Подземная гидромеханика (ПГМ)

Лектор: к.ф.-м.н., доцентКвеско Б.Б.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ

Модели

Абстрактные Физические

Требования адекватности моделей реальным процессам:полнота - содержание достаточного числа признаков реального объекта;непротиворечивость - включенные признаки не должны противоречить друг другу;реализуемость - построенная математическая модель должна допускать аналитическое или численное решение, а физическая - реализацию в искусственных условиях;компактность и экономичность - процессы сбора информации, подготовка и реализация модели должны быть максимально просты, обозримы и экономически целесообразны.

Теория осреднения Теория подобия

МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ

СПЛОШНАЯ СРЕДА

ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕВРЕМЕННЫЕ

ПРОСТРАНСТ-

ВЕННЫЕ

ПО СТЕПЕНИ

СЖИМАЕМОСТИ

ПО ЧИСЛУ ФАЗ

РЕОЛОГИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ ФЛЮИДОВ

y.u. x

xy

а) Несжимаемая - =соnstв) Упругая

где c - коэффициент объёмного расширения, c= (7-30)10-10 Па-1- для нефти и (2,7-5)10-10Па-1 для пластовой воды.с) Сжимаемая . р=z R T - рпл > 9 МпаR - газовая постоянная, Т - температура, z - коэффициент сверхсжимаемости.

0ррс0e

Гомогенные

Гетерогенные

Составляющие (компо-ненты) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Изменение физических и химических свойств непрерывно.

uxy.

u. x

xy

Составляющие(фазы) – разделены отчетливыми геометрическими границами и взаимодействуют на поверхностях раздела. Изменение физических и химических свойств разрывно.

КОЛЛЕКТОРА ПО ОРИЕНТИРОВАННОСТИ ПАРАМЕТРОВ

В ПРОСТРАНСТВЕ

изотропные анизотропные

Изотропия - независимость изменения физических параметров от направления

Анизотропия - различные изменения по отдельным направлениям.

Упорядочные структуры - анизотропны по поверхностным параметрам.

МОДЕЛИ КОЛЛЕКТОРОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ

СМЕШАННЫЕ

ТРЕЩИННЫЕ

ВИДЫ КОЛЛЕКТОРОВ

ПОРОВЫЕ

(ГРАНУЛЯР-НЫЕ)

трещиновато-пористые, трещиновато-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот по которым происходит фильтрация.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

Фиктивный грунт

Идеальный грунт

ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

ПОРИСТЫХ КОЛЛЕКТОРОВПОРИСТЫХ КОЛЛЕКТОРОВ

Слепок поровых каналов сцементированного

песчаника

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПОРИСТЫХ КОЛЛЕКТОРОВ

ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКИЙ СОСТАВ

ПОРИСТОСТЬ ПРОНИЦАЕМОСТЬ

УДЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКИЙ СОСТАВ

Гранулометрическим составом породы называют количественное (массовое) содержание в породе частиц различной крупности

Эффективный диаметр –

такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказыва-емое фильтрующейся жид-кости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково.

УДЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ Sуд - суммарная пло-щадь поверхности частиц, содержащихся в единице объёма

Среднее значение Sуд для нефтесодержащих пород изменяется в пределах 40тыс. - 230тыс.м2/м3.

ПОРИСТОСТЬ mо = Vп/V

ПОЛНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯОТКРЫТАЯ

Просветность ms = Fп/F

Для газовых и нефтяных коллекторов в большинстве случаев m=15-22%, но может меняться в широких пределах: от нескольких долей процента до 52%.

ПРОНИЦАЕМОСТЬ - параметр породы, характе-ризующий её способность пропускать флюиды при определенном перепаде давения.

Проницаемость измеряется: в системе СИ - м2; технической системе - дарси (д); 1д=1,02мкм2=1,02 .10-12м2.

Физический смысл проницаемости k заключается в том, что проницаемость характеризует площадь сечения каналов пористой среды, по которым происходит фильтрация.

ВИДЫ ПРОНИЦАЕМОСТИ

АБСОЛЮТНАЯ

kФАЗОВАЯ (ЭФФЕКТИВНАЯ)

ki

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ

ki

3

25уд м

м ,k

mm100,7S

а) коэффициент насыщенности - отношение объёма Vf данного флюида, содержащегося в порах, к объёму пор Vп

По виду флюида различают нефтенасыщенность, газонасыщенность, водонасыщенность.б) коэффициент связанности- отношение объёма, связанного с породой флюида Vfс, к объёму пор

ПАРАМЕТРЫ, СВЯЗАННЫЕ С НАЛИЧИЕМ ФЛЮИДОВ

п

ff V

V

п

fcf V

Vc

ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ КОЛЛЕКТОРОВТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ КОЛЛЕКТОРОВ

Схема одномерной Схема пространственноймодели трещинной среды модели трещинной среды

- раскрытие; l - линейный размер блока породы

ПАРАМЕТРЫ ТРЕЩИННОЙ СРЕДЫ

ТРЕЩИНОВАТОСТЬ ГУСТОТА РАСКРЫТОСТЬ

т отношение объёма трещин Vт ко всему объёму V трещинной среды.

VVm т

т

отношение полной длины li всех трещин, находя-щихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения f

. м

1

f2

lГ i

т

Ширина трещины

mт=тГт,

рр1 0*т0тт

т0 - ширина трещины при начальном давлении р0 ; *т=п l /т0 - сжимаемость трещины; п - сжимаемость материалов блоков; l - среднее расстояние между трещинами.Для трещинных сред l/ т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ДЕФОРМАЦИЯ:

1. УПРУГАЯ (S);

22. . ПЛАСТИЧЕСКАЯ(S);

33. . КРИП (ПОЛЗУЧЕСТЬ) - постепенное нарастание деформации при постоянном напряжении.

4. ХРУПКАЯ Реологические модели

Кулона, Гука, Кельвина, Сен-Венана

Абсолютно-твердое тело

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

при отсутствии источников - стоков

Математическое описание гидродинамических процессов

Смысл дифференциального уравнения Дифференциальные уравнений гидродинамики

выражают определенные законы сохранения некоторой физической величины и отражают баланс между различными факторами, влияющими на эту физическую переменную.

Зависимыми переменными являются удельные свойства (свойства, отнесенные к единице массы) : масса, скорость (т. е. количество движения единицы массы), удельная энергия. Чистое истечение на единицу объема

divJz

J

y

J

x

J zyx

t

Ф

— скорость изменения соответствующего свойства в единице объема.

Дифференциальное уравнение состоит из членов, каждый из которых выражает воздействие на единицу объема, а сумма — баланс этих воздействий.

1. Уравнение неразрывности

0udivtm

2. Уравнение движениягде р*=р+zg, u=dG/dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит); среда

изотропна(k=const, μ=const) c

*2 Fgradpmudivt

u

= 0 – течение медленное

= 0 – изменение кинетической энергии мало u

сa

u

Re

c

1

2

- массовая сила

сопротивления флюида о скелет горной породы

Получаем уравнение движения в форме Дарси *gradpk

u

Уравнение неразрывности при установившаяся фильтрации :

• сжимаемой жидкости

• несжимаемой жидкости

zf

y

f

xf

fdiv zyx

k z

+j y

+i x

grad

- в декартовой системе координат

0udiv

0udiv

Первые экспериментальные наблюдения за движениемводы в трубах, заполненных песком, провели французские инженеры А. Дарси (1856 г.) и Ж. Дюпюи (1848 1863 гг.). Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дарси назван линейный закон фильтрации, который он установил, создавая первую систему водоснабжения в Европе.

ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ пористой средыЗакон Дарси

СКОРОСТЬ ФИЛЬТРАЦИИ: Q=w Fп = w m F

mwu

ЗАКОН ДАРСИ (ЛИНЕЙНЫЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ)

gradHcu

p

zH

gradHk

u

Физический смысл скорости фильтрации - среднерасходная скорость фиктивного потока, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной.

Гидравлический уклон

коэффициент фильтрации

)(ln

2ск

c

крр

r

rhk

Q

Уравнение притока в форме Дюпюи

*gradpk

u

Уравнение Дарси

к

2к

стст r

р

pz

hkQ

ln

нефть

газ

z = (zc+zк) / 2;μ = (μc+μк) / 2; zс =z(pс), μс =μ (pс), zк =z(pк), μк =μ (pк ).

р* = р + pgz - приведенное давление

Границы применимости закона Дарси

Верхняя граница

инерционные силы

Нижняя граница

неньютоновские свойства

Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

• скорость фильтрации и градиент давления малы;

• изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

Число Рейнольдса Re=wa/μ ;

w -характерная скорость течения: а - характерный геометри-ческий размер пористой среды; - плотность жидкости Зависимость Павловского

Критическое число Рейнольдса Reкр=7,5-9.

Зависимость Щелкачёва:

Критическое число Рейнольдса Reкр=1-12.

Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации

Верхняя граница

. = где

,

w=u;m

k10а

m

ku10Re

3,2

3,2

. ;23,075,0 ãäå

, 23,075,0

Re

w=umdà=

m

ud

Нижняя граница

.0u,dl

dp

,0u,ukdl

dp

н

н

модель с предельным градиентом

начальные глинистые

ячейки

деформируемые ячейки

Законы фильтрации при Re > Reкр

Одночленные законы: степенная зависимость

,dl

dpCu

n

1

C, n - постоянные, 1 n 2.

Двухчленные зависимости

.BuAudl

dp 2

Дарси Краснопольского

,k

B;k

A

структурный коэффициент

по Минскому (нефть)

структурный коэффициент

по Ширковскому (газ)

2/3

12

)/(

1063

mk

mk

d 2910 12 (d – эквивалентный

диаметр частиц)

кс2

2

с

кск R

1

r

1

h2

bQ

r

Rln

kh2

Qрр

2

22

22

2ln

ðð ñò

c

ñòñòñò

c

êñòñê Q

krh

pQ

r

R

kh

p

Решая двухчленное уравнение фильтрации имеем уравнения притока:- для несжимаемой жидкости

- для газа

ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ трещинной среды

Линейный закон фильтрации

Скорость фильтрации: u=mтw.

Формула Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

.dl

dp

12w

2т

Линейный закон фильтрации

.dl

dp1

12

Гu

3ттт

=kт –проницаемости трещиноватых сред

.pp1kk3

0*0

mт

Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей

Границы применимости линейного закона фильтрации трещинной среды

Значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости:

• для гладких трещин Reкр=500,

• для шероховатых - 0,4.

Если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Число Re для трещинной среды:

4,0,mm

k3u4Re

тт

т

крRe

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Уравнения потенциального движения

ПОТЕНЦИАЛ

Cdpk

ЗАКОН ДАРСИ

через потенциал

gradu

УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

t

m

0Установившееся течение

zyx

grad div2

2

2

2

2

2

gradpk

u

ЗАКОН ДАРСИ

zf

y

f

xf

fdiv zyx

0udiv

kd dp

Свойства уравнения Лапласа, имеющие большое практическое приложение: сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа; произведение частного решения на константу - также решение.

Замыкающие соотношения [, m, k, μ=f(p)]

Зависимость плотности от давления или уравнения состоянияа) Несжимаемая - =соnst.в) Упругая

где c - коэффициент объёмного расширения, , Vc - объём жидкости; c= (7-30)10-10 Па-1- для нефти и (2,7-5)10-10Па-1 для пластовой воды.

с) Сжимаемая . р= R T - рпл < 9 Мпа; р < 1 Мпа

р=z R T - рпл > 9 Мпагде R - газовая постоянная, Т - температура, z - коэффициент сверхсжимаемости. Изотермический процесс - или

0ррс0e

dp

d1

dp

dV

V

1

Т

с

сс

стст р

р

ст

стст рz

рz

Зависимость пористости от давления

эф+рпл=ргорн=const

ргорн= горн g H –

горное давление

0m0 ððmm

Зависимость вязкости и проницаемости от давления

0ррa

0e 0ррka

0ekk При р < 10 Мпа показатель в выше приведенных экспоненциальных зависимостях меньше 1 и, следовательно, данные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

где - общее обозначение выше приведённых параметров.

