ゲーム理論

第1章

　　　　　　　　ゲーム理論とは？

数学の理論だが…

● 相手との駆け引き● 必勝法をさがす● 確率を考える

といったところなのでは?

いろいろな分野で応用

工学

生物学

社会学政治学

経済学

心理学

経済学におけるゲーム理論

企業間の競争（値下げ競争）

ノーベル経済学賞をゲーム理論で受賞● ジョン・ナッシュ● ラインハルト・ゼルテン● ジョン・ハーサニ

● ロバート・オーマン● トーマス・シェリング

ゲーム理論のはじまり

1994年に

フォン・ノイマンと

モルゲンシュテルンが

共著「ゲームの理論と経済行動」を

出す

第1章は

ゲーム理論の

極めてミニマムな状況を考えている

この本（高校生からのゲーム理論）で

じゃんけん の　勝ち負け

あいこ

あいこ 　　　　　　

　

あいこ

ゼロサム ・ ゲーム

0 , 0 1 , -1 -1 , 1-1 , 1 0 , 0 1 , -1 　

　

1 , -1 -1 , 1 0 , 0

得点のことをゲーム理論では利得という

数値化して見えてくるもの・・・・

どの欄をとっても両者の利得は 0 になる

0　sum ゲーム

勝って得するのは自分

といったわかりやすい現象

チキン・ゲーム

　　妥協 　　強引

妥協 2 , 2 1 , 3

強引 3 , 1 　0 , 0

相手の出方を見て

自分の戦略を決めないといけない

自分が強引にいく姿勢を見せて

相手から妥協をひきだすといった戦略も

設定* 2人とも黙秘したら懲役2年

* どちらかが1人が自白すればその者は釈放

ただし自白していない者は懲役3年

* 2人とも自白すれば懲役1年

囚人のジレンマ　

囚人のジレンマ

　黙秘 　自白

黙秘 2 , 2 　 0 , 3

自白 3 , 0 　　1 , 　 　 1

囚人は自白（裏切り）しがち　

　

相手がどうしようが自分は裏切ったほうが得

チキン・ゲームでは相手が自白したら自分は黙秘するほうがよかった

　　購入 　購入せず

購入 2 , 2 -2 , 0 購入せず

0 , - 2 　0 , 0

協調ゲーム

　　　投資家x

投資家 y

2006年 に開かれた

サッカーワールドカップの準々決勝で

驚くべきことが起こった

キッカー：アルゼンチン　　キーパー：ドイツ

試合は同点で終了

もつれこんだＰＫ戦

その時のドイツ側のキーパーであるレーマンが

アルゼンチン側のキックすべてに正しく反応し

4本中2本の阻止に成功したという・・・!

じつは・・・

ドイツは事前に情報を収集

アルゼンチン選手の過去2年分のデータを

ゴールキーパーたちに見せていた！

当然、アルゼンチンは敗退

敗因

研究されていることに

　気がつかなかった

考察

ＰＫをゲーム理論的に

考えることができないだろうか・・・?

キッカー　 　左・右に蹴る確率を均等

　　　　　　　　 （左：右＝１：１）

キーパー　　左・右にとぶ確率を均等

　　　　 (左：右＝１：１)

とした場合

ここで・・・

ゴールできる確率

　

の確率でゴールが成功すると予想できる

　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

キッカーの視点

キーパーと キーパーに 　 　キーパーと 　 　キーパーに 同じ方向に 阻止されない 　 　　違う方向に　　　　阻止されない蹴る確率 　確率 　 　 　 蹴る確率　　　　　確率

キーパーの視点

阻止できる確率

飛んでくるボール　　　　　そのときに

に正しく反応できる　　　　阻止できる確率

確率

　　の確率で阻止が成功する

　　　　

