Post on 11-Nov-2018
SUMÁRIOPARTE PRIMEIRA – MATEMÁTICA ELEMENTAR............................................................................1
1. Alguns Conceitos e Nomenclaturas Importantes...............................................................................11.1. As quatro operações...................................................................................................................11.2. Alguns sinais utilizados.............................................................................................................11.3. Frações.......................................................................................................................................2
2. Alguns Conjuntos Numéricos............................................................................................................32.1. Conjunto dos números naturais.................................................................................................32.2. Conjunto dos números inteiros..................................................................................................32.3. Conjunto dos números racionais................................................................................................32.4. Conjunto dos números irracionais.............................................................................................42.5. Conjunto dos números reais.......................................................................................................4
3. Natureza dos Números......................................................................................................................63.1. Números pares e ímpares...........................................................................................................63.2. Números primos e compostos....................................................................................................6
4. Critérios de Divisibilidade.................................................................................................................75. Múltiplos e Divisores........................................................................................................................8
5.1. Múltiplos....................................................................................................................................85.2. Divisores....................................................................................................................................8
6. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) e Máximo Divisor Comum (M.D.C).......................................96.1. Mínimo Múltiplo Comum..........................................................................................................96.2. Máximo Divisor Comum...........................................................................................................9
7. Operações Com Números Inteiros – Regra de Sinais......................................................................117.1. Adição e subtração...................................................................................................................117.2. Multiplicação e divisão............................................................................................................11
8. Operações Com Números Decimais................................................................................................128.1. Algumas considerações acerca dos números decimais............................................................128.2. Adição e subtração...................................................................................................................128.3. Multiplicação...........................................................................................................................138.4. Divisão.....................................................................................................................................13
9. Operações Com Frações..................................................................................................................179.1. Multiplicação...........................................................................................................................179.2. Divisão.....................................................................................................................................179.3. Adição e subtração...................................................................................................................17
10. Propriedades da Adição e da Subtração Com Números Reais......................................................1810.1. Adição....................................................................................................................................1810.2. Multiplicação.........................................................................................................................18
11. Potenciação....................................................................................................................................1911.1. Propriedades das potências....................................................................................................19
12. Radiciação.....................................................................................................................................2012.1. Definição................................................................................................................................2012.2. Propriedades das raízes..........................................................................................................20
13. Igualdades: Resolvendo Equações do 1º grau...............................................................................2113.1. O que é uma equação.............................................................................................................2113.2. Resolvendo equações do 1º grau...........................................................................................21
14. Geometria......................................................................................................................................2314.1. Alguns conceitos básicos.......................................................................................................2314.2. Algumas áreas importantes....................................................................................................24
PARTE SEGUNDA – CURIOSIDADES, ERROS COMUNS, DICAS E MAIS...................................261. O Que Significam Expressões do Tipo 2a ou 2x?...........................................................................26
1.1. O que é uma variável...............................................................................................................261.2. O que é uma incógnita.............................................................................................................26
2. Por que x + x = 2x?.........................................................................................................................273. Por que a∙0=0, independentemente do valor de a?..........................................................................28
4. Por que não podemos dividir por zero?...........................................................................................295. Por que a0=1, para a≠0?...................................................................................................................306. Certo ou errado?..............................................................................................................................317. Por que (-1)∙(-1)=1?.........................................................................................................................328. Comentários e curiosidades sobre os conjuntos numéricos............................................................33
8.1. Dos irracionais.........................................................................................................................338.2. Do número pi e de sua irracionalidade....................................................................................338.3. Dos cálculos feitos com o número pi.......................................................................................348.4. A questão do infinito nos conjuntos numéricos.......................................................................35
INFORMAÇÕES EXTRAS.....................................................................................................................381. Do escrito.........................................................................................................................................382. Dos programas utilizados................................................................................................................383. Das fontes utilizadas........................................................................................................................38
PARTE PRIMEIRA – MATEMÁTICA ELEMENTAR
1. ALGUNS CONCEITOS E NOMENCLATURAS
IMPORTANTES
1.1. As quatro operações
Numa adição, os números que estão
sendo adicionados são chamados de parcelas. O
resultado da operação é chamado soma.1
Exemplo: em 3+5=8, temos:
➢ 3 e 5 são as parcelas
➢ 8 é a soma
Na multiplicação, os números que estão
sendo multiplicados são denominados fatores. O
resultado da operação é chamado produto.
Exemplo: em 2⋅5=10, temos:
➢ 2 e 5 são os fatores
➢ 10 é o produto
Na subtração, o primeiro número é
chamado de minuendo; o segundo, de
subtraendo. O resultado da operação é chamado
diferença.
1 Evite, portanto, afirmações do tipo: “Vamos somar 3 e 5...” ou “Somando tudo...”, pois a soma é o resultado da operação e não a operação em si.
Exemplo: em 66−7=59, temos:
➢ 66 é o minuendo
➢ 7 é o subtraendo
➢ 59 é a diferença
Por fim, na divisão, temos:
1.2. Alguns sinais utilizados
Para a multiplicação, podemos utilizar os
seguintes sinais:
⋅× ∗
Já para a divisão, utilizamos qualquer um
dos sinais seguintes:
÷ / :
Evidentemente, uma fração também
representa uma divisão. Dessa forma, podemos
escrever:
20÷10=2010
=20 /10=20 :10
1
1.3. Frações
Em uma fração, o número de cima é dito
numerador; o número de baixo é o
denominador. Por exemplo, na fração 38 dizemos
que 3 é o numerador e que 8 é o denominador. O
numerador, portanto, é a quantidade considerada;
o denominador é o número de divisões feitas do
todo.
14
34
Nota: a porcentagem é uma fração com
denominador igual a 100. Veja:
21%=21100
Isto é, quando falamos em 21% de algo, é
o mesmo que dividirmos esse algo em 100 partes
e tomarmos vinte e uma delas.
2
2. ALGUNS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os vários tipos de números são divididos
em diversos conjuntos, chamados conjuntos
numéricos. Cada conjunto numérico se diferencia
do outro pela natureza de seus elementos. Dessa
forma, temos um conjunto no qual estão apenas
os números utilizados em contagens; temos outro
no qual estão os números decimais e as frações; e
assim por diante. Até o final do Ensino Médio,
são estudados seis conjuntos numéricos, sendo
cinco no Ensino Fundamental e mais um no
Ensino Médio. No Ensino Fundamental, são
estudados os conjuntos a seguir.
2.1. Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais pode ser
representado por:
ℕ={0,1,2 ,3 ,4 ,...}
Os números naturais são, por assim dizer,
os números utilizados nas contagens simples.
2.2. Conjunto dos números inteiros
É representado por:
ℤ={... ,−3,−2,−1,0 ,+1,+2,+3,...}
Nota: em geral, quando escrevemos um número
positivo, omitimos o sinal +. Dessa forma, um
número sem o sinal deve ser interpretado como
número positivo.
Observe que os números naturais estão
todos inclusos no conjunto ℤ. Dizemos, assim,
que ℤ contém ℕ ou que ℕ está contido em ℤ e
escrevemos:
ℕ⊂ℤ
2.3. Conjunto dos números racionais
Observe que os números com vírgula bem
como as frações não estão presentes no conjunto
dos números naturais e nem tampouco no
conjunto dos números inteiros. Chamamos de
conjunto dos números racionais o conjunto
numérico formado por todos os números que
podem ser representados por frações.
