二面角 (2)

师院附中 宗来红

二、二面角的平面角

一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角

1、定义2 、求二面角的平面角方法

① 点 P在棱上② 点 P在一个半平面上③ 点 P在二面角内

ABPγ

βαι

复习

α

βι

A

B

αβ

ι

p

ι

p

α

β

AB

p

α

β

ι A

B

O

— 定义法— 三垂线定理法

— 垂面法

例 1. 如图，已知 P 是二面角 α-AB-β 棱上一点，过 P 分别在 α 、 β 内引射线 PM 、 PN ，且∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。

β

α

A BP

M

N

C

D

O

解：在 PB 上取不同于 P 的一点 O ，在 α 内过 O 作 OC⊥AB 交 PM 于 C ，在 β 内作 OD⊥AB 交 PN 于 D ，

连 CD ，可得∠COD 是二面角 α-AB-β的平面角

设 PO = a ，∵∠ BPM =∠BPN = 45º∴CO=a ， DO=a ， PC a ， PD a2 2

又∵∠ MPN=60º ∴CD=PC a2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为 90º

a OP

C

例 2 ．如图 P 为二面角 α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β, 且 PA=5 ， PB=8 ， AB=7 ，求这二面角的度数。

过 PA 、 PB 的平面 PAB 与 棱 ι 交于 O 点

∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι

∴ι⊥ 平面 PAB∴∠AOB 为二面角 α–ι–β的平面角

又∵ PA=5 ， PB=8 ， AB=7

2

1cos P由余弦定理得

∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴ 这二面角的度数为 120º

解：β

αA

B

P

ιO

O

AB

P

C

取 AB 的中点为 E ，连 PE ， OE∵O 为 AC 中点， ∠ ABC=90º∴OE∥BC 且 OE BC2

1

2

2

2

1在 Rt△POE 中， OE ， PO

2

2tan PEO∴

2

2∴ 所求的二面角 P-AB-C 的正切值为

例 3 ．如图，三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面 ABC上的射影是底面 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ，若PB=AB=1 ， BC= ，求二面角 P-AB-C 的正切值。2

∴∠PEO 为二面角 P-AB-C 的平面角

2

3在 Rt△PBE 中， BE ， PB=1 ， PE2

1

OE⊥AB ，因此 PE⊥AB E

解：

E O

P

练习 1 ：已知 Rt△ABC 在平面 α 内，斜边 AB在 30º 的二面角 α-AB-β 的棱上，若 AC=5 ， BC=12 ，求点 C 到平面 β的距离 CO。

β

α

A

C

B

O

D

练习 2 ：在平面四边形 ABCD 中， AB=BC=2 ，AD=CD= , ∠B=120º ；将三角形 ABC 沿四边形 ABCD 的对角线 AC 折起来，使 DB′= ，求△ AB ′C 所在平面与△ ADC 所在平面所成二面角的平面角的度数。

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A

B

C

B’D

O

α

β

A

B

C D

A 为二面角 α– CD –β 的棱 CD 上一点， AB 在平面 α 内且与棱 CD 成45º 角，又 AB 与平面 β 成 30º ，求二面角 α– CD – β的大小。

思考