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U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALESY REDES DE COLAS

• INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS. Concepto de red abierta y cerrada. Redes abiertas y Teorema de Jackson.

• MODELOS NO EXPONENCIALES Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine. Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1. Uso de QTS_EXCEL.

• APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s. Aproximación de Allen-Cuneen. Aproximaciones para colas congestionadas (Heavy Traffic)

tresteve

Cap. 5 Allen A. O. “Probability, Statistics and Queueing Theory” Academic Press. 1998.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1

µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

( )( )

( )( )

M

M

M

M

nnnnnnn

nnnnnnn

PPPPPP

PPPPPP

PP

nn

emergenteTasaincidenteTasaEstado

⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅

⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅

⋅=⋅

−

=

++−−

−−−−−

µλµλµλµλ

µλµλµλµλ

λµ

1111

11122

2223311

1112200

0011

1

210

Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar N(t), portanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo K clientes,habrán K+1 ecuaciones.

tresteve

...

tresteve

...

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1 ; 21 0

21

110 === − CnCn

nn K

K

K ,,µµµ

λλλ

KK

K ,,210021

110 =⋅=⋅= − nPCPP nn

nn µµµ

λλλ

∑∑

∑∞

= ∞

=

∞

==→=⋅=

0

0

000

11n

nn

nn

nC

PPCP

+∞<∑∞

=0nnC

Las probabilidades de estadoestacionario quedan definidas si:

En caso de que el S.E. pueda contener sólo K clientes como máximo,el sumatorio se extiende de n=0 a n=K y siempre será finito.


EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:

1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:

N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío)

t

N(t)

N(t)

t

ρ ≥ 1

ρ <1

• Tiempos entre llegadas τ i.i.d. de ley exp. con parámetro λ.• s > 1 servidores iguales.• Tiempo de servicio x i.i.d. según una ley exp. de parámetro µ.

+=⋅−=⋅

=

==

K

KK

,,,,,,,,

1121

210

ssnssnn

n

n

n

µµ

µ

λλ

MODELO M/M/s

0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •

λ λλλ λ λ

µ 2µ 3µ sµ sµ sµ

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El modelo M/M/s/K

Sistema de espera con limitación de capacidad que presupone:

1. Tiempos entre llegadas τ i.i.d. exp. de parámetro λλ =n .

2. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro µ .

3. Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.

4. El número de clientes al sistema de espera es ≤ K.

El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K

Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:

➨ Siempre alcanzará régimen estacionario.

0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •

λ λλλ λ λ

µ 2µ 3µ sµ sµ sµ

K

MODELO M/M/s/./N

S.E. con población finita (N) que presupone:

• Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según leyexp. de parámetro λ

• Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro µ.• Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.• Una población finita de clientes limitado al valor N. Para simplificar

se supone N > s.Es un S.E. cerrado: Hay siempre N clientes (población+S.E.)

Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población

Población Sistema de Espera

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REDES DE COLAS EXPONENCIALES

➨ Sistemas de colas exponenciales formando una red de montaje deordenadores o coches, por ejemplo.

➨ Podemos considerar dos tipos de redes de S.E.:

a) ABIERTAS. reciben entradas de clientes procedentes de una o variaspoblaciones externas y que tienen salidas hacia el exterior;.

b) CERRADAS. No reciben entradas de poblaciones externas ni tienen salidasal exterior. Número constante de clientes circulando dentro de la red.

Ejemplo.

Red abierta de S.E.

Ejemplo. Ssitema M/M/s/./N:

Pobl. 2

1

2

3 Pobl. 1 Exter.

1 2

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Redes abiertas. Teorema de Jackson

➨ Condiciones bajo las que las redes abiertas de S.E. presentan propiedadespara efectuar un análisis por descomposición.

1. El S.E. (nodo) i tiene un número de servidores si de características idénticasentre sí. Los tiempos de servicio de cada servidor tienen distribuciónexponencial de probabilidades con capacidad individual de servicio µi.