Sua representação é:
ℚ={x∣x=pq
,com p∈ℤ , q∈ℤe q≠0}
Evidentemente, qualquer número inteiro
também faz parte do conjunto dos números
racionais, pois, por exemplo, 2 pode ser escrito
como:
21
Ou seja, qualquer número inteiro pode ser
expresso como uma fração. Isso significa que o
conjunto dos números inteiros está contido no
conjunto dos números racionais Além disso,
3
números decimais como 1,5 ou 4,75 também são
racionais, pois podem ser representados por uma
fração:
32=1,5 e
194=4,75
Nota: como foi visto, podemos representar
qualquer fração por pq , onde p, que é o
numerador da fração, é um número inteiro
qualquer, e q, que é o denominador da fração, é
um número inteiro diferente de zero: precisa ser
diferente de zero, porquanto não podemos dividir
um número por zero, ou seja, não existe fração
com denominador igual a zero. Também não
existe fração formada por números com vírgula:
50
ou 1,513
não são considerados frações
2.4. Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais é
formado por todos os números que não podem
ser expressos como frações, isto é, aqueles
números formados por infinitas casas decimais e
que não se repetem de forma periódica.
Um exemplo famoso de número
irracional é o número π (lê-se pi), resultado da
divisão do comprimento de uma circunferência
qualquer pela medida de seu diâmetro:
π=comprimento
diâmetro
O quociente dessa divisão é sempre
constante e vale, independentemente do tamanho
da circunferência:
π = 3,14159265358979323846264338...
Notas:
✔ Números como 3,3333... não são
considerados irracionais, pois as casas
decimais se repetem, isto é, podem ser
escritos como uma fração. São, portanto,
racionais. Abaixo, dois exemplos:
103=3,333... e
159=1,666...
✔ Toda raiz quadrada não exata resulta em
um número irracional. São exemplos: √3,
√5, √6, √7, √8, √10 etc.
✔ O conjunto dos números irracionais não
contém e não está contido no conjunto
dos números racionais. Além disso, eles
não possuem elementos em comum –
dizemos, portanto, que são conjuntos
disjuntos, isto é, são completamente
diferentes.
2.5. Conjunto dos números reais
É representado pela letra ℝ e é formado
pela reunião de todos os outros conjuntos já
vistos até aqui.
Abaixo, temos um diagrama mostrando a
relação entre os conjuntos numéricos:
4
Observe que ℕ está contido em ℤ, que
por sua vez está contido em ℚ. Os irracionais (I)
estão separados. E todos juntos formam ℝ.
5
3. NATUREZA DOS NÚMEROS
3.1. Números pares e ímpares
Um número natural é dito par quando
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Uma outra forma de
expressar isso é dizendo que um número é par
quando pode ser dividido por 2. Os outros
números são chamados de números ímpares.
3.2. Números primos e compostos
Um número natural é dito primo quando
só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo.
Exemplos: 2,3,5,7,11,13,...
Um número natural é dito composto
quando possui, além do 1 e dele mesmo, outros
divisores, como o 10, que pode ser dividido por
1, por 2, por 5 e por ele mesmo.
6
4. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Dizemos que um número é divisível por
outro quando este outro o divide deixando resto
zero.
Os principais critérios de divisibilidade
são:
Por 2: um número é divisível por 2 quando é par.
Por 3: Um número é divisível por 3 quando a
soma dos valores absolutos2 dos algarismos que
o compõem é divisível por 3.
Exemplo: 249 é divisível por 3, pois
2+4+9=15, e 15 é divisível por 3.
Por 4: Um número é divisível por 4 quando os
seus dois últimos algarismos constituem um
número divisível por 4.
Exemplo: 1.216 é divisível por 4, pois os dois
últimos algarismos (1 e 6) formam um número
(16) divisível por 4.
Por 5: Um número é divisível por 5 quando
termina em 0 ou em 5.
Por 6: Um número é divisível por 6 quando for,
ao mesmo tempo, divisível por 2 e por 3.
Por 9: Um número é divisível por 9 quando a
2 Valor absoluto de um número é a distância dessenúmero ao zero na reta numérica. Em outras palavras: ovalor absoluto de um número positivo é ele próprio; seo número for negativo, invertemos o seu sinal e otornamos positivo. Lembre-se que não existe distâncianegativa.
soma dos valores absolutos dos algarismos que o
compõem é divisível por 9. Este critério é
idêntico ao critério de divisibilidade do número
3.
Por 10: um número é divisível por 10 quando
termina em zero.
7
5. MÚLTIPLOS E DIVISORES
5.1. Múltiplos
Um número é múltiplo de outro quando é
o produto desse outro número por um número
natural. Para obtermos o conjunto dos múltiplos
de um número, multiplicamos ele por cada
elemento que compõe o conjunto dos números
naturais.
Exemplo: os múltiplos de 12 são:
12⋅0=012⋅1=1212⋅2=2412⋅3=36
⋮
Logo: M (12)={0,12 ,24,36 , ...}
Notas:
✔ Como o conjunto dos números naturais é
infinito, então o conjunto dos múltiplos
de um número também é infinito;
✔ O zero é múltiplo de todos os números.
5.2. Divisores
Um número é divisor de outro quando o
divide e deixa resto zero. Por exemplo, dizemos
que 2 é divisor de 12, pois o resto da divisão de
12 por 2 é 0. Neste último caso, também dizemos
que 12 é divisível por 2. Evidentemente, além do
2, o 12 tem outros divisores. Representamos
assim o conjunto cujos elementos são os
divisores de 12:
D(12)={1,2 ,3,4 ,6 ,12}
Notas:
✔ O 1 é divisor de todos os números;
✔ O conjunto dos divisores de um número é
sempre finito.
8
6. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) EMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
6.1. Mínimo Múltiplo Comum
Dados dois ou mais números, o M.M.C
desses números é o menor múltiplo, diferente de
zero, que eles têm em comum.
Exemplo: vamos determinar o M.M.C de 3 e 4.
Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Neste caso, os múltiplos comuns de 3 e
de 4 são 0, 12, 24,... O M.M.C então é o 12, pois
trata-se do menor múltiplo comum diferente de
zero.
6.1.1. Cálculo do M.M.C
A forma mais usada para se calcular o
M.M.C de dois ou mais números é o processo de
decomposição simultânea. Tal processo consiste
em decompor, ao mesmo tempo, os números
dados em fatores primos. Para tanto, escrevemos
os números numa mesma linha e traçamos uma
reta vertical à direita do último número. À direita
da linha ficarão os divisores primos; abaixo de
cada número à esquerda ficarão os quocientes
obtidos. Fazemos o processo até obtermos o
quociente 1 para todos os números. Ao final, o
produto dos fatores primos será o M.M.C dos
números em questão.
Exemplo: vamos calcular o M.M.C de 24, 32 e
48.
Portanto, teremos:
M .M .C (24, 32, 48)=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3=25⋅3=96
6.2. Máximo Divisor Comum
O M.D.C de dois ou mais números é o maior
divisor dentre os divisores comuns dos números
dados.
Exemplo: vamos determinar o M.D.C de 12 e 30.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Note que os divisores comuns são 1, 2, 3
e 6. Como o maior deles é o 6, então o M.D.C
será 6.