00 ррa1

Начальные и граничные условия

Начальные условия =о(x,y,z) при t=0Если при t=0 пласт не возмущён, то =о=const.Граничные условия

Внешняя граница : 1)постоянный потенциал (Г, t)=к=const - контур питания;

2) постоянный расход G=Fu=const или 3) переменный поток массы через границу

4) замкнутая внешняя граница

5) бесконечный пласт limx (Г,t)=к=const

y

;constn

);t(fn 1

;0n

Внутренняя граница

1) постоянный потенциал (rc , t)=c=const

2) постоянный массовый дебит

3) переменный потенциал на забое (rc ,t)=f2(t) при r=rc;

4) переменный массовый дебит

5) не работающая скважина

ccc rr при h2

Gr

r или constr

hr2ufG

c3 rr при• (t)fr

r

.rr при• 0r

r c

Установившаяся потенциальная одномерная фильтрация

ВИДЫ ОДНОМЕРНЫХ ПОТОКОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

Решение общего дифференциального уравнения

Показатель формы потока

Начало системы координат:• галерея (для прямолинейно- параллельного потока);• центр контура скважины в плоскости подошвы пласта (для плоско-радиального потока);• центр полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

Для укрупнённой трубки тока u= G /F( r ),

где F=F( r ) - площадь эквипотенциальной поверхности прямолинейно-параллельный поток - F( r )=Bh; плоско-радиальный поток - F( r ) =2 h r; радиально-сферический поток - F( r ) = 2 r2.G>0 - эксплуатационная скважина

Уравнение Дарси через расход

jArG

drd

прямолинейно-параллельный поток - A=Bh, j=0; плоско-радиальный поток - A =2 h, j=1; радиально-сферический поток - A = 2, j=2.

j - показатель формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.Уравнение для потенциала

(j=0;2)

Cj1

rAG j1

Уравнение для потенциала

(j=1)Cr ln

h2G

rr

lna где

,rr

lna

к

ск

кк

;

rrj1

AGj1

c

j1

к

cк

Выражение для дебита при постоянных потенциалах на границах

(j=0;2)

,

rr

lnh2G

c

к

ск

(j=1

Уравнение для потенциала

(j=0;2)

Уравнение для потенциала

(j=1)

j1

с

j1

к

ск

j1j1

кк

rra где

,rr a

№ Вид коллектора Характери-стики

Вид флюида Характеристики Потенциал

1 Недеформируемый (пористый) пласт k=const Несжимаемая

жидкость=const; μ=const

2 Трещиноватый (деформируемый)

пласт

Несжимаемая жидкость

=const; μ =const

3 Недеформируемый (пористый) пласт k=const Упругая

жидкостьμ =const

4 Недеформируемый (пористый) пласт k=const Совершенный

газ= cт р/ рст -

изотермическое течение;

μ =const5 Недеформируемый

(пористый) пласт k=const Реальный газ

- изотермическое течение

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Cdp

k

Cpk

Cрр14

k 40

**

0m

0ррж0e

dp

dж

Сk

ж

Срp2

k 2

ст

ст

р=z R T – общий случай;μ =const;

)p(z

1

р

р

стст

C)p(fp

k

ст

ст

pdp)p(z)p()p(f 1

Cz2

pf

2

30*0

m рр1kk

№ Вид коллектора Вид флюида Потенциал

1 Недеформируемый (пористый) пласт

Несжимаемая жидкость

p

2 Трещиноватый (деформируемый)

пласт

Несжимаемая жидкость

p4

3 Недеформируемый (пористый) пласт

Упругая жидкость

4 Недеформируемый (пористый) пласт

Газ p2

5 Трещиноватый (деформируемый)

пласт

Газ p5

Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт

/плоско-радиальное течение/

Cpk

Функции плоско-радиальное

Распределение давления

Градиент давления

Уравнение притока

Уравнение Дюпюи

Уравнение движения

Средневзве-шенное

давление

r

1а

dr

рd

1ahk2

Q

Q

rRmh t

220

2/1арр~ к drrmh2dV

;mhrrV

пор

2c

2кпор

c

кк

к

ккк r

rr;

rln

р1a,

r

rln1aрр

где

1. Дебит не зависит от r, а только от депрессии d р. График зависимости Q от d р называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость - индикаторной.

Коэффициент продуктивности скважины

2. Градиент давления и, следовательно, скорость фильтрации обратно пропорциональны расстоянию и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.

Анализ:

Паc

м

p Q

K

3

к

4. Изобары - концентрические, цилиндрические поверх-ности, ортогональные траекториям.

5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура rк для достаточно больших значений rк /rc, т.к. rк /rc входят в формулу под знаком логарифма.

3. Графиком зависимости р=р( r ) является логарифмическая кривая, вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии.

Течение совершенного газа через недеформируемый пласт

по закону Дарси

СРp2

kСр

p2

k

ст

ст2

ст

ст

плоско-радиальное течение

,r

rln

rlnк

к

кк

к

к

rlnh2G

к

к

rlnr

1

dr

d

с

ккскк r

rr;

средневзвешенное давление порпор

dVрV

1р~

уравнение движения

интегрируем по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 -

начальное положение частицы флюида

рFm

Qр

dt

dr стст

cpст

cт

z

р

р

Функция Лейбензона

Распределенияплоско-радиальное

Распределение давления

Р=р2

Градиент давления

Уравнение притока

Уравнение движения

Средневзвешенное давление

pr2

1а

dr

рd

1aр

hkQ

стcт

ст

220

Q

rRmht

r

2

к

с

к rln4

р

р1

1рр~

c

кк

к

ккк r

rr;

rlnP

1a,rr

ln1aPP

Анализ – плоско-радиальное течение

Распределение давления в недеформируемом пласте1 - газ; 2 - несжимаемая жидкость

Пьезометрическая кривая для газа имеет более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкое изменение у стенки скважины, чем для несжимаемой жидкости.

Распределение давления

Индикаторная зависимость при

фильтрации газа по закону Дарси в

переменных Q – Δp

Уравнение притока

.rln

р

р

hkQ

к

2к

стст

Индикаторная зависимость для газа --параболическая зависимость дебита Qст от депрессии рк (с осью, параллельной оси дебитов) и линейная зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений.

2кккст р р р2Q

т.к. рк2 - рс

2 = 2ркрс - (рс)2

(где рс= рк - рс )

Индикаторная зависимость при

фильтрации газа по закону Дарси в

переменных Q – Δp2

Распределение градиента давления

Градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации

Скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне

несжимаемая жидкость

газ

Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте

Потенциальная функция Cdp

k

Трещиноватый (деформируемый)

пласт

Несжимаемая жидкость =const; μ =const

CkÒ

4

0*

*

0

ðð1 4

3

0*0 ðð 1 Òkk

rr

a

r

ra

ê

ñê

êê

ln ãäå

,ln

Уравнение для потенциала

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ

ГРАДИЕНТ ДАВЛЕНИЯ

4*

4

ð112à ,lnln

21 ãäå

,1

ðð

êê

ê

ê

r

r

r

à

;ð1ln

1

4

2ð3*

êê prr

à

dr

d

hr

G

dr

d

2 ,

ln2

c

ê

ñê

rr

hG

Объёмный дебит 2arln2

hkQ

к*

0т

Скорость фильтрации ;r

12a

4

khr2

Qu*

Кривые распределения давления

1- недеформируемый пласт2 - трещиноватый пласт

1. Воронка депрессии для трещиноватого пласта более крутая, чем для пористого.

В деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим *

2. Индикаторная кривая - парабола четвёртого порядка

Вид индикаторной кривой при фильтрации

несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте

Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

2buukdr

dp

k

b где

Течение несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте

22

rh2

Qb

rh2

Q

kdr

dp

Уравнение фильтрации при u=Q / (2 rh)

Распределение давления в пласте

Уравнение притока

к

2

2к

к R

1

r

1

h2

bQ

r

Rln

kh2

Qрр

кс

2

2

с

кск R

1

r

1

h2

bQ

r

Rln

kh2

Qрр

• Дебит - положительный корень уравнения притока

• Индикаторная линия - парабола.

• Кривая распределения давления - гипербола и воронка депрессии - гипербола вращения.

• Крутизна воронки депрессии у стенки скважины больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

Идеальный газ в недеформируемом пласте

2ст222

стстст

ст Qprkh4

pQ

khpr2

p

dr

dp

Уравнение фильтрации

т.кrhp2pQ

rh2pp

Qf

Gu стст

стст

стст

r

1

r

1Q

kh2

p

r

rlnQ

kh

pрр

c

2ст22

стст

cст

ст2с

2

Распределение давления

Распределение давления отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Уравнение притока

2ст

c22

стст

c

кст

ст2с

2к Q

krh2

p

r

RlnQ

kh

pрр

2стст

2с

2к ВQАQрр

Коэффициенты А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся

режимах.

или

Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте

Закон фильтрации ,ubua

l

р 2

где

тт

бл

т

km1120l69,1

b

;k1a

Уравнение притока через давление и объемный дебит

кc2

2

т0т

бл

c

к0m

4к r

1

r

1

h

G

m1k120

l69,1

r

rln

hk

G2р11

Индикаторная кривая - результат сложения двух парабол: параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (рс) и отстоящей от последней на расстояние

кcбл

c

кт

r1

r1

l

rr

lnm1h120

Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте

22

21 120

69,1

2 hr

G

m

l

hr

G

dr

d

ò

áëò

Закон фильтрации в дифференциальной форме через потенциал

êcò

áë

c

ê

êê

êê

ñò

ò

rrh

Q

m

l

r

r

h

Q

p

p

k

11

1120

69,1ln

2

ð 15

ðð 11

20

1

4

2

2

44

2

0

Уравнение притока через давление и объемный дебит

Учет скин-эффекта при определении проницаемости в

случае фильтрации по закону Дарси

Q, cм3/сек

ΔР,ат

157 10

256 20

334 30

401 40

459 50

Индикаторная диаграмма

y = 0,0972x

R2 = 0,9124

y = 0,132x - 12,432

R2 = 0,9888

0102030405060

0 100 200 300 400 500

депрессия, ат

деби

т, с

м3/

с

Проницаемость

0,25 0,19

Диаграмма

y = 0,0001x + 0,04

R2 = 0,99980

0,05

0,1

0,15

0 100 200 300 400 500

Q, cм3/сек

ΔР

/Q,а

т*се

к/c

м3

Зависимость величины проницаемости от закона фильтрации

Закон Дарси

без скин-эффекта со скин-эффектом

0,25 дарси 0,19 дарси

Нелинейный закон Δр=AQ +BQ2

0.61 дарси

ФИЛЬТРАЦИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях.

Виды макронеднородности

Слоистая Зональная Общая

;

cê

cê

rrBhG

,ln

2

c

ê

ñê

rr

hG

прямолинейно-параллельный поток плоско-радиальный поток

Cpk

закон Ома

I =U / R

R

ppG cê

/Bhk

lR

/2

ln

hk

rr

R c

ê

для последовательных сопротивлений R = Ri

для параллельных - .11

iRR

Многослойный пласт - неоднородность по толщине пласта.

Пропластки - гидравлически изолированы, либо гидравлически сообщающиеся.

В пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок.

Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. Квазиоднородное приближение:

СЛОИСТАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ

i

iicp h

hkk

ЗОНАЛЬНАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ

Пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметров, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно. Массовый дебит постоянен и равен:при плоскорадиальном потоке

i 1i

i

i

ск

rr

lnk1

h 2G dp1

Квазиоднородное приближение:

i i

icp

klL

k

i 1i

i

i

c

к

cp

rr

lnk1

rRln

k

Параметр r1   k1/k2    

м 0,1 0,5 2 10

  0,25 45,48282 72,30703 81,29693 84,08472

Q/Q2*100% 0,5 34,56898 68,48764 83,92812 89,29662

  1 27,87921 65,0515 86,73533 95,19732

  20 15,18164 53,45944 101,3925 133,2534

Зависимость дебита от проницаемости призабойной зоны

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6

k1/k2

Q/Q

2*10

0%

Ряд1

Ряд2

Ряд3

Ряд4

Ухудшение проницаемости призабойной зоны сильнее влияет на дебит, чем увеличение проницаемости в этой зоне

rc

r1

r2

k1

K2

1

2

c

1

1

2

c

2

2rr

lnrr

lnkk

rr

ln

Q

Q

Увеличение (в %) дебита скважины при увеличении проницаемости призабойной зоны

Дарси

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

к1/к2

Q1/

Q

Краснопольского

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60

k1/k2

Q1/

Q

r/rc=2

r/rc=3

r/rc=4

r/rc=10

• В случае фильтрации по закону Дарси увеличивать проницаемость призабойной зоны более, чем в 20 раз не имеет смысла, т.к. дальнейшее увеличение проницаемости практически не ведёт к росту дебита (при условии сохранения типа коллектора)

• Нарушение в пластовых условиях закона Дарси усиливает положительное влияние увеличенной проницаемости призабойной зоны на производительность скважины.

Схема притока к несовершенной скважине:

а - по степени вскрытия; b - по характеру вскрытия

Приток к несовершенным скважинамВиды несовершенств скважин. Приведённый радиус.

Добавочное фильтрационное сопротивление

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис. а).Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта

a) b)

Параметр несовершенства сG

G

Параметр несовершенства зависит от:

• относительного вскрытия пласта ,

где hвс – вскрытая часть пласта , h - толщина пласта;• плотности перфорации (числа отверстий, приходящихся на 1м

фильтра);• размеров и формы отверстий;• глубины прострела.

h

hh вс

Приведенный радиус несовершенной скважины

Ccпр err

С – коэффициент несовершенства –добавочное фильтрационное сопротивление

Приведенный радиус - это радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически

несовершенной скважине

Течение по закону Дарси

Несовершенство по характеру вскрытия: В.И. Щуров

С = С ( a,h) (a=h/D, h - мощность пласта, D- диаметр скважины; h=hвс/h, hвс - толщина вскрытия ) .

Несовершенство по степени вскрытия: И.М. Доуэлл, Маскет, Р.А. Ховард и М.С. Ватсон

С = С (плотности перфорации, глубины прострела)

Плотность перфорации - число отверстий на 1 метр

Дебит значительно зависит от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр

Формула Маскета для дебита несовершенной по степени вскрытия скважины (основа - метод суперпозиции и отображения стоков)

кc

ск

rh4

lnhfrh4

ln2h21

h2G

f - функция относительного вскрытия

Формула Н.К.Гиринского - применяется если толщина пласта много больше радиуса скважины

к

ск

rh6.1

ln

h2G

)h(fh2

1

r

h4ln1

h

1С

c

Коэффициент несовершенства

Если скважины несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

hDn

120C

D - диаметр фильтрового отверстия в см; n - число отверстий на 1м перфорированной части.

Приток реального газа по двухчленному закону к несовершенной скважине

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине

2cтcт

2с

2к BQАQрр

krh

pzB

r

R

kh

pzÀ

c

còcò

c

êcò222

~= ;ln

~~

Приток к несовершенной скважине учитывается. введением приведён-ного радиуса скважины в формулу дебита

)CC(cc err

Уравнение притока реального газа по закону Дарси к совершенной скважине

cт22

2к AQрр

1) R1 (2-3) rc - из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия; закон фильтрации - двухчленный ;

2cт1cт1

21

22 QBQАрр

11

2

~=

);(ln

~~

41

221

31

1

CRrkh

pzB

Cr

R

kh

pzÀ

c

còcò

c

cò

С3 - по графикам Щурова, а С4 по формуле 20

2

2

4RN3

hС

N - суммарное число отверстий; R0- глубина проникновения

перфорационной пули в пласт.

2) R2h - линии тока искривляются из-за несовершенства по степени вскрытия;. фильтрация плоскорадиальна, но с переменной толщиной (от hвск до h); закон фильтрации - двухчленный .

3) R2< r< Rк - действует закон Дарси и течение плоскорадиально

2cт1cт1

21

22 QBQАрр

. ;1

11

;ln1

ln1

;11

2

~= );(ln

~

221

1

221

22111

21

h

h=h

hhC

R

h

h

hh

hC

CRRkh

pzBC

R

R

kh

pzÀ

âñ

còcòcò

cт22

2к AQрр

Общее уравнение притока к несовершенной скважине

2cтнcтн

2с

2к QВQАрр

.12

~= );(ln

~422231

1

2 rCCrkrh

pzBÑC

R

R

kh

pzÀ c

c

còcòí

còí

Влияние радиуса скважины на её производительность

Одиночная скважинаrс - радиус 1 -ой скважины, rc

/=xrc - радиус 2 -ой скважины;G - дебит 1 -ой скважины, G/ =уG - дебит 2 -ой скважины;

Закон Тип потокафильтрации плоскорадиальный радиально-сферический

Дарси

xlnr

Rln

r

Rln

y

c

к

c

к

у=х

Краснопольского ху 3ху

;

rrj1

AGj1

c

j1

к

cк ,

rr

lnh2G

c

к

ск

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

Упругий режим - основная форма пластовой энергии - энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта. Упруговодонапорный - приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне.

Замкнуто-упругий - залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами.

Жестко-водонапорный режим - вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости (упругие свойства проявляются мало)

Особенности упругого режима:

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

Параметры упругого режима

Важнейшие параметры упругого режима: коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.Коэффициент объёмной упругости жидкости ж характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу.

dp

d1

dp

d1 ж

жж

ж - объём жидкости; знак минус

указывает на то, что объём ж

увеличивается с уменьшением

давления; ж нефти - (7-30)10-10м2/н; ж воды - (2,7-5)10-10м2/н.

Коэффициент объёмной упругости пласта

dp

dm

dp

d1 п

пc

п - объём пласта; m - пористость; С слабо и

сильно сцементированных горных пород находится в пределах (0,3-2)10-10м2/н.

Упругий запас з - это количество жидкости,

высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта.

з = ж0жр + с0р=*0р. ,

где 0ж - объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта 0 при начальном давлении р0; р - изменение давления;

* = mж + с - коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий

долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу

Коэффициент пьезопроводности пласта - характеризуетскорость распространения изменения пластового давления

12TL k

æ

*=

В коллекторах – 1000см2/с æ 50000см2/c или

0.1м2/с æ 5м2/c.

Параметр Фурье - определяет степень нестационарности процесса

2cr

tæfo

2êr

tæFo

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости (уравнение пьезопроводности)

Допущения: 1) течение по закону Дарси; 2) зависимость плотности и пористости от давления линейны

0ж0 рр1

0c0 ррmm

t

p

t

m *0

t

m Cdp

k

ðæt

p

- уравнение пьезопроводности,

позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом.

dp

dm

dp

d1 п

пc

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров

Вывод основного уравнения упругого режимаПласт - упругий, горизонтальный и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным.

Уравнение пьезопроводности в цилиндрических координатах

trr r

ððð

æ

112

2

возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/

Решение

)t(t-

r

ett

ACtrp

æ4

2

),(

Найдём значения постоянных. Будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r> 0 и при t = t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа / и определяется по

правилу Лопиталя, что даёт С = рк.

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением для упругого запаса з=* Vп р для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления р = p0 - p по

dз = *рd Vп =

После интегрирования в пределах от 0 до получим объём жидкости 3 , выделившейся из всего пласта и, учитывая выражение для , определим коэффициент А:

x

a

e

x1

)t(t-

r

ê ett

Atrp

æ4

2

ð),(

rdrett

Ah )t(t-

r

æ4*

2

2

*k

=æhk

A ç

4

Изменение давления во времени для скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно

)t(t-

r

ê etthk

trp

æ42

2

)(4ð),(

Изменение давления во времени для скважины, действовающей непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/

0

æ40

2

4ð),(

tt

tde

hk

Qtrp )t(t-

r

ê

/ через сток выделяется из пласта объём d2 = Qdt /

Интегрально-показательная функция

tæ4

r

u2

2

duu

e

tæ4

rEi

Свойства интегрально-показательной функции: -Ei(-u) изменяется от 0 до при изменении аргумента от 0 до ; функция -Ei(-u) представляется

в виде сходящегося ряда

.....18

u

4

uu5772,0

u

1ln)u(Ei

32

5772,0u

1ln)u(Ei Для малых u

Кривая КВД:

5772,0r

tæ4ln

hk4

Qð)t,r(p

20

ê

100r

tæfo

2c

• погрешность не превышает 0,6% для бесконечного пласта при

• для конечного пласта погрешность расчета давления не превышает 1%, если

rк > 1000rc и fo < 3,5.105 или Fo < 0,35.

Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Выводы:• пьезометрические кривые

представляют собой логарифмические линии.

• углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

(1)

rkh

Q

r

p 1

20

Для точек вблизи забоя

Анализ основной формулы теории упругого режима

1. Основная формула строго справедлива лишь для точечного стока, т.е. при rс=0. Практические расчеты показывают, что ей можно пользоваться даже для укрупнённых скважин (rс1км) и нельзя использовать только в первые доли секунды после пуска скважины.

2. Вскоре после пуска скважины вокруг неё начинает непрерывно увеличиваться область пласта, в которой для каждого момента времени давление распределяется так, как и при установившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа.

.er

1

h2

Qu= ;e

r

1

hk2

Q

r

p tæ4

r0tæ4

r0

22

3. Стационарная скорость достигается очень быстро

на небольших расстояниях от скважины.

rh2

Qu 0

ст

Периодически работающая скважина

Постановка задачи. В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований.

Понижение давления р/ в момент времени Т:

Повышение давления за счет работы источника с момента времени Т

5772,0

)æ4ln

4 2r

tÒ

hk

Qp

(

5772,0

æ4ln

4 2r

t

hk

Qp

Результирующее понижение давления

t

tТln

hk4

Qppp

tТ

tln

hk

Q1832,0pp кс

или

Данная зависимость используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.

Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин

нестационарными методами

Уравнение КВД

• гидропроводность пласта →

tg4

Qkh

• коэффициент проницаемости пласта →

htg4

Qk

• по i = tg и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить

коэффициент пьезопроводности пласта æ.

.;,

ln

,lnррр

hk4

Q i=

r

2462А=i

tiA

02с

скс

æ

где

Особенности кривой и уравнения КВД:

• скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном, однородном пласте , и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину;

• возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует;

• на форму КВД сказывается также влияние несовершенства скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины

Приток к скважине в пласте конечных размеров в условиях упруго-водонапорного и

замкнуто- упругого режимаПриток к скважине в пласте конечных размеров с

открытой внешней границейПостановкаПусть пласт имеет внешнюю границу радиусом rк, через которую может поступать вода при истощении упругого запаса. В центре пласта имеется скважина радиусом rс, которая мгновенно запускается в эксплуатацию с постоянным дебитом Q0. Перед пуском скважины давление в пласте было рк.

Исходные уравнения

Уравнение упругого режима Формула Дюпюи

t

rEi

hk

Qtrp ê æ44

ð),(2

0

Решаем совместно и получаем уравнение для определения давления

c

к

yкy

r

rln

)pp(hk2Q

Fo4

1

r

rEi

rr

ln2

1

р

р

рр

рр2

ккуук

к

ру - установившееся давление в любой точке пласта или в

реагирующей бездействующей скважине (при t = или Fo = ).

Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей

а - с постоянным дебитом;b - с постоянным забойным давлением рс

Изменение дебита

скважины с течением

времени при постоянном

забойном давлении рс

Круглый горизонтальный пласт с закрытой внешней границей

Пьезометрические кривые при пуске

скважины в конечном пласте с закрытой

внешней границей при постоянном дебите

Постоянный дебит

• С момента достижения возмущения границы пласта смещение во времени пьезометрической кривой для закрытого пласта происходит так, что все точки её опускаются на одно и тоже расстояние , т.е. во всех точках пласта давление падает с одной скоростью.

