第第 44 章 数控机床的工作原理章 数控机床的工作原理

在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。

插补（ interpolation ）定义：机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。

4.1 概述4.1.1 插补的概念

插补的实质插补的实质 数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服

系统根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动。 数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉

冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。

插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。

插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。

硬件插补器由专门设计的数字逻辑电路组成。插补速度快，升级不易，柔性较差。软件插补器 通过软件（编程）实现插补功能。插补速度比硬件插补器慢，但成本低、

柔性强，结构简单，可靠性好。

插补器的分类插补器的分类

4.1.2 4.1.2 插补方法的分类插补方法的分类

特点：每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。

仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统

1. 1. 基准脉冲插补 （行程标量插补或基准脉冲插补 （行程标量插补或 脉冲增量插补）脉冲增量插补）

主要的脉冲增量插补方法主要的脉冲增量插补方法

数字脉冲乘法器插补法逐点比较法数字积分法矢量判别法比较积分法最小偏差法目标点跟踪法单步追踪法直接函数法加密判别和双判别插补法

2. 2. 数字采样插补（数据增量插补）数字采样插补（数据增量插补） 特点：插补运算分两步完成。 （ 1 ）粗插补 在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，

即用若干条微小直线段逼近给定曲线，每一微小直线段的长度都相等，且与给定速度有关。

（ 2 ）精插补 在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作

“数据点的密化”工作，相当于对直线的脉冲增量插补。

适用于闭环、半闭环以直流和交流伺服电机为驱动装置的位置采样控制系统

主要的数字增量插补方法主要的数字增量插补方法

直线函数法 扩展数字积分法 二阶递归扩展数字积分插补法 双数字积分插补法 角度逼近圆弧插补法“改进吐斯丁”（ Improved Tustin Method-ITM）法

4.2 4.2 基准脉冲插补基准脉冲插补

基本思路：每走一步都要将加工点的瞬间时坐标与规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步的走向。如果加工点走到图形外面，下一步就要向图形里面走；如果加工点走到图形里面，下一步就要向图形外面走，以缩小偏差，这样就能得到一个非常接近规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。

四个步骤：偏差判别 ->坐标进给 -> 新偏差判别 ->终点比较

4.2.1 逐点比较插补法逐点比较插补法

1. 1. 逐点比较插补法直线插补逐点比较插补法直线插补

P 点在直线上方，则有：

P 点在直线上，则有：

P 点在直线下方，则有：

如图所示直线 OA 和点 P （ Xi ， Yi ）， A 点（ Xe ，Ye ）。

0YXXY eiei

0YXXY eiei

0YXXY eiei

eieii,i YXXYF （ 1）偏差判别方程式：（ 2）坐标进给和计算Fi,i>=0时，向＋ x方向走一步。

Fi,i<0时，向＋ y方向走一步。ei,ii,1i

ii

YFF

1XX

ei,i1i,i

i1i

XFF

1YY

O

y

F>=0

F<0

x

（ 3）终点判断 • 每走一步判断最大坐标的终点坐标值（绝对值）与该坐标累计步数坐标值之差是否为零，若为零，插补结束。• 总步数为： N=Xa+Ya 。

逐点比较法直线插补流程逐点比较法直线插补流程

例例 4-1 4-1 插补直线插补直线 OAOA ，， AA （（ 55 ，，33 ））序号 偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别

0 F0,0＝ 0,Xe=5,Ye=3 n=0,N=8

1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -3 n=1

2 F1,0＝ -3<0

+Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ 2 n=1+1=2<N

3 F1,1＝ 2>0 +X F2,1＝ F1,1－ Ye＝ -1 n=2+1=3<N

4 F2,1＝ -1<0

+Y F2,2＝ F2,1＋ Xe＝ 4 n=3+1=4<N

5 F2,2＝ 4>0 +X F3,2＝ F2,2－ Ye＝ 1 n=4+1=5<N

6 F3,2＝ 1>0 +X F4,2＝ F3,2－ Ye＝ -2 n=5+1=6<N

7 F4,2＝ -2<0

+Y F4,3＝ F4,0＋ Xe＝ 3 n=6+1=7<N

8 F4,3＝ 3>0 +X F5,3＝ F4,3－ Ye＝ 0 n=7+1=8=N

直线直线 OAOA 插补轨迹插补轨迹

例例 . . 插补直线插补直线 OAOA ，， AA （（ 4,4,55 ））序号 偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别

