Post on 14-Jun-2015
APLIKASI TEOREMA PHYTAGORAS PADA LUKISAN RUAS
GARIS
S K R I P S I
Diajukan Dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : Manzilur Rochmah
Nim : 4150403005
Program Studi : Matematika
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
“Ujian Skripsi yang sesungguhnya adalah ujian melawan kemalasan diri
sendiri”
“Everything Noting Impossible but Everything Isn't Easy”
“Jangan pernah terpaku pada apa yang menimpa kita, melainkan perhatikan
bagimana kita mengartikannya”
PERSEMBAHAN
Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.
Inilah karya yang harus kulakukan untuk menjadikan diriku sebaik-baiknya.
Kuperuntukan karya ini kepada:
1. Bapak Achyuri dan Ibu Sakdiyah atas doanya.
2. Keluarga Besar Sugeng Rawuh KOS.
3. Dosen dan sahabatku.
4. Okta my cassanova
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................. i
ABSTRAK ............................................................................................. ii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN........................................................ iii
KATA PENGANTAR ........................................................................... v
DAFTAR ISI.......................................................................................... vi
BAB I PENDAHULUAN
A. Alasan Pemilihan Judul............................................................... 1
B. Permasalahan ............................................................................. 2
C. Tujuan dan Manfaat Penelitian ................................................... 3
D. Sistematika Skripsi...................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI
A. Kesebangunan ............................................................................ 6
B. Teorema Phytagoras ................................................................... 13
C. Teorema Proyeksi Dalam Segitiga Siku-siku, Lancip, dan Tumpul 15
BAB III METODE PENELITIAN
A. Menemukan Masalah .................................................................. 20
B. Merumuskan Masalah ................................................................. 21
C. Studi Pustaka............................................................................... 22
D. Analisis dan Pemecahan Masalah ............................................... 22
E. Penarikan Simpulan .................................................................... 22
BAB IV PEMBAHASAN
A. Lukisan Dasar.............................................................................. 23
B. Membuat Garis Yang Tegak Lurus h dari sebuah titik p ............ 23
C. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah garis g ............... 24
D. Membagi sudut menjadi dua bagian yang sama ......................... 25
E. Pemindahan Sudut....................................................................... 26
F. Melukis garis............................................................................... 29
G. Melukis ruas garis yang berukuran 5 satuan jika diketahui
ruas garis berukuran 7 satuan.................................................. 29
BAB V PENUTUP
A. SIMPULAN ................................................................................ 32
B. SARAN ....................................................................................... 37
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR LAMPIRAN
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan
petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi yang berjudul ”Aplikasi Teorema Phytagoras Pada Lukisan Ruas
Garis”.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang, bapak Drs. Kasmadi Imam S.,
M.S.
2. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang, bapak Drs.
Supriyono, M.Si.
3. Pembimbing I, bapak Drs. Wuryanto, M.Si yang telah memberikan
bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
4. Pembimbing II, bapak Drs. Moch Chotim, M.S yang telah memberikan
bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
5. Ayah dan Ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik
secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.
6. My Cassanova Okta (a man to love) yang telah memberikan waktu, perhatian
dan semua yang tak terlupakan sehingga penulis ingin segera menyelesaikan
skripsi ini.
7. Sahabatku Rahma, Ema, Asti, Ari, Ita, dan Devi yang tak henti-hentinya
memberikan solusi dan semangat kepada penulis.
8. Teman-temanku dan semua angkatan 2003, terima kasih atas semuanya.
9. Kelurga Besar ” Sugeng Rawuh ” Bapak Sunari, yang tiada henti memotivasi
penulis.
10. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan
semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang, Juli 2007
Penulis
ABSTRAK
Manzilur Rochmah, Aplikasi Teorema Pythagoras Pada Lukisan Ruas Garis.
