Post on 12-Dec-2020
Teorema-Teorema Limit
Beberapa Limit Dasar
Teorema A Misalkan ππ bilangan bulat positif, ππ adalah konstanta. Maka1. lim
π₯π₯βππππ = ππ; 2. lim
π₯π₯βπππ₯π₯ = ππ; 3. lim
π₯π₯βπππ₯π₯ππ = ππππ.
Teorema Limit Utama
Teorema B Misalkan ππ bilangan bulat positif, ππ adalah konstanta, dan ππ dan ππ adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di ππ. Maka1. lim
π₯π₯βππππππ π₯π₯ = ππ lim
π₯π₯βππππ π₯π₯ ;
2. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ + limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ ;
3. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ β ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ β limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ ;
4. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ οΏ½ ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ οΏ½ limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ ;
5. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ππ π₯π₯
=limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯jika lim
π₯π₯βππππ π₯π₯ β 0;
6. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ ππ = limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ππ;
7. limπ₯π₯βππ
ππ ππ π₯π₯ = ππ limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ , asalkan
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ > 0 jika ππ genap.
Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.
limπ₯π₯β1
3π₯π₯2 β 2π₯π₯ + 5
PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.limπ₯π₯β1
3π₯π₯2 β 2π₯π₯ + 5 = limπ₯π₯β1
3π₯π₯2 β limπ₯π₯β1
2π₯π₯ + limπ₯π₯β1
5
= 3 limπ₯π₯β1
π₯π₯2 β 2 limπ₯π₯β1
π₯π₯ + limπ₯π₯β1
5
= 3 12 β 2 1 + 5= 6
Teorema B2 dan B3
Teorema B1
Teorema A3, A2, dan A1
Latihan 1
Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.
limπ₯π₯β2
3π₯π₯5 β 7π₯π₯4 + 5π₯π₯ β 3π₯π₯3 β 2π₯π₯2 + 1
Teorema Substitusi
Teorema C Jika ππ adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan ππ berada di domain ππ, maka
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ ππ
Latihan 2
Tentukan limit berikut.
limπ₯π₯β5
π₯π₯2 β 25π₯π₯ β 5
Fungsi yang Berbeda di Satu Titik
Teorema D Jika ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ ketika π₯π₯ β ππ, maka limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ =limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ dengan syarat limit-limitnya ada.
Contoh 2
Tentukan limπ₯π₯β5
ππ π₯π₯ dimana
ππ π₯π₯ = οΏ½π₯π₯ + 5 jika π₯π₯ β 5ππ jika π₯π₯ = 5
PEMBAHASAN Di sini fungsi ππ terdefinisi di π₯π₯ = 5 dan ππ 5 = ππ. Tetapi nilai limit ππ π₯π₯ ketika π₯π₯ mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena ππ π₯π₯ = π₯π₯ + 5 untuk π₯π₯ β 5, maka
limπ₯π₯β5
ππ π₯π₯ = limπ₯π₯β5
π₯π₯ + 5 = 5 + 5 = 10
Pembahasan
0 2 4 6 8
5
10
π₯π₯
π¦π¦ π¦π¦ = ππ π₯π₯
0 2 4 6 8
5
10
π₯π₯
π¦π¦ π¦π¦ = ππ π₯π₯
Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)
Latihan 3
Tentukan nilai limit-limit berikut.
(a) limββ0
2+β 2β4β
(b) limπ‘π‘β0
π‘π‘2+9β3π‘π‘
Teorema Apit
Teorema E Misalkan ππ, ππ, dan βadalah fungsi-fungsi yang memenuhi ππ π₯π₯ β€ ππ π₯π₯ β€ β π₯π₯untuk semua π₯π₯ yang dekat dengan ππ, kecuali mungkin di ππ dan
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ
β π₯π₯ = πΏπΏ
maka limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = πΏπΏa
L
x
y
0
f
g
h
Latihan 4
Tunjukkan bahwa
limπ₯π₯β0
π₯π₯2 sin1π₯π₯
= 0
Ilustrasi
x
y
0
#HaveANiceDay