Teoria sygnałów - ATAM
144
Teoria sygnałów ID II semestr zimowy 30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych Henryka Danuta Stryczewska INSTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTROTECHNOLOGII
Transcript of Teoria sygnałów - ATAM
Teoria sygnałów
ID II semestr zimowy
30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych
Henryka Danuta Stryczewska
INSTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTROTECHNOLOGII
2
Program wykładów1. Wprowadzenie. Literatura. Wiadomości organizacyjne.
Podstawowe pojęcia teorii sygnałów. Sygnały i systemy analogowe i cyfrowe. Cele analizy sygnałów. Przetwarzanie sygnałów. Przykłady sygnałów i systemów.
2. Klasyfikacja sygnałów. Sygnał mocy i sygnał energii. Przykłady. Transformacje sygnałów w dziedzinie czasu. Sygnały okresowe i prawie okresowe. Modulacja amplitudy, fazy i częstotliwości sygnału.
3. Parametry sygnałów deterministycznych - wartość średnia, skuteczna. Sygnały zespolone. Rozkład sygnałów na składowe. Przykłady wybranych sygnałów deterministycznych. Podstawowe zagadnienia występujące w cyfrowej obróbce sygnałów. Moc i energia sygnałów.
4. Sygnały dystrybucyjne. Właściwości dystrybucji Diraca. Inne sygnały dystrybucyjne.
3
5. Sygnały wykładniczy i harmoniczny. Ciągły sygnałwykładniczy zespolony i jego przypadki. Wyższe harmonicznych sygnału ciągłego. Dyskretny sygnałwykładniczy zespolony i jego przypadki. Warunek okresowości sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego. Porównanie sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego.
6. Systemy czasu ciągłego i dyskretnego. Przykłady systemów. Schemat blokowy. Połączenia systemów. Systemy ze sprzężeniem zwrotnym- przykład. Podstawowe właściwości systemów. Systemy liniowe stacjonarne LTI. Równania różniczkowe i różnicowe opisujące układy LTI- przykłady rozwiązań.
7. Analiza w dziedzinie czasu systemów LTI. Obliczanie odpowiedzi systemu LTI ciągłego i dyskretnego na dowolny sygnał na podstawie jego odpowiedzi czasowej na sygnałimpulsowy. Przykłady. Systemy o skończonej (FIR) i nieskończonej (IIR) odpowiedzi impulsowej.
4
8. Badanie właściwości systemów LTI na podstawie ich odpowiedzi impulsowej. Niewyprzedzalne systemy LTI opisane równaniami różniczkowymi i różnicowymi o stałych współczynnikach – konstruowanie schematów blokowych dla systemów pierwszego rzędu.
9. Odpowiedź liniowego układu stacjonarnego na sygnałzespolony - pojęcie funkcji własnej i wartości własnej systemu LTI. Szereg Fouriera sygnałów ciągłych okresowych. Warunki Dirichleta. Wzór Parsevala. Przykłady.
10. Szereg Fouriera sygnałów okresowych dyskretnych. Wyznaczanie współczynników szeregu Fouriera sygnału dyskretnego, przykłady. Właściwości dyskretnego szeregu Fouriera. Wzór Parsevala dla sygnału okresowego dyskretnego. Szeregi Fouriera a systemy LTI- odpowiedźczęstotliwościowa.
11. Filtracja sygnałów. Przykłady filtrów sygnałów ciągłych. Filtry sygnałów dyskretnych opisywane równaniami różnicowymi. Przykłady.
5
12. Przedstawienie sygnałów nieokresowych: dyskretna transformata Fouriera. Problemy zbieżności dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera sygnałów periodycznych. Wybrane właściwości dyskretnego przekształcenia Fouriera. Zależność Parsevala. Właściwości splotu.
13. Własność powielania. Zestawienie właściwości i podstawowych transformat Fouriera. Dualizm: dyskretnego szeregu Fouriera, między dyskretną transformatą Fouriera a ciągłym szeregiem Fouriera.
14. Próbkowanie sygnałów. Próbkowanie sygnału ciągłego. Twierdzenie o próbkowaniu. Częstotliwość Nyquista.
15. Rekonstrukcja sygnału na podstawie jego próbek. Wybrane zagadnienia próbkowania sygnału dyskretnego.
6
Koncepcja sygnału Pojęcie sygnału wykorzystywane jest w wielu dziedzinach
nauki i technologii: • telekomunikacja, • astronomia, • teoria i projektowanie obwodów, • sejsmologia, • inżynieria biomedyczna, • generacja i przesył energii, • sterowanie procesami chemicznymi, • obróbka dźwięków, • rozpoznawanie mowy, • rekonstrukcja obrazów, • nauki społeczne i ekonomiczne, ekonometria, bankowość
7
Zastosowania przetwarzania sygnałów
badanie zachowania się systemów za pomocąanalizowania ich odpowiedzi na różne rodzaje sygnałów wejściowych
projektowanie systemów do obróbki sygnałów –należą tu: systemy do odzyskiwania sygnałów, które zostały z jakiegoś powodu zakłócone, zaśmiecone, rekonstruowanie obrazów, np. wnętrza zbiornika z paliwem, czy odległej gwiazdy
8
projektowanie systemów do analizy sygnału wejściowego, z którego wyprowadza się żądane informacje.
Przykłady:
- rynek finansowy (analizując jego zachowania i trendy w przeszłości można wyciągnąć informacje dotyczące prawdopodobnych zachowań w przyszłości), - elektrokardiogram (analizując zapis pracy serca stawiamy diagnozę o jego stanie)
modyfikacja i sterowanie parametrami systemu, np. na drodze odpowiedniego doboru sygnałów wejściowych lub zastosowanie specjalnego systemu. Ważnym zagadnieniem w tej klasie zastosowań jest pojęcie sprzężenia zwrotnego.
9
Szeroką dziedziną zastosowań, w której pojęcie sygnału i jego obróbki oraz związane z tym zagadnienia są niezwykle istotne, jest telekomunikacja.
Należą tu takie problemy jak: • konstruowanie sygnałów o szczególnych
właściwościach, np. o częstotliwości zapewniającej możliwość jego przesyłania na dalekie odległości,
• filtrowanie sygnałów, • modulacja i demodulacja, • transmisja danych do wielu urządzeń jednym kanałem
transmisyjnym (tzw. multipleksowanie w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości oraz de-multipleksowanie).
10
Przykładowy system przetwarzania sygnałów
11
Operacje na sygnałach
Główna cechą sygnału jest to, że niesie on informacje o zachowaniu systemów i naturze zjawisk.
Obecnie wielokrotnie musimy dokonywać przekształceń sygnałów z analogowych na dyskretne i na odwrót. Proces przechodzenia z sygnału analogowego na cyfrowy nazywamy dyskretyzacją i odbywa się za pomocą tzw. próbkowania a proces odwrotny uciąglaniem sygnału i do tego wykorzystujemy aproksymację.
12
Najbardziej znany przykład dyskretyzacji systemów ciągłych, to numeryczne rozwiązywanie równań, w których wszystkie operacje
wykonywane są na sygnałach cyfrowych (np. operacje różniczkowania zastępujemy różnicami skończonymi).
Współcześnie, ponieważ dysponujemy wysokiej klasy systemami cyfrowymi (mikroprocesorami), wszelkie operacje dotyczące obserwacji i sterowania systemami odbywają się w dziedzinie dyskretnej.
