УТВЕРЖДЕНО 09 января 2018 года...

УТВЕРЖДЕНО

Проректор по учебной работе

и довузовской подготовке

А.А. Воронов

09 января 2018 года

ПРОГРАММА

по дисциплине: Основы современной физики: квантовая макрофизика

по направлению подготовки: 03.03.01 «Прикладные математика и физика»

факультет: ФОПФ

кафедра: общей физики

курс: 3

семестр: 6

Трудоёмкость:

теор. курс: базовая часть – 4 зачет. ед.;

физ. практикум: базовая часть – 3 зачет. ед.;

лекции – 30 часов Экзамен – 6 семестр

практические (семинарские)

занятия – 30 часов Диф. зачёт – 6 семестр

лабораторные занятия – Самостоятельная работа –

60 часов теор. курс – 30 часов

физ. практикум – 120 часов

ВСЕГО ЧАСОВ – 120

Программу и задание составили:

к.ф.-м.н. В.Н. Глазков

к.ф.-м.н. Я.В. Фоминов

д.ф.-м.н. Э.В. Девятов

к.ф.-м.н. А.Ю. Кунцевич

Программа принята на заседании кафедры

общей физики 30 октября 2017 г.

Заведующий кафедрой

д.ф-.м.н., профессор А.В. Максимычев

2

План лекций

1. Структура и колебания кристаллических решёток. Кристалл как сис-

тема с трансляционной симметрией. Представление о решётке Браве,

элементарной ячейке, симметрии кристалла. Обратная решётка, век-

тор обратной решётки. Дифракция на кристалле, связь условия Брэг-

га с вектором обратной решётки. Упругие колебания в цепочках. Эк-

вивалентность волн с волновыми векторами, отличающимися на век-

тор обратной решётки. Первая зона Бриллюэна.

2. Теплоёмкость твёрдого тела. Модель Дебая. Колебания решётки, оп-

тические и акустические моды, положение звуковых колебаний в

фононном спектре. Подсчёт полного числа колебаний. Модель Дебая

и модель Эйнштейна. Вычисление теплоёмкости в модели Дебая, ха-

рактерная величина температуры Дебая, низкотемпературный за-

кон T3.

3. Электронный ферми-газ. Принцип Паули. Распределение Ферми.

Идеальный ферми-газ, энергия и импульс Ферми. Плотность состоя-

ний. Энергия и теплоёмкость идеального ферми-газа. Электронные и

дырочные возбуждения. Роль взаимодействия частиц в ферми-газе,

связь с плотностью ферми-газа, представление о ферми-жидкости.

Рассмотрение периодического потенциала в модели слабой связи,

как модель щелочных металлов. Причина образования запрещённых

зон: дифракция Вульфа–Брегга электронов на решётке.

4. Электроны в кристалле. Приближение сильной связи. Зонная струк-

тура, разрешённые и запрещённые зоны, связь заполнения зон с про-

водимостью. Поверхность Ферми для электронов в кристалле. Поня-

тие эффективной массы.

5. Кинетические и электрические явления в твёрдых телах и металлах.

Длина и время свободного пробега. Фононная и электронная тепло-

проводность. Процессы переброса в трёхфононных процессах. Зави-

симость вкладов различных процессов в теплопроводность от темпе-

ратуры. Модель Друде–Лоренца, электропроводность. Электрон-

электронные, электрон-фононные столкновения и рассеяние на при-

месях. Правило Маттисена, закон Блоха–Грюнайзена. Электронная

теплопроводность. Качественное различие механизмов релаксации

энергии и импульса электронов в процессах тепло- и электропровод-

ности, закон Видемана–Франца. ТермоЭДС.

6. Объёмные полупроводники. Щелевой спектр полупроводников.

Электронные и дырочные возбуждения в полупроводниках, заряд

3

дырок. Эффективная масса носителя заряда. Положение уровня хим-

потенциала в полупроводниках, правило рычага. Электропровод-

ность полупроводников. Примесные донорные и акцепторные уров-

ни в слаболегированных полупроводниках, оценка энергии мелких

примесных уровней. Положение уровня химпотенциала в слаболеги-

рованном полупроводнике.

7. Методы изучения спектров колебаний и свойств ферми-поверхности

в твёрдых телах. Экспериментальные методы изучения спектров ко-

лебаний и структуры кристаллов. Комбинационное рассеяние света.

Упругое и неупругое рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов.

Метод ARPES (фотоэмиссия с угловым разрешением). Парамагне-

тизм Паули. Уровни Ландау: циклотронный резонанс, осцилляции де

Гааза, их связь с геометрией поверхности Ферми.

8. Сверхтекучесть. Магнитные свойства сверхпроводников (I рода).

Термодинамика сверхпроводников. Сверхтекучесть 4He: λ-точка,

спектр квазичастиц, фононы и ротоны. Критерий Ландау. Двухжид-

костная модель. Термодинамика сверхпроводников. Критическая

температура и критическое магнитное поле. Магнитные свойства

сверхпроводников, эффект Мейсснера. Энтропия сверхпроводящего

состояния. Скачок теплоемкости.

9. Электродинамика сверхпроводников. Основы микроскопики. Сверх-

проводники II рода. Уравнение Лондонов. Количественное описание

эффекта Мейсснера, глубина проникновения. Квантовое обобщение

уравнения Лондонов, квантование магнитного потока. Основы мик-

роскопики. Куперовские пары и сверхпроводящий конденсат. Плот-

ность состояний и щель в спектре. Длина когерентности. Сверхпро-

водники II рода. Вихри Абрикосова и вихри в гелии. Нижнее и верх-

нее критическое поле, смешанное состояние.

10. Энергетические диаграммы для квазичастичного тока в контактах

сверхпроводников. Эффект Джозефсона. Квазичастичное туннелиро-

вание, энергетические диаграммы. Эффект Джозефсона (стационар-

ный и нестационарный). Резистивная модель. Джозефсоновская ге-

нерация. Сквид.

11. Контактные явления в полупроводниках. p–n-переход. Изгиб зон при

контакте двух полупроводников. Гетеропереход, образование кван-

товой ямы. Использование гетероструктур для формирования низко-

размерных электронных систем, критерии низкоразмерности.

