Geophysical Fluid Dynamics Term Paper

Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial Area

By Taroh Matsuno

Study Notes

B90209030 蔡禹明

B90209028 沈彥志

1

Contents

A. Derivation of Equations………………………………………………………………………………2

B. Dispersion Relation………………………………………………………………………………………8

C. Eigenvectors and Divergent Fields…………………………………………………………10

D. Example for Fortran Program & Ncar Graphics…………………………….……43

E. Simple Conceptual Eigenvector Plots……..................................................45

Appendix 1. Matsuno’s Original Paper………………………………………….……………47

Appendix 2. An Introduction to Dynamic Meteorology 4th, Holton,

p.394~p.400…………………………………………………………………………..66

2

A. Derivation of Equations

Basic equations in equatorial β-plane 在靜力平衡模式之下，考慮一層不可壓縮之均質流體，亦即使用所謂的輻散正壓模式，

將其應用於 平面近似，可得到中、高緯度之大尺度運動之不同特徵。因此，在局部卡式座

標系統上，運動方程與質量守恆方程組可寫為

0

xhgfv

tu

0

yhgfu

tv (1)

0)(

yv

xuH

th

其中，h為起伏的小擾動； f 為科氏參數，與緯度呈線性正比，即 yf ； 為羅士比參數，

可視為常數。再將方程式(1)之幾何高度h以重力位高度取代 因為

ghgdzh

0 所以

0)(

)0)((

yv

xugH

thg

yv

xuH

thg

又純粹重力波速度

gHc 2 故可改寫為

0

xyv

tu

0

yyu

tv (2)

0)(2

yv

xuc

t

-- Basic equations in equatorial β-plane --

3

Non-dimensionalization

接下來，若假設長度尺度近似羅士比變形半徑，即Lc

fcL

~ ，故長度尺度 2

1

)(~cL ；

將長度尺度代入方程式(2)第三式，時間尺度則為 21

)(~

cT ，再加上重力位高度以及緯向速度之尺度關係， 2c ， cU ，方程式(2)可改寫為 Non-dimensional equations，即每個Non-dimensional 參數以上標一個(*)符號代表

00)(

)()( *

***

*

*)(

*

*

2/1

2**2

1

*

*

2/1

21

xvy

tu

xcccvyc

tu

cc cc

00)(

)()( *

***

*

*)(

*

*

2/1

2**2

1

*

*

2/1

21

yuy

tv

ycccuyc

tv

cc cc

(3)

0)(0))()(

()( *

*

*

*

*

*)(

*

*

2/1*

*

2/1

2*

*

2/1

221

2

yv

xu

tyv

cc

xu

ccc

tcc cc

可見原本方程式(2)中的係數皆不見了，隨後將所有符號都省去(*)以簡化方程式之推導。

因此 Non-dimensional equation 可寫為

0

xyv

tu

0

yyu

tv

(4)

0)(

yv

xu

t

-- Non-dimensional form -- 轉換至波譜空間

將其轉換至波譜空間，因為在 y 方向無週期性，所以無法做轉換，因此以 x 方向的轉換

為主。即令所有變數具有如下之指數形式：

k

tiikxeyvu

vu

,)(

ˆˆˆ

此指數特性使對時間微分會出現 i ，對 x 微分會出現 ik。因此，方程式(4)轉換至波譜空間後

為 0ˆˆˆ ikvyui (5)

0ˆ

ˆˆ dyduyvi (6)

0ˆˆˆ dyvduiki (7)

