Post on 28-May-2020
Geophysical Fluid Dynamics Term Paper
Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial Area
By Taroh Matsuno
Study Notes
B90209030 蔡禹明
B90209028 沈彥志
1
Contents
A. Derivation of Equations………………………………………………………………………………2
B. Dispersion Relation………………………………………………………………………………………8
C. Eigenvectors and Divergent Fields…………………………………………………………10
D. Example for Fortran Program & Ncar Graphics…………………………….……43
E. Simple Conceptual Eigenvector Plots……..................................................45
Appendix 1. Matsuno’s Original Paper………………………………………….……………47
Appendix 2. An Introduction to Dynamic Meteorology 4th, Holton,
p.394~p.400…………………………………………………………………………..66
2
A. Derivation of Equations
Basic equations in equatorial β-plane 在靜力平衡模式之下,考慮一層不可壓縮之均質流體,亦即使用所謂的輻散正壓模式,
將其應用於 平面近似,可得到中、高緯度之大尺度運動之不同特徵。因此,在局部卡式座
標系統上,運動方程與質量守恆方程組可寫為
0
xhgfv
tu
0
yhgfu
tv (1)
0)(
yv
xuH
th
其中,h為起伏的小擾動; f 為科氏參數,與緯度呈線性正比,即 yf ; 為羅士比參數,
可視為常數。再將方程式(1)之幾何高度h以重力位高度取代 因為
ghgdzh
0 所以
0)(
)0)((
yv
xugH
thg
yv
xuH
thg
又純粹重力波速度
gHc 2 故可改寫為
0
xyv
tu
0
yyu
tv (2)
0)(2
yv
xuc
t
-- Basic equations in equatorial β-plane --
3
Non-dimensionalization
接下來,若假設長度尺度近似羅士比變形半徑,即Lc
fcL
~ ,故長度尺度 2
1
)(~cL ;
將長度尺度代入方程式(2)第三式,時間尺度則為 21
)(~
cT ,再加上重力位高度以及緯向速度之尺度關係, 2c , cU ,方程式(2)可改寫為 Non-dimensional equations,即每個Non-dimensional 參數以上標一個(*)符號代表
00)(
)()( *
***
*
*)(
*
*
2/1
2**2
1
*
*
2/1
21
xvy
tu
xcccvyc
tu
cc cc
00)(
)()( *
***
*
*)(
*
*
2/1
2**2
1
*
*
2/1
21
yuy
tv
ycccuyc
tv
cc cc
(3)
0)(0))()(
()( *
*
*
*
*
*)(
*
*
2/1*
*
2/1
2*
*
2/1
221
2
yv
xu
tyv
cc
xu
ccc
tcc cc
可見原本方程式(2)中的係數皆不見了,隨後將所有符號都省去(*)以簡化方程式之推導。
因此 Non-dimensional equation 可寫為
0
xyv
tu
0
yyu
tv
(4)
0)(
yv
xu
t
-- Non-dimensional form -- 轉換至波譜空間
將其轉換至波譜空間,因為在 y 方向無週期性,所以無法做轉換,因此以 x 方向的轉換
為主。即令所有變數具有如下之指數形式:
k
tiikxeyvu
vu
,)(
ˆˆˆ
此指數特性使對時間微分會出現 i ,對 x 微分會出現 ik。因此,方程式(4)轉換至波譜空間後
為 0ˆˆˆ ikvyui (5)
0ˆ
ˆˆ dyduyvi (6)
0ˆˆˆ dyvduiki (7)
4
Eigenfunction 求解流程
波譜空間方程組
0ˆˆˆ ikvyui
0ˆ
ˆˆ dyduyvi
0ˆˆˆ dyvduiki
將
̂û
以 v̂表示
)ˆˆ(
)(ˆ
22 dyvdkvy
kiu
)ˆˆ(
)(ˆ
22 dyvdvky
ki
代回原方程 0ˆ)(ˆ 2222
2
vykkdyvd
令解的形式為
)()(ˆ 22
yVeyvy
進行變數轉換
0)()1()(2)( 2222
yVkkdyydVy
