Post on 03-Jan-2020
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Variabile aleatoare discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Variabile aleatoare discrete
1 Repartitia unei variabile discrete
2 Operatii cu variabile aleatoare discrete
3 Functia de repartitie
4 Momentele variabilelor discreteMediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
5 Functia caracteristica
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Repartitia unei variabile discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Definitie
Definitia 1.1
Fie (E ,K,P) un câmp de probabilitate finit sau cel multnumarabil. O functie
X : E → {x1, x2, . . . xn, . . .}, xi ∈ R, i ≥ 1,
care ia un numar finit sau cel mult numarabil de valori reale senumeste variabila aleatoare discreta.
xi sunt valorile pe care le poate lua v.a. discreta X .
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Notam
pi = P{X = xi} = P{ e ∈ E | X (e) = xi }, i = 1,2, . . . (1.1)
probabilitatea cu care variabila considerata ia valoarea xi .Tabelul
X :
(xipi
), i = 1,2, . . . (1.2)
se numeste repartitia variabilei X.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Evenimentele {X = xi}, i = 1,2, . . . formeaza un sistem completde evenimente. Au loc
0 ≤ pi ≤ 1 si∞∑i=1
pi = 1 (1.3)
Exemplul 1.1
Doua aparate de acelasi tip functioneaza independent unul de celalaltsi se pot defecta cu probabilitatea 1− p ∈ (0,1). Sa analizamnumarul de aparate ce functioneaza la un moment dat si cu ceprobabilitate acestea functioneaza.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Evenimentele {X = xi}, i = 1,2, . . . formeaza un sistem completde evenimente. Au loc
0 ≤ pi ≤ 1 si∞∑i=1
pi = 1 (1.3)
Exemplul 1.1
Doua aparate de acelasi tip functioneaza independent unul de celalaltsi se pot defecta cu probabilitatea 1− p ∈ (0,1). Sa analizamnumarul de aparate ce functioneaza la un moment dat si cu ceprobabilitate acestea functioneaza.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Operatii cu variabile aleatoare discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Fie variabilele
X :
(xipi
), i = 1,2, . . . si Y :
(yjqj
), j = 1,2, . . . .
Notam
pij = P{X = xi ,Y = yj}, i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.1)
Propozitia 2.1
Au loc urmatoarele formule:
pi =∑j∈N
pij qj =∑i∈N
pij∑i∈N,j∈N
pij = 1(2.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Fie variabilele
X :
(xipi
), i = 1,2, . . . si Y :
(yjqj
), j = 1,2, . . . .
Notam
pij = P{X = xi ,Y = yj}, i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.1)
Propozitia 2.1
Au loc urmatoarele formule:
pi =∑j∈N
pij qj =∑i∈N
pij∑i∈N,j∈N
pij = 1(2.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Variabile independente
Definitia 2.1
Variabilele aleatoare
X :
(xipi
), i = 1,2, . . . si Y :
(yjqi
), j = 1,2, . . . se numesc
independente, daca
pij = pi · qj , ∀i = 1,2, . . . , ∀j = 1,2, . . . . (2.3)
adicaP{X = xi ,Y = yj} = P{X = xi} · P{Y = yj}. (2.4)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Suma variabilelor discrete
Suma variabilelor X si Y are repartitia:
X + Y :
(xi + yj
pij
), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.5)
Suma X + α, α ∈ R are repartitia:
X + α :
(xi + α
pi
), i = 1,2, . . . . (2.6)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Suma variabilelor discrete
Suma variabilelor X si Y are repartitia:
X + Y :
(xi + yj
pij
), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.5)
Suma X + α, α ∈ R are repartitia:
X + α :
(xi + α
pi
), i = 1,2, . . . . (2.6)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Produsul variabilelor discrete
Produsul variabilelor X si Y are repartitia:
X · Y :
(xi · yj
pij
), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.7)
Produsul αX , α ∈ R are repartitia:
αX :
(αxipi
), i = 1,2, . . . . (2.8)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Produsul variabilelor discrete
Produsul variabilelor X si Y are repartitia:
X · Y :
(xi · yj
pij
), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.7)
Produsul αX , α ∈ R are repartitia:
αX :
(αxipi
), i = 1,2, . . . . (2.8)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Puterea X r , r ∈ N are repartitia:
X r :
(x r
ipi
), i = 1,2, . . . . (2.9)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Exemplul 2.1
Se dau variabilele aleatoare independente:
X :
(0 1 2
0,2 0.4 0,4
), Y :
(1 2
0,6 0,4
)
Determinati repartitiile variabilelor X + Y , X · Y , 2 + X , X 2, 3Y .
