Post on 04-Apr-2015
Validation dans la classe de mathématiques
Claudine Mary
DEASS
Plan de la présentation
Validation en mathématiques
Cadres d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant
Situations de validation
Validation en mathématiques
En conclusion d’une résolution de problème, pour vérifier une procédurePour s’assurer d’avoir la bonne réponse Pour convaincre d’un résultatPour vérifier une conjecture
Pour tester un modèle
Dans la communauté mathématique, pour prouver qu’un énoncé est vrai et l’insérer dans une théorie
pour partager le savoir
Différents enjeux: vérité ou vraisemblance?
Recherche de vérité par nécessité preuve – démonstration (Lakatos, Rouche, Balacheff/ Duval)
Projet mais pas forcément réussite: Parfois on peut Parfois, on ne peut pas Fonctions
Recherche de vraisemblance ou de pertinence argumentation pour convaincre, vérification…
Schéma S. E..
Schéma Math
Cadre d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant
Structure de leçons (Joshua et Joshua): point de départ expérimental / sans point de départ expérimentalNiveaux de preuve chez les élèves (Balacheff): combien de diagonales dans un polygone?
Deux projets au moins dans la classe de mathématiques (Margolinas)
Point de départ expérimental
Validation "par nature" Él. manipulent du matériel constatent les règles avec l'aide de l'enseignantessaient sur quelques exemplesfont des exercices…
Validation opétatoire implicite Ens. montre comment faireLes règles sont identifiéesLes élèves essaient eux-mêmes la méthode Ils font des exercices…
Validation opératoire formelle En. montre comment faire Les propriétés sont identifiéesEn. démontre les propriétés Él. font des exercices…
Démarche de preuve RP Expérience par les élèves et conjecturesProduction de preuves et débat (expériences-tests et contre-exemples)Affinement des critères de validation et R du P
Sans point de départ expérimental
Validation opératoire implicite En. donne la théorie (définitions, propriétés...)Il donne des exemples (pour convaincre ou faire comprendre)L'élève fait des exercices…
Validation opératoire formelle En. donne la théorie (définitions, propriétés...)Il démontre les propriétés Les élèves font des exercices…
Validation démonstrative Enseignement de la méthode Pratique de la méthode: énoncé à valider
Joshua et Joshua (1989)
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Action réelle sur les objets, ostension,
opérations et concepts non différenciées, non organisés en discours
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Manuels
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Exemple qui fonde une procédure
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Les arguments se détachent de l’action pour reposer sur la formulation
des propriétés en jeu et de leurs relations
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Action intériorisée avec explication
des propriétés (action mentale sur un cas général)
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Calcul inférentiel qui s’appuie sur des définitions ou des propriétés explicites
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
Niveaux de preuve chez les élèves
Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique
Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés
Combien de diagonales dans un polygone convexe?
DécontexualisationDétemporalisationDépersonnalisation
Formalisme______
Généralisation
Conceptualisation des connaissances exigés
Balacheff, 1988
Deux projets dans la classe de mathématiques
Théorie des situations de Brousseau analyse des situationsPhases de conclusion: phases d’évaluation / phases de validationValidation - preuve / validation – vérificationCritère de validité: connaissances de l’élève
Margolinas, 1989
CritèresPreuve
…de nécessité…engagé suite à une quasi-certitudeUn énoncé est formulé puis débattu Projet public Ce qui importe c'est la généralité de la procédure Quand ça ne marche pas: contre-exemples ou contradictions
Vérification …de vraisemblance…engagé suite à un douteAucun énoncé n’est formuléProjet privéCentration sur le résultat et le procédé (comment on fait)Quand ça ne marche pas: erreur
Pentamino devinette
Processus, procédé et procédure de résolution
Processus de résolution : ensemble des actions et des modèles d’action mis en œuvre temporellement dans la résolution de problème (dépend du sujet, du moment, du contexte) Procédé de résolution : ce qui dans le processus est consciemment retenu par le sujet comme ayant contribué à obtenir la résolution Procédure de résolution : méthode générale qui conduit au résultat.
Techniques de vérification(pour obtenir une information
sur le résultat) une double résolution par une même méthode une double résolution par une méthode
différente l'utilisation d'informations supplémentaires
non nécessaires à la résolution mais qui permettent une vérification
une résolution dans un autre cadre (cadre géométrique par exemple alors qu'on travaille algébriquement)
l'utilisation de propriétés mathématiques connues qui confirment ou infirment le résultat
Situations de validation Quelques considérations générales
Ancrage expérimental
Fonction sociale de la preuve
Fonctions de la preuve: convaincre, faire comprendre!
