公共経済学 (06,06,02)

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投票のパラドックスと中位投票者モデル１

7.1 投票のパラドックス＜基本的な前提＞

• 3 名の投票者＝投票者 1 、投票者 2 、投票者 3

• ３つの選択肢＝選択肢 a 、選択肢 b 、選択肢 c

　＜選択肢の例＞　選択肢 a ＝道路の建設　選択肢 b ＝公園の建設　選択肢 c ＝美術館の建設

多数決投票均衡と投票のパラドックス

多数決投票均衡と投票のパラドックス• xMy 　　　選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが

選択される。

多数決投票均衡と投票のパラドックス• xMy 　　　選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが

選択される。

• 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。ｘ My が任意のｙ ( ＝ x) について成

立する。

多数決投票均衡と投票のパラドックス• xMy 　　　選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択

される。

• 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。ｘ My が任意のｙ ( ＝ x) について成立

する。

• 「投票のパラドックス」「多数決投票均衡」が存在しない。

「選好の集まり」の表現方法　　　選好の順位

投票者名

第 1 位第 2 位第 3 位

投票者 1 a b c

投票者 2

投票者 3


投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3


投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 c a b

表 1 の下で aMb が成立する。

• a と b で多数決投票をしたとする。

　　

表 1 の下で aMb が成立する。• a と b で多数決投票をしたとする。

投票者 1 は？に投票する。投票者 2 は投票者 3 は　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は投票者 3 は　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は ? に投票する。投票者 3 は　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は

　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は ? に投票する。

　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。

　　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。　 a の得票数＝？　　 b の得票数＝？　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。　 a の得票数＝２　　 b の得票数＝１　　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。　 a の得票数＝２　　 b の得票数＝１　多数決投票で？が選択される　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。　 a の得票数＝２　　 b の得票数＝１　多数決投票で a が選択される　　


投票者 1 は a に投票する。投票者 2 は b に投票する。投票者 3 は a に投票する。　 a の得票数＝２　　 b の得票数＝１　多数決投票で a が選択される　　　 aMb

問題 7-1

• b と c で多数決投票をしたとする。 b の得票数＝？ c の得票数＝？ ⇒ 　

問題 7-1

• b と c で多数決投票をしたとする。 b の得票数＝２ c の得票数＝１ ⇒ 　

問題 7-1

• b と c で多数決投票をしたとする。 b の得票数＝２ c の得票数＝１ ⇒ 　 bMc or cMb ？

問題 7-1

• b と c で多数決投票をしたとする。 b の得票数＝２ c の得票数＝１ ⇒ 　 bMc

問題 7-1


• c と a で多数決投票をしたとする。 c の得票数＝？ a の得票数＝？ ⇒ 　

問題 7-1


• c と a で多数決投票をしたとする。 c の得票数＝２ a の得票数＝１ ⇒ 　 cMa or aMc ？

問題 7-1


• c と a で多数決投票をしたとする。 c の得票数＝２ a の得票数＝１ ⇒ 　 cMa

問題 7-1

　 cMa

⇒ aMc ではない。 ⇒ aMy が任意の y( ＝ a) に対して成立していない。 ⇒ a は「多数決投票均衡」ではない。

同様にして、 b と c も「多数決投票均衡」ではない。

⇒ 　「多数決投票均衡」は存在しない。⇒ 　「投票のパラドックス」

「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡

• 選択肢を 1 列に並べる順序について検討する。たとえば、（ a, b, c ）などである

「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡

• 選択肢を 1 列に並べる順序について検討する。たとえば、（ a, b, c ）などである

a b c

問題 7-2 ：並べる順序の数は？• (a, b, c)

• (a, c, b)

• (b, a, c)

• (b, c, a)

• (c, a, b)

• (c, b, a)

以上の６つの順序がある。

単峰型順序（ single-peakedness ordering ）

• ある「選好の集まり」の下で、「選択肢の順序」が「単峰型順序」であるとは、「全ての投票者に関して、ある選択肢より好ましい選択肢が、右側と左側同時には存在しない」ことである。

表２　　　選好の順位

投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 c b a

(a, c, b) は「単峰型順序」ではない＜理由＞

投票者１は「選択肢 c の左にある選択肢 a と右にある選択肢 b を、選択肢 c より選好する」からである（図１参照）。

図 1

a b c 選択肢

第 1位

第 2位

第 3位

投票者１

投票者 2

投票者 3

問題 7-3

• 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序は？

• ある順序の下で、「真中にある選択肢の選好の順位が第 3 位になっている投票者が存在する」ときは、単峰型順序ではない。（例） (a, c, b) のときは投票者１が存在する。

問題 7-3

• 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3 人の投票者とも選好の第 3 位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？⇒ 　 b

• したがって、単峰型順序は？　⇒　 (a, b, c) と

問題 7-3

• 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3 人の投票者とも選好の第 3 位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？⇒ 　 b

