Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen...

Wahrscheinlichkeitsrechnung undStatistik fur Biologen

Einfuhrung: Deskriptive Statistik

Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler

http://evol.bio.lmu.de/StatGen.html

20. und 23. April 2010

1 EinfuhrungKonzept und QuellenPlan

2 Ziele der deskriptiven (d.h. beschreibenden) Statistik3 Graphische Darstellungen

Histogramme und DichtepolygoneStripchartsBoxplotsBeispiel: RingeltaubeBeispiel: Darwin-Finken

4 Statistische KenngroßenMedian und andere QuartileMittelwert und Standardabweichung

5 Vom Sinn und Unsinn von MittelwertenBeispiel: Wahlerische BachstelzenBeispiel: Spiderman & SpiderwomanBeispiel: Kupfertoleranz beim Roten Straußgras

Einfuhrung

Einfuhrung Konzept und Quellen

It is easy to lie with statistics.

It is hard to tell the truth without it.

Andrejs Dunkels

It is easy to lie with statistics.It is hard to tell the truth without it.

Andrejs Dunkels

Was ist Statistik?

Die Natur ist voller Variabilitat.

Wie geht man mit variablen Daten um?

Es gibt eine mathematische Theorie desZufalls:

die Stochastik.

Was ist Statistik?

die Stochastik.

Was ist Statistik?

die Stochastik.

IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

(Erscheinung der Natur)

Zufall

(mathematische Abstraktion)

modellieren.

IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

Zufall

modellieren.

IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

Zufall

modellieren.

Statistik

Datenanalyse

mit Hilfe

stochastischer Modelle

Quellen

Wir danken Matthias Birkner fur die intensive Zusammenarbeitbeim Erstellen der ersten Version dieser Vorlesung sowieBrooks Ferebee, Gaby Schneider und Anton Wakolbinger fur dieBereitstellung vieler Beispiele und Lehrmaterialien.http://joguinf.informatik.uni-mainz.de/~birkner/http://www.math.uni-frankfurt.de/~wakolbin/statbio/

http://ismi.math.uni-frankfurt.de/schneider/statbio0708.html

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik

1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik

2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler

3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben

4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben

5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten

6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test

7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression

8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation

9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische Tests

DiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyse

Grundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorie

ParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzung

Moderne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)

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Plan der Vorlesung

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Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

Einfuhrung Plan

Statistik-Software R

http://www.r-project.org

Einfuhrung Plan

Folien, R-Befehle, Quellen und Ubungen

http://evol.bio.lmu.de/statgen/StatBiol/10SS

Ziele der deskriptiven (d.h. beschreibenden) Statistik

Beschreibende Statistik

Beschreibende Statistik:Ein erster Blick auf die Daten

Beschreibende Statistik

Beschreibende Statistik:Ein erster Blick auf die Daten

Graphische Darstellungen

Beispiel

Daten aus einer Diplomarbeit aus 2001 amForschungsinstitut Senckenberg, Frankfurt

am Main

CrustaceensektionLeitung: Dr. Michael Turkay

Charybdis acutidens TURKAY 1985

Beispiel

Daten aus einer Diplomarbeit aus 2001 amForschungsinstitut Senckenberg, Frankfurt

am Main

CrustaceensektionLeitung: Dr. Michael Turkay

Charybdis acutidens TURKAY 1985

Der SpringkrebsGalathea intermedia

Helgolander Tiefe Rinne,Fang vom 6.9.1988

Carapaxlange (mm):Nichteiertragende Weibchen (n = 215)

2,9 3,0 2,9 2,5 2,7 2,9 2,9 3,03,0 2,9 3,4 2,8 2,9 2,8 2,8 2,42,8 2,5 2,7 3,0 2,9 3,2 3,1 3,02,7 2,5 3,0 2,8 2,8 2,8 2,7 3,02,6 3,0 2,9 2,8 2,9 2,9 2,3 2,72,6 2,7 2,5 . . . . .

●●

●●●

●●

●●●

●●

0 50 100 150 200

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. '88, n=215

Graphische Darstellungen Histogramme und Dichtepolygone

Eine Moglichkeit der graphischenDarstellung:

das Histogramm

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. ’88, n=215A

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

Analoge Daten zwei Monate spater(3.11.88):

Nichteiertragende Weibchen am 3. Nov. '88, n=57

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Vergleich der beiden Verteilungen

Nichteiertragende Weibchen

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Problem: ungleiche Stichprobenumfange: 6.Sept: n = 2153.Nov : n = 57

Idee: stauche vertikale Achse so, dass Gesamtflache = 1.