6.2.1. Cálculo do M.D.C
O método mais utilizado para se
determinar o M.D.C de dois ou mais números é o
seguinte: primeiro, decompõem-se os números
dados em fatores primos. Depois, calcula-se o
9
produto dos fatores comuns aos números,
utilizando, em caso de repetição, os fatores com
menores expoentes.
Exemplo: determinar o M.D.C de 24, 30 e 42.
Fatorando cada número em fatores
primos, teremos:
Logo:
24=2⋅2⋅2⋅3=23⋅3
30=2⋅3⋅542=2⋅3⋅7
Os fatores que se repetem são o 2 e o 3.
Para o caso do 2, temos 23 (que aparece no 24) e
2 (que aparece tanto no 30 como no 42). Como
devemos calcular o produto dos fatores comuns
aos números e com menores expoentes, então
descartamos o 23. Portanto:
M.D.C 24,30 ,42=2⋅3=6
10
7. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS –REGRA DE SINAIS
7.1. Adição e subtração
Se os números apresentarem sinais
diferentes, subtraímos e conservamos o sinal do
número que tem maior valor absoluto. Se os
sinais dos números forem iguais, somamos e
conservamos o sinal.
Exemplos:
a) 5+3=8b) −5−3=−8c) 10−15=−5d) 18−7=11
7.2. Multiplicação e divisão
Multiplicamos ou dividimos
normalmente, fazendo a seguinte relação de
sinais:
++→+−−→++−→−−+→−
Ou seja, o produto ou o quociente de
números que possuem o mesmo sinal é positivo;
se os números têm sinais contrários, então o
produto ou o quociente será negativo.
Exemplos:
a) 13÷13=1b) 25⋅2=−50c) 13÷(−13)=−1d) 25⋅(−2)=−50
e)−15−3
=5
Nota: todas essas regras valem também para
operações no conjunto dos números reais.
11
8. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
8.1. Algumas considerações acerca dosnúmeros decimais
Toda fração representada em notação
decimal é chamada número decimal.
Exemplo: 1510
=1,5
Aqui, temos um mesmo número
representado de duas formas: sob a forma de
fração e como número decimal.
8.1.1. Propriedades dos números decimais
Primeira propriedade: um número
decimal não se altera quando se acrescenta ou se
retira um ou mais zeros de sua parte decimal.
Exemplo: 0,7=0,70=0,700=0,7000
Segunda propriedade: quando desejamos
multiplicar um número decimal por 10; 100;
1000; … basta deslocarmos a vírgula para a
direita de uma, duas, três, … casas decimais,
conforme o número de zeros do fator
multiplicador.
Exemplos:
a) 27,342⋅10=273,42b) 27,342⋅100=2734,2c) 27,342⋅1000=27342d) 27,342⋅10000=273420
Terceira propriedade: quando desejamos
dividir um número decimal por 10; 100; 1000; …
basta deslocarmos a vírgula para a esquerda de
uma, duas, três, … casas decimais, conforme o
número de zeros do divisor.
Exemplos:
a) 27,342÷10=2,7342b) 27,342÷100=0,27342
8.2. Adição e subtração
Basta colocar os números normalmente
de tal modo que a vírgula do número de cima
fique na mesma coluna que a vírgula do número
de baixo, isto é, vírgula abaixo de vírgula.
Depois, fazemos a conta normalmente, baixando
a vírgula ao final.
Exemplo: vamos adicionar e subtrair os números
5,35 e 1,8.
12
8.3. Multiplicação
Basta multiplicar normalmente, como se
os números fossem naturais. Ao final, contamos
quantas casas decimais há no multiplicando e no
multiplicador, adicionando ambas as quantidades
e deixando a mesma quantidade de casas no
produto.
Exemplo: vamos multiplicar 10,5 por 2,2.
8.4. Divisão
8.4.1. Dividindo dois números que apresentam
casas decimais
Primeiro, deve-se eliminar a vírgula,
andando uma casa de cada vez nos dois números
até que não haja mais casas decimais depois da
vírgula (podemos fazer isso com a vírgula, pois
deslocar a vírgula uma casa é o mesmo que
multiplicar o número por 10; como, numa
divisão, podemos multiplicar o dividendo e o
divisor por um mesmo número que o quociente
não se altera, então, em um caso particular,
podemos multiplicar ambos por 10, ou seja,
podemos deslocar a vírgula uma casa que o
quociente não vai se alterar). Não tendo mais
vírgula, dividimos os dois números normalmente.
Exemplo: para dividirmos 8,2 por 4,1;
procedemos assim:
8,2÷4,1=8,24,1
=8,2⋅104,1⋅10
=8241
=2
ou
Neste último caso, no Passo 1 apenas
armamos a conta; no Passo 2, deslocamos a
vírgula uma casa para a direita. Agora, basta
dividirmos normalmente 82 por 41:
8.4.2. Fazendo divisões não exatas
Quando a divisão é exata, o resto é
sempre zero. Nos casos em que o resto é
diferente de zero, dizemos que a divisão não é
exata. Nesses casos, o quociente apresentará, se
continuarmos a divisão, casas decimais. E como
continuar a divisão? Acrescentando um zero no
resto e também uma vírgula no quociente.
Exemplo: vamos dividir 10 por 3.
Chegando aqui, para continuarmos
dividindo, acrescentamos um zero no resto, uma
vírgula no quociente e prosseguimos com a
13
divisão; em outras palavras, como 1 inteiro é
igual a 10 décimos, nós deixamos de dividir o 1 e
passamos a dividir os 10 décimos, motivo pelo
qual devemos acrescentar uma vírgula no
quociente, pois passamos a trabalhar com
décimos agora, e os décimos sempre vêm depois
da vírgula.
Logo, 10 dividido por 3 é igual a 3,3. Se,
ainda assim, quisermos continuar dividindo (já
que o resto ainda não foi zero), acrescentamos
um zero no resto e continuamos a divisão (neste
caso, não precisamos mais acrescentar uma
vírgula no quociente, já que ela já está lá):
Vemos assim que, se continuarmos dividindo,
obteremos 3,3333333333... como quociente, ou
seja, é uma divisão que nunca acaba, pois o resto
nunca é igual a zero.
8.4.3. Observações importantes acerca da
divisão
Observação 1: quando o dividendo for
menor do que o divisor, acrescentamos um zero
nele e um zero e uma vírgula no quociente para
podermos efetuar a divisão.
Exemplo: vamos dividir 5 por 50.
Nota: caso precisemos acrescentar dois zeros no
dividendo, então acrescentamos um zero, uma
vírgula e mais um zero no quociente; se
precisarmos acrescentar três zeros, então
acrescentamos um zero, uma vírgula e mais dois
zeros no quociente, e assim por diante. Além
disso, podemos também acrescentar um zero no
resto para continuarmos uma divisão: se fizermos
isso, devemos colocar uma vírgula no quociente.
Observação 2: caso precisemos “descer”
dois números para continuar uma divisão,
devemos acrescentar um zero no quociente.