Znacznie łatwiej prowadzić obserwacje i sterowanie systemem w dziedzinie dyskretnej niż ciągłej.
Proces uciąglania prowadzimy w celu znalezienia bardziej ogólnych prawidłowości rządzących systemami.
13
Sygnał może być funkcja wielu zmiennych i zwykle jest, np. obraz(nieruchomy - f. współrzędnych prostokątnych, ruchomy jw. + czas), aleomawiać będziemy tylko sygnały jednej zmiennej niezależnej i będziemy przez tę zmienną rozumieć czas: ciągły t, bądź dyskretny n.
Sygnał możemy przedstawić w postaci graficznej oraz za pomocą funkcji analitycznej. Zawsze jeśli sygnał jest opisany analitycznie, można go przedstawić w postaci graficznej. Sygnał otrzymany graficznie, np. na ekranie oscyloskopu lub jako wynik obliczeń numerycznych, aproksymujemy aby mieć jego analityczną postać.
a) b)
x(t)
0 t
x[n]
3
n
21 4-1 0 -2
14
Podział sygnałów
Wśród sygnałów ciągłych wyróżniamy:
• Ograniczone co do wartości, to takie których wartości liczbowe w całym zakresie zmiennej niezależnej n nie przekraczają pewnej liczby
• O skończonym czasie trwania, do których zaliczymy sygnały różne od zera w ograniczonym przedziale czasu oraz równe zeru dla czasu spoza tego przedziału
• O ograniczonym widmie, to zbiór sygnałów, których widmo X(jw) jest ograniczone pewną stałą W.
Widmo sygnału - transformata Fouriera sygnału x[n]
15
Sygnał dyskretny może mieć skończona lub nieskończonądługość. Sygnał dyskretny o skończonej długości zawiera się w przedziale od N1 do N2, przy czym N2 >N1. Czas trwania sygnału wyznaczamy jako: N=N2-N1+1.
Sygnały dyskretne dzielimy na:
• Sygnały kwantowane w pionie
• Sygnały kwantowane w poziomie
• Sygnały cyfrowe
x(t)
t
0 t
0 t
0 t
Sygnał kwantowany w pionie Sygnał kwantowany w poziomie
Sygnał cyfrowy
16
Dyskretyzacja sygnału
17
Energia sygnału
∑∑
∫∫∞+
−∞=
+
−=∞→∞
∞
∞−−∞→∞
==
==
n
N
NnN
def
T
TT
def
]n[x]n[xlimE
dt)t(xdt)t(xlimE
22
22
18
Moc sygnału
∑
∫
+
−=∞→∞
−∞→∞
+=
=
N
NnN
def
T
TT
def
]n[xN
limP
dt)t(xT
limP
2
2
121
21
19
Moc sygnału okresowego
dt)t(xT
P
,]n[xN
P
T
T
N
nN
∫
∑
=
=−
=
0
2
1
0
2
1
1
20
Sygnał mocy i energii
• Sygnały o skończonej energii, E<∞. Takie sygnały muszą miećzerową moc średnią - sygnał energii. Przykładem sygnału o skończonej energii i zerowej mocy jest sygnał bramki.
• Sygnały o skończonej mocy średniej i nieskończonej energii. Jeśli sygnał niesie niezerową moc średnią, to w nieskończonym przedziale czasu uzyskamy nieskończoną ilość energii. Przykładem takiego sygnału jest każdy sygnał stały oraz sygnały okresowe - sygnał mocy, np. sygnał stały x[n]=4, którego moc średnia wynosi 16, zaśenergia jest nieskończenie duża.
• Sygnały, których moc i energia mają w nieskończonym przedziale czasu nieskończoną wartość.
21
Zależności przydatne przy wyznaczaniu parametrów sygnałów dyskretnych
• suma skończonego szeregu sygnału wykładniczego, a - liczba zespolona
∑−
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠αα
α
=α=α
1
0 1
1N
n
nN
-1-1
dlaN ( )∑ ∑
=
+
=
αα
=α+N
k
N
k
kk
ddk
0
1
01
• suma nieskończonego szeregu sygnału wykładniczego
1<α( )
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
α−α
=α
α−α
=α
α−=α
kn
kn
n
n
n
n
n
1
1
11
02
0
22
Parametry sygnałów deterministycznych
Średnia bieżąca
Wartość średnia sygnału okresowego
Wartość średnia całego sygnału
Wartość średnia w przedziale czasu
Sygnał dyskretny x[n]Sygnał ciągły x(t)Parametr
( )∫−=
2
112
1 t
t
dttxtt
x
( )∫τ+
τ−∞→τ τ
= dttxx21lim
( ) okres, −= ∫+
TdttxT
xTt
tT
o
o
1
( ) ,∫+
−
ττ=Tt
Ttt dx
Tx
21
∑=+−
=2
11
112
n
nn
nxnn
x ][
∑−=
∞→ +=
N
NnNN nxN
x ][lim12
1
∑+
−=+=
Nn
Nnkn kx
Nx ][
121
( )okres,][ −= ∑
−+
=
NnxN
xNn
nn
o
o
11
23
Parametry sygnałów deterministycznych
Wariancja sygnału
Wartość skuteczna sygnału okresowego
Wartość skuteczna całego sygnału (wartość średniokwadratowa)
Wartość skuteczna w przedziale czasu
Sygnał dyskretny x[n]Sygnał ciągły x(t)Parametr
( )∫−=
2
1
2
12
1 t
t
dttxtt
X
( )∫τ+
τ−∞→τ τ
= dttxx 22
21lim
( )[ ]∫τ
τ−∞→τ
τ−ττ
=σ dxxx2
21lim
∑=+−
=2
1
2
12
2
11 n
nnnx
nnx ][
∑−=
∞→ +=
N
NnNnx
Nx ][lim 22
121
[ ]∑−=
∞→−
+=σ
N
NnNx xnxN
2
121 ][lim
( )
∑−+
=
=121 Nn
nn
o
o
nxN
X ][( )∫+
=Tt
t
o
o
dttxT
X 21
24
Transformacje sygnału w dziedzinie zmiennej niezależnej
• Przesunięcie w czasie, zwane przesunięciem fazowym –sygnały opóźnione i wyprzedzające (y[n]=x[n-no] – w zależności od znaku no system wprowadza opóźnienie -no>0 lub przyspieszenie no<0)
• Odwrócenie sygnału w dziedzinie czasu (odbicie względem początku układu współrzędnych) y[n]=x[-n]
• Skalowanie sygnału w dziedzinie czasu (x[2n] – sygnałskompresowany, x[n/2] – sygnał rozciągnięty
W ogólnym przypadku transformacji sygnału obejmującym trzy powyższe operacje zapiszemy: x[an+b], gdzie dla |a|>1 otrzymamy sygnał liniowo skompresowany (ściśnięty), dla 0<|a|<1 sygnał liniowo rozciągnięty w czasie, dla a<0 uzyskamy odwrócenie sygnału w czasie; wartość i znak b decydują o przesunięciu fazowym sygnału.