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. ’88, n=215

3.0 3.52.52.0

Die neuevertikale Koordinate

ist jetzt eineDichte

(engl. density).

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte ?=

Anteil des Ganzenpro mm

Welcher Anteilhatte eine Langezwischen 2.8 und 3.0 mm?

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte ?

=Anteil des Ganzenpro mm

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0 − 2.8) · 0.5 = 0.1

Die beiden Histogramme sind jetztvergleichbar

(sie haben dieselbe Gesamtflache).

Die beiden Histogramme sind jetztvergleichbar

(sie haben dieselbe Gesamtflache).

Versuche, die Histogramme zusammen zuzeigen:

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7

Unser Rat an Sie:

Wenn Sie Schauwerbegestalter(in) sind:

Beeindrucken Sie Jung und Alt mit total abgefahrenen 3D-Plots!

Wenn Sie Wissenschaftler(in) werden wollen:

Bevorzugen Sieeinfache und klare 2D-Darstellungen.

Unser Rat an Sie:

Problem

Histogramme kann man nicht ohne weiteresin demselben Graphen

darstellen,

weil sie einanderuberdecken wurden.

Problem

Histogramme kann man nicht ohne weiteresin demselben Graphen

darstellen,

weil sie einanderuberdecken wurden.

Einfache und klare Losung: Dichtepolygone

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Nichteiertragende Weibchen am 3. Nov. '88, n=57

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Zwei und mehr Dichtepolygone in einem Plot

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Carapaxlänge [mm]

ahl 6. Sept. '88

3. Nov. '88

Biologische Interpretation der Verschiebung?

Zwei und mehr Dichtepolygone in einem Plot

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Carapaxlänge [mm]

ahl 6. Sept. '88

3. Nov. '88

Biologische Interpretation der Verschiebung?

Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

Also: Bei Histo-grammen mitungleichmaßi-ger Unterteilungimmer Dichtenverwenden!

Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

Graphische Darstellungen Stripcharts

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

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1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

● ●●●●

●●●

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Stripchart + Boxplots, horizontal

● ●●●●

●●●

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplots, horizontal

●●●

3.11.88 6.9.88

Boxplots, vertikal

Histogramme und Dichtepolygonegeben

ein ausfuhrliches Bildeines Datensatzes.

Manchmal zu ausfuhrlich.

Histogramme und Dichtepolygonegeben

ein ausfuhrliches Bildeines Datensatzes.

Manchmal zu ausfuhrlich.

Graphische Darstellungen Boxplots

Zu viel Information erschwert den Uberblick

Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum

Zu viel Information erschwert den Uberblick

Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum

Beispiel:Vergleich von mehreren Gruppen

Graphische Darstellungen BoxplotsD

8 10 12 14

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Boxplot, einfache Ausführung

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

50 % der Daten 50 % der Daten

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Median

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

25% 25% 25% 25%

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

25% 25% 25% 25%

1. Quartil 3. Quartil

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Standardausführung

Carapaxlänge [mm]

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Interquartilbereich

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Interquartilbereich

1,5*Interquartilbereich1,5*Interquartilbereich

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Profiausstattung

Carapaxlänge [mm]

Der Boxplot

95 % Konfidenzintervall für den Median

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Profiausstattung

Carapaxlänge [mm]

Graphische Darstellungen Beispiel: Ringeltaube

Beispiel:

Die Ringeltaube

Palumbus palumbus

Wie hangt die Stoffwechselrate bei derRingeltaube von der Umgebungstemperatur

Datenaus dem

AK StoffwechselphysiologieProf. Prinzinger

Universitat Frankfurt

Klar:Stoffwechselrate

hoherbei

tiefen Temperaturen

Vermutung:Bei hohen Temperaturen

nimmt die Stoffwechselratewieder zu

(Hitzestress).

Graphische Darstellungen Beispiel: Darwin-Finken

Charles Robert Darwin (1809-1882)

Darwin-Finken

//darwin-online.org.uk/graphics/Zoology_Illustrations.html

Darwins Finken-Sammlung

Sulloway, F.J. (1982) The Beagle collections of Darwin’sFinches (Geospizinae). Bulletin of the British Museum(Natural History), Zoology series 43: 49-94.

