åùå âî âðåìÿ ó÷åáû â Ìîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå ÿ íà÷àë çàíèìàòüñÿ òåîðèåéäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà ñåìèíàðàõ È. Ì. Ãåëüôàíäà è È. Ã. Ïåòðîâñêîãî.Ïîñëåäíèé ïðèâëåê ìîå âíèìàíèå ê çàäà÷àì ãàçîâîé äèíàìèêè è âûñêàçàë ïðåäëîæå-íèå èñïîëüçîâàòü ïðîöåññû óñòàíîâëåíèÿ äëÿ èçó÷åíèÿ ñìåøàííûõ (ñ äîçâóêîâûìèè ñâåðõçâóêîâûìè çîíàìè) òå÷åíèé: Ýòîìó âîïðîñó áûëà ïîñâÿùåíà ìîÿ äèïëîìíàÿðàáîòà, â êîòîðîé èçó÷àëîñü óñòàíîâëåíèå òå÷åíèÿ â ñîïëå (ïðàâäà, òîëüêî â äîçâó-êîâîì ñëó÷àå è ñ èñïîëüçîâàíèåì èñêóññòâåííî ñêîíñòðóèðîâàííûõ äîïîëíèòåëüíûõïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, ââåäåííûõ â óðàâíåíèÿ ×àïëûãèíà). Ïðàêòè÷åñêè ïðèåì-ëåìàÿ ðåàëèçàöèÿ èäåè È. Ã. Ïåòðîâñêîãî îá óñòàíîâëåíèè áûëà îïóáëèêîâàíà â 1961ã. (ñì. [6]) íà îñíîâå ðàñ÷åòà, ïðîâåäåííîãî ïî èìåâøèìñÿ â íàøåì ðàñïîðÿæåíèèàëãîðèòìàì. Ðàçðàáîòêà òåõíè÷åñêîãî çàäàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ñîñòàâëÿëà ñîäåðæàíèåäèïëîìíîé ðàáîòû Ã. Ï. Ïðîêîïîâà, âûïîëíåííîé ïîä ìîèì ðóêîâîäñòâîì. Ïðîãðàì-ìà áûëà ñîñòàâëåíà Ã. Í. Íîâîæèëîâîé.

Ðàçðàáîòêà ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè âåëàñü ïàðàëëåëüíî ñïîïûòêîé îñâîèòü ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì óðàâ-íåíèé. Êàê ïðàâèëî, âûñêàçûâàíèå ãèïîòåçû îòíîñèòåëüíî âîçìîæíûõ îïðåäåëåíèé

3

è îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ïðåäøåñòâîâàëî ïîñòðîåíèþ ðàçíîñò-íûõ ñõåì, êîòîðûå ýòè ñâîéñòâà èñïîëüçîâàëè.  òî æå ñàìîå âðåìÿ ÿ ïûòàëñÿ ïðî-âåñòè îáîñíîâàíèå ñäåëàííûõ ãèïîòåç. Ê ìîåìó âåëèêîìó îãîð÷åíèþ ýòè ïîïûòêèîêàçàëèñü áåçóñïåøíûìè è, áîëåå òîãî, îíè èíîãäà çàêàí÷èâàëèñü ïîñòðîåíèåì ïðî-òèâîðå÷àùèõ ïðèìåðîâ. Íå ñëåäóåò óäèâëÿòüñÿ, ÷òî ýòè ïðèìåðû ïðèâîäèëè ìåíÿ âîò÷àÿíèå. Íî â òî æå âðåìÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, òî÷íåå åå ìîäèôèêàöèè, îñíîâàííûå íàèñïîëüçîâàíèè ýéëåðîâûõ êîîðäèíàò, ïîäâèæíûõ ñåòîê è íà âûäåëåíèè ñ ïîìîùüþýòèõ ñåòîê âàæíåéøèõ ñèëüíûõ è ñëàáûõ ðàçðûâîâ, ïðîäîëæàëà ýêñïëóàòèðîâàòüñÿâ ïðîìûøëåííûõ ðàñ÷åòàõ.

�1. Êàê ñõåìà áûëà èçîáðåòåíà

Îñåíüþ 1953 ã. Ì. Â. Êåëäûø è È. Ì. Ãåëüôàíä ïðåäëîæèëè ìíå ðàçðàáîòàòüâàðèàíò ìåòîäà, îïóáëèêîâàííîãî Äæ. Íåéìàíîì è Ðèõòìàéåðîì è ñîñòîÿùåãî âââåäåíèè â óðàâíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè èñêóññòâåííîé âÿçêîñòè. Áûëî âûñêàçàíîíàñòîé÷èâîå ïîæåëàíèå çàâåðøèòü ðàçðàáîòêó àëãîðèòìà, ïðèãîäíîãî äëÿ ñåðèéíûõðàñ÷åòîâ èíæåíåðíûõ çàäà÷ ê âåñíå 1954 ã., êîãäà â íàøåì èíñòèòóòå äîëæåí áûëïîÿâèòüñÿ ïåðâûé ýêçåìïëÿð ýëåêòðîííîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû ¾Ñòðåëà¿, ýê-çåìïëÿð, ñ êîòîðîãî äîëæíî áûëî íà÷àòüñÿ ñåðèéíîå ïðîèçâîäñòâî.

Ìåíÿ ïðîèíôîðìèðîâàëè, ÷òî îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ òðåáóåìîãî àëãî-ðèòìà â íàøåì èíñòèòóòå óæå ïîäãîòîâëåí À. È. Æóêîâûì. Ìíå ïðåäîñòàâèëèâîçìîæíîñòü ñ íèì îçíàêîìèòüñÿ è ñêàçàëè, ÷òî ÿ ìîãó çàíÿòüñÿ åãî óñîâåðøåí-ñòâîâàíèåì èëè ïðåäëîæèòü êàêîé-òî èíîé ìåòîä. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ðóêîâîäèòåëåéèíñòèòóòà ðàñøèðåíèå ôðîíòà ðàáîò ïî ýòîé àêòóàëüíîé òåìàòèêå áûëî íåîáõîäèìîäëÿ êà÷åñòâåííîãî çàâåðøåíèÿ ðàáîòû â ïîñòàâëåííûå ñðîêè.

Ñõåìà ðàñ÷åòà, ïðåäëàãàâøàÿñÿ À. È. Æóêîâûì, â òî÷íîñòè ñîâïàäàëà ñî ñõåìîé,îïóáëèêîâàííîé ãîä ñïóñòÿ Ï. Ä. Ëàêñîì [14]. Îäíàêî â òåêñòå, ïðåäñòàâëåííîì ìíåÀ. È. Æóêîâûì, ñîäåðæàëèñü ñîîáðàæåíèÿ, ïîëîæåííûå èì â îñíîâó êîíñòðóèðîâà-íèÿ ñõåìû è âûñêàçàííûå â âèäå ïðàâäîïîäîáíûõ ãèïîòåç. Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæó,÷òî ñðåäè ýòèõ ãèïîòåç áûëè îøèáî÷íûå. Ïðè ïåðâîì çíàêîìñòâå ñ îò÷åòîì À. È.Æóêîâà ó ìåíÿ ñîìíåíèé â ýòèõ ãèïîòåçàõ íå âîçíèêëî è ÿ ðåøèë â ñâîåé ðàáîòå íàíèõ îïèðàòüñÿ.

Ãëàâíîå è ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå ìåòîäà, ðàçðàáîòàííîãî À. È. Æóêîâûì, îòìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî Äæ. Íåéìàíîì è Ðèõòìàéåðîì, ñîñòîèò â îòêàçå îò ââåäå-íèÿ èñêóññòâåííîé âÿçêîñòè. À. È. Æóêîâ â ðåçóëüòàòå ñâîèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèøåëê âûâîäó, ÷òî âûçûâàåìîå âÿçêîñòüþ ¾ðàçìàçûâàíèå¿ óäàðíûõ âîëí îáåñïå÷èâàåò-ñÿ ïðè ðàçíîñòíîì ðàñ÷åòå àâòîìàòè÷åñêè çà ñ÷åò ðàçëè÷èÿ ìåæäó ðàçíîñòíûìèàïïðîêñèìàöèÿìè è òî÷íûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ãàçîâîé äèíàìèêè.À. È. Æóêîâ ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî ðàçëè÷èÿ îñòàòî÷íûå ÷ëå-íû ðàçíîñòíîé ñõåìû, îïèñûâàþùèå ðàçíîñòíóþ âÿçêîñòü è ñôîðìóëèðîâàë ïîíÿòèåïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.

Îí íà÷àë ñ òîãî, ÷òî ïîïûòàëñÿ èñïîëüçîâàòü ðàçíîñòíûå ñõåìû âòîðîãî ïîðÿäêàòî÷íîñòè, íî ñòîëêíóëñÿ ñ âîçíèêíîâåíèåì ñèëüíûõ îñöèëëÿöèè íà ôðîíòå âîëíû.Äëÿ èõ îáúÿñíåíèÿ îí èñïîëüçîâàë ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ýéðè òî÷íûåðåøåíèÿ ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûå áûëà ââåäåíà ðàçíîñòíàÿ âÿçêîñòü,ìîäåëèðóþùàÿ îñòàòî÷íûå ÷ëåíû ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ïðèäÿ òàêèì îáðàçîì ê âûâî-äó î íåâîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ñõåì âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, À. È. Æóêîâñîñðåäîòî÷èëñÿ íà îòðàáîòêå ñõåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòà îòðàáîòêà ïðîèçâîäèëàñüêàê íà ïðîñòåéøåì êâàçèëèíåéíîì óðàâíåíèè Áþðãåðñà, òàê è íà ñèñòåìå óðàâíåíèé

4

ãàçîâîé äèíàìèêè â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ. Âñå âíèìàíèå áûëî ñîñðåäîòî÷åíîíà èçó÷åíèè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé çàäà÷è ñî ñòàöèîíàðíûì äâèæóùèìñÿ ôðîíòîìóäàðíîé âîëíû. Ïðè èñïîëüçîâàíèè óðàâíåíèé ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëè-æåíèÿ ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâ-íåíèÿì, ðåøåíèÿ êîòîðûõ ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ðåçóëüòàòàìè ðàçíîñòíîãî ðàñ÷åòà.Ïðè òàêèõ ñðàâíåíèÿõ À.È. Æóêîâ ñôîðìóëèðîâàë íåîáõîäèìîå óñëîâèå, êîòîðîìóäîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàçíîñòíàÿ ñõåìà. Ýòî óñëîâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî óðàâíåíèÿïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ îáÿçàíû èìåòü ôîðìó çàêîíîâ ñîõðàíå-íèÿ, îäíàêî îíî áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â âèäå ãèïîòåçû êàê íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷-íîå óñëîâèå.

ß íå ñòàë ñîìíåâàòüñÿ â ýòîé ãèïîòåçå è ïîëîæèë åå â îñíîâó ñâîèõ ïîïûòîêïîñòðîèòü êàêóþ-ëèáî ñõåìó áåç îñöèëëÿöèè è èìåþùóþ âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè.Äëÿ ýòîãî ÿ ñòàë ïåðåáèðàòü ðàçëè÷íûå ñõåìû âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, ó êîòîðûõòî÷íûå ðàçíîñòíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ íå âûïîëíåíû, â òî âðåìÿ êàê îíè âûïîëíå-íû äëÿ ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïåðåáîð âîçìîæíûõ âàðèàíòîâñîâåðøàëñÿ íà ðàñ÷åòàõ îäíîãî è òîãî æå ðåøåíèÿ, âûáðàííîãî êàê ïðàâäîïîäîáíàÿìîäåëü öåëîãî ðÿäà òèïè÷íûõ çàäà÷.

 ðåçóëüòàòå óäàëîñü ïîäîáðàòü âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûé âàðèàíò. Íà ýòîòïîäáîð áûëî ïîòðà÷åíî îêîëî òðåõ ìåñÿöåâ íàïðÿæåííîé ðàáîòû. Ïðîâîäèòü âû-êëàäêè è ðàññ÷èòûâàòü îñòàòî÷íûå ÷ëåíû ïîìîãàëà Í. Ì. Çóåâà, à ýêñïåðèìåíòàëü-íûå ðàñ÷åòû âûïîëíÿëèñü Â. Â. Ïàëåé÷èê è äâóìÿ åå ó÷åíèöàìè, êîòîðûå îñâàèâà-ëè òåõíèêó âû÷èñëåíèé íà àðèôìîìåòðàõ ¾Ìåðñåäåñ¿. Ïðîâîäèìûì èññëåäîâàíèÿìáîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿëè Ì. Â. Êåëäûø è È. Ì. Ãåëüôàíä: îíè ñëóøàëè îò÷åòûî ïðîäåëàííîé ðàáîòå êàæäûå äâå íåäåëè.

 êà÷åñòâå ñëåäóþùåãî ýòàïà èññëåäîâàíèé áûëà íàìå÷åíà ïðîâåðêà ðàáîòîñïî-ñîáíîñòè âûáðàííîé ñõåìû âî âðåìÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ ñ ðàçëè÷íûìèøàãàìè è íà áîëüøîì ðÿäå ðàçíîîáðàçíûõ ðåøåíèé. Íî óæå íà èññëåäîâàíèè çà-âèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò øàãîâ ìû ñòîëêíóëèñü ñ ÿâëåíèÿìè, êîòîðûå ïåðå÷åðêíóëèâñå ðåçóëüòàòû íàøåé òðåõìåñÿ÷íîé ðàáîòû.

×òîáû ïîÿñíèòü, â ÷åì ñîñòîÿëè ïðåïÿòñòâèÿ, âñòàâøèå ïåðåä íàìè, ÿ äîëæåíðàññêàçàòü åùå îá îäíîé ãèïîòåçå, èç îò÷åòà, À. È. Æóêîâà. Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâ-íåíèÿ ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ â çàäà÷å î ñòàöèîíàðíî ïåðåìå-ùàþùåéñÿ óäàðíîé âîëíû è ñðàâíèâ ðåøåíèå ñ ðåàëüíûì ïðîôèëåì, ïîëó÷åííûìâ ðàçíîñòíîì ðàñ÷åòå, îí îòìåòèë èõ îòëè÷èå è âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ýòîîòëè÷èå áóäåò óáûâàòü ïðè ñòðåìëåíèè øàãà ê íóëþ.

Ðåøèâ ïðîâåðèòü ýòó ãèïîòåçó, ÿ ïîïðîñèë Â. Â. Ïàëåé÷èê ïðîâåñòè ñîîòâåòñòâó-þùèå ðàñ÷åòû. Âû÷èñëåíèÿ ñ îäíèì èç âîçìîæíûõ øàãîâ áûëè ïîðó÷åíû îäíîé èçåå ïîìîùíèö, à ñ øàãîì â äâà ðàçà ìåíüøèì � äðóãîé. Âñåãî ÷åðåç êàêèå-íèáóäüïÿòü-äåñÿòü ìèíóò Â. Â. Ïàëåé÷èê ñòàëà å âîçìóùåíèåì óêîðÿòü ìåíÿ â áåññìûñ-ëåííîñòè çàêàçàííîãî ýêñïåðèìåíòà. Íà ïåðâîì ýòàïå ðåçóëüòàòû îáîèõ ðàñ÷åòîâîêàçàëèñü òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþùèìè, è èíîãî íå ìîãëî áûòü, òàê êàê â ðàñ÷åò-íóþ ñõåìó ñàì øàã ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé íå âõîäèë.  íåé ó÷àñòâîâàëîòîëüêî îòíîøåíèå øàãîâ ïî âðåìåíè è ïî ïðîñòðàíñòâó, êîòîðîå âûáèðàëîñü ïîñòî-ÿííûì èç-çà æåëàíèÿ îñòàâèòü ïîñòîÿííûì ÷èñëî Êóðàíòà. À ðàç ïðè èçìåíåíèèøàãà ðàçíîñòíûå ïðîôèëè íå äîëæíû ìåíÿòüñÿ, òî íå ìîæåò áûòü è ðå÷è îá èõñáëèæåíèè ïðè èçìåëü÷åíèè øàãîâ ñ ñîîòâåòñòâåííî îòìàcøòàáèðîâàííûìè ïðîôè-ëÿìè ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.  òî æå âðåìÿ ñðàâíåíèå ñêîðîñòèäâèæåíèÿ òî÷íîãî è ðàçíîñòíîãî óäàðíûõ ôðîíòîâ ïîêàçàëî íàëè÷èå íå ñëèøêîì

5

áîëüøîãî (≈ 3 − 4%) îòëè÷èÿ, íî òåïåðü óæå íå áûëî íèêàêîé íàäåæäû íà òî, ÷òîïðè óìåíüøåíèè øàãîâ ýòî îòëè÷èå óìåíüøèòñÿ.

Åñòåñòâåííî, ÷òî îïèñàííûå ñåé÷àñ íàáëþäåíèÿ íàä ÷èñëåííûìè ýêñïåðèìåíòà-ìè, ïðèâåëè ìåíÿ â ñîñòîÿíèå ñòðåññà, çàñòàâèâøåãî ñïåøíî ïåðåñìàòðèâàòü èñïîëü-çîâàâøèåñÿ äî ýòîãî òî÷êè çðåíèÿ.