2. La capacidad de la cola en cada S.E. es ilimitada.

3. Los clientes que han estado servidos en el nodo i se reparten entre losnodos j ∈ E(i), emergentes del i y, con probabilidades pij > 0 constantes a lolargo de toda la evolución del sistema.

4. el tiempo asociado al arco (i,j) es cero.

➨ Si todas las llegadas externas están distribuidas poissonianamente y severifican las condiciones anteriores entonces se llaman redes de Jackson ysobre ellas puede aplicarse el resultado del teorema de Jackson (1957) .

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Teorema de Jackson. Sea una red abierta de S.E. verificando lascondiciones para la descomposición anteriores, con soluciones delsistema:

NjprN

iijijj ,,1

1K=∑+=

=λλ

tales que iii s µλ ⋅< para todo S.E.

i=1,…,N.Entonces cada S.E. se comporta como una cola M/M/si con

entradas de clientes con tasa iλ y que presentará en estadoestacionario una distribución de probabilidades propia de las colasM/M/s e independiente de la de los otros sistemas dentro de lared.

1

21

1211111

+

=

λ

λ

λ

λ

NNNNN

N

NN ppp

ppp

r

rM

L

MOMM

L

MM

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===

→++=

+==

451010

3/22/12/15

10

3

2

1

3213

12

1

λλλ

λλλλλλ

λ

=

−−−→

+

=

05

10

3/112/1012/1001

3/212/1

002/1000

05

10

3

2

1

3

2

1

3

2

1

λλλ

λλλ

λλλ

Pobl. 2

1

2

3 Pobl. 1 Exter. 1/2

1/2 1

2/3

1/3

r1=10

r2= 5

Se dispone de servidores con tasaindividual de servicio µ = 12.Determinar en cada nodo elnúmero mínimo de servidores deforma que la red de S.E. presenteestado estacionario. Calcular lasdemoras medias en todos los S.E.de la red.

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Las entradas en los S.E. 1, 2 y 3 son respectivamente: 10, 10, 45. Por tanto:

1. Para el nodo 1, si s1= 1 , ρ1 = λ1/µ1 = 10/12 <1.

2. Para el nodo 2, si s2= 1 , ρ2 = λ2/µ2 = 10/12 <1.

3. Para el nodo 3, hay que dotarlo de s3= 4 servidores: ρ3 = λ3/(s3 ⋅µ3) =45/(4⋅12) <1.

Los nodos 1 y 2 con un solo servidor son colas de tipos M/M/1 con las mismastasas de entrada:

P0= 1- ρ1 = 1-10/12 = 1/6;

El nodo 3 se comporta como una cola M/M/4; Si θ=λ3/µ3 =45/12 entonces:

2/1 ,51 1

121

1

121 ====

−==

λρρ LWWLL

0065610161245 4

415720

04

413

312

211

11

0 ,)(!

,!!

===

⋅+

∑∞

=++++

−−

iiP ρθθθθ

( ) 288057121

1

320 ,,.

!===

−

=

λρρ

µλ q

q

s

q

LP

sL W

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MODELOS DE COLAS NO EXPONENCIALES

➨ Los modelos de colas que se han visto hasta el momentoestaban basados en los procesos de nacimiento y muerte.

Suponían tiempo entre llegadas y tiempo de servicio de tipoexponencial.

Las hipótesis pueden resultar inapropiadas para modelizardeterminadas situaciones:

1. Las llegadas programadas a la consulta de un médico.

2. Las colas que se forman cíclicamente en los semáforos de lasciudades.

3. En el caso del servicio, si el tiempo que requiere cada cliente esmás o menos constante, por ejemplo en una cadena de montaje

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El modelo M/G/1

➨ Los S.E. que responden a modelos M/G/1 son aquellos que:

1. Las llegadas tienen una tasa constante igual a λ. Los tiemposentre llegadas al sistema son i.i.d. exponencialmente.

2. Los tiempos de servicio tienen una distribución deprobabilidad común cualquiera y son mútuamenteindependientes, de esperanza matemática 1/µ y varianza σ2 .

