Sistemas de numeraçãoProf. Sérgio Souza Costa

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Sérgio Souza CostaProfessor - UFMADoutor em Computação Aplicada (INPE)

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O que é um número ?

?

Pedra (Calculus em latim)

As pedras foram um dos primeiros mecanismos utilizados pelo homem para representar e controlar as quantidades.

Civilizações como os egípcios e os sumérios já possuíam um sistema de escrita numérica. Cada sistema possui um conjunto de símbolos para representar o conceito de quantidade, ou seja, os números.

Escrita númerica

Representações utilizadas pelos egípcios.

Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo

Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em números quando:

● contamos as portas de um automóvel,● enumeramos a posição de uma pessoa numa fila

ou ● medimos o peso de uma caixa.

Número

Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada. Algarismos (ou dígitos) é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos.

● Por exemplo, o número vinte e três pode ser representado pelo numeral XXIII ( no sistema romano ), pelo numeral 23 ( no sistema indo-arábico ) e de muitas outras maneiras.

● No sistema indo-arábico, sua representação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I. Além disso, um mesmo numeral, como 34, pode representar números diferentes dependendo do sistema numérico.

Numeral e algarismos

Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada. Algarismos (ou dígitos) é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos.

● Por exemplo, o número vinte e três pode ser representado pelo numeral XXIII ( no sistema romano ), pelo numeral 23 ( no sistema indo-arábico ) e de muitas outras maneiras.

● No sistema indo-arábico, sua representação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I. Além disso, um mesmo numeral, como 34, pode representar números diferentes dependendo do sistema numérico.

Numeral e algarismos

Algarismo é também referido como digito.

Sistemas numéricos é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais e associa-los a números.

No caso de sistemas de numeração escrita, a produção dos numerais é feita através de combinações de algarismos e eventuais símbolos não numéricos ( como a vírgula no sistema indo-arábico, ou vinculum no sistema romano etc ).

Sistemas numéricos

Sistemas numéricos é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais e associa-los a números.

No caso de sistemas de numeração escrita, a produção dos numerais é feita através de combinações de algarismos e eventuais símbolos não numéricos ( como a vírgula no sistema indo-arábico, ou vinculum no sistema romano etc ).

Sistemas numéricos

Esta combinação pode levar em conta ou não as posições onde são encontrados estes símbolos, sendo classificados em posicionais ou não posicionais respectivamente.

Por exemplo, o principal sistema numérico utilizado pelos romanos era não posicional. Este sistema era constituído por 7 algarismos diferente, cada um representando um valor fixo, independente de sua posição relativa no número:

N = { I, V, X, L, C, D, M}

Indicando respectivamente os valores:

1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000

Sistemas não posicional

Nesse sistema não há um símbolo representativo para o zero; os números sao definidos da esquerda para direita, e seus valores obtidos segundo uma regra simples:

● Cada algarismo colocado a direita de um maior é adicionado a esse, por exemplo, VI representa o número seis.

● Cada algarismo colocado a esquerda de outro maior é subtrai desse, por exemplo, IV representa o número quatro.

Sistemas não posicional

Nesse sistema não há um símbolo representativo para o zero; os números sao definidos da esquerda para direita, e seus valores obtidos segundo uma regra simples:

● Cada algarismo colocado a direita de um maior é adicionado a esse, por exemplo, VI representa o número seis.

● Cada algarismo colocado a esquerda de outro maior é subtrai desse, por exemplo, IV representa o número quatro.

Sistemas não posicional

Este sistema não foi criado para efetuar cálculos matemáticos, tarefa extremamente árdua de ser realizada com este sistema.

Série Bits e Bytes - 01 - Os números e a invenção do computador

http://www.youtube.com/watch?v=6rH00V0Bd6c

Em um sistema posicional o valor de cada algarismo de um número diferente, conforme sua posição no número. Por exemplo, no sistema decimal o numero representativo do valor 3433 é constituído por 4 algarismos, onde 3 tem o mesmo valor absoluto. O valor absoluto de cada algarismo é modificado por um peso conforme sua posição:

343310

= 3* 1000 + 4 * 100 + 3 * 10 + 3

Observe que este peso tem como potencia 10i para i = 0,1,2,3. Então, podemos reescrever o numero da seguinte maneira:

343310

= 3* 103 + 4 * 102 + 3 * 101 + 3 * 100

Sistema posicional

A base utilizada dependerá da quantidade de símbolos usada no sistema numérico em questão. No caso do sistema decimal temos 10 símbolos, portanto sua base é 10:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

A base 10 atualmente é a mais utilizada nas tarefas do dia a dia, porém em alguns casos precisaremos usar outra base.