Exemplo: para dividirmos 912 por 3,
procedemos assim:
Observe que, mesmo descendo o 1, não é
possível continuar a divisão, pois 1 é menor do
que 3. Dessa forma, descemos o 2,
acrescentamos um zero no quociente e
continuamos a divisão:
14
Uma outra forma de enxergar isso, e essa
é a forma correta, é: na verdade, o 1, mesmo
sendo menor, pode ser dividido por 3, e o
resultado dessa divisão é zero, pois 0⋅3=0, e 0 é
o valor mais próximo de 3 que podemos
encontrar. Daí, dividimos o 1 pelo 3 (que dá
zero) e continuamos a divisão normalmente.
Observação 3: se, no dividendo, ao final
da divisão, ficar um número sem “descer”, e se
esse número for um zero, devemos acrescentar
um zero no quociente para encerrar a divisão.
Caso sobrem dois zeros, devemos acrescentar
dois zeros no quociente, e assim por diante.
Exemplo: dividindo 950 por 5, teremos:
Observe que, depois que baixamos o 5,
ficamos com 45÷5 , o que dá 9. O resto então dá
zero, mas o zero do 950 ficou sem descer. Dessa
forma, acrescentamos um zero no quociente para
o processo de divisão terminar:
Nota: se o número que ficar sem descer for
diferente de zero, também para finalizar a divisão
devemos acrescentar um zero no quociente e
considerar o número que não desceu como o
resto.
Exemplo: dividindo 951 por 5, teremos:
Neste caso, podemos até descer o 1, mas
ele é menor do que 5 e por isso mesmo a divisão
não pode continuar (a não ser, claro, que
continuemos a dividir com vírgula). Daí, se
quisermos encerrar a divisão assim mesmo,
colocamos um zero no quociente e consideramos
o 1 como o resto:
Observação 4: não podemos dividir um
número por zero.
Observação 5: o resto é sempre menor
que o divisor. Isso significa que, caso você esteja
15
dividindo e, no final, o resto seja maior que o
divisor, é porque a divisão está errada.
Observação 6: em qualquer divisão,
temos:
dividendo = quociente⋅divisorresto
Nota: esta é a relação fundamental da divisão.
16
9. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
9.1. Multiplicação
Basta multiplicarmos numerador por
numerador e denominador por denominador.
Exemplo: 43⋅
23=
4⋅23⋅3
=89
9.2. Divisão
Para dividirmos uma fração por outra,
repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo
inverso da segunda.
Exemplo: 54÷
35=
54⋅
53=
5⋅54⋅3
=2512
9.3. Adição e subtração
Para adicionarmos ou subtrairmos frações
de mesmo denominador, basta repetirmos o
denominador e adicionarmos ou subtrairmos os
numeradores.
Exemplo: 1211
+4
11=
12+411
=1611
Se as frações envolvidas não têm o
mesmo denominador, é preciso transformar os
seus denominadores de tal modo que fiquem
iguais. Trata-se de encontrar duas frações
equivalentes às primeiras e que possuem um
denominador em comum.
Exemplo: 125+
46=?
Para deixarmos essas duas frações com o
mesmo denominador, primeiro calculamos o
M.M.C entre eles:
O M.M.C entre 5 e 6 é, portanto,
2⋅3⋅5=30. Agora, colocamos o 30 como
denominador das duas frações e o dividimos
pelos denominadores originais, multiplicando o
resultado obtido pelo numerador correspondente,
obtendo assim os novos numeradores:
125
46=30÷5⋅12
3030÷6⋅4
30=
7230
2030
=9230
17
10. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E DA
SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS REAIS
10.1. Adição
Propriedade comutativa: a ordem das
parcelas não altera a soma.
Exemplo: 23=32=5
Propriedade associativa: numa adição
com mais de duas parcelas, podemos associar as
parcelas de diferentes modos que a soma não se
altera.
Exemplo: 238=238=13
Existência do elemento neutro: o zero é
o elemento neutro da adição. Isso significa que o
zero como parcela de uma adição não influencia
o resultado final.
Existência do elemento oposto: dado um
número a, sempre existe um número que
adicionado a a tem como soma 0. Este número é
denotado por −a e é chamado de oposto ou
simétrico de a.
Exemplo: o oposto de 5 é −5, pois 5−5=0.
10.2. Multiplicação
Propriedade associativa: em uma
multiplicação com três ou mais números,
podemos associar os fatores de diferentes modos
que o produto não se altera.
Exemplo: 2⋅5⋅3=2⋅5⋅3=30
Propriedade comutativa: a ordem dos
fatores não altera o produto.
Exemplo: 2⋅5=5⋅2=10
Existência do elemento neutro: o 1 é o
elemento neutro da multiplicação.
Existência do elemento inverso: qualquer
número real não-nulo a tem um inverso 1a tal que
a⋅1a=1.
Exemplo: o inverso de 5 é 15
, pois 5⋅15=1.
Propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição: o produto de
um número por uma adição é igual à soma dos
produtos desse número pelas parcelas da adição.
Exemplo: 3⋅54=3⋅53⋅4=1512=27
18
11. POTENCIAÇÃO
Pode-se dizer que é um caso particular da
multiplicação quando os fatores são iguais. Por
exemplo:
3⋅3⋅3⋅3=81
Como o 3 se repete 4 vezes, podemos
escrever isso, abreviadamente, assim:
34=81
De uma maneira geral, escrevemos:
a1=aa2=a⋅a
a3=a⋅a⋅a
⋮
an=a⋅a⋅a⋅a⋅⋅an vezes
Notas:
✔ a0=1, a≠0
✔ a−n=
1
an, a≠0
11.1. Propriedades das potências
✔ am⋅an=amn
✔ am÷an
=am−n , a≠0
✔ amn=am⋅n
✔ a⋅bn=an⋅bn
✔ a÷b n=an÷bn , b≠0
Exemplos:
a) 150=1
b) 2−2=
1
22=
14
c) 39⋅3−8
=39+(−8)=31
=3
d)−133
−131 =−133−1=−132
=169
e) (42)3=42⋅3=46
f) (2⋅5)2=22⋅52
=4⋅25=100
g) (10÷5)2=102÷52=100÷25=4
19
12. RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da
potenciação. Observe:
72=49
49=7
Ou seja, o que uma faz, a outra desfaz.
12.1. Definição
Sendo n um número natural diferente de
zero e a um número real, dizemos que n√a é o
número real b tal que bn=a.
12.2. Propriedades das raízes
✔ n√a⋅n√b=n√a⋅b
✔n√an√b
=n√ a
b, com b≠0
✔ (n√a )
k=
n√a k
✔ m√ n√a=
m⋅n√a
Exemplos:
a) √8⋅√8=√8⋅8=√64=8
b)3√16
3√2
=3√ 16
2=
3√8=2
20
13. IGUALDADES: RESOLVENDO EQUAÇÕES DO
1º GRAU
13.1. O que é uma equação
Na Matemática, temos basicamente dois
tipos de sentenças3: as sentenças abertas e as
sentenças fechadas.
Uma sentença é fechada quando pode ser
classificada em verdadeira ou falsa. Como
exemplo, observe que a sentença 9<5 pode ser
classificada em verdadeira ou falsa (no caso, ela
é falsa).
Uma sentença é dita aberta quando não
pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Por
exemplo, a sentença 3⋅x=3 é uma sentença
aberta, pois não podemos dizer se ela é
verdadeira ou falsa4.
Uma equação nada mais é do que uma
sentença aberta expressa por uma igualdade.