• в условиях упругого режима процесс перераспределения давления, а значит, и процесс взаимодействия скважин развивается постепенно, если же и наблюдается аномально быстрое взаимодействие скважин, то это можно объяснить неоднородностью пластов и их анизотропией

• при пуске или остановке скважины давление вначале меняется быстро, а затем темп изменения давления замедляется.

Пьезометрические кривые при пуске

скважины в конечном пласте с закрытой

внешней границей припостоянном забойном

давлении

Изменение дебита Q (кр.1) скважины и

суммарной добычи Qcp (кр.2) с течением

времени t

Постоянное забойное давление

Неустановившееся фильтрация газа в пористой среде

Уравнение Лейбензона

ст

ст

рр

Срр2

k 2

ст

ст

t

PΔP

mμ

kp

Исходные соотношения

Р=р2, æ -- æ/ = ,

mμ

kpê

kh2

Q

kh

рQ стст

tæ4

rEi

hk2

ðQð)t,r(p

2ñòñò2

ê

2ñòñò2

êr

tæ25,2ln

hk2

ðQð)t,r(p

Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением

времени в фиксированных точках пласта (b)

при малых r2/(4 æt)

Уравнение (1) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки КВД. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений

изменение давления

(1)

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА

Аналитические решения большинства задач теории упругого режима представляются громоздкими формулами в виде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного интеграла, содержащего специальные функции.

В связи с этим были предприняты поиски приближенных эффективных решений задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде.

Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС) /развит И.А.Чарным/

Метод основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс.

В каждый момент времени весь пласт условно разделяется на две области – возмущенную и невозмущенную. В возмущенной области пласта, начинающейся от стенки скважины, давление распределяется по закону установившегося движения жидкости и внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному контурному давлению. Закон движения подвижной границы, разделяющей возмущенную и невозмущенную области, определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.

Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости

1.Приток к галерее, на которой поддерживается постоянный дебит Q.Пусть в момент времени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямолинейная галерея, на которой поддерживается постоянный дебит Q. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным рк. К моменту времени t после пуска галереи граница возмущенной области распространится на длину l(t) (рис 1). Распределение давления в этой области считается установившимся, т.е. описывается линейной зависимостью:. (1)

Рис. 1. Кривые распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу ПССС

Найдем закон перемещения во времени внешней границы возмущенной области l(t ).Для этого используем тот факт, что количество добытой продукции за время dt равно изменению упругого запаса жидкости в возмущенной зоне пласта за тот же промежуток времени . (2)

где объем возмущенной зоны пласта,

Согласно закону Дарси , отсюда

Т.о. соотношение (2) можно переписать в виде

или т.к Q=const

Проинтегрируем полученное соотношение

Следовательно, формула для распределения давления в пласте (1) будет иметь вид

Погрешность определения давления по сравнению с точной формулой составляет 25%

2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянноезабойное давление pr = const

В пласте в момент времени t = 0 пущена эксплуатационная галерея с постоянным забойным давлением pr = const. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным pк. Требуется найти распределение давления, закон перемещения границы возмущенной области l(t ) и изменение дебита галереи во времени Q(t ).

Используем уравнение упругого режима (1)

V(t), p, Q определим как и в предыдущем разделе:

. , .

Подставляя указанные величины в (1) подучим

.

После арифметических преобразований и интегрирования находим закон движения границы возмущенной области

Распределение давления в возмущенной зоне пласта определяется соотношением

а дебит галереи – соотношением

Погрешность расчета дебита галереи по сравнению с расчетами по точной формуле составляет 11%.

Следовательно, методом последовательной смены стационарных состоянийлучше пользоваться в случае неустановившихся прямолинейно-параллель-ных потоков при заданной постоянной депрессии.

Плоскорадиальный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости

1.Приток к скважине, на которой поддерживается постоянный дебит Q.

Имеем: неограниченный горизонтальный пласт постоянной толщины h. В момент времени t = 0 пущена добывающая скважина радиусом rc с постоянным дебитом Q. До пуска скважины давление во всем пласте было одинаковым и равным pк .В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом R(t ), в которой давление будет распределено по стационарному закону

. (3)

В остальной части пласта сохраняется начальное пластовое давление pк .

Требуется найти закон движения границы возмущенной области R(t).

Рис.2. Кривые распределения давления в плоскорадиальном потоке в разные моменты времени по методу ПССС (отбор осуществляется при ус-ловии Q = const)

Кривые распределения давления в разные моменты времени приведены на рис. 2. Дебит скважины, очевидно, будет описываться формулой, аналогичной формуле Дюпюи,

.

Размеры возмущенной области найдем из уравнения материального баланса

. (1) при

Средневзвешенное пластовое давление в установившемся плоскорадиальном потоке определяется по формуле

p

Тогда

Подставляя приведенные соотношения в уравнение материального балланса (1)

получим и после интегрирования в пределах от 0 до t и

от r c до R(t ) имеем

Давление в любой точке пласта в любой момент времени t

Депрессия в момент времени t:

Относительная погрешность уменьшается с течением времени и составляет, по вычислениям, 10,6%, если 100; 7,5%, если fo = 103; 5,7%, если fo = 104.

2. Приток к скважине, на которой поддерживается постоянное давление pс = const

Движения границы возмущенной области в этом случае можно определить по графику (рис. 3).

Дебит скважины определяется по формуле Дюпюи

при pс = const.

Сравнение с результатами точных расчетов показывает, что погрешность определения дебита по методу ПССС составляет около 5%.

Рис. 24.3. Зависимость безразмер-ного радиуса возмущенной облас-ти ( ) cr t R от безразмерного вре-мени fo при отборе жидкостис постоянным забойным давлени-ем c p = const

В случаях линейной и радиальной фильтраций в точке перехода от возмущенной к невозмущенной области градиент давления терпит разрыв, что служит одной из причин расхождения между результатами расчетов по методу ПССС и по точному решению.

Распределение давления в области фильтрации, получаемое по методу ПССС, является довольно грубым приближением; гораздо точнее этим методом дается связь между дебитом и депрессией, особенно в случае радиальной фильтрации.

Метод А.М.Пирвердяна

В методе А.М.Пирвердяна, как и в методе ПССС, неустановившийся фильтрационный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на две области – возмущенную и невозмущенную. Граница между этими областями также определяется из уравнения материального баланса.

В отличие от метода ПССС распределение давления в возмущенной областипо методу А.М.Пирвердяна задается в виде квадратичной параболы так, чтобы пьезометрическая кривая на границе областей касалась горизонтальной линии, представляющей давление в невозмущенной области.

Распределение давления уже не будет стационарным, а градиент давления на границе областей становится равным нулю, что обеспечивает плавное смыкание профиля давления в возмущенной и невозмущенной областях.

Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости

1.Приток к галерее, на которой поддерживается постоянный дебит Q.

Пусть в момент времени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямолинейная галерея, на которой поддерживается постоянный дебит Q. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным рк. К моменту времени t после пуска граница возмущенной области про-двинется на длину l(t ) , при этом кривая распределения давления в этой области будет иметь вид параболы (рис.4).

Рис. 4. Кривая распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу A.M.Пирвердяна

Уравнение параболы, задающей распределение давления в возмущенной области, определяется равенством

. (2)

Дебит галереи определяется по закону Дарси

Продифференцируем выражение для давления и подставим х=0. В результате

Т.о. выражение для дебита примет вид (3)

Закон движения границы возмущенной области определяется из уравнения материального баланса. (1)

при Значение средневзвешенного пластового давления в возмущенной областик моменту времени t определим теперь, используя распределение (2)

Тогда изменение давления и используя выражение (3)

для дебита имеем

Подставим полученные выражения в уравнение материального балланса (1)

Отсюда

и после интегрирования в пределах от 0 до t и от 0 до l -----

Формула для распределения давления (2) в возмущенной области пласта принимает вид

Расчет депрессии дает погрешность по сравнению с точным решением примерно 9%, т. е. в 2,5 раза меньше, чем по методу ПССС.

2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное забойное давление pr = const

В пласте в момент времени t = 0 пущена эксплуатационная галерея с постоянным забойным давлением pr = const. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным pк.

Требуется найти распределение давления, закон перемещения границы возмущенной области l(t ) и изменение дебита галереи во времени Q(t )

Для построения приближенного решения по методу А.М.Пирвердяна используем ту же методику, что и для случая 1. Подставим в уравнение материального баланса (1) выражения для расхода, объема и перепада давления

в результате получим дифференциальное уравнение ,интегрируя которое получим закон движения границы возмущенной области

Подставляя найденный закон движения границы возмущенной области в формулы для распределения давления и дебита, получим для давления в возмущенной области пласта соотношение

Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле по сравнению с точным решением составляет около 2,5%, т.е. и в этом случае расчет по методу А.М.Пирвердяна более, чем в 2 раза точнее, чем по методу ПССС.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

Углеводородные системы

Гомогенные Гетерогенные

Составляющие (компоненты) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на моле-кулярном уровне. Изменение физических и химических свойств непрерывно.

Составляющие(фазы) - разделены отчетливыми геометрическими границами и взаимодействуют на поверхностях раздела. Изменение физических и химических свойств разрывно.

Характеристики многофазной среды

Насыщенность Скорость фазы

Насыщенностью i порового пространства i –й фазы называется доля объема пор Vi , занятая этой фазой в элементарном объеме:

п

ii V

V

1n

1ii

вектор скорости фильтрации ui фазы определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Qi данной фазы к площадке i , перпендику-лярной к указанному направлению:

i

iLi

Qu

Допущение:

• каждая фаза двигается под действием своего давления

Закон фильтрации каждой из фаз:

ggradp)(kk

u iiii

i

Зависимость относительных проницаемостей ki от насы-щенности

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная

проницаемость у неё меньше.

Сумма относительных проницаемостей для каждого фиксированного значения 1)(k)(k 21

Присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение не смачивающей жидкости, тогда как присутствие остаточной не смачивающей фазы значительно "стесняет" движение смачивающей фазы.

Диаграмма для определения границ преобладания потоков различных фаз при трех-фазном течении

Характер зависимостей опреде-ляется различной степенью смачивания твердых зерен породы фазами, причем относительная проницаемость зависит только от водонасыщенности - наиболее проницаемой фазы - воды, и почти не зависит от нефте- и газонасыщенности.

Относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления, скорости.

Капиллярное давление - рк =р2-р1

Большее давление - на стороне жидкости, не смачивающей твердые зерна породы.

)(Jk

mcos)(рр пкк

Зависимость функции Леверетта от насыщенности:

1 - кривая вытеснения; 2 - кривая пропитки; А - остаточная насыщенность вытесняемой жидкости

п - коэффициент межфазного поверхностного натяжения; - статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; m - пористость; J() — безразмерная функция Леверетта.

Процессы многофазной фильтрации зависят от:

1)размеров области течения

2)от характерного времени фильтрационного процесса;

Влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз.

Если размеры области малы, то при достаточно малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления.

Если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз.

Исходные уравнения многофазной фильтрации

Уравнения неразрывности

0udivmt 111 0udiv1m

t 222

• Жидкости несжимаемы - нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения.

• Среда - недеформируема

0udivt

m 1

0udivt

m 2

Уравнения движения

для многофазной фильтрации

ggradp)(kk

u iiii

i

+ Связь между давлениями

)(Jk

mcos)(ррр пк12

Допущение:

• в любой точке каждая из фаз находится в состоянии термодинамического равновесия

• процессы однонаправленные

Тогда: ki =ki() и рк= рк ()

+ замыкающие отношения

Потенциальное движение

газированной жидкости

Газированная жидкость - смесь жидкой и газовой фаз

При увеличении содержания свободного газа фазовая проницаемость для газа растет, а фазовая проницаемость для жидкой фазы уменьшается.