X+Y :
(1 2 3 4
0,12 0,32 0,4 0,16
), 2+X :
(2 3 4
0,2 0,4 0,4
),
XY :
(0 1 2 4
0,2 0,24 0,4 0,6
), X 2 :
(0 1 4
0,2 0,4 0,4
)
3Y :
(3 6
0,6 0,4
).Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Exemplul 2.2
Ce distributie are suma variabilelor independente:
X :
−1 0 1
p2 53
p13
, Y :
−1 0 1 2
q2 85
q16
130
?
Dar produsul lor?
p2 +53
p +13
= 1 si p ∈ [0,3/5] ⇒ p =13
q2 +85
q +16
+1
30= 1 si q ∈ [0,5/8] ⇒ q =
25
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Exemplul 2.2
Ce distributie are suma variabilelor independente:
X :
−1 0 1
p2 53
p13
, Y :
−1 0 1 2
q2 85
q16
130
?
Dar produsul lor?
p2 +53
p +13
= 1 si p ∈ [0,3/5] ⇒ p =13
q2 +85
q +16
+1
30= 1 si q ∈ [0,5/8] ⇒ q =
25
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
X + Y :
(−2 −1 0 1 2 3
4225
36225
5771350
209675
227
190
),
X · Y :
(−2 −1 0 1 2
1270
971350
189225
11150
190
).
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Functia de repartitie
Definitia 3.1
Fie X o variabila aleatoare discreta. Functia
F : R→ [0,1], F (x) = P{X ≤ x}, ∀ x ∈ R (3.1)
se numeste functia de repartitie a variabilei X .
{X ≤ x} = {e ∈ E ; X (e) ≤ x}
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Daca variabila X are un numar finit de valori,
X :
(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn
),
atunci expresia functiei de repartitie este
F (x) =
0, x < x1p1, x1 ≤ x < x2. . .i−1∑j=1
pj , xi−1 ≤ x < xi
. . .1 x ≥ xn.
(3.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Observatia 3.1
Functia de repartitie este continua la dreapta, iar saltul ei într-un punctde discontinuitate xi este probabilitatea evenimentului"X ia valoarea xi"
pi = P{X = xi} = F (xi )− F (xi − 0).
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Functia de repartitie poate fi scrisa sub forma
F (x) =∞∑i=1
piσ(x − xi ), ∀ x ∈ R, (3.3)
unde σ este functia unitate a lui Heaviside:
σ(x) =
{0, x < 01, x ≥ 0.
(3.4)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Derivata în sensul distributiilor a functiei de repartitie F este
f (x) =∞∑i=1
δ(x − xi )(F (xi )− F (xi − 0)) =∞∑i=1
δ(x − xi )pi , (3.5)
unde δ(x − xi ) este distributia Dirac calculata în xi .Functia f se numeste densitate de probabilitate siconsiderarea ei în cazul discret asigura tratarea unitara cusituatia variabilelor aleatoare de tip continuu.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Exemplul 3.1
Determinati functia de repartitie a variabilei:
X :
(1 2 3 4 5 6
0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1
).
F (x) =
0 x < 10,1 1 ≤ x < 20,3 2 ≤ x < 30,6 3 ≤ x < 40,7 4 ≤ x < 50,9 5 ≤ x < 61 6 ≤ x
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Exemplul 3.1
Determinati functia de repartitie a variabilei:
X :
(1 2 3 4 5 6
0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1
).
F (x) =
0 x < 10,1 1 ≤ x < 20,3 2 ≤ x < 30,6 3 ≤ x < 40,7 4 ≤ x < 50,9 5 ≤ x < 61 6 ≤ x
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
F (x) = 0,1σ(x − 1) + 0,2σ(x − 2) + 0,3σ(x − 3) + 0,1σ(x − 4)+
+0,2σ(x − 5) + 0,1σ(x − 6).
f (x) = 0,1δ(x − 1) + 0,2δ(x − 2) + 0,3δ(x − 3) + 0,1δ(x − 4)+
+0,2δ(x − 5) + 0,1δ(x − 6).
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Momente (caracteristici numerice)
ale variabilelor aleatoare discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
O v.a. poate fi caracterizata prin functia sa de repartitie.În multe situatii aceasta din urma nu este cunoscuta si se puneproblema introducerii unor alti parametri (caracteristicinumerice) care sa permita caracterizarea variabilei aleatoarerespective.� valoarea medie (sau speranta matematica), dispersia (sauvarianta), momentele initiale si momentele centrate dediferite ordine.