25
Przykłady transformacji sygnałów
26
Sygnał parzysty i nieparzysty
27
Przykłady sygnałów deterministycznych analogowych i ich równania
• Sygnały impulsowe o ograniczonej energii
28
• Sygnały o nieskończonym czasie trwania i o ograniczonej energii
29
• Sygnały o ograniczonej mocy średniej - nieokresowe
30
• Sygnały o ograniczonej mocy średniej okresowe
31
32
• Sygnały zmodulowane
ka, kf,kφ, - głębokość modulacji, ωo- częstotliwość nośna,
33
Sygnały okresowe i prawie okresowe
x(t)=sin(2π5t) x(t)=sin(2π5t)+sin(2π10t)
x(t)=sin(2π5t)+0,2sin(2π25t) x(t)=sin(2π5t)+sin(2π(π)t)
34
Sygnały zmodulowane
x(t)=exp[-20(t-0,5)2] sin(2π10t) x(t)=exp(-5t) sin(2π10t)
x(t)=sin[2π(10t2)] x(t)=sin[2π(10t+(10/2π2)sin2π2t)]
35
Sygnały dystrybucyjne
• Impuls Diraca (delta Kronekera)
• Ciągi aproksymujące dystrybucję Diraca
• Związek impulsu Diraca z sygnałem skoku jednostkowego
( ) ( ) 10
=δ⎩⎨⎧
=∞≠
=δ ∫+∞
∞−
dttt ,0tdla0tdla
( ) ( )
( ) 2
2
10
τπ
−
→τ
τ=τδ
τδ=δ
t
et
tt
,
,lim
36
Właściwości dystrybucji Diraca
• Mnożenie przez stałą • Zmiana skali
( )∫+∞
∞−
=δ adtta ( ) ( ) ( )ta
attTTt
δ=δδ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛δ
1,
• Parzystość dystrybucji
( ) ( )tt −δ=δ
• Właściwość próbkowania dystrybucji
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ttxtttx
txttxδ=−δ
δ=δ
00
0
37
• Właściwość powtarzania
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00 ttxtttx
txttx
txdtxdtx
−=−δ⊗=δ⊗
=ττδτ−=ττ−δτ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
• Właściwość filtracji
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )00
0
txdttttx
xdtttx
=−δ
=δ
∫
∫∞+
∞−
+∞
∞−
38
Pochodna dystrybucji Diraca
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )∫
∫∞
∞−
∞
∞−
′−=−δ′
=δ′
τδ′=τδ′
00
0
txdttttx
t
tdtdt ,,
39
Parzysta i nieparzysta para dystrybucji
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −δ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +δ=
21
21
21 tttII ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −δ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +δ=
21
21
21 tttII
1/2-1/2
1/2
(t)
1/2
-1/2
1/2
(t)
40
Dystrybucja grzebieniowa (funkcją sza)
0 1-1 2-2 3-3 t
(t)
(t/T)(1/T)
T0
( ) ( )
( ) ( )∑
∑∞+
−∞=
+∞
−∞=
−δ=
δ=
kT
k
kTttIII
ttIII
41
Właściwości dystrybucji grzebieniowej• Właściwość próbkowania
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∑
∑
∞+
−∞=
+∞
−∞=
−δ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−δ+δ++δ−+
+δ−=−δ=
n
n
nTtnTxTtIII
Ttx
txtxtx
txntnxtIIItx
)(
)(
111011
22
K
K
• Właściwość powielania okresowego
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑
∑∞+
−∞=
+∞
−∞=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⊗
++++++++−=−=⊗
n
n
nTtxTtIII
Ttx
txtxtxtxtxntxtIIItx
)(
)()(
1
2123 KKK
42
Dyskretny sygnał impulsowy (próbka)
43
Właściwości dyskretnego impulsu
• Właściwość powtarzania
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnnxknkxnxk
=⊗=−= ∑+∞
−∞=
δδ
• Właściwość przemienności
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−=kk
nknxknkxnx δδ
44
• Właściwość filtracji
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]00
0
nxnnkx
xkkx
k
k
=−
=
∑
∑∞+
−∞=
+∞
−∞=
δ
δ
• Właściwość parzystości
[ ] [ ]nn δδ =−
• Zmiana skali
[ ] [ ]nn δα
αδ 1=
45
Sygnał wykładniczy ciągły i dyskretny
α > 1
0< α <1
-1< α < 0
α < -1
46
Sygnał sinusoidalny
N= 12
N= 31
nieokresowy
x [n] = ejωn
Warunek okresowości
47
Sygnały dyskretne okresowe różnej częstotliwości
48
Sygnały wykładniczy zespolony rosnący i malejące
49
Porównanie sygnału ciągłego i dyskretnego
x [n] = ejωnx (t)] = ejωt
Nieskończenie wiele sygnałów harmonicznych o tym samym okresie (pulsacji) podstawowym
Skończona liczba harmonicznych równa okresowi N
Te same sygnały dla częstotliwości różniących się o 2π
Różne sygnały dla różnych kωo
Okresowy tylko dla ωo=2πm/NOkresowy dla każdej wartości ωo
Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla ωo = ± π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ωo=0 bądź 2πk sygnał, otrzymujemy sygnał stały.
50
Aproksymacja sygnału bramki za pomocą szeregu sygnałów harmonicznych
Sygnał analogowy (efekt Gibbsa) Sygnał dyskretny
51
Podstawowe właściwości systemów
Liniowość systemu(zasada addytywności +homogeniczności =zasada superpozycji)
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]nynyny
nxnxnx
21
21
βαβα
+=+=
Stacjonarność systemu
[ ] [ ][ ] [ ]01
01
nnynynnxnx
−=−=
52
Przyczynowość systemów i sygnałówJeżeli y1[n] i y2[n] są odpowiedziami systemu na sygnały wejściowe odpowiednio x1[n] i x2[n], a ponadto sygnały te dla n<N, są sobie równe to:
System jest przyczynowy jeżeli odpowiedź jego zależy tylko od wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych w przeszłości i w badanej chwili.
Systemy nieprzyczynowe, zwane wyprzedzającymi, to takie, w których wartość sygnału wyjściowego w badanej chwili zależy także od przyszłych wartości sygnału na wejściu. Przykładami takich systemów są:
· systemy, w których zmienną niezależną nie jest czas (np. systemy cyfrowego przetwarzanie obrazów),· systemy w których uśredniamy dane zebrane w pewnym okresie czasu (ceny akcji na giełdzie, dane demograficzne, sygnały meteorologiczne), i w których interesuje nas określenie wolnozmiennych trendów w danych, zawierających także szybkozmienne (często przypadkowe) fluktuacje.
x1[n] = x2[n] dla n<N y1[n] = y2[n] dla n<N
53
Filtr średniej ruchomej rzędu M(jako przykład systemu wyprzedzającego)
System, w którym uśredniamy dane zebrane w pewnym przedziale czasu, aby usunąć przypadkowe (nietypowe dla danego zjawiska) zakłócenia, nazywamy filtrem średniej ruchomej rzędu M (gdzie rząd filtru oznacza uśrednianie na liczbie próbek równej M). Jest to system nieprzyczynowy.
[ ] [ ]∑+
−=
−+
=M
Mkknx
Mny
121
54
Odwracalność systemów
System jest odwracalny, jeżeli jest możliwe znalezienie takiego systemu, który włączony z nim kaskadowo da na wyjściu sygnał wejściowy.
55
Pamięć systemu
System jest z pamięcią, jeżeli potrafi gromadzić wartości sygnału wejściowego i wyjściowego z przeszłości.
