ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΛΗ 12 2014-2015

4η ΟΣΣ

ΠΛΗ 12

•Ακολουθίες•Σειρές•Σειρές Taylor•Δυναμοσειρές•Εφαρμογές

1

Ακολουθίες:

Αριθμητική πρόοδος: Όροι:

Γενικά:

Γεωμετρική πρόοδος:

Άλλες ακολουθίες:

Όριο ακολουθίας:

Στην περίπτωση αυτή η ακολουθία λέγεται μηδενική

: , ( )n nnα α→ →

1 2 3 4

3 7 11 15...1 2 3 4 ...

. . . 3 ( 1)4n nος ος ος οςα α α α α = + −

1 2 3, , 2 , ..., ( 1)n nα α α α ω α α ω α α ω= = + = + = + −2 3 1

1 2 3 4, , , ,..., nna a a aα αλ αλ αλ α αλ −= = = = =

3 1 1 1, , ( 1) ,2 5

nn n n n

nn nn n

α α α α+ −= = = − =

+

0 0

lim 0 Για κάθε 0 που δίνεται μπορούμε να βρούμε n τέτοιοώστε ( , ) για όλα τα n n

n

n

a εα ε ε

= ⇔ >

∈ ∈ − ≥

nα2

Παράδειγμα, για την ακολουθία για είναι δηλαδή από τον χιλιοστό όρο και μετά, οπότε

Παράδειγμα

Φραγμένες ακολουθίες(φραγμένη άνω) (φραγμένη κάτω)

Μονότονες ακολουθίεςΑύξουσα αν Φθίνουσα ανΑν αντί τότε λέμε γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα αντιστ.

31 10 όταν n 1000,n

−< >-3=10εn1α =n

0n 1000.=

lim lim ( ) 0n na a a α= ⇔ − =

α ε+α

α ε− 0 1na +•

0 2na +•

0 3na +••

0n 0 1n + 0 2n + 0 3. . .n +

•

0 1n −

na•

( )0n n n>

111 1 1(lim 0) lim32 3 22n nn nn nn

α α++

= = ⇒ = ⇒ =+ +

,n M nα ≤ ∈,n M nα ≥ ∈

1 ,α +≤ ∀ ∈n na n 1 ,α +≥ ∀ ∈n na nέχουμεή ή≤ ≥ < >

3

• Θεώρημα: Αν η είναι αύξουσα και άνω φραγμένη (αντ. φθίνουσα και κάτω φραγμένη) τότε συγκλίνει.

• Βλέπε παραδείγματα βιβλίου τ. Β΄ σελ. 22, 23.• Η είναι αύξουσα: και άνω φραγμένη: άρα συγκλίνει (είναι ).

Οι παρακάτω ακολουθίες δεν συγκλίνουν.(είναι αύξουσα και όχι άνω φραγμένη).

Μερικά ακόμη παραδείγματα:

a) Είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη άρα

συγκλίνει.

b)

Δείτε τις ασκήσεις του βιβλίου τ. Β΄ σελ. 26,27 και τις λύσεις τους στη σελ. 28.

nα

1nn

nα =

+ 11

1 2n nn na

n nα +

+= < =

+ +1

1nn

nα = <

+1lim n

nα

→+∞=

2n nα = ( 1) , 1, 1, 1, 1, 1, ...n

nα = − − − −

112n n

α = +1 1(1 1 )2 2 2n n

+ > ++

1(1 1)2n

+ >

2

2

22 11 1lim lim

2→+∞ →+∞

+ = + =

n

n

n nenn

1διότι: 1limn

ne

n→+∞

+ =

4

Παράδειγμα: ( )2

nlim n +5n+6 n→+∞

−

( ) ( )( ) ( )22 2 2 2

2

2 2n n n

2 2

2 2n n

n n2

2 2

n 5n+6-n n 5n+6+n n 5n+6 nlim n 5n+6 n lim lim

n 5n+6+n n 5n+6+n

n 5n+6 n 5n+6lim limn 5n+6+n n 5n+6+n

6 6n 5+ n 5+n nlim lim

5 6 5 6n 1 +n n 1n nn n

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ + + −+ − = = =

+ +

+ −=

+ + = =

+ + ⋅ + +

( )( )( )n n

2 2

+n

6 6n 5+ 5+ 5+0 5n nlim lim25 6 5 6 1 0 0 +1n 1 +1 1 +1

n nn n

→+∞ →+∞

=

= = =

+ + ⋅ + + + + 5

n n n n n nn n n, lim lim L ό lim Lα αβ γ γ τ τε β

→+ ∞ →+ ∞ →+ ∞≤ ≤ = = =

2

4 3

2 2

4 3 3

α εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση η .1

Παρατηρούμε ότι:10 0,

1άρα 0.

n

n

nan n

n nn n n n

a

Ν =+ +

≤ ≤ = →+ +

→

Παράδειγμα:

Πρόταση:

6

xf : [1, ) R lim f (x) L ό ό

ί f (n) ί L (L R ή )

και τ τε και το ριο

της ακολουθ ας ε ναι

→+ ∞

+∞ → =

∈ ± ∞

Παράδειγμα

Από όριο συνάρτησης σε όριο ακολουθίας:

7

( )( )

