Post on 27-Jan-2019
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
ConvergenciaSplines cubicos
Julio Setien
2005
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Datos de la interpolacion
I Particion del intervalo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
I Condiciones de interpolacion
xi x0 . . . xn
yi y0 . . . yn
I Notacion hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Datos de la interpolacion
I Particion del intervalo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
I Condiciones de interpolacion
xi x0 . . . xn
yi y0 . . . yn
I Notacion hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Definicion general
S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ Cm−1([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1
Observaciones inmediatas:
1. S ′(x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a laparticion ∆
2. Numero de parametros (m + 1)n
3. Numero de condiciones de continuidad m(n − 1)
4. Dimension esperable n + m
5. Condiciones de interpolacion n + 1
6. Hay que anadir m − 1 adicionales
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Definicion general
S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ Cm−1([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1
Observaciones inmediatas:
1. S ′(x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a laparticion ∆
2. Numero de parametros (m + 1)n
3. Numero de condiciones de continuidad m(n − 1)
4. Dimension esperable n + m
5. Condiciones de interpolacion n + 1
6. Hay que anadir m − 1 adicionales
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Definicion
Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicos
A veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{
S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Definicion
Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suaves
Minimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{
S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Definicion
Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvatura
Definicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1
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Curvatura
Convergencia
Definicion
Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{
S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,
tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 0
7.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)
7.3 Periodicos8<:S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆
2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆
3. Numero de parametros 4n
4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimension esperable n + 3
6. Condiciones de interpolacion n + 1
7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas
7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:
S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Consejos
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametros
Hay demasiadosHay que afrontarlo de otra manera
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Curvatura
Convergencia
Consejos
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametrosHay demasiados
Hay que afrontarlo de otra manera
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Consejos
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametrosHay demasiadosHay que afrontarlo de otra manera
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Curvatura
Convergencia
Un punto de partida facil
S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆
Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos
S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1
hi+ Mi+1
x − xi
hii = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+Ai i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
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Curvatura
Convergencia
Un punto de partida facil
S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos
S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1
hi+ Mi+1
x − xi
hii = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n
seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+Ai i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
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Curvatura
Convergencia
Un punto de partida facil
S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos
S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1
hi+ Mi+1
x − xi
hii = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitas
Integramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+Ai i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
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Convergencia
Un punto de partida facil
S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos
S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1
hi+ Mi+1
x − xi
hii = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+Ai i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
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Convergencia
Un punto de partida facil
S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos
S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1
hi+ Mi+1
x − xi
hii = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+Ai i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
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Convergencia
Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
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Convergencia
Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
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Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
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Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
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Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
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Curvatura
Convergencia
Condiciones de interpolacion
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
3
6hi+ Mi+1
(x − xi )3
6hi+
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
3
6hi−1+ Mi
(x − xi−1)3
6hi−1+
+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n
Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
Ai =yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad en los nodos interiores
Como antes hicimos
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores
S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad en los nodos interiores
Como antes hicimos
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores
S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad en los nodos interiores
Como antes hicimos
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores
S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.
