Post on 08-Feb-2018
Teoria Sygnałów
III rok Informatyki Stosowanej
Wykład 8
Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych – okna
widmowe (cd poprzedniego wykładu)
N = 512;
T = 1.24; %czas trwania sygnału w sekundach
dt = T/N; %próbkowanie w dziedzinie czasu [s]
fx1 = 10; % częstotliwość pierwszego sygnału [Hz]
fx2 = 25; % częstotliwość drugiego sygnału [Hz]
Poniższe okna mają listki boczne znacznie mniejsze iż listki okna prostokątnego ale listek główny mają również szerszy. Jednoczesna minimalizacja amplitudy listków bocznych i zwężania listka głównego nie jest niestety możliwa.
Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych – okna
widmowe (cd poprzedniego wykładu)
Podstawowe funkcje okien nieparametrycznych, ich widma amplitudowe i parametry.
Przeciek widma Względne tłumienie listków bocznych szerokość listka głównego (-3dB)
9.12% Asl = -13.2dB ∆ml = 0.054688
Parametry Asl i ∆ml decydują o rozdzielczości analizy częstotliwościowej.
Okno trójkątnePrzeciek widma = 0.28%
Względne tłumienie listków
bocznych = -26.6dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.039063
Okno BartlettaPrzeciek widma = 0.28%
Względne tłumienie listków
bocznych = -26.5dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.039063
Okno HanningaPrzeciek widma = 0.03%
Względne tłumienie listków
bocznych = -35.9dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.042969
Okno HannaPrzeciek widma = 0.05%
Względne tłumienie listków
bocznych = -31.5dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.042969
Okno HammingaPrzeciek widma = 0.03%
Względne tłumienie listków
bocznych = -42.5dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.039063
Okno BlackmanaPrzeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -58.1dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.050781
Okna parametryczne:-Czebyszewa (Dolpha-Czebyszewa) – jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano szerokość listka głównego przy ograniczeniu wysokości maksymalnej listka bocznego, przy stałej długości sygnału.
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
>
≤=
=
=⇒==−=⇒=
−=≤≤−
+=++ ∑
=
−
1xarccosh1-Ncosh
1xarccos1-Ncos
1arccosh
1-N
1cosh
dB60001.0dB40log2001.0
2/12
coscos21
1
10
1
1
x
xxT
AA
NMMmMN
km
N
kTCMmw
N
M
k
NC
γβ
γγγ
ππβ
γ
C – stała dobierana tak by środkowa próbka okna była =1.
Listek główny widma najwęższy spośród okien o jednakowej długości. Energia w paśmie przepustowym mała a w zaporowym duża. Listek główny ma małą energię i jest cienki.
Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -100dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.054688
Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.02%
Względne tłumienie listków
bocznych = -50dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.039063
Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -100dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.056641
Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -200dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.078125
-Okno Kaisera – jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano szerokość listka głównego przy stałym procentowo udziale energii listków bocznych w całkowitej energii widma, przy stałej długości sygnału.
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )2
1
0
0
0
2
0
!
21
10
21
211
∑∞
=
+=
−−≤≤
−
−−−
=
k
k
K
k
xxI
INmI
N
NnI
mw ββ
β
Funkcja Bessela rzędu zerowego
Okno Kaisera ββββ=8Przeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -58.3dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.046875
Okno Kaisera ββββ=16Przeciek widma = 0.00%
Względne tłumienie listków
bocznych = -122dB
szerokość listka głównego
(-3dB) = 0.066406
Powiązanie parametrów β i N z parametrami analizy częstotliwościowej Asl i ∆ml
( ) ( )( )
[ ] ( )1
155
1224,
dB1200dB6dla3.612438.0
dB60dB26.13dla26.1309834.026.130.76609
dB26.13dla04.0
+∆
+==
<<+
<<−+−
<
=
ml
sl
slsl
slslsl
sl
AKKN
AA
AAA
A
π
β
Sekwencja częstotliwościowego przetwarzania sygnałów
Celem procesu jest obliczenie widma sygnału ciągłego na podstawie skończonej ilości próbek sygnału.
Filtracja LP (P&P) A/CxLP(t)
2. Dyskretyzacja w czasie, kwantyzacja i kodowanie – przez układ próbkowania z podtrzymywaniem (P&P) i przetwornik A/C.
DFTx(t) x[n]
w[n]
xw[n] Xw[k]
1. Filtracja dolnoprzepustowa – użycie filtru „antyaliasingowego”
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωτττ HXXdthxtxLPLP =−= ∫
∞
∞−
,
Ponieważ filtr h(τ) nie jest filtrem idealnym sygnały x(t) i xLP(t) w paśmie przepustowym różnią się od siebie.
