Cours de mathématiques – Mathématiques en Enseignement ...

Cours de mathématiques –Mathématiques en Enseignement

Scientifique de Terminale Générale

Table des matièresThème 1 – Méthode capture-marquage-recapture et échantillonnage..................................................2

I – La méthode capture-marquage-recapture...................................................................................2II – Estimer une proportion à partir d’un échantillon......................................................................3

a) Fluctuation d’échantillonnage.................................................................................................3b) Intervalles de confiance..........................................................................................................4

Thème 2 – Les modèles démographiques............................................................................................6I – Notion de suite numérique..........................................................................................................6

Thème 3 – Le modèle de Hardy-Weinberg...........................................................................................8I – Allèles et génotypes....................................................................................................................8II – Évolution du génotype et des allèles d’une génération à la suivante........................................9

a) Modèle mathématique.............................................................................................................9b) Illustration avec le tableur....................................................................................................10c) Illustration avec le diagramme de De Finetti........................................................................10d) Démonstration de la stabilité de Hardy-Weinberg................................................................10

III – Application aux maladies génétiques.....................................................................................11Thème 4 – Inférence bayésienne et tests médicaux............................................................................12

I – Le paradoxe des tests médicaux...............................................................................................12a) Un exemple pour comprendre...............................................................................................12b) Application aux mammographies.........................................................................................14c) Application à la covid-19......................................................................................................14

II – Pour aller plus loin..................................................................................................................14a) Le test peut-il être inutile ?...................................................................................................14b) Comparaison des tests sanguins et salivaires pour le VIH...................................................14

Cours de mathématiques – Mathématiques en Enseignement Scientifique de TerminaleGénérale : 1/14

Thème 1 – Méthode capture-marquage-recapture et échantillonnage

I – La méthode capture-marquage-recapture

Cette méthode permet d’estimer l’effectif d’une population dont l’effectif total N est difficilement évaluable dans un certain milieu (exemple : moustiques sur un plan d’eau).

• Capture : on procède à une première capture dans le milieu, d’effectif M .

• Marquage : ces M individus sont marqués (par exemple avec un marqueur fluorescent vert et rouge visible seulement en lumière ultraviolette). Ces M individus sont ensuite relâchés dans le milieu.

• Recapture : On recapture un échantillon d’effectif C , et parmi ces individus, on compte l’effectif R de ceux marqués.

Alors, on fait l’hypothèse que la proportion d’individus marqués dans l’échantillon (RC ) est

égale à la proportion d’individus marqués dans la population totale ( MN ) . R , M et C étant

connus, cela permet d’estimer N : RC

=MN

⇔ N=M×C

R.

Cette méthode repose sur certaines hypothèses :

• La mortalité, l’immigration et l’émigration sont négligeables.

• Les méthodes de capture sont parfaitement reproductibles.

• Le marquage n’a pas affecté la survie ni la probabilité de capture des animaux.

• Le marquage est permanent sur la durée de l’étude.

Exercice 1 : Estimation de la taille d’une population de moustiques Anopheles gambiae dans un village du Burkina Faso, par la technique C-M-R.

Saison humide septembre 2013 Saison sèche mai 2014Moustiques marqués lâchés 3407 5267

Moustiques capturés non marqués 5843 363Moustiques capturés marqués 44 49

Estimer la population des moustiques dans les deux cas.

Cette estimation permet de mettre en place des programmes de lutte contre la malaria.

Thème 1 – Méthode capture-marquage-recapture et échantillonnage : 2/14

II – Estimer une proportion à partir d’un échantillon

La méthode C-M-R permet d’estimer la taille d’une population. Comme il s’agit d’une estimation, il est nécessaire d’en quantifier l’incertitude.

a) Fluctuation d’échantillonnage

Définition : d’un échantillon à l’autre, une proportion observée peut varier. Ce phénomène estla fluctuation d’échantillonnage.

Exemple : Imaginons que dans une population d’oiseaux la proportion de mâles soit connue et égale à 0,4.

En prenant plusieurs échantillons de taille 20 par exemple, la proportion de mâles pour chacun d’eux ne sera pas nécessairement 0,4 : on pourra observer que la proportion la plus fréquemment observée est 0,4, et que plus on s’en éloigne, moins les fréquences sont fréquentes.

Loi des grands nombres : Plus la taille de l’échantillon est grande, moins il y a de fluctuation d’échantillonnage.

Exemple : Si l’on prend plusieurs échantillons de très grande taille d’oiseaux, la fréquence des mâles dans chacun d’eux sera très proche de 0,4.