Ïðåæäå âñåãî, ñòàëî ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äîëæíà îáåñïå-÷èâàòü ïðàâèëüíóþ ñêîðîñòü ñòàöèîíàðíî äâèæóùåéñÿ óäàðíîé âîëíû è ïðàâèëüíûåçíà÷åíèÿ ïî îáå ñòîðîíû îò ôðîíòà äàæå ïðè øàãå, ðàâíîì åäèíèöå. Ïðîïàëà íàäåæ-äà íà òî, ÷òî òî÷íîñòü ðàñ÷åòà òàêîé âîëíû ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíà çà ñ÷åò âûáîðàäîñòàòî÷íî ìåëêîãî øàãà.

Âûõîä èç ñëîæèâøåéñÿ ñèòóàöèè áûë íàéäåí â âèäå ïðåäëîæåíèÿ îáåñïå÷èâàòüâûïîëíåíèå òî÷íûõ ðàçíîñòíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, îòêàçàâøèñü îò óïðîùåíèé,ñîñòîÿùèõ â èñïîëüçîâàíèè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ïîëó÷åííûõ èç ïåðâîãî äèôôåðåí-öèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî àïïðîêñèìàöèþ óðàâíåíèé

∂u

∂t+

∂p(V )

∂x= 0,

∂V

∂t− ∂u

∂t= 0

áûëî ïðåäëîæåíî ïðîâîäèòü òàê, ÷òîáû ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ èìåëè ñëåäóþùèéâèä çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ

um+1n − um

n

4t+

Pmn+ 1

2

− Pmn− 1

2

4x= 0

vm+1n − vm

n

4t−

Umn+ 1

2

− Umn− 1

2

4x= 0

Ïðè ýòîì äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòè äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ êàê ìàëûå âåëè÷èíûum

n , òàê è áîëüøèå Umn+ 1

2

. Àíàëîãè÷íî óäåëüíûé îáúåì v è ñâÿçàííîå ñ íèì äàâëåíèå

p(v) àïïðîêñèìèðóþòñÿ âåëè÷èíàìè vmn è Pm

n+ 12

ñîîòâåòñòâåííî. Ôîðìóëû, ñâÿçû-

âàþùèå ìàëûå è áîëüøèå âåëè÷èíû ìîãóò âûáèðàòüñÿ òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ìûïîëó÷àëè òó èëè èíóþ ñõåìó. Âûáîð ñõåìû äîëæåí îáåñïå÷èâàòü ãëàäêîñòü ïðîôèëÿðàçíîñòíîé âîëíû, îïèðàÿñü íà êîòîðóþ, èç ðàçíîñòíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìîæíîâûâåñòè, ÷òî ýòà âîëíà äâèæåòñÿ ñ ïðàâèëüíîé ñêîðîñòüþ è ÷òî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíñïðàâà è ñëåâà îò åå ôðîíòà ñâÿçàíû èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè Ãþãîíèî.

Ïðè âûáîðå ñõåìû ÿ ðåøèë ñíà÷àëà äîáèòüñÿ ãëàäêîãî ôðîíòà â ïðåäåëüíîìñëó÷àå ñëàáûõ óäàðíûõ âîëí, ò. å. â ñëó÷àå óðàâíåíèé àêóñòèêè, êîòîðûå ìîæíîñ÷èòàòü óðàâíåíèÿìè ãàçîâîé äèíàìèêè ñ ïðîñòåéøèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ p(v) =−a2v (a2 = const > 0).  ýòîì ñëó÷àå óäàðíûå âîëíû ïðåâðàùàþòñÿ â ðàçðûâûðèìàíîâûõ èíâàðèàíòîâ u±av, à ñàìè óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó

∂(u± av)

∂t∓ a

∂(u± av)

∂x= 0.

Ðàçíîñòíûå ñõåìû ÿ ðåøèë âûáèðàòü òàê, ÷òîáû îíè ïîçâîëÿëè (âî âñÿêîì ñëó÷àå âýòîì ïðîñòåéøåì ñëó÷àå p(v) = ¯a2v, a = const) èõ ïðèâåäåíèå ê íåçàâèñèìûì óðàâ-íåíèÿì äëÿ ðèìàíîâûõ èíâàðèàíòîâ u ± av. ß âçÿë èçâåñòíóþ è øèðîêî óïîòðåá-ëÿâøóþñÿ â òî âðåìÿ ïðîñòåéøóþ èç âîçìîæíûõ ñõåì, îáåñïå÷èâàþùèõ ñîõðàíåíèåìîíîòîííîñòè ðèìàíîâûõ èíâàðèàíòîâ. Ýòî ñîõðàíåíèå ìîíîòîííîñòè áûëî ãàðàí-òèåé äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íóæíîé ìíå ãëàäêîñòè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå íè÷åãî äðóãîãî äëÿåå îáåñïå÷åíèÿ ìíå ê òîìó âðåìåíè ïðèäóìàòü íå óäàëîñü, äà è âðåìåíè áîëüøå íå

6

îñòàâàëîñü � â èíñòèòóòå óæå íà÷àëè ìîíòèðîâàòü ïðèâåçåííóþ ñ çàâîäà ¾Ñòðåëó¿.Ê òîìó æå ìíå óäàëîñü â ëèíåéíîì ñëó÷àå ïîêàçàòü, ÷òî ñîõðàíÿòü ìîíîòîííîñòüìîãóò òîëüêî ñõåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Îò äàëüíåéøèõ ïîïûòîê ïîñòðîåíèÿñõåì âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ÿ îòêàçàëñÿ.

Âûáðàííàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå çàïèñûâàëàñü ñëåäóþùèì îá-ðàçîì:

um+1n − um

n

τ− a2vm

n+1 − vmn−1

2h− a

umn+1 − 2um

n + umn−1

2h= 0

vm+1n − vm

n

τ−

umn+1 − um

n−1

2h− a

vmn+1 − 2vm

n + vmn−1

2h= 0

è ïðåâðàùàëàñü â ñõåìó ðàçíîñòíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ïîñëå ââåäåíèÿ îáîçíà÷åíèé

Pmn+ 1

2= −a2vm

n+1 − vmn

2+ a

umn+1 − um

n

2=

p(vmn+1)− p(vm

n )

2+ a

umn+1 − um

n

2

Umn+ 1

2=

umn+1 − um

n

2+ a

vmn+1 − vm

n

2=

umn+1 − um

n

2−

p(vmn+1)− p(vm

n )

2aÁûëî ðåøåíî èñïîëüçîâàòü ýòó ñõåìó è â ñàìîì îáùåì íåëèíåéíîì ñëó÷àå, íî äëÿýòîãî áûëî íåîáõîäèìî çàìåíèòü ïîñòîÿííóþ a â ôîðìóëàõ äëÿ Pm

n+ 12

, Umn+ 1

2

íà êàêèå-

òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåìåííûå çíà÷åíèÿ amn+ 1

2

.  êà÷åñòâå ïåðâîãî î÷åíü åñòåñòâåí-

íîãî âàðèàíòà äëÿ ðàñ÷åòà amn+ 1

2

áûëè âûáðàíû ñëåäóþùèå:

amn+ 1

2=

√−p ′(vm

n + vmn+1),

amn+1 =

1

2

√−p ′(vm

n ) +1

2

√−p ′(vm

n+1),

amn+1 = 4

√p ′(vm

n )p ′vmn+1),

Îíè íà÷àëè àïðîáèðîâàòüñÿ âî âðåìÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ, âî âðåìÿ êîòî-ðûõ ïðîâåðÿëîñü ñîõðàíåíèå ìîíîòîííîñòè ïðîôèëÿ âîëíû, íà÷àëüíûå äàííûå äëÿêîòîðîé âûáèðàëèñü â âèäå ðàçëè÷íûõ ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèé ñïðàâà è ñëåâà îò íà-÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ðàçðûâà. Ïðè÷åì ýòè ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ áûëè êàæäûé ðàçñâÿçàíû óñëîâèÿìè Ãþãîíèî.

Ïðîäîëæàÿ ýòè ýêñïåðèìåíòû è íàáëþäàÿ çà ïðîôèëÿìè âîëí, ÿ íà÷àë ïðîáî-âàòü è äðóãèå ôîðìóëû äëÿ am

n+ 12

.  ÷àñòíîñòè, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ìîíîòîííîñòü

ñîõðàíÿëàñü è íà ïåðâîì øàãå, ìíå óäàëîñü ïîäîáðàòü äëÿ amn+ 1

2

íåêîòîðóþ âïîëíå

îïðåäåëåííóþ èíòåðïîëÿöèîííóþ ôîðìóëó, ïðèâîäèâøóþ ê íàèáîëåå ïðèåìëåìûìðåçóëüòàòàì.

Çäåñü ÿ äîëæåí âíåñòè íåêîòîðûå óòî÷íåíèÿ â ìîé ðàññêàç, ÷òîáû îòêàçàòüñÿ îòóïðîùåíèé, êîòîðûå ÿ â íåãî âíåñ. Äåëî â òîì, ÷òî îïèñûâàåìûå ýêñïåðèìåíòû âñêî-ðå íà÷àëè ïðîâîäèòüñÿ íå ñ òîé ïðîñòåéøåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè,î êîòîðîé ðå÷ü øëà âûøå, à ñ ñèñòåìîé èç òðåõ óðàâíåíèé

∂u

∂t+

∂p(v, E)

∂x= 0,

∂V

∂t− ∂u

∂x= 0,

∂(E + u2

2

)∂t

+∂(pu)

∂x= 0,

7

äëÿ êîòîðîé ðàçíîñòíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ áûëî ïðåäëîæåíî çàïèñûâàòü â âèäå

um+1n − um

n

4t+

Pmn+ 1

2

− Pmn− 1

2

4x= 0,

vm+1n − vm

n

4t−

Umn+ 1

2

− Umn− 1

2

4x= 0,

(E + u2

2)m+1

n− (E − u2

2)m

n

4t+

Pmn+ 1

2

Umn+ 1

2

− Pmn− 1

2

Umn− 1

2

4x= 0

Ïîäáîð èíòåðïîëÿöèîííûõ ôîðìóë äëÿ amn+ 1

2

â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâûâàëñÿ â ïîä-

áîð âàðèàíòîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ Pmn+ 1

2

, Umn+ 1

2

÷åðåç çíà÷åíèÿ umn , vm

n , Emn , um

n+1, vmn+1,

Emn+1. Óäàëîñü îñóùåñòâèòü òàêîé ïîäáîð äîñòàòî÷íî ñêîðî � çà äâå-òðè íåäåëè.

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â ïîäîáðàííûõ ôîðìóëàõ ðîëü çíà÷åíèé amn+ 1

2

ñòàëè âûïîë-íÿòü âûðàæåíèÿ √

(γ + 1)Pn+ 12

+ (γ − 1)pn

vn

çàâèñÿùèå îò ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû Pn+ 12. ( ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ óïîòðåáëÿ-

ëîñü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ãàçà E = pvγ−1

.) Ìíå ïîêàçàëîñü, ÷òî òàêèå çíà÷åíèÿ ÿãäå-òî âñòðå÷àë â ëèòåðàòóðå è íà÷àë âñïîìèíàòü ãäå.

Íåçàäîëãî äî ýòîãî áûëà èçäàíà êíèãà Ë. Ä. Ëàíäàó è Å. Ì. Ëèâøèöà ¾Ìåõàíèêàñïëîøíîé ñðåäû¿, â êîòîðîé óêàçàííûå âåëè÷èíû ó÷àñòâîâàëè â ôîðìóëàõ, îïèñû-âàþùèõ ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà (çàäà÷à Ðèìàíà). Ïîñëåýòîãî ìíå îñòàëîñü âíåñòè â ìîè èíòåðïîëÿöèîííûå ôîðìóëû íåçíà÷èòåëüíûå âèäî-èçìåíåíèÿ, ñóùåñòâåííûå ëèøü â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ñèëüíûõ âîëí ðàçðåæåíèÿ, ÷òîáûñõåìà ïðèíÿëà ñâîé îêîí÷àòåëüíûé âèä. Ýòî ñëó÷èëîñü â ìàðòå 1954 ã.  êîíöå ìàð-òà â íàøó ãðóïïó áûë âêëþ÷åí Â. Â. Ëóöèêîâè÷, êîòîðûé äîëæåí áûë íàïèñàòüïðîãðàììó ïî òåõíè÷åñêîìó çàäàíèþ, êîòîðîå ìû ñ íèì ñîñòàâèëè, ó÷èòûâàÿ ïî-ëåçíûå ðåêîìåíäàöèè Ê. À. Ñåìåíäÿåâà.  êîíöå àïðåëÿ ÿ óåõàë íà äâå íåäåëè âîòïóñê, à ñ ïÿòîãî ìàÿ ìû ïðèñòóïèëè ê ïðîâåäåíèþ êàê ýêñïåðèìåíòàëüíûõ, òàê èïðèêëàäíûõ ðàñ÷åòîâ.

4 íîÿáðÿ 1954 ã. ÿ çàùèùàë êàíäèäàòñêóþ äèññåðòàöèþ, ñîäåðæàâøóþ îïèñàíèåïðåäëîæåííîé ðàñ÷åòíîé ñõåìû. À âîò îïóáëèêîâàíà áûëà ýòà ðàáîòà ëèøü â 1959ã. Äî ýòîãî ÿ ïûòàëñÿ åå ïðåäñòàâèòü â ðÿä æóðíàëîâ, íî áåçóñïåøíî. Íàïðèìåðæóðíàë ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà¿ îòêàçàëñÿ åå ïóáëèêîâàòü, òàê êàêîíà ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ è íå èìååò ê ìåõàíèêå íèêàêîãî îòíîøåíèÿ. Èç êàêîãî-òîìàòåìàòè÷åñêîãî æóðíàëà (ÿ çàáûë, êàêîãî èìåííî) îòêàç ïðèøåë ñ ïðÿìî ïðîòè-âîïîëîæíûì óòâåðæäåíèåì. Ïîñëå ýòîãî È. Ã. Ïåòðîâñêèé êàê ÷ëåí ðåäêîëëåãèèîðãàíèçîâàë ýòó ïóáëèêàöèþ â æóðíàëå ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê¿ (ñì. [15]).

Ñî ñòàòüåé Ï. Ä. Ëàêñà [14] ÿ îçíàêîìèëñÿ óæå ïîñëå çàùèòû äèññåðòàöèè. Îò-ìåòèâ ñîâïàäåíèå îïèñàííîé â íåé ñõåìû ñî ñõåìîé À. È. Æóêîâà, ÿ çàìåòèë, ÷òîâ ñòàòüå íå áûëî íèêàêèõ ñîìíèòåëüíûõ ãèïîòåç, êîòîðûìè îò÷åò À. È. Æóêîâàèçîáèëîâàë è ïðè àíàëèçå êîòîðûõ ÿ ñìîã ïîñòðîèòü ñâîþ ñõåìó. Åñëè áû ýòà ñòàòüÿïîïàëà â ìîè ðóêè íà ãîä ðàíüøå, ¾ñõåìà Ãîäóíîâà¿ íå ïîÿâèëàñü áû íà ñâåò.

8

�2. Ïðîáëåìû àïïðîêñèìàöèè è ýôôåêòèâíîé òî÷íîñòè

Íà ñàìîì äåëå ðàáîòà íàä ñõåìîé, êîòîðàÿ èçîáðåòåíà â 1954 ã., àêòèâíî ïðî-äîëæàëàñü è â äàëüíåéøåì. Ê ìîåé ñõåìå ó ïîòðåáèòåëåé ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ âñåâðåìÿ áûëî î÷åíü íàñòîðîæåííîå îòíîøåíèå.

 íàøåì èíñòèòóòå) à òî÷íåå â ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èì. Â. À. Ñòå-êëîâà,èç êîòîðîãî èíñòèòóò èì. Ì. Â. Êåëäûøà âûäåëèëñÿ â 1953 ã., îñíîâíûå ãèäðîäèíà-ìè÷åñêèå ðàñ÷åòû áûëè îðãàíèçîâàíû çàäîëãî äî ìîåãî òàì ïîÿâëåíèÿ Ê. À. Ñåìåí-äÿåâûì. Îíè ïðîâîäèëèñü íà ýëåêòðè÷åñêèõ àðèôìîìåòðàõ ¾Ìåðñåäåñ¿ íà îñíîâåìåòîäà õàðàêòåðèñòèê áîëüøîé ãðóïïîé ñîòðóäíèö. Àëãîðèòì áûë òùàòåëüíî îòðà-áîòàí Ê. À. Ñåìåíäÿåâûì è À. È. Æóêîâûì. Ïðè ýòîì îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿëîñüôîðìå òàáëèö, â êîòîðûõ ðåãèñòðèðîâàëèñü ðåçóëüòàòû, è ñîêðàùåíèþ ÷èñëà ïðî-ìåæóòî÷íûõ çàïèñåé. Ýòî ñîêðàùåíèå îáåñïå÷èâàëîñü çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ ÿ÷ååêïàìÿòè (øïàéõåðîâ), êîòîðûìè áûëè îñíàùåíû àðèôìîìåòðû ¾Ìåðñåäåñ¿. Ðåçóëü-òàòû îáÿçàòåëüíî íàíîñèëèñü íà ãðàôèêè, ïîäâåðãàâøèåñÿ òùàòåëüíîìó êîíòðîëþ.