Exemplos:
a) 3 x=15b) −5 x2
+2=−9c) √16−x=4
13.2. Resolvendo equações do 1º grau
Uma equação que pode ser escrita na
forma a⋅x+b=0, com a e b racionais e a≠0, é
chamada de equação do 1º grau.
3 Sentença aqui deve ser entendido como uma frase, umaafirmação.
4 Virá a ser verdadeira ou falsa quando dermos um valorpara x. Por exemplo, para x=1, a sentença se tornaverdadeira; para qualquer outro valor de x, ela é falsa.
Para resolvermos equações do 1º grau,
utilizamos dois princípios:
Primeiro princípio: se adicionarmos ou
subtrairmos um mesmo número a ambos os
membros de uma igualdade, a igualdade não se
altera.
Exemplo: 2=2⇒2+1=2+1⇒3=3
Segundo princípio: se multiplicarmos ou
dividirmos por um mesmo número, diferente de
zero5, os dois lados de uma igualdade, a
igualdade não se altera.
Exemplo: 15=15⇒15⋅2=15⋅2⇒30=30
A partir desses dois princípios, podemos
resolver qualquer equação do 1º grau.
Exemplo 1: vamos resolver a equação x1=5.
Neste caso, precisamos eliminar o 1
presente no primeiro membro da igualdade para
deixarmos o x sozinho. Basta, então, tirarmos 1
de ambos os lados da igualdade:
x+1=5⇒ x+1−1=5−1⇒ x=4
Exemplo 2: vamos resolver a equação 2⋅x=10.
Para resolvermos essa equação,
precisamos eliminar o 2 que multiplica o x. Para
isso, multiplicamos ambos os lados da igualdade
5 O número precisa ser diferente de zero, pois não hádivisão por zero.
21
por 12 (o que equivale a dividir por 2):
2 x=10⇒2 x⋅12=10⋅
12⇒
⇒2 x1⋅
12=
101⋅
12⇒
⇒2 x2=
102⇒ x=5
De forma mais direta, podemos resolver
as equações dos exemplos 1 e 2 assim:
x+1=5⇒ x=5−1⇒ x=4
e
2 x=10⇒ x=102⇒ x=5
De um modo geral, dizemos que, quando
passamos um número para o outro lado da
igualdade, “invertemos” o seu sinal: quando é
positivo, passa negativo; quando é negativo,
passa positivo; quando está multiplicando, passa
dividindo; e quando está dividindo, passa
multiplicando6.
Exemplo 3:
2 x+5=10⇒⇒2 x=10−5⇒⇒2 x=5⇒
x=52⇒ x=2,5
6 Observe que isso é uma consequência dos doisprincípios mencionados acima, ou seja, a formarealmente correta de se resolver é utilizando osprincípios.
Exemplo 4:
6 x=8 x−2⇒6 x−8 x=−2⇒−2 x=−2⇒
⇒ x=−2−2
⇒ x=1
Exemplo 5:
−15 x2
=15⇒−15 x=15⋅2⇒−15 x=30⇒
⇒ x=30−15
⇒ x=−2
Exemplo 6:
2 x2=15 x+1⇒
⇒2 x=2⋅(15 x+1)⇒⇒2 x=30 x+2⇒⇒2 x−30 x=2⇒
⇒−28 x=2⇒ x=2
−28=−
114
22
14. GEOMETRIA
14.1. Alguns conceitos básicos
Em geometria euclidiana plana,
consideramos como elementos primitivos o
ponto, a reta e o plano. Por serem elementos
primitivos, eles não têm definição.
14.1.1. Segmento
O conjunto constituído por dois pontos A
e B e por todos os pontos que estão entre A e B é
chamado segmento AB.
14.1.2. Semirreta
Se A e B são pontos distintos, o conjunto
formado pelos pontos do segmento AB e por
todos os pontos C tais que B encontra-se entre A
e C, é chamado de semirreta de origem A
contendo o ponto B.
14.1.3. Ângulo
Chamamos de ângulo a figura formada
por duas semirretas com a mesma origem.
14.1.4. Polígono
Ao conjunto de segmentos consecutivos
AB, BC, CD, … dá-se o nome de linha poligonal.
Denomina-se polígono toda região do
plano limitada por uma linha poligonal fechada
em que os lados não se cruzam.
14.1.4.1. Elementos de um polígono
No polígono acima, temos:
➢ Vértices: A, B, C, …
➢ Lados: AB, BC, …
➢ Diagonais: AC, AD, …
23
14.1.5. Quadriláteros
Todo polígono que possui quatro lados é
denominado quadrilátero.
Os quadriláteros se classificam em
paralelogramos e trapézios.
14.1.5.1. Paralelogramo
É o quadrilátero que possui os lados
opostos paralelos. Classificam-se em:
➢ Retângulo: paralelogramo que possui
quatro ângulos de mesma medida.
➢ Losango: paralelogramo que possui os
quatro lados de mesma medida.
➢ Quadrado: paralelogramo cujos lados
têm a mesma medida e cujos ângulos
também têm.
14.1.5.2. Trapézio
É o quadrilátero que possui apenas dois
lados paralelos.
14.1.6. Circunferência
Seja A um ponto do plano e r um número
real positivo. A circunferência de centro A e raio
r é o conjunto constituído por todos os pontos B
do plano tais que AB=r.
14.2. Algumas áreas importantes
14.2.1. Retângulo e paralelogramo
Área = b⋅h
14.2.2. Quadrado
Área = l⋅l=l 2
14.2.3. Losango
Área = D⋅d
2
14.2.4. Triângulo
Área = b⋅h2
24
14.2.5. Trapézio
Área = Bb⋅h
2
14.2.6. Círculo
Área = ⋅r 2, (≈3,14)
25
PARTE SEGUNDA – CURIOSIDADES, ERROS COMUNS, DICAS EMAIS
1. O QUE SIGNIFICAM EXPRESSÕES DO TIPO
2a OU 2x?
A princípio, ambas representam um
produto.
No Ensino Fundamental, ensina-se que,
caso não haja riscos de ambiguidade, nós
podemos omitir o sinal que representa a
multiplicação. Dessa forma, 2 a=2⋅a=2×a (o
mesmo vale para 2x). Já a mesma omissão não
podemos fazer para 2⋅5, pois, ao omitirmos o
sinal, ficamos com 25.
Por outro lado, 2a ou 2x podem ter
significados mais abrangentes. O a e o x podem
estar fazendo o papel de variáveis ou de
incógnitas.
1.1. O que é uma variável
Em Matemática, uma letra é uma variável
quando pode assumir vários valores diferentes de
um dado intervalo.
Exemplo: imagine que você seja um vendedor de
uma loja de roupas e que seu salário seja dado
assim: vencimento inicial de R$ 400,00 mais
10% sobre tudo o que você vende durante o mês.
Essa situação pode ser representada assim:
S=4000,1 a
Onde S é o salário e a, o total de vendas.
Neste caso, como o total de vendas é uma
grandeza variável, então a poderá receber vários
valores diferentes. Dizemos, então, que a é uma
variável.
1.2. O que é uma incógnita
Já uma incógnita também é representada
por uma letra, porém essa letra só pode assumir
um único valor, isto é, já existe um valor fixo
para ela, apenas não o conhecemos.