I http://datadryad.org/repo/handle/10255/dryad.154

Flugellangen der Darwin-FinkenF

60 70 80 90

Flügellängen je nach Insel

Flugellangen der Darwin-Finken

60 70 80 90

Flugellangen der Darwin-FinkenF

60 70 80 90

Flügellängen je nach Insel

●●●

● ●● ●●●● ●● ●

●● ●●●● ●●

●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●●● ●●● ●●

47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5

Barplot für Flügellängen (Anzahlen)

SCris_ChatFlor_ChrlSnti_Jams

Histogramm (Dichten!) mit Transparenz

Flügellängen

50 60 70 80 90

50 60 70 80 90 100

Dichteplot

Flügellängen

Cam.par Cer.oli Geo.dif Geo.for Geo.ful Geo.sca Pla.cra

Schnabelgröße je nach Art

Cam.par Cer.oli Geo.dif Geo.for Geo.ful Geo.sca Pla.cra

Schnabelgröße je nach Art

● ●

●●

●●●●●●

●●●●

●●●●●

●●●

●●

1 Histogramme erlauben einen detailierten Blick auf dieDaten

2 Dichtepolygone erlauben Vergleiche zwischen vielenVerteilungen

3 Boxplot konnen große Datenmengen vereinfachtzusammenfassen

4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden

5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben

6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

Statistische Kenngroßen

Es ist oft moglich,das Wesentliche

an einer Stichprobe

mit ein paar Zahlenzusammenzufassen.

Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

Eine Moglichkeitkennen wir schonaus dem Boxplot:

Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

Der Quartilabstand (Q3 −Q1)

Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

Statistische Kenngroßen Median und andere Quartile

Der Median:die Halfte der Beobachtungen sind kleiner,

die Halfte sind großer.

Der Median istdas 50%-Quantil

der Daten.

Der Median:die Halfte der Beobachtungen sind kleiner,

die Halfte sind großer.

Der Median istdas 50%-Quantil

der Daten.

Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:

ein Viertel der Beobachtungensind kleiner,

drei Viertel sind großer.

Q1 ist das25%-Quantilder Daten.

Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:ein Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,drei Viertel sind großer.

Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:ein Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,drei Viertel sind großer.

Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:

drei Viertel der Beobachtungensind kleiner,

ein Viertel sind großer.

Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:drei Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,ein Viertel sind großer.

Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:drei Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,ein Viertel sind großer.

Statistische Kenngroßen Mittelwert und Standardabweichung

Am haufigsten werden benutzt:

LageparameterDer Mittelwert x

StreuungsparameterDie Standardabweichung s

Am haufigsten werden benutzt:

LageparameterDer Mittelwert x

StreuungsparameterDie Standardabweichung s

Der Mittelwert

(engl. mean)

NOTATION:

Wenn die Beobachtungenx1, x2, x3, . . . , xn

heißen,schreibt man oft

xfur den Mittelwert.

DEFINITION:

Mittelwert

=Summe der MesswerteAnzahl der Messwerte

DEFINITION:

Mittelwert

=SummeAnzahl

DEFINITION:

Mittelwert

Der Mittelwert von x1, x2, . . . , xn als Formel:

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

DEFINITION:

Mittelwert

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

DEFINITION:

Mittelwert

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

Beispiel:

x1 = 3, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 1

x = Summe/Anzahlx = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5

x = 9/5x = 1,8

Beispiel:

x1 = 3, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 1x = Summe/Anzahl

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5x = 1,8

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5

x = 9/5x = 1,8

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5

x = 1,8

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5x = 1,8

Geometrische Bedeutungdes Mittelwerts:

Der Schwerpunkt

Wir stellen uns die Beobachtungen alsgleich schwere Gewichte auf einer Waage

♦ ♦ ♦ ♦

0 1 2 3

Wo muß der Drehpunkt sein, damit dieWaage im Gleichgewicht ist?

♦ ♦ ♦ ♦

0 1 2 3

m = 1,5 ?

zu klein

m = 2 ?

zu groß

m = 1,8 ?

richtig

Beispiel: Galathea intermedia

”Rundlichkeit“:=

Abdominalbreite / Carapaxlange

Vermutung:Rundlichkeit nimmt

bei Geschlechtsreife zu

Beispiel: Galathea intermedia

”Rundlichkeit“:=

Abdominalbreite / Carapaxlange

Vermutung:Rundlichkeit nimmt

bei Geschlechtsreife zu

Beispiel:

3.11.88

Die Standardabweichung

Wie weit weichteine typische Beobachtung

vomMittelwert

Die Standardabweichung

Wie weit weichteine typische Beobachtung

vomMittelwert

1 2 3 4

Mittelwert=2,8

1 2 3 4

Abweichung

typische

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 4 − 2,8 = 1,2

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 4 − 2,8 = 1,2

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 3 − 2,8 = 0,2

1 2 3 4

Abweichung = 2 − 2,8 = −0,8

1 2 3 4

Abweichung = 1 − 2,8 = −1,8

Die Standardabweichung σ (“sigma”)[auch SD von engl. standard deviation]

ist einetwas komisches

gewichtetes Mittelder Abweichungsbetrage

und zwar

σ =√

Summe(Abweichungen2)/n

Die Standardabweichung σ (“sigma”)[auch SD von engl. standard deviation]

ist einetwas komisches

gewichtetes Mittelder Abweichungsbetrage

und zwar

σ =√

Summe(Abweichungen2)/n

Die Standardabweichung von x1, x2, . . . , xn

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

∑ni=1(xi − x)2 heißt Varianz.