Semarang, Skripsi, (Matematika - Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam) Universitas Negeri Semarang, 2006
Matematika adalah ilmu pasti dimana dalam segala perhitungannya dapat dipertanggung jawabkan. Hakekat matematika bersifat deduktif aksiomatis, artinya untuk mempelajari matematika bertolak dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal, kemudian aksioma. Pendekatan dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal dan aksioma dapat memunculkan suatu Teorema yang menjadi dasar dalam menemukan solusi suatu masalah, kemudian muncul teorema-Teorema yang lain. Banyak cabang dalam ilmu matematika, salah satunya adalah bidang geometri. Adapun kegunaan ilmu geometri yaitu dalam rancang bangun, pengukuran suatu ketinggian, dan aplikasi yang lain.
Ada beberapa Teorema yang mendasar dalam ilmu geometri, salah satunya adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini ditemukan oleh seorang matematikawan yang bernama Pythagoras. Dalam hal ini penulis mencoba menganalisis melalui Teorema Pythagoras dan sifat-sifat yang diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab problem pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual. Sebagai ilustrasi kita tidak mungkin melukis ruas garis yang berukuran
3 satuan. Meskipun diketahui ruas garis berukuran satu satuan hanya dengan menggunakan satu alat penggaris saja, sekurang-kurangnya kita harus menggunakan alat bantu jangka di samping alat bantu penggaris.
Beberapa lukisan bentuk aljabar untuk pengukuran suatu ruas garis, mutlak menggunakan Teorema Pythagoras sebagai basis untuk memperoleh ukuran ruas garis yang dikehendaki. Sebagai contoh untuk melukis ruas garis y apabila diketahui y = 22 dbca +− , dengan ketentuan ruas a, b, c, d diketahui dan > bc. 22 da +
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Alasan Pemilihan Judul
Hakekat matematika bersifat deduktif aksiomatis, artinya untuk
mempelajari matematika bertolak dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal
yaitu definisi yang disepakati, kemudian aksioma yaitu pernyataan yang
diterima tanpa bukti. Pendekatan dari pengertian pangkal, pernyataan pangkal
dan aksioma dapat memunculkan suatu teorema yang menjadi dasar dalam
menemukan solusi satu masalah, kemudian muncul teorema-teorema yang
lain.
Secara umum dapat digambarkan pada diagram berikut:
Undifined elements
3. Teorema
2. Definisi
Teorema
1. Aksioma
dst
2
Banyak cabang dalam ilmu matematika, salah satunya adalah bidang
geometri. Adapun kegunaan ilmu geometri yaitu dalam rancang bangun,
pengukuran suatu ketinggian, dan aplikasi yang lain.
Ada beberapa teorema yang mendasar dalam ilmu geometri, salah
satunya adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini ditemukan oleh seorang
matematikawan yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir sekitar tahun 582
SM di pulau Samos, Yunani. Pythagoras menemukan sebuah rumus geometri
sederhana tentang hubungan sisi dalam segitiga siku-siku. Rumus ini
kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Dalam berbagai
rancang bangunan tidak lepas dari Teorema Pythagoras, dalam ilmu fisika
Teorema Pythagoras sangat membantu dalam mengukur tinggi sebuah
gedung, dalam bidang matematika sendiri Teorema Pythagoras sangat
membantu dalam membuat sebuah garis yang tidak dapat di ukur dengan
sebuah penggaris.
B. Permasalahan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah: apakah melalui Teorema Pythagoras dan sifat-sifat yang
diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab sebuah problem
pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual.
3
C. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dalam
penelitian ini adalah membuktikan bahwa melalui Teorema Pythagoras
dan sifat-sifat yang diturunkan dari Teorema Pythagoras dapat menjawab
sebuah problem pengukuran ruas garis yang tidak mungkin dilakukan
secara manual.
2. Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Bagi Mahasiswa
1) Dapat menambah wawasan kerja dalam bidang geometri, yang bisa
dijadikan bekal atau langkah dalam menyelesaikan suatu masalah
sehingga diharapkan mahasiswa mampu berfikir secara deduktif.
2) Dapat mengembangkan teori yang didapatkan dibangku kuliah.
3) Mengetahui apa saja aplikasi Teorema Pythagoras dalam
kehidupan.
b. Bagi Pembaca
1) Memperoleh informasi yang berkaitan dengan kemajuan
pengetahuan matematika dan keklasikan geometri serta teori-teori
yang ada di lembaga pendidikan.