dyyVd
為滿足邊界條件 0ˆ v at y 唯一有解時,此方程如同 Hermite Differential Equation 之型式
022 nvvyv
nkk 2122
可令 )()( yHyV n )(yV 為方程之解
(y)H n 為 Hermite eq.之解再應用 Hermite 循環關係
)()()()(21
)()()()(21
)()(
ˆˆˆ
112
112
222
2
2
2
yHknyHke
yHknyHke
kiyHe
Auv
nn
y
nn
yn
y
nl
1
2
3
4
5
5
以 v̂表示û與̂ 將方程式(5)乘上( ik ),方程式(7)乘上( i ),以消去變數 û
0ˆˆˆ)0ˆˆˆ( 2 kvikyukikvyuiik
0ˆˆˆ)0
ˆˆˆ( 2 dyvdiuk
dyvduikii
兩式相減 )ˆˆ(
)(ˆˆˆˆ)( 22
22
dyvdvky
ki
dyvdivikyk
(8)
同理,方程式(5)乘上( i ),方程式(7)乘上( ik ),以消去變數̂
0ˆˆˆ)0
ˆˆˆ( 2 dyvdikukk
dyvduikiik
0ˆˆˆ)0ˆˆˆ( 2 kvyiuikvyuii
兩式相減 )ˆˆ(
)(ˆˆˆˆ)( 22
22
dyvdkvy
kiu
dyvdikvyiuk
(9)
以上兩關係式帶回原方程
將方程式(8)(9)之關係代入方程式(6)
0)ˆˆˆ())
ˆˆ()(
(ˆ 22
2222
dyvd
dyvdykvk
ki
dyvdkvy
kiyvi
將上式每項皆乘上 )( 22 k
0ˆˆˆˆˆˆ)( 2
2222
dyvdi
dyvdiykvik
dyvdikyvyivki
再消去 i ,便得到 0ˆ)(ˆ 2222
2
vykkdyvd
(10)
變數轉換
再令 Second-order Homogeneous Equation 方程式(10)的解為 )()(ˆ 22
yVeyvy
,以進行變數
轉換而簡化方程式
dyydVeyVey
dyvd yy )()()
22(
ˆ 2222
6
22
222222
2 )()()2
2()()()2
2()()()(ˆ
22222
dyyVde
dyydVey
dyydVeyVeyyyVe
dyvd yyyyy
)()(2)()( 222222
2
2222
yVedyydVeyyVey
dyyVde
yyyy
代入方程式(10)後,
0)()()()(2)()( 2222222222
2
22222
yVeykkyVedyydVeyyVey
dyyVde
yyyyy
將 22y
e
除掉後,即為
0)()1()(2)( 2222
yVkkdyydVy
dyyVd
(11)
利用 Hermite 關係以滿足邊界條件 註 1: ============================================================= Hermite Differential Equation
022 nvvyv The solution of this equation is Hermite Polynomials.
n
ynyn
n dyedeyH
22
)1()(
The polynomials has the following characteristic
yyyHyyHyyH
yH
128)(24)(
2)(1)(
33
22
1
0
And the following recurrence formulas
)(2)(
1 ynHdyydH
nn
)(2)(2)( 11 ynHyyHyH nnn ==================================================================
已知 Hermite Differential Equation 關係(如註 1),仔細觀察發現方程式(11)即為『註 1』中
的 Hermite Equation,其解的形式與我們所假設的非常相似。然而,若要滿足邊界條件
( 0ˆ v at y ),則方程式(11)有解時必定
7
nkk 2122
此種方程式每對應一個 n值就有一個解 )(yHn ,且滿足在遠離赤道的無窮遠處沒有能量存在。
◎ 註:Part A.引用黃嘉美學姐的推導說明
8
B. Dispersion Relation
設 1222 nkk
0)12( 23 knk
1. 考慮 k 可解得兩個根
12
122
2
21
nk
nk
2. 考慮 k 可解得一個根
1223
nkk
Where 1 is the frequency of eastward inertial gravity wave; 2 is the frequency of westward inertial gravity wave; 3 is the frequency of Rossby wave, because ωis very small.