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

Faustregel fur die Standardabweichung

Bei ungefahr glockenformigen (also eingipfligen undsymmetrischen) Verteilungen liegen ca. 2/3 der Verteilungzwischen x − σ und x + σ.

x −− σσ x x ++ σσ

Standardabweichung der Carapaxlangennichteiertragender Weibchen vom 6.9.88

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53

Hier liegt der Anteil zwischen x − σ und x + σ bei 72%.

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53x == 2.53σσ == 0.28

σσ2 == 0.077

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53x == 2.53σσ == 0.28

σσ2 == 0.077

Varianz der Carapaxlangennichteiertragender Weibchen vom 6.9.88

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1, X2, . . . , XN).

Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1, S2, . . . , Sn=215)Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

Konnen wir 0,0768 als Schatzwert fur die Varianz σ2X in der

ganzen Population verwenden?Ja, konnen wir machen. Allerdings ist σ2

S im Durchschnitt umden Faktor n−1

n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2X

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1, X2, . . . , XN).Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1, S2, . . . , Sn=215)

Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2X

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1, X2, . . . , XN).Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1, S2, . . . , Sn=215)Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2X

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

ganzen Population verwenden?

Ja, konnen wir machen. Allerdings ist σ2S im Durchschnitt um

den Faktor n−1n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

ganzen Population verwenden?Ja, konnen wir machen.

Allerdings ist σ2S im Durchschnitt um

den Faktor n−1n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0, 995) kleiner als σ2X

Varianzbegriffe

Varianz in der Population: σ2X = 1

∑Ni=1(Xi − X )2

Stichprobenvarianz: σ2S = 1

∑ni=1(Si − S)2

korrigierte Stichprobenvarinanz:

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

Mit “Standardabweichung von S” ist meistens das korrigierte sgemeint.

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

Beispiel

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

Die Daten

x 1 3 0 5 1

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x =? Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x

−1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2

1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1)

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

Eine simulierte Fischpopulation (N=10000 adulte)

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38Mittelwert: 25.14

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38

20 22 24 26 28 30

Eine Stichprobe aus der Population (n=10)

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Noch eine Stichprobe aus der Population (n=10)

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93SD mit (n−1): 1.01

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93SD mit (n−1): 1.01SD mit n: 0.91

1000 Stichproben, jeweils vom Umfang n=10

SD mit n−1 berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

σ mit n oder n − 1 berechnen?Die Standardabweichung σ eines Zufallsexperiments mit ngleichwahrscheinlichen Ausgangen x1, . . . , xn (z.B. Wurfelwurf)ist klar definiert durch √√√√1

n∑i=1

(x − xi)2.

Wenn es sich bei x1, . . . , xn um eine Stichprobe handelt (wiemeistens in der Statistik), sollten Sie die Formel√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(x − xi)2

verwenden.

σ mit n oder n − 1 berechnen?Die Standardabweichung σ eines Zufallsexperiments mit ngleichwahrscheinlichen Ausgangen x1, . . . , xn (z.B. Wurfelwurf)ist klar definiert durch √√√√1

n∑i=1

(x − xi)2.

Wenn es sich bei x1, . . . , xn um eine Stichprobe handelt (wiemeistens in der Statistik), sollten Sie die Formel√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(x − xi)2

verwenden.

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten

Mittelwert und Standardabweichung. . .

charakterisieren die Daten gut, falls deren Verteilungglockenformig ist

und mussen andernfalls mit Vorsicht interpretiert werden.Wir betrachten dazu einige Lehrbuch-Beispiele aus derOkologie, siehe z.B.

M. Begon, C. R. Townsend, and J. L. Harper.Ecology: From Individuals to Ecosystems.Blackell Publishing, 4 edition, 2008.

Im Folgenden verwenden wir zum Teil simulierte Daten, wenndie Originaldaten nicht verfugbar waren. Glauben Sie uns alsonicht alle Datenpunkte.

charakterisieren die Daten gut, falls deren Verteilungglockenformig istund mussen andernfalls mit Vorsicht interpretiert werden.