2) Masukan bagi pembaca dalam merencanakan dan melakukan
rancangan bangun.
c. Bagi Universitas
4
Sebagai sarana untuk penelitian dan pengembangan, terutama yang
berkaitan dengan tugasnya sebagai lembaga pendidikan.
D. Sistematika Skripsi
Penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian yaitu
bagian awal, bagian inti dan bagian akhir.
Bagian awal memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,
halaman motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar
gambar, dan daftar lampiran.
Bagian inti terdiri dari lima bab, adapun kelima bab tersebut adalah
sebagai berikut.
1. Bab I Pendahuluan
Pada bab pendahuluan ini berisi alasan pemilihan judul, permasalahan,
tujuan dan manfaat penelitian, dan garis besar sistematika skripsi.
2. Bab II Landasan Teori
Landasan teori merupakan teori-teori yang mendasari pemecahan masalah
yang disajikan.
3. Bab III Metode Penelitian
Bab ini meliputi empat hal, yaitu studi literatur dan studi kasus, analisis
pengumpulan data, analisis data dan penarikan kesimpulan.
4. Bab IV Hasil Penelitian dan Pembahasan
Pada bab ini berisi pembahasan dari permasalahan yang disajikan yang
terbagi menjadi dua sub bagian, yaitu hasil penelitian dan pembahasan.
5
5. Bab V Penutup
Pada bab ini memuat simpulan dan saran.
Bagian akhir skripsi ini berisi daftar pustaka dan lampiran-lampiran.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
A. KESEBANGUNAN
Secara umum dua bangun dikatakan sebangun jika bangun yang
satu dapat diperoleh dari bangun yang lain melalui serangkaian transformasi
(translasi, rotasi, refleksi) yang diakhiri dengan suatu dilatasi khususnya:
Dua segi-n (n bilangan asli lebih dari atau sama dengan 3) dikatakan
sebangun jika dan hanya jika sama sudut. Pengertian sama sudut dijelaskan
sebagai berikut:
Namakan A himpunan sudut dalam segi-n pertama, B himpunan sudut
dalam segi-n kedua, sedemikian sehingga terdapat korespondensi satu-satu
antara A dan B dengan relasi sama dengan.
Cukup jelas, dua segitiga dikatakan sebangun jika dan hanya jika kedua
segitiga itu sama sudut. Ini berakibat sisi yang seletak sebanding.
Contoh 1.1
Diketahui segitiga ABC, p pusat dilatasi, k=2 dimana k adalah faktor
dilatasi, dan A'B'C' bayangan segitiga ABC dibawah dilatasi [p,2].
Gambar 1.1
7
p
A
C
C'
B
A'
B'
Contoh 1.2
Diketahui segitiga ABCD, p pusat dilatasi, k=2 dimana k adalah faktor
dilatasi, dan A'B'C'D' bayangan segitiga ABCD dibawah dilatasi [p,2].
Gambar 1.2
A
D C
B
A'
D' C'
B'
p
Jelas jika faktor dilatasinya 1 atau -1 diperoleh dua bangun yang
kongruen.
Dari dua contoh diatas dapat ditarik kesimpulan yaitu dua segi-n
dikatakan sebangun jika dan hanya jika sama sudut, dalam arti terdapat
korespondensi 1-1 antara himpunan sudut dalam segi-n yang pertama
8
dengan himpunan sudut dalam segi-n yang kedua dengan relasi sama
dengan.
Akibat:
Perbandingan antara sisi-sisi yang seletak adalah sama.
Gambar 1.3
Jika perbandingan yang sama diumpamakan k maka ACPR
BCQR
ABPQ
== = k.
Ada empat hal dalam kesebangunan, yaitu:
1. Dua segitiga sebangun kalau ketiga sisi segitiga yang satu sebanding
dengan ketiga sisi yang bersesuaian dari segitiga yang kedua.