Sistema posicional (decimal)

De modo geral, em um sistema posicional de base B teremos um conjunto S de algarismos:

S = {db-1

, db-2

, db-3

, .. d1, d

0}

Assim cada número pode ser descrito por:

N= d(n-1)

* base(n-1) + d(n-2)

* base(n-2) +...+d(0)

* base(0)

Sistema posicional (decimal)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos:

0, 1

Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal.

Sistema posicional (binário)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos:

0, 1

Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal.

Alguns dos primeiros computadores usavam o sistema decimal, porém os circuitos eram mais complexos e menos confiáveis.

Sistema posicional (binário)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos:

0, 1

Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal.

Alguns dos primeiros computadores usavam o sistema decimal, porém os circuitos eram mais complexos e menos confiáveis.

Sistema posicional (binário)

Como o sistema binário possuem menos símbolos, é necessário muito mais algarismos do que no sistema decimal para representar o mesmo número. Porém, a confiabilidade alcançada com os números binários compensa essa diferença.

Onde, d representa o dígito considerado e n representa a quantidade de dígitos do número. Por exemplo, para a base 2 temos:

S = {0,1}

O numero 1110

é representado como:

10112 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Sistema posicional (binário)

● Uma palavra de N bits pode representar 2N valores● Exemplo

● Uma palavra de 3 bits pode representar 23 valores, ou seja, 8 valores (de 0 a 7)● 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

● Uma palavra de 1 byte pode representar 28 valores, ou seja, 256 valores (de 0 a 255).

Sistema posicional (binário)

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

16 10000

17 10001

18 10010

19 10011

20 10100

Decimal e binário

● A conversão de binário para decimal é feita utilizado-se a mesma fórmula genérica de decomposição de um número, só que utilizando a base 2

● Por exemplo: Qual o valor decimal correspondente ao número 10011?

1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 =

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

● Exemplo 2: Qual o valor decimal correspondente ao número 101100?

1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20 =

32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 44

Conversão binário decimal

● Converta em decimal os seguintes números binários● 100110● 1010111● 0101011● 1010101● 11111000

Exercitando ...

● A conversão de um número decimal para um número binário é feita pela divisão do número decimal pela base destino sucessivamente● O número binário é o resto de cada divisão

● Exemplo: 49(10)

= ?(2)

49 ÷ 2 = 24 –> resto 1

24 ÷ 2 = 12 –> resto 0

12 ÷ 2 = 6 –> resto 0

6 ÷ 2 = 3 –> resto 0

3 ÷ 2 = 1 –> resto 1

1 ÷ 2 = 0 –> resto 1

110001

Conversão decimal binário

● Exemplo 2: 67(10)

= ?(2)

67 ÷ 2 = 33 – resto 1

33 ÷ 2 = 16 – resto 1

16 ÷ 2 = 8 – resto 0

8 ÷ 2 = 4 – resto 0

4 ÷ 2 = 2 – resto 0

2 ÷ 2 = 1 – resto 0

1 ÷ 2 = 0 – resto 1

1000011

Conversão decimal binário

● Converta● 123

(10) = ?

(2)● 4567

(10) = ?

(2)● 5892

(10) = ?

(2)● 1101101

(2) = ?

(10)● 10001110

(2) = ?

(10)

Exercitando ...

● Possui 16 dígitos: 1,..., 9, A, B, C, D, E, F● A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13; E = 14 ; F = 15

● A transformação para decimal é feita de maneira análoga ao já apresentado. Exemplos:● (1B)

16 = 1x161 + 11x160 = 16 + 11 = 27

10● (EC)

16 = 14x161 + 12x160 = 224 + 12 = 236

10● (3AF)

16 = 3x162 + 10x161 + 15x160 = 768 + 160 + 15

= 92310

Sistema hexadecimal

● Para converter um número decimal deve-se dividir o valor sucessivamente por 16

● Exemplos:● 125

10=?