Definitiile urmatoare au fost date pentru cazul în care variabilaX are o infinitate numarabila de valori, de aceea pentruexistenta valorilor caracteristice de mai jos vom presupune caseriilor corespunzatoare sunt convergente. În cazul în care oserie este divergenta vom spune ca variabila X nu posedarespectiva caracteristica numerica.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Momentul initial de ordinul r . Media
Momentul initial de ordinul r , r ∈ N∗ este
mr = M[X r ] =∞∑i=1
x ri pi . (4.1)
Media sau speranta este
M[X ] = m1 = m =∞∑i=1
xipi . (4.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Momentul initial de ordinul r . Media
Momentul initial de ordinul r , r ∈ N∗ este
mr = M[X r ] =∞∑i=1
x ri pi . (4.1)
Media sau speranta este
M[X ] = m1 = m =∞∑i=1
xipi . (4.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Proprietati ale mediei
1. Valoarea medie a unei constante este egala cu constantarespectiva:
M[λ] = λ.
2. Valoarea medie a unei variabile aleatoare care admitemedie este cuprinsa între cea mai mica si cea mai maredintre valorile posibile ale variabilei aleatoare. Dacaa = inf
ixi si b = sup
ixi atunci
a ≤ M[X ] ≤ b.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
3. Daca X ,Y sunt variabile aleatoare discrete care admitmedie atunci
M[X + Y ] = M[X ] + M[Y ].
4. Daca X admite medie atunci
M[λ + X ] = λ + M[X ], λ ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
5. Daca X ,Y sunt variabile aleatoare discrete independentesi admit medie atunci
M[X · Y ] = M[X ] ·M[Y ]
6. Daca X admite medie atunci
M[λX ] = λM[X ], λ ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Exemplul 4.1
Urmatoarea variabila aleatoare nu admite medie:
X :
n1
n(n + 1)
n∈N∗
∞∑n=1
1n(n + 1)
= 1 deci X =v.a.
∞∑n=1
nn(n + 1)
este divergenta, deci nu exista media variabilei X .
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Momentul central de ordinul r . Dispersia
Momentul central de ordinul r , r ∈ N∗ este
µr = M[(X −m)r ] =∞∑i=1
(xi −m)r pi ; m = M[X ]. (4.3)
Dispersia sau varianta, este momentul centrat de ordin 2,adica
D2[X ] = µ2 =∞∑i=1
(xi −m)2pi . (4.4)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Propozitia 4.1
Daca variabila aleatoare X are medie si dispersie, atunci areloc
D2[X ] = M[X 2]− (M[X ])2. (4.5)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Proprietati ale dispersiei
1. Dispersia unei constante este nula
D2[λ] = 0
2. Daca X admite dispersie atunci
D2[λX ] = λ2D2[X ], λ ∈ R.
3. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente,atunci
D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ].
4. Daca X admite dispersie atunci
D2[λ + X ] = D2[X ], λ ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Mai general, daca variabilele aleatoare X1,X2, . . . ,Xk suntindependente si λi ∈ R, i = 1, k atunci are loc
D2
k∑i=1
λiXi
=k∑
i=1
λ2i D2[Xi ].
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Dispersia unei variabile aleatoare X este, într-un anume sens,cea mai buna valoare care caracterizeaza împrastierea valorilorx1, x2, . . . , xn adica media M[X ] este punctul cel mai potrivit fatade care trebuie sa masuram devierile acestor valori.
Propozitia 4.2
Daca
X :
(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn
)iar m este media sa, atunci
D2[X ] =∑i≥1
pi (xi −m)2 ≤∑i≥1
pi (xi − x)2, ∀x ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Dispersia unei variabile aleatoare X este, într-un anume sens,cea mai buna valoare care caracterizeaza împrastierea valorilorx1, x2, . . . , xn adica media M[X ] este punctul cel mai potrivit fatade care trebuie sa masuram devierile acestor valori.
Propozitia 4.2
Daca
X :
(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn
)iar m este media sa, atunci
D2[X ] =∑i≥1
pi (xi −m)2 ≤∑i≥1
pi (xi − x)2, ∀x ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Abaterea medie patratica
Abaterea medie patratica este definita prin relatia
σ = D[X ] =√
D2[X ]. (4.6)
Proprietati ale abaterii medii patratice.1. D[λ] = 0, λ ∈ R.2. D[λ + X ] = D[X ], λ ∈ R.3. D[λX ] =| λ | D[X ], λ ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Abaterea medie patratica
Abaterea medie patratica este definita prin relatia
σ = D[X ] =√
D2[X ]. (4.6)
Proprietati ale abaterii medii patratice.1. D[λ] = 0, λ ∈ R.2. D[λ + X ] = D[X ], λ ∈ R.3. D[λX ] =| λ | D[X ], λ ∈ R.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Covarianta
Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:
Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)
În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.