'1 1

ln(ln ) 1 1ln: 01 lnln

x

L Hopital

x x xέxx

x

µε

χουµε →+∞

′= = → =

+∞′

ln(ln ) ln(ln )lim 0 limln lnn x

n xώ όn x

καθ ς για το ριο→∞ →∞

=

Σειρές• Η έννοια της σειράς αναφέρεται στο «άθροισμα» των, άπειρου πλήθους,

όρων μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών :

1 2 3α α α α+ + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅n

Δρομέας κινούμενος από το σημείο Α με σταθερή ταχύτητα για να φτάσει στο

σημείο Β πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή απόσταση (π.χ. σε χρόνο t), στη

συνέχεια τη μισή της υπόλοιπης διαδρομής σε χρόνο t/2 και μετά τη μισή της

υπόλοιπης κ.ο.κ.. Άρα θα χρειασθεί ένα άπειρο «άθροισμα» πεπερασμένων

χρόνων

οπότε δεν θα φθάσει ποτέ στο Β. Είναι όμως έτσι?

Όμως η καθημερινή εμπειρία λέει ότι ο χρόνος αυτός είναι ίσος με 2t. Επομένως

μπορεί ένα άπειρο πλήθος θετικών αριθμών να έχει «άθροισμα» ένα

πεπερασμένο αριθμό.

2 4 8 2+ + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅n

t t t tt

( )nα

8

Είναι γνωστό το παράδοξο του Ζήνωνα:

9

1 2 3 n nΔίνεται η ακολουθία: , , ,..., ,... , .Με βάση την ακολουθία αυτή κατασκευάζουμε την ακολουθία (S ) των μερικών αθροισμάτων.

n

n Nα α α α α ∈ ∈

n

1 1

2 1 2

3 1 2 3

n n1 2 3 k

n

k 1

αS αS α αS α α α...

S α α α α α=

== += + +

= + + + ⋅⋅⋅+ = ∑

Ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της

Το διατεταγμένο ζεύγος λέγεται σειρά πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με

ή

Ο αριθμός λέγεται γενικός ή n-οστός όρος της σειράς και το άθροισμα

n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς.

Θα λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στον αριθμό αν και μόνο αν η

ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στον αριθμό Τότε

γράφουμε

Ο αριθμός s λέγεται άθροισμα της σειράς.

Αν η ακολουθία δεν συγκλίνει στο τότε λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Ειδικότερα αν λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στο

(αντ. ) και γράφουμε:

nSnα

10

( )( ), ( )n nSα

1 2 3α α α α+ + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅n nn 1

α+ ∞

=∑

nn 1

α+ ∞

=∑ s∈

n )(S .s

n nnn 1α s ή lim S s.

→+∞

+ ∞

== =∑

n )(S

lim (αντ. lim )n nn nS S

→+∞ →+∞= +∞ = −∞ +∞

−∞n n

n 1 n 1α (αντ. α )

+ ∞ + ∞

= == +∞ = −∞∑ ∑

Παραδείγματα Sn

1 2 3 n

nn

n nn n 1

, , 2 , , (n 1) .n(n 1)S 2 (n 1) n n .

2 2

0, ό : lim S , ά

α αα α α ω α α ω α ω

α αα α ω α ω α ω α ω

ω τ τε ρα α∞

→+∞ =

= = + = + ⋅ ⋅⋅ = + −

+ − = + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + − = = +

> = +∞ = +∞∑

Το Άθροισμα των n πρώτων όρων αριθμητικής προόδου:

Το Άθροισμα των n πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου:

2 n 11 2 3 n

n2 n 1

n

n nn n 1

n nn 0

, , , ,

( 1)S , 11

Α 1 ό lim S , ά .1 1

t t t t t tΣτο παράδοξο του Ζήνωνα έχουμε t, 1/ 2, ά : t 2t2 4 8 1 1/ 22 2

(τοδιπλάσιο τ

α αα α αλ α αλ αλ

α λα αλ αλ αλ λ

λα α

ν λ τ τε ρα αλ λ

α λ ρα

−

−

∞

→+∞ =∞

=

= = = ⋅ ⋅ ⋅ =

−= + + + ⋅ ⋅ ⋅ + = ≠

−

< = =− −

= = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ = = =−

∑

∑ου χρόνου, που χρειάζεται, για τη μισή διαδρομή)

11

n nn 0

Αν ησειρά συγκλίνει τότ: ε lim 0.+∞

=

α α =∑Π ρ

ό

Ένα Κριτήριο Απόκλισης

Η πρόταση αυτή χρησιμοποιείται κυρίως ως «αρνητικό κριτήριο σύγκλισης» (με την παρακάτω ισοδύναμη μορφή της), για την απόδειξη απόκλισης μιας σειράς:

n nn 0

Αν lim 0 τότε ησειρά δεν συγκλίνε: ι.+∞

=

α ≠ α∑Π ρ

ό

1η σειρά δεν συγκλίνει διότι lim 1 0.

1 1n

n nn n

∞

=

= ≠+ +∑Παράδειγμα :

1

2

1 1Η σειρά δεν συγκλίνει, μολονότι lim 0.