16● 125 ÷ 16 = 7 → Resto 13 = D● 125

10=7D

● 345610

=?16

● 3456 ÷ 16 = 216 → Resto 0● 216 ÷ 16 = 13 → Resto 8

● 345610

=D8016

Conversão decimal hexadecimal

Para os computadores, o sistema binário se mostrou muito melhor que o sistema decimal. Porém, para nós, seres humanos esta representação é muito mais complexa, pois os números têm muitos algarismos. Assim, em computação é comum usar comum duas outras bases alternativas, cuja conversão para a base 2 é mais direta.

● O sistema octal (base 8) e hexadecimal (base 16). A conversão entre estes sistemas e o binário é direto por que estas bases são pote ̂ncia de dois. Por exemplo, o sistema octal que é composto por 8 simbolos pode ser representados por 3 algarismo binarios, ou seja, 23.

● Com mais um algarismo, podemos representar os 16 símbolos do sistema hexadecimal:

Conversão Hexadecimal - Binário

● 0000 – 0● 0001 – 1● 0010 – 2● 0011 – 3● 0100 – 4● 0101 – 5 ● 0110 – 6● 0111 – 7

● 1000 – 8● 1001 – 9● 1010 – A● 1011 – B● 1100 – C● 1101 – D● 1110 – E● 1111 – F

Conversão Hexadecimal - Binário

A partir da tabela do slide anterior podemos facilmente converter um numero de Hexadecimal para binário. Por exemplo, o número 3CF116 na base 2:

Ou seja, o numero 3CF11616

é representado por 001111001111000100010110

2. A mesma abordagem

pode ser usada para converter um número binário para o equivalente em Hexadecimal ou Octal.

Conversão Hexadecimal - Binário

● Exemplos● AB

16 = 10101011

2● 4CF

16 = 010011001111

2● FE69

16 = 1111111001101001

2

● 1010 1111 01102 = AF6

16● 101010101010101

2 = 5555

16● 101111101111011101

2 = 2FBDD

16

Conversão Hexadecimal - Binário

No sistema octal existem 8 dígitos: 0 – 7

Sistema octal utiliza o mesmo procedimento de conversão do hexa → binário.

000 = 0

001 = 1

010 = 2

011 = 3

100 = 4

101 = 5

110 = 6

111 = 7

Sistema octal

● Exemplos de conversão● 324

8= 011010100

2● 1234

8=001010011100

2● 65437

8 = 110101100011111

2

● 010111011012 = 1355

8● 110111111011

2 = 6773

8● 1010101110111011

2 = 125673

8

Sistema octal

● Para converter da base octal para hexadecimal e vice-versa utiliza-se o sistema binário como intermediário

● Exemplos● 234

8 = 010011100

2 = 9C

16● 4562

8 = 100101110010

2 = 972

16● 7656

8 = 111110101110

2 = FAE

16

● F216

= 111100102 = 362

8● A8B

16 = 101010001011

2 = 5213

8● F9C3

16 = 1111100111000011

2 = 174703

8

Mais conversões

Exercício

Decimal Binário Octal Hexa2345

1000110110101FAE5

23451710000111111011 21FB

2345112AA34

67895

Complete a tabela a seguir

Além das conversões, é necessário conhecer as operações aritméticas em outras bases. As operações aritméticas em sistemas posicionais é muito mais simples do que nos sistemas não posicionais

A regra é a mesma independentemente da base. Lembrando que a soma de 1 com 1 resulta em 10 (2 em decimal). Quando isso ocorre, dizemos que “vai 1” para ser somado na próxima posição.

Por exemplo, somando os numeros 0100 e 0101 temos como resultado 1001:

Operações aritméticas

● Os sistemas numéricos foram uma das grandes invenções da humanidade. Com os sistemas numéricos os homens passaram ser capazes de representar grandezas e realizar cálculos entre estas.

● Como o computador é uma maquina especializada em realizar cálculos, a formalização dos sistema numéricos foi de grande importância para a evolução da ciência computação.

● Deste modo, a compreensão destes sistemas é fundamental aos estudiosos destas áreas.

Conclusão