Gambar 1.4
BA P Q
RC
O
A B
C
A' B'
C'
Diketahui A'B': AB=B'C':BC=C'A':CA
Jika perbandingan yang sama ini kita umpamakan k maka :
9
A'B' = k x AB
tiga ABC diperkalikan dengan k dari sembarang titik
pat A'B' = A"B", B'C' = B"C" dan C'A' = C"A"
B'C' = k x BC
C'A' = k x CA
Bila sekarang segi
p, maka diperoleh A''B''C'' dimana:
A''B'' = k x AB
B''C'' = k x BC
C''A''= k x CA
Dari I dan II terda
Sehingga ∆ A'B'C' ≅ ∆ A"B"C", dan ∆ ABC ∼ ∆ A'B'C' (SSS).
2. g u sama Dua segitiga seban un kalau dua sudut dari segitiga yang sat
dengan dua sudut dari segitiga yang lain.
Gambar 1.5
A" B"
C"
C
A B
A' B'
C'
………..II
………..I
10
Diketahui: ∠ A = ∠ A', ∠ B = ∠ B', dan perkalian ∆ ABC dengan
ABBA '' menghasilkan ∆ A"B"C" dimana ∠ A = ∠ A" = ∠ A', ∠ B = ∠
B" = ∠ B',
Sehingga A"B" = '''' BAxABAB
BA= .
Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.
3. Dua segitiga sebangun kalau dua sisi segitiga yang satu sebanding
dengan dua sisi segitiga yang kedua dan sudut apit kedua sisi itu sama.
O
A B
C
A" B"
C"
A'B'
C'
Gambar 1.6
Diketahui B'C' : BC = A'B' : AB ∠ B' = ∠ B, perkalian ∆ ABC dengan
BCCB '' menghasilkan ∆ A"B"C",
dimana ∠ A = ∠ A" = ∠ A', ∠ B = ∠ B" = ∠ B',
Sehingga B"C" = '''' CBxBCBC
CB= .
A"B" = xABAB
BAxABBC
CB ''''= = A'B',
∠ B" = ∠B = ∠B'. dengan demikian
Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.
11
4. Dua segitiga sebangun kalau dua kedua segitiga itu siku-siku sadangkan
sisi miring dan sebuah sisi siku-siku dari segitiga yang satu sebanding
dengan sisi miring dan sisi siku-siku dari segitiga yang kedua.
Gambar 1.7
A"
C"
B"
C
A B
A' B'
C'
Diketahui A'B' : AB = B'C' : BC, ∠ C' = ∠ C
∠ A' = ∠ A,
perkalian ∆ ABC dengan AB
BA '' menghasilkan ∆ A"B"C", dimana
B"C" = '''' CBxBCAB
BA= .
A"B" = '''' BAxABAB
BA= = A'B',
∠ C" = ∠C = ∠C'. dengan demikian
∠ A" = ∠A', jadi ∠ A" = ∠ A'.
Akibat ∆ A"B"C" ≅ ∆ A'B'C' ∼ ∆ ABC.
Contoh 1.3
12
Jika AD dan BE masing-masing garis tinggi ∆ ABC buktikan bahwa
CD x CB = CE x CA.
Penyelesaian:
D E
B A
C
Gambar 1.8
Diketahui : ∆ ABC, AD dan BE garis tinggi
Buktikan : CD x CB = CE x CA
Bukti :
Lihat ∆ CAD dan ∆ CEB
∠ CDA = ∠ CEB (90°)
∠ ACD = ∠ BCE (berimpit)
Sehingga Δ CDA ∼ Δ CEA (Sd Sd).
Jadi AD : BE = AC : BC = CD : CE
↔ AC x CE = BC x CD
↔ CD x CB = CE x CA.
13
B. TEOREMA PYTHAGORAS
Setiap segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi yang terdiri dari 2
buah sisi siku-siku dan 1 buah sisi miring (hipotenusa).