Écart-type : L’écart-type permet de mesurer la dispersion des observations. Plus la taille de l’échantillon est grande, moins il y a de dispersion et plus l’écart-type est petit.

Si p est la proportion du caractère et N est la taille de l’échantillon, alors l’écart-type σ

vérifie : σ=√ p(1− p)

N.

Exemple : Avec l’exemple précédent des oiseaux, on a p=0,4 .

• Pour un échantillon de taille N=20 , on a σ=√ p(1−p)

N=√ 0,4(1−0,4)

20≈0,11 .

• Pour un échantillon de taille N=400 , on a σ=√ p(1−p)

N=√ 0,4(1−0,4)

400≈0,02 .

Exercice 2 :

Soit A un échantillon de taille 1000 où un caractère a pour fréquence théorique 0,3.

Soit B un échantillon de taille 1500 où un caractère a pour fréquence théorique 0,5.

Quel échantillon a le plus grand écart-type ?


Exercice 3 : Utilisation du tableur

On simule à l’aide d’un tableur un échantillon de 20 individus qui ont chacun une probabilitép=0,4 de montrer un caractère donné.

• On entre en A1 la formule =SI(ALEA()<0.4;1;0).

• On recopie cette formule vers le bas jusqu’en A20.

• On calcule en A21 à l’aide d’une formule bien choisie la proportion observée sur l’échantillon.

• On recopie cette colonne sur les colonnes adjacentes, de façon à créer 25 échantillons de ce type.

• On trace l’histogramme des proportions observées, et on calcule leur écart-type à l’aide de laformule =ECARTYPE(A21:Y21).

b) Intervalles de confiance

En général, on ne connaît pas la proportion p d’un caractère dans un échantillon ; on n’a accès qu’à la proportion observée sur un échantillon, notée péch , ainsi que σ éch calculé sur l’échantillon.

Afin d’estimer p , on construit un intervalle de confiance calculé avec péch et σ éch qui inclut probablement la proportion p de la population. La taille de cet intervalle dépend du niveau de confiance que l’on se fixe. Ce niveau de confiance représente la probabilité que l’intervalle des valeurs que l’on vient de calculer recouvre effectivement la proportion dans la population.

Intervalle de confiance utilisés :

Niveau de confiance Intervalle de confiance68 % [ péch−σ éch; péch+σ éch ]

95 % [ péch−2σ éch ; péch+2σ éch ]

99,7 % [ péch−3σ éch; péch+3σ éch ]

Exemple : On cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française.

Pour cela, on prélève un échantillon de taille N=1000 . On dénombre alors 141 gauchers.

La proportion de gauchers observée est alors péch=141

1000=0,141 .

L’écart-type observé est σ éch=√péch(1−péch)

N=√ 0,141(1−0,141)

1000≈0,011 .

Au niveau de confiance 68 %, l’intervalle de confiance est[ péch−σ éch ; péch+σéch ]≈[0,141−0,011;0,141+0,011 ]=[0,130 ;0,152 ] , ce qui signifie qu’il y a une probabilité de 68 % que la fréquence théorique des gauchers en France appartienne à l’intervalle[0,130 ; 0,152 ] .


Exercice 4 : Calculer l’intervalle de confiance au seuil 68 %, 95 % et 99,7 % de la fréquence des jumeaux en France, sachant que sur un sondage de 10000 personnes, il y avait 1756 jumeaux.

Exercice 5 : Dans la réserve indienne d'Aamjiwnaag (Canada), à proximité d'industries chimiques, il est né 132 enfants entre 1999 et 2003, dont 46 garçons.

a) Calculer la fréquence péch de naissance des garçons à Aamjiwnaag, ainsi que l’écart-type σ éch .

On souhaite estimer la fréquence théorique p de naissance des garçons.

b) Déterminer l’intervalle de confiance, au seuil 95 %, de la fréquence des garçons pour un échantillon de taille 132 en supposant que la fréquence péch est représentative.

Dans le monde, il naît 105 garçons pour 100 filles.

c) Calculer la fréquence théorique p de naissance des garçons. Que penser de la fréquence à Aamjiwnaag ?


Thème 2 – Les modèlesdémographiques

I – Notion de suite numérique

Une suite numérique u est une liste ordonnée infinie de nombres.

Le terme général un ou u(n) (qui se lit « u indice n » ou « u de n ».

Indice p p+1 ... n−1 n n+1 n+2 ...

Terme up up+1 ... un−1 un un+1 un+2 ...

Exemple: Si on étudie la population d’un pays chaque année à partir de l’année 2010, u0 sera la population en 2010, u1 la population en 2011, etc.