Òåõíèêà ðàñ÷åòîâ áûëà äîâåäåíà äî ïîëíîãî àâòîìàòèçìà. Âû÷èñëèòåëüíèöû èã-ðàëè íà êëàâèøàõ àðèôìîìåòðîâ êàê ïèàíèñòû, îäíîâðåìåííî áóðíî îáñóæäàÿ õî-çÿéñòâåííûå è ïðî÷èå ïðîáëåìû, âûçûâàþùèå ïîâûøåííûé æåíñêèé èíòåðåñ. Îñî-áåííî äîñòàâàëîñü âíîâü ïîÿâèâøèìñÿ ðîáêèì ìîëîäûì ñîòðóäíèêàì òåîðåòè÷åñêîãîñåêòîðà, ñðåäè êîòîðûõ áûë è ÿ. Íàñ íàçûâàëè ïðåçðèòåëüíûì ñëîâîì ¾Íàóêà¿. Âû-ñêàçûâàëèñü ïîäîçðåíèÿ, ÷òî ïðè ðàçáîðå âñåâîçìîæíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ íåïðèÿò-íîñòåé ìû ñòðîèì ñ ãëóáîêîìûñëåííûì âèäîì ïñåâäîíàó÷íûå îáúÿñíåíèÿ, êîòîðûåîêàçûâàþòñÿ áåñïîëåçíûìè äëÿ ïðåîäîëåíèÿ òåõ òðóäíîñòåé, êîòîðûå ïðèâîäÿò êîñòàíîâêå èëè çàìåäëåíèþ íàëàæåííîãî ïðîöåññà ñåðèéíûõ âû÷èñëåíèé. Íàäî èìåòüâ âèäó, ÷òî âû÷èñëèòåëüíèöàì ïëàòèëè çà îáúåì ïðîäåëàííûõ âû÷èñëåíèé, êîòîðûéîïðåäåëÿëñÿ ïî ÷èñëó çàïîëíåííûõ ãðàô â òàáëèöå. Ïðè÷åì âñå ðàñ÷åòû, â êîòîðûõáûëè îøèáêè, ïðè ýòîì ïîäñ÷åòå íå ó÷èòûâàëèñü.

Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòîâ íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå áûëî âñåãäàî÷åíü êà÷åñòâåííûì è ñîäåðæàëî íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå ïîëåé ñêîðîñòè, äàâëåíèÿ,ïëîòíîñòè, à òàêæå òðàåêòîðèé êîíòàêòíûõ ðàçðûâîâ è õàðàêòåðèñòèê, ïî êîòîðûììîæíî áûëî ñëåäèòü çà îáëàñòÿìè âëèÿíèÿ òåõ èëè èíûõ îñîáåííîñòåé íà÷àëüíûõäàííûõ.

Ïîòðåáèòåëè âû÷èñëèòåëüíîé ïðîäóêöèè � ôèçèêè è èíæåíåðû � ïðèâûêëè êèäåàëüíîìó âíåøíåìó âèäó ïîëó÷àåìîé èíôîðìàöèè, è ýòî áûëî ïîâîäîì ê íåóäî-âîëüñòâèþ, êîòîðîå îíè ñòàëè èñïûòûâàòü ê ïåðâûì ðåçóëüòàòàì ìàøèííûõ ðàñ÷å-òîâ ïî ðàçíîñòíûì ñõåìàì. Êàê ýòî òåïåðü õîðîøî âñåì èçâåñòíî, ðàçíîñòíûå ðàñ-÷åòû ðàçðûâíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè èçîáèëóþò áîëüøèì ÷èñëîìïðîÿâëåíèé èìåííî ¾ðàçíîñòíîé¿ ìèêðîñòðóêòóðû, êîòîðûå âûãëÿäÿò êàê ïîãðåø-íîñòè, èñêàæàþùèå êàðòèíó òå÷åíèÿ. Ïðè ñðàâíåíèè ìàøèííûõ âûäà÷ ñ ïðèëèçàí-íûìè ãðàôèêàìè èç ¾ðó÷íûõ¿ ðàñ÷åòîâ ýòè ðàçíîñòíûå ýôôåêòû âûçûâàëè ó ïî-òðåáèòåëåé íåïðèÿòíûå âïå÷àòëåíèÿ, ïðèâîäèëè ê óòâåðæäåíèÿì, ÷òî â ïðîãðàììåãðóáûå îøèáêè èëè ðàñ÷åò âûïîëíåí ïî îøèáî÷íûì èñõîäíûì äàííûì. Íàì ïðè-õîäèëîñü ïðåäïðèíèìàòü áîëüøèå óñèëèÿ, ÷òîáû àíàëèçèðîâàòü âñå ýòè ïðåòåíçèè,îáúÿñíÿòü èõ è ëèáî óêàçûâàòü ïðàâèëà îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ïåðåä âêëþ÷åíèåìâ îêîí÷àòåëüíûé îò÷åò òàê, ÷òîáû ïðè ýòîì óäàëèòü íåêîòîðûå ¾ïàðàçèòè÷åñêèå¿ýôôåêòû, ëèáî âíîñèòü â ðàñ÷åòíóþ ñõåìó òå èëè èíûå ìîäåðíèçàöèè.

ß îñòàíîâëþñü ñåé÷àñ íà äâóõ ïðèìåðàõ òàêîãî ðîäà, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñ ìîåéòî÷êè çðåíèÿ íàèáîëüøèé èíòåðåñ.

9

Ïðè ðàñ÷åòàõ ñèëüíûõ èçýíòðîïè÷åñêèõ âîëí ðàçðåæåíèÿ ïî ìîåé ñõåìå íàáëþ-äàåòñÿ çíà÷èòåëüíûé ðîñò ýíòðîïèè, êîòîðûé ïîñòîÿííî ñëóæèë èñòî÷íèêîì íåïðè-ÿçíè ê ðåçóëüòàòàì ðàçíîñòíûõ ðàñ÷åòîâ. Ñóùåñòâåííîå ñíèæåíèå ýòîãî ýôôåêòàáûëî çàìå÷åíî òîëüêî ÷åðåç òðè-÷åòûðå ãîäà (â 1957-1958 ãã.), êîãäà ìû ïðèñòóïèëèê ðàñ÷åòó äâóìåðíûõ çàäà÷. Äåëî â òîì, ÷òî òàêèå çàäà÷è, êàê ïðàâèëî, íå ïîääà-þòñÿ ïðîñòîé ôîðìóëèðîâêå â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ, è íàì ïðèøëîñü ïåðåéòèê èñïîëüçîâàíèþ êîîðäèíàò ýéëåðîâûõ. Ïðè ýòîì, ïðàâäà, ïðèøëîñü óñëîæíèòü èðàñ÷åòíûå ñåòêè � ñäåëàòü èõ äâèæóùèìèñÿ. Îñíîâíàÿ èäåÿ � èñïîëüçîâàíèå âêà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû òî÷íûõ ðåøåíèé çàäà÷è Ðèìàíà (çàäà÷à îðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà) � îêàçàëàñü ïðèìåíèìîé è çäåñü, â äâóìåðíûõ çà-äà÷àõ, õîòÿ è íå ñòîëü ïðîçðà÷íûì ïóòåì.  êà÷åñòâå ïåðâûõ òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâáûëî ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ðàíåå ðàññ÷èòàííûõ îäíîìåðíûõ çàäà÷ ñ èõ ïîâòîðåíèåì,êîãäà âû÷èñëåíèÿ âåëèñü óæå ñ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî ÷òî íàïèñàííûõ äâóìåðíûõïðîãðàìì. Êàêîâî æå áûëî íàøå óäèâëåíèå, êîãäà ìû óâèäåëè, ÷òî äâóìåðíûå ïðî-ãðàììû, èñïîëüçóþùèå ýéëåðîâû êîîðäèíàòû, ïðèâîäÿò ê ñóùåñòâåííî ìåíüøåìó¾ïàðàçèòè÷åñêîìó¿ ïîâûøåíèþ ýíòðîïèè â âîëíàõ ðàçðåæåíèÿ.

Ïðè÷èíà ýòîãî ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû (äàæå â ïðî-ñòåéøåì îäíîìåðíîì ñëó÷àå) íåïðèãîäíû äëÿ ôîðìóëèðîâêè ïîíÿòèÿ ¾îáîáùåííûåðåøåíèÿ¿ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè. Ýòè óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò ïðè íåêîòîðûõ íà-÷àëüíûõ äàííûõ ïîÿâëåíèå ïîëîñòåé, íå çàïîëíåííûõ ñðåäîé, � çîí âàêóóìà, êîòî-ðûå â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ èçîáðàæàþòñÿ íàëè÷èåì ó ðåøåíèÿ îñîáåííîñòåéòèïà äåëüòà-ôóíêöèè. Òàêèå îñîáåííîñòè ó îáîáùåííûõ ðåøåíèé îáû÷íî íå ïðåäó-ñìàòðèâàþòñÿ è ïðè ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè î÷åíü ïëîõî ìîäåëèðóþòñÿ. Àíàëèçðàñ÷åòîâ ïîêàçàë, ÷òî äàæå ñóùåñòâåííîå óìåíüøåíèå øàãà ïî ëàãðàíæåâîé êîîð-äèíàòå â çîíå ñèëüíîãî ðàçðåæåíèÿ ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðèâîäèò ê çàìåòíîìóóìåíüøåíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýéëåðîâûìè êîîðäèíàòàìè ñîñåäíèõ òî÷åê ðàçíîñò-íîé ñåòêè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî áûëî ìíîé èñïîëüçîâàíî â â 1961 ã. â òåîðåòè÷åñêîéðàáîòå [16], ãäå ìíå óäàëîñü äàòü îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî ìîÿ ñõåìà äåéñòâèòåëüíîàïïðîêñèìèðóåò (êîãäà èñïîëüçóþòñÿ ýéëåðîâû êîîðäèíàòû) â ñìûñëå çàêîíîâ ñî-õðàíåíèÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè (îäíîìåðíûé ñëó÷àé). Íà÷èíàÿ ýòó ðàáîòó, ÿíàäåÿëñÿ äîêàçàòü è ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé ê òî÷íîìó ðåøåíèþ, íî ìíåýòî íå óäàëîñü. Äàæå îáîñíîâàííûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè îêàçàëñÿ îòëè÷íûì îòïåðâîãî è ðàâíûì 2/3. Íàïîìíþ, ÷òî ôîðìàëüíî, íà îñíîâå ïåðâîãî äèôôåðåíöè-àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîÿ ñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè. ß äîëæåíîòìåòèòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè â äåéñòâèòåëüíîñòè, âåðîÿòíî,âûøå, ÷åì 2/3. Ïî-âèäèìîìó, èç îöåíîê âàðèàöèè ðåøåíèÿ, ïðåäëîæåííûõ âïîñëåä-ñòâèè Äæ. Ãëèìîì [17], ìîæíî âûâåñòè, ÷òî ýòîò ïîðÿäîê, êàê è êàçàëîñü, ðàâåíåäèíèöå. Ê ñîæàëåíèþ ÿ ïîäðîáíî ýòîò âîïðîñ íå èññëåäîâàë. Îäíàêî â êîíöå 50-õãîäîâ ìåíÿ èíòåðåñîâàë â îñíîâíîì íå âîïðîñ îá àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèé, à î òî÷-íîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé (ò. å. î òîì, êàêîé ñòåïåíüþ ðàçíîñòíîãî øàãà íàäîîöåíèâàòü ïîãðåøíîñòü-� îòëè÷èå ðåçóëüòàòà ðàñ÷åòà îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ). Ïîëó-÷åííûå îöåíêè äëÿ àïïðîêñèìàöèè èãðàëè ïîäãîòîâèòåëüíóþ ðîëü äëÿ òåîðåòè÷å-ñêèõ èññëåäîâàíèé, êîòîðûå ìíå íå óäàëîñü çàâåðøèòü. Íåñìîòðÿ íà ýòî, â 1957-1958ãã. ÿ âìåñòå ñ Â. Ñ. Ðÿáåíüêèì ïðîâåë ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ïîðÿäêà ñõîäè-ìîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé, âû÷èñëåííûõ ïî ìîåé ñõåìå ê ðåøåíèþ òî÷íîìó. ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèé íàä ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ ÿ ïðèøåë ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òîñõîäèìîñòü íàäî ïîíèìàòü êàê ¾ñëàáóþ¿ à íå ¾ñèëüíóþ¿, ÷òîáû íà íåå íå âëèÿëè

10

âîçíèêàþùèå èíîãäà ñèëüíûå îòêëîíåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå íà îäíîé-òðåõ ðàçíîñò-íûõ òî÷êàõ. Âîçíèêíîâåíèå ýòèõ îòêëîíåíèé îáû÷íî ñâÿçàíî ñî ñòîëêíîâåíèåì äâóõóäàðíûõ âîëí èëè îòðàæåíèåì óäàðíîé âîëíû îò êîíòàêòíîé ãðàíèöû.

Âî âðåìÿ íàøèõ äèñêóññèé ïî ýòîìó ïîâîäó Â. Ñ. Ðÿáåíüêèé ïðåäëîæèë ïðè-åì, ïîçâîëÿþùèé â îäíîìåðíûõ çàäà÷àõ ñâåñòè èçó÷åíèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè ê èçó-÷åíèþ ñõîäèìîñòè ñèëüíîé. Äëÿ ýòîãî íàäî ñðàâíèâàòü íå ñàìè ãðàôèêè âåëè÷èíóïðàâëÿåìûõ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ, à èíòåãðàëû (èëè äàæå ïîâòîðíûå èíòåãðàëû)ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå îò ýòèõ âåëè÷èí. Ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ïðè ýòîìíàì óäàñòñÿ ïðîäåìîíñòðèðîâàòü íàëè÷èå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñëàáîé ñõîäèìîñòè, ò. å.ïîðÿäêà, ñîãëàñîâàííîãî ñ ôîðìàëüíûì ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè. Êàêîâî æå áûëîíàøå óäèâëåíèå, êîãäà ýêñïåðèìåíòû ïî ðàñ÷åòó òå÷åíèé, ñîäåðæàùèõ öåíòðèðîâàí-íûå âîëíû ðàçðåæåíèÿ, èëè çàäà÷, â êîòîðûõ áûëè áîëüøèå ãðàäèåíòû â ãëàäêèõîáëàñòÿõ, îãðàíè÷åííûõ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè, ïðèâåëè íàñ ê âûâîäó, ÷òî ýôôåê-òèâíî íàáëþäàåìûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ìåíüøå ïåðâîãî.

 òî âðåìÿ ìû áûëè íàñòîëüêî çàãðóæåíû ðàáîòîé, ÷òî ó íàñ íå õâàòèëî ñèë äëÿòîãî, ÷òîáû êàê ñëåäóåò îôîðìèòü íàøè âûâîäû â âèäå ïîäðîáíîé ñòàòüè, òåì áîëåå,÷òî ýòè âûâîäû áûëè íàì (ìíå ëè÷íî âî âñÿêîì ñëó÷àå) î÷åíü íåïðèÿòíû è íå îò-âå÷àëè íàøèì îæèäàíèÿì. ß îãðàíè÷èëñÿ òåì, ÷òî ñäåëàë ïî ýòîìó ïîâîäó êðàòêîåñîîáùåíèå íà îäíîé èç íàó÷íûõ êîíôåðåíöèé, ïðîâîäèâøèõñÿ â Ìîñêîâñêîì óíèâåð-ñèòåòå. Íà ìîé âçãëÿä, ïî÷òè íèêòî íå îáðàòèë íà ýòî ñîîáùåíèå íèêàêîãî âíèìàíèÿ.Ëèøü Í. Ñ. Áàõâàëîâ, çàèíòåðåñîâàâøèñü èì, ïðîâåë òåîðåòè÷åñêîå èçó÷åíèå ñêî-ðîñòè ñõîäèìîñòè ïðè ε → 0 ðåøåíèé óðàâíåíèé Áþðãåðñà

∂u

∂t+ u

∂u

∂x= ε

∂2u

∂x2

è ïîëó÷èë îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïîðÿäêà ε| ln ε|.  òî æå âðåìÿ, ìîè ïîïûòêè ïðèâëå÷üê çàìå÷åííûì ýôôåêòàì âíèìàíèå âû÷èñëèòåëåé, ïðîâîäÿùèõ ñåðèéíûå ðàñ÷åòû, èèíæåíåðîâ, ýòèìè ðàñ÷åòàìè ïîëüçóþùèõñÿ, íèêàêîãî óñïåõà íå èìåëè.

Îñíîâíûå ñèëû ó ìåíÿ è ó ðàáîòàâøèõ ñî ìíîé êîëëåã À. Â. Çàáðîäèíà, Ê. À.Áàãðèíîâñêîãî, Ã. Á. Àëàëûêèíà â ýòîò ïåðèîä îòíèìàëè ðàáîòû ïî ïîäãîòîâêå äâó-ìåðíûõ ðàñ÷åòîâ, î ÷åì ÿ ïîïûòàþñü ðàññêàçàòü íèæå. Ïîýòîìó âîïðîñ î òîì, äàåòëè ñõåìà ïåðâîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïåðâûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè, à òî÷íåå � îòîì êàêîâ ýòîò ïîðÿäîê, òàê è îñòàëñÿ íåðàçîáðàííûì.