Πράγματι για την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων:1 1 1 1 1 1 11 ισχύει2 1 2 2 2 2

άρα η δεν συγκλίνει, οπότε και η σει

+∞

=

=

= + + ⋅⋅⋅+ − = + ⋅⋅⋅+ > + ⋅⋅⋅ + =+

∑n

n n n

n

n n

S S Sn n n n n

S

αρμονική

ρά δεν συγκλίνει. 12

13

Επειδή όμως είναι θετικών όρων θα είναι 1

1 .n n

+∞

=

= +∞∑

Παραδείγματα:

1

2 1

11. Η σειρά είναι θετικών όρων και η ακολουθία ( ) των μερικών αθροισμάτων!

(που είναι αύξουσα) είναι φραγμένη. Πράγματι είναι:

1 1 1 1 1 1=1+ + + 1 2 1 2. Άρα 2! ! 2 2 2 2

nn

n

n n

sn

sn

∞

=

−

⋅ ⋅ ⋅ ≤ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + = − <

∑

η σειρά συγκλίνει με

άθροισμα s 2.≤

2

21 1

2. Ισχύει (η παρακάτω σειρά είναι γνωστή ως αρμονική σειρά ρ-τάξης

ή σειρά Dirichlet)

συγκλίνει αν 11 1ζ( ) . ιδικότερα είναι: ζ(2)= .6 αν 1n nn nρ

ρ πρρ

∞ ∞

= =

>= = Ε =

+∞ ≤∑ ∑

Η ζ(ρ) είναι γνωστή ως ζ-συνάρτηση Riemann.

n n n n

n nn n

n nn n

΄Εστω 0, 0,

1. Αν ησειρά συγκλίνει, τότε και η συγλίνει.

2. Αν ησειρά α αποκλίνει, τότε και η αποκλίνει.

+∞ +∞

+∞ +∞

α ≥ β ≥ α ≤ β

β α

β

∑ ∑

∑ ∑

Κριτήριο Σύγκρισης

nn

1n

n nn n

n n

n 1 n 1

5Να εξετασθεί ως προς τη σύγκλισηησειρά .3 1

5 5 1Είναι: 3 3 1 53 1 3 3

1 1 15 5 ό ί ό 13 3 3

ά ί ή.

+∞

=

+∞ +∞

= =

+

< + ⇒ < = +

Η σειρα = µως συγκλ νει ως γεωµετρικη µε λ γο <

ρα συγκλ νεικαι αρχικ

∑

∑ ∑

Π α ρ ά δ ε ι γ μ α

:

14

15

Έστω 0, 0 για κάθε και lim .

Αν 0 τότε:

συγκλίνει αν και μόνο αν η συγκλίνει.

Αν 0 τότε:

- αν η συγκλίνει θα συγκλίνει και η

- αν η αποκλίνει θα απ

nn n n

n

n n

n n

n

ab n kb

a b

b a

a

α

κ

κ

→∞≥ > ∈ =

< < +∞

Η

=

∑ ∑

∑ ∑∑

Πόρισμα

i)

ii)

οκλίνει και η

Αν τότε:

- αν η συγκλίνει θα συγκλίνει και η

- αν η αποκλίνει θα αποκλίνει και η

n

n n

n n

b

a b

b a

κ = ∞

∑

∑ ∑∑ ∑

iii)

Παράδειγμα. Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς

Θεωρούμε τη συγκλίνουσα σειρά Είναι:

οπότε, από το παραπάνω πόρισμα ii), η σειρά

θα συγκλίνει.

31

ln .2 1n

nn

∞

= −∑2

1 1

1 .nn n

bn

∞ ∞

= =

=∑ ∑2

3

3

1 lnlnlim lim lim 0,12 1 2n

n n nn

na n n nb n

n→∞ →∞ →∞

= = =− −

n

n 10 0 n

n n

n 10 n

n n

n 1n n

Αν 0, τότε

Αν r 1, όταν n n (n κάποιος φυσικός αριθμός ) τότε η σειρά συγκλίνει.

Αν 1, όταν n n , τότε η σειρά αποκλίνει.

Αν υπάρχει το lim r τότε η σειρά συγκλίνει για r 1 και αποκλίνει για r

+∞+

+∞+

+→+ ∞

α >

α≤ < > α

α

α≥ > α

α

α= <

α

∑

∑2.

1.

1

Για r 1 δεν μπορούμε να αποφανθούμε.

>

=

Κριτήριο Λόγου (D‘ Alembert)

n 1

n 1n 1

n nn

n

(n 1)! 10α 10 (n 1)3

n! 10α 33

+

++

→+ ∞

+ ⋅+

= = → +∞⋅

Παράδειγμα (Κριτήριο Λόγου):Να εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση ηn

nn 1

n! 103

+ ∞

=

⋅∑

Άρα η σειρά δεν συγκλίνει. 16

Παράδειγμα: Να εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:2

n 1

(n!)(2n)!

∞

=∑

[ ][ ]

[ ]2 21

2 2

( 1)! !( 1)(2 )! (2 )!2( 1) ! (2 )!(2 1)(2 2)( !) ( !)

1 .4 2

αα+ + += ⋅ = ⋅

+ + +

+=

+

n

n

n n nn nn n n nn n

nn

n 1

nn n

α n 1 1lim lim 1,α 4n 2 4+

→+∞ →+∞

+= = <

+

και επομένως η σειρά συγκλίνει.