Konsekwencja tej właściwości jest to, że w systemach bez pamięci wartość sygnału wyjściowego w chwili n zależy tylko od wartości sygnału wejściowego w tej samej chwili.
Systemy bez pamięci opisane są równaniami algebraicznymi, zaś systemy z pamięcią równaniami różnicowymi.
Przykładami systemów dyskretnych z pamięcią są sumator (akumulator) i filtr średniej ruchomej.
56
Stabilność systemów
|x[n]|<Bx dla każdego n,
|y[n]|<By dla każdego n,
gdzie: Bx i By są dowolnymi skończonymi stałymi.
W literaturze anglojęzycznej określamy , że układ jest stabilny w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output)
57
Analiza systemów liniowych, stacjonarnych w dziedzinie czasu
• relacja między sygnałem wejściowym i wyjściowym• charakterystyki czasowe• równania różnicowe
δ[n] h[n]
s[n]u[n]
Odpowiedzią systemu cyfrowego na sygnał w postaci impulsu Diraca δ[n], nazywamy odpowiedzią impulsową i oznaczamy h[n], zaś odpowiedź systemu na sygnał skoku jednostkowego u[n], oznaczamy przez s[n] i nazywamy odpowiedzią skokową(na skok jednostkowy).
58
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
h[n]x[n] y[n]
Odpowiedź y[n] systemu liniowego stacjonarnego na dowolny sygnał x[n], wyznaczamy znając odpowiedź impulsową h[n]tego systemu, z zależności:
[ ] [ ] [ ]∑+∞
−∞=
−=k
knxkhny
[ ] [ ] [ ]nxnhny ⊗=splot
59
60
61
62
Połączenia systemówKaskadowe, szeregowe
h1[n] h2[n]
Ze sprzężeniem zwrotnymRównoległe
h1[n]
h2[n]
+
+ h1[n]
63
• Odpowiedź impulsowa szeregowo połączonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych równych odpowiednio h1[n] i h2[n] jest równa splotowi odpowiedzi impulsowych:
[ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 ⊗=
• Odpowiedź impulsowa równolegle połączonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych równych odpowiednio h1[n] i h2[n] jest równa sumieodpowiedzi impulsowych:
[ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 +=
64
• Liniowy system stacjonarny jest stabilny jeżeli jego odpowiedź impulsowa jest absolutnie sumowana (ma skończoną sumę):
• Liniowy system stacjonarny jest przyczynowy, (niewyprzedzający) jeżeli jego odpowiedź impulsowa spełnia warunek:
h[k] = 0 dla k<0
[ ] ∞<∑+∞
−∞=n
nh
65
Równania różniczkowe i różnicoweW dziedzinie czasu relacja między sygnałem wejściowym i wyjściowym dla systemu LTI jest opisana liniowym równaniem różniczkowym (dla układu analogowego ) bądź różnicowym (układ dyskretny) N-tego rzędu o stałych współczynnikach, postaci:
LTIx[n] y[n]
( ) ( )
∑∑
∑∑
==
==
−=−
=
M
kk
N
kk
k
kM
kk
N
kk
k
k
knxbknya
dttxdb
dttyda
00
00
][][
(1)
66
Rozwiązanie równania różniczkowego (różnicowego) składa się z rozwiązania równania jednorodnego (rozwiązanie ogólne- odpowiedź swobodna) oraz rozwiązania szczególnego (odpowiedź wymuszona):
( )
0
0
0
0
∑
∑
=
=
=−
=
N
kk
N
kk
k
k
knya
dttyda
][
(2)
Rozwiązanie wymaga podania dodatkowych warunków początkowych. Jeśli system jest liniowy, stacjonarny i przyczynowy to możemy zapisać:
( )[ ] [ ] 00
00
0000
nnnynnnx
tttytttx
≤=⇒≤=
≤=⇒≤=
dladla
dladla)(
67
Dla układów liniowych stacjonarnych i przyczynowych odpowiedź systemu y(t)/y[n] dla czasu t>t0 (n>n0) można zatem wyznaczyć z równań (1) dla następujących warunków początkowych:
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] 01
0
000
10
10
0
=−==−=
==== −
−
Nnynynydt
tdydt
tdyty N
N
K
K
Równania (1) można zapisać w postaci:
( ) ( ) ( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∑∑
∑∑
==
==
N
kk
M
kk
N
kk
k
kk
kM
kk
knyaknxba
ny
dttyda
dttxdb
aty
100
100
1
1
][][][
,
które dla przypadku równania różnicowego nazywamy równaniem rekurencyjnym - wartości sygnału wyjściowego w czasie n zależą od wartości wejścia i wyjścia w tym czasie i w chwilach wcześniejszych.
68
Dla N=0, równania upraszczają się do postaci:
( ) ( )
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤=
−=
=
∑
∑
=
=
0
00
0 0
0 0
Mnab
nh
knxabny
dttxd
abty
n
M
k
k
k
kM
k
k
dla
][][
równanie różnicowe dla N=0 nazywamy równaniem nierekurencyjnym - dla wyznaczenia wartości sygnału wyjściowego w czasie n wystarczy znajomość wartości sygnału wejściowego w czasie n i w chwilach wcześniejszych.
Systemy opisane równaniem rekurencyjnym mają odpowiedź impulsową nieskończoną - systemy NOI, zaś systemy opisane równaniem nierekurencyjnym - systemy SOI mają skończoną odpowiedź impulsową.
Gdy N≥1, równanie jest nierekurencyjne i wymaga do rozwiązania warunków początkowych, których liczba określona jest rzędem równania.
69
Elementy schematów blokowych
Element opóźniający Element całkujący i różniczkujący
∫x(t)dtz-1
x[n] x[n-1] x(t)∫
Dx(t) dx(t)/dtElement mnożący
ax[n] a x[n]
x(t) a x(t)
70
Schemat blokowy równania różnicowego
][][][ nbxnayny =−+ 1
z-1
+x[n]
y[n-1]
-ay[n-1]b
-a
bx[n]
y[n]
71
Schemat blokowy równania różniczkowego ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ττ−τ+=
=+
∫t
t
aybxtyty
tbxtaytty
0
0 d
dd
x[t]+
-ay(t)
b
-a
bx[t]
∫y(t)
72
Przykład:Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego opisanego równaniem różniczkowym I rzędu:
na sygnały: skoku jednostkowego, impulsowy, wykładniczy
przy założeniu, że dla t<0, y(0)=0
( ) ( ) ( )txtydt
tdy=+ 2
73
74
Przykład:Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego opisanego równaniem różnicowym I rzędu
na sygnał impulsowy:
którym y[-1]=0
][][][ nxnyny =−− 121
,][][ nKnx δ=
75
Rozwiązanie równania ma postać:
Knynxny
Kyxy
Kyxy
Kyxy
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
=−+=
211
21
211
2122
210
2111
12100
2
1
][][][
][][][
][][][
][][][
M
a odpowiedź impulsowa: ][][ nunhn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=21
76
Przekształcenia całkowe: Laplace'a , transformacja Z, przekształcenie Fouriera
Metody analizy sygnałów polegające na zastąpieniu równań różniczkowych (różnicowych) opisujących relacje wejście -wyjście równaniami algebraicznymi wykorzystują przekształcenia: Laplace'a jednostronne i dwustronne (sygnały analogowe), Laurenta , Fouriera i inne.