需注意在 n=0 時,只有在 k=2
1時, k 這個解成立;k> or <
21
時, k 不
存在,因為ψ將不滿足邊界條件。
若除去 y方向的運動再進行如上之分析,所得結果與 n=-1 代入之結果剛好相同, 因此將此解標示為 n=-1,由其物理結構可知此解為 Kelvin Wave。
9
Frequency as a Function of Wave Number:
Fig. 1 - Dispersion Relation
1.藍色虛線是 westward propagating inertio-gravity waves 2.藍色實線是 eastward propagating inertio-gravity waves 3.黑色線是 Rossby waves 4.紅色點虛線是 Kelvin wave
10
C. Eigenvectors and Divergent Fields
Using 0f the recurrence formulas 求取方程組(5~7)的 eigenfunction 時,使用註 1 所述之 Hermite’s polynomials 的循環關係
式,並且為了簡化解的形式,而對『 )()(ˆ 22
yVeyvy
』再乘上一個『 i ( 22 k )』;另外,因
為對應一個 n值就有一個解 )(yHn ,且 )(yHn 之於 Hermite Differential Equation,如同 )(yV 之
於方程式(11),皆為其解;因此,可令
)()( yHyV n
因此,將以上關係來改寫方程式(11)的解 )(ˆ yv
)()()(ˆ 2222
kiyHAeyv ny
其中,A 為常數 (12)
再將方程式(12)關係代入方程式(8):
)ˆˆ(
)(ˆ
22 dyvdvky
ki
)(2)()()()()2
2()(ˆ
12222222
222
ynHyyHekidyydHeyHeyki
dyvd
nn
yn
y
n
y
)(2)()()()()(
ˆ1
22222222
22
ynHyyHAekikiyHAekyki
nn
y
n
y
消去 )( 22 ki 後
)(2)()( 122
ynHyyHykyHAe nnny
運用前述之 Hermite’s polynomials 的循環關係式,將方程式拆為兩底線部分以符合循環關係
)(yknH(y)k)nH(ω 1n1n )()()( 122
ynHyyHkAe nny
粗體部分乃為了拼湊出循環關係式而做增減的部分
因此,整理後可得
)()()()(
21ˆ
112
2
yHknyHkAe nny
同理,將方程式(12)關係代入方程式(9):
)ˆˆ(
)(ˆ
22 dyvdkvy
kiu
11
)(2)()()()()(
ˆ 1222222
22
22
ynHyyHAekikkiyHAeykiu nn
y
n
y
)(2)()( 122
ynHyyHkyyHAe nnny
(y)knH 1n (y)ωnH(y)k)nH(ω 1n1n)()(22
yyHkAe ny
)()()()(
21ˆ 112
2
yHknyHkAeu nny
綜合上述,可將三個 eigenfunction 合寫為
)()()()(21
)()()()(21
)()(
ˆˆˆ
112
112
222
2
2
2
yHknyHke
yHknyHke
kiyHe
Auv
nn
y
nn
yn
y
nl
再將此 eigenfunction 帶回原本在波譜空間,即可以此關係式進行繪圖。不過,繪圖時只考慮某時刻的三個變數之水平分布情況,因此,不對時間變化部分進行分析。令方程組(*)
中的 A=1,利用以上方程組可以畫出不同 n下的高度場、風場與輻散場分佈圖,如 Fig. 2 至
Fig. 40。
已知 u,v,由yv
xuD
可求得輻散場的解析解。表一為不同 n值以及三種不同種類的
波動所對應的頻散關係以及輻散場。
12
表一
Dispersion Relation k Divergence Field n=1 向東 32 k 1 )cos(]812[ 22
1 2
xyeDy
向西 32 k 1 )cos(]84[ 22
1 2
xyeDy
Rossby
32 kk 1 )cos(]
81
83[ 22
1 2
xyeDy
n=2 向東 52 k 1 )cos(]62522464[ 3321 2
xyyyyeDy
向西 52 k 1 )cos(]62602464[ 332
1 2
xyyyyeDy
Rossby 52
kk 1 )cos(]
181
95[ 32
1 2
xyyeDy
n=0 向東 1
22
2
kk
0.5)5.0cos(28.2
2
21
xeyDy
向西 a. 1
22
2
kk
(for k2
1 )
b. k
(for k2
1 )
0.5)5.0cos(22.0
2
21
xeyDy
Rossby a. k
(for k2
1 )
b. 122
2
kk
(for k2
1 )
1 )cos(236.0
2
21
xeyDy
n=-1 Kelvin k 0.5)5.0cos(25.0