Wir betrachten dazu einige Lehrbuch-Beispiele aus derOkologie, siehe z.B.

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Wahlerische Bachstelzen

Bachstelzen fressen Dungfliegen

Rauber Beute

Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria

image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc

Vermutung

Die Fliegen sind unterschiedlich großEffizienz fur die Bachstelze = Energiegewinn / Zeit zumFangen und fressenLaborexperimente lassen vermuten, dass die Effizienz bei7mm großen Fliegen maximal ist.

N.B. Davies.Prey selection and social behaviour in wagtails (Aves:Motacillidae).J. Anim. Ecol., 46:37–57, 1977.

available dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

150 mean= 7.99

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

150 mean= 7.99

sd= 0.96

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

60 mean= 6.79

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

60 mean= 6.79

sd= 0.69

4 5 6 7 8 9 10 11

dung flies: available, captured

length [mm]

availablecaptured

Vergleich der Großenverteilungen

captured availableMittelwert

6.29 < 7.99Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

captured availableMittelwert

7.99Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

captured availableMittelwert 6.29 < 7.99

Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

Standardabweichung

0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

Standardabweichung

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

Interpretation

Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen, die etwa 7mm großsind.

Hier waren die Verteilungen glockenformig und es genugten 4Werte (die beiden Mittelwerte und die beidenStandardabweichungen), um die Daten adaquat zubeschreiben.

Interpretation

Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen, die etwa 7mm großsind.

Hier waren die Verteilungen glockenformig und es genugten 4Werte (die beiden Mittelwerte und die beidenStandardabweichungen), um die Daten adaquat zubeschreiben.

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Spiderman & Spiderwoman

Nephila madagascariensisimage (c) by Bernard Gagnon

Simulated Data:Eine Stichprobe von 70 SpinnenMittlere Große: 21,06 mmStandardabweichung der Große: 12,94 mm

size [mm]

0 10 20 30 40 50

Nephila madagascariensis (n=70)

size [mm]

0 10 20 30 40 50

size [mm]

0 10 20 30 40 50

mean= 21.06

size [mm]

0 10 20 30 40 50

males females

size [mm]

0 10 20 30 40 50

males females

Nephila madagascariensisimage (c) by Arthur Chapman

Fazit des Spinnenbeispiels

Wenn die Daten aus verschiedenen Gruppen zusammengesetztsind, die sich bezuglich des Merkmals deutlich unterscheiden,kann es sinnvoll sein, Kenngroßen wie den Mittelwert fur jedeGruppe einzeln zu berechnen.

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Kupfertoleranz beim Roten Straußgras

Kupfertolerantes Rotes Straußgras

Rotes Straugras KupferAgrostis tenuis Cuprum

image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles

A.D. Bradshaw.Population Differentiation in agrostis tenius Sibth. III.populations in varied environments.New Phytologist, 59(1):92 – 103, 1960.

T. McNeilly and A.D Bradshaw.Evolutionary Processes in Populations of Copper TolerantAgrostis tenuis Sibth.Evolution, 22:108–118, 1968.

Wir verwenden hier wieder simulierte Daten, da dieOriginaldaten nicht zur Verfugung stehen.

A.D. Bradshaw.Population Differentiation in agrostis tenius Sibth. III.populations in varied environments.New Phytologist, 59(1):92 – 103, 1960.

T. McNeilly and A.D Bradshaw.Evolutionary Processes in Populations of Copper TolerantAgrostis tenuis Sibth.Evolution, 22:108–118, 1968.

Wir verwenden hier wieder simulierte Daten, da dieOriginaldaten nicht zur Verfugung stehen.

Anpassung an Kupfer?

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.

Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.

Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.

Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

0 50 100 150 200

0 Copper Mine Grass

2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]???? Nein!

root length (cm)

0 50 100 150 200

Grass seeds from a meadow

root length (cm)

0 50 100 150 200

Grass seeds from a meadow

copper tolerant ?

0 50 100 150 200

root length (cm)

meadow plants

copper mine plants

root length (cm)

0 50 100 150 200

0 copper mine plants

m m+sm−s

root length (cm)

0 50 100 150 200

meadow plants

m m+sm−s

Fazit des Straußgras-Beispiels

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

Fazit des Straußgras-Beispiels

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●

● ●

0 50 100 150 200

Browntop Bent n=50+50

root length (cm)

copper mine plants

meadow plants

Schlussfolgerung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichung hinreichendbeschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!

Schlussfolgerung

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen...

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