Παρατηρούμε ότι:

Άρα

17

Κριτήριο Ρίζας (Cauchy)

n

nn 0 n

n

nn 0 n

n

nnn

Έστω 0,

Αν r 1, n n , τότε η σειρά συγκλίνει.

Αν 1 n n , τότε η σειρά αποκλίνει.

Αν lim r τότε η σειρά συγκλίνει αν r 1 και αποκλίνει αν r 1.

Για r 1 δεν μπορούμε να αποφανθούμε.

+∞

+∞

→+ ∞

α ≥

α ≤ < ∀ ≥ α

α ≥ ∀ ≥ α

α = < >

=

∑

∑2.

18

2

n

n

2

n

n

n

n

nn nn

n

nn n n n

n

Είναιn και

n 1

n n n 1 1n 1 n 1 n 1 n 1 11

n n1 1lim 1.

e1lim 1n

Επομένως η σειρά συγκλίνει.

→∞

→∞

α

α

α

= +

= = = = = ⇒ + + + + +

= = < +

Παράδειγμα: Να εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:

2

n 1

nn .n 1

∞

=

+

∑

19

Εναλλάσσουσες Σειρές: Κριτήριο του Leibniz

( )

n n n n 1 nn

n 1n

n 1

Αν είναι: 0, ( ) φθίνουσα ( , n), lim 0, τότε

η σειρά 1 συγκλινει.

+ → +∞

+∞

=

α > α α ≥ α ∀ α =

− α∑Παράδειγμα:

( )( ) ( )

( )

n n3 3

n n3 3n n

n 1 n3 3 3

3 2n

n 1 n 3

n 2 1 n 2( 1) ( 1)n 1 2 n 1

n 2 n 20 n 3, lim lim 0.n 1 n 1

n 1 2 n 1 n 2Είναι ,n 1n 1 1 n 1

διότι : 2n 3n 6n 1 0, n 3, δηλαδή ηείναι και φθίνουσα.Άρα με βάση το κριτήριο Leibniz

→ +∞ →+∞

+

∞ ∞

= =

− −− = + −

+ +− −

α = > ≥ α = =+ +

+ − − −α = < < = α

++ + +− − − > ∀ ≥ α

∑ ∑

η σειρά συγκλίνει.( ) ( )n n

pn 1 n 1

1 1, , p 0

n n

∞ ∞

= =

− −>∑ ∑Άλλα παραδείγματα

Παρατηρείστε ότι η (βλέπε slide 12) ενώ η συγκλίνει. 20n 1

1n

∞

== +∞∑ ( )n

n 1

1n

∞

=

−∑

21

Από το Κριτήριο Leibnitz (για εναλλάσσουσες σειρές) για το άθροισμα s της σειράςισχύει1

1( 1)n

nn

a+∞

+

=

−∑1

11

| | ( 1)n

kn k n

ks s s a a+

+=

− = − − ≤∑

Δηλαδή, όταν προσεγγίσουμε το άθροισμα της σειράς με το μερικό άθροισμα των

όρων μέχρι και τάξης n, το σφάλμα που προκύπτει δεν υπερβαίνει, κατ’ απόλυτη

τιμή, τον όρο της επόμενης τάξης n+1.

Η σειρά πληροί τις υποθέσεις του κριτηρίου Leibnitz,(αφού είναι

εναλλάσσουσα, και η ακολουθία είναι μηδενική και φθίνουσα) και άρα συγκλίνει.

1

1

1( 1)n

n n

+∞+

=

−∑1n

Αν τώρα προσεγγίσουμε το άθροισμά της με το μερικό άθροισμα τάξης 9 (ανκρατήσουμε δηλαδή τους όρους για n=1,2,..,9):

91

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 12 3 4 5 6 7 8 9

n

n n+

=

− = − + − + − + − +∑

τότε το σφάλμα είναι μικρότερο ή ίσο του όρου τάξης 10:Αν θέλουμε π.χ. σφάλμα μικρότερο του 0.01 θα πρέπει να επιλέξουμε n τέτοιο

ώστε

101 0.1.

10a = =

11 0.01 1 100 99.

1na n nn+ = ≤ ⇔ + ≥ ⇔ ≥+

Εύρεση του αθροίσματος σειράςΑ) Τηλεσκοπικές Σειρές

( )

n n n n 1 nn 1

n n

n k k k 1 1 n 1k 1 k 1

n 1 n 1n 1 n

έ ή , ό ί .

ό S

Ά lim

∞

+=

+ += =

∞

+=

α α

α

α

β β

β

→∞

λ γεται τηλεσκοπικ αν = −β που µιαακολουθ α

τε = = −β = β −β

ρα = β − β

∑

∑ ∑

∑

ΗΤ

Παράδειγμα: Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς n 1

1 .n(n 1)

∞

= +∑

1

1 11

1 ( 1) 1 1, 1( 1) 1

1 1 1 1'Αρα: α ,( 1) 11Άρα: lim 1 0 1

( 1)

n n n n

nn n

A B A n Bn A Bn n n n

n n n n n

n n

β β β

β β

+

+∞

+=

→∞

= + ⇒ + + = ⇒ = = −+ +

= = − = − =+ +

= − = − =+∑

22

Παράδειγμα: Όμοια, να βρεθεί το άθροισμα της σειράς:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