ß çíàþ, ÷òî â äàëüíåéøåì â ðàáîòàõ Á. Âàí-Ëååðà, Ð. Âóäâîðäà, Êîëåëà, Ï. Ä.Ëàêñà, À. Õàðòåíà è ìíîãèõ äðóãèõ (ñì., íàïðèìåð, [18, 19, 20, 21]) ïîÿâèëèñüïðåäëîæåíèÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå ðàñ÷åòíûå ñõåìû ñ áîëåå âûñîêèì, ÷åì ïåð-âûé, ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè. Êîãäà ýòè ðàáîòû ïîÿâèëèñü, ÿ óæå óøåë èç Èíñòè-òóòà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè â Ìîñêâå, ïåðååõàë â Íîâîñèáèðñê, è êðóã âîïðîñîâ,â êîòîðûå ÿ îêàçàëñÿ ïîãðóæåí, ñìåíèëñÿ. Ñðåäè ýòèõ âîïðîñîâ îñíîâíîå ìåñòî çà-íèìàëè çàäà÷è, âîçíèêøèå åùå âî âðåìÿ ðàáîòû â Ìîñêâå è òðåáîâàâøèå ãëóáîêèõòåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ýòî áûëè, â ÷àñòíîñòè, âîïðîñû îá àêêóðàòíîé ìàòå-ìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è òåðìîäèíàìè÷åñêèõ òîæäåñòâ, îáèíòåãðàëàõ ýíåðãèè äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, î ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíîéôîðìóëèðîâêå çàêîíîâ òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè, à òàêæå î ïîñòàíîâêå âû÷èñëèòåëüíûõçàäà÷ â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ ëèíåéíîé àëãåáðû. ß óæå îòìå÷àë, ÷òî ýòîò ïîñëåäíèéâîïðîñ âîçíèê èç èññëåäîâàíèé ïî ïîñòðîåíèþ äâóìåðíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èññëå-äîâàíèÿ âñåõ ýòèõ ìíîãî÷èñëåííûõ è èíòåðåñíûõ âîïðîñîâ (ïî ýòîìó ïîâîäó ñì.[22, 23]) îòâëåêëè ìåíÿ îò èçó÷åíèÿ ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ è íå ïîçâîëèëè ãëóáîêî

11

âíèêíóòü â èçó÷åíèå ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì ãàçîâîé äèíàìèêè, íåêîòî-ðûå èç êîòîðûõ íîñÿò íàçâàíèå ¾ðàçíîñòíûå ñõåìû Ãîäóíîâà âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷-íîñòè¿. Ñî âñåé îòâåòñòâåííîñòüþ çàÿâëÿþ, ÷òî ÿ íå ìîãó ñ÷èòàòü ñåáÿ èõ àâòîðîì.Âîçìîæíî, èõ àâòîðû âäîõíîâèëèñü ìîèì ïðåäëîæåíèåì èñïîëüçîâàòü â êîíñòðóê-öèè ñõåìû òî÷íûõ ðåøåíèé ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. ß ñ÷èòàþ ñâîèì ïðèÿòíûì äîëãîìñåðäå÷íî ïîáëàãîäàðèòü èõ çà âíèìàíèå, êîòîðîå îíè ìíå îêàçûâàþò.

Ñîâñåì íåäàâíî, ãîäà äâà òîìó íàçàä, ÿ óçíàë, ÷òî Â. Â. Îñòàïåíêî (Íîâîñèáèð-ñêèé èíñòèòóò ãèäðîäèíàìèêè èì. Ì. À. Ëàâðåíòüåâà ÑÎ ÐÀÍ) àêòèâíî çàíèìàåòñÿâîïðîñîì îá ýôôåêòèâíîé òî÷íîñòè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ðàçíîñòíûõ ñõåì, îñíîâûâà-ÿñü íà àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèÿõ. ß ïîñîâåòîâàë åìó âìåñòî î÷åíü ãðîìîçäêèõàíàëèòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ïðîâåñòè ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå ïî ñõåìå, êî-òîðóþ ìû ñ Â. Ñ. Ðÿáåíüêèì ðàçðàáîòàëè â 1957-1958 ãã. ß íàäåÿëñÿ, ÷òî îí, â÷àñòíîñòè, ïîâòîðèò íàøè ýêñïåðèìåíòû, è ÷òî âñëåäñòâèå ýòîãî îíè áóäóò íàêîíåöäîâîëüíî äåòàëüíî îïèñàíû. Îäíàêî Â. Â. Îñòàïåíêî ñîñðåäîòî÷èë ñâîå âíèìàíèå íàèññëåäîâàíèè áîëåå ñîâðåìåííîé ñõåìû Ëàêñà � Õàðòåíà [19, 21], ãäå òàêæå áûëîîáíàðóæåíî íåñîîòâåòñòâèå ôîðìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè è ýôôåêòèâíîãîïîðÿäêà òî÷íîñòè (ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè).  òî æå âðåìÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðå-çóëüòàòîâ Â. Â. Îñòàïåíêî, ïî-âèäèìîìó, ñëåäóåò, ÷òî â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòèòî÷íîñòü ñõåìû Ëàêñà � Õàðòåíà íà ðàçðûâíûõ ðåøåíèÿõ íå íèæå ïåðâîãî ïîðÿäêàòî÷íîñòè, ò. å. ýòà òî÷íîñòü âûøå, ÷åì ó ìîåé îðèãèíàëüíîé ñõåìû.

Íà ìîé âçãëÿä, ñåé÷àñ èíòåðåñíî ïðîâåñòè ìàññîâîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäî-âàíèå òî÷íîñòè âñåõ îñíîâíûõ ïðèìåíÿåìûõ ðàñ÷åòíûõ ìåòîäîâ. Îñîáåííî èíòåðåñíîòàêîå èçó÷åíèå äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ çàäà÷, äëÿ ðàáîòû ñ êîòîðûìè åùå ïðåä-ñòîèò ðàçðàáàòûâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ýêñïåðèìåíòàëüíóþ ìåòîäèêó.

Íàäî îòìåòèòü, ÷òî äîâîäêà ïðåäëîæåííîé ìíîþ âû÷èñëèòåëüíîé ñõåìû äî îêîí-÷àòåëüíîé êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû îñóùåñòâëÿëàñü ïðè àêòèâíîì ó÷àñòèè Ê. À.Ñåìåíäÿåâà, ÷åé îïûò, íåñîìíåííî, ñïîñîáñòâîâàë óñïåõó.

�3. Äâóìåðíûå çàäà÷è è ïîäâèæíûå ñåòêè

Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ðàáîòà íàä îäíîìåðíîé ìåòîäèêîé åùå ïðîäîëæàëàñü, ÿñòàë çàäóìûâàòüñÿ íàä òåì, êàê ñîçäàòü åå äâóìåðíûé âàðèàíò. Ïîïûòêè ðåøàòüäâóìåðíûå ãàçîäèíàìè÷åñêèå çàäà÷è äåëàëèñü åùå â ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èì.Â. À. Ñòåêëîâà è ñðàçó ïîñëå îáðàçîâàíèÿ íàøåãî íîâîãî èíñòèòóòà Ê. È. Áàáåí-êî, È. Ì. Ãåëüôàíäîì. Âîçíèêàþùèå òðóäíîñòè îáû÷íî îáñóæäàëèñü íà ñåìèíàðå ñó÷àñòèåì Ì. Â. Êåëäûøà.  ÷àñòíîñòè, âî âðåìÿ ýòèõ ðàáîò è ñîïóòñòâóþùèõ îáñóæ-äåíèé ïîÿâèëèñü ðàçíîñòíûå ñõåìû, ÿâíûå ïî îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîéè íåÿâíûå ïî äðóãîé (¾êîëáàñû¿), ïîÿâèëñÿ ïðåäëîæåííûé Ì. Â. Êåëäûøåì è èñ-ñëåäîâàííûé Ê. È. Áàáåíêî è Í. Í. ×åíöîâûì ïåðâûé âàðèàíò ìåòîäà ìàòðè÷íîéïðîãîíêè. Ìíîãî äèñêóññèé âûçâàëî îáñóæäåíèå äîêëàäà Î. Â. Ëîêóöèåâñêîãî, ïî-ñâÿùåííîå èçëîæåíèþ ãëàâû î íåóñòîé÷èâîñòè êîíòàêòíîãî ðàçðûâà èç êíèãè Ðåëåÿ¾Òåîðèÿ çâóêà¿. Äåëî â òîì, ÷òî êîíòàêòíûé ðàçðûâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè äåôîðìè-ðóåòñÿ ïî çàêîíó, îïèñûâàåìîìó äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, äëÿ êîòîðûõçàäà÷à Êîøè íåêîððåêòíà â ñìûñëå Àäàìàðà (à íå òîëüêî åå ðåøåíèÿ íåóñòîé÷èâû).Íåêîððåêòíîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî êîðîòêèå âîëíû î÷åíü áûñòðî óâåëè÷èâà-þò ñâîþ àìïëèòóäó è òåì áûñòðåå, ÷åì ìåíüøå äëèíà âîëíû. Ïîä íåóñòîé÷èâîñòüþæå ïîíèìàþò àíàëîãè÷íîå ÿâëåíèå, íî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè õàðàêòåðíîå âðåìÿ, çàêîòîðîå óâåëè÷èâàåòñÿ àìïëèòóäà, äëÿ âñåõ äëèí âîëí îãðàíè÷åíà. Ñ÷èòàëîñü, ÷òîïðîöåññû, ðàçâèòèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè, íåêîððåêòíûìè ïî Àäàìàðó,

12

íå ìîãóò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ðàçíîñòíûì ñõåìàì, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ýòè ñõåìûäîëæíû îêàçàòüñÿ íåóñòîé÷èâûìè. Îáñóæäàëñÿ âîïðîñ î ïðèíóäèòåëüíîé ðåãóëÿ-ðèçàöèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà êîíòàêòíîì ðàçðûâå, íî ÿ íå ïðèïîìèíàþ, ÷òîáûêàêîé-ëèáî îïðåäåëåííûé âàðèàíò òàêîé ðåãóëÿðèçàöèè áûë ðàçðàáîòàí.

Ïîä âïå÷àòëåíèåì îò âñåõ ýòèõ äèñêóññèé ó ìåíÿ âîçíèê ïàíè÷åñêèé ñòðàõ ïå-ðåä çàäà÷àìè, â êîòîðûõ ìîãóò âîçíèêíóòü êîíòàêòíûå ðàçðûâû. Îäíàêî â òî âðåìÿáîëüøîé èíòåðåñ âûçûâàëè çàäà÷è, êîòîðûå ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü êàê ïî÷òèîäíîìåðíûå, ò. å. çàäà÷è ñî ñëàáî èñêðèâëåííûìè óäàðíûìè è çâóêîâûìè âîëíàìèè ïî÷òè ïëîñêèìè êîíòàêòíûìè ðàçðûâàìè. Ìíå ïîêàçàëîñü, ÷òî äëÿ ýòîãî êëàññàçàäà÷ ìîæíî áóäåò ïðèìåíèòü íåñëîæíîå îáîáùåíèå ìîåé ñõåìû è ÿ âçÿëñÿ çà ðàç-ðàáîòêó òàêîãî îáîáùåíèÿ. Ìîå ðåøåíèå áûëî ïîääåðæàíî Ì. Â. Êåëäûøåì è È.Ì. Ãåëüôàíäîì.  ðàáîòå íàä ñîçäàíèåì ïåðâîãî âàðèàíòà àëãîðèòìà ó÷àñòâîâàëèñíà÷àëà òàêæå Ê. À. Áàãðèíîâñêèé è Ã. Á. Àëàëûêèí. Çàòåì ê íàì ïðèñîåäèíèëñÿÀ. Â. Çàáðîäèí. Ïðîãðàììû ðàçðàáàòûâàëèñü îïÿòü Â. Â. Ëóöèêîâè÷åì ïðè ó÷àñòèèÃ. Í. Íîâîæèëîâîé. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ïîñëå òîãî, êàê äâóìåðíûå ïðîãðàììûáûëè ñîñòàâëåíû, ðåøàåìûå ïî íèì çàäà÷è ñòàëè ïîä äàâëåíèåì èíæåíåðíûõ èí-òåðåñîâ óñëîæíÿòüñÿ. Ýòè óñëîæíåíèÿ âûçâàëè â ñâîþ î÷åðåäü óñîâåðøåíñòâîâàíèåïðîãðàìì è ýëåìåíòîâ ðàñ÷åòíîé ìåòîäèêè. Ïðè âñåõ ýòèõ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿõ ìûñîâñåì çàáûëè î ãëàâíîé îïàñíîñòè � î íåêîððåêòíîñòè êîíòàêòíîãî ðàçðûâà. Ýòàíåêîððåêòíîñòü íà ìîåé ïàìÿòè òàê ñåáÿ è íå ïðîÿâèëà.

Ìíå äî ñèõ ïîð íåÿñíî, ïî÷åìó ìû íå ñòîëêíóëèñü ñ ïðîÿâëåíèåì ýòîé íåêîð-ðåêòíîñòè. Ïî-âèäèìîìó, ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ, ïðèìåíÿåìûå äëÿ ðàñ÷åòà äâèæå-íèÿ ãðàíèö, îáåñïå÷èâàþò íåêîòîðóþ ïðèíóäèòåëüíóþ èõ ðåãóëÿðèçàöèþ. Åñëè ýòîäåéñòâèòåëüíî òàê, òî âûçûâàåò áåñïîêîéñòâî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ìåõàíèçì ýòîéðåãóëÿðèçàöèè íàì íåèçâåñòåí, à ñëåäîâàòåëüíî, ìû íå â ñîñòîÿíèè ãàðàíòèðîâàòü,÷òî îíà íå âûçûâàåò êàêèõ-ëèáî ïîáî÷íûõ íåæåëàòåëüíûõ ýôôåêòîâ.

Íà ìîé âçãëÿä, äåòàëüíîå èçó÷åíèå àëãîðèòìîâ, ïðèìåíÿþùèõñÿ ïðè ðàñ÷åòå êîí-òàêòíûõ ðàçðûâîâ, è ñåé÷àñ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé. Ïðè ýòîì ìîæíî îæèäàòü,÷òî öåëûé ðÿä íîâûõ ýôôåêòîâ áóäåò îáíàðóæåí.

Íàäî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî è ðàñ÷åò âûäåëåííûõ óäàðíûõ âîëí, äâèæåíèå êîòîðûõâûçûâàåò ïåðåìåùåíèå òî÷åê äâóìåðíîé èëè òðåõìåðíîé ñåòêè, òàêæå íå èçó÷åíäî ñèõ ïîð íè òåîðåòè÷åñêè, íè ýêñïåðèìåíòàëüíî.ñ èñ÷åðïûâàþùåé ïîäðîáíîñòüþ.Çàâåäîìî íå èññëåäîâàíà îáðàòíàÿ ñâÿçü òàêîãî ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê íà äâèæåíèåâîëíû, íåò ÿñíîñòè â òîì, êàêèå ýôôåêòû ýòà îáðàòíàÿ ñâÿçü âûçûâàåò.