4

Eigenfunction 求解流程

波譜空間方程組

0ˆˆˆ ikvyui

0ˆ

ˆˆ dyduyvi

0ˆˆˆ dyvduiki

將

̂û

以 v̂表示

)ˆˆ(

)(ˆ

22 dyvdkvy

kiu

)ˆˆ(

)(ˆ

22 dyvdvky

ki

代回原方程 0ˆ)(ˆ 2222

2

vykkdyvd

令解的形式為

)()(ˆ 22

yVeyvy

進行變數轉換

0)()1()(2)( 2222

yVkkdyydVy

dyyVd

為滿足邊界條件 0ˆ v at y 唯一有解時，此方程如同 Hermite Differential Equation 之型式

022 nvvyv

nkk 2122

可令 )()( yHyV n )(yV 為方程之解

(y)H n 為 Hermite eq.之解再應用 Hermite 循環關係

)()()()(21

)()()()(21

)()(

ˆˆˆ

112

112

222

2

2

2

yHknyHke

yHknyHke

kiyHe

Auv

nn

y

nn

yn

y

nl

1

2

3

4

5

5

以 v̂表示û與̂ 將方程式(5)乘上( ik )，方程式(7)乘上( i )，以消去變數 û

0ˆˆˆ)0ˆˆˆ( 2 kvikyukikvyuiik

0ˆˆˆ)0

ˆˆˆ( 2 dyvdiuk

dyvduikii

兩式相減 )ˆˆ(

)(ˆˆˆˆ)( 22

22

dyvdvky

ki

dyvdivikyk

(8)

同理，方程式(5)乘上( i )，方程式(7)乘上( ik )，以消去變數̂

0ˆˆˆ)0

ˆˆˆ( 2 dyvdikukk

dyvduikiik

0ˆˆˆ)0ˆˆˆ( 2 kvyiuikvyuii

兩式相減 )ˆˆ(

)(ˆˆˆˆ)( 22

22

dyvdkvy

kiu

dyvdikvyiuk

(9)

以上兩關係式帶回原方程

將方程式(8)(9)之關係代入方程式(6)

0)ˆˆˆ())

ˆˆ()(

(ˆ 22

2222

dyvd

dyvdykvk

ki

dyvdkvy

kiyvi

將上式每項皆乘上 )( 22 k

0ˆˆˆˆˆˆ)( 2

2222

dyvdi

dyvdiykvik

dyvdikyvyivki

再消去 i ，便得到 0ˆ)(ˆ 2222

2

vykkdyvd

(10)

變數轉換

再令 Second-order Homogeneous Equation 方程式(10)的解為 )()(ˆ 22

yVeyvy

，以進行變數

轉換而簡化方程式

dyydVeyVey

dyvd yy )()()

22(

ˆ 2222

6

22

222222

2 )()()2

2()()()2

2()()()(ˆ

22222

dyyVde

dyydVey

dyydVeyVeyyyVe

dyvd yyyyy

)()(2)()( 222222

2

2222

yVedyydVeyyVey

dyyVde

yyyy

代入方程式(10)後，

0)()()()(2)()( 2222222222

2

22222

yVeykkyVedyydVeyyVey

dyyVde

yyyyy

將 22y

e

除掉後，即為

0)()1()(2)( 2222

yVkkdyydVy

dyyVd

(11)

利用 Hermite 關係以滿足邊界條件 註 1： ============================================================= Hermite Differential Equation

022 nvvyv The solution of this equation is Hermite Polynomials.

n

ynyn

n dyedeyH

22

)1()(

The polynomials has the following characteristic

yyyHyyHyyH

yH

128)(24)(

2)(1)(

33

22

1

0

And the following recurrence formulas

)(2)(

1 ynHdyydH

nn

)(2)(2)( 11 ynHyyHyH nnn ==================================================================

已知 Hermite Differential Equation 關係(如註 1)，仔細觀察發現方程式(11)即為『註 1』中

的 Hermite Equation，其解的形式與我們所假設的非常相似。然而，若要滿足邊界條件

( 0ˆ v at y )，則方程式(11)有解時必定

7

nkk 2122

此種方程式每對應一個 n值就有一個解 )(yHn ，且滿足在遠離赤道的無窮遠處沒有能量存在。

◎ 註：Part A.引用黃嘉美學姐的推導說明

8

B. Dispersion Relation

設 1222 nkk

0)12( 23 knk

1. 考慮 k 可解得兩個根

12

122

2

21

nk

nk

2. 考慮 k 可解得一個根

1223

nkk

Where 1 is the frequency of eastward inertial gravity wave； 2 is the frequency of westward inertial gravity wave； 3 is the frequency of Rossby wave, because ωis very small.