+ +

nn=1 n=1

A n+3 B n+22 A B 2n+2 n+3 n+2 n+3 n+2 n+3 n+2 n+3

A n+3 B n+2 2 A+B n+3A+2B-2=0 nA+B=0, 3A+2B=2 A = 2, B= 2

2 2 2 2 2 2 2lim 0n +5n+6 n+2 n+3 3 n+3 3 3

∞ ∞

→+∞

+= + ⇒ =

⇒ + = ⇒ ∀

⇒ −

= − = − = − =

∑ ∑

( )( )2

+ +

n=1 n=1

2 2n +5n+6 n+2 n+3

∞ ∞=∑ ∑

Αναλύουμε τον γενικό όρο σε απλά κλάσματα:

23

Β) Αναγόμενες σε Γεωμετρική σειρά:0

, 1n

naλ λ

+∞

=

<∑1

1 0 1n n

n n

aa aλ λλ

+∞ +∞−

= =

= =−∑ ∑

2

0

2

0

0 0 0

Παρατηρούμε ότι:

3 3 3 1 515 5 5 1 3 / 5 2

4 4 4 11 5. Άρα5 5 5 1 4 / 53 4 3 4 5 155

5 5 5 2 2

n

nn

n

nn

n n n n

n n nn n n

+∞

=

+∞

=

+∞ +∞ +∞

= = =

= + + + ⋅⋅⋅ = = −

= + + + ⋅⋅⋅ = = − +

= + = + =

∑

∑

∑ ∑ ∑

Παράδειγμα: Να βρεθεί το άθροισμα:0

3 45

n n

nn

+∞

=

+∑

24

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR Ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει την μορφή:

-1-1 1 0( ) , , 0,1,..., , 0n n

n n n k nP x x x x k nα α α α α α= + +…+ + ∈ = ≠ Όταν δοθεί μια συνάρτηση παραγωγίσιμη n-φορές σε ένα σημείο α του πεδίου ορισμού της, τότε το

(n)2 n

nf (α) f (α)P (x) = f(α)+f (α)(x-α)+ (x-α) + + (x-α)

2! n!′′

′ ⋅ ⋅ ⋅ λέγεται

πολυώνυμο Taylor nου βαθμού της f στο σημείο x=α. Θεώρημα Taylor : Αν η συνάρτηση | [ , ]f α β έχει παραγώγους μέχρι n+1 τάξης στο διάστημα [ , ]α β και 0 [ , ]x α β∈ , τότε για κάθε [ , ]x α β∈ υπάρχει ξ μεταξύ των

0 ,x x ώστε:

( ) ( 1)2 10 0

0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( - ) ( - ) ( - ) ( - )2! ! ( 1)!

n nn nf x f x ff x f x f x x x x x x x x x

n nξ+

+′′′= + + + ⋅⋅ ⋅ + +

+

Η μορφή αυτή καλείται ανάπτυγμα Taylor της f στο σημείο 0x και ο όρος

( 1)1

0( )( ) ( - )

( 1)!

nn

nfR x x x

nξ+

+=+

υπόλοιπο.

Γράφοντας ( ) ( ) nf x P x≈ λέμε ότι προσεγγίζουμε την ( )f x με ένα πολυώνυμο Taylor n-βαθμού σε μια περιοχή του σημείου 0x x= με σφάλμα ( )nR x .

252525

25

Στην περίπτωση που το 0x = έχουμε το nου βαθμού ανάπτυγμα Maclaurin της f, το οποίο θα έχει τη μορφή:

( )2(0) (0) ( ) (0) (0) ( )

2! !

nn

nf ff x f f x x x R x

n′′

′= + + + ⋅⋅ ⋅ + +

Παράδειγμα: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Taylor 5ου βαθμού της στο σημείο x0=0, η προσέγγιση με πολυώνυμα 1ου και 3ου και 5ου βαθμού καθώς και οι προσεγγιστικές τιμές του sin 0.25 αντίστοιχα.

Λύση. Το ανάπτυγμα είναι:2 3 4 5

(4) (5)5( ) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ( )

1 2 6 24 120x x x x xf x f f f f f f R x′ ′ ′′′= + + + + + +

Όμως: (4) (5)( ) cos , ( ) sin , ( ) cos , ( ) sin , ( ) cosf x x f x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = − = − = = , άρα

(5) (4)(0) 1 (0) (0), (0) 0 (0)f f f f f′ ′′′ ′′= = = − = = . Επομένως: 3 5

5( ) ( )6 120x xf x x R x= − + + Οι

προσεγγίσεις με τα πολυώνυμα 1ου και 3ου και 5ου βαθμού είναι αντίστοιχα:3 3 5

1 3 5( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )6 6 120x x xf x P x x f x P x x f x P x x≈ = ≈ = − ≈ = − + .

Με βάση αυτές προκύπτουν οι παρακάτω τιμές (με προσέγγιση 10 δεκαδικών ψηφίων) για την (0.25)f ανάλογα με το πολυώνυμο είναι: 1(0.25) sin 0.25 (0.25) 0.25f P= ≈ =

3

30.25(0.25) (0.25) 0.25 0.2473958333,

6f P≈ = − = 5(0.25) (0.25) ... 0.2474039714f P≈ = =

( ) sinf x x=

26

Δεδομένου ότι η πραγματική τιμή είναι με την ίδια προσέγγιση sin 0.25 0.2474039593=

γίνεται φανερή η βελτίωση της προσέγγισης με χρήση μεγαλύτερου βαθμού πολυωνύμου.