Ïåðâûé âîïðîñ, âîçíèêøèé ïðè ïîïûòêå ñîçäàòü äâóìåðíûé âàðèàíò ìåòîäèêè,îñíîâàííîé íà ðåøåíèÿõ çàäà÷è Ðèìàíà î ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà � ýòîâîïðîñ î ïîñòðîåíèè òàêèõ ðåøåíèé. Äåëî â òîì, ÷òî â äâóìåðíîì ñëó÷àå ïðÿìî-óãîëüíûå ñåòî÷íûå ÿ÷åéêè ìîãóò ñîñåäñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì íå òîëüêî ïî ðåáðàìðàçíîñòíîé ñåòêè, íî è ñîïðèêàñàòüñÿ â óçëàõ, ãäå ñîñåäñòâóþò ñðàçó ÷åòûðå ÿ÷åé-êè. Åñëè ñòðîèòü äâóìåðíóþ ñõåìó àáñîëþòíî àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîé, òî äëÿ ýòîãîïðèøëîñü áû èìåòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè ñ ÷åòûðüìÿðàçðûâàìè íà÷àëüíûõ äàííûõ, ñìûêàþùèìèñÿ â òî÷êå. Åñòåñòâåííî, ÷òî òàêèõ ðå-øåíèé â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè íå áûëî, äà è â íàñòîÿùåå âðåìÿ íå ñóùåñòâóåò, âîâñÿêîì ñëó÷àå äëÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé îáùåãî âèäà. Âîò òóò è âîçíèêëî íàõàëüíîåïðåäëîæåíèå îãðàíè÷èòüñÿ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷èÐèìàíà, ñîñòàâëåííûõ èç ïëîñêèõ âîëí è îïèñûâàþùèõ ðàñïàäû íà÷àëüíûõ ðàç-ðûâîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðåáðàõ, ðàçäåëÿþùèõ ñîñåäíèå ÿ÷åéêè. Âçàèìîäåéñòâèåì÷åòûðåõ ÿ÷ååê, èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó, ïðåäëàãàëîñü ïðåíåáðå÷ü. Ïðè ðåàëèçàöèè

13

ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ïðèõîäèëîñü îòêàçûâàòüñÿ îò òîé íàãëÿäíîé ôèçè÷åñêîé èíòåð-ïðåòàöèè, íà êîòîðîé áûëà îñíîâàíà êîíñòðóêöèÿ îäíîìåðíîé ñõåìû. Åñòåñòâåííî,÷òî ïðè îáñóæäåíèè ïðîåêòà, îñíîâàííîãî íà îïèñàííîì àâàíòþðèñòè÷åñêîì ïðåäëî-æåíèè, áûëî ìíîãî ñïîðîâ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ ïîÿâèëîñü ïðåäëîæåíèå ïðîâåñòèèñïûòàíèå ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ïóòåì ðàñ÷åòà óäàðíîé âîëíû èëè äàæå àêóñòè÷åñêîéâîëíû, èäóùåé â íàïðàâëåíèè äèàãîíàëè ñåòî÷íûõ ÿ÷ååê.  òîæå âðåìÿ, ïî ïðåäëî-æåíèþ È. Ì. Ãåëüôàíäà, äëÿ çàäà÷è îá àêóñòè÷åñêèõ âîëíàõ, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âíåïîäâèæíîé ñðåäå, Ë. Â. Áðóøëèíñêèé ïîñòðîèë ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ôóíêöèîíàëüíîèíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ðåøåíèå çàäà÷è î âçàèìîäåéñòâèè âñåõ ÿ÷å-åê, ïðèìûêàþùèõ ê îäíîé âåðøèíå. Ýòî ðåøåíèå áûëî èñïîëüçîâàíî â ðàñ÷åòíîéñõåìå, â òî÷íîñòè àíàëîãè÷íîé ñõåìå îäíîìåðíîé. Çàòåì ïî ñõåìå Ë. Â. Áðóøëèí-ñêîãî è ïî ïðåäëàãàåìîé ãðóáîé ìîäåëè áûëè ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû âîëí, èäóùèõ ïîíàïðàâëåíèþ ñåòî÷íîé äèàãîíàëè. Ê íàøåìó óäèâëåíèþ è óäîâîëüñòâèþ íèêàêèõñóùåñòâåííûõ ðàçëè÷èé ìû íå óâèäåëè. Ïîñëå ýòîãî èñïîëüçîâàëàñü òîëüêî ãðóáàÿìîäåëü. Ìíîãî ñèë áûëî ïîòðà÷åíî íà âûâîä êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñ ïîìîùüþêîòîðîãî îöåíèâàåòñÿ äîïóñòèìûé øàã ïî âðåìåíè ïðè çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâåííûõðàçìåðàõ ñåòêè. Ïåðâîíà÷àëüíî, èñïîëüçóÿ ìåòîä Ôóðüå, ìû ñ Ã. Á. Àëàëûêèíûìè Ê. À. Áàãðèíîâñêèì ïðèøëè ê êóáè÷åñêîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ èâûâåëè èç íåãî ëèøü íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè. Çàòåì ìíå ñ Ê.À. Áàãðèíîâñêèì óäàëîñü ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè, ðàññìàòðè-âàÿ ðåçóëüòàò äâóìåðíîãî ðàñ÷åòà êàê íåêîòîðîå óñðåäíåíèå ðàñ÷åòîâ îäíîìåðíûõèëè, êàê òåïåðü ïðèíÿòî ãîâîðèòü, íà îñíîâå ïðèíöèïà ¾ðàñùåïëåíèÿ¿. Ýòà ðàáîòà[24] áûëà îïóáëèêîâàíà â 1957 ã., êîãäà ïî íàøåé äâóìåðíîé ïðîãðàììå óæå áûëîïðîâåäåíî íåñêîëüêî íå ñëèøêîì ïðîñòûõ ðàñ÷åòîâ.

Èäåÿ èñïîëüçîâàòü ¾ðàñùåïëåíèå¿ âîçíèêëà ó íàñ ïîä âëèÿíèåì èññëåäîâàíèéäâóìåðíûõ íåÿâíûõ ñõåì äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, àíàëîãè÷íûõ òåì, êîòî-ðûå âïîñëåäñòâèè áûëè ïðåäëîæåíû Äæ. Äóãëàñîì è åãî ñîàâòîðàìè. Íî â òî âðåìÿìû îò èñïîëüçîâàíèÿ ¾ðàñùåïëåíèÿ¿ äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèîòêàçàëèñü.

Ïî àíàëîãèé ñ òåì, êàê ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ãàçîâîé äèíàìèêè è äëÿ àêóñòèêèîòáèðàëèñü ïî èõ ïîâåäåíèþ ïðè ðàñ÷åòå íàèáîëåå íåãëàäêèõ � ðàçðûâíûõ � ðåøå-íèé, ÿ ðåøèë èñïûòàòü ïðåäëîæåííûå òîãäà ìíîé ñõåìû ñ ðàñùåïëåíèåì äëÿ óðàâ-íåíèÿ ut = uxx + uyy íà ðåøåíèè çàäà÷è î äåôîðìàöèè ôîðìû òåïëîâîãî èìïóëüñà,âûçâàííîãî íà÷àëüíûì âûäåëåíèåì òåïëà â îäíîé ñåòî÷íîé ÿ÷åéêå. Èíûìè ñëîâàìè,ÿ ðåøèë òàêèì îáðàçîì ñìîäåëèðîâàòü ðåøåíèå, ÷òîáû ïî ïðîøåñòâèè íåêîòîðîãîâðåìåíè îíî íå ñóùåñòâåííî îòëè÷àëîñü îò

u(x, y, t) =const

texp

{−x2 + y2

4t

}.

Âî âñÿêîì ñëó÷àå ëèíèè óðîâíÿ ðàññ÷èòûâàåìîãî ðåøåíèÿ äîëæíû áûëè áûòü âû-ïóêëûìè êðèâûìè � ïî÷òè îêðóæíîñòÿìè.

Êàêèì æå áûëî ìîå èçóìëåíèå, êîãäà ïðè ðàñ÷åòå ñ ÷èñëîì Êóðàíòà

4t

4x2 +4y2≈ 10

ÿ óâèäåë, ÷òî ýòè ëèíèè óðîâíÿ, âî âñÿêîì ñëó÷àå íà íåñêîëüêèõ ïåðâûõ øàãàõ,îãðàíè÷èâàëè êðåñòîîáðàçíóþ îáëàñòü. Ýòî ÿâëåíèå ìåíÿ îòïóãíóëî òîãäà îò èñ-ïîëüçîâàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, îäíàêî ïðîâåäåííûåèññëåäîâàíèÿ ïîäòîëêíóëè ê ïðèìåíåíèþ ðàñùåïëåíèÿ íå òîëüêî â äîêàçàòåëüñòâå

14

óñòîé÷èâîñòè ðàçðàáàòûâàåìîé ñõåìû ðàñ÷åòà óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè, íî è êñîîòâåòñòâóþùåé îðãàíèçàöèè ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Ïåðâàÿ äâóìåðíàÿ ïðîãðàììà áûëà ñêîíñòðóèðîâàíà òàê, ÷òî íà ïîñëåäîâàòåëü-íûõ øàãàõ ïîî÷åðåäíî èñïîëüçîâàëèñü ïîòîêè, ðàññ÷èòàííûå ñ ïîìîùüþ îäíîìåðíîéìåòîäèêè òî ïî îäíîìó, òî ïî äðóãîìó ñåòî÷íîìó íàïðàâëåíèþ. Íèêàêèõ íåïðèÿò-íîñòåé ýòî íå âûçûâàëî, íî ìû â äàëüíåéøåì îòêàçàëèñü îò èñïîëüçîâàíèÿ â ýòèõçàäà÷àõ ñ ÿâíûìè ñõåìàìè îò èñïîëüçîâàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ ïî ïðåäëîæåíèþ Â. Â.Ëóöèêîâè÷à, êîòîðûé ñêàçàë, ÷òî ýòîò îòêàç ïîçâîëèò åìó óïðîñòèòü ïðîãðàììû èñäåëàòü èõ áîëåå áûñòðîäåéñòâóþùèìè. Äî ýòîãî íàì êàçàëîñü îáðàòíîå, à èìåííî,ìû áûëè ñíà÷àëà óâåðåíû, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ðàñùåïëåíèÿ ïðèâîäèò ê óïðîùåíèÿì.

ß óæå ãîâîðèë âûøå, ÷òî ïðè êîíñòðóèðîâàíèè äâóìåðíîé ìåòîäèêè ìû áûëèâûíóæäåíû îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò è ïåðåéòè ê êîîð-äèíàòàì ýéëåðîâûì. Íî ïðè ýòîì, ÷òîáû ñâÿçàòü ñåòêó ñ òåìè èëè èíûìè ïîäâèæíû-ìè ãðàíèöàìè, ïðèøëîñü ñåòêè ñäåëàòü äâèæóùèìèñÿ.  ÷àñòíîñòè, ýòî ïîçâîëèëîâêëþ÷èòü â ÷èñëî ãðàíèö è óäàðíûå âîëíû. Ïîëåçíîñòü ýòîãî áûëà ïðîäåìîíñòðèðî-âàíà, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàñ÷åòå îáòåêàíèÿ ñôåðû, îïèñàííîì â óæå öèòèðîâàâøåéñÿðàáîòå [6].

Íàäî îòìåòèòü, ÷òî â ïåðâûõ âàðèàíòàõ íàøèõ äâóìåðíûõ ìåòîäèê ìû ïîäõîäèëèê ïîñòðîåíèþ ñåòî÷íûõ ÿ÷ååê è ê íàïèñàíèþ ðàçíîñòíûõ ôîðìóë íà îñíîâå çàêîíîâñîõðàíåíèÿ ñ áîëüøîé îñòîðîæíîñòüþ è òùàòåëüíîñòüþ. Òàê, â êà÷åñòâå ãðàíèö ÿ÷å-åê èñïîëüçîâàëèñü äóãè ëîãàðèôìè÷åñêèõ ñïèðàëåé, à èíòåãðàëû ïî ÿ÷åéêàì, ýòèìèñïèðàëÿìè îãðàíè÷åííûì, âû÷èñëÿëèñü ïî òî÷íûì ôîðìóëàì. Ëèøü íåñêîëüêî ëåòñïóñòÿ ìû ïîçâîëèëè ñåáå èñïîëüçîâàòü óïðîùåííûå âàðèàíòû. Òÿæåëàÿ ðàáîòà ïîàíàëèòè÷åñêîìó âûâîäó ôîðìóë äëÿ íóæíûõ íàì èíòåãðàëîâ áûëà ïðîäåëàíà Ê. À.Áàãðèíîâñêèì è À. Â. Çàáðîäèíûì.

Åùå â îäíîìåðíûõ ðàñ÷åòàõ, âûïîëíÿâøèõñÿ â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ, ìûñòàðàëèñü ïîâûñèòü òî÷íîñòü òåì, ÷òî ñëåäèëè çà ïåðåìåùåíèåì íàèáîëåå ñèëüíûõóäàðíûõ âîëí. ×òîáû ýòè âîëíû íå ðàçìàçûâàëèñü, èõ êîîðäèíàòû îòìå÷àëèñü è ñå-òî÷íûå èíòåðâàëû, â êîòîðûõ îíè íàõîäèëèñü, äåëèëèñü íà äâå ÷àñòè. Ïðè ðàñ÷åòåïåðåìåùåíèÿ âûäåëåííîé âîëíû èñïîëüçîâàëèñü ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî. Ïîñëå òîãî,êàê ìû íà÷àëè èñïîëüçîâàòü ïîäâèæíûå ñåòêè à ýéëåðîâûõ êîîðäèíàòàõ, íåîáõîäè-ìîñòü ðàçëè÷àòü ãðàíèöû ðàçíûõ òèïîâ � ò. å. óäàðíûå âîëíû è ãðàíèöû ìàòåðè-àëüíûõ ñëîåâ (êîíòàêòíûå ðàçðûâû) îòïàëà. Ýòî óïðîñòèëî ëîãè÷åñêóþ ñòðóêòóðóàëãîðèòìîâ è ïîçâîëèëî ââåñòè ïî ïðåäëîæåíèþ À. Â. Çàáðîäèíà åùå íîâûé òèïãðàíèö, èìåþùèõ çàðàíåå çàäàííîå ïîëîæåíèå èëè äâèæóùèõñÿ ïî óêàçàííîìó çà-êîíó è íèêàê íå âëèÿþùèõ íà ñðåäó ÷åðåç íèõ ïðîòåêàþùóþ. Ýòè ãðàíèöû ïîëó÷èëèíàçâàíèå ýéëåðîâûõ.

Ñåòêè â îáëàñòÿõ, îãðàíè÷åííûõ ãðàíèöàìè ðàçíûõ òèïîâ ïðèâÿçûâàëèñü ê ýòèìãðàíèöàì è ðàññ÷èòûâàëèñü ïî òåì èëè èíûì íåñëîæíûì èíòåðïîëÿöèîííûì ôîð-ìóëàì. Êîíå÷íî, äâèæåíèå ãðàíèö âûçûâàëî íà êàæäîì øàãå è ïåðåìåùåíèå ñåòî÷-íûõ òî÷åê. Èñïîëüçîâàíèå ïðîãðàìì ñ òàêîãî ðîäà ìíîãîîáëàñòíîé ñòðóêòóðîé äàëîâîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü òî÷íîñòü íå áëàãîäàðÿ óëó÷øåíèþ ðàçíîñòíûõôîðìóë à âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñåòêè àäàïòèðîâàëèñü ê ñòðóêòóðå ðåøåíèÿ è òîãî,÷òî ñèëüíûå ðàçðûâû íå ïîäâåðãàëèñü ðàçìàçûâàíèþ. Ïðè ðàáîòå ñ ïðîãðàììàìèîïèñàííîé ñòðóêòóðû ó ìåíÿ âîçíèêëî æåëàíèå çàìåíèòü ðàñ÷åò ñåòêè ïî èíòåðïî-ëÿöèîííûì ôîðìóëàì â ãåîìåòðè÷åñêîé îáëàñòè ñ çàäàííûìè ãðàíèöàìè íà ðåøå-íèå êàêèõ-ëèáî äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ îòîáðàæåíèå, êîòîðîåïåðåâîäèò ýòó îáëàñòü â íåêîòîðóþ ñòàíäàðòíóþ, íàïðèìåð â ïðÿìîóãîëüíèê. Ýòó

15

çàäà÷ó ìû è ñòàëè èçó÷àòü ñ Ã. Ï. Ïðîêîïîâûì, ïîòðàòèâ äî ïåðâûõ ïðàêòè÷åñêèïðèåìëåìûõ ðåçóëüòàòîâ ëåò ñåìü (1961-1968) (ñì. [5, 25, 26]).

Ðàçìûøëåíèÿ íà òåìó î òîì, êàêèå êëàññû îòîáðàæåíèé äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿïðè ïîñòðîåíèè ñåòîê, çàíèìàþò ìåíÿ è äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè, õîòÿ ðàçíîñòíûìèñõåìàìè ÿ óæå äàâíî íå çàíèìàþñü (ñì. [27]).

Ñ ñàìîãî íà÷àëà ìû ñ Ã. Ï. Ïðîêîïîâûì ïîñòóëèðîâàëè, ÷òî îòîáðàæåíèÿ äîëæ-íû îïðåäåëÿòüñÿ êàê ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé è îñíîâíûå íàøèóñèëèÿ áûëè íàïðàâëåíû íà òî, ÷òîáû èõ ðàñ÷åò îêàçàëñÿ ýôôåêòèâíûì. Áûëî ðå-øåíî îïèðàòüñÿ íà âàðèàöèîííûé ïîäõîä, ðåàëèçóåìûé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîíå÷-íûõ ýëåìåíòîâ. Îäíàêî ïåðâîå èñïûòàíèå ýòîãî ïîäõîäà ìû íå ðåøèëèñü ñäåëàòü íàðàñ÷åòå ñåòîê â ãèäðîäèíàìè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè, òàê êàê ïðèýòîì ðåøàòü ýëëèïòè÷åñêóþ ñèñòåìó ïðèøëîñü áû íà êàæäîì âðåìåííîì øàãå. (Ìûîïàñàëèñü ÷ðåçâû÷àéíûõ çàòðàò âðåìåíè.) Áûëî ðåøåíî .ñíà÷àëà èñïîëüçîâàòü âà-ðèàöèîííûé ïîäõîä â êàêèõ-ëèáî ñòàöèîíàðíûõ çàäà÷àõ. À èìåííî, ìû ïðèìåíèëèíàøè ðàçðàáîòêè ê ðàñ÷åòó êðèòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ (ñì. [8]).ß óæå óïîìèíàë, ÷òî èìåííî âî âðåìÿ ýòèõ ïîáî÷íûõ äëÿ íàñ èññëåäîâàíèé ó ìå-íÿ âîçíèê èíòåðåñ ê ïðîáëåìàòèêå âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ ëèíåéíîé àëãåáðû. Ýòàïðîáëåìàòèêà ìåíÿ óâëåêëà, è ÿ åé ïîñâÿòèë â äàëüíåéøåì ñâîå îñíîâíîå âíèìàíèå.