需注意在 n=0 時，只有在 k=2

1時， k 這個解成立；k> or <

21

時， k 不

存在，因為ψ將不滿足邊界條件。

若除去 y方向的運動再進行如上之分析，所得結果與 n=-1 代入之結果剛好相同， 因此將此解標示為 n=-1，由其物理結構可知此解為 Kelvin Wave。

9

Frequency as a Function of Wave Number：

Fig. 1 － Dispersion Relation

1.藍色虛線是 westward propagating inertio-gravity waves 2.藍色實線是 eastward propagating inertio-gravity waves 3.黑色線是 Rossby waves 4.紅色點虛線是 Kelvin wave

10

C. Eigenvectors and Divergent Fields

Using 0f the recurrence formulas 求取方程組(5~7)的 eigenfunction 時，使用註 1 所述之 Hermite’s polynomials 的循環關係

式，並且為了簡化解的形式，而對『 )()(ˆ 22

yVeyvy

』再乘上一個『 i ( 22 k )』；另外，因

為對應一個 n值就有一個解 )(yHn ，且 )(yHn 之於 Hermite Differential Equation，如同 )(yV 之

於方程式(11)，皆為其解；因此，可令

)()( yHyV n

因此，將以上關係來改寫方程式(11)的解 )(ˆ yv

)()()(ˆ 2222

kiyHAeyv ny

其中，A 為常數 (12)

再將方程式(12)關係代入方程式(8)：

)ˆˆ(

)(ˆ

22 dyvdvky

ki

)(2)()()()()2

2()(ˆ

12222222

222

ynHyyHekidyydHeyHeyki

dyvd

nn

yn

y

n

y

)(2)()()()()(

ˆ1

22222222

22

ynHyyHAekikiyHAekyki

nn

y

n

y

消去 )( 22 ki 後

)(2)()( 122

ynHyyHykyHAe nnny

運用前述之 Hermite’s polynomials 的循環關係式，將方程式拆為兩底線部分以符合循環關係

)(yknH(y)k)nH(ω 1n1n )()()( 122

ynHyyHkAe nny

粗體部分乃為了拼湊出循環關係式而做增減的部分

因此，整理後可得

)()()()(

21ˆ

112

2

yHknyHkAe nny

同理，將方程式(12)關係代入方程式(9)：

)ˆˆ(

)(ˆ

22 dyvdkvy

kiu

11

)(2)()()()()(

ˆ 1222222

22

22

ynHyyHAekikkiyHAeykiu nn

y

n

y

)(2)()( 122

ynHyyHkyyHAe nnny

(y)knH 1n (y)ωnH(y)k)nH(ω 1n1n)()(22

yyHkAe ny

)()()()(

21ˆ 112

2

yHknyHkAeu nny

綜合上述，可將三個 eigenfunction 合寫為

)()()()(21

)()()()(21

)()(

ˆˆˆ

112

112

222

2

2

2

yHknyHke

yHknyHke

kiyHe

Auv

nn

y

nn

yn

y

nl

再將此 eigenfunction 帶回原本在波譜空間，即可以此關係式進行繪圖。不過，繪圖時只考慮某時刻的三個變數之水平分布情況，因此，不對時間變化部分進行分析。令方程組(*)

中的 A=1，利用以上方程組可以畫出不同 n下的高度場、風場與輻散場分佈圖，如 Fig. 2 至

Fig. 40。

已知 u,v，由yv

xuD

可求得輻散場的解析解。表一為不同 n值以及三種不同種類的

波動所對應的頻散關係以及輻散場。

12

表一

Dispersion Relation k Divergence Field n=1 向東 32 k 1 )cos(]812[ 22

1 2

xyeDy

向西 32 k 1 )cos(]84[ 22

1 2

xyeDy

Rossby

32 kk 1 )cos(]

81

83[ 22

1 2

xyeDy

n=2 向東 52 k 1 )cos(]62522464[ 3321 2

xyyyyeDy

向西 52 k 1 )cos(]62602464[ 332

1 2

xyyyyeDy

Rossby 52

kk 1 )cos(]

181

95[ 32

1 2

xyyeDy

n=0 向東 1

22

2

kk

0.5)5.0cos(28.2

2

21

xeyDy

向西 a. 1

22

2

kk

(for k2

1 )

b. k

(for k2

1 )