3. Wymnożenie sygnału przez funkcję okna
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )∫−
ΘΘ−ΩΘΩ Θ=∞<<∞−⋅=π
ππ
deeWeXeXnnwnxnxmiiii
ww2
1
3. Obliczenie dyskretnej transformacji Fouriera (czyli spróbkowanie widma ciągłego w
punktach Ωk=k2πk/N:
( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ] 1,,2,1,01
0
2
−==== ∑−
=
−
Ω
ΩNkenxnxDFTkXeXkX
N
n
knN
i
www
j
wk
K
π
Przykład analizy częstotliwościowej w celu detekcji słabego sygnału harmonicznego.
Rozważmy dwie sinusoidy o następujących parametrach:A1=1 f1=1HzA2=0.001 f2=2Hz
W skali decybelowej różnica pomiędzy sygnałami wynosi 60dB.
Okno prostokątne
Okno Bartletta (trójkątne)
Okno Hanninga
Okno Hamminga
Okno Kaisera modelujemy je tak by Asl=80dB zaś ∆ml=0.4.
Okno Blackmana
Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej
( )∫∞
∞−
∗ −== τττϕϕ dtggtt ggg )()()(
Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji:
Funkcja autokorelacji
)()( tt gg −= ∗ϕϕ
Dla funkcji rzeczywistych
)()( tt gg −= ϕϕ
( )∫∞
∞−
= ττϕ dgg
2)0(
)0()( gg ϕτϕ ≤
Jeśli dla pewnego t0
to sygnały g(t) i g(t-t0) są ortogonalne.
0)( 0 =tgϕ
Podstawowe własności
Definicja widma energii sygnału – kwadrat widma amplitudowego:
( ) ( ) ( ) 22 ωωω XAxx ==Φ
Widmo energii sygnału i funkcja autokorelacji sygnału tworzą parę transformat Fouriera:
( ) ( ) ( ) ( ) ωωπ
τϕττϕω ωτωτdede
i
xx
i
xx ∫∫∞
∞−
∞
∞−
− Φ==Φ2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ωτ
ωτωτ
ωτ
ωωπ
ωωωπ
ττϕ
i
iiRayleighaTw
x
eXtx
deXdeXXdttxtx
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−∗
∞
∞−
∗
=−ℑ
==−= ∫∫∫gdyż
2
1
2
1 2.
Dowód:
Energię sygnału można obliczyć: •w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,
•w dziedzinie korelacyjnej, jako ϕx(0),
•w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez 2π.
( ) ( ) ( ) ωωπ
ωωπ
ϕ ddE xxxx ∫∫∞∞
∞−
Φ=Φ==0
1
2
10
Π
Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.
Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.
x(t) X(ω)
( )∫∞
∞−
∗ − τττ dtxx )(
ϕx(t) Φx(ω)
( ) 2ωX
1−ℑ
1−ℑ
ℑ
ℑ
( )
max
0
x
x d
ef Φ
Φ
=∆∫∞
ωω
ω
Efektywny czas korelacji. Efektywna szerokość widma
( )
( )0
0
x
x
t
dtt
ef ϕ
ϕ∫∞
=∆
Zasada nieoznaczoności const=∆∆efeft ω
Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje
monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.
Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej
szerokości widma.
Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi). Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
( )∫−
∗
∞→−=
T
TT
g dtggT
t τττψ )(2
1lim)(
Dla sygnału okresowego definicja jest następująca:
( )∫+
∗ −=
Tt
t
g dtggT
t0
0
)(1
)( τττψ
•Wartość funkcji autokorelacji ψg(t) sygnału o ograniczonej mocy w punkcie t=0 jest
rzeczywista i równa jego mocy.
•Funkcja autokorelacji ψg(t) przybiera maksymalną co do modułu wartość dla t=0.
•Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność. •Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy posiada transformatę Fouriera w sensie granicznym.
•Funkcja autokorelacji ψg(t) jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. ψg(t)=ψg(t+t0) dla
dowolnego t0. •Funkcja autokorelacji sygnału okresowego jest również okresowa o tym samym okresie.
Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres sygnału harmonicznego i nie zależy od jego fazy początkowej . Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie sygnału.
Π