12. Низкоразмерные электронные системы. Двумерные системы – при-

ближение прямоугольной квантовой ямы, спектр. Одномерные сис-

4

темы – спектр, квантование проводимости. Взаимодействие частиц в

низкоразмерных системах: вигнеровский кристалл, неприменимость

модели ферми-жидкости в одномерных системах. Двумерный элек-

тронный газ в квантующем магнитном поле, уровни Ландау. Спектр

и кратность вырождения уровней Ландау. Основные эксперимен-

тальные факты о целочисленном КЭХ, метрологическая значимость.

13. Магнитный порядок в кристаллах. Парамагнетики, диамагнетики,

ферромагнетики и антиферромагнетики. Магнитные ионы в кристал-

ле, замораживание орбитального момента. Магнитный порядок в

кристаллах, обменное взаимодействие как причина его возникнове-

ния. Фазовый переход в магнитоупорядоченное состояние. Модель

молекулярного поля. Закон Кюри–Вейса. Намагниченность ферро-

магнетика в модели молекулярного поля.

14. Квазичастицы в магнетиках. Коллективные возбуждения в магнит-

ноупорядоченных кристаллах. Спиновые волны в ферромагнетике,

их спектр и вклад в низкотемпературную намагниченность и тепло-

ёмкость ферромагнетика. Отличие спектра спиновых волн в ферро- и

антиферромагнетике. Антиферромагнетик в магнитном поле: пере-

ориентационные переходы, насыщение в сильном магнитном поле.

15. Актуальные задачи физики конденсированного состояния.

Литература

Основная литература

1. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978.

2. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.: Наука, 1971 [§ 1, 2, 4].

3. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО,

2000 [§ 1-6, 8, 20-22, 25, 26, 45].

4. Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А. Лекции по физике низкоразмерных

систем. Физика квантовых низкоразмерных структур. М.: Логос,

2000 [гл.1, § 5.1.1, 6.1, 6.2.].

5. Девятов Э.В. Краевые состояния в режимах целочисленного и дроб-

ного квантовых эффектов Холла // Успехи физических наук. 2007.

Т. 177. С. 207–227.

Методические пособия по курсу (на сайте кафедры)

1. Девятов Э.В. Основы физики низкоразмерных систем и режима

квантового эффекта Холла. 2015.

2. Глазков В.Н. Методы изучения структуры и колебаний кристаллов.

2016.

5

3. Морозов А.И. Электронная ферми-жидкость в металлах. 2016.

Дополнительная литература

1. Овчинкин В.А., Раевский А.О., Ципенюк Ю.М. Сборник задач по об-

щему курсу физики. Ч.3. М.: Физматкнига, 2009 [Приложение II].

2. Долгополов В.Т. Целочисленный квантовый эффект Холла и сопря-

жённые с ним явления // Успехи физических наук. 2014. Т. 184.

С. 113–136.

3. Морозов А.И. Физика твёрдого тела. Кристаллическая структура.

Фононы. М.: МИРЭА, 2010; Морозов А.И. Физика твёрдого тела.

Электроны в кристалле. Металлы. Полупроводники. Диэлектрики.

Магнетики. Сверхпроводники. М.: МИРЭА, 2008. (Сайт кафедры.)

4. Белонучкин В.Е., Заикин Д.А., Ципенюк Ю.М. Основы физики. Т. 2.

М.: Физматлит, 2007.

5. Ципенюк Ю.М. Основы сверхпроводимости МФТИ, 1996.

6. Кириченко Н.А. Квантовая физика конденсированных систем : учеб.

пособие. – М.: МФТИ, 2012.

6

Задание по физике для студентов 3 курса 2 факультета

на весенний семестр 2017-2018 учебного года

№

сем.

Даты Тема семинарского занятия Задачи для решения

на семина-

ре*

домашние

1. 05.02-

10.02

Колебания решётки, фоно-

ны.

2.1, Т.1.1,

2.16, Т.1.2

Т.1.3, 2.20,

Т.1.4, 2.62,

2.77, 2.72

2. 12.02-

17.02

Теплоёмкость твёрдого тела,

модель Дебая.

2.21, 2.34,

2.54, 2.74

2.27, Т.2.1,

2.47, Т.2.2,

2.58, 2.75

3. 19.02-

24.02

Электронный ферми-газ. 3.13, 3.5,

3.22, Т.3.1

3.44, 3.53,

3.59, 3.87,

3.61, 3.28,

4. 26.02-

03.03

Зонная структура 3.1, Т.4.1,

3.4, 3.35

3.38, 3.85,

3.57, 4.54,

Т.4.2, Т.4.3

5. 05.03-

10.03

Кинетические и электриче-

ские явления в твёрдых те-

лах и металлах.

3.65, 3.75,

3.9, Т.5.1,

3.74

2.65, 3.77,

3.79, 3.80,

3.70, 3.88

6. 12.03-

17.03

Объёмные полупроводники 4.2, 4.40,

4.25, 4.21

4.7 , Т6.1,

4.50, 4.12,

4.3, 4.11

7. 19.03-

24.03 Контрольная работа

8. 26.03-

31.03 Сдача первого задания

9. 02.04-

07.04

Электродинамика сверхпро-

водников. Основы микро-

скопики. Сверхпроводники

II рода

Т.9.1, Т.9.2,

Т.9.3, Т.9.4,

5.11

5.4, 5.7,

Т.9.5,

Т.9.6 , Т.9.7,

Т.9.8

10. 09.04-

14.04

Энергетические диаграммы

для квазичастичного тока в

Т.10.1,

Т.10.2,

Т.10.4,

Т.10.5,

7

контактах сверхпроводни-

ков. Эффект Джозефсона.

Т.10.3 Т.10.6 ,

Т.10.7

11. 16.04-

21.04

Контактные явления в полу-

проводниках

4.24, 4.18,

Т.11.1

4.16 , 4.20,

Т.11.2 ,

Т.11.3,

Т.11.4

12. 23.04-

28.04

Низкоразмерные электрон-

ные системы.