2
21
xeDy
13
Fig. 2
n = 1, k = 1, ω = -2
)sin(])24(21[
)sin(])24(21[
)cos(2)(
2
2
2
21
2
21
2
21
22
xekyk
xekyku
xeykv
y
y
y
14
Fig. 3 - V
Fig. 4 - U
Fig. 5 - ψ
15
Fig. 2*為 n=1,k=1 的情況下,向東慣性重力波之示意圖。圖中重力位高度
場以黑色線表示,實線代表高壓,虛線代表低壓。輻散場以淺灰色線表示,H 代
表輻散,L 代表輻合。風場以藍色箭頭表示。圖中之 x座標與 y座標皆為無因次
化後之數值,因此不具有直觀的物理意義。圖中顯示低壓右邊有輻散,高壓右
邊為輻合,因此,高、低壓在下一時刻均往右邊移動,因此此波動向東移動。
Fig. 3**為設 v 式中的 cos(x)=1,亦即切於 0、2π時,v 隨南北座標 y 之
變化圖。顯示 v 在 y=1 及 y=-1 時分別有極大、極小值。
Fig. 4 為設 u 式中 sin(x)=1,即切於π/2、5π/2 時,u 隨 y 之變化圖。顯
示在赤道附近吹西風,西風隨緯度增加而遞減,在 y 約等於正負 1.5 時出現最
大東風值。
Fig. 5 為設ψ式中 sin(x)=1,即切於π/2、5π/2 時,ψ隨 y 之變化圖。
顯示在赤道附近為高壓,高壓隨緯度增加而遞減,在 y 約等於正負 1.5 時出現
最強低壓。
◎註:
*Fig. 2 計算之程式語言為 Fortran,使用之繪圖軟體為 Ncar。
**Fig. 3~5 使用之繪圖軟體為 matlab。
16
Fig. 6
n = 1, k = 1, ω = 2
)sin()]()24()(
21[
)sin()]()24()(21[
)cos(2)(
2
2
2
21
2
21
2
21
22
xekyk
xekyku
xeykv
y
y
y
17
Fig. 7 - V
Fig. 8 - U
Fig. 9 - ψ
18
Fig. 6 為 n=1, k=1 時,向西慣性重力波之示意圖。低壓的右邊是輻合,高
壓的右邊是輻散,所以在下一個時間在低壓與高壓之間會有最高的重力位,而
輻合場的右邊是高壓,所以整個波會向西移動。
Fig. 7 是 Fig. 6 的 V 分析圖。V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值為零,y = 1 的地方有最大向北的速度,然後慢慢遞減
至零。
Fig. 8 是 Fig. 6 的 U 分析圖,U是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、2.5π
等有最大值。在赤道上有次大值,然後到 y = 1 時遞增到最大值,之後隨著 y
絕對值的增大,U遞減至零。
Fig. 9 是 Fig. 6 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、2.5π
等有最大值。在赤道上有最小值,也就是低壓,直至 y = 1.5 左右時,低壓轉
變為高壓,但是高壓值不大,之後慢慢遞減至零。
19
Fig. 10
n = 1, k = 1, ω = 1/4
)sin(])24(21[
)sin(])24(21[
)cos(2
2
2
2
21
2
21
2
21
22
xekyk
xekyku
xeykv
y
y
y
20
Fig. 11 - V
Fig. 12 - U
Fig.13 -ψ
21
Fig. 10 是 n=1,k=1 時向西行的 Rossby Wave,低壓右邊有輻合,高壓的右
邊則是輻散,但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠 β-effect
的影響而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐,所以
Divergent Rossby Wave 的移動速度較 Non-Divergent Rossby Wave 之移速慢,
但也是因為輻合而建立起重力位梯度,最終使得高壓順利移入。
Fig. 11 是 Fig. 10 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值為零,y = 1 的地方有最大向南的速度,然後慢慢遞減
至零。
Fig. 12 是 Fig. 10 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上有最大值,然後到 y = 1 附近時由正遞減為負值,
在 y 接近 2 的時候有最小值,然後隨著 y 絕對值的增大,U 遞減至零。
Fig. 13 是 Fig. 10 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。X 座標 0 到π之間,全部都是低壓,直至 y = 1.5 左右時,
低壓有最低值,之後隨著 y絕對值值得增加慢慢遞減至零。
22