Необходимое условие – давление меньше давления насыщения

Расчеты параметров потока газированной жидкости необходимо проводить на основе многофазной модели течения

Массовая скорость фильтрации

капельно-жидкой фазы газированной жидкости

dr

dр)р(

Ar

Gжj

ж ж

жжж

k

Массовая скорость фильтрации

свободного газа смеси

dr

dр)р(

Ar

Gгсj

гс гс

гсгсгс

k

Массовая скорость фильтрации газа, находящегося в растворе

)р(dr

dр)р(

Ar

Gмжj

гр σм(р) = Gгр/Gж - массовая растворимость газа в жидкости, т. е. количество массы газа, раство-ренного в единице массы жидкости при давлении р

Массовая скорость всего газа (суммируем последние два соотношения)

)р(Ar

G

dr

dр)р(

Ar

GG

Ar

Gмj

жгj

гргсj

г

Объемный газовый фактор Г представляет собой отношение объемного газового дебита Qг, приведенного к давлению 1 ат, к объемному дебиту жидкого компонента Qж, приведенному к тем же условиям.

Газовый фактор Г в одномерном установившемся потоке сохраняется постоянным вдоль всего потока.

)р()р(

)р(

Q

QГ

ж

г

0г

0ж

ж

г

0ж

жж

0г

гг

GQ,

GQ

г0 и ж0 - значения

плотности газа и жидкого компонента

- объемная растворимость газа в жидкости

)р()р( м0г

0ж

σ(р) =р Закон Генри

растворимости газа в жидкости ( р<10МПа)

- объемный козффиииент растворимости, постоянный для данных жидкости и газа

Формула газового фактора через физические параметры

0

0

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )æ ã ã æ

ã æ æ ã

ð k s ðà ð

ð k s ð

т.к.

i

iii

k

Объемный коэффициент нефти (р) характеризует изменение объема нефти вследствие изменений давления и количества растворенного газа.

Величина (р) есть отношение удельных объемов нефти в пластовых и атмосферных условиях

)р()р(

ж

0ж

)р()р(

)р(

Q

QГ

ж

г

0г

0ж

ж

г

Формула газового фактора через объёмный коэффициент

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )ã æ

à ã

ð ðà s ð ð

ð

где

( )( )

( )ã

æ

k ss

k s

При постоянном газовом факторе Г данное уравнение, выражая зависимость между давлением р и насыщенностью s, служит уравнением состояния газированной жидкости

Функции μж(р), μг(p), (р) и σ(р) определяются по экспериментальным данным.

Кривые зависимости коэффициента растворимости газа в нефти и объёмного коэффициента нефти от давления

(1)

2. Определяем потенциальную функцию

Определение массового дебита жидкой фазы газированной нефти

1. Находим насыщенность s из (1)

Cdp

ð

ðpskð

æ

ææ

)(

)()()(

4. Подставляя граничные значения (р) в уравнение

получаем формулу массового дебита жидкой фазы

c

к

ск

rr

lnh2G

с

с*жсс

к

к*жкк

c

к

)s(kр)s(kр

r

rln)1(

hk2G

ε - показатель «несовершенства» жидкости

0 <ε < 1 –для газированной жидкости

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )ã æ

à ã

ð ðà s ð ð

ð

Вывод зависимости для объемного дебита жидкой фазы газированной смеси в плоско-радиальном потоке в виде формулы

Дюпюи

Допущения: k, ж и μж - постоянны

1. Получим выражения для потенциалов на забое и контуре

С)р(Фk

,С)р(Фk

сж

жск

ж

жк

dp)p(sk)р(Ф *ж

2. Вычитаем почленно полученные выражения и применяем теорему о среднем

)рр(k

dp)p(kdp)p(skk

скж

/жж

р

рж

ж

жр

р

*ж

ж

жск

к

с

к

с

3. Подставим Δ в и разделив на ж находим:

c

к

ск

rr

lnh2G

c

кж

ск/ж

r

rln

)рр(hk2Q

k‘fж – некоторое среднее значение функции kf(р) в интервале изменения р от рс до рк.

При практических расчетах используют зависимости для дебита предложенные:• Вогелем

, где Vc=0,8•Фетковичем

Коэффициент С можно интерпретировать как индекс продуктивности пласта, а его значение зависит от подвижности фаз

Значение коэффициента С увеличивается с ростом k и h и

уменьшается с ростом скина

2

max 21 1 c c

c cê ê

p pQ Q V V

p p

Резюме:

дебит газированной жидкости равен дебиту воображаемой однородной несжимаемой жидкости, движущейся в пласте с коэффициентом

проницаемости k'ж, меньшим k.

Отличие от классической формулы Дюпюи

Для газированной жидкости дебит зависит не только от депрессии рс, но и от величины давления рк или рс.

Приближенные выражения для k'ж :1. И. А. Чарный - k'ж = 0,65 k - для несцементированных песков

2. М. М. Глоговский и М. Д. Розенберг

k43,21944,0kж

г/ж

1 к близко s р

р0,2 к

к

с ,1;005,0015,0ж

г

c

кж

ск/ж

r

rln

)рр(hk2Q

ВЫВОДЫ по течению газированной жидкости

1. Дебит газированной жидкости при прочих равных условиях всегда меньше дебита однородной несжимаемой жидкости.

2. С повышением газового фактора при неизменяющейся депрессии рс дебит жидкой фазы уменьшается, а дебит газа увеличивается

3. При данной депрессии рс и газовом факторе Г более высокий дебит будет при более высоком пластовом давлении.

4. Для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления рк, но не путем снижения забойного давления рс .

5. Зависимость дебита жидкости и газа от депрессии, в отличие от однородной жидкости, не является линейной.

6. Искривление индикаторной линии при фильтрации газированной жидкости еще не означает наличия отклонений от линейного закона фильтрации.

7. Индикаторная кривая для реальной газированной нефти имеет меньший наклон, чем кривая для идеальной газированной жидкости, т.е. для реальной жидкости существуют добавочные сопротивления при фильтрации, не учтенные в идеальной жидкости.

8. Начальный период (первые месяцы) неустановившейся радиальной фильтрации газированной жидкости в условиях режима растворенного газа характеризуется высокими дебитами жидкости и газа.

9. Величина дебита жидкости быстро уменьшается с течением времени, но стремится к асимптоте относительно стабильной добычи. При этом абсолютная величина дебита жидкости невелика (уменьшается на порядок).

10.Темп падения дебита газа меньше, чем темп падения дебита жидкости.

11.Газовый фактор сначала резко возрастает, достигая в скором времени максимума, затем постепенно уменьшается.

• жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

• жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда - недеформируемой;

• фазовые переходы отсутствуют;

• коэффициенты вязкости фаз постоянны;

• относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

• гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Основные допущения:

Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности.

Полная система уравнений

х

u

tm 1

х

u

tm 2

singx

p)(k

ku 1

11

11

singx

p)(k

ku 2

22

22

Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести

d

dpð

fgx

pkt

k

x

ftu

tm

êê

ê

/

'2

2

0)(sin)()(

)(u=u1+u2; =2-1;

)(k)(k

)(k)(f

201

1

функция Баклея Леверетта или функция распределения потоков фаз

21

0

Граничные условия:

на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея):

расход закачиваемой воды

равенство нулю скорости фильтрации нефти

из последнего условия вытекает , что k2 = 0, следовательно, на этой поверхности = *.

Начальные условия:

задаются значения неизвестной функции в зависимости от пространственных координат при t = 0.

Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна

(например, = *).

Граничные условия:

На выходе из пласта: пренебрегаем градиентом капиллярного давления по сравнению с

градиентом давления в фазах, т. е. считаем, что при x = L,

откуда следует, что при x = L.

Экспериментально установлено, что вода не вытекает из

гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока

её насыщенность не достигнет значения *. В момент достижения

значения * вода прорывается из пласта с сохранением на выходе

этого значения насыщенности. Это явление получило название

концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному

нелинейному граничному условию на выходе

0х

рк

0х

Модель Рапопорта Лиса

- для вытеснения без учета силы тяжести.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели – параболического типа.

Модель Баклея Леверетта

- для вытеснения без учета капиллярных сил.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка.

Функция Баклея Леверетта или

функция распределения потоков фаз f()

равна отношению скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз

определяет полноту вытеснения и характер распределения газоконденсатонефтенасы-щенности по пласту

Вид функции

Баклея-Леверетта и её производной

Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f() в направлении увеличения полноты вытеснения

Задача Баклея Леверетта и ее обобщения

Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка

Дисперсия волн - зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности.

Графики функции Баклея - Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости 0=1 / 2

С ростом отношения вязкостей кривая f() сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает.

При 0 п большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при п 1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться.

Задача Рапопорта – Лиса

Распределение насыщенности в стабилизированной зоне l

Cтабилизированная зона насыщенности перемещается, не изменяя своей формы, и распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения – стационарно.

ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ

ЖИДКОСТЕЙ

Рассматриваем нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.

Реологические модели фильтрующихся жидкостей

dy

du

Ньютоновские жидкости

dy

duf

Стационарно реологические

жидкости

t,

dy

duf

Нестационарно реологические

жидкости

dt

d,

dy

duf

Вязкоупругие жидкости

Вязкоупругие жидкости - среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений.

Стационарно реологические жидкости

0

1

dy

du

0dy

du

при >0,

при 0.

Вязкопластичные жидкости

0- начальное (предельное) напряжение сдвига

n

dy

duk

a) n < 1

Псевдопластичные жидкости

b) n > 1

Дилатантные жидкости

dydu*

кажущаяся вязкость

1n

* dy

duk

* убывает с возрастанием градиента скорости.

* увеличивается с возрастанием градиента скорости.

кр. 1

кр. 3

кр.4

Дилатантная - суспензии с большим содержанием твердой фазы.

Псевдопластичная - растворы и расплавы полимеров

ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Вязкопластичная жидкость в пористой среде

u

uu

kgradp

gradp

- u>0;

, u=0, где k

~ 0

предельный (начальный) градиент

Индикаторные линии:1 - линейная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 - реальная неньютоновская жидкость; 3 – ньютоновская по закону Дарси

Неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью

Из-за неньютоновских свойств нефтей пропластки последовательно включаются в работу по мере превышения градиента давления предельного градиента сдвига.

Степенной закон фильтрации

gradpgradpCun , где С — экспериментальная константа; n>0.

Степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду, хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.

Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости

Поток плоскорадиален

ukdr

dp

dr

dp(u>0); (u=0).

Формула притока

dr

dpk

rh2

Qu

dr

dpu=0, если dp/dr

Установившееся течение вязкопластичной жидкости

Интегрируем формулу притока при р(rc)=рc; р(Rк)=рк

кcc

cc Rrr ,r

rln

kh2

Qrrp)r(p

.ррp Rp при 0Q

;Rp при Rp

rRln

kh2Q

скcкc

кcкc

c

к

Анализ•Часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым

коэффициентом теряется на преодоление предельного градиента сдвига.• При Q0 давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону

Дарси), а изменяется по линейному закону.• При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте

ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи).

•Индикаторная линия скважины Q(рс) - прямолинейная, но не проходит

через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный Rк.

Распределение давления в пласте

Дебит скважины

Слоистый пласт

Индикаторные линии при плоскорадиальном течении вязкопластичной жидкости через трёхслойный пласт (у каждого пропластка свои значениями толщин, проницаемости и начального градиента)

Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости

При решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту а давление - начальному пластовому.

Уравнение пьезопроводности:

gradp gradpgradp

1divt

p æ ,

Пуск скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом

Из решения уравнения пьезопроводности получаем зависимость забойного давления от времени

Основная роль при малом времени, когда преобладают упругие силы.

При больших значениях времени

kh2

Q

kh

tQ3

rkh

tQ

kh6

Qpp

31

3c

кc

ææln

Образование застойных зон при вытеснении нефти водой - эффект фильтрации с предельным градиентом

давления

Схема образования застойных зон

а - между двумя добывающими скважинами;b - при пятиточечной расстановке скважин

(1 - нагнетательная скважина; 2 - добывающая скважина; 3 - зона застоя)

Отношение незаштрихованных областей ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением.