Exemplo: “A minha idade menos cinco é igual
ao dobro de trinta menos quarenta”. Essa
situação pode ser representada por:
x−5=2⋅30−40
Neste caso, a “minha idade” é um valor
fixo, único, apenas é necessário determiná-lo.
Para isso, resolvemos a equação:
x−5=2⋅30−40⇒⇒ x−55=2⋅30−405⇒
⇒ x=2⋅30−35⇒x=25
Nota: o tipo de letra usada não determina a sua
natureza. Isso quer dizer que, ao tentarmos
resolver um problema, podemos usar x, a ou
qualquer outra letra.
26
2. POR QUE X + X = 2X?
Essa pergunta nos remete a um dos
conceitos da multiplicação: multiplicar um
número a por um número b equivale a adicionar
o número b a si mesmo a vezes. Assim:
3⋅4=444ou
3⋅4=3333
Dessa forma, 2 x=x x, e o problema
estaria resolvido. No entanto, o conceito de
multiplicação referido acima é deficiente, pois,
para alguns casos, ele não faz sentido7.
Para mostrarmos que xx=2 x, podemos
recorrer às propriedades da multiplicação:
xx=1⋅x1⋅x (elemento neutro)1⋅x1⋅x= x⋅11 (distributiva)
x⋅11= x⋅2x⋅2=2⋅x=2x (comutativa)
Portanto, partimos de xx e chegamos
em 2 x, ou seja, xx=2 x.
Nota: por aí vemos por que não faz sentido fazer
coisas do tipo x2x=2 x. Observe:
x2x= x⋅x1
Como não podemos mais operar, então
xis ao quadrado mais xis só pode ser igual a xis
ao quadrado mais xis: x2x= x2
x.
7 Em multiplicações por zero ou que envolvem númerosnegativos, por exemplo: como adicionar um número asi mesmo zero vezes? -2 vezes?
27
3. POR QUE a∙0=0, INDEPENDENTEMENTE DO
VALOR DE a?
Mostramos isso por meio da propriedade
distributiva da multiplicação:
aa⋅0=a⋅1a⋅0=a⋅10=a⋅1=a=a0
Ou seja:
aa⋅0=a0
Consequentemente, comparando os dois termos
da igualdade acima:
a⋅0=0
28
4. POR QUE NÃO PODEMOS DIVIDIR POR ZERO?
Utilizando um pouco de lógica, podemos
dizer: porque o ato de dividir necessita de, pelo
menos, uma pessoa receptora. Em forma
interrogativa: como podemos dividir algo com
ninguém?
Essas considerações seriam até boas caso
não fossem tão limitadas8. Para mostrarmos por
que a divisão por zero não faz sentido, vamos
recorrer à definição de divisão.
Considere a o dividendo, b o divisor e c o
quociente de uma divisão qualquer. Devemos
mostrar que a divisão não faz sentido quando
b=0.
Ora, de acordo com a definição de
divisão, dizer que ab=c significa dizer que
a=b⋅c. Tomando b=0, ficamos com a=0⋅c. Por
outro lado, o produto de qualquer número por
zero é igual a zero, ou seja: 0⋅c=0 e, portanto, a
igualdade a=0⋅c só faz algum sentido quando
a=0. Disso concluímos que, se a for diferente de
zero, então a divisão não existe, pois não existe
um número c tal que c⋅0 seja um número
diferente de zero.
Primeira conclusão: a0
, com a≠0, não
existe.
Mas e se a for zero? Ou melhor, qual o
resultado da divisão de zero por zero?
8 Quando o grau de abstração vai aumentando, nóssimplesmente vamos deixando de falar em 'pessoas':passamos a dividir por números negativos, raízes,frações, etc.
Quando a=0, ficamos com 0=0⋅c. Neste
caso, para qualquer valor de c, a igualdade será
verdadeira, pois qualquer número vezes zero é
zero. Mas c aqui representa o quociente, ou seja,
o resultado da divisão. A conclusão aqui não
pode ser outra: como zero dividido por zero
possui infinitos resultados, então temos um caso
de indeterminação.
Segunda conclusão: 00
é uma divisão
indeterminada.
29
5. POR QUE a0=1, PARA a≠0?
Uma das propriedades das potências nos
diz que:
am÷an=am−n , a≠0
Tomando m=n, ficamos com:
am÷am=am−m=a0
Entretanto, um número, diferente de zero,
dividido por si mesmo é igual a 1. Logo:
am÷am=1
Portanto, como am÷am=a0 e am÷am=1,
concluímos que:
a0=1, para a≠0
Em todos esses casos, estamos supondo
que o a é diferente de zero. E no caso do a ser
igual a zero? Quanto é 00? A resposta é: 00 é uma
expressão indeterminada. Vejamos:
00=0m÷0m
Como zero elevado a qualquer número é
igual a zero, então 0m=0. Por conseguinte:
00=0m÷0m=0÷0
Ora: já mostramos que zero dividido por
zero é indeterminado. Logo, 00 também é.
30
6. CERTO OU ERRADO?
Primeiro caso: −12=
1−2
=−12
Está correto. No primeiro membro, temos
um número negativo sendo dividido por um
número positivo; no segundo, temos os mesmos
números em valor absoluto, só que o segundo é
que está negativo; no terceiro, indicamos que a
fração é que está negativa. Nos dois primeiros
casos, ao fazermos a relação de sinais, ficaremos
com um número negativo:
−12=−1÷2=−0,5
1−2
=1÷−2=−0,5
O mesmo resultado encontraremos para
−12
:
−12=−1÷2=−0,5
Segundo caso: −1−2
=−12
Claramente incorreto:
−1−2
=−1÷−2=0,5
Terceiro caso: 2 x=10⇒ x= 10−2
Este é um erro típico de quem não resolve
as equações utilizando o método adequado.
Quem comete um erro desses deve ter se
lembrado que “quando um número é positivo, ele
passa para o outro lado da igualdade negativo”.
Mas o correto, neste caso, é multiplicarmos
ambos os membros da igualdade por 12
:
2 x=10⇒2⋅x⋅12=10⋅
12⇒ x=
102
Quarto caso: 52⋅3=7⋅3=21
Errado! Em uma expressão na qual temos
uma adição e uma multiplicação lado a lado,
devemos fazer primeiro a multiplicação9. O
correto é:
52⋅3=56=11
Se quiser conferir, basta observar que
2⋅3=3+ 3, logo:
5+2⋅3=5+3+3=11
9 A multiplicação e a divisão têm prioridade em relação àadição e à subtração. No caso de apareceremparênteses, aí devemos resolver primeiro o que estádentro do parêntese, independentemente das operaçõesque estejam presentes.
31
7. POR QUE (-1)∙(-1)=1?
Na adição e subtração, podemos associar
o sinal negativo a perda, o sinal positivo a ganho
e tudo fica com sentido. Alguns exemplos:
−12=1
(eu devo 1 real e pago 2: ficarei com saldo positivo de 1)
−1−1=−2
(eu devo 1 real e peço mais 1 emprestado: ficarei devendo
2)
Não obstante, e neste caso:
−3−3=−6
Realmente, aqui fica sem sentido as
associações feitas acima, pois tenho um sinal de
menos e um sinal de mais juntos. Como saber
então se estou pagando ou pegando?