Òîëüêî ïîñëå óñïåõà, äîñòèãíóòîãî â ðåøåíèè ñòàöèîíàðíûõ çàäà÷, ìû ðåøèëèñüñòðîèòü ñåòêè íà êàæäîì øàãó ïóòåì ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïåðâàÿäîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíàÿ ïðîãðàììà òàêîãî ðîäà íà÷àëà ðàáîòàòü â êîíöå 1968 �íà÷àëå 1969 ãã., è ïåðâàÿ ðàññ÷èòàííàÿ íà íåé çàäà÷à ëåãëà â îñíîâó ñòàòüè [28],ñîäåðæàùåé èçëîæåíèå äîêëàäà íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ïî ôèçèêå âçðûâà(Íîâîñèáèðñê, àâãóñò 1969). Äîêëàä áûë ïîñâÿùåí ïðîáëåìå âîëíîîáðàçîâàíèÿ ïðèñâàðêå âçðûâîì è ñîäåðæàë àíàëèç ýêñïåðèìåíòîâ, ïðîâîäèâøèõñÿ â Íîâîñèáèðñêîìèíñòèòóòå ãèäðîäèíàìèêè.

 ñåíòÿáðå 1969 ã. ÿ ïåðååõàë â Íîâîñèáèðñê è â äàëüíåéøåì ðàçíîñòíûìè ñõå-ìàìè óæå ïðàêòè÷åñêè íå çàíèìàëñÿ.

Ïî-âèäèìîìó, ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî, ðàçðàáàòûâàÿ ïîäâèæíûå ñåòêè äëÿ äâóìåð-íûõ ðàñ÷åòîâ, ìû îäíîâðåìåííî ïîïûòàëèñü èõ èñïîëüçîâàòü è â îäíîìåðíûõ ãèä-ðîäèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ âîçìîæíî áîëåå òî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ. Ïóòåìâûäåëåíèÿ â êà÷åñòâå ãðàíèö íå òîëüêî êîíòàêòíûõ ðàçðûâîâ è óäàðíûõ âîëí, íîè õàðàêòåðèñòèê, îãðàíè÷èâàþùèõ âîëíû ðàçðåæåíèÿ, çàäà÷è ðàñêðàèâàëèñü íà îá-ëàñòè, âíóòðè êîòîðûõ ðåøåíèå äîëæíî áûòü ãëàäêèì. Ýòî ïîçâîëèëî âíóòðè ýòèõîáëàñòåé èñïîëüçîâàòü ðàçíîñòíóþ ñõåìó âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Î÷åíü ïðèíöè-ïèàëüíî, ÷òî íà êàæäóþ âîëíó ðàçðåæåíèÿ, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà åå îáðàçîâàíèÿ ïðèðàñïàäå ðàçðûâà, âûäåëÿëîñü äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ñ÷åòíûõ òî÷åê (íàïðèìåð,50). Ýòî îáåñïå÷èâàëî î÷åíü âûñîêóþ òî÷íîñòü è áûëî âîçìîæíî áëàãîäàðÿ ïðèìå-íåíèþ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì.

Îïèñàííóþ ìåòîäèêó ÿ ðàçðàáàòûâàë ñ È. Ë. Êèðååâîé è Ë. À. Ïëèíåð, à ëîãè-÷åñêàÿ ñõåìà àëãîðèòìà áûëà ïðåäëîæåíà Ã. Á. Àëàëûêèíûì, êîòîðûé ñîñòàâèë íàîñíîâå ýòîãî àëãîðèòìà óíèâåðñàëüíóþ ïðîãðàììó. Ïî ýòîé ïðîãðàììå áûë âûïîë-íåí ðÿä ïðåöèçèîííûõ ðàñ÷åòîâ. Ìåòîäèêà áûëà îïèñàíà â íàøåé êíèãå [1], âûøåä-øåé íà ðóññêîì ÿçûêå â 1970 ã. Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî îíà îñòàëàñü íåçàìå÷åííîé.  òîæå âðåìÿ, ÿ äóìàþ, ÷òî ñïåöèàëèñòû ïî âû÷èñëèòåëüíîé ãèäðîäèíàìèêå è ñåãîäíÿìîãóò íàéòè â íåé êîå-÷òî èíòåðåñíîå.

Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ïîä äàâëåíèåì èíæåíåðîâ è Ê. À. Ñåìåíäÿåâà îäíîâðåìåííî ññîçäàíèåì äâóìåðíîé ãàçîäèíàìè÷åñêîé ðàñ÷åòíîé ñõåìû ìíå ïðèøëîñü çàíèìàòüñÿ

16

è ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê, ïðèñïîñàáëèâàÿ åãî ê ìàøèííîé ðåàëèçàöèè ïóòåì ïåðå-ñòðîéêè ñòðóêòóðû èíôîðìàöèè. Ðåçóëüòàòîì ýòîãî ïðèñïîñîáëåíèÿ îêàçàëñÿ ìåòîä¾õàðàêòåðèñòèê ñëîÿìè¿, â êîòîðîì ðàññ÷èòûâàëèñü íå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ õàðàê-òåðèñòèê, à êîîðäèíàòû ïîëîæåíèÿ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê íà ôèêñèðîâàííûõ ñëîÿõt = const. Îäíàêî ïîñëå çàâåðøåíèÿ ðàáîòû íàä ýòèì ìåòîäîì è ïîñëå ñîçäàíèÿäîâîëüíî ñëîæíîé óíèâåðñàëüíîé ïðîãðàììû âî âðåìÿ ïåðâûõ ðàñ÷åòîâ, ïî ýòîéïðîãðàììå ïðîâåäåííûõ, âûÿñíèëàñü íåñîñòîÿòåëüíîñòü ìåòîäà. Âî âñÿêîì ñëó÷àåîí îêàçàëñÿ íåïðèãîäåí ïðè ðàñ÷åòå ñèëüíûõ âîëí ðàçðåæåíèÿ, ÷òî áûëî íåîæèäàí-íî. Ñ÷èòàëîñü, ÷òî ìåòîä õàðàêòåðèñòèê òàêèå âîëíû äîëæåí ðàññ÷èòûâàòü ëó÷øå÷åì äðóãèå ìåòîäû. Êðàòêàÿ èíôîðìàöèÿ îá ýòîé íåóäà÷å áûëà îïóáëèêîâàíà â [3],à ñàìà ýòà íåóäà÷à ïîäòîëêíóëà ìåíÿ ê ðàçðàáîòêå ñõåìû âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè,ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ ðàñ÷åòà ðåøåíèé ñ âûäåëåííûìè ðàçðûâàìè, êîòîðîé ïîñâÿ-ùåíà öèòèðîâàâøàÿñÿ âûøå êíèãà [1].

Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû ãàçîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, îñíî-âàííîé íà èñïîëüçîâàíèè ðàñïàäîâ ïðîèçâîëüíûõ ðàçðûâîâ íà÷àëîñü òîëüêî ñ 1969ã., êîãäà íà êîíôåðåíöèè â Íîâîñèáèðñêå ïî íåé áûëî ñäåëàíî ñðàçó òðè íåçàâè-ñèìûõ äîêëàäà. Î íàøåì äîêëàäå ÿ óæå óïîìèíàë. Êðîìå íàñ òàì áûë äîêëàä èçÌîñêîâñêîãî Öåíòðàëüíîãî Èíñòèòóòà Àâèàìîòîðîñòðîåíèÿ, ñäåëàííûé Ì. ß. Èâà-íîâûì è À. Í. Êðàéêî (äî ýòîãî ìû áûëè íå çíàêîìû äðóã ñ äðóãîì), è äîêëàä Ò.Ä. Òýéëîðà è Â. Ñ. Ìàññîíà (ÑØÀ) îá èñïîëüçîâàíèè íàøåé ñõåìû äëÿ ðàñ÷åòàãàçîäèíàìè÷åñêîãî òå÷åíèÿ âîêðóã ñïóñêàåìîãî àïïàðàòà ¾Àïîëëîí¿ (ñì. [29, 30]).Âïîñëåäñòâèè ìû âìåñòå ñ êîëëåãàìè èç Èíñòèòóòà Àâèàìîòîðîñòðîåíèÿ ïîäãîòîâè-ëè äîñòàòî÷íî ïîäðîáíîå îïèñàíèå âû÷èñëèòåëüíîé ìåòîäèêè è îôîðìèëè åå â âèäåêíèãè, ïåðåâåäåííîé íà ôðàíöóçñêèé ÿçûê [31].

�4. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è òåðìîäèíàìèêà

ß êîñíóñü åùå îäíîãî âîïðîñà, âîçíèêøåãî âî âðåìÿ ðàáîòû íàä ïðîåêòèðîâàíèåìðàçíîñòíûõ ñõåì è ñâÿçàííîãî ñ ïîíÿòèåì îá îáîáùåííûõ ðåøåíèÿõ êâàçèëèíåéíûõóðàâíåíèé, èìåþùèõ âèä çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.

Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè âûïîë-íåíû äëÿ ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé, âû÷èñëåííûõ ïî ïðåäëîæåííîé ìíîé ñõåìå. Îäíàêîêëàññè÷åñêèå (áåç ðàçðûâîâ) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè ïîä÷èíåíû åùåîäíîìó äîïîëíèòåëüíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ � çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíòðîïèè. Ïðèïðîõîæäåíèè æå ãàçà ÷åðåç óäàðíóþ âîëíó (ðàçðûâ â ðåøåíèè) ýíòðîïèÿ âîçðàñ-òàåò. Ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Öåìïëåíà, êîòîðàÿ ñ òî÷êèçðåíèÿ òåîðèè êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñòóëàò, âõîäÿùèé âîïðåäåëåíèå îáîáùåííûõ ðåøåíèé. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïîñòóëàòà èç ÷èñëà îáîáùåííûõðåøåíèé èñêëþ÷àþòñÿ ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå çàêîíàì ñîõðàíåíèÿìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè, íî òàêèå, ÷òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïîëíàÿ ýíòðîïèÿ äëÿíåêîòîðîé âûäåëåííîé ìàññû ãàçà óáûâàåò.  ìîåé ðàçíîñòíîé ñõåìå çàêîí íåóáû-âàíèÿ ýíòðîïèè îêàçàëñÿ àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåííûì áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ýòîìóçàêîíó óäîâëåòâîðÿþò âõîäÿùèå â êîíñòðóêöèþ ñõåìû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ðèìàíà î ðàñ-ïàäàõ ïðîèçâîëüíûõ ðàçðûâîâ è òîìó, ÷òî ýíòðîïèÿ âîçðàñòàåò ïðè óñðåäíåíèÿõ ïîñ÷åòíûì ÿ÷åéêàì. Òàêèå óñðåäíåíèÿ çàâåðøàþò ðàñ÷åò êàæäîãî øàãà ïî âðåìåíè âìîåé ñõåìå.

Åñòåñòâåííî, ÷òî ìåíÿ çàèíòåðåñîâàë âîïðîñ îá îïèñàíèè òîãî êëàññà êâàçèëè-íåéíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé äëÿ ï íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé, êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ êî-òîðûõ àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò n + 1-ìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ. Ïðè ïîïûòêàõ

17

ïîíÿòü, êàêèì äîëæåí áûòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ, ÿ îáðàòèë âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñåíåëèíåéíûå çàâèñèìîñòè, âõîäÿùèå â çàïèñü óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè, ïîëíîñòüþîïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì âñåãî îäíîé íåëèíåéíîé ôóíêöèè � òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïî-òåíöèàëà E(V, S). Íà ëåêöèÿõ È. Ì. Ãåëüôàíäà ïî òåîðèè êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé,êîòîðûå îí ÷èòàë â Ìîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå (êîíñïåêòû ýòèõ ëåêöèé îïóáëèêîâà-íû â [32]) áûëà îòìå÷åíà ðîëü íåðàâåíñòâ ES > 0 è EV V ESS − E2

V S > 0, êîòîðûåâ òåðìîäèíàìèêå óïîòðåáëÿþòñÿ äëÿ ãàçîâ è æèäêîñòåé, åñëè ïàðàìåòðû V , S íåìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèé áëèçêèõ ê âåëè÷èíàì, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò ôàçî-âûå ïåðåõîäû. À èìåííî, È. Ì. Ãåëüôàíä ïðåäëîæèë â êà÷åñòâå çàäà÷è äîêàçàòü,÷òî ýòè íåðàâåíñòâà îáåñïå÷èâàþò êîððåêòíîñòü îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêî-âûõ âîëí óðàâíåíèÿìè àêóñòèêè äëÿ òåïëîïðîâîäíîãî ãàçà. Ïîä âïå÷àòëåíèåì ýòîéçàäà÷è ó ìåíÿ âîçíèêëà ãèïîòåçà, ÷òî àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ î êîððåêòíîñòè èëèîá óñòîé÷èâîñòè (â ñëó÷àå ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû) ìîãóò áûòüïîëîæåíû â îñíîâó èçâåñòíîé òåîðåìû òåðìîäèíàìèêè î ñóùåñòâîâàíèè óíèâåðñàëü-íîãî èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ 1/T äëÿ dE + pdV . Ýòà òåîðåìà è ëåæèò â îñíîâåîïðåäåëåíèÿ ýíòðîïèè ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà dS = (1/T )(dE + pdV ). Ïîñëå íåñêîëü-êèõ ìåñÿöåâ íàïðÿæåííîé ðàáîòû ìíå óäàëîñü ýòó ãèïîòåçó îïðàâäàòü (ñì. [33]).Ïðè ýòîì âûÿñíèëîñü, ÷òî óñòîé÷èâîñòü, îáåñïå÷èâàþùàÿ, íåâîçìîæíîñòü ïîñòðîå-íèÿ âå÷íîãî äâèãàòåëÿ âòîðîãî ðîäà, âñåãäà îêàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì ñóùåñòâîâàíèÿíåêîòîðîãî èíòåãðàëà, êîòîðûé áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ òåïëîïåðåäà÷è äèññèïèðóåòñÿ.Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì óñòîé÷èâîñòè ìàëûõ êîëåáàíèé (ò. å. îïèñûâàòüýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè), äèññèïèðóþùèéñÿ èíòåãðàëîêàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ñ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ. Ñèììåòðèÿ ýòîé ìàòðèöû, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò êðàâåíñòâàì, èç êîòîðûõ âûâîäèòñÿ ñóùåñòâîâàíèå óíèâåðñàëüíîãî èíòåãðèðóþùå-ãî ìíîæèòåëÿ.  ìîåé ñòàòüå [33] (ñì. òàêæå �22 êíèãè [23]) ïðèâåäåíû ÷åðòåæèêîíñòðóêöèé, êîòîðûå îêàçàëèñü áû âå÷íûìè äâèãàòåëÿìè âòîðîãî ðîäà, åñëè áû íåñóùåñòâîâàë óíèâåðñàëüíûé èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.

Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ðàáîòû [33], äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü ïðè÷èíû, ïðèâîäÿùèåê íàëè÷èþ ó òðåõ óðàâíåíèé ¾ëèøíåãî¿ ÷åòâåðòîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ, óæå áûëîñîâñåì åñòåñòâåííî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ(ïðèìåíèìûå â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé):

∂V

∂t+

∂u

∂x= 0,

∂u

∂t+

∂EV (V, S)

∂x= 0,

∂S

∂t= 0

è âûâåñòè ÷åòâåðòûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ â âèäå èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

0 =∂(E(V, S) + u2

2)

∂t+

∂uEV (V, S))

∂x≡ EV (V, S)

[∂V

∂t+

∂u

∂x

]+u

[∂u

∂t+

∂EV (V, S)

∂x

]+ES

∂S

∂t.

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå ðàâåíñòâî, âûðàæàþùåå ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ÷åòûðü-ìÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ, ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî ëþáîãî èç íèõ.  ÷àñòíî-ñòè, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíòðîïèè ∂S

∂t= 0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü at êàê ëèíåéíóþ êîìáè-

íàöèþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ óäåëüíîãî îáúåìà

∂V

∂t+

∂u

∂t= 0,

18

çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà∂u

∂t+

∂EV

∂x= 0,

è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:

0 =∂S

∂t= −EV

ES

[∂V

∂t+

∂u

∂x

]− u

ES

[∂u

∂t+

∂EV

∂x

]+

1

ES

[∂(E + u2

2)

∂t+

∂(uEV )

∂x

].

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äèôôåðåí-öèàëàìè:

dS = −EV

ES

dV − u

ES

du +1

ES

d

(E +

u2

2

),

êîòîðîå óäîáíî ïåðåïèñàòü òàê:

d

[S +

EV

ES

V +u2

2ES

− 1

ES

(E +

u2

2

)]= V d

EV

ES

+ udu

ES

−(

E +u2

2

)d

1

ES

è ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ

L = S − 1

ES

(E +

u2

2

)+

V EV

ES

+u2

2ES

=1

ES

[SES + V EV − E],

q1 =EV

ES

, q2 =u

ES

, q3 = − 1

ES

= − 1

T.