3. El sistema de espera dispone de un único servidor: s =1.

➨ Para conseguir un estado estacionario es suficiente que elfactor de carga del sistema ρ = λ/µ <1.

ρ−=10P

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➨ La fórmula de Pollaczek-Khintchine determina la esperanzamatemática de la longitud de cola en régimen estacionario: Lq.

( ) ( ) ( )ρρ

ρρσλ

σµ−

+=−

+⋅=12

112

222

222

qL

ρ=1

ρ

Lq

A partir de las fórmulas de Little se obtienen el resto demagnitudes, L, W, Wq.

La fórmula refleja la influencia de la dispersión de los tiemposde servicio (varianza σ2) en el comportamiento del S.E.:

A mayor σ2 mayor será la longitud media de cola Lq a igualdadde ρ y λ.

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➨ Caso particular M/M/1, tenemos 22 1

µσ = y la fórmula de

Pollaczek-Khintchine se convierte en,

( ) ( ) ( ) ( )ρρ

ρρ

ρρµλ

ρρσλ

−=

−=

−+⋅=

−+⋅=

1122

1212

22222222

qL

coincidiendo con el resultado encontrado anteriormente.

➨ Caso particular M/Ek/1: la distribución de los tiempos deservicio es Erlang de parámetros k y µ = 1/E[x], su varianza es1/kµ2, al aplicar la fórmula de Pollaczek-Khintchine:

( ) ( ) ( )ρρ

ρρµλ

ρρσλ

−+=

−+⋅=

−+⋅=

121

1212

2222222

kkkLq

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➨ En el caso M/D/1, la distribución de los tiempos de servicio esconstante, de media µ1 unidades de tiempo ( µ servicios porunidad de tiempo) y varianza 02 =σ , la fórmula de Pollaczek-Khintchine determina la expresión de la longitud media de lacola como,

( ) ( )ρρ

ρρσλ

−=

−+⋅=

1212

2222

qL.

Lq ≤ Lq ≤ Lq D Ek M

M/D/1 system-size probabilities

0,000,050,100,150,200,250,300,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8

size

prob

abilit

y

M/E(k)/1 system-size probabilities

0,000,020,040,060,080,100,12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10size

prob

abilit

y

QTS_EXCEL: CASOS M/Ek/1, M/D/1

COLA G/M/1

E(k)/M/1 system-size probabilities

0,000,050,100,150,200,250,30

1 3 5 7 9 11

size

prob

abilit

y

CDF for E(k)/M/1 line waiting times

0,000,200,400,600,801,00

0,0 10,0 20,0 30,0

time

cdf

CDF for E(k)/M/1 system waiting times

0,000,200,400,600,801,00

0,0 10,0 20,0 30,0time

cdf

APROXIMACIÓN DE LA COLA GI/G/s


Exacta paraM/M/s, M/G/1


APROXIMACIÓN DE LA COLA GI/G/s

τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …

t

Tiempo entre incidencias (revisión o avería) de un motor: τ ≤ 14

Tiempo entre averías de un motor: τ'P(τ' ≥14) = 0,88

Simulación de 1000 períodos:

P(τ' ≥14) = 0,88→ 88% de las incidencias: revisiones

tresteve

Práctica 4

tresteve

Utilización de la suite: qts_excel Aproximación de Allen-Cuneen

Se procede a un análisis aproximado para cada año mediante unmodelo de colas tipo G/M/1.

Se adopta una distribución de los tiempos entre llegadas τ paracada año del tipo:

Población Sistema de Espera

Exterior

tresteve

Tema 4.a SIMULACIÓN


Distribución del tiempo depermanencia en el taller

W=1,43 σw=1,25

Ocupación media

Opción: no renovar tallerE[x] ≈0,5 semanas

tresteve

SIMULACIÓN DEL SISTEMA: (durante 650 semanas)

Prá

ctic

a 4

:

QTS

_EX

CEL

:

Apr

oxim

ació

n d

e A

llen

-Cu

nee

n

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