• したがって、単峰型順序は？　⇒　 (a, b, c) と (c, b, a) である。

図

a c b 選択肢

第 1位

第 2位

第 3位

投票者１

投票者 3

投票者 2

問題 7-4

• 表１で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序が存在しないことを示しなさい。

• ある順序の下で、「真中にある選択肢の選好の順位が第 3 位になっている投票者が存在する」ときは、その順序は単峰型順序ではない。

表 1

　　　選好の順位

投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 c a b

問題 7-4

• 選択肢 a が真中にある順序のとき、 a の選好の順位が第 3 位の投資家は？⇒ 投資家２

• 選択肢 b が真中にある順序のとき、 b の選好の順位が第 3 位の投資家は？⇒ 投資家３

• 選択肢 c が真中にある順序のとき、 c の選好の順位が第 3 位の投資家は？⇒ 投資家１

単峰性とは「ある選好の集まりが単峰性を満たす」

とは、

「その選好の集まりの下で単峰型順序が存在する」

ことである。

単峰性と「選好の集まり」

• 表２の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？⇒ 問題 7-4 より単峰型順序が存在する。⇒ 単峰性を満たしている。

• 表１の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？⇒ 問題 7-5 より単峰型順序が存在しない。⇒ 単峰性を満たしていない。

単峰性と投票のパラドックス以下で、

「選好の集まり」が単峰性を満たしている。⇒ 「投票のパラドックス」が発生しない。


「選好の集まり」が単峰性を満たしている。⇒ 「投票のパラドックス」が発生しない。　「多数決投票均衡」が存在する。


「選好の集まり」が単峰性を満たしている。⇒ 「投票のパラドックス」が発生しない。　「多数決投票均衡」が存在する。

ことを示そう。

問題 7-5

• ある「選好の集まり」の下で、

「投票者ごとに　選好の順位が第 3 位の選択肢が　それぞれ異なっている。

⇒ その「選好の集まり」は、単峰性を満たしていない」

ことを説明しなさい。

問題 7-5

• ある「選好の集まり」の下で、『投票者ごとに選好の順位が第 3 位の選択肢が異なっている。

⇒ 任意の選択肢の順序 (x, y, z) に関して y の選好順位が第 3 位の投票者が存在する。

⇒ その投票者には y の両側に y よりも選好する選択肢がある。

⇒ 任意の順序 (x, y, z) は単峰型順序ではない。』

• ある「選好の集まり」の下で、投票者ごとに第 3 位の選択肢が異なっている。⇒ その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。

問題 7-5 の対偶• ある「選好の集まり」の下で、投票者ごとに選好の順位が第 3位の選択肢がそれぞれ異なっている。⇒　その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。

が成立するので、

• ある「選好の集まり」は単峰性を満たしている。⇒　その「選好の集まり」の下で投票者ごとに選好の順位が第 3位の選択肢がそれぞれ異なっていない。

も成立する。

対偶とは？• 条件ｐ： A 君は大学生である。• 条件ｑ： A 君は学生である。

• 命題 A ：ｐならばｑである。• 命題 A の対偶：「ｑでない」ならば「ｐでは

ない」。

• 命題 A が正しければ「命題 A の対偶」も正しい。

問題 7-6

• 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 2 人以上が第 3 位に選好している選択肢とはどの選択肢？

⇒ a

問題 7-7

z=2 人以上の選好順位が第 3 位の選択肢

x=z 以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢

y=z 以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢

「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z= ？ , ｘ = , ｙ =

問題 7-7




「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ = ？ , ｙ =

問題 7-7




「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ =b, ｙ =

問題 7-7




「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ =b, ｙ = ？

問題 7-7




「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ =b, ｙ =c

• 問題 7-6 より、

「選好の集まり」が単峰性を満たしている。

⇒2 人以上が第 3 位に選好している選択肢ｚが ( １つだけ ) 存在する。

⇒ 選択肢ｚ以外の２つの選択肢をxMy を満たすように定めれば、ｘが「多数決投票均衡」である。

• 問題 7-6 より、

「選好の集まり」が単峰性を満たしている。

⇒2 人以上が第 3 位に選好している選択肢ｚが ( １つだけ ) 存在する。

⇒ 選択肢ｚ以外の２つの選択肢をxMy を満たすように定めれば、ｘが「多数決投票均衡」である。「投票のパラドックス」は発生しない。

問題 7-8

単峰性を満たしていない「選好の集まり」でも

投票のパラドックスが発生しないケースがある

ことを表３の空欄を埋めることで作成しなさい。

表３　　　選好の順位

投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 ？


投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 ？ b


投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 a b


投票者名


投票者 1 a b c

投票者 2 b c a

投票者 3 a c b

問題 7-9

• 「選好の集まり」が表２で与えられた場合⇒ 「多数決投票均衡」は？

問題 7-9

• 「選好の集まり」が表２で与えられた場合⇒ 「多数決投票均衡」は b

問題 7-9


• 「選好の集まり」が表３で与えられた場合⇒ 「多数決投票均衡」は？

問題 7-9


• 「選好の集まり」が表３で与えられた場合⇒ 「多数決投票均衡」は a

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