Т.12.1,

Т.12.2,

Т.12.3, 4.45

4.48, 4.30,

Т.12.4,

Т.12.5,

Т.12.6,

Т.12.7

13. 30.04-

05.05

Магнитный порядок в кри-

сталлах. Модель молекуляр-

ного поля.

Т.13.1,

Т.13.2,

Т.13.3,

Т.13.4

Т.13.5,

Т.13.6,

Т.13.7,

Т.13.8,

Т.13.9

14. 07.05-

12.05

Квазичастицы в магнетиках.

Магнитоупорядоченные

кристаллы в магнитном по-

ле.

Т.14.1,

2.53, Т.14.2

Т.14.4,

Т.14.5,

Т.14.6,

Т.14.7

15. 14.05-

19.05 Сдача второго задания

16. 21.05-

26.05 Зачёт

*На семинаре разбираются задачи из предложенных или аналогичные по вы-

бору семинариста.

Примечание Номера задач соответствуют разделу «Строение вещества» Сборника задач

по общему курсу физики. Ч. 3 / под ред. В.А. Овчинкина. М.: МФТИ, 2009.

Номера задач, начинающиеся с буквы «Т», соответствуют текстовым задачам

из списка ниже.

8

Текстовые задачи Задача Т.1.1. Для базоцентрированной ромбической решётки с параметрами

решётки a, b = 2a, c построить обратную решётку, выделить первую зону

Бриллюэна, найти объём первой зоны Бриллюэна и сравнить с объёмом эле-

ментарной ячейки исходной ромбической решётки.

Задача Т.1.2. Распространение продольных фононов вдоль главной диагона-

ли элементарного куба в кристалле KBr (структура хлористого натрия) хоро-

шо описывается моделью двухатомной одномерной цепочки. Найти скорость

продольного звука, если минимальная частота оптических фононов в этом

направлении составляет Ωmin = 2.73·1013 c–1. Ребро элементарного куба (рас-

стояние между ионами одноимённого знака) составляет 2a = 6.6Å. В качестве

периода цепочки следует брать расстояние между плоскостями одинаковых

ионов, перпендикулярных главной диагонали куба.

Задача Т.1.3. При изучении структуры кристаллов широко используется ме-

тод Дебая–Шерера: на порошковый образец, состоящий из маленьких слу-

чайно ориентированных кристаллов, падает монохроматическое рентгенов-

ское излучение. Наблюдаемая на расположенном за образцом перпендику-

лярно к падающему лучу плоском детекторе картина дифракции состоит из

семейства концентрических окружностей. Определить радиусы первой из

этих окружностей для кристаллов с простой кубической и ГЦК решётками.

В обоих случаях ребро кубической элементарной ячейки a = 3.14Å, длина

волны падающего излучения λ = 0.7Å (Kα-линия молибдена), расстояние до

детектора L = 10 см.

Задача Т.1.4. В приближении «ближайших соседей» закон дисперсии фоно-

нов ω(k) в зоне Бриллюэна является монотонно возрастающей функцией. При

учёте взаимодействия с соседями, следующими за ближайшими, это уже не

всегда так. Например, в свинце в направлении [100] (вдоль ребра элементар-

ного куба) частота фононов достигает максимума при k0 = 0.8kБр, где kБр –

волновое число, соответствующее границе зоны Бриллюэна в этом направле-

нии. Скорость продольного звука в этом направлении составляет

s = 2.2·105 cм/с. Используя модель одномерной цепочки, найти силовые по-

стоянные для первых и вторых соседей. Свинец кристаллизуется в

ГЦК-решетку с d = 4.95Å. Периодом одномерной цепочки считать расстояние

между соседними параллельными плоскостями, перпендикулярными направ-

лению [100].

Задача Т.2.1. В кристалле поваренной соли NaCl при температуре 10К теп-

лоёмкость единицы объёма C = 23.1·103 эрг/(К·см3). Оценить усреднённую

скорость звука в кристалле и его дебаевскую температуру. Постоянная ре-

шётки d = 0.563 нм.

Задача Т.2.2. Следуя приближениям модели Дебая, определить отношение

теплоёмкости образцов хрома и золота одного объёма при температуре 150 К.

9

Плотности хрома и золота ρCr = 7.15 г/см3, ρAu = 19.3 г/см3, температуры Де-

бая ΘCr = 606 К, ΘAu = 162 К. Кристаллическая решётка хрома — объёмно-

центрированная кубическая, золота — гранецентрированная кубическая,

в обоих случаях в примитивной ячейке содержится один атом.

Указание: значение функции

1/ 43

2

0

( ) 3( 1)

x

x

x ef dx

e

приближённо равно

0.50 для ξ = 0.25 и 0.94 для ξ = 0.93.

Задача Т.3.1. Найти радиус нейтронной звезды с массой M, равной двум мас-

сам Солнца, и температурой не выше T = 109 К. Радиационным давлением

пренебречь.

Задача Т.4.1. Оценить, с точки зрения зонной структуры будут ли диэлек-

триком или металлом следующие вещества: медь, алмаз, висмут.

Задача Т.4.2. Однородная цепочка (период a) одновалентных атомов форми-

рует одномерный проводник. Известно, что при некоторой температуре в

такой цепочке происходит фазовый переход (пайерлсовский переход), при

котором атомы поочерёдно смещаются влево и вправо вдоль цепочки (сме-

щение n-го атома 1n

nu , a ) и период цепочки удваивается (це-

почка димеризуется). В рамках приближения слабой связи объяснить (каче-

ственно), почему энергия электронов в димеризованной цепочке оказывается

ниже, чем в однородной? Как изменятся проводящие свойства системы после

димеризации?

Задача Т.4.3. При фотоэффекте в металле возможно резонансное увеличение

фототока, если после поглощения кванта света электрон попадёт точно на

следующую ветвь спектра: такой электрон может распространяться в кри-

сталле на большое расстояние, и вероятность того, что электрон достигнет

поверхности, сохранив избыточную энергию, увеличивается. Эта возмож-

ность используется в методе ARPES для изучения спектра электронов в ме-

талле. Считая взаимодействие электронов с кристаллом слабым, определить

для металла с простой кубической решёткой минимальную энергию кванта

света, для которой такой процесс возможен. Считать, что каждый атом отдаёт

один электрон в зону проводимости, эффективная масса равна массе свобод-

ного электрона, энергия Ферми равна 3 эВ.