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà, ñâÿçûâàþùèå ïðîèçâîäíûå Lqiñ âåëè÷èíàìè, ñòî-

ÿùèìè â óðàâíåíèÿõ ãèäðîäèíàìèêè ïîä çíàêîì ïðîèçâîäíîé ∂∂t:

Lq1 = V, Lq2 = u, Lq3 = −(

E +u2

2

),

è çàïèñü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äèôôåðåíöèàëàìè dS, dV , du, d(E + u2

2) â èçÿùíîé

ôîðìå òîæäåñòâà, íà êîòîðîì îñíîâàíî èçâåñòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà â òåî-ðèè âûïóêëûõ ôóíêöèé:

d(q1Lq1 + q2Lq2 + q3Lq3 − L) = Lq1dq1 + Lq2dq2 + Lq3dq3.

Îêàçàëîñü óäîáíûì ââåñòè â ðàññìîòðåíèå åùå îäíó ôóíêöèþ îò q1, q2, q3:

M = −q1q2

q3

òàêóþ, ÷òî

Mq1 = −q2

q3

= u,

Mq2 = −q1

q3

= EV ,

Mq3 = −q1q2

q23

= uEV ,

M − q1Mq1 − q2Mq2 − q3Mq3 = 0.

Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè ïðèíèìàþò âèä

∂Lqi

∂t+

∂Mqi

∂x= 0, i = 1, 2, 3.

Îíè ñîñòîÿò èç òðåõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, à ÷åòâåðòûé (äîïîëíèòåëüíûé)

∂(q1Lq1 + q2Lq2 + q3Lq3 − L)

∂t−∂(q1Mq1 + q2Mq2 + q3Mq3 −M)

∂x≡ ∂(q1Lq1 + q2Lq2 + q3Lq3 − L)

∂t= 0

19

ñîâïàäàåò ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíòðîïèè dSdt

= 0. Ïîñëå ýòîãî áûëî íåòðóäíî è äëÿöåëîãî ðÿäà äðóãèõ êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, äàæå íåîäíî-ìåðíûõ, ïîëó÷èòü ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå âèäà

∂Lqi

∂t+

∂Ljqi

∂xj

= 0.

Óäàëîñü çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå è óðàâíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè, èñïîëüçóþùèå ýé-ëåðîâû êîîðäèíàòû. Ìåíÿ î÷åíü îáðàäîâàëî, ÷òî åñëè ïðîèçâîäÿùèé ¾òåðìîäèíà-ìè÷åñêèé ïîòåíöèàë¿ L = L(q1, q2, ...) âûïóêëûé, òî ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïå-ðåïèñàíû â âèäå ñèñòåìû ñèììåòðè÷åñêîé ãèïåðáîëè÷åñêîé ïî Ôðèäðèõñó

Lqiqk

∂qk

∂t+ Lj

qiqk

∂qk

∂xj

= 0

ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïðîèçâîäíûõ ∂qi ïî t.Ê. Î. Ôðèäðèõc ïîêàçàë, ÷òî äëÿ òàêèõ ñèñòåì çàäà÷à Êîøè, ïðè îïðåäåëåííûõóñëîâèÿõ íà ãëàäêîñòü íà÷àëüíûõ äàííûõ, ïîñòàâëåíà êîððåêòíî.

Òàêèì îáðàçîì, ìîè íàäåæäû íà âîçìîæíîñòü âûÿâëåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó êîððåêò-íîñòüþ è çàêîíàìè ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè ñòàëè îïðàâäûâàòüñÿ.

ß îïèñàë âñå ìîè ïîñòðîåíèÿ â ñòàòüå, êîòîðóþ ïîñëàë â ðåäàêöèþ æóðíàëà¾Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê¿, íî ñòàòüÿ íå áûëà íàïå÷àòàíà, òàê êàê ïî ìíåíèþðåöåíçåíòà íå èìåëà ìàòåìàòè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ.

Ïîñëå ýòîãî ìåíÿ ïîäæèäàë åùå îäèí óäàð ñóäüáû. ß ðåøèë èñïîëüçîâàòü ïîëó-÷åííûå çàïèñè óðàâíåíèé, ââåäÿ â íèõ ìàëûå äèññèïàòèâèûå ÷ëåíû, äëÿ âûÿñíåíèÿâîïðîñà, äåéñòâèòåëüíî ëè ðàçðûâû â ðåøåíèÿõ ïîñëå ââåäåíèÿ ëþáûõ ìàëûõ âÿç-êîñòåé ïîäâåðãàþòñÿ òîëüêî ¾ðàçìàçûâàíèþ¿ íà óçêóþ ïîëîñêó èõ îêðóæàþùóþ è÷òî îò âèäà ýòèõ âÿçêîñòåé ïðåäåëüíûå ðåøåíèÿ (îáîáùåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñíóëåâîé âÿçêîñòüþ) íå çàâèñÿò. Ðàññìàòðèâàÿ ó óðàâíåíèé

∂Lqi

∂t+

∂Mqi

∂x=

∂

∂x

[εbik(q)

∂qk

∂x

]ðåøåíèÿ â âèäå ñòàöèîíàðíî äâèæóùèõñÿ âîëí qi = qi(ξ), ξ = (x − wt)/ε, ìíå óäà-ëîñü, äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþòqi(ξ) ïðåäëîæèòü íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ýòà èíòåðïðåòàöèÿïðèâåëà ê ïîñòðîåíèþ ñèñòåì ãèïåðáîëè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ó êîòîðûõ äî-ïóñòèìûå ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå çàêîíó âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè çà-âèñÿò îò òîãî, êàêèå ìàëûå äèññèïàòèâíûå ÷ëåíû ìû ïðåäïîëàãàåì â íèõ ââîäèòü,÷òîáû èõ ñãëàäèòü.  ôèçè÷åñêîé çàäà÷å ðåàëüíûå äèññèïàòèâíûå ïðîöåññû ìîãóòáûòü îäíè, à äèññèïàöèÿ â ïðîâîäèìîì ðàñ÷åòå, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ðàçíîñòíîé ñõå-ìû, ìîæåò áûòü ñîâñåì äðóãîé. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ Â. Ô. Äüÿ÷åíêî ïîñòðîèëïðèìåð, â êîòîðîì ðàçëè÷íûå ðàçíîñòíûå àïïðîêñèìàöèè ïðèâîäÿò ê íåïîõîæèìäðóã íà äðóãà ïðèáëèæåííûì ðåøåíèÿì [34].

ß â òî âðåìÿ î÷åíü òÿæåëî ïåðåæèâàë âîçíèêøåå ó ìåíÿ ïîñëå ýòîãî ïðèìåðàêðóøåíèå íàäåæä íà òî, ÷òî ñêîðî óäàñòñÿ îïðàâäàòü âñå ãèïîòåçû, êîòîðûå áû-ëè ïîëîæåíû â îñíîâó êîíñòðóèðîâàíèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ìîÿ ðàáîòà ñ îïèñàíèåìýòîãî ïðèìåðà áûëà ïðåäñòàâëåíà â Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ [35, 36] È. Ã.Ïåòðîâñêèì. Åùå äî îïóáëèêîâàíèé ýòîé ðàáîòû ÿ åå èçëîæèë íà ñåìèíàðå, ãäåïðèñóòñòâîâàëè âïåðâûå ïðèåõàâøèå â Ìîñêâó Ð. Êóðàíò è Ï. Ä. Ëàêc.

 äàëüíåéøåì, óæå â Íîâîñèáèðñêå, ÿ âìåñòå ñî ñâîèìè êîëëåãàìè ïðîäîëæèëèññëåäîâàíèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è èõ ñâÿçåé ñ òåðìîäèíàìèêîé. Îáçîð ÷àñòè ýòèõ

20

èññëåäîâàíèé ñîäåðæàëñÿ â äîêëàäå [22], êîòîðûé ÿ ñäåëàë â 1986 ã. â Ñåíò-Ýòüåíåíà êîíôåðåíöèè ïî ãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèÿì. Íàäî òàêæå îòìåòèòü âàæíûå èñ-ñëåäîâàíèÿ [37, 38] ýòîãî âîïðîñà, ïðîâåäåííûå Ï. Ä. Ëàêñîì è Ê. Î. Ôðèäðèõñîì. Âïîñëåäíèå ãîäû ýòè èññëåäîâàíèÿ áûëè ïðîäîëæåíû æ ñîñòàâèëè ïðåäìåò äîêëàäîâ[39, 40, 41], ïðî÷èòàííûõ ìíîé è Å. È. Ðîìåíñêèì â Ëèññàáîíå, Ëåéê-Òàõî (ÑØÀ,Íåâàäà) è Ïàðèæå. Èì ïîñâÿùåíà òàêæå ñëåäóþùàÿ (íàøà è Ò. Þ. Ìèõàéëîâîé)ðàáîòà [42]. Ðàáîòû [41, 42] âñêðûëè íåîæèäàííóþ ñâÿçü ìåæäó ôîðìàëüíî ïåðå-îïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå è òåîðèåéïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû âðàùåíèé.

ß äîëæåí îòìåòèòü íåäàâíþþ ðàáîòó [43], â êîòîðîé èçó÷àëèñü îöåíêè ðîñòà ýí-òðîïèè â ñèñòåìàõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ òîãî âèäà, êîòîðûé áûë îïèñàí âûøå. Àâòîðóýòîé ðàáîòû óäàëîñü ñâÿçàòü ýòè îöåíêè ñ âåëè÷èíîé ¾âàðèàöèè¿ ðåøåíèé. Ìíå ïîêà-çàëñÿ î÷åíü ìíîãîîáåùàþùèì ïðåäëîæåííûé èì îðèãèíàëüíûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿòàêîé ¾âàðèàöèè¿. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ íåò íèêàêîé ðàçíèöû, ðàññìàòðèâàåòñÿîäíîìåðíàÿ èëè ìíîãîìåðíàÿ çàäà÷à.

Çàêëþ÷åíèå

ß ïîñòàðàëñÿ ðàññêàçàòü î òîé íàïðÿæåííîé ðàáîòå â îáëàñòè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõðàñ÷åòîâ, ê êîòîðîé ìåíÿ ïðèâëåêëè ìîè ðóêîâîäèòåëè È. Ã. Ïåòðîâñêèé è È ÌÃåëüôàíä, ÿ êîòîðàÿ ïðèâåëà ê èçîáðåòåíèþ ¾ñõåìû Ãîäóíîâà¿.

ß õîòåë ïîä÷åðêíóòü âëèÿíèå íà ýòîò ïåðèîä ìîåé äåÿòåëüíîñòè âñåãî íàó÷íîãîêîëëåêòèâà, â êîòîðûé ÿ îêàçàëñÿ ïðè ýòîì ïîãðóæåí. Êîíå÷íî, â ýòîò ïåðèîä ðàç-ëè÷íûå äðóãèå ïîäõîäû ê ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ðàñ÷åòàì ðàçðàáàòûâàëèñü è äðóãèìèèññëåäîâàòåëüñêèìè ãðóïïàìè, â òîì ÷èñëå è ãðóïïàìè ñîòðóäíèêîâ íàøåãî èíñòè-òóòà.  ýòèõ ãðóïïàõ ó÷àñòâîâàëè Ê. È. Áàáåíêî, Â. Â. Ðóñàíîâ, È. Ì. Ãåëüôàíä,Â. Ô. Äüÿ÷åíêî, À. À. Ñàìàðñêèé, Í. Í. ßíåíêî, Á. Ë. Ðîæäåñòâåíñêèé è öåëûéðÿä äðóãèõ. ß íå ñòàâèë ïåðåä ñîáîé çàäà÷è îñâåòèòü âñþ èñòîðèþ âîïðîñà, à ïîïû-òàëñÿ òîëüêî ðàññêàçàòü î òîé äåÿòåëüíîñòè, â êîòîðîé ïðèíèìàë íåïîñðåäñòâåííîåó÷àñòèå.

Äëÿ ìåíÿ áûëè ÷ðåçâû÷àéíî ñóùåñòâåííû â òî âðåìÿ ìíîãî÷èñëåííûå äèñêóñ-ñèè ñ âûäàþùèìèñÿ ôèçèêàìè-òåîðåòèêàìè ß. Á. Çåëüäîâè÷åì, À. Ä. Ñàõàðîâûì,Ä. À. Ôðàíê-Êàìåíåöêèì, Þ. Á. Õàðèòîíîì, à òàêæå ñ ãðóïïîé ýêñïåðèìåíòàòîðîâ,ðàáîòàâøèõ ïîä ðóêîâîäñòâîì Ë. Â. Àëüòøóëåðà. ß óæå îòìå÷àë, ÷òî çàìå÷àíèÿôèçèêîâ, êàê ïðàâèëî, áûëè âåñüìà êðèòè÷åñêèìè. Îíè ñòèìóëèðîâàëè äåòàëüíûéàíàëèç ïðè÷èí ó íàáëþäàåìûõ ñ÷åòíûõ ýôôåêòîâ è ñïîñîáñòâîâàëè ïîÿâëåíèþ ìî-äèôèêàöèé ìåòîäà. Êîíêðåòíàÿ çàäà÷à äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî îáòåêàíèÿ áûëàïðåäëîæåíà ìíå Ã. È. Ïåòðîâûì.

Ìíå õîòåëîñü ïîêàçàòü, êàê öåëûé ðÿä ïðèíöèïèàëüíûõ íàó÷íûõ âîïðîñîâ âîç-íèê âî âðåìÿ íà÷àëüíîãî ýòàïà ðàçâèòèÿ òåõíîëîãèè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ.Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ìíîãèå èç íèõ äàëåêè îò ñâîåãî ðàçðåøåíèÿ è ñåãîäíÿ.

21

Ëèòåðàòóðà

[1] Àëàëûêèí Ã. Á., Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Êèðååâà È. Ë., Ïëèíåð Ë. À. Ðåøåíèå îäíîìåðíûõçàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè â ïîäâèæíûõ ñåòêàõ. Ì: Íàóêà, 1970.

[2] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Çàáðîäèí À. Â. Î ðàçíîñòíûõ ñõåìàõ âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ ìíî-ãîìåðíûõ çàäà÷ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1962. Ò. 2, � 4. Ñ. 706-708.

[3] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ñåìåíäÿââ Ê. À. Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ãàçîâîéäèíàìèêè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1962. Ò. 2, � 1. Ñ. 3-14.

[4] Ïðîêîïîâ Ã. Ï., Ñòåïàíîâà Ì. Â., Ðàñ÷åò îñåñèììåòðè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ óäàðíîé âîë-íû ñ çàòóïëåííûì òåëîì, äâèæóùèìñÿ ñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ. Ïðåïðèíò ÈÏÌ ÀÍ ÑÑÑÐ.1974. � 72.

[5] Godonov S. Ê. Sur la construction des reseaux dans les domaines cotn-pliques d'une faconautomatique pour les equations aux di�erences �nies // Act. Congress Int. Math 1970. V. 3. P.99-104.

[6] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Çàáðîäèí À. Â., Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ äâóìåðíûõ íåñòà-öèîíàðíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè è ðàñ÷åò îáòåêàíèÿ ñ îòîøåäøåé óäàðíîé âîëíîé // Æóðí.âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1961. Ò. 1, � 6. Ñ. 1020-1050.

[7] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Î ðåøåíèè ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà // Æóðí.âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1969. Ò. 9, � 2. Ñ. 462-468.

[8] Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Î ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà Â. Ñ. Âëàäèìèðîâà //Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1968. Ò. 8, � 1. Ñ. 228-233.

[9] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Îãíåâà Â. Â., Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Î ñõîäèìîñòè ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäàíàèñêîðåéøåãî ñïóñêà ïðè ðàñ÷åòå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.  êí.: Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå-íèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè¿ (Òðóäû ñèìïîçèóìà ïîñâÿùåííîãî øåñòèäåñÿòèëåòèþ àêàä.Ñ. Ë. Ñîáîëåâà), Ì.: Íàóêà, 1970.

[10] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ïðîêîïîâ Ã. Ï.Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ èòåðàöèé äëÿ âû÷èñëåíèÿñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýëëèïòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ // Æóðí. âû÷èñë. Ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè.1970. Ò. 10, � 5. Ñ. 1180-1190.

[11] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ñîâðåìåííûå àñïåêòû ëèíåéíîé àëãåáðû. Íîâîñèáèðñê: Íàó÷íàÿ êíèãà, 1997.[12] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ïðîáëåìà ãàðàíòèðîâàííîé òî÷íîñòè â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ ëèíåéíîé àëãåáðû.

In: Proc. Int. Congr. Math. Berkeley, California, USA, 1986, V. 2. P. 1353-1362.[13] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Àíòîíîâ À. Ã., Êèðèëêæ Î. Ï., Êîñòèí Â. È. Ãàðàíòèðîâàííàÿ òî÷íîñòü

ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1992.[14] Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical

computation//Comm. PureAppl. Math. 1954. V. 7, N 1. P. 159-193.[15] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ðàçíîñòíûé ìåòîä ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ðàçðûâíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ãèäðî-

äèíàìèêè // Ìàò. ñá. 1959. Ò. 47, Âûï. 3. Ñ. 271-306.[16] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Îöåíêè íåâÿçîê äëÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé ãàçîâîé

äèíàìèêè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1961. Ò. 1, � 4. Ñ. 622-637.[17] Glimm J. Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations// Comm. PureAppl.