Fig. 14
n = 2, k = 1, ω = - 6
)sin(]22)128(21[
)sin(]22)128(21[
)cos(24)(
2
2
2
21
3
21
3
21
222
xeykyyk
xeykyyku
xeykv
y
y
y
23
Fig. 15 - V
Fig. 16 - U
Fig. 17 -ψ
24
Fig. 14 是 n = 2 時的東向慣性重力波,近赤道的高壓右邊有輻合,低壓的
右邊則是輻散,因為高壓右邊有輻合,所以下一個時間時輻合場會變成高壓所
在的位置,因此波動向東移。
Fig. 15 是 Fig. 14 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值最小,有向南的速度。在 y接近 2 的地方有最大向北
的速度,然後慢慢遞減至零。
Fig. 16 是 Fig. 14 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為零,然後隨著 y 的增加有小幅的遞增,之後就開
始慢慢降低,在 y = 2 的時候有最小值,即是最大向西的速度,然後隨著 y 絕
對值的增大,U遞減至零。
Fig. 17 是 Fig. 14 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上ψ為零,在 y = 1.3 之前都是高壓,然後轉變為
低壓,之後隨著 y絕對值增加慢慢遞減至零。
25
Fig. 18
n = 2, k = 1, ω = 6
)sin(]22)128(21[
)sin(]22)128(21[
)cos(24)(
2
2
2
21
3
21
3
21
222
xeykyyk
xeykyyku
xeykv
y
y
y
26
Fig. 19 - V
Fig. 20 - U
Fig. 21 -ψ
27
Fig. 18 是 n = 2 時,西向的慣性重力波,近赤道的低壓右邊有輻合,高壓
的右邊則是輻散,因為高壓左邊有輻合,所以下一個時間時輻合場會變成高壓
所在的位置,因此波動向西移。
Fig. 19 是 Fig. 18 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值最小,有向南的速度。在 y接近 2 的地方有最大向北
的速度,然後慢慢遞減至零。
Fig. 20 是 Fig. 18 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為零,然後隨著 y 的增加西風也漸漸增強,在 y =
1.5 的時候有最大值,即是最大向東的速度,然後隨著 y 絕對值的增大,U 遞減
至零。
Fig. 21 是 Fig. 18 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上ψ為零,在 y = 2 之前都是低壓,然後轉變為高
壓,但是高壓的值很小,之後隨著 y絕對值增加慢慢遞減至零。
28
Fig. 22
n = 2, k = 1, ω = 1/6
)sin(]22)128(21[
)sin(]22)128(21[
)cos(24
2
2
2
21
3
21
3
21
222
xeykyyk
xeykyyku
xeykv
y
y
y
29
Fig. 23 - V
Fig. 24 - U
Fig. 25 -ψ
30
Fig. 22 是 n = 2 時的 Rossby Wave,低壓右邊有輻合,高壓的右邊則是輻
散,但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠β-effect 的影響
而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐,所以 Rossby Wave
的移動速度較慢,但也是因為輻合而建立起重力位梯度,最終使得高壓順利移
入。值得注意的是,在近赤道的地方也有很小的高壓與低壓。在近赤道的高壓
右邊是輻散,低壓右邊是輻合,所以同上面的分析,波動也會向西行進,但是
速度會受到輻散與輻合的影響而降低。
Fig. 23 是 Fig. 22 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上有最大值,也就是南風。y 接近 1 的地方南風轉變為北風,
然後在 y = 1.5 的地方有最大的北風,之後慢慢遞減至零。
Fig. 24 是 Fig. 22 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上值為零,然後到 y = 1 附近時有最大值,即為西風。
在 y 接近 2 的時候西風轉變為東風,然後隨著 y 絕對值的增大,東風稍稍增強,
之後遞減至零。
Fig. 25 是 Fig. 22 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。X 座標 0 到π之間,由赤道向北,一開始有極小的正值出現,
