§ 4.1- § 4.3目的与要求 :

◆掌握整除 , 单位 , 相伴元 , 平凡因子 , 真因子 ,素元 , 唯一分解的概念及性质 .

◆掌握唯一分解环的概念及等价定义 , 了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性 .

◆掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与唯一分解环的关系 .

第四章 整环里的因子分解

§4.1 素元 唯一分解

单位

整除

定义 4.1.1 整环 I 中的可逆元 ε 称 I 的一个单位 .

定义 4.1.2 称整环 I 的一个元 a 可以被 I 的元 b 整除，假如 在 I 里找得出元 c ，使得 a=bc. 假如 a 能被 b 整除，我们 说 b 是 a 的因子，并且用符号 b|a 来表示，否则用 b a 来表示 .

单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定是一个单位，而单位未必是单位元 .

注:

平凡因子；真因子

素元

定义 4.1.4 单位以及元 a 的相伴元叫做 a 的平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子 .

定义 4.1.5 整环 I 的一个元 p 叫做一个素元，假如 p 既不 是零元，也不是单位，并且 p 只有平凡因子 .

相伴元

定义 4.1.3 元 b 叫做元 a 相伴元，假如 b=εa , 其中 ε是 I 的一个单位 .

定 理 4.1.1 两个单位 和 的乘积 是一个单位， 单位 的逆 也是一个单位 .

1

定 理 4.1.2 单位 同素元p的乘积也是一个素元.

0, 0 0;p p

p p 是单位.此与 是素元矛盾.

证明 (1)

p 不是单位, ppI )()(1 ‘‘‘ 使得若不然， (2)

p 只有平凡因子.(3)

定 理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分而且必要条件是： a=bc ， b 和 c 都不是单位元 .

推论 假定 a≠0 ，并且 a 有真因子 b ， a=bc ，那么 c 也是 a 的真因子 .

( ) ( ) .a b U I b a b a 有真因子 使得 且 不是 的相伴元.c I a bc 使得

( ), ( ).c U I a b c U I 若 则 与 是相伴关系，故( ) , ( )a bc b c U I b a 假定 ， 不是 的相伴元，否则

证明

,矛盾 .

故 a 有真因子 .

1 ( )b a bc c c U I

唯一分解

i

定义 4.1.6 我们说，一个整环 I 的一个元 a 在 I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足： （ i ） ( 是 I 的素元 );

（ ii ）若同时 ( 是 I 的素元 ); 那么 , 且可把 的次序掉换 （ 是 I 的单位） .

iii pq

rpppa 21 ip

sqqqa 21 iq.r s iq

例 是整环， 是 4 在此环中两种不同的分解 .

)1,0,,],3[( Z )31)(31(224

证明 (i)

.1),(3 ＝是单位 Zbaba

.42 的元是素元＝适合条件(ii)

.231 的相伴元都不是(iii)

§4.2 唯一分解环

唯一分解环

定义 4.2.1 一个整环 I 叫做一个唯一分解环 (UFD) ，如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解．

例　 是一个 UFD, 不是一个 UFD ． Z ]3[ Z

定理 4.2.1 　假定 I 是一个 UFD ， 是 I 中的素元，则对任意 有： ．

bpapabp 或Iba ,p

推论　在一个 UFD 中 , 若素元 ，则 必整除某一个 ．ianaaap 21 p

ba,,a b现设 , 0, .p ab ab pc c c 也非单位

( ).c pc pc否则若 是单位，则 是素元与 可写成两个非单位的元之积矛盾

皆素元诸 in ppppc ,21 ' ' ' '

1 2 1 2 ,, ,r s j ka q q q b q q q q q 诸 皆素元.

pqqqqqq sr ＝''2

'121 1 2 .np p p

i jp q q 是某个 或 的相伴元，

appq 则,1 '

1 .q p p b 则

证明　当 中有一个是零或是单位时，定理显真 . 皆非零元，也非单位 .

于是 .又令

于是

由分解唯一性知 如 ；如

定理 4.2.2 　若整环 I 满足： (1) (2) 若 那么 I 一定是唯一分解环 .

\ ( )I U I 中每一个元均有一个分解式；, , , .p I p ab p a p b a b I 是 的素元 则必有 或

定义 4.2.2 　 1 1, , , , 1, , , , ,n i nd a a I d a i n d a a 假定 如果 则称 为 的一个公因子；

1 1, , , , ,n nd a a a a d 假定 为 的一个公因子 若 的每一个公因子都能整除 ，则称

1, , nd a a为 的一个最大公因子.