Représentation graphique : La suite u est représentée par le nuage de points de coordonnées(n ;un) .

On s’intéressera à deux cas simples :

• Une suite u est arithmétique si et seulement si la variation absolue entre deux termes consécutifs est constante (et appelée raison r ) : Pour tout entier naturel n ,un+1−un=r .Cela équivaut au fait que pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours la même quantité r : Pour tout entier naturel n , un+1=un+ r .Dans ce cas, pour tout entier naturel n , un=u0+n×r .

• Une suite u est géométrique si et seulement si la variation relative entre deux termes consécutifs est constante (et appelée raison q ) : Pour tout entier naturel n un≠0 etun+1

un

=q .

Cela équivaut au fait que pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par la même quantité q : Pour tout entier naturel n , un+1=un×q .Dans ce cas, pour tout entier naturel n , un=u0×qn .

Remarque : Une suite u est géométrique de raison q si et seulement si son taux de variation t est constant et q=1+t .

Exemple : Si la suite a pour taux de variation t=20 % , alors la suite est géométrique de raison

q=1+20100

=1,2 , puisque augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1+20

100=1,2 .

Thème 2 – Les modèles démographiques : 6/14

II – Modélisation de l’évolution d’un phénomène par une suite arithmétique ou géométrique

On peut modéliser un phénomène discret en cherchant une fonction dont la courbe passe au plus près des points du nuage, c’est-à-dire trouver une expression qui permette d’estimer un en fonction de n .

On s’intéresse aux deux cas vus précédemment :• Le modèle linéaire, qui correspond aux suites arithmétiques. Le nuage de points est

alors une droite d’équation y=a x+b , avec a=r (raison de la suite arithmétique) etb=u0 terme général de la suite arithmétique.

• Le modèle exponentiel, qui correspond aux suites géométriques. Le nuage de points est alors une courbe d’équation y=a×bx , avec b=q (raison de la suite géométrique) eta=u0 , terme général de la suite géométrique.

Remarque : Pour les élèves ayant suivi la spécialité mathématiques en première, pour le modèle exponentiel, en utilisant la fonction exponentielle, on a aussi y=a×ec x avec ec

=b .

Modèle linéaire Modèle exponentiel

Thème 2 – Les modèles démographiques : 7/14

Thème 3 – Le modèle de Hardy-Weinberg

À la fin du XIXe siècle, la redécouverte des travaux de Gregor Mendel suscite quelques doutes. En particulier, certains se demandent pourquoi le phénotype défini par un allèle récessif ne disparaît pas au cours des générations. Le généticien Reginald Punnett, professeur à l’université de Cambridge pose la question à son collègue mathématicien Godfrey Harold Hardy. Hardy propose sasolution dans un article intitulé Mendelian proportions in a mixed population publié dans la revue Science en 1908. Plusieurs décennies plus tard, il apparaît que la loi de Hardy avait été découverte la même année par un médecin allemand Wilhelm Weinberg. Son article, dans lequel il expose la même loi de stabilité que Hardy, était paru dans un journal scientifique peu connu et n’avait pas été remarqué. On a finalement donné le nom de loi de Hardy-Weinberg à la loi de stabilité des génotypes découverte de manière indépendante par ces deux scientifiques.

I – Allèles et génotypes

Les unités d’informations génétiques qui déterminent les caractères héréditaires sont de petites portions d’une séquence d’ADN appelées gènes. Chaque gène occupe une place déterminée sur les chromosomes. Si la cellule est diploïde, c’est-à-dire si elle possède un nombre pair de chromosomes, ceux-ci sont réunis en paires dites homologues. Chaque gène est présent en deux exemplaires, un exemplaire sur chacun des deux chromosomes homologues. Chacun des deux exemplaires d’un gène s’appelle un allèle. Dans ce qui suit, on se limite au cas de deux types d’allèles, notés A et a, d’un même gène. Lors de la conception, un organisme reçoit deux allèles (un de chacun de ses parents). Ces deux allèles constituent son génotype qui peut alors être AA, Aa ou aa. Les génotypes AA et aa sont dits homozygotes et Aa est dit hétérozygote. Pour simplifier l’étude,on fait ici les hypothèses suivantes :

• la population est de grande taille, ce qui permet d’assimiler les fréquences observées à des probabilités, en vertu de la loi des grands nombres ;

• au sein de la population, le choix du partenaire sexuel se fait au hasard. C’est l’hypothèse de«panmixie» ;

• il n’y a pas de migration : aucune copie allélique n’est apportée de l’extérieur ;

• il n’y a pas de mutation ;

• il n’y a pas de sélection ;

• les générations sont séparées (pas d’union possible entre des individus de générations différentes).