0 F0,0＝ 0,Xe=4,Ye=5 n=0,N=9

1 F0,0＝ 0 +X F1,0＝ F0,0－ Ye＝ -5 n=1

2 F1,0＝ -5<0

+Y F1,1＝ F1,0＋ Xe＝ -1 n=1+1=2<N

3 F1,1＝ -1<0

+Y F1,2＝ F1,1 ＋ Xe＝ 3 n=2+1=3<N

4 F1,2＝ 3>0 +X F2,2＝ F1,2 － Ye＝ -2 n=3+1=4<N

5 F2,2＝ -2<0

+Y F2,3＝ F2,2 ＋ Xe＝ 2 n=4+1=5<N

6 F2,3＝ 2>0 +X F3,3＝ F2,3－ Ye＝ -3 n=5+1=6<N

7 F3,3＝ -3<0

+Y F3,4＝ F3,3＋ Xe＝ 1 n=6+1=7<N

8 F3,4＝ 1>0 +X F4,4＝ F3,4－ Ye＝ -4 n=7+1=8<N

9 F4,4＝ -4<0

+Y F4,5＝ F4,4＋ Xe＝ 0 n=8+1=9=N

xO

y

A （ 4,5 ）

插补轨迹 插补轨迹

直线插补不同象限插补方向直线插补不同象限插补方向无论在哪个象限，逐点比较直线插补法均采用直线

坐标的绝对值计算。

2. 2. 逐点比较法圆弧插补逐点比较法圆弧插补如右图所示逆圆弧 AE ， C 、 D 、 B 点分别在圆弧的外、内部和圆弧上。 C点在圆弧的外部，则有

0)YX()YX( 20

20

2c

2c

D点在圆弧的内部，则有 0)YX()YX( 2

020

2d

2d

B点在圆弧上，则有 0)YX()YX( 2

020

2b

2b

xO

y

E （ X0,Y0

）C （ Xc,Yc

）

D （ Xd,Yd

）

B （ Xb,Yb

）

A （ Xe,Ye

）

（ 1）偏差判别方程式：（ 2）坐标进给和计算

（ 3）终点判断：

)YX()YX(F 20

20

22

Fi,i>=0时，向 -x方向走一步。

Fi,i <0时，向＋ y方向走一步。1X2FF

YY,1XX

ii,ii,1i

i1ii1i

1Y2FF

XX,1YY

ii,i1i,i

i1ii1i

0e0e YYXXn

注意：圆弧与直线不同，直线用于计算的自始至终是终点坐标，而圆弧则是一个动点坐标。

逐点比较法圆弧插补流程逐点比较法圆弧插补流程

例例 4-2 4-2 插补第一象限逆圆插补第一象限逆圆 AB[(10,0) (6,AB[(10,0) (6,8)]8)]序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别