Solo falta
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad en los nodos interiores
Como antes hicimos
S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores
S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodosinteriores
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
2
2hi−1+ Mi
(x − xi−1)2
2hi−1+
+yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
−Mihi
2+
yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi =
= Mihi−1
2+
yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodosinteriores
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
2
2hi−1+ Mi
(x − xi−1)2
2hi−1+
+yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
−Mihi
2+
yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi =
= Mihi−1
2+
yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1
Splines cubicos
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodosinteriores
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
2
2hi−1+ Mi
(x − xi−1)2
2hi−1+
+yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
−Mihi
2+
yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi =
= Mihi−1
2+
yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1
Splines cubicos
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodosinteriores
S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)
2
2hi+ Mi+1
(x − xi )2
2hi+
+yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi i = 0, . . . , n − 1
S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )
2
2hi−1+ Mi
(x − xi−1)2
2hi−1+
+yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1 i = 1, . . . , n
S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1
−Mihi
2+
yi+1 − yi
hi− Mi+1 −Mi
6hi =
= Mihi−1
2+
yi − yi−1
hi−1− Mi −Mi−1
6hi−1
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitas
Tiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacion
Hay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuaciones
Hay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitas
Necesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion
hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi
hi− yi − yi−1
hi−1)
i = 1, . . . , n − 1 (1)
Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
Tridiagonal
Diagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
TridiagonalDiagonal dominante
(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)
(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)
Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Splines cubicos naturales
S ′′(a) = S ′′(b) = 0
Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema
2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
Splines cubicos
Julio Setien
General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )
3
αi = S(x+i ) = yi
βi = S ′(x+i ) =
yi+1 − yi
hi−Mihi/3−Mi+1hi/6
γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2
δi = S ′′′(x+i )/6 =
Mi+1 −Mi
6hi
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
S ′(a) = S ′(x+0 ) =
y1 − y0
h0−M0h0/3−M1h0/6
S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1
hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6
Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)
Splines cubicos
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
S ′(a) = S ′(x+0 ) =
y1 − y0
h0−M0h0/3−M1h0/6
S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1
hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6
Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
S ′(a) = S ′(x+0 ) =
y1 − y0
h0−M0h0/3−M1h0/6
S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1
hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6
Interpolacion de derivadas
Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)
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Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
S ′(a) = S ′(x+0 ) =
y1 − y0
h0−M0h0/3−M1h0/6
S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1
hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6
Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos
M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)
Splines cubicos
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
S ′(a) = S ′(x+0 ) =
y1 − y0
h0−M0h0/3−M1h0/6
S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1
hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6
Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimizacion
Curvatura de una funcion en un punto
κ(x) =|f ′′(x)|
(1 + f ′(x)2)3/2
Si fijamos una serie de valores en los nodos de una particion, osea, damos los puntos (x0, y0), . . . , (xn, yn) entonces, de entretodas las funciones f ∈ C 2([a, b]) que pasan por esos puntosf (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cubico natural es la mas suaveen el sentido ∫ b
a
S ′′(x)2dx ≤∫ b
a
f ′′(x)2dx
Splines cubicos
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimizacion
Curvatura de una funcion en un punto
κ(x) =|f ′′(x)|
(1 + f ′(x)2)3/2
Si fijamos una serie de valores en los nodos de una particion, osea, damos los puntos (x0, y0), . . . , (xn, yn) entonces, de entretodas las funciones f ∈ C 2([a, b]) que pasan por esos puntosf (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cubico natural es la mas suaveen el sentido ∫ b
a
S ′′(x)2dx ≤∫ b
a
f ′′(x)2dx
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Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimizacion II
De entre todas las funciones periodicas de periodo b − a quetoman unos valores prefijados en unos nodos dados, la mas suaveen el sentido anterior es el splin cubico periodico que interpolaesos valores
Si lo que fijamos son los valores en los nodos y, ademas, laderivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores yesas derivadas es la mas suave en el sentido anterior de todas lasfunciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esosvalores en los extremos
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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimizacion II
De entre todas las funciones periodicas de periodo b − a quetoman unos valores prefijados en unos nodos dados, la mas suaveen el sentido anterior es el splin cubico periodico que interpolaesos valoresSi lo que fijamos son los valores en los nodos y, ademas, laderivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores yesas derivadas es la mas suave en el sentido anterior de todas lasfunciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esosvalores en los extremos
Splines cubicos
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General
Splines cubicos
Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion
Curvatura
Convergencia
Propiedad de convergencia
Con cualquier clase de splines que interpolemos una funcioncontinua, si vamos aumentando de manera razonable el numerode nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergera a lafuncion
Un ejemplo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1}
r(∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1}
f ∈ C 4([a, b]) |f 4)(x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b]
S∆(x) interpola a f en los nodos y, ademas, interpola a suderivada en los extremos del intervalo.Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ talesque ∀x ∈ [a, b]
|f k)(x)− Sk)∆ (x)| ≤ CkL(||∆||/r(∆))||∆||4−k k = 0, 1, 2, 3
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Curvatura
Convergencia
Propiedad de convergencia
Con cualquier clase de splines que interpolemos una funcioncontinua, si vamos aumentando de manera razonable el numerode nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergera a lafuncionUn ejemplo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1}
r(∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1}
f ∈ C 4([a, b]) |f 4)(x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b]
S∆(x) interpola a f en los nodos y, ademas, interpola a suderivada en los extremos del intervalo.Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ talesque ∀x ∈ [a, b]
|f k)(x)− Sk)∆ (x)| ≤ CkL(||∆||/r(∆))||∆||4−k k = 0, 1, 2, 3