Sisi siku-siku
C
A B
Sisi miring Sisi siku-siku
Gambar B.1
Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-siku. Pada Δ
ABC di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan AC. Sedangkan sisi miring
(hipotenusa) adalah sisi di hadapan sudut siku-siku. Pada ΔABC tersebut sisi
miringnya adalah BC. Perhatikan gambar berikut:
b D
A c
b
b
c C c
c b B
a2
a
a
a
a
Gambar B.2
14
Luas daerah yang tidak diarsir = luas ABCD – 4 x luas daerah yang diarsir.
Lua QRS =
⇔ a2 = (b+c) (b+c) – 4( bc)
⇔ a2 = b2 + 2 bc + c2 – 2 bc
⇔ a2 = b2 + c2
Gambar B.3
a
S R c
b
a
c
Q b P
21 x (PQ + RS) x QR
=
s trapezium P
21 (b + c) (b + c)
= 21 (b + c) 2….(1)
Luas trapezium PQRS = L.Δ Δ PTS PQT + L.Δ RST + L.
= 21 bc +
21 bc +
21 a2 = bc +
21 a2…(2)
Persamaan (2) = persam kaan (1), ma a:
15
bc + 21 a2 =
21 (b + c) 2
⇔ 2bc + a2 = (b + c) 2
⇔ 2bc + a2 = b2 + 2bc + c2
2bc
S itiga siku-siku selalu berlaku :
u-sikunya.
. TEOREMA PROYEKSI DALAM SEGITIGA SIKU-SIKU, LANCIP,
maksud dengan proyeksi suatu titik pada suatu garis adalah
titik alas
1. eksi dalam segitiga siku-siku
⇔ a2 = b2 + 2bc +c2 –
⇔ a2 = b2 + c2.
ecara umum untuk seg
Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi sik
C
DAN TUMPUL
Yang di
garis tegak lurus yang dapat diturunkan dari titik itu ke garis tersebut.
B
B' A
m
A'
Gambar C.1
Teorema proy
16
A
b p
c
t
q a
D
B
C
Gambar C.2
BD disebut proyeksi sisi siku-siku AB pada sisi BC, CD disebut proyeksi
t sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi
∆ BAC
90°) ;
∼ ∆ BAC → b : a = q : b
sisi siku-siku AC pada sisi BD. Dimana AB = garis c, BC = garis a, CD =
garis q, AC = garis b, BD = garis p.
Teorema:
a. Kuadra
miring dan sisi miring sendiri.
Bukti:
Lihat ∆ ADC dan
Oleh karena:
∠ D1 = ∠ A (
∠ C = ∠ C
∠ A2 = ∠ B
Maka:
∆ ADC
17
Maka b2 = qa.
b. nggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi
DB dan ∆ CAB
C dan ∆ BAD
q : t
c. siku-siku sama dengan kasil kali sisi miring dan garis
ADB ∼ ∆ BAC → c : a = t : b
d. ring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain.
Kuadrat garis ti
miring.
Bukti:
lihat ∆ A
Analog a:
lihat ∆ AD
∆ ADC ∼ ∆ BAD → t : p =
Maka t2 = pq.
Hasil kali sisi
tinggi ke sisi miring itu.
Bukti:
karena ∆
Maka bc = ta.
Kuadrat sisi mi
Dari hasil diatas maka di dapat:
b2 = qa
pac =2 +
⇔ b2 + c
2 = qa + pa
⇔ b2 + c2 = a (q + p)
⇔ b2 + c2 = a. a = a2
18
⇔ b2 + c2 = a2.
2. T i dalam segitiga lancip/tumpul
BD; BD adalah proyeksi
a2 = b2 + c2 – 2 pc
t2 = b2 – p2 dan pada Δ DBC t2 = a2 – q2
– p)2
+p2
p q
c
t
a
eorema proyeks
Diketahui Δ ABC , AD adalah proyeksi AC pada
BC pada AB, dimana AD = garis p, AC = garis b, BD = garis q, BC =
garis a, AB = garis c.
b
A D B
C
Gambar C.3
Buktikan :
b2 = a2 + c2 – 2 qc
Bukti:
Pada Δ ADC
⇔ a2 – q2 = b2 – p2
⇔ a2 = b2- p2 + q
⇔ a2 = b2 – p2 + (c
⇔ a2 = b2 – p2 + c2 – 2 cp
∴a2 = b2 + c2 – 2 pc.
19
⇔
q)2
q + q2
J
n bahwa:
2
(c + p) 2
2)
b2 – p2 = a2 – q2
⇔ b2 = a2 – q2 +(c –
⇔ b2 = a2 – q2 + c2 – 2 c
⇔ b2 = a2 + c2 – 2 qc.
ika ∠ A tumpul
C
A
b t a
c D B
Gambar C.4
q E
Maka buktika
a2 = b2 + c2 + 2 pc
Bukti:
t2 = b2 - p
⇔ t2 = a2-
⇔ b2 - p2 + a2 – (c2 + 2 pc + p
⇔ b2 = a2 - c2 – 2 pc
∴a2 = b2 + c2 + 2 pc.
20
BAB III
METODE PENELITIAN
Untuk dapat mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan dan agar
penelit
i dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber
pustaka
B.
ipilih harus “researchable” dapat arti masalh terssebut
dapt d
ian berjalan dengan lancar maka metode dan perancangan penelitian
memegang peranan yang sangat penting . sebab dengan metode penelitian akan
diperoleh data yang lengkap untuk memecahkan masalah yang dihadapi.
A. Menemukan Masalah
Dalam tahap in
sebagai suatu masalah.
Merumuskan Masalah
Masalah yang d
iselidiki, masalah perlu dirumuskan secara jelas, karena dengan
perumusan yang jelas, penelitian diharapkan dapat mengetahui variable-
variabel apa yang akan diukur dan apakah ada alat-alat ukur yang sesuai untuk
mencapai tujuan penelitian. Dengan rumus masalah yang jelas, akan dapat
dijadikan penuntun bagi langkah-langkah selanjutnya. Hal ini sesuai dengan
pandangan yang dinyatakan oleh Jack R. Fraenkel dan Norman E. wallen
(1990:23) bahwa salah satu karakteristik formulasi pertanyaan penelitian
yang baik yaitu pertanyaan penelitian harus clear. Artinya pertanyaan
penelitian yang diajukan hendaknya disusun dengan kalimat yang jelas,
artinya membingungkan. Dengan pertanyaan yang jelas akan mudah
21
mengidentifikasi variable-variabel apa yang ada dalam pertanyaan penelitian.
Dalam mengidentifikasi istilah tersebut dapat dengan:
1. Constitutive Definition, yakni dengan pendekatan kamus (dictionary
approach),
2. Contoh atau by example
3. Operational Definition, yakni mendefinisikan istilah atau variable
penelitian secara spesifik, rinci dan operasional.
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: bagaimana aplikasi
Teorema Pythagoras dalam lukisan ruas garis yang tidak dapat di ukur dengan
sebuah penggaris yang merupakan dasar dari ilmu geometri.
C. Studi Pustaka
Jurnal-jurnal penelitian merupakan laporan hasil-hasil penelitian
yang dapat dijadikan sumber masalah, karena laporan penelitian yang baiknya
tentunya mencantumkan rekomendasi untuk penelitian yang lebih lsnjut, yang
berkaitan dengan penelitian tersebut. Suatu penelitian sering tidak mampu
memecahkan semua masalah yang ada, karena keterbatasan penelitian. Hal ini
menuntut adanya penelitian lebih lanjut dengan mengangkat masalah-masalah
yang belum dijawab. Selain jurnal penelitian bacaan lain seperti buku-buku
juga dapat dijadikan sumber masalah.
D. Analisis dan Pemecahan Masalah
1. Sumber Data
Sumber data primer merupakan data yang diperoleh langsung
dari sumbernya dicermati dan dicatat pertama kalinya.
22
Data sekunder merupakan data yang tidak di usahakan sendiri
oleh peniliti tetapi diperoleh oleh pihak lain.
2. Analisis Data
Langkah-langkah yang dilakukan dalam menganalisis data dapat
dilakukan dengan memadukan teori-teori yang ada dalam buku dengan
pengerjaan dengan cara lain.
3. Pengambilan Keputusan
Pengambilan keputusan dilaksanakan setelah penelitian ini
dilakukan.
E. Penarikan Simpulan
Dari sekumpulan analisis yang dilakukan sebelumnya, maka dapat
ditarik sebuah simpulan, penarikan simpulan ini berdasarkan penelitian yang
dilakukan.
23
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Lukisan Dasar
a. Membagi suatu ruas garis menjadi dua bagian yang sama.
1. Buat busur lingkaran dengan jari-jari sama (lebih dari setengah AB
dengan pusat A dan B
2. Tarik garis CD yang memotong AB di E
3. AE = EB.
Gambar A. 1.
b. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah titik P
1. Buat busur lingkaran dengan pusat P yang memotong g di dua titik
A dan B
24
2. Dengan jari-jari yang sama tadi, buatlah busur lingkaran dengan
pusat A dan B yang berpotongan di Q
3. Buat garis h melalui P dan Q
4. Garis h melalui P dan tegak lurus g
Gambar A. 2.
c. Membuat garis yang tegak lurus h dari sebuah garis g
1. Buat busur lingkaran dengan pusat p yang memotong g di dua titik
A dan B
2. Buat busur lingkaran dengan pusat A dan B dengan jari-jari yang
sama lebih dari setengah AB, yang berpotongan di C dan D
3. Buat garis h melalui P dan Q
4. Garis h melalui P dan tegak lurus g
Gambar A. 3.
25
d. Membagi sudut menjadi dua bagian yang sama
1. Buat busur lingkaran yang memotong kedua kaki ∠ A di B dan C
2. Buat busur lingkaran dengan pusat B dan C dengan jari-jari yang
sama dari tadi, yang berpotongan di D
3. AD membagi ∠ A menjadi dua sama besar
Gambar A. 4.
26
e. Pemindahan Sudut
1. Buat busur lingkaran yang berpusat A dan memotong kaki-kaki ∠
A di B dan C
2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari AB dan titik pusat p
memotong g di Q
3. ukurkan jaraknya BC dengan jangka
4. Buat busur lingkaran dengan jarak BC sebagai jari-jari dan Q
sebagai pusat yang memotong busur tadi di R
5. tarik PR, ∠ A = ∠ P.
Gambar A. 5.
B. Melukis garis
Contoh 1:
Lukislah garis c
abx =
27
Penyelesaian:
Misal:
a
b
c
x c = a b
x : b = a : c
sesuai dengan teorema pada kesebangunan maka dapat digambar sebagai
berikut:
Gambar B. 1.
a c x
b
Lukislah garis 22 bay +=
Dari a dan b yang diketahui maka y dapat dilukiskan dengan menggunakan
Teorema Phytagoras.
Gambar B. 2.
28
a b
y
⎣
Lukiskan garis 222 yxc
abt +=
Penyelesaian:
Misal 22 yxm += dan c
abn = ,
n c = ab
c : b = a : n
Gambar B. 4 Gambar B. 5
x
y
m b
a
c n
29
Gambar B. 6.
m n
t
⎣ ⎦
C. Melukis ruas garis yang berukuran 5 satuan jika diketahui ruas garis
berukuran 7 satuan.
Dilukis ruas garis yang berukuran 7 satuan yang diketahui, misalnya:
Prosedur untuk memperoleh ruas garis yang berukuran 5 satuan diuraikan
sebagai berikut:
1. Dilukis ruas garis yang berukuran a 7 satuan apabila ruas garis yang
berukuran a satuan diketahui.
a
30
2. Lukisan ruas garis berukuran a 7 satuan.
Gambar C.1
3. setelah ruas garis a 7 satuan terlukis, maka buatlah setengah lingkaran
dengan diameter a 7 satuan, dan pindahkan Ø pada salah satu titik ujung
ruas garis a 7 satuan.
Gambar C.2
4. Setelah Ø dipindah, maka akan tampak jelas panjang ruas garis
a 7 satuan, dan a satuan. Kemudian buat setengah lingkaran dengan
31
panjang diameter ruas garis 7 satuan yang diketahui, dan pindahkan Ø
pada salah satu ujung ruas garis 7 satuan, perpanjangan garis yang
melalui sudut dan memotong lingkaran tersebut panjangnya 6 satuan,
dan sisi depan sudut Ø panjangnya 1 satuan.
Gambar C.3
5. setelah ruas garis yang panjangnya 1 satuan diketahui, maka dapat dengan
mudah melukis garis 5 satuan.
Gambar C. 4.
BAB V
PENUTUP
A. SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut:
1. Teorema Phytagoras
C
A B
Gambar A. 1.
Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-siku. Pada
ΔABC di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan AC. Sedangkan sisi miring
(hipotenusa) adalah sisi di hadapan sudut siku-siku. Pada ΔABC tersebut
sisi miringnya adalah BC. Perhatikan gambar berikut:
32
b D
a2
A
a
c
a b
a
a b
c C c
c b B
Gambar A. 2.
Luas daerah yang diarsir = luas ABCD – 4 x luas daerah yang diarsir.
⇔ a2 = (b+c) (b+c) – 4( bc)
⇔ a2 = b2 + 2 bc + c2 – 2 bc
⇔ a2 = b2 + c2
Secara umum untuk segitiga siku-siku selalu berlaku :
Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.
Teorema tersebut disebut teorema Pythagoras.
2. Teorema proyeksi dalam segitiga siku-siku
BD disebut proyeksi sisi siku-siku, AB pada sisi CB, CD disebut
proyeksi sisi siku-siku AC pada sisi CB.
Teorema:
33
A
b
p
c
t
q
a
C
D
B
Gambar A. 3.
a. Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi
miring dan sisi miring sendiri.
∆ ADC ∼ ∆ BAC → b : a = q : b
Maka b2 = qa.
a. Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi
miring.
∆ ADC ∼ ∆ BAD → t : p = q : t
Maka t2 = pq.
b. Hasil kali sisi siku-siku sama dengan kasil kali sisi miring dan garis
tinggi ke sisi miring itu.
∆ ADB ∼ ∆ BAC → c : a = t : b
Maka bc = ta.
c. Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain.
b2 + c2 = a2.
34
3. Teorema proyeksi dalam segitiga lancip/tumpul
Diketahui Δ ABC , p adalah proyeksi b pada c; q adalah proyeksi a pada c,
maka:
a. a2 = b2 + c2 – 2 pc
b. b2 = a2 + c2 – 2 qc
Jika ∠ A tumpul maka
p q
c
t b a
C
A D B
A
b t a
p c D B
C
q E
a2 = b2 + c2 + 2 pc.
4. Teorema-teorema 1, 2, dan 3 dapat menjawab sebuah problem pengukuran
ruas garis yang tidak mungkin dilakukan secara manual.
Metode pengerjaan dapat dijelaskan sebagai berikut:
35
a. Dilukis ruas garis yang berukuran a 7 satuan apabila ruas garis
yang berukuran a satuan diketahui.
a
b. Lukisan ruas garis berukuran a 7 satuan
c. Setelah ruas garis a 7 satuan terlukis, maka buatlah setengah lingkaran
dengan diameter a 7 satuan, dan pindahkan Ø pada salah satu titik ujung
ruas garis a 7 satuan.
d. Setelah Ø dipindah, maka akan tampak jelas panjang ruas garis
a 7 satuan, dan a satuan. Kemudian buat setengah lingkaran dengan
panjang diameter ruas garis 7 satuan yang diketahui, dan pindahkan Ø
36
pada salah satu ujung ruas garis 7 satuan, perpanjangan garis yang
melalui sudut dan memotong lingkaran tersebut panjangnya 6 satuan,
dan sisi depan sudut Ø panjangnya 1 satuan.
e. Setelah ruas garis yang panjangnya 1 satuan diketahui, maka dapat dengan
mudah melukis garis 5 satuan.
B. SARAN
1. Dalam pengerjaan sebaiknya menggunakan peralatan tulis (penggaris,
jangka, dll) yang berkualitas baik agar hasilnya maksimal.
2. Bagi peneliti sebaiknya memahami konsep teorinya terlebih dahulu.
37