Задача Т.5.1. На какой максимальный угол может отклониться электрон при

поглощении фотона в одновалентном металле с простой кубической решёт-

кой, хорошо описываемом моделью Дебая и моделью свободных электронов.

Задача Т.6.1. В непрямозонном полупроводнике с малым смещением дна

зоны проводимости относительно потолка валентной зоны эффективные мас-

сы электронов и дырок одинаковы: *,e hm m m а определённая из измере-

ния температурной зависимости сопротивления ширина запрещённой зоны

равна Δ. При изучении внутреннего фотоэффекта при низких температурах в

10

видимой части спектра в образце этого полупроводника обнаружен резкий

рост проводимости при энергии кванта света E > Δ. Считая, что форму дна

зоны проводимости и потолка валентной зоны можно описывать квадратич-

ной параболой, оценить по этим данным расстояние в k-пространстве между

минимумом энергии в зоне проводимости и максимумом энергии в валент-

ной зоне.

Задача Т.9.1. В сверхтекучем гелии минимум отношения ( ) /p p достигает-

ся вблизи ротонного минимума, который описывается следующими парамет-

рами: / 8.6 KBk , p0/ħ = 1.9·108 см–1. Пользуясь критерием Ландау, найти

критическую скорость Vкр, ниже которой гелий должен течь без трения.

Задача Т.9.2. Для сверхтекучего гелия в коаксиальной цилиндрической по-

лости (a < r < b) возможны вихревые состояния с целым числом n квантов

циркуляции. Найти энергию одноквантового (n = 1) вихревого состояния

(в расчёте на единицу длины цилиндра). Считать заданной массу атомов ге-

лия m и их концентрацию ρ0.

Задача Т.9.3. Как показали опыты Мейсснера и Оксенфельда, магнитная ин-

дукция B внутри сверхпроводника первого рода равна. Это означает, что

сверхпроводник — это не то же самое, что идеальный проводник, хотя в обо-

их случаях сопротивление равно нулю. Убедитесь в том, что состояние иде-

ального проводника (который ведёт себя как идеальный диамагнетик) в маг-

нитном поле зависит от предыстории. Для этого рассмотрите два пути пере-

вода идеально проводящего шарика в состояние T < Tc, H > 0: а) сначала ша-

рик охлаждается, затем включается магнитное поле, и б) поле включается до

охлаждения. Результат представьте в виде рисунка магнитных силовых ли-

ний в обоих случаях. Что будет в случае сверхпроводника?

Задача Т.9.4. Найти критический ток Ic через сверхпроводящую проволоку

радиуса R, при котором сверхпроводимость в проволоке начнёт разрушаться

(правило Сильсби). Ответ записать через критическое поле Hc.

Задача Т.9.5. Длинный цилиндр из сверхпроводника второго рода, у которо-

го нижнее критическое поле Hc1 = 400 Э, помещён в магнитное поле

H = 500 Э, параллельное его оси, и при этом его намагниченность составила

половину того значения, которое было при H = Hc. Найти среднее расстояние

a между вихрями Абрикосова в этом поле, учитывая, что вихри образуют

треугольную решётку.

Задача Т.9.6. По бесконечной сверхпроводящей плёнке толщины d

/ 2 / 2d x d течёт заданный сверхпроводящий ток I (на единицу длины

поперёк направления тока). Найдите распределение магнитного поля и

сверхпроводящего тока внутри плёнки.

Задача Т.9.7. Индуктивность участка электрической цепи обычно определя-

ется по величине энергии магнитного поля ,MF возникающего при протека-

11

нии заданного тока I по этому участку: 2 2

28 2

MM h L I

F dVc

, интеграл здесь

берётся по всему пространству. Эту индуктивность будем называть магнит-

ной. Часть магнитной индуктивности связана с полем во внешнем простран-

стве и от свойств проводника не зависит (определяется только геометрией), а

часть связана с полем внутри проводника: внеш внутр

M M ML L L . При создании в

участке цепи тока часть энергии переходит ещё и в кинетическую энергию

носителей тока (электронов). С этой энергией можно связать так называемую

кинетическую индуктивность участка цепи KL : 2 2

22 2

KK mV L I

F n dVc

, где

n – концентрация носителей тока, m – масса одного носителя, V – скорость,

а интегрирование ведётся по объёму проводника. В сверхпроводниках учёт

кинетической индуктивности оказывается важен. Для сверхпроводника,

имеющего плоскую поверхность и бесконечную глубину, найдите вклад поля

внутри образца в магнитную индуктивность внутр

ML и кинетическую индуктив-

ность KL на квадрат (т.е. для случая квадратной поверхности).

Задача Т.9.8. Тонкая сверхпроводящая плёнка толщины d << λ, нанесена на

поверхность диэлектрического цилиндра радиуса R. При комнатной темпера-

туре система помещена в продольное магнитное поле, затем температура

опущена ниже Tc. После этого магнитное поле выключается. (а) Как кванту-

ется магнитный поток в цилиндре? (б) Найдите распределение магнитного

поля.

Задача Т.10.1. Имеется контакт между двумя сверхпроводниками с различ-

ными щелями Δ1 и Δ2 (для определённости Δ1 > Δ2). С помощью энергетиче-

ских диаграмм объяснить вольт-амперную характеристику для квазичастич-

ного тока через контакт в случае а) T = 0, б) T > 0 (см. рис. 1).

Задача Т.10.2. Найти критический ток Ic для параллельного соединения двух

джозефсоновских контактов, критические токи которых равны Ic1 и Ic2.

Задача Т.10.3. Двухконтактный сверхпроводящий квантовый интерферометр

представляет из себя сверхпроводящее кольцо, в которое включены два оди-

наковых джозефсоновских контакта. Такая система называется СКВИД (англ.

