Post on 26-Jul-2015
1 | P á g i n a
ROSARIO GARNICA OLIVERA.
LICENCIATURA EN TECNOLOGIA EDUCATIVA.
1° CUATRIMESTRE.
PROFESOR: JOSE ANTONIO FERRA CUEVAS.
TRABAJO DE MATEMATICAS: TIPOS DE FUNCIONES Y
SUS GRAFICAS.
FECHA DE ENTREGA: 10/DICIEMBRE/2014
2 | P á g i n a
INTRODUCCION.
A continuación veremos las funciones y sus gráficas. Los tipos de funciones
contienen diferentes tipos de gráficas. En los tipos de funciones veremos
función lineal y su respectiva gráfica, función cuadrática, funciones
polinomiales de grado superior, las funciones exponenciales y las funciones
logarítmicas. Se explicara paso a paso en consiste cada una de las
funciones, al igual que cada una tendrá su respectiva gráfica, con
imágenes para así identificarlas más fácilmente.
3 | P á g i n a
INDICE
FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
CONCEPTO DE FUNCION Pág………4
TIPOS DE FUNCIONES:
a) Funciones lineales y su gráfica.
b) Función cuadrática y su gráfica.
c) Funciones polinomiales de grado
superior y su gráfica.
d) Funciones exponenciales y su
gráfica.
e) Funciones logarítmicas y su
gráfica.
f) Representación grafica de las
diferentes funciones
CONCLUSION.
BIBLIOGRAFIA. Pág………31
Pág…….5-6
Pág……7-8
Pág…….9
Pág……10-12
Pág…..13-14
Pág……….15-29
Pág……….30
4 | P á g i n a
Concepto de función:
Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes de
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda que llamamos imagen o transformado.
A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x)
siendo x la variable independiente.
VARIABLE INDEPENDIENTE: La que se fija previamente.
VARIABLE DEPENDIENTE: La que se deduce de la variable
independiente.
Las funciones son como maquinas a las que se les introduce un
elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa
por f(x).
Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el
cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.
Así f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13
5 | P á g i n a
TIPOS DE FUNCIONES. Función lineal.
En geometría y el álgebra elemental una función lineal es una función
polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en
el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La
constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta
con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta,
y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia
abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥
Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo
también de transformación lineal, en el contexto de algebra lineal.
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:
𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏
Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales
siguientes:
𝑦 = 0, 5 + 2
6 | P á g i n a
En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de
la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad
entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta
el eje y en el punto y= 2.
En la ecuación:
𝑦 = −𝑥 + 5
La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor
de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el
corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la
recta con el eje de las x a través de la expresión:
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 θ
La función lineal es del tipo:
𝑦 = 𝑚𝑥
Su grafica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas.
X = 0 1 2 3 4 Y = 2 x 0 2 4 6 8
7 | P á g i n a
Función cuadrática.
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es
una función polinómica definida por:
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Con 𝑎 ≠ 0.
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de
simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que
cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de
la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y
cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo
(es decir, la parábola se abre "hacia abajo").
El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en
campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su
integral indefinida es una familia de funciones cubicas.
Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables
según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio
analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una
interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.
8 | P á g i n a
Forma desarrollada
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma
estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado,
escrito convencionalmente como:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Con: 𝑎 ≠ 0.
Forma factorizada: Toda función cuadrática se puede escribir
en forma factorizada en función de sus raíces como:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥2)
Siendo a el coeficiente principal de la función, y 𝑥1 𝑦 𝑥2 y las
raíces de 𝑓 (𝑥) . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a
0 entonces 𝑥1 = 𝑥2 por lo que la factorización adquiere la
forma:
𝑓 (𝑥) = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1)²
En este caso a 𝑎 𝑥1 se la denomina raíz doble, ya que su orden
de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las
soluciones son complejas, no cabe la factorización.
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el
cuadrado de un binomio de la siguiente manera:
𝑓 (𝑥) = 𝑎 (𝑥 − ℎ)² + 𝑘.
Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las
coordenadas del vértice de la parábola.
9 | P á g i n a
Funciones polinomiales de grado superior.