Thème 3 – Le modèle de Hardy-Weinberg : 8/14

II – Évolution du génotype et des allèles d’une génération à la suivante

a) Modèle mathématique

On se propose d’étudier conjointement l’évolution des proportions des trois génotypes et des deux allèles. On note pn la proportion de génotypes AA de la génération n , qn la proportion de génotypes Aa et rn celle des génotypes aa. Pour tout entier naturel n , les trois nombres pn , qn etrn sont donc compris entre 0 et 1 et vérifient pn+qn+rn=1 . Il est mathématiquement plus simple de considérer dans un premier temps, non pas l’ensemble des génotypes, mais l’ensemble des allèles et la proportion de chacune des allèles A et a dans cet ensemble de référence à chaque génération.

On note An (respectivement an ) la proportion d’allèles A (respectivement d’allèles a) de la génération n . Les deux nombres An et an sont donc compris entre 0 et 1 et vérifient an+ An=1 . La transmission des allèles de la génération n à la génération n+1 peut être représentée par un tableau :

Allèle du père ↓ Allèle de lamère→

A a

A AA Aa

a Aa aa

1. a) Imaginons que dans une population, à la 3ème génération, il y ait 30 % d’allèle A. Quelle sera, à la 4ème génération, la proportion de génotype AA ?

b) Retour au cas général : expliquer pourquoi, avec les notations au-dessus, pn+1=An2 .

c) De même, exprimer qn+1 et rn+ 1 en fonction de An et an .

2. a) Expliquer pourquoi An=pn+12

qn .

b) De même, exprimer an en fonction de pn , qn et rn .

3. a) À l’aide des questions 1. et 2. Justifier que pn+1=(pn+12

qn)2

.

b) De même, exprimer qn+1 et rn+1 en fonction de pn , qn et rn .


b ) Illustration avec le tableur

Rappel des formules établies :

pn+qn+rn=1 ; An+an=1 ; {pn+1= An

2

qn+1=2 An an

rn+1=an2

; {An=pn+

12

qn

an=rn+12

qn

; {pn+1=( pn+

12

qn)2

qn+1=2( pn+12

qn)(rn+12

qn)r n+1=(rn+

12

qn)2

.

Le but est d’utiliser le tableur pour illustrer la loi de Hardy-Weinberg : stabilité des génotypes.

1. Proposer des valeurs possibles en B2 et C2.

2. En déduire une formule à entrer en D2.

3. En déduire les formules à saisir en E2 et F2.

4. En déduire les formules à saisir en B3, C3 et D3.

5. Recopier les formules vers le bas.

6. Qu’observe-t-on ? Modifier les valeurs en B2 et C2.

c) Illustration avec le diagramme de De Finetti

Le diagramme de De Finetti permet de visualiser les proportions possibles des génotypes. Commentvoit-on l’observation faite à la question 6. du b) ?

d) Démonstration de la stabilité de Hardy-Weinberg

On a An+1= pn+1+12

qn+1=An2+

12×2 An an=An×An+ An×an=An( An+an)=An puisque An+an=1 .

On a montré la stabilité dès la première génération de la proportion d’allèles A (et a, puisquean=1−An ) puisque les An et an sont égaux entre eux à partir de n=0 .

Puisque pn+1=An2 , et que les An sont égaux entre eux, on a que les pn sont égaux entre eux à

partir de n=1 . De même pour les qn et rn , puisque qn=2 An an et rn=an2 .

On a montré la stabilité dès la deuxième génération des proportions de génotypes.


III – Application aux maladies génétiques

On note x la fréquence de l’allèle A.

À l’aide de la stabilité vu précédemment, on a pour tout n⩾0 : An=x et an=1−x .

De plus, pour tout n⩾1 pn=x2 , qn=2x (1−x) et rn=(1−x )2 .

1. Tracer les courbes suivantes dans le repère ci-dessous :

« AA » d’équation y=x2 ; « Aa » d’équation y=2 x (1−x ) et « aa » d’équation y=(1−x )2 .

2. Pour quelle valeur de An (et an ) la fréquence de génotype hétérozygote est maximale ?

3. La phénylcétonurie est une maladie génétique rare. Elle est due à un défaut porté par un allèle a récessif. La maladie apparaît uniquement à l’état homozygote aa, mais un sujet non malade hétérozygote peut être porteur du gène défectueux. La probabilité d’apparition du défaut sur un

allèle est de 1

100. Calculer la proportion de sujets atteints par la phénylcétonurie, puis la proportion

de sujets porteurs de l’allèle défectueux, mais non atteints par la phénylcétonurie.