SQUID – superconducting quantum interference device). Найти максимальный

бездиссипативный ток СКВИДа в зависимости от магнитного потока через

кольцо. Схема относительного расположения джозефсоновских контактов

и подводящих проводов показана на рис. 2.

12

Задача Т.10.4. Имеется туннельный контакт между нормальным металлом и

сверхпроводящим алюминием с критической температурой Tc = 1.2 К. В слу-

чае нулевой температуры найти, при каком напряжении возникнет ток через

контакт; нарисовать энергетическую диаграмму.

Задача Т.10.5. Найти критический ток Ic (т.е. максимальный бездиссипатив-

ный ток) для последовательного соединения двух джозефсоновских контак-

тов, критические токи которых равны Ic1 и Ic2. При какой разности фаз φc этот

ток достигается?

Задача Т.10.6. В рамках резистивной модели джозефсоновского перехода

найти зависимость напряжения от времени V(t) в режиме заданного тока. Ка-

кое усреднённое значение V покажет вольтметр постоянного тока, подклю-

чённый к переходу?

Указание: для решения уравнения вида ' sina b можно использовать

подстановку 2

2tg( / 2)sin

1 tg ( / 2)

.

Задача Т.10.7. Рассмотрим СКВИД, содержащий два джозефсоновских кон-

такта с равными критическими токами Ic. Пусть кольцо СКВИД имеет соб-

ственную индуктивность L. В эксперименте измеряется максимальный без-

диссипативный ток Imax через СКВИД как функция внешнего магнитного по-

тока Φext. Оказывается, что максимум и минимум тока Imax наблюдаются по-

прежнему при Φext = 0;Φ0/2. Найти эти значения тока Imax, считая параметр

02 /cLI малым. Оценить отношение max 0

max

( / 2)

(0)

I

I

для типичных пара-

метров СКВИДа: Ic = 10 мкА, L = 20 пГн.

Рис. 1. ВАХ туннельного

контакта к задаче Т.10.1

Рис. 2. К задаче Т.10.3

13

Задача Т.11.1. Для получения двумерного электронного газа с поверхност-

ной плотностью N = 1011 1/см2 используется гетероструктура из сильно допи-

рованного донорными примесями (Nd~1017 1/см3) AlAs и чистого GaAs. Ши-

рина запрещённой зоны в AlAs 2.16эВ, в GaAs 1.42эВ, на границе контакта

потолок валентной зоны GaAs на 0.3эВ выше потолка валентной зоны в AlAs.

GaAs считать чистым полупроводником, примесной уровень в AlAs считать

расположенным очень близко к дну зоны проводимости. Эффективная масса

электрона в GaAs m* = 0.067m0, диэлектрическая проницаемость арсенида

галия ε = 12, T = 0. (i) построить энергетическую диаграмму гетероперехода;

(ii) оценить в конденсаторном приближении толщину слоя, в котором фор-

мируется двумерный электронный газ, сравнить его с характерным межэлек-

тронным расстоянием; (iii) оценить параметры треугольной потенциальной

ямы, сравнить расстояние между нижними уровнями с энергией Ферми дву-

мерного газа данной плотности.



Задача Т.11.2. Одна из возможных конструкций светодиода основана на

двойной гетероструктуре, внешними слоями которой являются слои GaN с

большой концентрацией примесей n- и p-типа, а внутренним (активным) сло-

ем является InxGa1–xN с x ~ 0.3, являющийся прямозонным полупроводником

(см. рис. 3). Ширина запрещённой зоны в GaN равна 3.4 эВ, в InxGa1–xN

2.5 эВ, температура низкая. (i) Считая InxGa1–xN чистым полупроводником,

построить схему зонной структуры в отсутствие приложенного напряжения.

Запрещённую зону InxGa1–xN считать расположенной симметрично относи-

тельно дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в GaN, толщину

активного слоя считать большой по сравнению с толщиной слоя аккумуля-

ции. (ii) При пропускании через гетероструктуру небольшого тока электроны

и дырки инжектируются в активный слой, где после релаксации могут ре-

комбинировать с излучением фотона. Определить длину волны излучаемого

14

света. (iii) Можно ли в качестве активного слоя использовать кремний или

германий?

Задача Т.11.3. При температуре 300 К на цилиндрических образцах типично-

го металла и полупроводников p- и n-типа длиной 1 см создан перепад тем-

ператур в 1 К. Определить величину и направление вектора напряжённости

электрического поля внутри этих образцов. Оценить величину термоЭДС на

паре полупроводников p и n типа, если их соединить, как показано на рисун-

ке. Для полупроводника принять me,h = 0.2m0, концентрация донорных и ак-

цепторных примесей – 1015 1/см3. Эффектом «фононного ветра» пренебречь.

Задача Т.11.4. При T = 0, электроны, находящиеся в инверсном слое гетеро-

структуры, могут рассматриваться как двумерный вырожденный электрон-

ный газ. Найти фермиевскую скорость и температуру вырождения (энергию

Ферми) для таких электронов, если их концентрация на единицу поверхности

составляет n = 1012 1/см2. Эффективная масса носителей m* = 0.067m0.

Задача Т.12.1. Вычислить энергетическое расстояние между нижними уров-

нями размерного квантования для двумерного электронного газа в Si и GaAs

в приближении прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими

потенциальными стенками в направлении, нормальном к плоскости двумер-

ного электронного газа. Эффективная масса электрона в GaAs и Si составляет

0.067 и 0.19 масс свободного электрона соответственно. Ширину ямы при-

нять равной 20 нм. Сравнить полученное значение с характерными темпера-

турами – комнатной (300 К), температурой жидкого азота (77 К), температу-

рой жидкого гелия (4 К).

Задача Т.12.2. Многие вопросы физики твёрдого тела рассматриваются в так

называемом приближении невзаимодействующих электронов, когда учиты-

вается лишь взаимодействие электрона с кристаллической решёткой, приво-

дящее к появлению эффективной массы электрона, отличной от массы сво-

бодной частицы. Оценить концентрацию носителей для случая двумерного

металла, при которой справедливо пренебрежение межэлектронным куло-

новским взаимодействием. Для численной оценки взять параметры двумер-

ного электронного газа в кремниевой МОП-структуре: эффективная масса

носителя заряда равна 0.19 массы свободного электрона, диэлектрическую

проницаемость принять равной 10.