Observe que esta última dificuldade não
tira o brilho daquelas associações, pois, neste
último caso, não temos mais simplesmente uma
adição ou subtração: temos também uma
multiplicação. Veja:
−3−3=−3−1⋅3
Ou seja, na nossa primeira igualdade ali
em cima, nós temos um −1 multiplicando, só
que ele está oculto. Agora, fazendo a relação de
sinais, ficamos com:
−3−1⋅3=−3−3=−6
Chegando aqui, o problema que se nos
apresenta agora é outro: por que o produto de um
número negativo por um número positivo é
sempre negativo?
Para esse problema, não há uma lógica
fácil, um raciocínio ou uma associação simples
que lhe dê sentido. A justificativa para as
relações de sinais são matemáticas.
Note, primeiramente, que zero vezes
qualquer número é igual a zero; além disso,
qualquer número menos si próprio é igual a zero.
Teremos então:
1⋅0=0⇒1⋅1−1=0⇒1⋅11⋅−1=0ou ainda:
11⋅−1=0
Logo: 1⋅−1=−1 (ou seja, mais por
menos é menos).
Em seguida:
−1⋅0=0⇒−1⋅1−1=0⇒⇒−1⋅1−1⋅−1=0⇒⇒−1−1⋅−1=0
Portanto: −1⋅−1=1.
32
8. COMENTÁRIOS E CURIOSIDADES SOBRE OS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
8.1. Dos irracionais
A descoberta dos números irracionais,
feita pelos pitagóricos na Grécia Antiga,
desencadeou o que é conhecida como a primeira
grande crise da Matemática. Na época,
acreditava-se que todas as grandezas eram
comensuráveis. No entanto, a descoberta dos
irracionais não só mostrou que isso não era
verdade como mostrou também que a
Matemática não é perfeita e tem suas falhas. A
Matemática é um tipo de conhecimento, assim
como o é a Física, a Filosofia e a própria religião,
e, como tal, carrega seus erros, exceções da regra
e relatividade. Ela não traz consigo a verdade em
si, mas apenas verdades que só têm validade
quando contemplamos o contexto no qual tais
verdades estão inseridas.
Criada ou descoberta? A Matemática foi
criada, como tudo o que contemplamos no
mundo humano, no nosso mundo, todavia certos
fatos matemáticos foram descobertos. Ainda
assim, tais fatos não existem por si só: precisam
de alicerces, e todos esses alicerces são ou foram
criados. De onde concluímos que mesmo os
fatos matemáticos mais sólidos foram, em certo
sentido, criados.
8.2. Do número pi e de sua irracionalidade
O número π, como já vimos, é o resultado
da divisão do perímetro de uma circunferência
pelo seu diâmetro. Intuitivamente, podemos ter
uma noção do porquê do número pi ser
irracional. O seu cálculo envolve a medida do
comprimento de uma circunferência, mas uma
circunferência é algo “curvo”. Ora, em certo
sentido, tudo o que medimos no mundo são
segmentos de retas (altura de alguém, distância
entre duas cidades, diâmetro de um átomo).
Assim, para medirmos o comprimento de uma
circunferência, podemos dividir tal curva em
vários segmentos de retas. Trabalhando com
polígonos regulares, é possível ter uma ideia
mais clara do que isso significa:
Neste caso, partimos do polígono regular
com o menor número de lados possível
(triângulo) e fomos aumentando o número de
lados. O último polígono tem 14 lados e já
apresenta certa semelhança com uma
circunferência. Dessa forma, conhecendo o
comprimento do lado do triângulo (digamos que
seja l), fazemos l+l+ l ou 3⋅l e achamos o
33
perímetro do mesmo. Conhecendo o
comprimento do lado do pentágono (3º polígono
da figura), fazemos 5⋅l e achamos o perímetro do
pentágono. Com o último polígono, o que já tem
certa semelhança com uma circunferência,
fazemos 14⋅l e achamos seu perímetro. Ainda
assim, mesmo com 14 lados e tendo certa
semelhança com uma circunferência, o último
polígono é composto por segmentos de retas, ele
não é curvo, ele não é uma circunferência. E
mesmo que trabalhemos com um polígono de
1000 lados, ele ainda não será uma
circunferência. Por outro lado, quanto maior o
número de lados do polígono, mais próximo de
uma circunferência chegaremos e mais exato será
nosso cálculo (lembre-se que nosso objetivo seria
o de calcular o comprimento de uma
circunferência). O problema disso é que, por
mais lado que o polígono tenha, ele nunca será
uma circunferência e nosso cálculo nunca será
exato. É daí que vem a irracionalidade de π: ele
nunca terá fim, pois, por maior que seja o
número de lados de um polígono, sempre
podemos trabalhar com um polígono com um
número maior de lados e assim obter outro valor
para o comprimento desejado (um valor próximo
do primeiro, com diferenças apenas nas casas
decimais). Dessa forma, fica fácil imaginar por
que π é um número irracional, isto é, um número
não exato que possui infinitas casas decimais.
8.3. Dos cálculos feitos com o número pi
Diversos tipos de cálculos utilizam o
número π como base. Alguns exemplos triviais
são o cálculo do comprimento de uma
circunferência, o cálculo da área de um círculo e
o cálculo do volume de uma esfera. O problema
da utilização do número π para o cálculo de
áreas ou volumes é que o resultado final sempre
será aproximado, nunca será exato. O que mais
uma vez nos mostra que nem tudo na Matemática
é consistente e exato – na verdade, há um grande
número de inconsistências e inexatidões na
Matemática.
Tomando como exemplo o cálculo do
volume V de uma esfera de raio r, temos a
seguinte fórmula:
V =4⋅π⋅r⋅r⋅r
3
Fica claro pela fórmula que o volume de
uma esfera é algo impossível de se determinar de
forma exata, pois não podemos trabalhar com as
infinitas casas decimais do número π.
Obviamente, podemos obter um resultado com
grande precisão se trabalharmos com muitas
casas decimais no número π, porém o resultado
exato é inalcançável: não existe, por assim dizer.
Perceba também que a esfera é um ente
matemático: existe apenas no mundo das ideias,
na cabeça dos seres humanos. Ainda assim,
mesmo existindo apenas no mundo da
Matemática, não podemos calcular seu volume
de forma exata. É claro que as características de
uma ideia como a da esfera contribui para isso.
34
E lembre-se: o que você está vendo na
figura logo acima não é uma esfera, mas a
representação de uma.
8.4. A questão do infinito nos conjuntosnuméricos
Em turmas de sétimo ano, sempre que
trabalho o conjunto dos números inteiros com os
alunos, costumo perguntar em dado momento do
ano letivo qual conjunto possui mais elementos:
o conjunto dos números naturais ou o conjunto
dos números inteiros. As respostas são variadas.
Uma outra questão que costuma intrigar
os alunos é a comparação entre o conjunto dos
números naturais e o conjunto dos números
naturais pares: quem tem mais elementos?
Já vimos que o conjunto dos números
naturais é representado por ℕ={0,1 ,2 ,3,4 ,…}.