Propozitia 4.3
Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt
necorelate. Reciproca nu este adevarata.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Covarianta
Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:
Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)
În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.
Propozitia 4.3
Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt
necorelate. Reciproca nu este adevarata.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Covarianta
Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:
Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)
În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.
Propozitia 4.3
Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt
necorelate. Reciproca nu este adevarata.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Propozitia 4.4Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie sidispersie. Atunci:
D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ]± 2Cov [X ,Y ]. (4.8)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Inegalitatea lui Cebâsev
Teorema 4.1
Fie X o variabila aleatoare care admite medie si dispersie finite.Atunci, pentru orice ε > 0, are loc inegalitatea
P{| X −m |< ε} ≥ 1− D2[X ]ε2 , m = M[X ]. (4.9)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Daca luam ε = kσ în inegalitatea (4.9) obtinem
P({|X −m| < kσ}) ≥ 1− 1k2 . (4.10)
Relatia (4.10) este echivalenta cu
P({m − kσ < X < m + kσ}) ≥ 1− 1k2 .
Pentru k = 3 obtinem
P({m − 3σ < X < m + 3σ}) ≥ 1− 19
=89
= 0.88889. Deci, cu oprobabilitate cuprinsa între 0.88889 si 1, orice variabila ia valoricuprinse în intervalul (m − 3σ,m + 3σ).
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Daca luam ε = kσ în inegalitatea (4.9) obtinem
P({|X −m| < kσ}) ≥ 1− 1k2 . (4.10)
Relatia (4.10) este echivalenta cu
P({m − kσ < X < m + kσ}) ≥ 1− 1k2 .
Pentru k = 3 obtinem
P({m − 3σ < X < m + 3σ}) ≥ 1− 19
=89
= 0.88889. Deci, cu oprobabilitate cuprinsa între 0.88889 si 1, orice variabila ia valoricuprinse în intervalul (m − 3σ,m + 3σ).
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Exemplul 4.2
Numarul clientilor care viziteaza un showroom sâmbata dimineataeste o variabila aleatoare cu media m = 18 si abaterea σ = 2,5. Cu ceprobabilitate putem presupune ca numarul vizitatorilor va fi cuprinsîntre 8 si 28 de clienti.
Deoarece 8 < X < 28⇒ −10 < X − 18 < 10⇒ ε = 10 sifolosind relatia (4.9) obtinem:
P({| X − 18 |< 10}) ≥ 0.9375
deci probabilitatea ca numarul vizitatorilor sa fie cuprins între 8si 28 de clienti este de cel putin 0.9375.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev
Exemplul 4.2
Numarul clientilor care viziteaza un showroom sâmbata dimineataeste o variabila aleatoare cu media m = 18 si abaterea σ = 2,5. Cu ceprobabilitate putem presupune ca numarul vizitatorilor va fi cuprinsîntre 8 si 28 de clienti.
Deoarece 8 < X < 28⇒ −10 < X − 18 < 10⇒ ε = 10 sifolosind relatia (4.9) obtinem:
P({| X − 18 |< 10}) ≥ 0.9375
deci probabilitatea ca numarul vizitatorilor sa fie cuprins între 8si 28 de clienti este de cel putin 0.9375.
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Functia caracteristica a unei v.a. discrete
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Functia caracteristica a variabilei aleatoare X este functia
ϕ : R→ C
definita prin relatia
ϕ(t) =∞∑i=1
ejtxi pi , ∀ t ∈ R. (5.1)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Daca variabilele X si Y sunt independente, atunci
ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t). (5.2)
Variabile aleatoare discrete
Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete
Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete
Functia caracteristica
Momentele initiale ale variabilei aleatoare X se obtin cu ajutorulfunctiei caracteristice, dupa formula:
M[X r ] = mr =ϕ(r )(0)
j r. (5.3)
M[X ] =ϕ′(0)
j= −jϕ′(0). (5.4)
M[X 2] = m2 = −ϕ′′(0). (5.5)
D2[X ] = M[X 2]− (M[X ])2 =(ϕ′(0)
)2 − ϕ′′(0). (5.6)
Variabile aleatoare discrete