W równaniach różniczkowych i różnicowych występują sygnały jako funkcje argumentu rzeczywistego t(n). Takie funkcje czasu nazywamy oryginałem lub funkcją oryginalną.Ich odpowiednik w dziedzinie zmiennej zespoonej
77
Każdej funkcji rzeczywistej czasu f(t) można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej s=σ+jω, którą nazywamy parametrem zespolonym. Funkcję tę nazywamy transformatą funkcji czasu lub obrazemfunkcji czasu w zbiorze liczb zespolonych, oznaczamy przez F(s)i wyznaczamy z zależności:
dsesFj
tf
dtetfs
stjc
jc
st
∫
∫∞+
∞−
∞
∞−
−
π=
=
)()(
)()(
21
F przekształcenie proste
przekształcenie odwrotne
w którym c - liczba rzeczywista dodatnia nie mniejsza od odciętej zbieżnościtransformaty, c≥σ
78
Przekształcenie Laplace'a proste i odwrotne oznaczamy jako:
[ ][ ])()(
)()(sFLtf
tfLs1
F−=
=
Zestawienie oryginałów i transformat Laplace'a wybranych funkcji spotykanych w teorii sygnałów i systemów przedstawiono w tablicy
79
1( )tδ
)(tAusA
as ±1ate m
tωsin22 ω+
ωs
22 ω+ss
tωcos
21st
( )21as +
atte −
80
Podstawowe wzory i twierdzenia
Twierdzenie 1: (o liniowości):
)()()()()()( sbGsaFtgbLtfaLtbgtafL +=+=+
Twierdzenie 2: (o podobieństwie, zmianie skali):
01>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= a
asF
aatfL ,)(
Twierdzenie 3: (o przesunięciu zespolonym):
( ) stala dowolna,)( −−= kksFtfeL kt
81
Twierdzenie 4 :(o opóźnieniu-przesunięciu rzeczywistym):
)()( sFehtfL sh−=−
Twierdzenie 5 :(graniczne): Jeżeli F(s)=Lf(t) oraz a) jeżeli istnieje granica prawostronna:
to:
b) jeśli wszystkie bieguny funkcji F(s) znajdują się w obszarze Ω, dla dowolnie małego ε>0, to:
)(lim)( tfft 00
0→<
+ =
)(lim)( ssFfs ∞→
+ =0
)(lim)(lim)( ssFtffst 0→∞→
==∞
! Uwaga, jeśli bieguny funkcji F(s) leżą na osi urojonej (ε=0), to twierdzenie nie obowiązuje - istnienie granicy F(s) nie zawsze oznacza istnienie granicy f(t)
82
Twierdzenie 6 (o transformacie funkcji okresowej): jeżeli f(t) jest funkcja okresową o okresie T, to:
gdzie: FT(s) jest transformatą funkcji f(t) za okres.
( )
( ) dttfsF
sFtfL
stT
T
sTT
−
−
∫=
−=
e)(
e)(
0
1
Twierdzenie 7 (o transformacie pochodnej):
( ) ( )++
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= 00 fssF
sfsFstfL )()()('
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−=
+−++
n
nnn
sf
sf
sfsFstfL 000 1
2
)()( ')()(
83
Twierdzenie 8 (o transformacie całki):
ssFdfL
t )()( =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ττ∫0
Twierdzenie 9 (o transformacie splotu funkcji - twierdzenie Borela):
)()()()()()( sGsFdtgtfLtgtfLt
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ττ−=⊗ ∫0
Twierdzenie 10 (o transformacie pochodnej splotu - całki Duhamela):
( ) ( )sGssFtgtft
Lt
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ττ−∫ d)()(dd
0
84
Region zbieżności transformaty Laplace'aWłaściwość 1:Obszar zbieżności transformaty X(s) składa się z pasm równoległych do osi urojonych (jω). Właściwość 2:Wymierna transformata Laplace'a nie zawiera biegunów w obszarze zbieżności.Właściwość 3:Jeśli x(t) jest funkcją o skończonym czasie i jest bezwzględnie całkowalna, to obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zmiennej zespolonej s.Właściwość 4:Jeśli funkcja x(t) jest prawostronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Res>σ0 także znajdują się w obszarze zbieżności.
Właściwość 5:
Jeśli funkcja x(t) jest lewostronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Res<σ0 będą także w obszarze zbieżności.
85
Właściwość 6:
Jeśli funkcja x(t) jest obustronna i jeśli prosta Res=σ0 znajduje się w obszarze zbieżności, to obszar zbieżności jest pasmem na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Właściwość 7:
Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, wtedy jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunami, bądź rozciąga się do nieskończoności i żadne bieguny nie znajdują się w jego obszarze.
Właściwość 8:
Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, i jeśli jest prawostronna , to jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem leżącym najbardziej na prawo, zaś jeśli jest lewostronna , to jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem leżącym najbardziej na lewo.
przykłady
86
Wyznaczenia oryginału transformaty odwrotna transformata Laplace'a
W celu wyznaczenia oryginału transformaty wykorzystuje się:
• tablice oryginałów i transformat
• metodę residuów bazująca na twierdzeniu Heaviside'a
Stosowanie tablic oryginałów i transformat jest najprostszą metodą i zawsze, gdy to możliwe, tak wyznaczamy oryginał x(t).
87
Metoda residuów bazuje na możliwości przedstawienia transformaty w postaci ilorazu wielomianów funkcji wymiernych zmiennej zespolonej s,
przy czym zakładamy, że:- ułamek L(s)/M(s) jest nieskracalny,- stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
011
1
011
1
bsbsbsbasasasa
sNsLsF n
nn
n
ll
ll
++++++
== −−
−−
K
K
)()()(
88
Twierdzenie Heaviside'a mówi, że funkcję operatorową X(s) posiadająca bieguny jednokrotne można rozłożyć na ułamki proste:
gdzie: n - jest stopniem wielomianu M(s) i oznacza liczbę biegunów funkcji X(s)
n
n
k
kn
i i
i
ssA
ssA
ssA
ssA
sMsLsX
−+
−++
−=
−== ∑
=
KK1
1
1)()()(
89
Współczynniki od A1 do An wyznaczamy ze wzoru na residuum funkcji X(s), według:
( )[ ]
( )∏≠=
→=
−=
=−==
n
kii
kk
k
kkssk
sssM
sMsLsXsssXA
k
1)('
)(')()(lim)(res
kss
ts
k
k
ssL e=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
− 11
Ponieważ, transformata odwrotna: więc oryginał funkcji operatorowej wyrazimy:
tsn
k k
k k
sMsLtx e
)(')()( ∑
=
=1
Podstawowy wzór Heaviside'a
90
Jeśli jeden z biegunów funkcji operatorowej X(s) jest biegunem zerowym s0=0, wtedy funkcje operatorową przedstawiamy w postaci:
a oryginał liczymy z zależności:
1−== nmssN
sLsX ,)(
)()(
( )∏
∑
≠=
=
−=
+=
m
kii
kk
tsm
k kk
k
sssN
sNssL
NLtx k
1
100
)('
e)('
)()()()(
91
Przekształcenie ZCiągowi liczb f[n] można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej z, według:
[ ]
[ ] )(
)(
zFZnf
znfzFn
n
1−
∞
−∞=
−
=
= ∑ Transformata dyskretna
Oryginał dyskretny
Obszar zbieżności szeregu znajduje się na płaszczyźnie zmiennej zespolonej na zewnątrz lub wewnątrz okręgu jednostkowego.