4. La mucoviscidose est une maladie qui frappe 1 enfant sur 2500. L’étude de sa transmission a montré qu’elle est due à l’état homozygote (aa) d’un certain gène. Les individus hétérozygotes (Aa) sont sains et il est même impossible de détecter chez eux l’allèle pathogène. Quelle est la fréquence de l’allèle pathogène ? Quelle est la fréquence des sujets porteurs sains d’un allèle a ?


Thème 4 – Inférence bayésienne et testsmédicaux

I – Le paradoxe des tests médicaux

a) Un exemple pour comprendre

Une personne vient de passer un test de dépistage d’une maladie rare. On sait qu’elle ne touche que 0,1 % de la population. Le médecin lui annonce que le résultat du test est positif. La personne demande au médecin si le test est fiable. Sa réponse est sans appel : « Si vous êtes malade, le test estpositif dans 90 % des cas et si vous n’êtes pas malade, il est négatif dans 97 % des cas ».

On dit que le test a une sensibilité de 0,9 ( Se=0,9 ) et une spécificité de 0,97 ( S p=0,97 ).

Problème posé : quelle est la probabilité que cette personne soit effectivement malade ?

A – Avec un tableau de contingence

Pour simplifier, on part d’une population de référence de 10 000 personnes ayant passé le test.

Compléter le tableau de contingence suivant avec des effectifs.

Malade Non malade TotalTest positif

Test négatifTotal 10000

Répondre à la question posée. Le résultat est-il surprenant ?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Thème 4 – Inférence bayésienne et tests médicaux : 12/14

B – Avec un arbre de probabilités (ou de proportions)

On note p(M ) la proportion de personnes malades dans la population et p(M ) la proportion de personnes non malades.

On note pM (T ) la proportion de personnes ayant un test positif parmi les gens malades et pM (T )

la proportion de personnes ayant un test négatif parmi les gens non malades.

Par lecture de l’énoncé, donner les valeurs numériques suivantes :

p(M) = pM (T ) = pM (T ) =

En déduire les valeurs suivantes :

p(M) = pM (T ) = pM (T ) =

Compléter l’arbre suivant avec les proportions :

Déterminer la proportion de personnes malades et positives au test :p(M∩T ) =……………………………………………………………………………………………

Déterminer la proportion de personnes non malades et positives au test :p(M∩T ) =……………………………………………………………………………………………

En déduire la proportion de personnes positives au test :p(T ) =…………………………………………………………………………………………………

En déduire la proportion de personnes malades parmi les personnes positives pT(M ) . On pourra

utiliser la formule pT (M )=p (M∩T )

p(T ).

pT (M ) =……………………………………………………………………………………………….


b) Application aux mammographies

Parmi les femmes de 40 ans ayant effectué une mammographie, 1 % a un cancer du sein.À la suite de mammographies sur échantillon, on a établi que :

• Pour 82 % des femmes ayant un cancer du sein, la mammographie détecte une anomalie (vrai positif). ( Se=0,82 ).

• Pour 9 % des femmes n’ayant pas de cancer du sein, la mammographie détecte une anomalie(faux positif).

À l’aide d’un tableau de contingence ou un arbre de proportions, déterminer pour une femme testée positive la probabilité qu’elle soit malade.

c) Application à la covid-19

Début janvier 2021, on estimait que 0,143 % des Français ont la covid-19.

Le test PCR permet de détecter la présence du virus dans l’organisme.

• Si la personne est réellement malade, le test va être positif dans 99,3 % des cas ( Se=0,993 ).

• Si la personne n’est pas malade, le test va être négatif dans 98,3 % des cas ( S p=0,983 ).

Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?

Une personne est testée négative. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?

II – Pour aller plus loin

a) Le test peut-il être inutile ?

Montrer que si S p+Se=1 , alors le test est inutile.

b) Comparaison des tests sanguins et salivaires pour le VIH

Pour comparer les caractéristiques de ces deux tests (salivaire et sanguin), on a réalisé les tests sur 10 000 personnes dont on sait qu’elles sont infectées par le VIH et sur 100 000 personnes non infectées. Calculer pour chaque test la sensibilité et la spécificité.

Personnes infectées Personnes non infectéesTest salivaire positif 9803 260

Test salivaire négatif 9968 90

A – Calculer pour chaque test la sensibilité et la spécificité.

B – Le VIH touche 37 millions de personnes sur 6 milliards. Pour chaque type de test positif, quelleest la probabilité d’être infecté par le VIH ?


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