，则称中的最大公因子是单位在如果假定 IaaIaa nn ,,,, 11 定义 4.2.3 　1, na a 互素.

定理 4.2.3 　假定 I 是唯一分解环 , , ,a b I 那么有(1) 在 I 中 , 有最大公因子；和ba

(2) , ,d d a b d d 若 均为 和 的最大公因子，则 是相伴关系.

定义 4.3.1 　如果整环 I 中的每一个理想都是主理想， 则称 I 是一个主理想环，记为 PID.

{0} , ( ) .A Z A a a A （ ） 是 的理想，记 中的最小正整数为 则

aamAm 则),(, ,0,, areasmm 设

( ). ( ).r m as A a A a A a 此与 的最小性矛盾，故 从而

证明　设

则

另一方面，若

§4.3 主理想环

( , , ,0,1)Z 整数环 是主理想环.例 1 　

( [ ], , ,0,1)F F x 是域，则 是主理想环.例 2 　

的理想，是）（ ][}0{ xFA

( ), ( ( )) .A f x f x A记 中次数最低的多项式为 则

)()),(()(,)( xfxfxgAxg 则 ),(xg

( ) ( ) ( ) ( ), ( ( )) ( ( )) ( ) ( )g x f x u x v x v x f x v x A f x 设 而 此与 次数最小矛盾.

( ( )), ( ( )).A f x A f x 从而

证明：设

另一方面，若

故

设 是一个 PID, 则 I中的每一个真因子序列一定

是有限序列 . 即若序列 中每一个元素都是前面一个

元的真因子，则该列一定是有限序列 .

)(,,, 21 Iaaa i

)1,0,,,( I引理 4.3.1 　

p I是 中的素元， 则(p)为I的极大理想.)1,0,,,( I引理 4.3.2设 是一个 PID,

)1,0,,,( I定理 4.3.1 　 设 是一个 PID, 则 I是 UFD.

　　　　　注：定理的逆不成立 . 例如 [ ] .x UFD PID是 但不是Z

§ 4.4- § 4.6 目的与要求 :◆掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 ◆掌握本原多项式的定义与性质 , 以及多项式的可

约性判断 .

◆掌握多项式的根 , 重根 , 导数；重根的判别定理 .

: : 0 .I n n Z Z, , 0, ,a b I a q r I 使得对 存在 满足

,b qa r 0 ( ) ( ). ( ).r r a I ED 或 则称 是一个欧氏环

　定义 4.4.1 设 I是整环，若 存在映射

其中

§4.4 欧氏环

( , , ,0,1) 是一个欧氏环.Z

: ; , .a a a Z Z Z

, , , ,a b q r 是一个映射 且 一定存在 使得Z Z, 0 ( ) ( ).b aq r r r r a a 或

( , , ,0,1) 是一个欧氏环.Z

例 1 整环证明 　令则

故

定理 4.4.1 任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一 定是一个唯一分解环 .

　　注：定理 4.4.1 的逆不真， P.I.D 未必是欧氏环 . 如复数域的子环

19 1,

2R a b a b

Z 是一个 P.I.D 但不是欧氏环 .

定理 4.4.2 ( , , ,0,1) 是欧氏环,从而是唯一分解环.Z

[ ] [ ]I x I I x是整环 上的一元多项式， 的元1

1 1 0( ) n nn ng x a x a x a x a

( ), ( ) [ ], ( ), ( ) [ ]na U I f x I x q x r x I x 那么对 存在 使得( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x

( ) 0 ( )r x r x x 或 的次数小于g( )的次数 .n

引理 4.4.1 假定的最高系数

其中

例 2 数域 F上的多项式环( [ ], , ,0,1)F x 是一个欧氏环.

( [ ], , ,0,1)i 是欧氏环.Z( [ ], , ,0,1)i Z

2 2: [ ] \{0} ;i a bi a b Z Z

.是一个映射[ ] \{0}, [ ],a bi i c di i Z Z , ,k li k l

，Z' ',k l Z ' '1 1

,2 2

k k l l

' ' [ ],k l i i ，Z .

例 3 Gauss整数环　　　证明　　易证

是整环 . 令

则设

则存在 使得

令

，

则2

0,

则（ ）＝（ － ）＝（ ） －

2 2' ' 1( ) ( ) ( ).