Величина застойной зоны и коэффициент охвата пласта зависят от параметра

Lk

Q

Коэффициент охвата пласта увеличивается с увеличением параметра

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ОБ

УСТАНОВИВШЕМСЯ ПРИТОКЕ К СКВАЖИНЕ

Рис. 1.1. Зависимость суммарного дебита от числа скважин

Два вида задач:1. Задаётся дебит скважин и

требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта.

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ

Методы решения

Суперпозиции

(потенциалов)

Комплексного переменного

Комформного отображения

Задача плоской интерференции (наложения) скважин.

• Пласт - неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю. •Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом.• Движение жидкости - установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение - течение происходит в плоскостях, параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей - в основной плоскости течения.

Метод СУПЕРПОЗИЦИИ

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника).

Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины

Потенциал группы скважин

по принципу суперпозиции

iii

i Crlnh 2

G

CrlnGh 2

1iii

Потенциал скважины при плоскорадиальном потоке

i

1Gi Cr iУравнение эквипотенциальных

поверхностей

Уравнение эквипотенциальных поверхностей при равенстве дебитов

i

1)G(sign

i Cr i

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональ-ных изобарам

Приток к совершенной скважине

Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

Схема расположенияисточника 01 и стока 02

знаки дебитов: источник G 1= - G,

сток G 2= + G.

Исходная формула

CrlnGh 2

1ii

Для данной постановки

Crr

lnh 2

GCrln

h 2G

rlnh 2

G

2

121

,

ra2

ln

h G

c

эн т.к. на контуре эксплуатационной скважины

,a2

rrr c

2

1 а на контуре нагнетательной скважины

c2

1

rа2

rr

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока

21rhrGa

u

Время движения частицы от некоторой точки х0 до точки х

2

02

30

3

axax3

xxQahm

t

Время обводнения Т (х=0; х0=2а)Q

hma34

T2

Площадь обводнения из равенства объёмов TQ и mh.

2а34

Расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.

Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания

Дебиты из системы уравнений

CrlnGrlnGh 2

1 n

ji,1jjijciiсi

CrlnGh 2

1 n

1jкjк

Результат тем точнее, чем дальше точка отстоит от контура питания.

Исходная формула

CrlnGh 2

1ii

Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

Граничные условия: =к при r1=r2 ,т.е. при r1/r2=1;=с при r1=rс , r22а, т.е. при r1/r2 rс /2а;

Исходная формула

c

ск

ra2

ln

h 2G

Crr

lnh 2

GCrln

h 2G

rlnh 2

G

2

121

МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ (СТОКОВ) - для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта

Приток к скважине, расположенной вблизинепроницаемой прямолинейной границы

Данная задача может возникнуть при расположении добывающей скважины вблизи сброса или около границы выклинивания продуктивного пласта

МЕТОД - отображения источника и стока

Исходные формулы

CrlnGrlnGh 2

1 n

ji,1jjijciiсi

CrlnGh 2

1 n

1jкjк

а2rr

ln

h 2G

c

2к

сн

Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

Схема видовконтуров питания

1. При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.

2. Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако, так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита

3. В случае расположения скважины эксцентрично относительно контура поток можно считать плоско-радиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи если rк.>103 rc и эксцентриситет а1< rк /2.

Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

Граничные условия: на контуре питания =к=const при rj=rк;на контуре скважины =с=const при r1=rс;rj(j1)=2a sin[(n-1)/n].

Исходные формулы

CrlnGrlnGh 2

1 n

ji,1jjijciiсi

CrlnGh 2

1 n

1jкjк

Приток к скважинам кольцевой батареи

При данных гр. условиях:

Crln h 2

G nкк

C

n

jsinra2ln

h 2

G 1n

1jc

1nс

1n

1n

1j 2

n

n

jsin

Т.к. , то Crna ln

h 2

Gc

1nс

Выражение для дебита одной скважины

c1n

nк

ск

rna

rln

h 2G

Область применения: размеры пласта во много раз больше площади внутри окружности батареи скважин (rк10а ) - случай водонапорного режима.

nкc

1n

n2n2к

ск

rrna

arln

h2G

- rк10а - случай режима растворенного

газа

Дебит батареи

c

к

ск

c

nк

скбат

r2n

a2

lnhn 2

1аr

lnh 2

1

n

nra

аr

ln

h2G

Поле течения в области действия круговой батареи

Уравнение линий изобар 1

n

1j

22 Cn

1j2cosar2ra

Нейтральные линии тока Н - сходятся в центре батареи и делят расстояние между двумя соседними скважинами пополам. Главные линии тока Г - проходят через центры скважин и делят сектор, ограниченный двумя нейтральными линиями, пополам.

Скорость фильтрации по главным линиям максимальна, а по нейтральным линиям - минимальна. В центре кольцевой батареи скорость фильтрации равна нулю, т.е. частица жидкости, находящаяся в точке, в которой изобара пересекает сама себя, неподвижна. Такие точки фильтрационного поля называются точками равновесия и при разработке в окрестностях таких точек образуются

“застойные области”.

Семейство изобар подразделяется на два подсемейства, которые разграничиваются изобарой пересекающей себя в центре батареи столько раз, сколько скважин составляет данную батарею. Первое подсемейство изобар определяет приток к отдельным скважинам и представляет собой замкнутые, каплеобразные кривые, описанные вокруг каждой скважины. Второе семейство - определяет приток к батарее в целом и представляет собой замкнутые кривые, описанные вокруг батареи.

Оценки эффекта взаимодействия скважин круговой батареи:

дебит изменяется непропорционально числу скважин и радиусу батареи (расстоянию между скважинами);

с увеличением числа скважин дебит каждой скважины уменьшается при постоянном забойном давлении, т.е. растет эффект взаимодействия;

взаимодействие скважин может практически не проявляться только при очень больших расстояниях между скважинами (в случае несжимаемой жидкости, строго говоря, влияние скважин распространяется на весь пласт);

с увеличением числа скважин темп роста суммарного дебита батареи замедляется т.е. сверх определённого предела увеличение числа скважин оказывается неэффективным в виду прекращения прироста дебита.

Приток к прямолинейной батарее скважин

Режим: удаленный контур питания и постоянные забойные давления

Состав по числу скважин : четный и нечетный

Величина дебитов скважин:равноудаленные от середины или от

концов батареи - одинаковы, а при разной удаленности - отличаются.

Для однородных пластов и жидкостей относительные изменения дебитов скважин, вызванные эффектом взаимодействия, не зависят от физико-геологических характеристик пласта и от физических параметров жидкости.

Эффекты взаимодействия

Формула Голосова П.П. для общего дебита скважин прямолинейной батареи: - для нечетного числа скважин 2n+1, где n - любое целое число

n

1j2

2

c

cкбат

j

Lln

rL

ln

1n2h2G

- для четного числа скважин

n

2j2

2

c

2cк

бат

1j j

Lln

r L

ln

hn4G

Здесь h - толщина пласта; - расстояние между скважинами; L – расстояние до контура.Ошибка в определении дебитов по данным формулам не превышает 3-4% при L=10км, rс=10см, при расстояниях между

скважинами 100м 500м.

Фильтрационное поле бесконечной цепочки равностоящих скважин

Формула дебита из формулы дебита скважин круговой батареи при rк = L + a; a = n /(2 ), где L = const - разность между радиусом контура питания и радиусом кольцевой батареи а; = const - длина дуги окружности радиусом а между двумя соседними скважинами кольцевой батареи.

c1n

nк

ск

rna

rln

h 2G

Подставим значения rк , a

с

z

1nz

ск

с

nск

r 2ln

zn1

1ln

h 2

r 2ln

nl 2

1ln

h 2G

Где z= / (2 L),

nz

hz nz

11lim =е

Массовый дебит скважин линейной батареи

с

ск

r 2ln

L 2h 2

G

Здесь L - расстояние от контура питания до батареи; - расстояние между скважинами батареи; h - толщина пласта.

Массовый дебит батареи из n скважин

с

ск

r 2ln

hn 21

nhL

G

Для несжимаемой жидкости

ñ

ñê

rhnknhL

ppQ

2k 2

ln

Главные Г и нейтральные Н линии тока перпендикулярны цепочке. Нейтральными линиями тока вся плоскость течения делится на бесконечное число полос, каждая из которых является полосой влияния одной из скважин, находящейся в середине расстояния между двумя соседними нейтральными линиями. Изобара, бесчисленное множество раз пересекающая сама себя, отделяет изобары внешнего течения ко всей батареи, охватывающих всю цепочку скважин, от изобар притока к скважине, охватывающих только данную скважину. Точки пересечения граничной изобары являются точками равновесия.

Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений (метод Борисова)

Метод позволяет сложный фильтрационный поток в пласте при совместной работе нескольких батарей эксплуатационных и нагнетательных скважин разложить на простейшие потоки - к одиночно работающей скважине и к одиночно работающей батареи.

с

ск

r 2ln

hn 21

nhL

G

закон Ома

I =U / R

Дебит прямолин. батареи

сопротивления

внешнее внутреннее

Внешнее фильтрационное сопротивление - выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к участку прямолинейной бесконечной цепочки, занятому n скважинами, в предположении замены батареи галереей.

Дебит равен дебиту в прямолинейно-параллельном потоке через площадь величиной n h на длине L .

Внутреннее сопротивление - выражает местное фильтрационное сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам за счет искривлений линий тока

Дебит равен суммарному дебиту n скважин при плоскорадиальном течении, в предположении, что каждая скважина окружена контуром питания длиной (аналог формулы Дюпюи)

nkh

L

nh

L ð èëè

nkh

L

nh

L ð èëè

Сопротивления

кольцевой батарея

a

rln

h 2

1 к

Внешнее

cr 2n

a 2

lnhn 2

1

Внутреннее

Схема одной батареи Электрическая схема одной батареи

области внутреннего сопротивления -

затемнены..

«n» нагнетательных и эксплуатационных батарей

a) b)Схема n-батарей с двумя контурами питанияа) линейные батареи; b) кольцевые батареи

. Электрическая схема n-батарей с двумя контурами питания

Сопротивления

прямолинейная батарея круговая батарея

ci

ii

ii

ii r2

lnh2

1 ;

hk

L

ci

ii

i

1ii r2

lnh2

1 ;

r

rln

h2

1

Законы Кирхгоффа

n

1ii 0G1. 2. iiiii GG

для последовательных сопротивлений = i , а

для параллельных - .11

i

Приведенные формулы тем точнее, чем больше расстояние между батареями по сравнению с половиной расстояния между скважинами

Схема замены соседних батарей

скважин одной батареей

Интерференция несовершенных скважин

1) Определяется дебит совершенных скважин с радиусами rс по формулам теории интерференции для притока к стокам и источникам на плоскости.

2) Фильтрационное сопротивление каждой скважины увеличивается на величину коэффициентов несовершенства Сi (i = 1,...,4).

3) Используется метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений для исследования интерференции несовершенных скважин, в том числе при двухчленном законе фильтрации в виде QАQр

- нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению .

)Q(BQ

Взаимодействие скважин в неоднородно проницаемом и анизотропном пластах

n

0

к

2c1n

n0

1

ск21

RR

lnk1

rna

Rln

k1

ФФh2GGG

Исходные соотношения для дебитов:

1 -ая зона -

c1n

n0

с0

rna

Rln

h 2G

2-ая зона -

0

к

0к

RR

lnn

h2G

= kФ+С, где

dpФ

Исключим 0

А) Кольцевая батарея во внутренней области

Анализ формулы:

1) При k1/k2 = < 1 величина коэффициента суммарного взаимодействия (отношение суммарного дебита группы совместно действующих скважин к дебиту одиночной скважины) всегда выше, чем U батареи, действующей при тех же условиях в однородном пласте ( = 1).

2) Если же >1, то U будет меньше его значения в однородном пласте.

GGU i

Б) Кольцевая батарея во внешней области (а > R0).

n20

n2

n2

12

12

c1n

nк

ск

Ra

aln

kkkk

rna

Rln

ФФh2G

Анизотропный пласт

Эффект взаимодействия будет значительно усиленным или ослабленным лишь при резком различии проницаемостей в двух определённых направлениях: в направлении линии расстановки скважин и в направлении перпендикулярном к этой линии.