Παρατήρηση: Όταν η f έχει στο [α,β] παραγώγους κάθε τάξης και το υπόλοιπο( ) 0n

nR x →+∞→ , τότε το σφάλμα γίνεται μικρότερο όσο μεγαλύτερου βαθμού πολυώνυμο χρησιμοποιούμε ( n →+∞).

27

Αν η συνάρτηση f έχει παραγώγους κάθε τάξης, η σειρά Taylor της f στο σημείο 0x = x είναι:

(n) (n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0 0n=0

f (x ) f (x ) f (x )f(x )+f (x )(x-x )+ (x-x ) (x-x ) (x-x )2! n! n!

∞′′′ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑

και ισχύει οτι (n)

n00

n=0

f (x )f(x)= (x-x )n!

∞

∑ για τα x που το υπόλοιπο ( )nR x τείνει στο 0.

Παραδείγματα: 1ο. Υπολογίστε το nου βαθμού (προσεγγιστικό) πολυώνυμο Taylor καθώς και

τη σειρά Taylor στο σημείο 0 1x = − για την συνάρτηση ( )1-

xf xx

= .

Λύση Έχουμε ότι:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

-12 3 4 1

2 3 4 1

1 1 1 !( ) , ( ) ( ) -2 , ( ) 2 3 , ( ) -11- -1 -1 -1 -1

1 1 1 1 1 1 1 1(-1) - , (-1) , (-1) 2 2! , (-1) 2 3 3! (-1) !2 4 2 8 2 16 2 2

nnn

nn

x nf x f x f x f x f xx x x x x

f f f f f n

+

+

′ ′′ ′′′= = = = ⋅ =

′ ′′ ′′′= = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Άρα το nου βαθμού πολυώνυμο Taylor στο σημείο 0x =-1 για την ( )1-

xf xx

= είναι ίσο με:

2

1

1 1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 4 8 2

nn nP x x x x+= − + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

και η σειρά Taylor

(n)n0

0 1n=0 n=0

f (x ) 1(x-x ) ( 1)n! 2

nn x

∞ ∞

+= +∑ ∑282828

28

1f(x)=x

( )

( ) ( )

( )2

3 122

22 3 1 1

0

(2) (2)(2) (2)( - 2) ( - 2) .... ( - 2)2! !

1 !2! -11 1 2 2- ( - 2) ( - 2) ( - 2)2 2 2! !

1 1 1 1 1- ( - 2) ( - 2) -1 ( - 2) -1 ( - 2)2 2 2 2 2

nn

nn n

n nn nn n

n

f ff f x x xn

n

x x xn

x x x x

+

∞

+ +=

′′′+ + + + + ⋅⋅ ⋅ =

+ + ⋅⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =

+ + ⋅⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑

( )n nn n+1

1α -1 (x-2)2

=

nnn +

lim α < 1.→ ∞

( )n nn nnn n+1 n +

x-2 x-21 1α -1 (x-2) =2 2 2 2→ ∞

= →

2ο. Να βρεθεί η σειρά Taylor της συνάρτησης στο σημείο

ΛύσηΗ σειρά Taylor της συνάρτησης στο σημείο είναι:

0 2x =

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ρίζας με , θα βρούμε τις τιμές του x έτσι ώστε

1( )f xx

= 0 2x =

29

οπότε, καθώς x-2

<1 x-2 2 0 x 42

⇔ < ⇔ < < , έχουμε σύγκλιση για x στο διάστημα (0,4)

και απόκλιση για x στα διαστήματα (-∞,0) και (4,+∞). Το διάστημα (0,4) καλείται ανοικτό διάστημα σύγκλισης της σειράς, ενώ το μισό του μήκους του εν λόγω διαστήματος (αφού το διάστημα είναι πεπερασμένο) καλείται ακτίνα σύγκλισης της σειράς και συμβολίζεται με R, δηλαδή εδώ R=2. Για όλα τα x: 0 x 4< < , επειδή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση, καθώς αποδεικνύεται οτι

το υπόλοιπο τείνει στο μηδέν, έχουμε: ( ) 10

1( ) -1 ( - 2) .2

n nn

nf x x

∞

+=

=∑

Παρατήρηση (σύγκλιση της σειράς στα άκρα του διαστήματος)

Για x=0, η σειρά γίνεται :

( ) ( ) ( )n n nn nn+1 n+1

n=0 n=0 n=0

1 1 1 1 1 1-1 (0-2) -1 -1 22 2 2 2 2 2

∞ ∞ ∞

= = = + + + ⋅⋅ ⋅∑ ∑ ∑ η οποία αποκλίνει.

Για x=4, η σειρά γίνεται:

( ) ( ) ( )n n nn nn+1 n+1

n=0 n=0 n=0

1 1 1 1 1 1-1 (4-2) -1 2 -12 2 2 2 2 2

∞ ∞ ∞

= = = − + − ⋅⋅ ⋅∑ ∑ ∑ η οποία αποκλίνει.

Επομένως το (πλήρες) διάστημα σύγκλισης είναι το ανοικτό διάστημα (0,4).

303030

30

ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ

Μια δυναμοσειρά είναι μια σειρά της μορφής:

n 2n 0 1 2

n=0α (x-c) =α +α (x-c)+α (x-c) +...