2k k l l ＝

( [ ], , ,0,1)i 是欧氏环.Z

若

因此

[ ] .F x是一个欧氏环[ ]F x是一个整环，令

[ ] ; ( ) deg( ( )), ( ) [ ].F x f x f x f x F x ： Z是一个映射. ( ) [ ] , ( ) [ ],g x F x f x F x

( ) 0 ( ) 0, , .n n ng x g x a a F a 的最高项系数 而 则 可逆

( ), ( ) [ ]q x r x F x 使得

( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x

( ) 0 ( )r x r x x 或 的次数小于g( )的次数 .n

( ) 0 ( ( )) ( ( )). [ ] .r x r x g x F x 或 故 是唯一分解环

定理 4.4.3 域 F 上的一元多项式环证明　　显然

则

由引理 4.4.1可知，

其中

即

附注 几种常见的整环之间的关系图：

例①可取 3 ；Z

例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．

例②可取 [ ]x；Z

例③可取1 19

2

；Z

例④可取 或数域 F上的一元多项式环 ；

Z[ ]F x

整环①整环①

UFD②

PID③

ED④ED④

域⑤域⑤

§4.5 多项式环的因子分解

. .I U F D为 [ ]I x F为

( [ ]) ( ), [ ]U I x U I I x 且 为整环;

[ ] ( ) ( )I x f x f x中多项式 称为本原多项式，如果 系数的最大公因子是单位.( ) ,f x 可约则

( ) ( ) ( ), ( ), ( ) [ ] deg ( ) deg ( ) 0.f x g x h x g x h x I x f x g x 且

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g x h x g x h x 是本原的 和 均是本原的

( ) [ ], deg ( ) 0, ( ) ( ) ( [ ])f x I x f x f x f x U I x 若 则 是本原的 .

设 ， 上的一元多项式环，则有如下简单事实：

(2)

(3) 若本原多项式

(4)

(5)

(1)

,0 ( ) [ ],I f x x 设 是 的商域 则Z Z

0 0( ) ( ), , , ( ) [ ] ;b

f x f x a b I f x I xa

是 中的本原多项式

0 0 0 0( ) ( ) ( ), , , , , ( ), ( )b d

f x f x g x a b c d I f x g xa c

若 [ ]I x均为 中的本原

0 0( ) ( [ ]) ( ) ( ).U I U I x f x g x 使得

引理 4.5.1 (1)

(2)

多项式，则

0 0( ) [ ] , ( ) [ ]f x I x f x I x是 中的一个本原多项式 在 中可约的充分

0 ( ) [ ] .f x x I在Q 中可约，其中Q为 的商域引理 4.5.2 假设

必要条件是

引理 4.5.3 [ ] ( ) [ ]I x f x I x的任一个次数大于零的本原多项式 在 里有 唯一分解 .

定理 4.5.1 若 . . , [ ] . . .I U F D I x U F D是 则 也是

1 2 1 2. . , [ , , , ] . . ., , , ,n nI U F D I x x x U F D x x x 是 则 也是 其中 是 I

上的无关未定元.

定理 4.5.2 若

§4.6 因子分解与多项式的根

( ) [ ], ( ) 0, ( ) .f x I x a I f a a f x 如果存在 使得 则称 是 的根定义 4.6.1 设

, ( ) [ ], , ( )I f x I x a I a f x 是整环 那么 是 的根

( ) ( ).x a f x定理 4.6.1 假定

的充分必要条件是

1 2( ) [ ], , , , ,kf x I x a a a I k 是 中 个不同的元素 则

1 2, , , ( )ka a a f x 均是 的根 1( ) ( ) ( ).kx a x a f x 定理 4.6.2

( ) [ ] , ( )f x I x n f x I n若 是 中的 次多项式则 在 中至多有 个根.推论

( ) ( ), ,f x I x a I 设 那么'( ) ( ) ( ).a f x x a f x 为 的重根

定理 4.6.3

, ( ) [ ], 1,a I f x I x k 如果 使得

( ) ( ), ( )kx a f x a f x 则称 为 的一个重根.

定义 4.6.2

. . ., ( ) [ ], ,I U F D f x I x a I 若 为 那么

'( ) ( ) ( ) ( )a f x x a f x f x 为 的重根 能整除 与 的最大公因子.

推论