0 F10,0＝ 0 N=12

1 F10,0＝ 0 － X F9,0＝ F10,0－ 2×10+1＝ -19 N=12-1=11

2 F9,0＝ -19<0

+Y F9,1＝ F9,0+2×0+1＝ -18 N=12-2=10

3 F9,1＝ -18<0

+Y F9,2＝ F9,1+2×1+1＝ -15 N=12-3=9

4 F9,2＝ -15<0

+Y F9,3＝ F9,2+2×2+1＝ -10 N=12-4=8

5 F9,3＝ -10<0

+Y F9,4＝ F9,3+2×3+1＝ -3 N=12-5=7

6 F9,4＝ -3<0 +Y F9,5＝ F9,4+2×4+1＝ 6 N=12-6=6

7 F9,5＝ 6>0 － X F8,5＝ F9,5－ 2×9+1＝ -11 N=12-7=5

8 F8,5＝ -11<0

+Y F8,6＝ F8,5+2×5+1＝ 0 N=12-8=4

9 F8,6＝ 0 － X F7,6＝ F8,6－ 2×8+1＝ -15 N=12-9=3

10 F7,6＝ -15<0

+Y F7,7＝ F7,6+2×6+1＝ -2 N=12-10=2

11 F7,7＝ -2<0 +Y F7,8＝ F7,7+2×7+1＝ 13 N=12-11=1

12 F7,8＝ 13>0 － X F6,8＝ F7,8－ 2×7+1＝ 0 N=12-12=0

插补轨迹插补轨迹

圆弧插补的象限处理圆弧插补的象限处理

4.2.2 4.2.2 数字积分法数字积分法数字积分法也称为数字微分分析法，是在数

字积分器的基础上建立起来的一种插补方法。基本原理：数字积分法是利用数字积分的方

法，计算刀具沿各坐标轴的位移，使得刀具沿着所加工的曲线运动。

优点：运算速度快，脉冲分配均匀，容易实现多坐标联动。

缺点：速度调节不便，插补精度需要采用移动措施才能满足要求。

如右图所示，由曲线 y＝f （ t ）与 x 轴所围成的面积 S 为：

t

dttfS0

)(

取Δt足够小时，则有：

n

1i1i tyS

如令 Δt 为最小的基本单位“ 1”时，则有：

n

1i1iyS

1. 1. 数字积分原理数字积分原理

设置一个累加器，并且假设累加器的容量为一个单位面积。

用该累加器来实现累加运算，那么在累加过程中超过一个单位面积时就必然产生溢出，即产生一个溢出脉冲。

累加过程中所产生的溢出脉冲总数就是所求的近似值，或者说所要求的积分近似值。

tVx x tVy y

ke

y

e

x

y

v

xv

OAV

tkxtvx ex tkytvy ey

结论：动点从原点 O走向终点 A 的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔∆ t ，分别以增量 kxe ， kye

同时累加的过程。

2. DDA2. DDA 直线插直线插补补

各坐标轴的位移量

n

ie

n

ie

t

e

n

ie

n

ie

t

e

yktykdtkyy

xktxkdtkxx

110

110

DDADDA 直线插补器结构直线插补器结构

DDADDA 直线插补器工作过程直线插补器工作过程平面直线插补器由两个数字积分器组成，

每个积分器由累加器和被积函数寄存器组成。

终点坐标值存放在被积函数寄存器中。工作过程：每发出一个插补迭代脉冲，使 kxe 和 kye 向各自的累加器里累加一次，累加的结果有无溢出脉冲取决于累加器的容量和 kxe 、 kye 的大小。

系数系数 kk 的选择和累加次数的选择和累加次数 mm 的确的确定定 假设 m 次累加后（ m 也为累加器的容量）， x 、 y 分别

到达终点，则有

1

11

11

mk

ykmyyktyky

xkmxxktxkx

ee

m

ie

m

ie

ee

m

ie

m

ie

为保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过一个，则有Δx<1和 Δy<1，即 kxe<1和 kye<1。而 xe 和 ye受寄存器容量的限制，令寄存器的位数为 n ，寄存器的最大值为 2n-1，则有 xe＝2n-1， ye＝2n-1。于是有