Quelle nécessité? Quelle rigueur?
Résolution de problèmes de façon à ce que les élèves s’engage dans un processus de validation
Le recours à des preuves intellectuelles ne va pas de soi (Balacheff)
Situations de validation (Exemples)
Arsac (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège. Plusieurs exemples de suffisent pas à prouver Un dessin suffit-il à prouver? Comment remettre en cause les mesures sur un
dessin? Le rectangle d’Euclide Comment aider les élèves à remettre en cause la
valeur de preuve d’un instrument de mesure?
Dreyfus, 1998 (cours, Université de Concordia): problème des angles inscrits
Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours: situations de généralisation
Quelques références clésARSAC, G. (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses universitaires de Lyon. IREM.BALACHEFF, N. (1988). Une étude épistémologique du processus de preuve en mathématiques au collège. Thèse présentée à l'Université National Polytechnique, Grenoble. DUVAL, R. (2005). Compréhension des démonstrations, développement de la rationalité et formation de la conscience individuelle. Actes du colloque du GDM, UQÀM, Montréal, pp. 5-38. DUVAL, R. (1992-1993). Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive? Petit x, no 31, pp. 37-61.
JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1988). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (deuxième partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, 9 (1), pp 5-30.JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1987). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (première partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, Vol. 8, no 3, pp. 231-266.LAKATOS, I. (1984). Preuves et réfutations. Paris: Hermann. Version originale: (1976) Proofs and Refutations, the Logic of Mathematical Discovery. Cambridge University Press.
MARGOLINAS, C. (1989). Le point de vue de la validation: essai de synthèse et d'analyse en didactique des mathématiques, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1.ROUCHE, N. (1989). Prouver: amener à l'évidence ou contrôler des implications? In: Commission Inter-IREM Histoire et Épistémologie des Mathématiques, La démonstration mathématique dans l'histoire, Actes du 7ème colloque inter-IREM épistémologique et histoire des mathématiques. Besançon, pp 9-38.
Pour compléter la bibliographie, voir: Mary C. (2003). Les hauts et les bas de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire. Éditions Bande didactique. Publication d’une thèse intitulée à l’origine « Place et fonction de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire ». Thèse présentée en 1999 à l’université de Montréal en vue de l’obtention du grade de Ph. D. en éducation.
Merci!
Vérité nécessaire / vérité contingente
Une fonction des mathématiques est de permettre l’anticipation des résultats d’une action. Le mot anticipation recouvre un double mouvement: la prédiction, et la validité de la prédiction. Propositions mathématiques apodictiques (nécessairement vraies), et non assertorique (vraies en fait) La découverte du caractère apodictique des propositions mathématiques fait partie de l’apprentissage
Margolinas, 1989, p. 11
DémonstrationSi P, on sait que P => Q, alors QSi l'on veut démontrer que A =>D, il suffit de construire une chaîne en partant de A: A => B, si on a A donc B; B => C, on a B donc C; C => D, on a C donc D; par transitivité on peut conclure que A => D."A => B", "B => C" et "C => D" sont des énoncés reconnus valides qui font le relais jusqu'à la conclusion. D est nécessairement vrai
Perspective épistémologiqueRésolution locale d'un problème Niveau 1: résolution générale pour un ensemble de cas possibles (raisonnement inductif)Niveau 2: généralisation à l'aide d'une suite d'opérations intermédiaires, suite d'évidences partielles, où un discours devient nécessaire (pensée discursive); Niveau 3: preuves qui s'appuient sur des objets abstraits, construits, les hypothèse distinguées de la conclusion, les opérations permises bien définies (pensée hypothético-déductive); discours de plus en plus symbolisé; ce qui importe est la validité des inférences compte-tenu des axiomes de départ et non une vérité unique (rigueur formelle)
Rouche (1989)Niveaux de preuve
Conclusion de Rouche
Étapes marquées par un changement non seulement de l’univers du sens mais par une modification du rapport au sens Niveaux de preuve À chaque étape sa forme de rigueurNe pas attendre la démonstration pour avoir une préoccupation de rigueur
Schéma de la validation dans la démarche
scientifique
causes résultats calculés, déduits
modèle
comparaisonajustement
résultats calculés, déduits
validation externe
validation interne
domaine expérimental
FAITS
causes domaine théorique
Schéma de la validation avec point de départ expérimental en mathématiques
causes résultats calculés, déduits
ajustement
FAITS
causes énoncé/ conjecture
preuve/ sous-conjectures
production d'une preuve
test sur les arguments
domaine expérimental
domaine théorique
Fonction de la validation (preuve)
Faire accepter un résultat…
Statuer et systématiser
Expliquer et éclairer
Convaincre
Produire des connaissances
Communiquer
Fonctions
Theoreme 25. I- VxVyVz.x(y+z) =xy + xzProof. Induction on z. P(x) is x(y+z) =xy + xz.1. y + 0 = y N32. x(y + 0) =xy sub,13. xy + 0 = xy N34. x(y + 0) = xy + 0 =,2, 35. x0 = 0 N56. x(y + 0) = xy + x0 sub, 5, 47. x(y + z) = xy + xz as (ind. hyp.)8.* y + z' = (y + z)' N49. x(y + z') = x(y + z)' sub, 810. x(y + z') = x(y + z) + x N611. x(y + z') = xy + (xz + x) =,9, 1012. x(y + z') = (xy + xz) + x sub, 7,
1113. (xy + xz) + x = xy + (xz + x)
T214. x(y + z') = xy + (xz + x) =,12, 1315 xz' = xz + x N6 16. x(y + z') = xy + xz' sub, 15,
1417. Vz.x(y + z) = xy + xz Æ
x(y + z') = xy + xz' DT, 7-16, and gen18. Vz.x(y + z) = xy + xz ind, 6,
17* z' = z + 1
Margaris, A. (1967). First Order Mathematical Logic, p. 138
Pour construire un carré d'aire double d'un carré donné, il suffit de prendre pour côté du carré à construire la diagonale du carré donné.
En effet, soit le carré de la figure (a). Sa diagonale le divise en deux triangles isométriques que l'on peut réarranger pour en faire un demi-carré, comme à la figure (b). D'où la solution présentée à la figure (c)
(a) (b) (c)
La somme des angles intérieurs d’un triangle…
En chaque nœud du pavage se retrouve deux fois chacun des angles du triangle.
La somme des n premiers nombres entiers positifs S(n) est n(n+1)/2.Pour n=1, le théorème est vrai. Supposons qu'il est vrai pour un k quelconque. Alors S(k+1) = S(k) + (k+1) = n(n+1) / 2+ (n+1)
= (n+1)(n+2) / 2Donc l'énoncé est vrai pour k+1 s'il est vrai pour k. Par le théorème d'induction, l'énoncé est vrai pour tout n.
S = 1 + 2 + ... + n S = n + (n-1) + ... + 1 2S= (n+1)+ (n+1)+ ... + (n+1)= n(n+1) S = n(n+1) / 2C.Q.F.D.
Hanna (1995), p. 48.
Est-ce que ces angles peuvent être inscrits dans un cercle?
F
A B
K
Validation empiriqueRègle à suivre: Avant d'affirmer qu'un énoncé mathématique est toujours vrai, il faut attribuer différentes valeurs à la variable. Mieux vaut éviter d'attribuer aux variables les valeurs 0, 1 et 2. Ces nombres présentent en effet trop de particularités. Voyez vous-mêmes: x + x = xC'est vrai si x = 0, mais c'est généralement faux! x x = xC'est vrai si x = 0 ou 1, mais c'est généralement faux!
Problème des tables
Élève
Si on prend l'exemple de 3 tables, il y en a 1 à chaque bout, il y en a une à chaque table d'un côté et d'l'autre bord avec. T'imagines qu'il y en a 39 comme ça
Exemple générique et
expérience mentale
2 formules ont été obtenues
Enseignant
On a un problème. On vérifie si ça fonctionne.
(Il montre sur le dessin.)
On a 1 table. Ici ça vaut 1x2+2=4. J'ai bien 4 personnes. Ça fonctionne.
Les élèves calculent avec lui.
Celle-ci (1-2)x2 + 6
Les élèves calculent avec lui: Ça fait 4, ça fonctionne aussi
Enseignant: Donc ça fonctionne aussi.
Ils vérifient ensuite pour trois tables (en se fiant sur le dessin au tableau qui donne 8 comme résultat).
Question de l’équivalence
En: Ces deux là fonctionnent. Est-ce que ça veut dire la même chose? Élèves: OuiEn: Pourquoi?És: Parce que ça donne la bonne réponse
Validation par l’intermédiaire des
réponses validation
pragmatique
Argument pragmatique
60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Grille numérique
C: «+20 – 2 »
C: «+18 » (sous l’influence de Stella)
En: Est-ce que ça fonctionne toujours pis comment vous le savez que ça fonctionne toujours?