+∞

∑

όπου nα είναι ο συντελεστής του nου όρου, c είναι μια σταθερά, το δε x μεταβάλλεται γύρω από το c (για τον λόγο αυτό, λέμε ότι η σειρά

έχει κέντρο το c ή είναι δυναμοσειρά γύρω από το σημείο c).

Παράδειγμα Η γεωμετρική σειρά 2

01 ...n

nx x x

+∞

=

= + + +∑ η οποία για | x | < 1 συγκλίνει με

άθροισμα 11- x

δηλαδή 2

0

1 1 ...1-

n

nx x x

x

+∞

=

= = + + +∑ , | x | < 1,

είναι ένα από τα σπουδαιότερα παραδείγματα δυναμοσειράς. 3131

31

Ακτίνα σύγκλισης Tο σύνολο σύγκλισης μιας δυναμοσειράς δεν είναι πάντοτε όλο το .

Κάθε δυναμοσειρά συγκλίνει στο κέντρο της αφού για x = c έχει άθροισμα το .

Εάν το c δεν είναι το μόνο σημείο που συγκλίνει η δυναμοσειρά, υπάρχει r με 0 < r ≤ ∞, τέτοιος ώστε η δυναμοσειρά να συγκλίνει όταν |x − c| < r και να αποκλίνει όταν |x − c| > r. Ο αριθμός r καλείται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς.

Η ακτίνα σύγκλισης, εφ΄ όσον το όριο υπάρχει, δίνεται από τον τύπο:

Η δυναμοσειρά συγκλίνει απόλυτα όταν |x − c| < r.

Για |x − c| = r, δεν μπορούμε να αποφανθούμε (γενικά) αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει.

Αντικαθιστώντας όμως το x =r+c ή x=c-r προκύπτει μια σειρά της οποίας η σύγκλιση

εξετάζεται με ένα από τα γνωστά κριτήρια.

32

Εφαρμογή

Να υπολογιστεί η ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς: ( )n

n 1

x-1n

+∞

=∑

Να εξετάσετε τη σύγκλιση της δυναμοσειράς και στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης. Λύση Πρώτος τρόπος: Είναι

n n n

1n nn+1lim lim lim 11 n+1n+1

n→+∞ →+∞ →+∞

= = =

ή (σελίδα 123, τόμος Β, σχέση 8.22) nnn n

1 1lim lim = 1 1n n→+∞ →+∞

= = .

Και από τα δύο αυτά όρια βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ίση με 1 11= και το

διάστημα σύγκλισης είναι το (1-1, 1+1)=(0,2), στο οποίο θα πρέπει να επισυνάψουμε ένα ή κανένα ή και τα δύο άκρα του.

Για x=0 η δυναμοσειρά γίνεται: ( )n

n 1

-1n

+∞

=∑ και συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο του Leibniz.

Για x=2 η δυναμοσειρά γίνεται:

+

n=1

1n

∞

∑ και αποκλίνει διότι είναι σειρά της μορφής +

pn=1

1n

∞

∑ με p 1≤

αλλά και διότι είναι: n 1 n 1

1 1nn

+∞ +∞

= =

≥ = +∞∑ ∑

Άρα το διάστημα σύγκλισης είναι το [0,2).

3333

33

Δεύτερος τρόπος: Είναι

( )

( )

n+1

nn n n

x-1n nn+1lim lim x-1 lim x-1 = x-1

n+1n+1x-1n

→+∞ →+∞ →+∞= = ⋅

ή (σελίδα 122, τόμος Β)

Άρα η σειρά συγκλίνει όταν x-1 <1 και αποκλίνει όταν x-1 >1. Και από τα δύο αυτά όρια βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ίση με 1 και το διάστημα σύγκλισης είναι το (1-1, 1+1)=(0,2), στο οποίο θα πρέπει να επισυνάψουμε ένα ή κανένα ή και τα δύο άκρα του. Συνεχίζουμε όπως με τον πρώτο τρόπο.

( )n

nnn n

x-1 1lim lim x-1 = x-1n n→+∞ →+∞

=

3434

34

H σειρά Taylor μιας συνάρτησης είναι μια ειδική μορφή δυναμοσειράς με τους

συντελεστές na να κατασκευάζονται από τις παραγώγους της f(x) δηλαδή:

( )0( )

!

n

nf xa

n=

Οπότε προκύπτει η δυναμοσειρά:

( )0

00

( )( )!

nnn

n

f x x xn

=+∞

=

−∑

Στο ερώτημα : «για ποια x η σειρά αυτή συγκλίνει στην συνάρτηση f(x) από την οποία κατασκευάσθηκε ;» η απάντηση είναι: για εκείνα που το υπόλοιπο τείνει στο 0.

Κλασικό παράδειγμα είναι η γεωμετρική σειρά

2

0

1 1 ...1-

n

nx x x

x

+∞

=

= = + + +∑

Η οποία συγκλίνει για | x | < 1. Αυτό σημαίνει ότι για π.χ. x=2, η παραπάνω ισότητα δεν ισχύει.