Zestawienie oryginałów i transformat Laurenta wybranych funkcji spotykanych w teorii sygnałów i systemów przedstawiono w tablicy
92
[ ]nδ 1
[ ]nu1−z
z
azz−
na
122 +ω−ω
TzzTz
cossinTnωsin
122
2
+ω−ω−TzzTzz
coscosTnωcos
21)( −zz
n
( )2azz
−1−nna
93
Podstawowe własności przekształcenia Z
Twierdzenie 1 (o liniowości):
)()()()()()( zbGzaFtgbZtfaZtbgtafZ +=+=+
Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym):
[ ] ( )
[ ] ( ) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+
=−
∑−
=
−
−
1
0
k
m
mk
k
zmfzFzknfZ
zFzknfZ
94
Twierdzenie 3 (o transformacie ciągu sum):
[ ] ( )zFz
zkfZn
k 10 −=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑
=
Twierdzenie 4 (o różniczkowaniu transformaty):
[ ] ( )zzFznnfZ
dd
−=
Twierdzenie 5 (o zamianie zmiennej z na az):
[ ] ( )azFnfaZ n =−
95
Twierdzenie 6a (graniczne):
( ) [ ]0fzFz
=∞→
lim
Twierdzenie 6b (graniczne):
[ ] ( ) ( )zFznfzn
111
−=→<∞→
limlim
Twierdzenie 7 (o splocie dwóch ciągów):
[ ] [ ] ( ) ( )zGzFngnfZ =⊕
96
Transformata odwrotna przekształcenia Z
Przekształcenie odwrotne dyskretne przyporządkowuje funkcji zmiennej zespolonej F(z) sygnał dyskretny (ciąg liczbowy) f[n].Omówione zostaną 2 metody. Obie dotyczą wymiernej funkcji F(z), którą można przedstawić w postaci iloczynu funkcji wymiernych postaci:
przy czym zakładamy , że m>=ν.
011
1
011
1
azazazabzbzbzb
zMzLzF m
mm
m ++++++++
== −−
−ν−ν
νν
K
K
)()()(
97
• Metoda rozwinięcia w szereg potęgowy
W metodzie mnożymy licznik i mianownik transformaty F(z) przez z-m . Dzieląc następnie licznik tak otrzymanego wyrażenia przez mianownik otrzymuje się szereg:
,
którego kolejne współczynniki są wyrazami poszukiwanego ciągu.Metodę stosujemy, gdy chcemy wyznaczyć kilka początkowych wyrazów sygnału.
[ ]∑∞
−∞=
−=n
nznfzF )(
98
• Metoda rozkładu na ułamki proste - odpowiednik metody bazującej na twierdzeniu Heaviside'a
∑= −
==m
k k
k
zzA
zNzLzF
1)()()(
( ) ( ))(')(
)(limk
kk
zzk zNzL
zNzzzLA
k
=−
=→
Oryginał f[n] funkcji operatorowej F(z) wyrazimy następująco:
[ ] 1
1
−
=∑= n
k
m
k k
k zzNzLnf
)(')(
99
Przykłady: Wyznaczyć transformaty następujących sygnałów dyskretnych:
Wyznaczyć oryginały następujących transformat dyskretnych:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] nnnunf
nununf
431123
6
−−δ+=
−−=
( )
( )( )( )2
2
2
2
532234
−−−
=
+−=
zzzzzF
zzzzF
100
Układy cyfrowe i ich rozwiązywanie z wykorzystaniem transformacji Z
m
m
m
ymyyyyy
nnx
mnxbnxbnxbmnyanyanyany
−−− =−=−=−
<=
−+−+=−+−+−+
][,][,][
][
][][][][][][][
K
K
K
21
10
21
21
00
121
- warunki początkoweRozwiązanie zawiera: - odpowiedź wymuszoną, będącą rozwiązaniem równania (1) przy zerowych warunkach początkowych,- odpowiedź swobodną, będącą rozwiązaniem równania jednorodnego
(1)
101
Dla układu I rzędu:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zYzYaz
zyazXazbzbzY
zayazX
zazbbzY
yazXzbbzazY
zXzbzXbyzYzazY
ynxbnxbnyany
pw +=+
−+
++
=
+−
+++
=
−+=+
+=++
=−−+=−+
−
−−
−
−
−−−
−−
−
1
11
1
10
11
111
1
110
111
101
1
1101
11
101
11
1
0111 ][],[][][][
Odpowiedź wymuszoną układu cyfrowego wyznaczamy znając transmitancję systemu H(z) (transformatę jego odpowiedzi impulsowej h[n]):
( ) ( ) ( )zXzHzYw =
102
Gdy x[n]=δ[n] to X(z)=1, wtedy dla układu I rzędu zapiszemy:
( ) ( )( )
( )
[ ] [ ] ( ) [ ]nuaabbn
abnh
azz
abb
abzH
az
zab
b
ab
az
az
azz
bb
ab
az
zbb
ab
azbzbzH
n1
1
10
1
1
11
10
1
1
1
11
0
1
1
1
111
0
1
1
1
1
0
1
1
1
10
1
1
11
1
1
1
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+δ=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−++=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=
++
=
103
Przykład: Dla układu dyskretnego opisanego równaniem:
obliczyć: h[n], H(z), oraz odpowiedź układu na wymuszenie sygnałem skoku jednostkowego x[n]=u[n].
][][][][ 134121
−+=−− nxnxnyny
104
Analiza częstotliwościowa sygnałów i systemówSzereg i przekształcenie Fouriera
Dla sygnału okresowego szereg Fouriera pozwala określićamplitudy częstotliwości podstawowej i wyższych harmonicznych.
W przypadku funkcji nieokresowych analizowaną funkcjęrozpatruje się w nieskończenie długim przedziale czasu i stosuje całkowe przekształcenie Fouriera.
Za pomocą analizy częstotliwościowej można też badaćszeregi dyskretne – w takim przypadku stosuje się tzw. dyskretną analizę częstotliwościową - szczególnie ważną przy obliczeniach na maszynach cyfrowych.
105
Szereg Fouriera funkcji okresowej ciągłej
( ) ( ) ( )
∑∞+
−∞=
π
=
=θ+ω++θ+ω+θ+ω+=
k
tT
jk
k
nn
a
tnatataatx2
02021010 2
e
sin...sinsin)(
- równanie syntezy
( ) αβ+βα=β+α cossincossinsin
tnatnatataatx
nnnn 00
0110110
ωθ+ωθ+++ωθ+ωθ+=
sincoscossin...sincoscossin)(
( ) ( )[ ]∑=
ω+ω+=n
kkk tkBtkAAtx
100
0
2sincos)(
106
107
Współczynniki szeregu Fouriera
( )∫=T
ttxT
A
0
0 12
dRównanie analizy
( ) ttxT
a tjk
Tk de 01 ω−∫=
( ) ( )∫ ω=T
k ttktxT
A0
02 dcos
( ) ttxT
aT
d∫=1
0
( ) ( )∫ ω=T
k ttktxT
B0
02 dsin
108
Widmo amplitudowe i fazowe sygnału
Wykres współczynników Fouriera, przedstawiający udziałposzczególnych harmonicznych w sygnale x(t), daje obraz rozkładu zawartych w nim częstotliwości;
wykres ten jest nazywany widmem częstotliwościowym lub krótko – widmem sygnału.