条件を追加

キッカーは

右に蹴った場合 3回に２回ゴールの枠内に入る

左に蹴った場合

１００％ゴールの枠内に入る

さらに、

キーパーがボールと同じ方向にとんだ時、

確実に阻止できるものとする

キッカーのきもち

得意な左に蹴りたいなぁ・・・

相手は得意な左に蹴ってくるはず

左に飛ぼう...！

キーパーのきもち

キッカーのきもち（再）

相手は僕の得意な方向が左だと知っている

だから、相手は左に飛んでくるはず！

キッカーの決断

試行錯誤の結果、キッカーはこう決断した。

　　　　　　　　　　　　

「　左に蹴る確率を５回に 2回、

　　　　　　　　　　

　　右に蹴る確率を５回に3回としよう　」

しかし・・・

キーパーも決断・・・

左右それぞれ

同じ確率でゴールに入るのなら

　 左：右 ＝ １：１　

の確率で飛ぼう！

さらにキーパーは考える・・・

キッカー　　　左：右 ＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　

入る確率　　 左：右 ＝　

　　　　　　　　　　　　　　　　 ←同じ！？

キーパーはそこまで読んでいた!!

キッカー　キーパー　　　　　　　キーパーの視点

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　キーパーが左に飛んだ場合

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　あいうえお

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 どちらに転んでも 　阻止率は同じになる？

キーパーが右に飛んだ場合

L

L

R

R

R

L

LRLRLR

RLR

安定点

キッカーはこれ以上、

右に蹴る確率を増やすと、

キーパーにばれて成功率は下がってしまう

その逆もまた然りで、

左に蹴る確率を増やすと、

成功率は下がってしまう

そんなかんじ

牧草が生えている共有地では

人々が争って自分の家畜を連れていき

牧草を食べさせてしまう・・・

やがて、その土地は牧草が

食べつくされて荒地になってしまうだろう

共有地の悲劇

同じようなことが現在でも...

世界各国が資源開発に力をいれている

その結果、環境は最悪の状態に...

このまま開発を進めてしまえば

いずれ悲劇が...

2つの選択

・環境のことを考えて開発を自粛　　

　　　　　ｏｒ

・何も気にせずこのまま開発

囚人のジレンマ（再）

　自粛 　開発

自粛 2 , 2 　 0 , 3

開発 3 , 0 　　1 , 　 　1

タルムードの財産分割

ある男が借金を背負ったまま破産してしまった

その借金の額は６００

Ａには１００

Ｂには２００

Ｃには３００　　　

それぞれ借りたという

もちろん借金は返せず...

お金を貸した3人は

いくらかの金額をあきらめなくてはならない

その残った資産をどのように配分するか

ここでユダヤ風の仁という方法を紹介しよう

仁　その①

資産が債権額の半分に満たない場合

債権者の取り分が債権額の半分を

超えない範囲で資産を配分

　資産額＼債権額　　　 100 (債権者A)　　　　 200 (債権者B)　　　 300 (債権者C)

100 33.3 33.3 33.3

200 50 75 75

300 50 100 100

100のとき　　　　　　　　　　200のとき 　300のとき

　　　　　　　仁　その1　　債権者A：青　　　　　　　　　　債権者B：赤　　　　　　　　債権者C：緑

仁　その②

資産が債権額の半分を満たしている場合

債権額に対して足りない分、つまり

不足分に注目する

その不足分が債権額の半分を超えない範囲で

資産を配分する

　資産額＼債権額　　　 100 (債権者A)　 　　　 200 (債権者B)　　　 300 (債権者C)

100 33.3 33.3 33.3

200 50 75 75

300 50 100 100

400 50 125 (=200 ー 75) 225 (=300 ー 75)

500 66.7 (=100 ー 33.3) 125 (=200 ー 75) 225 (=300 ー 75)

　　あまり変わらず…

400のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 500のとき

仁　その2

100のとき　　　　　　　　　　200のとき 　300のとき

おさらい

　　400のとき　　　　　　　 　　　　500のとき

大岡裁き

大工と左官屋どちらが3両受け取るか揉めて大岡越前のところへ

↓

大岡は懐から1両取り出して「2人で2両ずつわけろ」

↓

三方一両損