35

Εφαρμογές:

• Σειρά MacLaurin για:α) εκθετική συνάρτηση Είναι οπότε . Επειδή

η ακτίνα σύγκλισης της σειράς είναι

και επομένως

β) Συναρτήσεις ημιτόνου, συνημιτόνου:Για τις συναρτήσεις sin x και cos x ισχύουν

36

( ) ,xf x e x= ∈( ) ( ) , , ,n xf x e n x= ∀ ∈ ∀ ∈ ( )( ) 0 1,nf n= ∀ ∈

2 3

01 .

! 2! 3!

nx

n

x x xe x xn

+∞

=

= = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈∑

21lim 0 (διότι είναι ( !) )! 2

nn

nn

nnn→+∞

= > R = ∞

2 2

2 20 0

2 1 2 1

2 1 2 10 0

sin 0 cos ( 1)

και 0,1,2,...

sin ( 1) sin 0

n nn

n nx x

n nn

n nx x

d dx xdx dx

nd dx xdx dx

= =

+ +

+ += =

= = −

∀ = = − =

37

Έχουμε:2 1 3 5

0

2 2 4

0

sin ( 1)(2 1)! 6 120

cos ( 1) 1(2 )! 2 24

nn

n

nn

n

x x xx xn

x x xxn

+∞

=

∞

=

= − = − + − ⋅ ⋅ ⋅+

= − = − + − ⋅ ⋅ ⋅

∑

∑όπου οι σειρές συγκλίνουν για κάθε .x∈

γ) Υπερβολικό ημίτονο και υπερβολικό συνημίτονο

Με τη βοήθεια της εκθετικής συνάρτησης προκύπτουν άμεσα και οι σειρές

MacLaurin των συναρτήσεων Είναι: sinh και cosh .2 2

x x x xe e e ex x− −− +

= =

2 1 3 5

0

2 2 4

0

sinh2 (2 1)! 6 120

cosh 12 (2 )! 2 24

x x n

n

x x n

n

e e x x xx xn

e e x x xxn

− +∞

=

− ∞

=

−= = = + + + ⋅ ⋅ ⋅

+

+= = = + + + ⋅ ⋅ ⋅

∑

∑

όπου οι σειρές συγκλίνουν επίσης για κάθε .x∈

38

Σύμβολα Ladau

O Ladau για να δείξει την εξάρτηση μιας συνάρτησης από από μια συγκεκριμένη Μεταβλητή σε μια περιοχή ενός σημείου εισήγαγε δυο «ασυμπτωτικά» σύμβολα. Το Μεγάλο Όμικρον και το μικρό όμικρονΣυγκεκριμένα:

Αν, σε κάποια οριακή διαδικασία η συνάρτηση f εκφράζεται ως γινόμενομιας συνάρτησης g επί μια συνάρτηση που είναι φραγμένη σε μια περιοχή τουοριακού σημείου τότε λέμε ότι η f είναι μεγάλο όμικρον της g στην περιοχή του σημείου και συμβολίζουμε με

0 ,x x→

0x0x

0( ) ( ( )),f x O g x x x= →

Ισοδύναμα υπάρχει αριθμός Κ για τον οποίο ισχύει σεμια περιοχή του και αν συμβεί η g να μη μηδενίζεται σε μια περιοχή τουτότε η τελευταία γράφεται και ως

στην περιοχή αυτή του

| ( ) | | ( ) |f x K g x≤0x 0x

| ( ) || ( ) |

f x Kg x

≤

0x

0( ( )),O g x x x→ 0( ( )), .g x x xο →

39

Παραδείγματα:

1. Μια φραγμένη συνάρτηση f περιγράφεται ως

2. Από τη σχέση έχουμε

3. Στα αναπτύγματα MacLaurin του ημιτόνου και συνημιτόνου για προσεγγίσεις με

τρεις μη μηδενικούς όρους, έχουμε

4. Είναι

0( ) (1),f x O x x= →

| cos | 1,x x≤ ∀ ∈ cos (1) για κάθε x O x= ∈

3 57

2 46

sin ( ), 06 120

cos ( ), 02 24

x xx x O x x

x xx x O x x

= − + + →

= − + + →

3 3

3 3 3 3 3

( ) 20 1 ( )

διότι π.χ. 20 1 20 1 22 1.

f n n n O n

n n n n n n n

= + + =

+ + ≤ + + = ∀ ≥

40

Αν, σε κάποια οριακή διαδικασία η συνάρτηση f εκφράζεται ως γινόμενο μιας συνάρτησης g επί μια συνάρτηση που τείνει στο μηδέν, τότε λέμε ότι η f είναιμικρό όμικρον της g σε μια περιοχή του και θα συμβολίζουμε με

Ισοδύναμα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι για κάθε είναισε μια κατάλληλη περιοχή του που εξαρτάται από το ε.

Η τελευταία σχέση, όταν η g δεν μηδενίζεται γύρω από το ερμηνεύεται και ως

0 ,x x→

0 ,x

0( ) ( ( )), .f x o g x x x= →0ε > | ( ) | | ( ) |f x g xε≤

0 ,x

0 ,x

0

( )lim 0.( )x x

f xg x→

=

Παραδείγματα

1. Αν η συνάρτηση f συγκλίνει στο μηδέν τότε είναι

2. Επειδή γράφουμε

3. x − sin x = o(x), x → 0.

( ) (1), 0.f x o x= →

0limsin 0,x

x→

= sin (1), 0.x o x= →