Współczynniki szeregu Fouriera są liczbami zespolonymi.
|ak|=f(k) - widmo amplitudowe
≮ak=f(k) - widmo fazowe
109
Przykład: wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następującego sygnału rzeczywistego:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω+ω+ω+=2
221 000 ttttx coscossin)(
( )
( )
20
142
21
142
21
211
211
211
211
1
42
42
1
1
0
>=
−==
+==
+=−=
−=+=
=
π−
−
π
−
ka
a
a
a
a
a
k ,
je
je
jj
jj
j
j
110
Sygnał okresowy prostokątny i jego widmo
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<
<=
20
1
1
1
TtT
Tttx
,
,)(
Tπ
=ω2
0
( ) 01 101
1
0 ≠πω
== ∫−
ω− kk
TkteT
aT
T
tjkk ,sind
TTt
Ta
T
T1
021 1
1== ∫−
d
111
Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnegodla wybranych wartości T w stosunku do T1
M
π==
π−==
π==
=
≠π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=
=
−
−
−
5131
121
02
4
55
33
11
0
1
aa
aa
aa
a
kk
ka
TT
k ,sin
T=8T1
T=16T1
T=4T1
112
Effekt Gibbsa
113
Zależność Parsevala
( ) ∑∫+∞
−∞=
=k
kTadttx
T221
114
Porównanie sygnału wykładniczego (okresowego) analogowego i dyskretnego
x [n] = ejωnx (t)= ejωt
Nieskończenie wiele sygnałów harmonicznych o tym samym okresie (pulsacji) podstawowym
Skończona liczba harmonicznych równa okresowi N
Te same sygnały dla częstotliwości różniących się o 2π
Różne sygnały dla różnych kωo
Okresowy tylko dla ωo=2πm/NOkresowy dla każdej wartości ωo
Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla ωo = ± π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ωo=0 bądź 2πk sygnał, otrzymujemy sygnał stały.
115
Sygnał dyskretny okresowy i jego widmo Fourierarównania analizy i syntezy
[ ]
[ ] [ ]∑∑
∑∑
=
π−
=
ω−
+∞
=
π
=
ω
==
==
Nn
nN
k
Nn
nkk
Nk
nN
k
kNk
nkk
nxN
nxN
a
aanx
2
2
110
0
jj
jj
ee
ee równanie syntezy
równanie analizy
Zależność Parsevala
[ ] ∑∑==
=Nk
kNn
anxN
221
116
Przykład: wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następującego sygnału rzeczywistego:
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω+ω+ω+=2
231 000 nnnnx coscossin
j
j
jj
jj
21
21
21
23
21
23
21
23
21
231
2
2
1
1
0
−=
=
+=−=
−=+=
=
−
−
a
a
a
a
a
117
Sygnał dyskretny okresowy prostokątny i jego widmo
[ ]⎩⎨⎧ ≤
=,,01 1Nn
nxNπ
=ω2
0
K
K
,,,,sin
sin
,,,,
NNk
Nk
N
Nk
Na
NNkN
Na
k
k
20
21
2
1
2012
1
1
±±≠π
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +π
=
±±=+
=
118
Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnego
dla wybranych wartości N w stosunku do N1, 2N1+1=5
N=10
N=20
N=40
119
Odwzorowanie sygnału dyskretnego prostokątnego za sumy pomocą sygnałów harmonicznych
[ ]
[ ] [ ]
21
2
−=
=
= ∑−=
π
NM
nxnx
anxM
Mk
nN
k
k
)
) je
120
Podstawowe właściwości szeregu Fouriera Fciągłego i dyskretnego
Liniowość szeregu Fouriera:
( ) ( ) kk
SFBbAatBytAx +↔+
Przesunięcie w dziedzinie czasu:
( )
( ) k
tT
k
ktk
SF
k
SF
aeaettx
atx
000
2
0
πω =↔−
↔
jj
Odwrócenie w czasie:
( )
( ) k
SFk
SF
atx
atx
−↔−
↔ ( ) ( )( ) ( ) kk
kk
aatxtxaatxtx−=⇒−−=
=⇒−=
−
−
121
Skalowanie w czasie:
[ ]
[ ]/ am
mnx
anx
k
DSF
k
DSF
1↔
↔( ) ( )
( )t
Tjk
kk
k
SF
k
SF
eatx
atxatx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
απ∞
−∞=∑=α
↔α↔
/2
Dla n będącego wielokrotnością m. Okresowe o okresie mN
Skalowanie w dziedzinie częstotliwości:
( )
( ) Mk
SFtjM
k
SF
atxe
atx
−ω ↔
↔
0
122
Sprzężenie:
[ ] [ ] k
DSF
k
DSFanxanx −
∗∗ ↔↔
Splot okresowy
[ ] [ ] kk
DSF
NrbNarnyrx ↔−∑
=( ) ( ) kk
SF
TbTatyx ↔ττ−τ∫ d
Mnożenie sygnałów
[ ] [ ] lkNl
lkk
SFbabanynx −
=∑=⊗↔( ) ( ) lk
llkk
SFbabatytx −
∞
−∞=∑=⊗↔
123
Pochodna:
( ) ( )k
SF
k
SFa
Tk
ttxatx π
↔↔2j
dd
Pierwsza różnica
[ ] [ ] [ ] kN
kDSF
k
DSFanxnxanx ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−↔−−↔
π−
2
11j
e
Suma bieżącaCałka
( ) ( ) ( ) k
SFt
k
SFa
kttxatx
0
1ω
↔↔ ∫∞− j
d [ ] [ ] ( ) kk
DSFn
kk
DSFakxanx
011
ω−−∞= −
↔↔ ∑ jeO skończonej wartości i okresowa tylko wtedy, gdy a0=0
124
( )
kk
kk
kk
kk
kk
aaaa
aatxaa
aa
−∠=∠
=
−=⇒=
=
−
−
−
∗−
ImImReRe
Symetria sprzężenia dla sygnałów rzeczywistych
Ponadto, - gdy sygnał jest rzeczywisty i parzysty to współczynniki akszeregu są rzeczywiste i parzyste- gdy sygnał jest rzeczywisty i nieparzysty to współczynniki ak są czysto urojone i nieparzyste
125
Odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( )
( )
[ ] [ ]
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔=
ω=
ω=⇔=
=ττ=ω
=ττ=
π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−π∞+
−∞=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−∞+
=
ω−∞+
−∞=
ω−∞+
−∞=
ω−∞+
−∞=
ω∞+
−∞=τ
ωτ−
−+∞
−∞=
+∞
−∞=τ
τ−
∑∑
∑∑
∑∫
∑∫
Njk
kk
nN
kN
jk
nk
nN
k
Nkk
kk
tk
nk
tk
nk
n
n
k
k
s
Hab
Hanyanx
jkHab
jkHatyatx
nhHdhH
zkhzHdhsH
2
222
0
000
e
eee
ee
eeej
e
jj
jj
jjj
126
Przykład 1:
Okresowy sygnał , którego współczynniki
szeregu Fouriera wynoszą:
podano na zaciski systemu liniowego stacjonarnego o
odpowiedzi impulsowej: .
Należy wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera bk odpowiedzi systemu y(t).