0.5)5.0cos(22.0

2

21

xeyDy

Rossby a. k

(for k2

1 )

b. 122

2

kk

(for k2

1 )

1 )cos(236.0

2

21

xeyDy

n=-1 Kelvin k 0.5)5.0cos(25.0

2

21

xeDy

13

Fig. 2

n = 1, k = 1, ω = -2

)sin(])24(21[

)sin(])24(21[

)cos(2)(

2

2

2

21

2

21

2

21

22

xekyk

xekyku

xeykv

y

y

y

14

Fig. 3 － V

Fig. 4 － U

Fig. 5 － ψ

15

Fig. 2*為 n=1，k=1 的情況下，向東慣性重力波之示意圖。圖中重力位高度

場以黑色線表示，實線代表高壓，虛線代表低壓。輻散場以淺灰色線表示，H 代

表輻散，L 代表輻合。風場以藍色箭頭表示。圖中之 x座標與 y座標皆為無因次

化後之數值，因此不具有直觀的物理意義。圖中顯示低壓右邊有輻散，高壓右

邊為輻合，因此，高、低壓在下一時刻均往右邊移動，因此此波動向東移動。

Fig. 3**為設 v 式中的 cos(x)=1，亦即切於 0、2π時，v 隨南北座標 y 之

變化圖。顯示 v 在 y=1 及 y=-1 時分別有極大、極小值。

Fig. 4 為設 u 式中 sin(x)=1，即切於π/2、5π/2 時，u 隨 y 之變化圖。顯

示在赤道附近吹西風，西風隨緯度增加而遞減，在 y 約等於正負 1.5 時出現最

大東風值。

Fig. 5 為設ψ式中 sin(x)=1，即切於π/2、5π/2 時，ψ隨 y 之變化圖。

顯示在赤道附近為高壓，高壓隨緯度增加而遞減，在 y 約等於正負 1.5 時出現

最強低壓。

◎註：

*Fig. 2 計算之程式語言為 Fortran，使用之繪圖軟體為 Ncar。

**Fig. 3~5 使用之繪圖軟體為 matlab。

16

Fig. 6

n = 1, k = 1, ω = 2

)sin()]()24()(

21[

)sin()]()24()(21[

)cos(2)(

2

2

2

21

2

21

2

21

22

xekyk

xekyku

xeykv

y

y

y

17

Fig. 7 － V

Fig. 8 － U

Fig. 9 － ψ

18

Fig. 6 為 n=1, k=1 時，向西慣性重力波之示意圖。低壓的右邊是輻合，高

壓的右邊是輻散，所以在下一個時間在低壓與高壓之間會有最高的重力位，而

輻合場的右邊是高壓，所以整個波會向西移動。

Fig. 7 是 Fig. 6 的 V 分析圖。V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值為零，y = 1 的地方有最大向北的速度，然後慢慢遞減

至零。

Fig. 8 是 Fig. 6 的 U 分析圖，U是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、2.5π

等有最大值。在赤道上有次大值，然後到 y = 1 時遞增到最大值，之後隨著 y

絕對值的增大，U遞減至零。

Fig. 9 是 Fig. 6 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、2.5π

等有最大值。在赤道上有最小值，也就是低壓，直至 y = 1.5 左右時，低壓轉

變為高壓，但是高壓值不大，之後慢慢遞減至零。

19

Fig. 10

n = 1, k = 1, ω = 1/4

)sin(])24(21[

)sin(])24(21[

)cos(2

2

2

2

21

2

21

2

21

22

xekyk

xekyku

xeykv

y

y

y

20

Fig. 11 － V

Fig. 12 － U

Fig.13 －ψ

21

Fig. 10 是 n=1,k=1 時向西行的 Rossby Wave，低壓右邊有輻合，高壓的右

邊則是輻散，但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠 β－effect

的影響而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐，所以

Divergent Rossby Wave 的移動速度較 Non-Divergent Rossby Wave 之移速慢，

但也是因為輻合而建立起重力位梯度，最終使得高壓順利移入。

Fig. 11 是 Fig. 10 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值為零，y = 1 的地方有最大向南的速度，然後慢慢遞減

