Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 1/9

Równania i wzory przydatne do wyznaczenia drgań własnych samolotu (postać uproszczona)

Równania sił:

( )rvqwummgX −+=− &θsin

( )pwruvmmgY −+=+ &φθ sincos

( )qupvwmmgZ −+=+ &φθ coscos Równania momentów:

( ) pqIIIqrrIpIL xzyzxzx −−+−= &&

( ) ( )22 rpIIIrqqIM xzzxy −+−+= &

( ) qrIIIpqrIpIN xzxyzxz +−+++−= &&

Prędkości kątowe w układzie samolotowym:

θψφ sin&& −=p

φθψφθ sincoscos && +=q

φθφθψ sincoscos && −=r Pochodne kątów Eulera w funkcji prędkości kątowych:

φφθ sincos rq −=&

φθφθφ costansintan rqp ++=&

( ) θφφψ seccossin rq +=& Transformacje prędkości liniowych z układu samolotowego do układu inercyjnego (nieruchomego):

−

−

+

+

+

+

+

−

+

=

w

v

u

dt

dz

dt

dy

dt

dx

θφθφθ

φψψφθ

ψφφθψ

ψθ

ψφθψφ

ψφφθψ

ψθ

coscoscossinsin

sincos

sincossin

sincos

sinsinsinsincos

coscossin

sinsin

sincos

sinsincoscoscos

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 2/9

Prędkości, siły, momenty i wychylenia jako sumy składowych ustalonych (z indeksem 0) oraz składowych zaburzeń (∆): u = u0 + ∆u v = v0 + ∆v w = w0 + ∆w p = ∆p q = ∆q r = ∆r X = X0 + ∆X Y = Y0 + ∆Y Z = Z0 + ∆Z L = L0 + ∆L M = M0 + ∆M N = N0 + ∆N δe = δe0 + ∆δe δr = δr0 + ∆δr δa = δa0 + ∆δa Definicje pochodnych aerodynamicznych bezwymiarowych współczynników sił i momentów: Pochodne względem składowej prędkości u : współczynnika siły oporu:

∂

∂=

0u

u

CC D

Du ,

współczynnika siły nośnej:

∂

∂=

0u

u

CC L

Lu ,

współczynnika momentu pochylającego:

∂

∂=

0u

u

CC m

mu .

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 3/9

Pochodne względem kąta natarcia (składowej prędkości w) : współczynnika siły oporu:

αα ∂∂

= DD

CC ,

współczynnika siły nośnej:

αα ∂∂

= LL

CC ,

współczynnika momentu pochylającego:

αα ∂∂

= mm

cC .

Pochodne względem pochodnej kąta natarcia (składowej przyspieszenia w& ) : współczynnika siły nośnej:

αε

αα ∂∂

−≅

∂

∂=

2

01

0

2

2

u

ua

Sc

Sl

u

c

CC H

a

HH

a

zz

&&

współczynnika momentu pochylającego:

αε

αα ∂∂

−≅

∂

∂=

2

01

2

0

2

2

u

ua

S

S

c

l

u

c

CC HH

a

H

a

mm

&&

Pochodne względem prędkości kątowej pochylania q:

2

01

0

2

2

−≅

∂

∂=

u

ua

Sc

Sl

u

cq

CC H

a

HH

a

zzq

∂

∂=

02u

cq

CC

a

mmq

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 4/9

Pochodne względem kąta bocznego ślizgu β (składowej prędkości bocznej v), odpowiednio – siły bocznej (y), momentu przechylającego(l), momentu odcylającego (n):

ββ ∂

∂= y

y

cC

ββ ∂∂

= ll

cC

ββ ∂∂

= nn

cC

Pochodne względem prędkości kątowej przechylania (p), odpowiednio – siły bocznej (y), momentu przechylającego(l), momentu odcylającego (n):

∂

∂=

02u

bp

CC

y

y p

∂

∂=

02u

bp

CC l

l p

∂

∂=

02u

bp

CC n

n p

Pochodne względem prędkości kątowej odchylania (r), odpowiednio – siły bocznej (y), momentu przechylającego(l), momentu odcylającego (n):

∂

∂=

02u

br

CC

y

yr

∂

∂=

02u

br

CC l

lr

∂

∂=

02u

br

CC n

nr

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 5/9

Pochodne „od sterowania”, odpowiednio względem kąta wychylenia steru wysokości eδ (elevator), kąta wychylenia lotek aδ (ailerones), steru kierunku rδ (rudder):

e

zz

CC

e δδ ∂

∂=

e

mm

CC

e δδ ∂∂

=

a

y

y

CC

a δδ ∂

∂=

a

n

n

CC

a δδ ∂

∂=

a

ll

CC

a δδ ∂

∂=

S

Sa

CC vu

v

r

y

yr

2=∂

∂=

δδ

bS

lSa

CC vvu

v

r

nn

r2−=

∂

∂=

δδ

bS

zSa

CC vvu

v

r

l

lr

2=∂

∂=

δδ

Wymiarowe pochodne stateczności (symetryczne):

( ) ( )10

02 −+−= s

mu

QSCCX

DD

uu

( ) ( )10

02 −+−= s

mu

QSCCZ

LL

uu

gdzie:

202

1uQ ρ= jest ciśnieniem dynamicznym,

0LC ; 0DC - współczynniki siły nośnej i oporu całego samolotu w warunkach

ustalonych, odpowiadających danemu obliczeniu stateczności.

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 6/9

( )

⋅

=smIu

QScCM

y

mu u

1

0

( ) ( )10

0 −−−= s

mu

QSCCX

LD

wα

( ) ( )10

0 −+−= s

mu

QSCCZ DL

wα

( )

⋅

=smIu

QScCM

y

mw

1

0α

( )muQSc

CZ zw 00

/2µα&&

−=

( )1002

−= mIu

QSc

u

cCM

y

mw α&&

( )smZuZ w /0=α

( )20−= sMuM wα

( )smZuZ w /0 &&=α

( )10−= sMuM w&&α

( )smmQSc

CZqZq //2 0µ

−=

( ) ( )102

−= sIQScc

CM ymq q µ

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 7/9

Wymiarowe pochodne boczne:

( )2/ smm

QSCY

yβ

β =

( )smmu

QSbCY

py

p /2 0

=

( )smmu

QSbCY ry

r /2 0

=

( )2−= sI

QSbCL

x

lβ

β

( )10

2

2−= s

uI

CQSbL

x

l

p

p

( )10

2

2−= s

uI

CQSbL

x

l

rr

( )2−= sI

QSbCN

z

nββ

( )10

2

2−= s

uI

CQSbN

x

n

p

p

( )10

2

2−= s

uI

CQSbN

x

n

rr

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 8/9

Wymiarowe pochodne od sterowania:

( )smmQSCZee Z //

δδ −=

( )2−= sI

QScCM

y

me eδδ

( )2/ smm

QSCY a

a

yδ

δ =

( )2−= sI

QSbCN

z

n a

a

δδ

( )2−= sI

QSbCL

x

l

aaδ

δ

( )2/ smm

QSCY r

r

yδ

δ =

( )2−= sI

QSbCN

z

nr

r

δ

δ

( )2−= sI

QSbCL

x

lr

r

δ

δ

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców

Optymalizacja w projektowaniu statków powietrznych – Równania i wzory ... 9/9

Wzory przybliŜone na obliczenie na obliczenie częstości drgań nietłumionych ωn oraz współczynników tłumienia drgań ζ, odpowiadających równaniu oscylatora harmonicznego o postaci:

)(2 2

2

2

tfxdt

dx

dt

xdnn =++ ωωζ

• dla fugoidy:

0

2u

gn =ω

DL /

1

2

1=ζ

• dla oscylacji szybkich:

ααω M

u

ZM qn −=

n

qu

ZMM

ωζ

αα

20

++

−=&

• dla przechylania:

a

l

lss

p

a

C

C

u

bpδδ ∆−=

02

pL=λ

przy czym pss – jest prędkością ustalonego przechylania, natomiast λ jest współczynnikiem tłumienia przechylania (wartością własną macierzy stanu)

• dla holendrowania

0

0

u

NuYNNY rr

n

βββω+−

=

0

0

2

1

u

NuY r

n

+= β

ωζ

• dla spirali

β

ββλL

NLNL rr −=