M: Moi j’ai essayé pis ça marche (…) avec 2.
En: T’as essayé avec deux nombres (elle rit).
C: Mais même si tu les fais toute ça va marcher quand même. Parce que euh… on se les disait pis c’était ça genre que j’utilisais, pis… on a utilisé peut-être une trentaine dans cette grille là pis je les disais toute bons.
Reconnaissance d’une procédure
Lors du choix de la forme la plus difficile, C dit: « Sont toutes pareilles parce que j’ai pas de problèmes de cases en tant que tel, parce que moi j’additionne la différence entre les deux… je fais
–3+20 et ça va donner la réponse [forme 7]»
R : « + 17 » ça veut dire.
C : Ou plus euh, attends peu.
En : Roméo a dit « + 17 ».
C : Oui, c’est ça.
–2+20 ou –3+20exemple générique
Argument général
U a construit une forme qui est sensée être difficile: C dit : Tu fais ça. (Il montre qu'il n'a qu'à faire un « L » sur la forme d’U) C'est toute facile. Tu peux pas en dessiner une compliquée.
Dégagement conscient d’une procédure schématisée par un L
Seuls les aspects essentiels sont retenusLa procédure devient critère de validité
Le rectangle d’EuclideTrace un rectangle ABCD tel que AB=8 cm et BC = 5cm.
Place un point E sur AC tel que AE = 3 cm.
Trace la parallèle à AD qui passe par E; elle coupe AB en N et DC en L.
Trace la parallèle à AB qui passe par E; elle coupe AD en M et BC en K.
Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire?
A N B
M K
D L C
Affiches produites par les élèves
Dessin avec mesures
Le rectangle BENK a une aire de 8,8 cm carrés et MELD de 8,5 cm carrés.
Conclusion: le rectangle BENK a la plus grande aire. Pour vérification, on additionne toutes les aires du rectangle. Le résultat sera égal à 40 c’est-à-dire à l’aire du grand rectangle.
Figure
Le triangle CDA est égal au triangle CBA.
Le triangle CLE est égal au triangle CKE.
Le triangle EMA est égal au triangle ENA.
Donc ENBK est égal à EMDL.
Jeu des devinettesChoisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 0 et 10.Multipliez-le mentalement par 6Divisez le nombre obtenu par 3.Divisez le nombre obtenu par 2.Enlevez le nombre choisi au départ.Ajoutez 7.Retranchez 2.
Le but de l’activité est d’amener les élèves à réfléchir collectivement sur la généralité derrière la chaîne des opérations de calcul, de construire eux-mêmes de telles chaînes et de s’engager dans un processus de validation.
63 2-
+7-2
63 2-
+7-2
Productions d’Ulysse
L’expression construite sert de modèles pour d’autres
Validation pragmatique mais
Anticipations du succès: « Ça va marcher! »
a + n’importe quoi –a
« Ça va marcher, tu gages? »
Ça ne marche pas avec des X
Tentative avec des + et -
a+(2+5-4+3)-a = 6
Validation pragmatique
Productions de César et Roméo
a x 10 2 aValidation empiriquePas d’examen des propriétés de la chaîneEssai avec 962: expérience crucialeUn élève propose 99999999999: César mentionne qu’à la calculatrice, ça ne fonctionne pas mais que sur papier ça marcherait!
Il réalise que zéro ne fonctionne pas et le rejette du domaine de validité.
Roméo cherche une procédure qui permettra d’accepter le zéro:
a+1x10 2 a-1
Recherche de généralité Dégagement conscient d’une procédure?
Les validations restent pragmatiquesProposition d’un modèle-tests-ajustement du modèle
ConvictionConscience des invariants?
Pas de recherche explicite de causes?
Conscience de la généralité
mais c’est comme si leurs connaissances
des propriétés de la multiplication ou de l’addition
n’agissaient pas comme des connaissances
utiles pour valider les procédures
Production de David
En réaction à la proposition d’Ulysse a+(n’importe quoi)-a: « Tu peux pas faire au hasard ! »« Moi je te jure que ça va pas être bon. »David cherche à contrôler les opérations et trouve une expression qu’il sait triviale mais dont il est convaincu de la validité a priori.
« C’est obligé que ce soit dur? »
a-a+a
Il réalisera qu’il ne répond pas à la consigne.
Lorsque l’enseignante tente de les faire réfléchir sur les opérations, il envisage la nécessité d’avoir un nombre pair.
Il est le seul à envisager
explicitement des conditionsnécessaires