Post on 17-Apr-2015
Teorema do Confronto
Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando , então f também terá esse limite.
cx
Teorema – Teorema do Confronto Suponha que para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que
)()()( xhxfxg
Lxhxgcxcx
)(lim)(lim
Então
Lxfcx
)(lim
Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que sen para qualquer
0lim)(lim00
, temos que:
0senlim0
(b) Uma vez que cos10 para qualquer , temos que
0)cos1(lim0
ou
1coslim0
0y
Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais.
Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.
Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda.
Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos
Lxfax
)(lim
Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos
Mxfax
)(lim
Exemplo: Para a função na figura, temos:
e
x
xxf )(
1)(lim0
x
xxf
x 1)1(limlim)(lim000
xxx x
xxf
Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral
Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais:
Lxfcx
Lxfcx
)(
lim)(
lime Lxf
cx
)(lim
Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura
Em x = 0: 1)(lim0
xf
x
)(lim0
xfx e )(lim 0 xfx não existem. A função não é
definida à esquerda de x = 0.
Em x = 1: 0)(lim1
xf
xainda que f(1) = 1,
,1)(lim1
xf
x
)(lim 1 xfx não existe. Os limites à direita e à esquerda não são
iguais.
Em x = 2:
1)(lim2
xf
x
1)(lim2
xf
x
1)(lim 2 xfx ainda que f(2) = 2
Em x = 3:
)(lim)(lim)(lim 333xfxfxf xxx f(3) = 2
Em x = 4:
1)(lim4
xf
xainda que f(4) 1
)(lim4
xfx
)(lim 4 xfxe não existem. A função não é
definida à direita de x = 4.
Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).
Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais
Mostre que
xy
1sen não tem nenhum limite lateral quando x se
aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo).
Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce
x
1sen repetem-se ciclicamente de
de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0.
sem limitação e os valores de
Limites Envolvendo sen
Teorema 6
1sen
lim0
( em radianos)
Prova
O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1. Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que (Figura abaixo). Observe que: 2
Área OAP OAP OATárea do setor área
Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:
sen2
1))(sen1(
2
1
2
1 alturabaseOAPÁrea
2)1(
2
1
2
1 22 rOAPÁrea do setor
tgtgalturabaseOAT2
1))(1(
2
1
2
1Área
Logo,
tg2
1
2
1sen
2
1
A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelonúmero positivo (1/2) :sen
cos
1
sen1
Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida:
cos
sen1
Uma vez que 1coslim0
do Teorema do Confronto resulta
1sen
lim0
Tenhamos em mente que sen e são ambos funções ímpares.
Então, /)(sen)( f é uma função par, com um gráfico
simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limiteà esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita:
sen1
senlimlim
00
1)(senlim 0 Então pelo Teorema 4.
Exemplo 10: Usando 1sen
lim0
Mostre que 5
2
5
2senlim
0
x
x
x
x
x
x
x
xx 5)5/2(
2sen)5/2(
5
2senlimlim
00
x
x
x 2
2sen
5
2lim
0
5
2)1(
5
2
Agora a equação (1) se aplica a
= 2x.
Limites Envolvendo o Infinito
Definições Limites com x
1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito eescrevemos: Lxf
x
)(lim
2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos:
se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L.
Lxfx
)(limse, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x)fica cada vez mais próximo de L.
Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x
Demonstre que(a)
(b)
011
limlim xx xx
kkkxx
limlim
Solução:
(a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivoquanto para o negativo.
(b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.
Teorema 7 – Regras para Limites quando xSe L, M e k são números reais e
Lxfx
)(lim ,)(lim Mxgx
e então
1. Regra da Soma: MLxgxfx
))()((lim
2. Regra da Subtração:
MLxgxfx
))()((lim3. Regra do Produto:
MLxgxfx
))()((lim
4. Regra da Multiplicação por Constante:
Lkxfkx
))((lim5. Regra do Quociente:
0,)(
)(lim
MM
L
xg
xf
x
6. Regra da Potenciação:
Se r e s são inteiros, , então0ssrsr
x
Lxf
))((lim
Desde que srL seja um número real.
Exemplo 2 – Usando o Teorema 7
xx xxx
15
15 limlimlim
505
(a) Regra da Soma
Limites Conhecidos
xxx xx
113
3limlim 2
xx xxx
113 limlimlim
0003
(b) Regra do Produto
Limites Conhecidos
Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau
)/2(3
)/3()/8(5
23
3852
2
2
2
limlim x
xx
x
xx
xx
3
5
03
005
Divida o numerador e o denominador por x2.
Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador
)/4(7
)/3(2
47
32limlim
2
x
xx
x
x
xx
Divida o numerador e o denominador por x.O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a7, então a razão .
Limites Fundamentais
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamadoslimites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 1,0/0 e .0
Proposição 1: (Como já vimos) 1sen
lim0
x
x
x
Proposição 2:
ex x
x
)/11(lim
Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... .
Exemplo
Provar que ex x
x
1
0
)1(limEm primeiro lugar provaremos que ex x
x
1
0
)1(lim
De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo,t 0x
etx t
t
x
x
)11()1( limlim 1
0
Da mesma forma, prova-se que ex x
x
1
0
)1(lim
Portanto, ex x
x
1
0
)1(lim
Proposição 3:
ax
a x
x
ln1
lim0
).1,0( aa
(Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.)
Exemplos
x
ba xx
x
lim0
Temos,
x
ba
b
x
ba x
xx
x
xx
x
1
limlim00
xba
b
x
x
x
x
1
limlim00
b
aln1
b
aln
Exemplo 2
1
112
1lim
x
ae xx
x
Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a Proposição 3.
)1)(1(
)1()1(
1
11
12
11
1limlim
xx
ae
x
ae xx
x
xx
x
1
1
1
1
1
1 1
1
1
11limlimlim x
a
x
e
x
x
x
x
xx
.1
1
1
1
2
1 1
1
1
1limlim
x
a
x
e x
x
x
x
Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos1x 1x
0t 0t, .
Portanto,
t
a
t
e
x
ae t
t
t
t
xx
x
11
2
1
1 limlimlim00
2
11
1
)ln(ln2
1ae
).ln1(2
1a
Continuidade
Definição – Continuidade em um Ponto
Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um pontointerior c de seu domínio quando:
).()(lim cfxfcx
Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidadeesquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando:
)()(lim afxfax
ou )()(lim bfxfbx
respectivamente
Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio
A função 24)( xxf é contínua em todos os pontos de seu domínio,
2,2 , inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2
quando f é contínua à esquerda.
Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto
A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0, mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresentadescontinuidade de salto em x = 0.
Teste de Continuidade
Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedeceràs três condições seguintes:
1. f(c) existe (c está no domínio de f)
2. existe (f tem um limite quando ))(lim xfcx cx
3. (o limite é igual ao valor da função))()(lim cfxfcx
Teorema – Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintescombinações são contínuas em x = c.
1. Somas: f + g
2. Diferenças: f - g
3. Produtos: f . g
4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k
5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0
Teorema – Composta de Funções Contínuas
Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta
fg é contínua em c.