然後就遞減到最低值,也就是低壓。直至 y = 1.7 左右時,低壓有最低值,之
後隨著 y絕對值值得增加慢慢遞減至零。
31
Fig. 26
n = 0, k = 0.5, ω = -1.281
)5.0sin()]2(21[
)5.0sin()]2(21[
)5.0cos()(
2
2
2
21
21
21
22
xeyk
xeyku
xekv
y
y
y
32
Fig. 27 - V
Fig. 28 - U
Fig. 29 -ψ
33
Fig. 26 是 n=0 時東向的慣性重力波,低壓的右邊是輻散,高壓的右邊是輻
散,所以整個波會向東移動。
Fig. 27 是 Fig. 26 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0、2π
等有最大值。在赤道上值為最大值,然後慢慢遞減至零,呈高斯函數的鐘形分
佈。
Fig. 28 是 Fig. 26 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,然後到 y = 1 時遞減到最小值,之後隨著 y
值的增大,U 趨近於零。
Fig. 29 是 Fig. 26 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,直至 y = 1 時,低壓強度達最強,之後慢慢
趨近於零。
34
Fig. 30*
n = 0, k = 0.5, ω = 0.781
*可參考 Holton 4th , p398, Fig. 11.13 (Appendix 2.)
)5.0sin()]2(21[
)5.0sin()]2(21[
)5.0cos()(
2
2
2
21
21
21
22
xeyk
xeyku
xekv
y
y
y
35
Fig. 31 - V
Fig. 32 - U
Fig. 33 -ψ
36
Fig. 30 是 n=0 的西向慣性重力波,高壓的左邊是輻合,低壓的左邊是輻散,
所以整個波會向西移動。
Fig. 31 是 Fig. 26 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值為最大值,然後慢慢遞減至零,呈高斯函數的鐘形分
佈。
Fig. 32 是 Fig. 26 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,然後到 y = 1 時遞增到最大值,之後隨著 y
值的增大,U 遞減至零。
Fig. 33 是 Fig. 6 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,直至 y = 1 時,高壓強度達最強,之後慢慢
遞減至零。
37
Fig. 34
n = 0, k = 1, ω = 0.618
)sin()]2(382.021[
)sin()]2(382.021[
)cos(618.0
2
2
2
21
21
21
xey
xeyu
xev
y
y
y
38
Fig. 35 - V
Fig. 36 - U
Fig. 37 -ψ
39
Fig. 34 是 n=0,k=1 時向西行的 Rossby Wave,低壓右邊有輻合,高壓的右
邊則是輻散,但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠 β-effect
的影響而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐,所以
Divergent Rossby Wave 的移動速度較 Non-Divergent Rossby Wave 之移速慢,
但也是因為輻合而建立起重力位梯度,最終使得高壓順利移入。
值得注意的是,n=0 的 Rossby Wave 與西向的 Inertial Gravity Wave 型態
上是完全一模一樣的。Fig. 34 與 Fig. 30 間有一個平移(shift)的關係,是
由於代入二者的 k值不同,原因是為了滿足邊界條件。
Fig. 35 是 Fig. 34 的 V 分析圖,V 是 cos(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上有最小值,呈反高斯函數分佈,隨緯度增加慢慢趨近於 0。
Fig. 36 是 Fig. 34 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,然後到 y = 1 時有最小值,接著隨緯度增加
慢慢趨近於 0。
Fig. 37 是 Fig. 34 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0.5π、
2.5π等有最大值。在赤道上為 0,然後到 y = 1 時有最低壓,接著隨緯度增加
慢慢趨近於 0。
40
Fig. 38
n = -1, k = 0.5, ω = -0.5
*可參考 Holton 4th , p400, Fig. 11.15 (Appendix 2.)