12

1

nk

为保证累加次数 m 为整数，取 ，所以累加次数 m＝2n 。所以数字积分法直线插补的终点判别为 m＝2n 。

nk

2

1

寄存寄存 KXeKXe 与与 XeXe 的一致的一致性性

由于 KXe= Xe/2n ，运算的方法为：保持数字 Xe 不变，只需把数 Xe往右移动 n 位即可得到 KXe 。

被积函数寄存器 Jvx内装的 Kxe ，可改为只装 Xe 即可。 KYe= Ye/2n ，运算的方法为：保持数字 Ye 不变，只需

把数 Ye往右移动 n 位即可得到 KYe 。被积函数寄存器 JVY内装的 KYe 可改为只装 Ye 即可。

终点终点判别判别

终点计数器 JE

开始： JE =0每进行一次加法运算， JE +1

当 JE=2n时运算停止。

例例 4-3 DDA4-3 DDA 直线插补（二进制计直线插补（二进制计算）算）

累加次数（ Δt ）

X 积分器 Y 积分器终点计数器 JE

备注JVx （ x

e ） JRx ΔxJVy （ y

e ） JRy Δy

0 101 000 011 000 000 初始状态1 101 101 011 011 001 第一次迭代2 101 010 1 011 110 010 Δx溢出3 101 111 011 001 1 011 Δy溢出4 101 100 1 011 100 100 Δx溢出5 101 001 1 011 111 101 Δx溢出6 101 110 011 010 1 110 Δy溢出7 101 011 1 011 101 111 Δx溢出8 101 000 1 011 000 1 000 Δx 、 Δy溢出

DDADDA 直线插补轨迹直线插补轨迹

3. DDA3. DDA 圆弧插补圆弧插补如右图所示， P 点为逆圆弧 AB上的一个动点，由图可知

)(常数kx

V

y

V

R

V yx

txktVy

tyktVx

y

x

注意：对于第一象限逆圆弧， x 坐标轴的进给方向是－ x 方向，因此，要加上负号（－）。其余过程与直线插补相同。

DDADDA 圆弧插补器结构圆弧插补器结构坐标值 x、 y存入被积函数寄存器 JVx、 JVy的对应关系与直线不同，正好相反， JVx存放着y， JVy存放着 x。

直线插补时，寄存器中始终存放着终点的坐标值，为常数，而圆弧插补则不同，寄存器中存放着动点坐标，是个变量。在插补过程中，必须根据动点位置的变化来改变 JVx、 JVy中的内容。

与直线插补的区别：

第一象限逆圆弧第一象限逆圆弧 DDADDA 的插补过程的插补过程 运算开始时， x 轴和 y 轴被积函数寄存器中分别存放着

Y 、 X 的起点坐标值。 x 轴被积函数寄存器中的数与其累加器的数累加得到的溢出脉冲发到－ x 方向。 y 轴被积函数寄存器中的数与累加器中的数累加得到的溢出脉冲发到＋ y 方向。

每发出一个进给脉冲后，必须将被积函数寄存器中的坐标值加以修正。即当 x 方向发出进给脉冲后，使 y 轴被积函数寄存器中的内容减 1 （ x 方向的坐标值减少 1 ，但 x 坐标值存放在 y 轴被积函数寄存器中）；当 y 方向发出一个进给脉冲后，使 x 轴被积函数寄存器中的内容加 1 （ y 方向的坐标值增加 1 ，但 y 坐标值存放在 x 轴被积函数寄存器中）。

终点判断：以圆弧的终点与起点的 x 、 y 坐标值之差的绝对值作为 x 、 y 方向各自发出的脉冲总数值，以此作为终点判断。

DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例已知第一象限逆圆弧 AB ，起点为 A （ 5,0 ），终点为 B （ 0,5 ），采用三位二进制寄存器和累加器，使用 DDA 法进行插补加工。

xO

y

A

B

运算次数

X 积分器X 终

Y 积分器Y 终JVx （ y

i ）JRx

(Σyi)Δx JVy(xi)

JRy

(Σxi)Δy

0 0 0 0 5 5 0 0 51 0 0 0 5 5 5 0 5

2 0 0 0 5 5 2 1 41            

3 1 1 0 5 5 7 0 4

4 1 2 0 5 5 4 1 32          

5 2 4 0 5 5 1 1 23            

6 3 7 0 5 5 6 0 2

7 3 2 1 4 5 3 1 14       4  

8 4 6 0 4 4 7 0 1

9 4 2 1 3 4 3 1 05       3 3 0 0

10 5 7 0 3 3 3 0 0

11 5 4 1 2 3 3 0 0        2 3 0 0

12 5 1 1 1 2 3 0 0        1 3 0 0

13 5 6 0 1 1 3 0 0

14 5 3 1 0 1 3 0 0 

   0  

   