至零。

Fig. 12 是 Fig. 10 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上有最大值，然後到 y = 1 附近時由正遞減為負值，

在 y 接近 2 的時候有最小值，然後隨著 y 絕對值的增大，U 遞減至零。

Fig. 13 是 Fig. 10 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。X 座標 0 到π之間，全部都是低壓，直至 y = 1.5 左右時，

低壓有最低值，之後隨著 y絕對值值得增加慢慢遞減至零。

22

Fig. 14

n = 2, k = 1, ω = - 6

)sin(]22)128(21[

)sin(]22)128(21[

)cos(24)(

2

2

2

21

3

21

3

21

222

xeykyyk

xeykyyku

xeykv

y

y

y

23

Fig. 15 － V

Fig. 16 － U

Fig. 17 －ψ

24

Fig. 14 是 n = 2 時的東向慣性重力波，近赤道的高壓右邊有輻合，低壓的

右邊則是輻散，因為高壓右邊有輻合，所以下一個時間時輻合場會變成高壓所

在的位置，因此波動向東移。

Fig. 15 是 Fig. 14 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值最小，有向南的速度。在 y接近 2 的地方有最大向北

的速度，然後慢慢遞減至零。

Fig. 16 是 Fig. 14 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為零，然後隨著 y 的增加有小幅的遞增，之後就開

始慢慢降低，在 y = 2 的時候有最小值，即是最大向西的速度，然後隨著 y 絕

對值的增大，U遞減至零。

Fig. 17 是 Fig. 14 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上ψ為零，在 y = 1.3 之前都是高壓，然後轉變為

低壓，之後隨著 y絕對值增加慢慢遞減至零。

25

Fig. 18

n = 2, k = 1, ω = 6

)sin(]22)128(21[

)sin(]22)128(21[

)cos(24)(

2

2

2

21

3

21

3

21

222

xeykyyk

xeykyyku

xeykv

y

y

y

26

Fig. 19 － V

Fig. 20 － U

Fig. 21 －ψ

27

Fig. 18 是 n = 2 時，西向的慣性重力波，近赤道的低壓右邊有輻合，高壓

的右邊則是輻散，因為高壓左邊有輻合，所以下一個時間時輻合場會變成高壓

所在的位置，因此波動向西移。

Fig. 19 是 Fig. 18 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值最小，有向南的速度。在 y接近 2 的地方有最大向北

的速度，然後慢慢遞減至零。

Fig. 20 是 Fig. 18 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為零，然後隨著 y 的增加西風也漸漸增強，在 y =

1.5 的時候有最大值，即是最大向東的速度，然後隨著 y 絕對值的增大，U 遞減

至零。

Fig. 21 是 Fig. 18 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上ψ為零，在 y = 2 之前都是低壓，然後轉變為高

壓，但是高壓的值很小，之後隨著 y絕對值增加慢慢遞減至零。

28

Fig. 22

n = 2, k = 1, ω = 1/6

)sin(]22)128(21[

)sin(]22)128(21[

)cos(24

2

2

2

21

3

21

3

21

222

xeykyyk

xeykyyku

xeykv

y

y

y

29

Fig. 23 － V

Fig. 24 － U

Fig. 25 －ψ

30

Fig. 22 是 n = 2 時的 Rossby Wave，低壓右邊有輻合，高壓的右邊則是輻

散，但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠β－effect 的影響

而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐，所以 Rossby Wave

的移動速度較慢，但也是因為輻合而建立起重力位梯度，最終使得高壓順利移

入。值得注意的是，在近赤道的地方也有很小的高壓與低壓。在近赤道的高壓

右邊是輻散，低壓右邊是輻合，所以同上面的分析，波動也會向西行進，但是

速度會受到輻散與輻合的影響而降低。

Fig. 23 是 Fig. 22 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上有最大值，也就是南風。y 接近 1 的地方南風轉變為北風，

然後在 y = 1.5 的地方有最大的北風，之後慢慢遞減至零。

Fig. 24 是 Fig. 22 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上值為零，然後到 y = 1 附近時有最大值，即為西風。

在 y 接近 2 的時候西風轉變為東風，然後隨著 y 絕對值的增大，東風稍稍增強，

之後遞減至零。

Fig. 25 是 Fig. 22 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。X 座標 0 到π之間，由赤道向北，一開始有極小的正值出現，

然後就遞減到最低值，也就是低壓。直至 y = 1.7 左右時，低壓有最低值，之

後隨著 y絕對值值得增加慢慢遞減至零。

31

Fig. 26

n = 0, k = 0.5, ω = -1.281

)5.0sin()]2(21[

)5.0sin()]2(21[

)5.0cos()(

2

2

2

21

21

21

22

xeyk

xeyku

xekv

y

y

y

32

Fig. 27 － V

Fig. 28 － U

Fig. 29 －ψ

33

Fig. 26 是 n=0 時東向的慣性重力波，低壓的右邊是輻散，高壓的右邊是輻

散，所以整個波會向東移動。

Fig. 27 是 Fig. 26 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0、2π

等有最大值。在赤道上值為最大值，然後慢慢遞減至零，呈高斯函數的鐘形分

佈。

Fig. 28 是 Fig. 26 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，然後到 y = 1 時遞減到最小值，之後隨著 y

值的增大，U 趨近於零。

Fig. 29 是 Fig. 26 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，直至 y = 1 時，低壓強度達最強，之後慢慢

趨近於零。

34

Fig. 30*

n = 0, k = 0.5, ω = 0.781

*可參考 Holton 4th , p398, Fig. 11.13 (Appendix 2.)

)5.0sin()]2(21[

)5.0sin()]2(21[

)5.0cos()(

2

2

2

21

21

21

22

xeyk

xeyku

xekv

y

y

y

35

Fig. 31 － V

Fig. 32 － U

Fig. 33 －ψ

36

Fig. 30 是 n=0 的西向慣性重力波，高壓的左邊是輻合，低壓的左邊是輻散，

所以整個波會向西移動。

Fig. 31 是 Fig. 26 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值為最大值，然後慢慢遞減至零，呈高斯函數的鐘形分

佈。

Fig. 32 是 Fig. 26 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，然後到 y = 1 時遞增到最大值，之後隨著 y

值的增大，U 遞減至零。

Fig. 33 是 Fig. 6 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，直至 y = 1 時，高壓強度達最強，之後慢慢

遞減至零。

37

Fig. 34

n = 0, k = 1, ω = 0.618

)sin()]2(382.021[

)sin()]2(382.021[

)cos(618.0

2

2

2

21

21

21

xey

xeyu

xev

y

y

y

38

Fig. 35 － V

Fig. 36 － U

Fig. 37 －ψ

39

Fig. 34 是 n=0,k=1 時向西行的 Rossby Wave，低壓右邊有輻合，高壓的右

邊則是輻散，但是輻合與輻散的值都很小。Rossby Wave 主要是依靠 β－effect

的影響而逐漸向西移。但是高壓左邊的輻合場卻不利於高壓的進駐，所以

Divergent Rossby Wave 的移動速度較 Non-Divergent Rossby Wave 之移速慢，

但也是因為輻合而建立起重力位梯度，最終使得高壓順利移入。

值得注意的是，n=0 的 Rossby Wave 與西向的 Inertial Gravity Wave 型態

上是完全一模一樣的。Fig. 34 與 Fig. 30 間有一個平移（shift）的關係，是

由於代入二者的 k值不同，原因是為了滿足邊界條件。

Fig. 35 是 Fig. 34 的 V 分析圖，V 是 cos(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上有最小值，呈反高斯函數分佈，隨緯度增加慢慢趨近於 0。

Fig. 36 是 Fig. 34 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，然後到 y = 1 時有最小值，接著隨緯度增加

慢慢趨近於 0。

Fig. 37 是 Fig. 34 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0.5π、

2.5π等有最大值。在赤道上為 0，然後到 y = 1 時有最低壓，接著隨緯度增加

慢慢趨近於 0。

40

Fig. 38

n = -1, k = 0.5, ω = -0.5

*可參考 Holton 4th , p400, Fig. 11.15 (Appendix 2.)