Задача Т.12.3. Для электрона в сильном магнитном поле получить квантова-

ние уровней энергии с помощью условия квантования Бора–Зоммерфельда.

Провести численную оценку расстояния между двумя соседними уровнями

энергии для GaAs (эффективная масса носителей m* = 0.067m0) в магнитном

поле 10 Тл и оценить температуру, необходимую для наблюдения эффектов,

в которых наличие такой щели является существенным.

Задача Т.12.4. Электроны над поверхностью жидкого гелия формируют дву-

мерный слой на расстоянии около 100 Å от поверхности. Притяжение элек-

тронов к границе гелия связано с действием электростатических сил заряда

15

отражения, отталкивание — с отрицательным сродством электрона к гелию.

Из-за отталкивания электрона от гелия под электроном деформируется гра-

ница раздела. Если приложить к слою электронов переменное электрическое

поле, то эта деформация станет центром генерации поверхностных волн

(риплонов), спектр которых 2 3k

, где σ = 0.36 дин/см – коэффициент

поверхностного натяжения, а ρ = 0.147 г/см3 – плотность. При достаточно

низкой температуре в двумерном электронном газе формируется периодиче-

ское состояние вигнеровского кристалла. Оценить поверхностную концен-

трацию электронов в вигнеровском кристалле, если в эксперименте наблюда-

ется резонансное поглощение энергии электрического поля при частоте ко-

лебаний поля 30 МГц.

Задача Т.12.5. При учёте спина электрона каждый уровень Ландау дополни-

тельно расщеплён по проекциям спина (зеемановское расщепление). В случае

двумерного электронного газа в GaAs сравнить величины данных расщепле-

ний в поле 10 Тл и определить условия, при которых эти расщепления срав-

няются. g-фактор принять равным 0.44.

Указание: учесть, что циклотронная частота в двумерной электронной систе-

ме определяется только компонентой поля вдоль направления размерного

квантования, а зеемановское расщепление определяется полным полем.

Задача Т.12.6. Квантовый эффект Холла возникает в двумерной системе, в

которой заполнено целое число уровней Ландау. При этом диссипативная

(продольная, хх) компонента тензора магнетосопротивления Rxx обращается в

ноль, а холловская (недиагональная, ху) компонента Rxy принимает кванто-

ванное значение 2/ ( )h ne , где n = 1,2,3,4... – фактор заполнения (число за-

полненных уровней Ландау). Определить концентрацию носителей заряда в

образце, если в поле 10 Тл наблюдается плато в холловском сопротивлении

со значением 12.9 кОм.

Задача Т.12.7. Пользуясь соображениями размерности, оценить расстояние

между квантованными уровнями в магнитном поле в графене в поле 10 Тл.

Спектр электронов в графене FV k , VF = 108 см/с.

Задача Т.13.1. Известно из опыта, что жидкий кислород втягивается в неод-

нородное магнитное поле. Определить магнитную восприимчивость молеку-

лы кислорода при температуре кипения (90К). Оценить, в каком магнитном

поле при этой температуре намагниченность сферической капли жидкого

кислорода достигнет 90% от намагниченности насыщения. Плотность жидко-

го кислорода – 1.14 г/см3.

Указание: магнетизм молекулы кислорода спиновый.

Задача Т.13.2. Между магнитными ионами, расположенными в кристалличе-

ской решётке, всегда есть диполь-дипольное взаимодействие. Это взаимодей-

16

ствие могло бы быть причиной установления магнитного порядка. Оценить

ожидаемую температуру этого упорядочения для ионов Cu2+, характерное

расстояние между которыми равно 3Å.

Задача Т.13.3. В металлических ферромагнетиках магнитный момент связан

с электронами проводимости. Эффект обменного взаимодействия электронов

проводимости можно приближённо описать, считая, что электроны с парал-

лельными спинами, находящиеся на расстояниях меньших некоторого r0 друг

от друга, взаимодействуют с энергией U (U > 0), в то время как электроны с

противоположно направленными спинами не взаимодействуют между собой.

Показать, что для возникновения спонтанной намагниченности энергия вза-

имодействия должна превысить некоторую критическую величину (т.н. кри-

терий Стонера). Считать заданной концентрацию электронов.

Задача Т.13.4. В редкоземельном гранате Gd3Fe5O12 имеется три подрешётки

магнитных ионов: ионы железа Fe3+ (L = 0, S = 5/2) занимают две коллинеар-

ных подрешётки по схеме «три вверх–два вниз», а редкоземельные ионы га-

долиния Gd3+ (L = 0, S = 7/2) формируют свою подрешётку. Из-за большого

расстояния между редкоземельными ионами, их взаимодействием между со-

бой можно пренебречь, а вот ионы железа в обеих подрешётках взаимодей-

ствуют сильно и друг с другом, и с ионами гадолиния. Ферримагнитное упо-

рядочение подрешёток железа наступает при температуре 560 К, а при тем-

пературе 280 К полная намагниченность кристалла обращается в ноль. Объ-

яснить эффект и оценить эффективное поле, создаваемое ионами железа на

ионе гадолиния при низкой температуре.

Задача Т.13.5. При высоких температурах парамагнитная восприимчивость,

описываемая законом Кюри, мала и следует учитывать не зависящий от тем-

пературы диамагнетизм Ланжевена. Для атомарного водорода в основном

(1s) состоянии найти диамагнитную восприимчивость и оценить при какой

температуре парамагнитная восприимчивость компенсирует ланжевеновский

диамагнетизм.

Указание: волновая функция электрона в основном состоянии

0/

3

0

1 r ae

a

, где a 0 = 0.529 Å – боровский радиус.