DDADDA 不同象限插补处理不同象限插补处理数字积分法不同象限直线和圆弧插补时，均以第一象限的直线和逆圆弧为标准，以不同象限的坐标值的绝对值进行计算，其进给方向和坐标修正如下表所示。

内 容 L1

L2

L3

L4

NR1

NR2

NR3

NR4

SR1

SR2

SR3

SR4

动点修正

JVX    ＋1

－1

＋1

－1

－1

＋1

－1

＋1

JVY     

 －1

＋1

－1

＋1

＋1

－1

＋1

－1

进给方向

ΔX ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ ＋ ＋ － －

ΔY ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ － ＋ ＋ －

4.3 4.3 数据采样插补数据采样插补 基本原理：是一种时间分割法，根据进给速度，将加工

轮廓曲线分割为一定时间内（一个插补周期）的进给量（一条微小直线），即用一系列微小直线段逼近轮廓轨迹。在每个插补周期，调用插补程序一次，为下一插补周期计算出各坐标轴应该行进的增长段，并计算插补点的坐标值。

实现步骤：粗插补（用若干微小直线段逼近曲线）和精插补（脉冲增量插补）。

解决两个问题：选择插补周期；计算一个周期内各坐标轴的进给量。

插补周期的选择 （ 1 ）插补周期与插补运算时间的关系。 （ 2 ）插补周期与位置反馈采样周期的关系。 （ 3 ）插补周期与精度、速度的关系。

数据采样插补直线与圆弧插补原理数据采样插补直线与圆弧插补原理 直线插补：用插补所形成的步长子线段逼近给定直线，

与给定直线重合。圆弧插补：用弦线（直接函数法）或割线（扩展 DD

A 算法）逼近圆弧。

1. 1. 直线插补算法原理直线插补算法原理 每个插补周期的进给步长为 ΔL=FT 直线 OPe 的长度为 L=(Xe2+Ye2)0.5

x 和 y 轴的位移增量为 ΔX= ΔLXe/L ΔY= ΔLYe/L 假设 k=ΔL/L 插补第 i 点的动点坐标为 Xi=Xi-1+ΔX= Xi-1+kXe

Yi=Yi-1+ΔY= Yi-1+kYe

2. 2. 圆弧插补算法圆弧插补算法 基本思想：在满足精度的前提下，用弦进给代替弧

进给，即用直线逼近圆弧。圆弧上相邻两点坐标之间的关系如下。

sinL5.0Y

cosL5.0X

EMOC

AEDH

CDOC

HMDH)

2tan(tan

i

ii

sin5.0

cos5.0tan

LY

LX

X

Y

i

i

FTL

YYY

XXX

i1i

i1i

4.4 4.4 加工过程的速度控制加工过程的速度控制 机床加工过程中，不同尺寸、不同材质的零件，切削速

度不同。 CNC 系统进给速度控制包括自动调节和手动调节两种

方式。自动调节方式：按照零件加工程序中速度功能指令中的

F值进行速度控制。手动调节方式：加工过程中由操作者根据需要随时使用倍率旋钮对进行速度进行手动调节。

开环系统中，坐标轴运动速度是通过向步进电机输出脉冲的频率来实现，其速度控制方法是根据程编 F值来确定其频率。

半闭环和闭环系统中，采用数据采样方法进行插补加工，其速度计算是根据程编 F值将轮廓曲线分割为采样周期的轮廓步长。

因此，进给速度控制方法与系统采用的插补方法有关。

4.4.1 4.4.1 基准脉冲插补法的进给速度控制基准脉冲插补法的进给速度控制

首先分析、计算每次插补运算所占用时间，然后再用各种速度要求的进给脉冲间隔时间减去每次插补运算时间，从而得到 CPU再每次插补运算后应等待的时间，用 CPU 的空运转循环对这段等待的时间进行计时，即采用软件延时子程序。