Já o conjunto dos números naturais pares é
representado por {0,2 ,4 ,6 ,8 ,…}. A princípio,
parece-nos que, se pudéssemos comparar a
quantidade de elementos dos dois conjuntos, o
conjunto dos números naturais pares certamente
teria menos elementos. Da mesma forma, somos
tentados a dizer que o conjunto ℤ tem mais
elementos do que o conjunto ℕ, pois, além de
possuir todos os números presentes em ℕ, tem
ainda os números inteiros negativos. Essa é,
inclusive, uma resposta dada por muitos alunos.
Não obstante, quando contemplamos o fato de
que ambos os conjuntos são “infinitos”, a dúvida
costuma bater nossa porta. Afinal de contas, se
dois conjuntos possuem infinitos elementos,
como posso dizer que um tem mais elementos do
que o outro?
Para esclarecermos essa questão,
precisamos ponderar sobre algumas coisas. A
primeira delas é precisamente sobre o infinito
nos conjuntos numéricos.
Infinito em ato e infinito potencial
Apesar de nós professores, muitas vezes,
afirmarmos para nossos alunos coisas como “O
conjunto dos números naturais é infinito” ou
ainda “Esse conjunto possui infinitos
elementos”, esse não é um tipo de comunicação
tecnicamente correta. Em verdade, o conjunto
dos números naturais não possui infinitos
elementos, mas seus elementos são de natureza
tal que sempre podemos conceber mais um,
aumentando o conjunto indefinidamente. É o que
chamamos de infinito potencial, diferentemente
de infinito em ato, também chamado infinito
atual (este último, um conceito absolutamente
controverso). O que ocorre muitas vezes é que
muitas pessoas tratam os conjuntos como se eles
fossem infinitos em ato, porém o que eles são é
potencialmente infinitos.
Relação biunívoca
Trata-se de uma relação entre dois
conjuntos que associa cada elemento de um
conjunto a um único elemento de outro conjunto
35
e vice-versa. Esse tipo de relação é utilizada,
além de outras coisas, para comparar dois
conjuntos e saber se eles possuem a mesma
quantidade de elementos. Exemplificando,
vejamos os dois conjuntos dados abaixo:
A={1,2 ,3,4}
e
B={10,20 ,30 ,40}
Perceba que ambos os conjuntos possuem
a mesma quantidade de elementos e também que
cada elemento de B corresponde a cada elemento
de A multiplicado por 10. Dizemos, então, que
existe uma relação biunívoca entre esses dois
conjuntos. Em moldes gerais, quando dizemos
que existe uma relação biunívoca entre dois
conjuntos, estamos dizendo que ambos possuem
a mesma quantidade de elementos e que existe
uma relação que associa esses elementos de
forma ordenada: cada elemento do primeiro
conjunto possui seu correspondente no segundo
conjunto, e não faltará nem sobrará ninguém.
Cardinalidade e números transfinitos
De modo geral, dizemos que dois
conjuntos finitos que podem ser colocados em
correspondência biunívoca possuem o mesmo
número cardinal. No exemplo acima envolvendo
os conjuntos A e B, dizemos que ambos têm o
mesmo número cardinal e que tal número é 4;
isto é, a quantidade de elementos que cada
conjunto possui é chamado de número cardinal.
Quando os conjuntos envolvidos são
potencialmente infinitos, o número cardinal
passa a se chamar número transfinito. Fica claro
que um número transfinito não pode ser expresso
por um número (parece meio contraditório,
não?). Falando de outro modo: a quantidade de
elementos de um conjunto finito é chamada de
número cardinal; em contrapartida, a quantidade
de elementos de um conjunto como o dos
números naturais é chamada de número
transfinito. E onde quero chegar com isso?
Bom, para compararmos dois conjuntos
infinitos, precisamos trabalhar com números
transfinitos. Para compararmos o conjunto dos
números naturais com o conjunto dos números
naturais pares, por exemplo, e saber quem tem
mais elementos ou se a quantidade de elementos
é a mesma, precisamos comparar os números
transfinitos dos dois conjuntos. E como fazemos
isso? Por meio de relações biunívocas
envolvendo principalmente os números naturais.
Voltando ao problema dos números pares,
observe novamente os dois conjuntos:
Conjunto dos números naturais:
{0,1 ,2 ,3,4 ,5 ,…}
Conjunto dos números naturais pares:
{0,2 ,4 ,6 ,8,10 ,…}
Perceba que os números pares, pela
ordem, são iguais a seus correspondentes
naturais multiplicados por 2. Ou seja: o primeiro
elemento do conjunto dos pares é igual ao
36
primeiro elemento do conjunto dos naturais
multiplicado por 2; o segundo elemento do
conjunto dos pares é igual ao segundo elemento
do conjunto dos naturais multiplicado por 2; e
assim por diante, indefinidamente. E mais: essa
relação é biunívoca. Ou seja, os dois conjuntos
têm o mesmo número transfinito, ou ainda,
forçando os termos, podemos dizer que têm o
mesmo número de elementos.
Essa é uma conclusão aparentemente
contraditória, mas matematicamente
comprovada. Isso significa que nem sempre o
todo é maior do que uma de suas partes.
Outros fatos matemáticos curiosos
envolvendo os conjuntos numéricos e que já
foram comprovados:
• O conjunto dos números racionais, que,
além de possuir todos os números
naturais, possui também todas as frações
e suas respectivas representações
decimais, possui a mesma quantidade de
elementos do conjunto dos números
naturais.
• O conjunto dos números irracionais
possui mais elementos do que o conjunto
dos números racionais.
37
INFORMAÇÕES EXTRAS
1. DO ESCRITO
Este texto matemático começou a ser
escrito em 2009 a pedido de uma aluna do
Anésio Leão (escola estadual aqui de Campina
Grande). A ideia inicial era a de fazer um resumo
curto e “topificado” sobre alguns conteúdos de
matemática elementar. De lá para cá, no entanto,
já foram 8 atualizações, com muitas
implementações, detalhamentos e
aperfeiçoamentos diversos. Atualmente
considero este escrito um esboço para um futuro
livro.
Muitos assuntos importantes ainda não
foram incluídos aqui. São exemplos: a
porcentagem, a regra de três, polinômios e
funções. Isso ficará para o futuro. Além disso,
alguns assuntos já presentes não foram tratados
ainda com grande esmero: coloquei-os de modo
sucinto, sem tantos exemplos e com não muito
detalhes. Isso será corrigido também no futuro.
A ideia dos “porquês” será mantida. Na
verdade, a pretensão é que isso seja o grande
diferencial do livro: não apenas trazer os
conteúdos, mas entremear filosofia da
matemática nas explicações, mostrando a causa,
o porquê de alguns resultados e, outrossim, o que
há de curioso em muitos aspectos da matemática
elementar.
2. DOS PROGRAMAS UTILIZADOS
Como já é uma marca quase registrada
minha, gostaria de citar os softwares que utilizo
na criação. Para este escrito, foram utilizados:
• Adobe Photoshop;
• Inkscape;
• LibreOffice Writer.
3. DAS FONTES UTILIZADAS
As referências bibliográficas utilizadas
foram diversas e de épocas variadas. Resolvi não
citar fontes ainda, até porque não fiz citações e,
ademais, todo o texto aqui presente é de minha
autoria, incluindo todas as imagens, sendo a
única exceção a imagem do fractal utilizada na
capa, que foi baixada no endereço:
http://hqwide.com/abstract-fractals-fractal-
wallpaper-58327
Prof. Pedro Romão, maio de 2014.
38