Задача Т.13.6. При измерении низкотемпературной теплоёмкости парамаг-

нитной соли с магнитными ионами Ni2+ (S = 1) в магнитном поле B = 4Тл

наблюдается характерный пик теплоёмкости (аномалия Шотки). Считая маг-

нетизм чисто спиновым, определить, при какой температуре наблюдается

максимум теплоёмкости. Оценить, во сколько раз теплоёмкость в максимуме

превышает решёточную (для оценки использовать характерные значения для

диэлектрических кристаллов).

Указание: функция 2 2(4 2ch( )) / (1 2ch( ))y x x x имеет максимум при

x≈1.881, равный ymax≈0.637.

17

Задача Т.13.7. Металлический гадолиний кристаллизуется в гексагональную

плотно упакованную решётку (параметры решётки a = 3.6Å, c = 5.8Å) и упо-

рядочивается ферромагнитно при температуре 293 К. Каждый атом отдаёт

три внешних электрона в зону проводимости, и в узлах решётки остаются

ионы Gd3+ (L = 0, S = 7/2). Учитывая для оценки только обменное взаимодей-

ствие с ближайшими соседями, в рамках модели молекулярного поля оценить

величину обменного интеграла. Сравнить энергии обменного и диполь-

дипольного взаимодействия ближайших соседей.

Задача Т.13.8. Существуют металлорганические комплексы, в которых в

каждой молекуле присутствует два антиферромагнитно связанных иона ме-

талла со спином S = 1/2. Определить зависимость магнитной восприимчиво-

сти от температуры (на одну молекулу), построить схематический график.

Показать, что при высоких температурах восприимчивость следует закону

Кюри–Вейса и определить температуру Кюри.

Указание: взаимодействие магнитных ионов описывается обменным взаимо-

действием 1 2

ˆ ˆH JS S , обменный интеграл J > 0 считать известным.

Задача Т.13.9. В рамках модели молекулярного поля определить, при какой

температуре намагниченность ферромагнетика достигнет половины от своего

максимального значения. Температура Кюри равна Θ, магнетизм чисто спи-

новый, S = 1/2.

Указание: считать известным, что искомая температура близка к температуре

Кюри.

Задача Т.14.1. Оксид марганца MnO кристаллизуется в ГЦК решётку со сто-

роной куба 4.5Å. При температуре 122К он упорядочивается антиферромаг-

нитно, причём спины ионов Mn2+ формируют чередующиеся ферромагнит-

ные плоскости, перпендикулярные к одной из главных диагоналей куба. На

какой минимальный угол отклонится при дифракции на порошке MnO пучок

нейтронов с энергией E = 25 мэВ при температуре образца 4.2 К? Как будет

качественно изменяться интенсивность этого дифракционного пика при

нагреве до температуры фазового перехода?

Задача Т.14.2. В тонких пластинках магнитноупорядоченных кристаллов

высокого качества длина пробега магнона может оказаться больше попереч-

ного размера пластинки. При этом формируется стоячая спиновая волна с

большой амплитудой колебаний локальной намагниченности. При облучении

образца электромагнитными волнами, частота которых совпадает с частотой

стоячей волны, наблюдается резонансное поглощение (спин-волновой резо-

нанс). Для пластинки ферромагнетика определить, при каких значениях ин-

дукции приложенного магнитного поля будут видны спин-волновые резонан-

сы при наблюдении на частоте 9 ГГц, и оценить максимально возможное ко-

личество наблюдаемых спин-волновых резонансов. Ферромагнитный мате-

риал имеет простую кубическую решётку с периодом a = 3Å, взаимодей-

18

ствуют только ближайшие соседи, величина обменного интеграла 100J K ,

толщина пластинки d = 2 мкм, магнетизм считать чисто спиновым, S = 3/2.

Эффекты анизотропии и размагничивания не учитывать. Считать, что на гра-

ницах образца имеется узел стоячей волны. Спектр спиновых волн в кубиче-

ском ферромагнетике в магнитном поле имеет вид

2 3 cos( ) cos( ) cos( ) B

x y

J S g Bk a k a kza

.

Задача Т.14.3. Определить относительное изменение частоты света при ком-

бинационном рассеянии на 900 с испусканием магнона в ферромагнетике на

простой кубической решётке. Величина обменного интеграла 100J K ,

спин магнитного иона S = 5/2, взаимодействуют только ближайшие соседи,

длина волны падающего света λ = 400 нм, показатель преломления среды

n = 1.3. Спектр спиновых волн в кубическом ферромагнетике

2 3 cos( ) cos( ) cos( )x y

J Sk a k a kza .

Задача Т.14.4. Двухподрешёточный антиферромагнетик на простой кубиче-

ской решётке намагничивается при T ≈ 0 до насыщения в поле B = 40 Тл.

В рамках классического приближения (заменяя спиновые операторы на век-

тора) построить график намагниченности M(B), определить величину обмен-

ного интеграла и температуру Кюри такого антиферромагнетика. Считать

магнетизм чисто спиновым, S = 5/2.

Задача Т.14.5. В некоторых металлорганических комплексах формируются

группы обменно-связанных магнитных ионов, формирующие так называемые

молекулярные магнетики. В одной из таких молекул четыре магнитных иона

Ni2+ со спином S = 1 каждый формируют правильный тетраэдр, в котором

каждый ион антиферромагнитным образом обменно связан с тремя осталь-

ными, и обменные интегралы на всех связях одинаковы / 4 К.BJ k Постро-

ить график намагниченности такой молекулы при T << J от магнитного поля.

Считать магнетизм чисто спиновым.

Указание: гамильтониан четвёрки попарно связанных ионов имеет вид

1 2 2 3 3 4 4 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 2H J S S S S S S S S , J > 0.

Задача Т.14.6. Оценить, при какой температуре вычисленная в низкотемпе-

ратурном приближении энтропия спиновых волн в одномерной антиферро-

магнитно упорядоченной цепочке спинов достигнет предельного значения

магнитной энтропии max ln(2 1)BNk S . Сравнить результат с температу-

рой Кюри для этой задачи. Спектр спиновых волн антиферромагнитной це-

почки 2 sin( )JS ka , возможны две поляризации магнонов.

19

Задача Т.14.7 Показать, что при конечной температуре ферромагнитный по-

рядок в одномерной системе разрушается тепловыми флуктуациями.

