ΔεδομέναΣυχνότητα-Μέτρα Θέσης

Μέτρα Διασποράς

Δεδομένα

Συχνότητα

πράσινο, μπλε, μωβ, ροζ, μαύρο, πράσινο, μπλε, μωβ, κόκκινο, μπλε, μωβ, ροζ, μπλε, πράσινο, μπλε, ροζ, πράσινο, μωβ, πράσινο, ροζ, μπλε, μαύρο, μπλε, κόκκινο, λευκό.

Χρώμα Διαλογή Συχνότητα

Μπλε ||||||| 7

Πράσινο ||||| 5

Μωβ |||| 4

Ροζ |||| 4

Κόκκινο || 2

Λευκό | 1

Μαύρο || 2

Σύνολο 25

Ενδεικτικές Ερωτήσεις1. Πόσους ανθρώπους ρωτήσαμε για να συλλέξουμε τα παραπάνω δεδομένα;2. Ποιό χρώμα αρέσει στους περισσότερους ανθρώπους;3. Ποιό χρώμα αρέσει στους λιγότερους ανθρώπους;4. Ρωτήστε τους συμμαθητές σας για το αγαπημένο τους χρώμα και ταξινομήστε τις απαντήσεις τους όπως παραπάνω. Ποιό είναι το αγαπημένο χρώμα στην τάξη σας;

Σχετική Συχνότητα

Μέτρα Θέσης

Μέσος Όρος

Π.χ. 1. Δίνονται τα ύψη εφτά παιδιών:129, 125, 123, 129, 124, 129,123cm. Να υπολογιστεί ο μέσος όρος τους.

Π.χ. 2. Ο μέσος όρος 12 αριθμών είναι το 4,9. Αν προσθέσουμε δύο άλλους αριθμούς ο μέσος όρος γίνεται 5,8. Ποιος είναι ο μέσος όρος των δυο νέων αριθμών;

Ενδεικτική δραστηριότητα για την κατανόηση του Μ.Ο.(Μ.Τ.)

• 1.Ποιοί μπορεί να είναι οι άλλοι τρείς αριθμοί έτσι ώστε ο μέσος όρος για το παρακάτω σύνολο δεδομένων να είναι το 10;

12,…. ,…. ,…. .

• 2.Ο μέσος όρος από τους βαθμούς τριών τεστ είναι 74.Ποιος πρέπει να είναι ο βαθμός στο τέταρτο τεστ για να βγει μέσος όρος 78;

ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Ο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ/ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

• Όταν δεν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις στο σύνολο των δεδομένων μας.

Π.χ.

Διάμεσος

ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ• Όταν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις και δεν υπάρχουν μεγάλα

«κενά» στις μεσαίες τιμές του συνόλου των παρατηρήσεων.

Επικρατούσα Τιμή (Κορυφή)

Ως επικρατούσα τιμή ή κορυφή ορίζεται η τιμή (μέτρηση) που εμφανίζεται περισσότερες φορές. Το μοναδικό από τα μέτρα θέσης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ποσοτικά αλλά και σε ποιοτικά δεδομένα. Μπορεί να υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές ή και καμία.

Π.χ. αν το σύνολο δεδομένων μου είναι οι αριθμοί 1,2,3,4,2,5,6,2 η κορυφή είναι το 2 καθώς είναι η μέτρηση που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές.

ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ• Όταν υπάρχουν πολλές ίδιες παρατηρήσεις γιατί μέσω αυτής

περιγράφουμε τι είναι σύνηθες για το σύνολο των δεδομένων μας.

Π.χ. Υπολογίστε τον μέσο όρο, την διάμεσο και την κορυφή για τα σύνολα Α και Β.

Σύνολο Α:13 14 15 19 20 20 28 29 30 32 33

Σύνολο Β: 1 4 15 16 17 20 20 21 30 31 78

Παρατήρηση: Και τα δύο σύνολα έχουν μέσο όρο ίσο με 23, διάμεσο ίση με 20 και κορυφή το 20.

Μπορούμε να στηριχτούμε, επομένως, στα μέτρα θέσης για να εξάγουμε συμπεράσματα;

Μέτρα Διασποράς

ΕύροςΤο εύρος είναι η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης

παρατήρησης σε ένα σύνολο δεδομένων.

Π.χ. στο παράδειγμα 4 το εύρος για το σύνολο Α είναι

20(33-13) ενώ για το σύνολο Β είναι 77(78-1).

ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ-ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

Τα παρακάτω είναι τα βήματα που πρέπει να ακολουθούνται για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου δεδομένων.

• Υπολογίζουμε τον μέσο όρο.

• Βρίσκουμε την διαφορά κάθε μέτρησης από τα δεδομένα και του μέσου όρου.

• Υπολογίζουμε τα τετράγωνα των διαφορών.

• Υπολογίζουμε τον μέσο όρο των τετραγώνων των διαφορών.

• Υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα αυτού του μέσου όρου για την εύρεση της τυπικής απόκλισης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Τυπική Απόκλιση:

2 2 2

1 2 ... nx x x x x x

n

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Μετρήσεις

x

Διαφορά από τον μέσο όρο:

Τετράγωνο της διαφοράς:

13 13-23=-10 100

14 14-23=-9 81

15 15-23=-8 64

19 19-23=-4 16

20 20-23=-3 9

20 20-23=-3 9

28 28-23=5 25

29 29-23=6 36

30 30-23=7 49

32 32-23=9 81

33 33-23=10 100

Μετρήσεις

x

Διαφορά από τον μέσο όρο:

Τετράγωνο της διαφοράς:

1 1-23=-22 484

4 4-23=-19 361

15 15-23=-8 64

16 16-23=-7 49

17 17-23=-6 36

20 20-23=-3 9

20 20-23=-3 9

21 21-23=-2 4

30 30-23=7 49

31 31-23=8 64

78 78-23=55 3025

• Παράδειγμα: Γνωρίζοντας μόνο τον Μ.Ο. δεν μπορούμε να εξάγουμε πάντα συμπεράσματα.

Στα παρακάτω σημειογράμματα ο Μ.Ο. είναι 5. Τι παρατηρείτε; Έχουν την ίδια τυπική απόκλιση τα παρακάτω σύνολα; Χωρίς να υπολογίσετε μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα;