Spis treci

1. Wartobezwzgldnaliczby ....................................................................................................................1

2. Potgiipierwiastki ...................................................................................................................................1

3. Logarytmy ................................................................................................................................................2

4. Silnia.Wspczynnikdwumianowy .........................................................................................................2

5. WzrdwumianowyNewtona ...................................................................................................................2

6. Wzoryskrconegomnoenia ...................................................................................................................3

7. Cigi .........................................................................................................................................................3

8. Funkcjakwadratowa ................................................................................................................................4

9. Geometriaanalityczna ..............................................................................................................................4

10. Planimetria ...............................................................................................................................................6

11. Stereometria ...........................................................................................................................................12

12. Trygonometria ........................................................................................................................................14

13. Kombinatoryka .......................................................................................................................................16

14. Rachunekprawdopodobiestwa .............................................................................................................17

15. Parametrydanychstatystycznych ..........................................................................................................18

16. Granicacigu ..........................................................................................................................................18

17. Pochodnafunkcji ....................................................................................................................................19

18. Tablicawartocifunkcjitrygonometrycznych .......................................................................................20

PublikacjawspfinansowanaprzezUniEuropejskwramachEuropejskiegoFunduszuSpoecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpatnie.

Warszawa2015

11. WARTO BEZWZGLDNA LICZBY

Warto bezwzgldn liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

Liczba x jest to odlego na osi liczbowej punktu x od punktu 0. Dla dowolnej liczby x mamy:

x x x x= 0 0 0 wtedy i tylko wtedy, gdy == x

Dla dowolnych liczb x, y mamy:

Ponadto, jeli y 0, to xy

xy

= .

Dla dowolnych liczb a oraz mamy:

2. POTGI I PIERWIASTKI

Niech n bdzie liczb cakowit dodatni. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-t potg:

a a ann

= ... razy

Pierwiastkiem arytmetycznym an stopnia n z liczby a nazywamy liczb b tak, e b an = .

W szczeglnoci, dla dowolnej liczby a zachodzi rwno: a a2 = .

Jeeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to an oznacza liczb b < 0 tak, e b an = .

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniej.

Niech m, n bd liczbami cakowitymi dodatnimi. Definiujemy:

1mnn m

aa

=

Niech r, s bd dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeli a > 0 i b > 0, to zachodz rwnoci:

= + =a a a a a

a b

r s r s r s r s

r

( )

( )

== a br r r r

r

a ab b

=

rr s

s

a aa

=

Jeeli wykadniki r, s s liczbami cakowitymi, to powysze wzory obowizuj dla wszystkich liczb a 0 i b 0.

23. LOGARYTMY

Logarytmem log a c dodatniej liczby c przy dodatniej i rnej od 1 podstawie a nazywamy wykadnik b potgi, do ktrej naley podnie a, aby otrzyma c:

log wtedy i tylko wtedy, gdy abc b a c= =

Rwnowanie:

a caclog =

Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodz wzory:

log log log log log loga a a ar

ax y x y x r x( ) = + = aa a axy

x y= log log

Wzr na zamian podstawy logarytmu:jeeli a > 0 , a 1, b > 0, b 1 oraz c > 0, to

log log

logba

a

c cb

=

Logarytm log10 x mona te zapisa jako log x lub lg x.

4. SILNIA. WSPCZYNNIK DWUMIANOWY

Silni liczby cakowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb cakowitych od 1 do n wcznie:

n n! ...= 1 2

Ponadto przyjmujemy umow, e 0! = 1.Dla dowolnej liczby cakowitej zachodzi zwizek:

= +( )n +( )1 1! n! n

Dla liczb cakowitych n, k speniajcych warunki definiujemy wspczynnik dwumianowy nk

(symbol Newtona):

nk

nk n k

= ( )

!

! !

Zachodz rwnoci:

nk

nn k

=

n nn0

1

=

=1

( )( ) ( )1 2 ... 1!

n n n n knk k

+ =

5. WZR DWUMIANOWY NEWTONA

Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:

a b n a n a b n

ka b n

nn n n n k k+( ) =

+

+ +

+ +

0 11 ... ...

111

+

ab

nn

bn n

36. WZORY SKRCONEGO MNOENIA

Dla dowolnych liczb a, b:

a b a ab b a b a a b ab b+( ) = + + +( ) = + + +2 2 2 3 3 2 22 3 3 332 2 2 3 3 2 22 3 3a b a ab b a b a a b ab( ) = + ( ) = + b3

Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzr:

a b a b a a b a b ab bn n n n n k k n n = ( ) + + + + + +( ) 1 2 1 2 1... ...

W szczeglnoci:

a b a b a b a a

a b

2 2 2

3 3

1 1 1 = ( ) +( ) = ( ) +( )

a

== ( ) + +( ) = ( ) + +( )+ = +( )

a b a ab b a a a

a b a b a

2 2 3 2

3 3

1 1 1 a22 2 3 21 1 1 +( ) + = +( ) +( )ab b a a a a

an n na a a = ( ) + + 1 1 1 2 ....+ +( )a 17. CIGI

Cig arytmetyczny

Wzr na n-ty wyraz cigu arytmetycznego an( ) o pierwszym wyrazie a1 i rnicy r:a a n rn = + ( )1 1

Wzr na sum S a a an n= + + +1 2 ... pocztkowych n wyrazw cigu arytmetycznego:

S a a na n r

nn n=+

=+ ( )

1 12

2 12

Midzy ssiednimi wyrazami cigu arytmetycznego zachodzi zwizek:

a a a nn n n=+ +1 12

2dla

Cig geometrycznyWzr na n-ty wyraz cigu geometrycznego an( ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:

a a q nnn= 1

1 2 dla

Wzr na sum S a a an n= + + +1 2 ... pocztkowych n wyrazw cigu geometrycznego:

Midzy ssiednimi wyrazami cigu geometrycznego zachodzi zwizek:

a a a nn n n2

1 1 2= + dla

Procent skadany

Jeeli kapita pocztkowy K zoymy na n lat w banku, w ktrym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej i kapitalizacja odsetek nastpuje po upywie kadego roku trwania lokaty, to kapita kocowy Knwyraa si wzorem:

K Kp

n

n

= +

1 100

48. FUNKCJA KWADRATOWA

Posta oglna funkcji kwadratowej: f x ax bx c a x R( ) = + + 2 0, , .

Wzr kadej funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci kanonicznej:

2bpa

= 4

qa

=

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoku w punkcie o wsprzdnych ( p,q). Ramiona paraboli skierowane s do gry, gdy a > 0 ; do dou, gdy a < 0.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f x ax bx c( ) = + +2

(liczba pierwiastkw trjmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiza rwnania ax bx c

2 0+ + = ), zaley od wyrnika = b ac2 4 :

jeeli < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trjmian kwadratowy nie ma pierwiastkw rzeczywistych, rwnanie kwadratowe nie ma rozwiza rzeczywistych),

jeeli = 0, to funkcja kwadratowa ma dokadnie jedno miejsce zerowe (trjmian kwadratowy ma jeden

pierwiastek podwjny, rwnanie kwadratowe ma dokadnie jedno rozwizanie rzeczywiste): x x b

a1 2 2= =

jeeli > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trjmian kwadratowy ma dwa rne pierwiastki rzeczywiste, rwnanie kwadratowe ma dwa rozwizania rzeczywiste):

x ba

x ba1 22 2

=

= +

Jeli 0, to wzr funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci iloczynowej:

f x a x x x x( ) = ( ) ( )1 2

Wzory Vitea

Jeeli 0, to

x x ba

x x ca1 2 1 2

+ =

=

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA

OdcinekDugo odcinka o kocach w punktach A x y B x yA A= ( ) = ( ), , , B B jest dana wzorem:

AB x x y yB A B A= ( ) + ( )2 2

Wsprzdne rodka odcinka AB:

x x y yA B A B+ +

2 2

,

M = (x, y)

x

y

O

A=(xA , yA)

B=(xB , yB)

5 Wektory

Wsprzdne wektora AB

:

AB x x y yB A B A

= [ ],

Jeeli u u u v v v

= [ ] = [ ]1 2 1 2, , , s wektorami, za a jest liczb, tou v u v u v a u a u a u

+ = + +[ ] = [1 1 2 2 1 2, , ]]

Prosta

Rwnanie oglne prostej:

Ax By C+ + = 0,

gdzie A B2 2 0+ (tj. wspczynniki A, B nie s rwnoczenie rwne 0).

Jeeli A = 0, to prosta jest rwnolega do osi Ox; jeeli B = 0, to prosta jest rwnolega do osi Oy; jeeli C = 0, to prosta przechodzi przez pocztek ukadu wsprzdnych.

Jeeli prosta nie jest rwnolega do osi Oy, to ma ona rwnanie kierunkowe:

y ax b= +

Liczba a to wspczynnik kierunkowy prostej:a tg=

Wspczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w ktrym dana prosta j przecina.

Rwnanie kierunkowe prostej o wspczynniku kierunkowym a, ktra przechodzi przez punkt P x y= ( )0 0, :

y a x x y= ( ) +0 0

Rwnanie prostej, ktra przechodzi przez dwa dane punkty :

( )( )y y x x y y x xA B A B A A ( ) ( ) = 0

Prosta i punkt

Odlego punktu P x y= ( )0 0, od prostej o rwnaniu Ax By C+ + = 0 jest dana wzorem:

Ax By C

A B0 0

2 2

+ +

+

Para prostych

Dwie proste o rwnaniach kierunkowych:

y a x b y a x b= + = +1 1 2 2

speniaj jeden z nastpujcych warunkw:

s rwnolege, gdy a a1 2=

s prostopade, gdy a a1 2 1=

tworz kt ostry i tg = +a a

a a1 2

1 21

x

y

O

b y = ax + b

6Dwie proste o rwnaniach oglnych:

A x B y C A x B y C1 1 1 2 2 20 0+ + = + + =

s rwnolege, gdy A B A B1 2 2 1 0 =

s prostopade, gdy A A B B1 2 1 2 0+ =

tworz kt ostry i tg =

+AB A BA A B B1 2 2 1

1 2 1 2

Trjkt

Pole trjkta ABC o wierzchokach A x y B x y C x yA A B B C C= ( ) = ( ) = ( ), , , , , , jest dane wzorem:

P x x y y y= y x xABC B A C A B A C A ( ) ( ) ( ) ( )

12

rodek cikoci trjkta ABC, czyli punkt przecicia jego rodkowych, ma wsprzdne:

x x x y y yA B C A B C+ + + +

3 3

,

Przeksztacenia geometryczne

przesunicie o wektor u a b

= [ ], przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x a y b' ,= + +( ) symetria wzgldem osi Ox przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x y' ,= ( ) symetria wzgldem osi Oy przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x y' ,= ( ) symetria wzgldem punktu a b,( ) przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A a x b y' ,= ( )2 2 jednokadno o rodku w punkcie O i skali s 0 przeksztaca punkt A na punkt

A x y' ,= ( ) taki, eOA s OA'

= , a wic, jeliO x y= ( )0 0, , to jednokadno ta przeksztaca punkt A x y= ( ), na punktA sx s x sy s y' ,= + ( ) + ( )( )1 10 0

Rwnanie okrgu

Rwnanie okrgu o rodku w punkcie S a b= ( ), i promieniu r>0:x a y b r( ) + ( ) =2 2 2

lub

10. PLANIMETRIA

Cechy przystawania trjktw

A B

C

D E

F

7To, e dwa trjkty ABC i DEF s przystajce ( )ABC DEF , moemy stwierdzi na podstawie kadej z nastpujcych cech przystawania trjktw:

cecha przystawania bok bok bok: odpowiadajce sobie boki obu trjktw maj te same dugoci: AB DE AC DF BC EF= = =, ,

cecha przystawania bok kt bok: dwa boki jednego trjkta s rwne odpowiadajcym im bokom drugiego trjkta oraz kt zawarty midzy tymi bokami jednego trjkta ma tak sam miar jak odpowiadajcy mu kt drugiego trjkta, np.

AB DE AC DF BAC EDF= = =, ,

cecha przystawania kt bok kt: jeden bok jednego trjkta ma t sam dugo, co odpowiadajcy mu bok drugiego trjkta oraz miary odpowiadajcych sobie ktw obu trjktw, przylegych do boku, s rwne, np. AB DE BAC EDF ABC DEF= = =, ,

Cechy podobiestwa trjktw

To, e dwa trjkty ABC i DEF s podobne ( )ABC DEF , moemy stwierdzi na podstawie kadej z nastpujcych cech podobiestwa trjktw:

cecha podobiestwa bok bok bok: dugoci bokw jednego trjkta s proporcjonalne do odpowiednich dugoci bokw drugiego trjkta,

np.

ABDE

ACDF

BCEF

= =

cecha podobiestwa bok kt bok: dugoci dwch bokw jednego trjkta s proporcjonalne do odpowiednich dugoci dwch bokw

drugiego trjkta i kty midzy tymi parami bokw s przystajce, np.

cecha podobiestwa kt kt kt: dwa kty jednego trjkta s przystajce do odpowiednich dwch ktw drugiego trjkta (wic te i trzecie kty obu trjktw s przystajce): BAC EDF ABC DEF ACB DFE= = =, ,

A B

C

D E

F

8Przyjmujemy oznaczenia w trjkcie ABC:

a, b, c dugoci bokw, lecych odpowiednio naprzeciwko wierzchokw A, B, C

2p=a+b+c obwd trjkta, , miary ktw przy wierzchokach A, B, Cha, hb, hc wysokoci opuszczone z wierzchokw

A, B, CR, r promienie okrgw opisanego

i wpisanego

Twierdzenie sinusw

A

C

B

a b

c

A

C

D c

a b hc

B

Twierdzenie cosinusw

a b c bcb a c acc a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

222

= +

= +

= +

coscoscos

Wzory na pole trjkta

P R

P a h b h c h

P a b a c

ABC a b c

ABC

= = =

= = =

12

12

12

12

12

1sin sin2

12

12

12

2 2 2

b c

P a b cABC

= = =

sin

sin sinsin

sin sinsin

si

nn sinsin

sin sin

= = P abcRABC ABC 4

2 2 ssin

P rp P p p a p b p cABC ABC = = ( ) ( ) ( )

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trjkcie ABC kt jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2.

Zwizki miarowe w trjkcie prostoktnym

Zamy, e kt jest prosty. Wwczas:

h AD DB

h abca c c

a b b

R c r

c

c

2

1

12

=

=

= =

= =

= =

sin cos

tgtg

aa b c p c+ = 2

9 Trjkt rwnoboczny

a dugo bokuh wysoko trjkta

h a R h

P a r h

= =

= =

32

23

34

13

2

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

Rne proste AC i BD przecinaj si w punkcie P, przy czym speniony jest jeden z warunkw: punkt A ley wewntrz odcinka PC oraz punkt B ley wewntrz odcinka PDlub punkt A ley na zewntrz odcinka PC oraz punkt B ley na zewntrz odcinka PD.Wwczas proste AB i CD s rwnolege wtedy i tylko wtedy, gdy

PAAC

PBBD

=

Czworokty

TrapezCzworokt, ktry ma co najmniej jedn par bokw rwnolegych.Wzr na pole trapezu:

P a b h= + 2

Rwnolegobok Czworokt, ktry ma dwie pary bokw rwnolegych.Wzory na pole rwnolegoboku:

P ah a b AC BD= = = sin sin1

2

C

B A a

h a a

B

A

C

D P

D

B

C PO

A

A B

C D b

a

h

h

a

D C

B A

b

10

RombCzworokt, ktry ma wszystkie boki jednakowej dugoci.Wzory na pole rombu:

P ah a AC BD= = = 2 12

sin

DeltoidCzworokt wypuky, ktry ma o symetrii zawierajc jedn z przektnych.Wzr na pole deltoidu:

P AC BD= 12

Koo

Wzr na pole koa o promieniu r:

P r= pi 2

Obwd koa o promieniu r:L r= 2pi

Wycinek koaWzr na pole wycinka koa o promieniu r i kcie rodkowym wyraonym w stopniach:

P r=

pi 2360

Dugo uku AB wycinka koa o promieniu r i kcie rodkowym wyraonym w stopniach:

l r=

2360

pi

Kty w okrgu

Miara kta wpisanego w okrg jest rwna poowie miary kta rodkowego, opartego na tym samym uku.

Miary ktw wpisanych w okrg, opartych na tym samym uku, s rwne.

Miary ktw wpisanych w okrg, opartych na ukach rwnych, s rwne.

r

O

B

A

A C

D

B

r

O

A

C

B

D

a

h a

A B

O

2

11

Twierdzenie o kcie midzy styczn i ciciw

A C

B

O

A C

B

O

Dany jest okrg o rodku w punkcie O i jego ciciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okrgu w punkcie A. Wtedy AOB CAB= 2 , przy czym wybieramy ten z ktw rodkowych AOB, ktry jest oparty na uku znajdujcym si wewntrz kta CAB.

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeeli styczne do okrgu w punktach A i B przecinaj si w punkcie P, to

PA PB=

A

B

P

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznejDane s: prosta przecinajca okrg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okrgu w punkcie C. Jeeli proste te przecinaj si w punkcie P, to

PA PB PC = 2

C

B

P

A

12

Okrg opisany na czworokcie

C

D

A

B

Okrg wpisany w czworokt

A

D

a

C

B

b

c

d

r

11. STEREOMETRIA

Twierdzenie o trzech prostych prostopadych

P m

l

k

Prosta k przebija paszczyzn w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostoktnym prostej k na t paszczyzn. Prosta m ley na tej paszczynie i przechodzi przez punkt P. Wwczas prosta m jest prostopada do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopada do prostej l.

Na czworokcie mona opisa okrg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwlegych ktw wewntrznych s rwne 180:

+ = + =180

W czworokt wypuky mona wpisa okrg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dugoci jego przeciwlegych bokw s rwne:

a c b d+ = +

13

Przyjmujemy oznaczenia:P pole powierzchni cakowitej Pp pole podstawy Pb pole powierzchni bocznej V objto

Prostopadocian

P ab bc acV abc

= + +( )=

2

gdzie a, b, c s dugociami krawdzi prostopadocianu

Graniastosup prosty

P p hV P hb

p

= =

2

gdzie 2p jest obwodem podstawy graniastosupa

Ostrosup

V P hp= 13

gdzie h jest wysokoci ostrosupa

b

E

B

F

C

G

D

A

H

a

c

A B

C

D E

F G

H

I J

h

B A

E D

S

C O

h

14

Walec

P rhP r r h

V r h

b =

= +( )=

22

2

pi

pi

pi

gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokoci walca

Stoek

P rlP r r l

V r h

b =

= +( )

=

pi

pi

pi132

gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokoci, l dugoci tworzcej stoka

Kula

P r

V r

=

=

443

2

3

pi

pi

gdzie r jest promieniem kuli

12. TRYGONOMETRIA

Definicje funkcji trygonometrycznych kta ostrego w trjkcie prostoktnym

n s

s c= =

= =si in

co os

=

ac

bc

bc

ac

abtg tg =

ba

h

r O

l

r

h

O

S

r O

C A

B

a

b

c

15

Definicje funkcji trygonometrycznych

si

gdzie jest

n

cos

,

=

=

=

yrxr

yx xtg gdy

promieniem wodzcym pu

0

nktu M

2 2 0r x y= + >

Wykresy funkcji trygonometrycznych

2

x

y 1

1 0

32 2

2

x

y 1

1 0

2

32 2

2

x

y

1

1

0 2

32 2

2

2

3

4

2

3

4

y = sin x

y = cos x y = tg x

Zwizki midzy funkcjami tego samego kta

=

sin cossincos ,

2 2 1

2pi pi

+ =

+tg dla k k cakowite

Niektre wartoci funkcji trygonometrycznych

0 30 45 60 90

0pi6

pi4

pi3

pi2

sin 012

22

32

1

cos 1 32

22

12

0

tg 03

31 3

nieistnieje

M = (x, y)

x x

y

O

r

y

16

Funkcje sumy i rnicy ktw

Dla dowolnych ktw , zachodz rwnoci:

sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin

cos

+( ) = + ( ) = +(( ) = = +cos cos sin sin cos cos cos sin sin

( )

Ponadto mamy rwnoci:

tg tg tgtg tg

tg tg tgtg tg

+( ) = +

( ) = + 1 1

ktre zachodz zawsze, gdy s okrelone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kta

sin sin coscos cos sin cos sin

2 22 2 1 1 2

2

2 2 2 2

=

= = =

=2tg tg

1 2 tg

Sumy, rnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

sin sin sin cos sin sin cos( ) cos( )

si

( )+ = + = + 22 2

12

nn sin cos sin cos cos cos( ) cos( )

cos

( ) = + = + + 22 2

12

++ =+

= + +

cos cos cos sin cos sin( ) sin( )

cos c

( )22 2

12

oos sin sin= + 22 2

Wybrane wzory redukcyjne

Okresowo funkcji trygonometrycznych

sin sin cos cos+ ( ) = + ( ) = + k k k360 360 180 tg ( ) = tg cakowite, k

13. KOMBINATORYKA Wariacje z powtrzeniami

Liczba sposobw, na ktre z n rnych elementw mona utworzy cig, skadajcy si z k niekoniecznie rnych wyrazw, jest rwna nk.

Wariacje bez powtrze

Liczba sposobw, na ktre z n rnych elementw mona utworzy cig, skadajcy si z rnych wyrazw, jest rwna

n n n k n

n k ( ) +( ) =

( )1 1... !

!

17

Permutacje Liczba sposobw, na ktre n (n 1) rnych elementw mona ustawi w cig, jest rwna n!.

Kombinacje

Liczba sposobw, na ktre spord n rnych elementw mona wybra 0 elementw, jest rwna nk

.

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA

Wasnoci prawdopodobiestwa

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobiestwa

Niech bdzie skoczonym zbiorem wszystkich zdarze elementarnych. Jeeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe s jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobiestwo zdarzenia A jest rwne

P A A( ) =

gdzie A oznacza liczb elementw zbioru A, za liczb elementw zbioru .

Prawdopodobiestwo warunkowe

Niech A, B bd zdarzeniami losowymi zawartymi w , przy czym P B( ) > 0 . Prawdopodobiestwem warunkowym

P A B|( )

P A B|( ) nazywamy liczb

P A BP A BP B

|( ) = ( )( )

Twierdzenie o prawdopodobiestwie cakowitym

Jeeli zdarzenia losowe B B Bn1 2, , , zawarte w speniaj warunki:

1. B B Bn1 2, , , s parami rozczne, tzn. B Bi j = dla

2. B B Bn1 2 = ,

3. P B i ni( ) > 0 1 dla ,to dla kadego zdarzenia losowego A zawartego w zachodzi rwno

P A P A B P B P A B P B P A B P Bn n( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( )| | |1 1 2 2

18

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH

rednia arytmetyczna

rednia arytmetyczna n liczb a1, a2, ..., an jest rwna:

a a a an

n=+ + +1 2 ...

rednia waona

rednia waona n liczb a1, a2, ..., an, ktrym przypisano dodatnie wagi odpowiednio: w1, w2, ..., wn jest rwna:

w a w a w aw w w

n n

n

1 1 2 2

1 2

+ + + + + +

......

rednia geometryczna

rednia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2, ..., an jest rwna:

a a ann 1 2 ...

Mediana Median uporzdkowanego w kolejnoci niemalejcej zbioru n danych liczbowych a a a an1 2 3 ... jest:

dla n nieparzystych: an+12

(rodkowy wyraz cigu)

dla n parzystych:

12 2 2 1

a an n+( )+ (rednia arytmetyczna rodkowych wyrazw cigu) Wariancja i odchylenie standardoweWariancj n danych liczbowych a1, a2, ..., an o redniej arytmetycznej a jest liczba:

2 12

22 2

12

22 2

2=( ) + ( ) + + ( )

=+ + +

( )a a a a a an

a a an

an n... ...

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

16. GRANICA CIGU

Granica sumy, rnicy, iloczynu i ilorazu cigw

Dane s cigi a bn n( ) ( ) i , okrelone dla n 1. Jeeli lim

n na a

= oraz lim

n nb b

= , to

lim lim limn n n n n n n

a b a b a b a b

+( ) = + ( ) =

( ) = a b a bn n

Jeeli ponadto bn 0 dla n 1 oraz b 0, to

limn

n

n

ab

ab =

19

Suma wyrazw nieskoczonego cigu geometrycznego

Dany jest nieskoczony cig geometryczny a bn n( ) ( ) i , okrelony dla n 1, o ilorazie q. Niech Sn( ) oznacza cig sum pocztkowych wyrazw cigu a bn n( ) ( ) i , to znaczy cig okrelony wzorem S a a an n= + + +1 2 ... dla n 1. Jeeli q

20

sincos

tg

0 0,0000 0,0000 901 0,0175 0,0175 892 0,0349 0,0349 883 0,0523 0,0524 874 0,0698 0,0699 865 0,0872 0,0875 856 0,1045 0,1051 847 0,1219 0,1228 838 0,1392 0,1405 829 0,1564 0,1584 8110 0,1736 0,1763 8011 0,1908 0,1944 7912 0,2079 0,2126 7813 0,2250 0,2309 7714 0,2419 0,2493 7615 0,2588 0,2679 7516 0,2756 0,2867 7417 0,2924 0,3057 7318 0,3090 0,3249 7219 0,3256 0,3443 7120 0,3420 0,3640 7021 0,3584 0,3839 6922 0,3746 0,4040 6823 0,3907 0,4245 6724 0,4067 0,4452 6625 0,4226 0,4663 6526 0,4384 0,4877 6427 0,4540 0,5095 6328 0,4695 0,5317 6229 0,4848 0,5543 6130 0,5000 0,5774 6031 0,5150 0,6009 5932 0,5299 0,6249 5833 0,5446 0,6494 5734 0,5592 0,6745 5635 0,5736 0,7002 5536 0,5878 0,7265 5437 0,6018 0,7536 5338 0,6157 0,7813 5239 0,6293 0,8098 5140 0,6428 0,8391 5041 0,6561 0,8693 4942 0,6691 0,9004 4843 0,6820 0,9325 4744 0,6947 0,9657 4645 0,7071 1,0000 45

sincos

tg

46 0,7193 1,0355 4447 0,7314 1,0724 4348 0,7431 1,1106 4249 0,7547 1,1504 4150 0,7660 1,1918 4051 0,7771 1,2349 3952 0,7880 1,2799 3853 0,7986 1,3270 3754 0,8090 1,3764 3655 0,8192 1,4281 3556 0,8290 1,4826 3457 0,8387 1,5399 3358 0,8480 1,6003 3259 0,8572 1,6643 3160 0,8660 1,7321 3061 0,8746 1,8040 2962 0,8829 1,8807 2863 0,8910 1,9626 2764 0,8988 2,0503 2665 0,9063 2,1445 2566 0,9135 2,2460 2467 0,9205 2,3559 2368 0,9272 2,4751 2269 0,9336 2,6051 2170 0,9397 2,7475 2071 0,9455 2,9042 1972 0,9511 3,0777 1873 0,9563 3,2709 1774 0,9613 3,4874 1675 0,9659 3,7321 1576 0,9703 4,0108 1477 0,9744 4,3315 1378 0,9781 4,7046 1279 0,9816 5,1446 1180 0,9848 5,6713 1081 0,9877 6,3138 982 0,9903 7,1154 883 0,9925 8,1443 784 0,9945 9,5144 685 0,9962 11,4301 586 0,9976 14,3007 487 0,9986 19,0811 388 0,9994 28,6363 289 0,9998 57,2900 190 1,0000 0

18. TABLICA WARTOCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

PublikacjawspfinansowanaprzezUniEuropejskwramachEuropejskiegoFunduszuSpoecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpatnie.

ISBN978-83-940902-1-0

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawGdaskuul.NaStoku49,80-874Gdasktel.(58)32-05-590,fax(58)32-05-591www.oke.gda.pl,e-mail:komisja@oke.gda.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawodziul.Praussa4,94-203dtel.(42)63-49-133,fax(42)63-49-154www.oke.lodz.pl,e-mail:komisja@komisja.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawJaworznieul.AdamaMickiewicza4,43-600Jaworznotel.(32)78-41-615,fax(32)78-41-608www.oke.jaw.pl,e-mail:oke@oke.jaw.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawPoznaniuul.Gronowa22,61-655Poznatel.(61)85-40-160,fax(61)85-21-441www.oke.poznan.pl,e-mail:sekretariat@oke.poznan.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawKrakowieos.Szkolne37,31-978Krakwtel.(12)68-32-101,fax(12)68-32-100www.oke.krakow.pl,e-mail:oke@oke.krakow.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawWarszawiePlacEuropejski3,00-844Warszawatel.(22)45-70-335,fax(22)45-70-345www.oke.waw.pl,e-mail:info@oke.waw.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawomyAl.Legionw9,18-400omatel.(86)47-37-120,fax(86)47-36-817www.oke.lomza.pl,e-mail:sekretariat@oke.lomza.pl

OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnaweWrocawiuul.Zieliskiego57,53-533Wrocawtel.(71)78-51-894,fax(71)78-51-866www.oke.wroc.pl,e-mail:sekretariat@oke.wroc.pl

CentralnaKomisjaEgzaminacyjnaul.JzefaLewartowskiego6,00-190Warszawa

tel.(22)53-66-500,fax(22)53-66-504www.cke.edu.pl,e-mail:ckesekr@cke.edu.pl