也可通过置速度标志来实现程序计数。 程序计时法多用于点位直线控制系统。 不同的空运转时间对应着不同的进给速度，空运转等待时间越短，发出进给脉冲频率越高，速度越快。

1. 程序计时法

2. 时钟中断法时钟中断法只要求一种时钟频率，用软件

控制每个时钟周期内的插补次数，以达到进给速度控制的目的。

为了换算出每个时钟周期应插补的次数（即发出的进给脉冲数），选定一个特殊的进给速度 F 对应的频率。该频率对给定的进给速度，每个时钟周期插补一次。

4.4.2 4.4.2 数据采样插补法的进给速度控数据采样插补法的进给速度控制制

为了保证机床在启动或停止时不产生冲击、失步、超程或振荡，必须对进给电机进行加减速控制。分为前加减速控制和后加减速控制。

前加减速控制：对合成速度 F 进行控制，优点是不影响实际插补输出的位置精度。缺点是需要预测减速点（需要根据实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定）。

后加减速控制：对各运动轴分别进行加减速控制，不需要预测减速点，在插补输出为零时开始减速，并通过一定的时间延迟逐渐靠近程序段终点。缺点是对各运动轴进行控制，实际的各轴的合成位置可能不准确。

1. 1. 前加减速控制前加减速控制稳定速度：系统处于稳定进给状态时，每插补

一次（一个插补周期）的进给量。稳定速度的计算如下

稳定速度计算完毕后，还需要进行速度限制检查，看是否超过参数设定的最大速度。

瞬时速度：系统在每个插补周期的进给量。当系统处于稳定进给状态时，瞬时速度 Vi=Vg；当系统处于加速或减速状态时， Vi<Vg （或 Vi

>Vg ）。

100060

TKFVg

（（ 11 ）线性加减速处）线性加减速处理理 设进给速度为 F （ mm/min ），加速到 F 所需时间

为 t （ ms ），则加速度 a （ µm/ms2 ）为

加速时，当计算出的稳定速度 大于原来的稳定速度 时，需要加速，加速一次，瞬间速率为

减速时，先进行终点判别，计算离终点的瞬时距离Si ，并根据减速标志判断是否到达减速区域 S ，若到达则减速。减速区域 S 为

若 Si≤S ，开始减速，每减速一次，瞬时速度为

t

F1067.1a 2

aTVV i1i

'gV

gV

a2/VS 2g

aTVV i1i

线性加速和减速处理流程图线性加速和减速处理流程图

（（ 22 ）终点判别处理）终点判别处理 直线插补时， A 的瞬间坐标值为

瞬间点 A 离终点 P 的距离 Si 为

圆弧插补圆弧圆心角小于 π时

圆弧圆心角大于 π时， Si 的计算先要判别的变化趋势（过分界点前，逐渐变大；过分界点后，逐渐变小），若 Si变大，不进行终点判别处理，直到越过分界点为止。若 Si变小，再进行终点判别处理。

yyy

xxx

1ii

1ii

cos

1xxS ii

cos

1yyS ii

2. 2. 后加减速控制后加减速控制

指数加减速控制算法：将启动或停止时的速度突变变成随时间按照指数规律上升或下降。

加速时：

匀速时：

减速时：

)e1(V)t(V T

t

c

（（ 11 ）指数加减速控制算法）指数加减速控制算法

cV)t(V

T

t

ceV)t(V

（（ 22 ）直线加减速控制算法）直线加减速控制算法 直线加减速控制算法：使得机床在启动或停止时，速度沿着一定斜率的直线上升或下降。

加速过程：

加速过渡过程：

匀速过程：

减速过渡过程：

减速过程：

KLVV 1ii

ci VV

1ii VV

ci VV

KLVV 1ii