)5.0sin(]121[
)5.0sin(]121[
2
2
21
21
xe
xeu
y
y
41
Fig. 39 - U
Fig. 40 -ψ
42
Fig. 38 是向東傳送的 Kelvin Wave,沒有任何南北方向上的運動,與 n=-1
時的解相同,因此標示為 n=-1,需注意 n=-1 並非原式 Hermite Polynomial 的
解。低壓的右邊是輻散,高壓的右邊是輻合,所以整個波會向東移動。
Fig. 39 是 Fig. 38 的 U 分析圖,U 是 sin(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上值為最小值,然後慢慢遞增趨近於零,呈反高斯鐘形分
佈。
Fig. 40 是 Fig. 26 的ψ分析圖,ψ是 sin(x)的函數,所以在 x = 0π、2π
等有最大值。在赤道上有最小值,然後慢慢遞增趨近於零,呈反高斯鐘形分佈。
◎註:本份報告圖片部分,感謝楊憶婷學姐友情贊助
43
E. Example for Fortran Program & Ncar Graphics
This is the program for Fig. 26, n=0, k=0.5, eastward inertial gravity wave.
program n0east integer g,h parameter(g=1000,h=24) real u(0:h,0:h),v(0:h,0:h),f(0:g,0:g) real D(0:g,0:g) real xf(0:g),yf(0:g) real xu(0:h),yu(0:h) real k,w,pi real xcoord,ycoord character xlabel(4)*4,ylabel(9)*4 k=0.5 n=0. pi=acos(-1.) do i=0,g,1 xf(i)=(6*pi/g)*i yf(i)=-4.+(8./g)*i enddo do i=0,h,1 xu(i)=(6*pi/h)*i yu(i)=-4.+(8./h)*i enddo w=-(k/2.)-sqrt((k/2.)**2+1.) do i=0,g,1 do j=0,g,1 f(i,j)=((1./2.)*(w-k)*(2*yf(j)))* + exp(-yf(j)**2/2.)*sin(k*xf(i)) D(i,j)=-2.28*yf(j)*exp(-yf(j)**2/2.)*cos(0.5*xf(i)) enddo enddo do i=0,h,1 do j=0,h,1 u(i,j)=((1./2.)*(w-k)*(2*yu(j)))* + exp(-yu(j)**2/2.)*sin(k*xu(i)) v(i,j)=(w**2-k**2)* + exp(-yu(j)**2/2.)*cos(k*xu(i)) enddo enddo
44
call opngks call gscr(1,0,1.,1.,1.) ! white background call gslwsc(1.) ! thickness call gscr(1,1,0.,0.,0.) ! black words call set(0.15,0.85,0.15,0.85,0.,6*pi,-4.,4.,1) call perim(6,1,4,2) call gscr(1,1,0.66,0.66,0.66) call line(0.,0.,6*pi,0.) call gscr(1,1,0.0,0.0,0.0) call cpcnrc(f,g+1,g+1,g+1,-5.,5.,1.0,-1,0,-685) call gscr(1,1,0.66,0.66,0.66) call cpcnrc(D,g+1,g+1,g+1,-1.2,1.2,2.4,-1,0,-685) call gscr(1,1,0.15,0.45,1.) call velvct(u,h+1,v,h+1,h+1,h+1,-5.,5.,-1,80,0,0) call set(0.,1.,0.,1.,0.,1.,0.,1.,1) call gscr(1,1,0.,0.,0.) call pcseti('FN',22) data xlabel /" 0"," 2"," 4"," 6"/ data ylabel /" -4"," -3"," -2"," -1"," 0"," 1"," 2", + " 3"," 4"/ do i=1,4,1 xcoord=0.155+(i-1)*0.23333 ycoord=0.10 call plchhq(xcoord,ycoord,xlabel(i),28.,0,0) enddo do j=1,9,1 xcoord=0.108 ycoord=0.15+(j-1)*0.0875 call plchhq(xcoord,ycoord,ylabel(j),28.,0,0) enddo call plchhq(0.5,0.05,"X*pi",30.,0.,0) call plchhq(0.035,0.5,"Y",30.,0.,0) call plchhq(0.92,0.5,"equator",17.,0.,0) call plchhq(0.5,0.92,"Eastward Inertial Gravity Wave (n=0,k=0.5)" + ,25.,0.,0) call frame call clsgks stop end