)5.0sin(]121[

)5.0sin(]121[

2

2

21

21

xe

xeu

y

y

41

Fig. 39 － U

Fig. 40 －ψ

42

Fig. 38 是向東傳送的 Kelvin Wave，沒有任何南北方向上的運動，與 n=-1

時的解相同，因此標示為 n=-1，需注意 n=-1 並非原式 Hermite Polynomial 的

解。低壓的右邊是輻散，高壓的右邊是輻合，所以整個波會向東移動。

Fig. 39 是 Fig. 38 的 U 分析圖，U 是 sin(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上值為最小值，然後慢慢遞增趨近於零，呈反高斯鐘形分

佈。

Fig. 40 是 Fig. 26 的ψ分析圖，ψ是 sin(x)的函數，所以在 x = 0π、2π

等有最大值。在赤道上有最小值，然後慢慢遞增趨近於零，呈反高斯鐘形分佈。

◎註：本份報告圖片部分，感謝楊憶婷學姐友情贊助

43

E. Example for Fortran Program & Ncar Graphics

This is the program for Fig. 26, n=0, k=0.5, eastward inertial gravity wave.

program n0east integer g,h parameter(g=1000,h=24) real u(0:h,0:h),v(0:h,0:h),f(0:g,0:g) real D(0:g,0:g) real xf(0:g),yf(0:g) real xu(0:h),yu(0:h) real k,w,pi real xcoord,ycoord character xlabel(4)*4,ylabel(9)*4 k=0.5 n=0. pi=acos(-1.) do i=0,g,1 xf(i)=(6*pi/g)*i yf(i)=-4.+(8./g)*i enddo do i=0,h,1 xu(i)=(6*pi/h)*i yu(i)=-4.+(8./h)*i enddo w=-(k/2.)-sqrt((k/2.)**2+1.) do i=0,g,1 do j=0,g,1 f(i,j)=((1./2.)*(w-k)*(2*yf(j)))* + exp(-yf(j)**2/2.)*sin(k*xf(i)) D(i,j)=-2.28*yf(j)*exp(-yf(j)**2/2.)*cos(0.5*xf(i)) enddo enddo do i=0,h,1 do j=0,h,1 u(i,j)=((1./2.)*(w-k)*(2*yu(j)))* + exp(-yu(j)**2/2.)*sin(k*xu(i)) v(i,j)=(w**2-k**2)* + exp(-yu(j)**2/2.)*cos(k*xu(i)) enddo enddo

44

call opngks call gscr(1,0,1.,1.,1.) ! white background call gslwsc(1.) ! thickness call gscr(1,1,0.,0.,0.) ! black words call set(0.15,0.85,0.15,0.85,0.,6*pi,-4.,4.,1) call perim(6,1,4,2) call gscr(1,1,0.66,0.66,0.66) call line(0.,0.,6*pi,0.) call gscr(1,1,0.0,0.0,0.0) call cpcnrc(f,g+1,g+1,g+1,-5.,5.,1.0,-1,0,-685) call gscr(1,1,0.66,0.66,0.66) call cpcnrc(D,g+1,g+1,g+1,-1.2,1.2,2.4,-1,0,-685) call gscr(1,1,0.15,0.45,1.) call velvct(u,h+1,v,h+1,h+1,h+1,-5.,5.,-1,80,0,0) call set(0.,1.,0.,1.,0.,1.,0.,1.,1) call gscr(1,1,0.,0.,0.) call pcseti('FN',22) data xlabel /" 0"," 2"," 4"," 6"/ data ylabel /" -4"," -3"," -2"," -1"," 0"," 1"," 2", + " 3"," 4"/ do i=1,4,1 xcoord=0.155+(i-1)*0.23333 ycoord=0.10 call plchhq(xcoord,ycoord,xlabel(i),28.,0,0) enddo do j=1,9,1 xcoord=0.108 ycoord=0.15+(j-1)*0.0875 call plchhq(xcoord,ycoord,ylabel(j),28.,0,0) enddo call plchhq(0.5,0.05,"X*pi",30.,0.,0) call plchhq(0.035,0.5,"Y",30.,0.,0) call plchhq(0.92,0.5,"equator",17.,0.,0) call plchhq(0.5,0.92,"Eastward Inertial Gravity Wave (n=0,k=0.5)" + ,25.,0.,0) call frame call clsgks stop end