Ответы к текстовым задачам

Т.1.1. Первая зона имеет вид прямоугольной призмы с основанием в форме

неправильного шестиугольника, 3

1 . . 2

(2 )з БрV

a c

.

Т.1.2. 5

min 2.98 10 см/с3

K

K Br

Mas

M M

.

Т.1.3. Для куб.решётки 2.2 смR La

, для ГЦК 3 3.8 смR L

a

.

Т.1.4. 2

3

2 2

0

13.75 10 дин/см

1 cos( )4

msC

k aa

,

3

1 2 04 cos( ) 12.1 10 дин/смC C k a , 1 2/ 3.24C C .

Т.2.1. 315К , 53.76 10 см/сs .

Т.2.2. ( )

Cr

( )

Au

0.75V

V

C

C .

Т.3.1.

2/32

1/3 8/3

98.4 км

4R

GM m

, / 1/ 3FV c , 50 МэВFE .

Т.4.1. Медь: один валентный электрон на примитивную ячейку – металл; ал-

маз: 8 валентных электронов в примитивной ячейке – диэлектрик; висмут: 10

валентных электронов на примитивную ячейку – полуметалл из-за перекры-

тия зон.

Т.4.2. Открывается новая запрещённая зона, в рамках приближения слабой

связи энергия электронных состояний вблизи от запрещённой зоны понижа-

ется. Димеризованная цепочка будет диэлектриком (полностью заполненная

зона).

Т.4.3.

2222

0.068 0.2 эВ2

F F Fk k Em a

.

Т.5.1. Внутризонный переход запрещён, при межзонном переходе квазиим-

пульс электрона почти не меняется.

Т.6.1. 2

2

4( )

mE .

Т.9.1. 0

60 м/скрVp

.

20

Т.9.2. 2

0 lnb

Em a

.

Т.9.3. См. рис. 5, в сверхпроводнике всегда, как в случае а).

Т.9.4. / 2c cI cRB .

Т.9.5. 020.28 мкм

3a

B

, где B = 300 Гс средняя индукция магнитного

поля в образце в поле 500 Э.

Рис. 5. К задаче 9.3


Т.9.6. 2 sh( / )

( )sh( / (2 ))

I xh x

c d

;

ch( / )( )

2 sh( / (2 ))

I xj x

d

.

Т.9.7. 2M KL L .

Т.9.8.

12

0

21n

Rd

, см. рис. 6.

Т.10.1. См. рис. 7.



21

Т.10.2. 1 2( ) ( )sinc cI I I , так как при параллельном соединении разность

фаз одинакова.

Т.10.3. max

0

2 coscI I

.

Т.10.4. 1.76

0.18 мВB ck TV

e , рис. 8.

Т.10.5. 1 2min( , )c c cI I I ; 1 2

1 2

min( , )cos

max( , )

c c

c

c c

I I

I I .

Т.10.6. 2 2

( )cos( )

c

c

I IV t R

I I t

, где

2 22c

eR I I ;

2V

e

.

Т.10.7. max 0

max

( / 2)0.15

(0) 2

I

I

.

Т.11.1. (i) См. рис. 9; (ii) d = 660 нм; (iii) расстояние между уровнями размер-

ного квантования ΔE/kB≈300 К.

Т.11.2. (i) См. рис. 10; (ii) E = 2.5 эВ, λ = 500 нм; (iii) нет: кремний или герма-

ний являются непрямозонными полупроводниками, в них рекомбинация с

излучением фотона запрещена правилами отбора.

Т.11.3. В металле и n-полупроводнике электрическое поле направлено от хо-

лодного к горячему концу образца, в p-полупроводнике – от горячего к хо-

лодному; оценка термоЭДС U = 0.07 В.

Т.11.4. 300 КFE , 74 10 см/сFV .



22

Т.12.1. 2 2

2

3

2E

ma

, для Si: 170 К, для GaAs: 490 К.

Т.12.2. 2

12 2

210 1/см

meN

.

Т.12.3. cE n .

Т.12.4.

2/32

9 2

2

11.5 10 1/см

(2 )n

.

Т.12.5. В поле 10 Тл циклотронное расщепление 17 мэВ, зеемановское

0.3 мэВ; циклотронное и зеемановское расщепление сравняются при угле

наклона поля к нормали arccos(0.3/17) = 890.

Т.12.6. 11 24.8 10 1/смN .

Т.12.7. 1000 КF

eBE V

c .

Т.13.1. 150 Тл.

Т.13.2. / 0.02 Kd d BT E k .

Т.13.3. кр

0

8

3

FEU

nV ,

3

0 0

4

3V r .

Т.13.4. В точке компенсации наведённая молекулярным полем намагничен-

ность ионов гадолиния уравновешивает намагниченность ферримагнитно

упорядоченных ионов железа. Эффективное поле равно 33 Тл.

Т.13.5. 30 34 10 смdia , T = 160000 К.

Т.13.6. Tmax = 2.9 К; Cmax/Cреш~10 000.

Т.13.7. J = 5.2 К; Eдип/Eобм = 0.005.

Т.13.8. 2

/

8 1

3 1 / 3

B

J T

J

J T e

; / 4J ; график на рис. 11.

Рис. 11. К задаче Т.13.8.

Пунктир – асимптотики


23

Т.13.9. 0.90T .

Т.14.1. 3

sin2 4a

; 020 .

Т.14.2.

22

2( )B B

J S aB n n

g g d

;

max 116N .

Т.14.3.

2 2

74

5.2 10J Sa n

c

.

Т.14.4. 31К , график M(B) на рис. 12.

Т.14.5. См. рис. 13.


Т.14.6. 3ln(2 1)

B

S JST

k

.

Т.14.7. Каждый магнон уменьшает намагниченность на 1 μB, вычисляемая

поправка к намагниченности в одномерном случае равна

/ ( )

1

1Bk TM dk

e

, она расходится при k = 0.

УТВЕРЖДЕНО 09 января 2018 года...

Documents

Transcript of УТВЕРЖДЕНО 09 января 2018 года...