Ослабление взаимодействия наблюдается в случае более низкой проницаемости в направлении линии расстановки скважин по сравнению с проницаемостью в перпендикулярном направлении. Усиление эффекта взаимодействия происходит в обратном случае. Таким образом, для уменьшения эффекта взаимодействия при закладывании новых скважин следует

выбирать направление, в котором пласт наименее проницаем.

Взаимодействие скважин

c1n

nк

c1n

nк

1

x

rna

Rln

xlnrna

Rln

G

Gу

nlnra

ln

nlnxra

ln

у1n

c

1n

c

В центре батареи действует нагнетательная скважина с дебитом равным дебиту батареи

Сравнение дебитов скважин кольцевой батареи из n эксплуатационных скважин в двух случаях: 1)скважины имеют радиус rc и 2)скважины имеют радиус хrc.

Анализ

1) с увеличением числа эксплуатационных скважин кольцевой батареи влияние их радиуса на дебит уменьшается, если отсутствует нагнетание жидкости в пласт;

2) если в центре батареи находится нагнетательная скважина, то влияние радиуса скважины на дебит будет больше, чем при отсутствии центрального нагнетания жидкости в пласт.

3) радиус скважины влияет на производительность больше, чем при одиночной эксплуатационной скважине. Число скважин мало влияет на производительность.

Взаимодействие скважин при неустановившихся процессах

По методу суперпозиции

n - число скважин; Qj - объемный дебит стока (+) или источника(-) за номером j; р -понижение давления в какой либо точке пласта; rj- расстояние данной точки пласта от скважины за номером j

Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования.

n

j

n

j

jjj æt

rEiQ

hkp

1 1

2

44

ð

n

j

n

j jjj

r

æt,Q

hkp

1 12

2462

4lnð

Решение плоских задач фильтрацииметодами теории функций комплексного переменного

Функцией комплексного переменного z= х + iy будет комплексное переменное F (z), если указан закон, позволяющий получить значение F (z) no заданному значению z.

Рис. 1. Ортогональность

изобар и линий тока

Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением (х, у) = С, а другая - семейству кривых (х, у) = С* (С и С* — постоянные), пересекаются под прямым углом, т. е. два семейства кривых образуют

ортогональную сетку в основной плоскости течения.

1. Общие положения теории функций комплексного переменного

F (z) = F (х + iy) = (х, у) + i (х, у) (1) (х, у) и (х, у) - некоторые функции действительных переменных х и у; i — мнимая единица.

Задать функцию комплексного переменного - значит задать соответствие между парами чисел (х, у) и (, ).

Положения теории функций комплексного переменного

1. 2. Функции (х, у) и (х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, т, е.

Положения 1 и 2 справедливы, если выполняются условия:

Условия (3) называются уравнениями Коши — Римана.

; 0yx 2

2

2

2

(2) . 0

yx 2

2

2

2

(3) . xy

;yx

Характеристическая функция, потенциал и функция тока

Кривые (х, у) = С - эквипотенциальные линии (для несжимаемой жидкости – изобары)

Кривые (х, у) = С* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями и, следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства (х, у) = С*, т. е. кривые этого семейства можно считать линиями тока. (При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция (х,у) называется функцией тока.

Потенциальная функция течения и функция тока равны действительной и мнимой части некоторой функции F (z) комплексного переменного z

Функция F (z) называется характеристической функцией течения (комплексным потенциалом).

Физический смысл функции тока (х, у

Функцией тока можно назвать функцию, принимающую на линии тока (х, у) = С* значение (х, у) = С*, равное массе жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях = 0 и (х, у) = С*1

Функция тока определяется с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока = 0.

Рис. 2. Распределение потока между двумя параллельными плоскостями 1 и 2

Для несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока = 0 и =С*.

1. Определяем характеристическую функцию, соответствующую данной задаче.

2. Отделяем в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. определяем потенциальную функцию (х, у) и функцию тока (х, у).

3. Принимая различные значения функции , получаем уравнения семейства эквипотенциальных линий (х, у) = С, а придавая различные значения , находим уравнения семейства линий тока (х, у) = С*.

4. По эквипотенциальным линиям определяем распределение давлений в пласте, по линиям тока - направление движения и характер поля скоростей фильтрации.

5. Находим проекции вектора массовой скорости

6. Определяем массовую скорость

Порядок исследования плоских течений с помощью комлексного переменного

(4) .xy

u ,yx

u yx

Определение массовой скорости

Массовая скорость фильтрации равна производной от

характеристической функции F (z) по комплексному аргументу z.

.dyy

iy

dxx

ix

dyy

dxx

idyy

dxx

idd)z( dF

Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись уравнениями Коши - Римана получим:

,dzy

ix

idydxy

ix

dyy

ix

idxy

ix

dyy

iy

idxx

ix

)z(dF

yi

xdz

dF

Учитывая (4):

(5) .uiudz

dFyx

Модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации

(6) .uuuyxdz

dF 2y

2x

22

Модуль производной от характеристической функции течения для несжимаемой жидкости будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.

2. Характеристические функции некоторых основных

типов плоского потока

Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида F(z) = Az и F(z) = Alnz.

I. Плоско-параллельный поток

F(z) = Az, где z = x +iy, A - любое комплексное или действительное число (А = А1 + iA2 )

xAyAiyAxAi)z(F 2121 .xAyA ;yAxA 2121 Отсюда

Уравнение семейства эквипотенциальных линий - А1х – А2y = С. (7)

Из (7): эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A1/А2.

Уравнение семейства линий тока - А1у + А2х = С**. (8)

Из (8): линии тока -- прямые с угловым коэффициентом (-A2/А1).

Рис. 4. Сетка, изображающая прямолинейно-параллельный поток в направлении, показанном стрелками

Заданная характеристическая функция F(z) = Az соответствует прямолинейно-параллельному потоку.

Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 4.

Массовая скорость фильтрации

Находим производную от F (z) no z

Исходные формулы

.A;Au;Au 222y1x 2

1Au

(5) .uiudz

dFyx

(6) .uuuyxdz

dF 2y

2x

22

II. Плоско-радиальный потокА) F(z) = A ln z, где А — некоторое действительное число

z– в полярных координатах: z = х +i y = r (cos θ + i sin θ) = reiθ, где г — радиус - вектор точки; θ — полярный угол.

F(z) = A In (reiθ) = A In r + iAθ. =Alnr; =Aθ.

Уравнение эквипотенциальных линий - r=const (9)Эквипотенциальные линии - концентрическими окружностями с

центром в начале координат

Уравнение линии тока - θ = const. (10)Линии тока - прямые, проходящие через начало координат.

Рис. 5. Карта эквипотенциальных линий и линий тока при плоско-радиальном (сходящийся или расходящийся) потоке.

Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.

Из анализа одномерного плоско-радиального потока имеем

Массовая скорость

Находим производную от F (z) no z ier

A

z

A

dz

dF

комплексное переменное

модуль компл. числа = массовой скорости

r

A

dz

dFu

(11)

hr2

Mu

(12)

Приравниваем (11) и (12) находим

h2

MA

Тогда zlnh2

M)z(F

(13) М>0 – сток

(экспл. скважина)

Функция (13) характеризует плоско-радиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности.

Скважина предполагается гидродинамически совершенной.

B) ),àzln(h2

M)z(F

где а = а1 + ia2

Течение плоско-радиальное, но особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а1, а в направлении оси-0y на расстояние a2 и, следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2.

z-а– в полярных координатах (г — расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ— полярный угол с вершиной в особой точке).

ih2

Mrln

h2

Mreln

h2

M)аzln(

h2

M)z(F i

.h2

M ;rln

h2

M

Отсюда:

III. Несколько точечных стоков и источников

Потенциальную функцию течения и функцию тока ψ, поддерживаемых всеми стоками и источниками, можно определить по методу суперпозиции, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений или функций тока, поддерживаемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте.

,rlnh2

Mn

1j

n

1jj

jj

n

1j

n

1jj

jj h2

M

Характеристическая функция сложного потока

n

1jj

n

1j

n

1jjj

jjj )z(F)ir(ln

h2

M)i(i)z(F

Fj (z) - характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj: jji

jj

j azlnh2

Merln

h2

M)z(F j

Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока

Характеристическая функция течения от нагнетательной скважины к эксплуатационной

Рис. 6. Схема расположения источника 01 и стока 02

2

1

i2

i1

2

1

21

er

erln

h2

M

az

azln

h2

M

azlnh2

Mazln

h2

M)z(F

Отделяем действительную часть от мнимой

)(h2

Mi

r

rln

h2

Mi)z(F 21

2

1

).(h2

M;

r

rln

h2

M21

2

1

Тогда

Уравнение семейства изобар

Уравнение линий тока θ1- θ2=С*

Сr

r

2

1

(15)

(14)

22

11 ax

yarctg;

ax

yarctg

(16) 1CC

a

C

a

2

aa

C

ay

2

aax

2

22**

**

2

**

2212

2

**

221

а2-a1=2a

aa2

aax 1

21

1)Линии тока – окружности с координатами центров

2) Все окружности расположены на прямой ,

параллельной оси 0У и делящей расстояние между стоком и

источником пополам.

3) Радиус окружности

4) Абсциссы точек пересечения

**

21

C

a,

2

aa

1CC

aR

2****1

112

211

aaaax

;aa2ax

Резуме:

Линии тока представляют собой окружности, проходящие через центры обеих скважин, и ортогональны окружностям - изобарам. Центры всех этих окружностей расположены на прямой (эквипотенциальной линии), делящей расстояние

между скважинами пополам

Характеристическая функция течения для кольцевой батареи скважин

Характеристическая функция для n стоков (17) )s(Fb2

M)z(F

n

1jj

Для плоско-радиального притока

(аj — комплексное число, определяю-щее положение стока за номером j).

(18) )azln(b2

M)z(F

n

1jj

аj представим в тригонометрической форме, а –радиус батареи

,n

j2sini

n

j2cos

a

zaln

b2

M

n

j2sini

n

j2cos

a

zaln

b2

M

n

j2sini

n

j2cosazln

b2

M)z(F

1n

0j

n

1n

0j

n

1j

jan

j2sini

n

j2cosa

где

1n

0j

n

n

j2sini

n

j2cosx1x

nn azlnb2

M)z(F

Подсчет времени движения частицы несжимаемой жидкости вдоль линии тока

Жидкость несжимаема (18) xy

u , yx

u yx

(19) iuudz

dFyx

(20) .dt

dymu ;

dt

dxmu yx

(21) .dy

x

1mt , dx

y

1mt

y

y

x

x 00

Время движения частицы жидкости вдоль линии тока

*C)y,x(

(20)→ (19)dt

zdm

dt

)iyx(dm

dt

idydxm

dz

dF

z=x-iy - сопряженное с z комплексное переменное.

Разделим переменные и интегрируем вдоль линии тока

(22) dx

dzdF1

mtL

Стягивание контура нефтеносности (КН) к эксплуатационной кольцевой батарее

Время движения частиц КН по линиям тока (22) dx

dzdF1

mtL

Характеристическая функция nn azlnb2

Q)z(F

nn

1n

az

z

b2

nQ

dz

dF

ii rez ,rez

nnin

)1n(i1n

aer

er

b2

nQ

dz

dF

(23)

Время начала обводнения tо

(по главной линии)

Время движения по главной линии (=0)

drezd i ( =const ), (23) → (22) drr

aer

Qn

bm2t

r

r1n

nin

í

(24) drr

ar

Qn

bm2t

r

r1n

nn

í

Время движения по нейтральной линии (=/n)

1sinicose i

(25) drr

ar

Qn

bm2t

r

r1n

nn

í

)ar( (26)

r)2n(

a

2

r

Qn

bm2t

à

r2n

n2

î

í

Местоположение частицы контура нефтеносности на нейтральной линии

тока r/ в момент прорыва воды в скважины à

r2n

n2

î

ír)2n(

a

2

r

Qn

bm2t

/из (25)/

/из(24)/

(27) 02n

2

a

r11

r

a2

2n

2

a

r2n2n

í

n

Анализ уравнения (27):

1) Величина г'/а возрастает с увеличением отношения rн/a;

2) Чем больше величина радиуса первоначального контура нефтеносности, тем больше отставание точек контура нефтеносности, движущихся по нейтральной линии тока, от точек контура, движущихся по главной линии тока.