( ) tk
nkatx π−
+
−=∑= 23
3
je
,,,,31
21
411 3322110 ======= −−− aaaaaaa
( ) ( )tuth t−= e
Przykład 2: Znaleźć odpowiedź y[n] systemu dyskretnego LTI
na sygnał , jeśli jego odpowiedź impulsowa
wynosi:
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=N
nnx 2cos
[ ] [ ] 11 +<α<−α= ,nunh n
127
Filtracja sygnałów
Odpowiedzi częstotliwościowe czterech idealnych filtrów cyfrowych zero-fazowych o rzeczywistych współczynnikach odpowiedzi impulsowej przedstawione są na rysunkach:
π−π ωc−ωc
ΗLP(ejω)
1
π−π ωc−ωc
ΗHP(ejω)
1
ω
ωc1 π−π −ωc1
ΗBS(ejω)
1
−ωc2 ωc2
ω
ω
π−π ωc1 ωc2−ωc1
ΗBP(ejω)
1
−ωc2
ω
(a)
(c) (d)
(b)
128
Filtry dolno- i górnoprzepustowy są opisane funkcjami przejścia pierwszego rzędu postaci odpowiednio:
π−π ωc−ωc
ΗLP(ejω)
1
( ) 1
1
11
21
−
−
α−+
⋅α−
=z
zzH LP
π−π ωc−ωc
ΗHP(ejω)
1
( ) 1
1
11
21
−
−
α−−
⋅α+
=z
zzH HP
129
Filtry pasmowe z rysunków c i d są opisane funkcjami przejścia drugiego rzędu rzędu postaci odpowiednio:
( ) ( ) 21
2
111
21
−−
−
α+α+β−−
⋅α−
=zz
zzHBP
( ) ( ) 21
21
1121
21
−−
−−
α+α+β−+β−
⋅α+
=zz
zzzHBS
ωc1 π−π −ωc1
ΗBS(ejω)
1
−ωc2 ωc2
ω
π−π ωc1 ωc2−ωc1
ΗBP(ejω)
1
−ωc2
ω
130
Łącząc szeregowo opisane wyżej proste filtry cyfrowe, możnabudować filtry z bardziej ostrą odpowiedzią impulsową. Łącząc K dolnoprzepustowych filtrów pierwszego rzędu.
Wypadkowa funkcja przejścia takiej struktury będzie opisanafunkcja przejścia postaci:
( )K
LP zzzG ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−
+⋅
α−= −
−
1
1
11
21
Podane filtry idealne należą do grupy o NOI i zerowej fazie.
Konstruuje się także filtry, w których funkcja przejścia odpowiada skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) z odpowiedzią fazową będącą liniową funkcją ω.
131
Przykłady filtrów:1) dolnoprzepustowy 2) górnoprzepustowy
( ) ( )
( ) ω=ω
=
jjHdt
tdxty[ ] [ ][ ]
( ) ( ) ( )2121
121
2 /coseee
][
/jjj ω=+=
−+=
ω−ω−ωH
nxnxny
132
3) Filtr rekursywny I -rzędu (system NOI)
[ ] [ ]
( ) [ ] [ ]nuanha
H
nxnayny
n=−
=
=−−
ω−ω ,
ee
][
jj
111
60,=a60,−=a
133
3) Filtr nierekursywny (system SOI):
gdzie, y[n] jest średnią ważoną po N+M+1 wartościach x[n], od x[n-M] do x[n+N], z wagami równymi współczynnikom bk.
- dolnoprzepustowya) N+M+1=3
[ ] ( )∗= ∑−=
M
Nkk nxbny ][
[ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ]( )
( ) ( ) ( )ω+=++=
+δ+δ+−δ=
+++−=
ω−ωω coseee
][
][
jjj 21311
31
1131
1131
H
nnnnh
nxnxnxny
134
[ ]
( )22
1
11
11
01
11
1
2
/sin
sinee
poza][
][
jj
ω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++ω
++=
++=
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤−
++=
−++
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
ω
−=
ω−ω
−=
∑
∑
NM
eMNMN
H
MnNMNnh
knxMN
ny
MNjM
Nk
k
M
Nk
b) N+M+1=33 (M=N=16)
c) N+M+1=65 (M=N=32)
135
Filtr nierekursywny (SOI) - górnoprzepustowy
[ ] [ ][ ]
( ) ( ) ( )2121
121
2 /sinjeee
][
/jjj ω=−=
−−=
ωω−ωH
nxnxny
-wszystkie filtry SOI są stabilne, bo odpowiedź impulsowa jest skończona, a zatem sumowalna.- dla N>0 w równaniu filtr jest systemem nieprzyczynowym,tj. y[n]zależy od przyszłych wartości x[n]. W filtracji w czasie rzeczywistym, w równaniu musimy założyć N≤0
( )∗
136
Próbkowanie sygnałów
Próbkowanie polega na przekształceniu sygnału ciągłego w równoważny sygnał dyskretny a następnie w sygnał cyfrowy. Przekształcenie powinno umożliwiać odtworzenie sygnału ciągłego na podstawie sygnału dyskretnego (ciągu próbek) z dowolną dokładnością.
137
Próbkowanie za pomocą funkcji Sza
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∑
∑
∞+
−∞=
∞+
−∞=
−δ=
−δ=
=
np
n
p
nTtnTxtx
nTttp
tptxtx
138
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )∑
∑
∫
∞+
−∞=
∞+
−∞=
+∞
∞−
ω−ω=ω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ωδπ
=ω
θθ−ωθπ
=ω
ksp
k
p
kjXT
jX
Tk
TjP
djPjXjX
1
22
21
139
Twierdzenie o próbkowaniu
Niech x(t) oznacza sygnał analogowy o ograniczonym widmie, takim, że X(jω)=0 dla |ω|>ωM .
Sygnał x(t) jest jednoznacznie określony (równoważny) przez zbiór odległych o T jego próbek x(nT), n=0, ±1, ±2,... , jeśli częstotliwość próbkowania:
ωs≥2ωM
a graniczny czas próbkowania:
T≤π/ωM
gdzie: ωs = 2π/T, ωM - częstotliwość Nyquista
140
W dziedzinie częstotliwości,idea dowodu twierdzenia o próbkowaniu polega na zastosowaniu do widma X(jω) sygnału x(t) dwóch znoszących się wzajemnie operacji:
• przedłużania okresowego widma - powielenia
• filtracji widma powielonego.
141
Próbkowanie składa się z następujących operacji:
• Powielanie okresowe widma X(jω) sygnału x(t),
• Filtrowanie powielonego widma Xp(jω) za pomocąidealnego filtru dolno-przepustowego o częstotliwościach odcięcia ±ωc, takiej, że: ωM<|ωc|<ωs-ωM
• Przekształcanie przefiltrowanego widma X(jω) na sygnałw dziedzinie czasu x(t).
142
Odtworzenie sygnału ciągłego ze znajomości ciągu jego próbekTwierdzenie Kotielnikowa-Shannona
Dowolną funkcję czasu można przedstawić w postaci szeregu Kotielnikowa-Shannona, który ma postać szeregu Fouriera z funkcja bazową Sa:
( ) ( ) ( )( )∑∞=
−∞=
−π=n
nm nTtfSanTxtx 2
143
144
Przyczyny błędów próbkowania
• niepoprawny dobór częstotliwości próbkowania,
• założenie idealności filtru dolnoprzepustowego,
• założenie idealności impulsów bramkujących.