Funciones polinomiales de grado superior
Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de
una función polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1
x+a0 donde n es un número real entero no negativo al igual que
cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay a0.
El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o
sea, an, es su coeficiente principal.
Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función de
grado 0 y se llama función constante.
Si n=1 la función polinomial es de primer grado y se llama función
lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)= a1x+a0;
donde a1 es diferente de cero.
Los ceros de una función polinomial
Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que
son la solución de la ecuación f(x)=0.Teorema del residuo
Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta obtener un residuo
en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual
P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el
coeficiente y por r el residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r.
10 | P á g i n a
Función exponencial.
La función exponencial es del tipo:
𝑓 (×) = 𝑎ˣ
Sea a un número real positivo. La función que a cada
número real x le hace corresponder la potencia a x se
l lama función exponencial de base a y exponente x .
Ejemplos 𝑓 (×) = 2ˣ
X y= 2ˣ
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
11 | P á g i n a
La función exponencial es conocida formalmente como
la función real ex, donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de
definición el conjunto de los números reales, y tiene la
particularidad de que su derivada es la misma función. Se
denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la
base de los logaritmos naturales y corresponde a la función
inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es
del tipo exponencial en base a si tiene la forma
𝐸 (×) = 𝑘 ∙ 𝑎ˣ
Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico
de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que
utilicen.
12 | P á g i n a
La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las
siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una
constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
exp(𝑥 + 𝑦) = exp (𝑥) ∙ exp (𝑦)
exp(𝑥 − 𝑦) = exp(𝑥) /exp (𝑦)
exp(0) = 1
13 | P á g i n a
Funciones logarítmicas.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la
exponencial en base a.
𝑓(𝑥) = log 𝑥
𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f
(x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta
de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que:
loga x = b Û ab = x.
14 | P á g i n a
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de
las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el
cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica
corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales,
luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en
cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1
y decreciente para a < 1
15 | P á g i n a
Gráficas.
Representa gráficamente las siguientes funciones
1. Lineales
a) Gráfica 1
b) Gráfica 2
16 | P á g i n a
c) Gráfica 3
d) Gráfica 4
e) Gráfica 5 a)
17 | P á g i n a
e) Gráfica 5 b)
f) Gráfica 6
18 | P á g i n a
2. Función cuadrática
a) Gráfica 7
b) Gráfica 8
19 | P á g i n a
c) Gráfica 9
d) Gráfica 10
20 | P á g i n a
e) Gráfica 11
f) Gráfica 12
21 | P á g i n a
3. Polinomiales de grado superior
1. Gráfica 13
2. Gráfica 14
22 | P á g i n a
3. Gráfica 15
4. Gráfica 16
5. Gráfica 17
23 | P á g i n a
6. Gráfica 18
7. Gráfica 19
8. Gráfica 20
24 | P á g i n a
4. Racionales
a) Gráfica 21
b) Gráfica 22
25 | P á g i n a
c) Gráfica 23
d) Gráfica 24
26 | P á g i n a
5. Funciones exponenciales
7. Gráfica 25
8. Gráfica 26
27 | P á g i n a
9. Gráfica 27
10. Gráfica 28
28 | P á g i n a
6. Funciones logarítmicas
7. Gráfica 29
8. Gráfica 30
29 | P á g i n a
9. Gráfica 31
10. Gráfica 32
30 | P á g i n a
Conclusión.
En este pequeño trabajo conocimos varias de las funciones y sus
diferentes tipos de gráficas, cada función contiene su propia
gráfica, hablamos de la función cuadrática, logarítmica,
exponencial esas son las que más recuerdo.
Con esto estamos aprendiendo un poco más sobre las gráficas
de las diferentes funciones y así mismo aprender a graficarlas
porque en este trabajo leímos y graficamos todos estos tipos de
gráficas, además de saber cuál es la definición de cada
gráfica, aprendimos a graficarlas cada una diferente a la otra.
31 | P á g i n a
BIBLIOGRAFIA.
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm
http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html
https://prezi.com/qkzhcxdmk2hx/funciones-polinomiales-de-
grado-superior/
http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica
32 | P á g i n a