3) При величине радиуса контура нефтеносности гн ≥ 2а можно пренебрегать членом уравнения (27) содержащим множитель а/гн и уравнение (27) можно записать в виде

4) Чем больше скважин в батарее, тем меньше отставание частиц контура нефтеносности от тех, которые движутся по главной линии тока т. е. тем равномернее стягивается контур.

5) Формы контура нефтеносности, которая первоначально была в виде окружности, искажается лишь в ближайшей окрестности

скважин.

(28) 02n

2

a

r

2n

n

a

r2nn

2n

í2n

n22

íîr

1

a

1

2n

a2arbmnQt

1) Общий объем добытой нефти за время безводной эксплуатации

2) Объем оставшейся в пласте нефти

2n

í

2î

2í r

a1

2n

21bmanQtbrm

3) Площадь ωн, занятая оставшейся в пласте нефтью в момент прорыва воды в скважины

2n

í

2î2íí r

a1

2n

21a

bm

nQtr

Вывод: при большом числе скважин в батарее нефтеносная площадь ωн не зависит от величины отношения а/гн.

Метод комформного отображения

Функция F (z) комплексного переменного z = х +iy - поле некоторого плоского движения

i z = z (ς) (1) )(F)](z[F)z(F 1 Полученная из F функция F1 определяет некоторый плоский фильтрационный поток на плоскости ς. Изучив первый поток F, можно изучить поток F1 (ς).

Задаваясь той или иной преобразующей функцией z = z (ς), из одного потока F (z) плоскости z можно получить бесчисленное множество других потоков на плоскости ς. Таким образом, функция z=z(ς) реализует конформное отображение плоскости z на плоскость ς.

Вывод некоторых формул для притока к скважинам при помощи конформного отображения

Отделим в функции z=z(ς)действительную часть от мнимой

),(iy),(x)i(z)(z

Отсюда x=x(ξ,η), y=y(ξ,η),ξ= ξ(x,y), η= η(x,y). (2)

В зависимости от того, однозначна или многозначна преобразующая функция z=z(ς), каждой точке плоскости ς соответствует одна или несколько точек плоскости z.Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости.Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом сами значения потенциала скорости Ф и функции тока Ψ будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей.

Производная dz/dς - некоторая функция комплексного переменного, определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей z и ς.

Т.е. предел отношения не зависит от

закона стремления к нулю отрезков Δξ и Δη. Отсюда следует, что в каждой точке плоскости ς и соответствующей (или соответствующих) ей точке плоскости z отношение соответствующих бесконечно малых отрезков dz и dς, постоянно

i

yixlim

zlim

0;00

...d

dz

d

dz

d

dz

3

3

2

2

1

1

Отсюда

2

1

2

1

d

d

dz

dz

(4)

Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя. argdz1 — это угол между направлениями элемента dzl и осью х.Таким образом, arg dzl — arg dz2 = arg dς1 — arg dς2, т. е. углы между отрезками dz1, dz2 и отрезками dς1, dς2 равны.Преобразование z(ς) или ς (z) называется конформным, так как оно сохраняет подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках.

(3)

Приток к скважине

Плоскость z - скважина радиусом гс.

Плоскость ς - скважина радиусом с (5) r

dz

d ,

d

dzr cccc

При конформном отображении дебиты скважин — стоков или источников — сохраняются на обеих плоскостях

l - произвольный замкнутый контур, окружающий скважину на плоскости z;

λ - произвольный замкнутый контур, окружающий скважину на плоскости ς;

dn и dl — элементы нормали и касательной для контура l на плоскости z;

dv и d λ — элементы нормали и касательной для контура λ на плоскости ς.

Доказательство

Абсолютная величина дебита | Q | скважины на плоскости z

(6) dldn

dQ

dn

dwn

составляющая скорости фильтрации по нормали к контуру.

По смыслу конформного преобразования, сохраняющего подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках обеих плоскостей, согласно формуле (3) имеем

(7) dd

dzdl ,d

d

dzdn

(7)→(6) и сокращая на получим

(8) dd

ddl

dn

d

d

dz

В правой части формулы (8) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости ς, равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости z.

Переход от плоско-параллельного к плоско-радиальному потоку методом комформных отображений

Az)z(F - характеристическая функция плоско-параллельного потока (А — положительная и действительная постоянная).

Отделяем действительную и мнимую части iyxAi)z(F Отсюда (9) Ay ,Ax

Эквипотенциали φ = Ах = const - семейство прямых, параллельных оси у

Линии тока ψ = Ау = const — прямые, параллельные оси х. (рис.)

Проекции скорости фильтрации

0dy

d-v ,A

dx

du

Вывод. Характеристическая функция течения F (z) = Az определяет плоско-параллельное течение в сторону отрицательной оси х с постоянной во всех точках скоростью u =- А.

Замена переменного lnz /ei/ i

ilnelniyxz i

Сравниваем действительные и мнимые части (10) y ,lnx

Прямым линиям х = const плоскости z соответствуют на плоскости ς кривые ln=const, = const, т. е. окружности с центром в начале координат, а прямым у=const — лучи θ = const плоскости ς (рис. ).

Сетке течения Ф = Ах = const, Ψ = Ay = const на плоскости z соответствует на плоскости ς сетка течения = const и θ = const, т. е. при А >0 приток к точечному стоку в начале координат с дебитом q = 2 А.

Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

Исходный поток - приток к точечному стоку на плоскости ς:

Cln2

q)(F

Плоскость z: в точке х = 0, у = а находится скважина малого радиуса гс; ось х является эквипотенциалью φ=φк, а окружность малого радиуса гс — эквипотенциалью φ=φс; пласт полубесконечен; контур питания прямолинейный Цель задачи: найти преобразование ς = ς (z) или обратное z =z (ς), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости z в круг = к плоскости ς, а точку zc = ia плоскости z, где расположен центр скважины радиусом гс, в начало координат ς = 0 плоскости ς

Рис.7. Соответствие между плоскостями z и ς в задаче о притоке в скважину

Искомое преобразование: iaz

iazê

Доказательство:

(11)

1) полагая z=ia, из формулы (11) получаем ς= 0, т. е. центру скважины на плоскости z соответствует начало координат ς= 0 на плоскости ς.

2) полагая в формуле (11) z = х — любому вещественному числу, имеем

x

aarctg2i

ê

x

aiarctg22

x

aiarctg22

êê e

eax

eax

iax

iax

Откуда следует

ê

действительная ось z = х перешла в окружность ρн плоскости ς, а точка верхней полуплоскости z = ia в начало координат ς = 0.

Радиусы скважин обеих плоскостей связаны соотношением cc rdz

d

(12) ra2

ria2

ia2r

iaz

iaziazc

íc2êc

iaz2êc

Из (11)

Для комплексного потенциала на плоскости z получаем

(13) .Ciaz

iazln

2

qC

iaz

iazln

2

qzFzF ê1

êlm2

qCC

По формуле Дюпюи имеем

ñ

ê

ñê

ln

2q

Подставляем ρс из формулы (12)

c

ñê

cê

ê

ñê

r

a2ln

2

r

a2ln

2q

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯМНОГОКОМПАНЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В основе всех современных методов прогнозирования показателей разработки месторождений природных углеводородов лежат численные методы интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы двухмерной или трехмерной многофазной фильтрации, и расчету картин двухмерных и трехмерных фильтрационных течений на их основе

Сущность математического моделирования

Сущность моделирования процессов фильтрации флюидов в пластах заключается в определении количественной связи между дебитами и давлениями на забоях скважин и определенных контурах, скоростей и сроков перемещения отдельных частиц пластовой жидкости в зависимости от формы залежи, параметров пласта, вязкости флюидов, числа и расположения скважин.

Прямые задачи

Задачи, в которых свойства пласта и жидкостей, а также «начальные и граничные» условия считаются известными.

Важнейшие прямые активные задачи - определение полей давлений, нефтенасыщенности и водонасыщенности в нефтяном пласте - объекте разработки с системой скважин.

Важнейшие прямые пассивные задачи — определение конфигурации подвижной границы нефтяной зоны и скорости ее продвижения с целью установления сроков прорыва вытесняющего флюида в скважины и вычисления текущего коэффициента нефтеотдачи.

Обратные задачи

«Активные» обратные задачи - задачи управления, регулирования процесса разработки пласта или месторождения.

«Пассивные» обратные задачи - распознавание объектов разработки и уточнение представления о состоянии и свойствах пластовой системы.

Типы моделей

Двухфазная модель - моделирование процессов вытеснения нефти водой при давлениях, выше давления насыщения нефти газом

Трехфазная модель фильтрации нефти, газа и воды - моделирование разработки нефтегазовых залежей при существенном влиянии гравитационного разделения фаз на процесс разработки, при прогнозировании эффективности процесса закачки воды и газа

Композиционные модели - для расчета процесса разработки газоконденсатных пластов, оценки эффективности отдельных методов увеличения нефтеотдачи пластов, т.е. при рассмотрении нефти как смеси углеводородных компонентов

Особенности исследовательских и коммерческих программных систем —

«симуляторов»

Процедура адаптации математической модели к известной истории разработки месторождений и

работы скважин

состоит в согласовании результатов расчетов техноло-гических показателей предшествующего периода с фактической динамикой разработки.

Адаптация модели связана с уточнением фильтрационных и емкостных параметров пласта, функций относительных фазовых проницаемостей для нефти, газа и воды, энергетических характеристик пласта — поля давлений, оценки выработки запасов нефти на отдельных участках пластов.

В результате адаптации уточняются размеры законтурной области, начальные и остаточные геологические запасы нефти и газа, проницаемость и гидропроводность пласта, коэффициенты продуктивности и приемистости, функции модифицированных фазовых проницаемостей, функции адсорбции и десорбции.

Необходимые исходные данные для построения геологических и фильтрационных моделей,

адекватных реальным объектам

геологические модели: данные сейсморазведки и их интерпретации, результаты анализов и исследований кернов, результаты исследований промысловой геофизики, их интерпретации, данные инклинометрии скважин, сведения о составах и минерализации грунтовых вод и т.д.

фильтрационные модели: результаты интерпретации геофизических и гидродинамических исследований скважин, помесячная история разработки месторождений, координаты скважин и режимы их работы, значения пластовых и забойных давлений в скважинах и другая информация

Актуальность математического моделирования

грамотное использование результатов моделирования реально увеличивает коэффициент нефтеотдачи на 5 - 10%, дополнительная добыча нефти составляет 5 - 25%.

Основные проблемы математического моделирования

Невозможность полноразмерного моделирования

Недостаточное развитие теоретических основ проектирования разработки месторождений скважинами сложного профиля и методов расчета групп скважин различного профиля

Недостаточная точность расчета сложных фильтрационных процессов в окрестности скважин и вблизи высокопроводящих трещин сложных конфигураций, образующихся при гидроразрыве

Сложность моделирования пластов сложных конфигураций, с нетривиальными условиями на внутренних и внешних границах пласта - контурах питания, при наличии тектонических и других нарушений в строении пластов

наличие у искомых решений соответствующих математических задач особых точек (в случае вертикальных и наклонно-ориентированных скважин), линий и кривых (для горизонтальных и горизонтально-ветвящихся скважин) или особых поверхностей (для фронтов вытеснения, различных геологических нарушений строения пласта, трещин гидроразрыва, образований макроцеликов).

Большое время счета и использование значительной памяти

Необходимость перехода от сеточных методов к к методам конечных элементов, граничных элементов, граничных интегральных уравнений и им подобным в случае расчета скважин сложного профиля, трещин гидроразрыва