Post on 31-Mar-2016
description
UNITE .
UNITE 5 : Proportionnalité
Objectifs : Utilisation de repère orthogonal
Etre capable :
Utiliser une graduation sur un axe pour repérer des points
Donner les coordonnées des points
Placer des points dans un repère orthogonal
PARTIE B : REPERAGE SUR UN AXE, REPERAGE SUR UN PLAN ET REPRESENTATION GRAPHIQUE NUMERIQUES A SIMPLE ET DOUBLES ENTREES
Lycé
e P
ierr
e A
nd
ré C
hab
ann
e
An
né
e 2
01
2-2
01
3 :
Mat
hé
mat
iqu
es
1èr
e a
nn
ée
CA
P
1 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
I. Activités d’approche
1. Définir une situation de proportionnalité
2 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
2. Reconnaître des situations de proportionnalité
3 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
3. Calculer une quatrième proportionnelle
4. Représenter graphiquement une situation de proportionnalité
4 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
5. Bilan
Activité 1 :
La balance d’un commerçant affiche à la fois la quantité de denrées achetées, le prix
unitaire et le prix total à payer en €.
J’achète 2,020 kg de pommes à 2 € le kg ; je verrai donc s’afficher :
J’achète 1,100 kg de pommes à 2 € le kg ; je verrai donc s’afficher :
J’achète 3,080 kg de pommes à 2 € le kg ; je verrai donc s’afficher :
Appel n°1
Dans les trois cas, prix à payer = quantité x 2.
Le prix à payer est proportionnel à la quantité achetée ; le coefficient de
proportionnalité est 2.
La machine a effectué l’opération suivante : 1,100 2 = ……..
La machine a effectué l’opération suivante : 3,080 …. = 6,16
La machine a effectué l’opération suivante : 2,020 2 = 4,04
5 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Exemples :
Activité 2 : supposons maintenant que les pommes soient vendues par
sachets et que les
prix des sachets soient les suivants :
Quantité (kg) 1,000 2,500 5,000
Prix (€) 2,20 5,00 8,50
Le prix payé est-il proportionnel à la quantité ?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Activité 3 : depuis le 1er janvier 2002, l’euro a définitivement remplacé le franc.
Un guide de conversion donne le tableau suivant :
Anne vend des gâteaux au prix de 3 € l’un.
1. Jean achète 3 gâteaux : elle lui demande 6 €.
Pierre achète 5 gâteaux:
elle lui demande 15 €.
2. Jacques achète 10 gâteaux : elle lui demande 25 €.
Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de
gâteaux achetés ? Pourquoi ?
2x3 = 6
5x3 = 15
Pour Jean et Pierre, le prix à payer est bien
proportionnel au nombre de gâteaux achetés.
10x3 = 30
Pour Jacques, le prix à payer n'est pas proportionnel
au nombre de gâteaux achetés, puisqu'il aurait dû
payer 30 € et qu'il en a payé 25.
6 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Nombre d’euros 10 20 30 40 50
Nombre de francs 65,60 131,20 196,80 262,40 328
Ces deux suites de nombres sont-elles proportionnelles ? Si oui quel est le
coefficient de proportionnalité ?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Quelle est la valeur, en francs, d’un euro ? …………………………………
Appel n°2
Activité 4 : pour préparer des cookies aux pépites de chocolat, on utilise des sachets
de « préparation pour gâteaux ALSA » et des oeufs .
J’ai la recette pour 20 cookies et je veux en fabriquer 60 ; que me faudra-t-il ?
………………………………………………………………..……………………………………..
………………………………………………………………..……………………………………..
………………………………………………………………..……………………………………..
Pour fabriquer 60 cookies, il me faudra
………………………………………………………………..
Activité 5 : sur une carte au
150 000
(1 cm sur la carte représente en réalité 50 000 cm soit
500 m), quelle sera la distance réelle entre deux villes A et B distantes de 15 cm sur la
Nombre de sachets 1
Quantité de cookies 20
Quantité d'oeufs 2
Quantité de cookies 20
7 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
carte ?
Les grandeurs « distance réelle » et « distance sur la carte » sont proportionnelles.
50 000 cm = 500 m
………………………………………………………………..……………………………………..
………………………………………………………………..……………………………………..
II. DEFINITION
Reprenons les deux exemples précédents : on peut regrouper les quantités achetées
et les prix correspondants dans un tableau :
Exemple des pommes :
Calculons les rapports : (exemple des pommes)
4,042,020
= 2
2,201,100
= 2
6,163,080
= 2
Il y a égalité entre les trois rapports : les suites
de nombres « prix à payer » et « quantité »
sont des suites proportionnelles.
Conclusion : Les deux grandeurs « prix à
Exemple des gâteaux : ce tableau n’est pas un
tableau de proportionnalité car les rapports
sont différents.
Calculons les rapports :
= 3
155
= 3
2510
= 2.5
Il n'y a pas égalité entre les rapports : les suites
de nombres « prix à payer » et « quantité » ne
sont pas des suites proportionnelles.