Math. 1965. V. 18. P. 697-715.[18] Van Leer B. Towards the ultimate conservative di�erence scheme. V. A second order sequel to

Godunov's methods // J. Ñîòð. Phys. 1979. V.32. P. 101-136.[19] Harten A. A High resolution schemes for hyperbolic conservation laws //J . Ñîòð. Phys. 1983. V.

49. P. 357-393.[20] Harten A., Lax P. D. A random choice �nite di�erence scheme for hyperbolic conservation lawes

// J. Numer. Anal. 1981. V. 18, N 2. P. 289-315.[21] Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Ñîòð. Phys. 1983. V.

49. P. 357-393.

22

[22] Godunov S. K. Lois de conservation et integrales d 'energie des equations hyperboliquee //Lecture Notes in Mathematics, 1270, Nonlinear hyperbolic Problems, Proc. of Workshop, St.-Etienne, Prance, Jan 13-17. 1988. P. 135-149.

[23] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ýëåìåíòû ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû. Ì.: Íàóêà, 1978.[24] Áàãðèíîâñêèé Ê. À., Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ îäíîìåðíûõ çàäà÷ // Äîêë.

ÀÍ ÑÑÑÐ. 1957. V. 115, � 3. Ñ. 431-433.[25] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Î ðàñ÷åòàõ êîíôîðìíûé îòîáðàæåíèé è ïîñòðîåíèè ðàç-

íîñòíûõ ñåòîê // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1967. Ò. 7, � 5. Ñ. 1031-1059.[26] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ïðîêîïîâ Ã. Ï. Îá èñïîëüçîâàíèè ïîäâèæíûõ ñåòîê â ãàçîäèíàìè÷åñêèõ

ðàñ÷åòàõ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè ìàò. ôèçèêè. 1972. Ò. 12, � 2. Ñ. 429-440.[27] Godunov S. Ê., Gordienko V. Ì., Chumakov G. A. Variational principle for 2-D regular

quasi-isometric grid generation // Int. J. Ñîòð. Fluid Dynamics. 1995. V. 5, � 1-2. P. 99-118.[28] Godunov S. K., Deribas A. A., Zabrodin A. V., Kozm N. S. Hydrodynamics e�ects in

colliding solids // J. Ñîòð. Phys. 1970 V. 5. P. 517-539.[29] Èâàíîâ Ì. ß., Êðàéêî À. Í. Ðàñ÷åò ñìåøàííîãî òå÷åíèÿ ãàçà â ñîïëàõ.  êí.: Òðóäû

ñåêöèè ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì â ãàçîâîé äèíàìèêå Âòîðîãî Ìåæäóíàðîäíîãî êîëëîêâèóìà ïîãàçîäèíàìèêå âçðûâà è ðåàãèðóþùèõ ñèñòåì, Íîâîñèáèðñê, 1969. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ 1971. Ñ.3-26.

[30] Taylor Ò. D., Mason Â. S. Application of the unsteady numerical method of Godunov tocomputation of supersonic �ow past bell shaped bodies // J. Ñîòð. Phys. 1970. VI 5, N 3. P.443-454.

[31] ×èñëåííîå ðåøåíèå ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè / ïîä ðåä. Ñ. Ê. Ãîäóíîâà. Ì.: Íàóêà,1976. Ïåðåâîä íà ôðàíö.: Resolution numerique des problemes multidimensionnels de la dynamiquedes gas / S. Godunov and coll. Moscow: Mir, 1979.

[32] Ãåëüôàíä È. Ì. Ëåêöèè î êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ //Óñïåõè ìàò. íàóê. 1959. Ò. 14, Âûï.2 (86). Ñ. 87.

[33] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Òåðìîäèíàìèêà ãàçîâ è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óñïåõè ìàò. íàóê. 1959.Ò 14, Âûï. 5 (89). Ñ, 97-116.

[34] Äüÿ÷åíêî Â. Ô. Î çàäà÷å Êîøè äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1961. V. 136,� 1. Ñ. 16-17

[35] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Î ïîíÿòèè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1960, Ò. 134, � 6. Ñ.1279-1282.

[36] Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Î íååäèíñòâåííîì ¾ðàçìàçûâàíèè¿ ðàçðûâîâ â ðåøåíèè êâàçèëèíåéíûõ ñè-ñòåì//Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1960. Ò. 136, �2. Ñ. 272-273.

[37] Friedrichs Ê. Î., Lax P. D. Systems of conservation equations with a convex extension // Proc.Math. Acad. Sci. USA. 1971. V. 68, N 8. P. 1696-1688.

[38] Friedrichs K.O. Conservation equations and the Laws of motion in classical physics//Comm.Pure and Appl. Math. 1978. V. 31. P. 123-131.

[39] Godunov S. K., Romenskii Á. I. Thermodynamical foundations for special evolution di�erentialequations of continuous media // Trends Appl. Math, to Mecan. Pitnam Monographs and Surwaysin Pure and Appl. Math. V. 77. Longman, 1995.

[40] Godunov S. K., Romenskii E. I. Thermodynamics Conservation Laws aus symmetric forms ofdi�erential equations in mechanics of continuous media. In: Computational Fluid Dynamics Review.1995 (ed.: M. Hafez, K. Oshima). J. Wiley Sons, 1995, pp. 19-30.

[41] Godunov S. K., Romenskii E. I. Symmetric forms of thermodynami-cally compatible systems ofconservations laws in continuum mechanics. In: Numerical Methods in Engineering. Proc. SecondECCOMAS Conf. 1996, Paris, France. J. Wiley Sons.

[42] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ìèõàéëîâà Ò. Þ., Ðîìâíñêèé Å. È. Ñèñòåìû òåðìîäèíàìè÷åñêè ñîãëà-ñîâàííûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé // Ñèá. ìàò. æóðí. 1996.Ò. 37, � 4. Ñ. 790-806.

[43] Sever M. Estimate of the time rate of entropy dissipation for systems of conservation laws // J.Di�. Eq. 1996. V. 130. P. 127-141.

23

Ïðèëîæåíèå1

Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ïîðÿäêàìè

àïïðîêñèìàöèè è òî÷íîñòè

Èçëîæåí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ýôôåêòèâíî îöåíèâàòü ïîðÿäîê ñëàáîé ñõîäèìî-ñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû íà îáîáùåííûõ ðåøåíèÿõ àïïðîêñèìèðóåìîé ãèïåðáîëè÷å-ñêîé ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Èäåè ìåòîäà ïðèíàäëåæàò Ñ. Ê. Ãîäóíîâó è Â.Ñ. Ðÿáåíüêîìó. Ìåòîä îñíîâàí íà ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêå ñêîðîñòè ñõîäèìî-ñòè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ îò ïîëó÷àåìîãî ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ, êîòîðûå áåðóòñÿ ïîîáëàñòÿì, ñîäåðæàùèì îñîáåííîñòè àïïðîêñèìèðóåìîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Àíàëèçòî÷íîñòè TVD ñõåìû Õàðòåíà, èìåþùåé âòîðîé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè íà ãëàäêèõðåøåíèÿõ, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ðàñ÷åòå çàäà÷è î ðàçðóøåíèè ïëîòèíû ñ îáðàçîâà-íèåì ïðåðûâíîé âîëíû è âîëíû ïîíèæåíèÿ ýòà ñõåìà èìååò ëèøü ïåðâûé ïîðÿäîêñëàáîé ñõîäèìîñòè. Ýòîò ôàêò ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ïîðÿäêà ñèëüíîé ñõîäèìîñòè âãëàäêèõ ÷àñòÿõ òî÷íîãî ðåøåíèÿ çà ôðîíòîì ïðåðûâíîé âîëíû. Ïîëó÷åííûé ðåçóëü-òàò îïðîâåðãàåò øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííîå ìíåíèå î òîì, ÷òî ìîíîòîííûå ðàçíîñò-íûå ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè íà ãëàäêèõ ðåøåíèÿõ ñîõðàíÿþòïîâûøåííûé ïîðÿäîê ëîêàëüíîé ñõîäèìîñòè â ãëàäêèõ ÷àñòÿõ ðàçðûâíûõ ðåøåíèéêâàçèëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.

Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ çà-êîíîâ ñîõðàíåíèÿ

(1) ut + f(u)x = 0, u(0, x) = u0(x), x ∈ R,

ãäå u0(x) - m-ìåðíàÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ è f(u) � ãëàäêàÿ ôóíê-öèÿ ïîòîêà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàäà÷à (1) èìååò åäèíñòâåííîå óñòîé÷èâîå îáîáùåí-íîå ðåøåíèå u(t, x). ×èñëåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ ïî ÿâíîé äâóõñëîéíîé ïî âðåìåíè èñèììåòðè÷íîé ïî ïðîñòðàíñòâó êîíñåðâàòèâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìå

(2) vn+1j = vn

j − λn(f̄nj+ 1

2− f̄n

j− 12), v0

j = u0(jh), j ∈ Z,

ãäå f̄nj+ 1

2

= f̄(vnj−k+1, . . . , v

nj+k), f̄(u, . . . , u) = f(u) äëÿ âñåõ u ∈ Rm, vn

j = v(tn, jh), t0 =

0, tn = τ0 + τ1 + · · · + τn−1, λn = τn/h, τn - øàã ñõåìû ïî âðåìåíè íà n-ì âðåìåííîìñëîå tn, h � ïîñòîÿííûé øàã ñõåìû ïî ïðîñòðàíñòâó, f̄ � íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ÷èñ-ëåííîãî ïîòîêà. Âðåìåííîé øàã τn îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè Êóðàíòàτn ≤ τmax

n = zh/maxi,j|ai(vnj |, ãäå z = 0.5 � êîýôôèöèåíò çàïàñà, ai(u), i = 1, . . . ,m,

� ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ßêîáè fu â (1). Çàôèêñèðóåì ÷èñëî a ∈ R è ââåäåìèíòåãðàëû

(3) Ua(T, x) =

∫ x

a

u(T, y)dy, V ah (T, x) =

∫ x

a

vh(T, y)dy.

1 ïðèëîæåíèè èçëîæåíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå Â. Â. Îñòàïåíêî (Èíñòèòóò ãèäðîäèíàìèêèèì. Ì. À. Ëàâðåíòüåâà ÑÎ ÐÀÍ, Íîâîñèáèðñê).

24

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðàçíîñòíîå ðåøåíèå vh(T, x) ñëàáî ñõîäèòñÿ ñ r-ì ïîðÿäêîì íàîòðåçêå [a, x] ⊂ R ê òî÷íîìó ðåøåíèþ u(T, x), åñëè

(4) V ah (T, x)− Ua(T, x) = Chr + o(hr),

ãäå C íå çàâèñèò îò h.Åñëè [a, x] íå ñîäåðæèò îñîáåííîñòè òî÷íîãî ðåøåíèÿ, òî ïîðÿäîê ñëàáîé ñõî-

äèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì ëîêàëüíîé ñõîäèìîñòè íà ãëàäêèõ ðåøåíèÿõ, ò. å. âíàøåì ñëó÷àå ðàâåí äâóì.  èíîì ñëó÷àå ïîðÿäîê ñëàáîé ñõîäèìîñòè ìåíüøå äâóõ,ïîñêîëüêó TVD ñõåìû íå èìåþò âòîðîãî ïîðÿäêà ñëàáîé àïïðîêñèìàöèè íà ðàçðûâ-íûõ ôóíêöèÿõ

Îöåíèì ïîðÿäîê ñëàáîé ñõîäèìîñòè r â ñëó÷àå, êîãäà òî÷íîå ðàçðûâíîå ðåøå-íèå çàäà÷è (1) çàðàíåå íåèçâåñòíî. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ ïîðÿäêà ñëàáîéñõîäèìîñòè (íà îñíîâå ïðàâèëà Ðóíãå) äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òðè ðàñ÷åòà ïî ñõåìå (2)ñ äîñòàòî÷íî ìàëûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè øàãàìè h1 = h, h2 = h/2, h3 = h/4. Äëÿêàæäîãî èç íèõ âûïîëíåíî (4), ïîýòîìó

(5) δVi = |V ahi− V a

hi+1| = |C|(hr

i − hri+1) + o(hr), i = 1, 2.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñ òî÷íîñòüþ äî o(hr) ïîëó÷èì

δV1

δV2

=hr

1 − hr2

hr2 − hr

3

=1−

(12

)r(12

)r −(

14

)r = 2r,

îòêóäà

(6) r = log2

δV1

δV2

.

Íèæå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ïîãðåøíîñòåé (5) è ïîðÿäêà òî÷-íîñòè (6) ïî TVD ñõåìå çàäà÷è ðàçðóøåíèÿ ïëîòèíû â ðóñëå íåïîñòîÿííîé ãëóáèíû.

 êà÷åñòâå êîíêðåòíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû (2) âûáèðàåòñÿ îäíà èç TVD ñõåì, ïðåä-ëîæåííûõ Õàðòåíîì2. Ýòà ñõåìà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèéÑåí Âåíàíà òåîðèè ìåëêîé âîäû, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû óðàâíåíèÿì ïîëèòðîïíîéãàçîâîé äèíàìèêè ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = 2 èìåþò âèä

ut + f(u)x = 0, u =

(Hq

), f(u) =

(q

q2

H+ gH2

2

),

ãäå H è q � ãëóáèíà è ðàñõîä ïîòîêà, g � óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè (â ðàñ÷åòàõ g =10).

Íà ðèñ. 1-4 äëÿ T = 0.2 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèñ ðàçðûâíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè

H(0, x) =

{10, x ≤ 3.5,2− th(x− 5), x > 3.5,

(7)

q(0, x) = 0, x ∈ R.(8)

 ýòèõ ðàñ÷åòàõ h1 = h = 0.1, h2 = h/2 = 0.05, h3 = h/4 = 0.025Íà ðèñ. 1 êðóæêè èçîáðàæàþò ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà íà îñíîâíîé ñåòêå ñ øàãîì h1,

ñïëîøíàÿ ëèíèÿ � íà ñåòêå ñ øàãîì h3. Ïóíêòèð óêàçûâàåò-íà÷àëüíîå ïîëîæåíèåóðîâíÿ âîäû, çàäàâàåìîå ãðàôèêîì ôóíêöèè (7).

Íà ðèñ. 2, 3 ïðèâåäåíû ãðàôèêè ïîãðåøíîñòè (5) è ïîðÿäêà òî÷íîñòè (6). Ïðèýòîì â (3) ïîëàãàåòñÿ a = 12. Èç ðèñ. 2, 3 âèäíî, ÷òî ïðè x > 6, ò. å. êîãäà îòðåçîê

2J. Comp. Phys. 1983. V. 49. P. 357-393.

25

èíòåãðèðîâàíèÿ [a, x] öåëèêîì ëåæèòå ãëàäêîé ÷àñòè ðåøåíèÿ ïåðåä ôðîíòîì óäàð-íîé âîëíû, ïîðÿäîê ñëàáîé ñõîäèìîñòè r(x) ðàâåí äâóì. Åñëè x < 5 è [a, x] ñîäåðæèòôðîíò ïðåðûâíîé âîëíû, òî r(x) ≈ 1, è òåì ñàìûì TVD ñõåìà (2) ïðèáëèæåííîèìååò ëèøü ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðè ðàñ÷åòå çàäà÷è Êîøè ñ äàííûìè (7), (8).

Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåí ãðàôèê ôóíêöèè

r0(x) =

{R(x), R(x) ≤ 3,

3 R(x) > 3

ãäå

R(x) = logδv1(x)

δv2(x), δvi(x) = |vvhi

(T, x)− vhi+1(T, x)|, i = 1, 2,

êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ïîðÿäîê ëîêàëüíîé ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.Êàê ïîêàçûâàåò ðèñ. 4, ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü ðàçäåëåíà îêðåñòíîñòÿìè îñîáåííîñòåéòî÷íîãî ðåøåíèÿ (âíóòðè êîòîðûõ ïîðÿäîê ëîêàëüíîé ñõîäèìîñòè èçìåíÿåòñÿ õàî-òè÷íî è òåì ñàìûì ïðîñòî íåîïðåäåëåí) íà òðè èçîëèðîâàííûõ ó÷àñòêà, íà êàæäîìíåêîòîðûõ èìååò ìåñòî ñâîé ñîáñòâåííûé ïîðÿäîê ëîêàëüíîé ñõîäèìîñòè. Èç ðèñ. 4âèäíî, ÷òî ïîðÿäîê ëîêàëüíîé ñõîäèìîñòè TVD ñõåìû íà ðàçëè÷íûõ ãëàäêèõ ó÷àñò-êàõ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷åí è, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíüøå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ñõåìûíà ãëàäêèõ ðåøåíèÿõ.

26

Ðèñ. 1. Ñðàâíåíèå òî÷íîãî è ÷èñëåííîãî ðåøåíèé

27

Ðèñ. 2. Äèñáàëàíñû èíòåãðàëîâ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ

Ðèñ. 3. Ïîðÿäîê ñëàáîé ñõîäèìîñòè

28

Ðèñ. 4. Ïîðÿäêè ñèëüíîé ñõîäèìîñòè

29