Conclusion : Les deux grandeurs « prix à
payer » et « quantité » ne sont pas des
Distance sur la carte (cm) 1 15
Distance réelle (m) 500 x
Quantité (kg) 2,020 1,100 3,080
Prix (€) 4,04 2,20 6,16
8 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
payer » et « quantité » sont des grandeurs
proportionnelles ; le coefficient de
proportionnalité est 2
grandeurs proportionnelles.
l
Deux suites de nombres sont proportionnelles si le rapport des nombres de l’une
aux nombres de l’autre est toujours le même.
Ce rapport a est appelé coefficient de proportionnalité.
III. TABLEAU DE PROPORTIONNALITE
Dans la vie quotidienne, les situations de proportionnalité sont très fréquentes.
Exemple n° 1 : On sait qu’un pot de peinture de 2 kg permet de couvrir une surface
de 9 m² et l’on recherche la quantité de peinture nécessaire pour couvrir 36 m².
1. On construit un tableau de proportionnalité et on calcule le coefficient de
proportionnalité :
2. On utilise ce coefficient pour calculer la valeur manquante :
Quantité de peinture (kg) 2
Surface couverte (m2) 9
X 4,5
Quantité de peinture (kg) 2
Surface couverte (m2) 9 36
X 4,5
÷ 4,5
Quantité 2 5 10
Prix (€) 6 15 25
9 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Il faut acheter 36 ÷ 4,5 = 8 kg de peinture donc 4 pots de peinture.
Remarque : on peut également trouver la quantité de peinture grâce à
l'opération 2 x 369
= 8
IV. PRODUIT EN CROIX
Dans une égalité de la forme d
c
b
a , appelée proportion, les nombres b et d n’étant pas
égaux à 0, les « produits en croix » sont égaux : axd=bxc
Exemple :
Nombre de m² peints 20 73
Prix payé en euros 180 A
On a :
eurosx
DoncA
xxA
A
65720
8073
1807320
73
180
20
V. SITUATION LINEAIRE
Prenons l’exemple suivant :
10 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Quantité (kg) 1 2 3
Prix (€) 2 4 6
Les suites de nombres « prix à payer » et « quantité » sont des suites
proportionnelles ; le coefficient de proportionnalité est 2.
Si on décide que P va désigner le prix et Q la quantité de pommes achetées, on
pourra écrire
P = ……….Q
C'est l’expression algébrique de cette situation de proportionnalité
Plaçons les points de coordonnées
(P ; Q) dans le repère ci-contre :
0 1 2 Q
P
3
1
2
3
4
5
6
11 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
On remarque que les points sont
alignés avec le point
(…….. ; ……..)
II. Graduation d’une droite
Les nombres relatifs permettent de graduer une droite des deux côtés du zéro.
La relation existant entre deux grandeurs proportionnelles nommées x et y peut
s’écrire sous la forme d’une expression algébrique dont la forme est y = a x,
a étant le coefficient de proportionnalité des deux suites.
La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui
passe par le point (0 ; 0), origine du repère.
12 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Exemple :
Soit une droite (xy) orientée à l’aide de la flèche . On place le point O. On peut, en prenant le
point O comme origine et le centimètre comme unité, graduer la droite. On obtient :
0 1
x O I x’
Le point O a pour abscisse 0 et le point I a pour abscisse (+1)
Le segment [OI] est le segment unité.
On dit que le repère de la droite (xx’) est (O,I).
Remarques :
Pour repérer ou placer un point sur la droite, il suffit de donner son abscisse ou de le
placer à l’abscisse qui est donnée
M est repéré par l’entier relatif (+4). P est repéré par le décimal (-1,4). On peut
placer par exemple un point Q en (-3,6)
III. Repère orthonormé
Un repère est formé d’une origine appelée O(0 ;0) et de deux axes :
1 axe vertical appelé axe des ordonnées
1 axe horizontal appelé axe des abscisses
Sur chaque axe, on place les segments unités :
[OI] sur l’axe des abscisses
[OJ] sur l’axe des ordonnées
Particularité des repères :
Si les 2 axes ne sont pas perpendiculaires alors le repère est appelé repère
quelconque
J
0 I
13 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Si les 2 axes sont perpendiculaires et alors le repère est appelé repère
orthogonal
J
O I
Si les 2 axes sont perpendiculaires et alors le repère est appelé repère
orthonormal
J
O I
Nous allons étudier la courbe appelée caractéristique intensité-tension d’une lampe
halogène. L’intensité I, en ampères, est portée en abscisses ; la tension U, en volts, est
portée en ordonnées.
1. Lecture de l’ordonnée d’un point de la courbe connaissant son abscisse
Ouvrir le fichier « lecture_ordonnee_abscisse.ggb ».
Donner les abscisses de A,B,C, D,E :
Donner les coordonnées de F,G,H,I,J :
Que remarque-t-on ?
Travaux pratiques 1 : Utilisation de Géogébra
14 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
2. Lecture de l’abscisse d’un point de la courbe connaissant son ordonnée
Donner les ordonnées de A,B,C,D,E :
Donner les coordonnées de K,L,M,N, :
Que remarque-t-on ?
3. Donner les coordonnées de A,B,C,D,E
15 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Travaux dirigés 1 : Repérage sur des axes
16 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
Exercice 3 :
A.
17 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique
B.
Compléter le tableau à l’aide du graphique ci-contre :
18 Unite 1 : Repérage
B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique