Sistema de coordenadas polares

Christian Segura

El sistema de coordenadas polares

Está descrito por los siguientes elementos:

Eje polar

Polo

P(r,)

Notación de un punto

Haciendo uso de la notación P( r, ), se tiene más de una forma de denotar un punto P.

Cuando r es positivo, P está sobre el vector r Cuando r es negativo, P se encuentra en la

prolongación del vector r El ángulo puede ser medido de dos formas:

Sentido positivo: contrario a las manecillas del reloj Sentido negativo: a favor de las manecillas del relojSiempre se mide en radianes

Ejemplo: Notación de un punto

Escribir todas las notaciones del punto en la gráfica.

5

60º= /3

-+r (5, /3) (5,5/3

-r (-5,4/3) (-5, 2/3)

Equivalencias con el sistema cartesiano

r

x

y

0 tan

sin

cos

22

xxy

yxr

ry

rx

GRÁFICAS DE ECUACIONES POLARES

Consisten de aquellos puntos que tienen al menos un par de

coordenadas polares que satisfacen la ecuación.

Propiedades de las GP.

Si una recta es paralela al eje polar y pasa por el punto B(0, b) cuyas coordenadas polares son (b, ½ ), entonces la ecuación es

br

by

sin

1 9

1

5

r

3sin

3

r

y

),3( 21 B

Propiedades.

Si se tiene una recta perpendicular al eje polar y pasa por el punto A (a, 0), y tiene coordenadas polares (a, 0), una ecuación cartesiana es:

ar

ax

cos

1 9

1

5

r

2cos

2

r

y

)0,2(A

Criterios de simetría

Para facilitar el estudio y trazo de las gráficas de ecuaciones polares, se toman en cuenta tres tipos de simetría: Respecto al eje polar (x) Respecto al eje /2 (y) Respecto al origen O

Simetría respecto al eje polar

Se obtiene si al reemplazar por - resulta una ecuación equivalente.

(r,)

(r,-)

0

Simetría respecto al eje /2

Se obtiene si reemplazando por - se obtiene una ecuación equivalente

Se aplican los teoremas para el ángulo de referencia en el intervalo <

(r,)(r,-)

0

Ángulo de referencia. De un ángulo en posición estándar no cuadrantal es el ángulo agudo formado por en lado Terminal y el eje X. No tiene signo.

Teorema del ángulo de referencia. Si O es un ángulo no cuadrantal en posición estándar,

entonces, para hallar el valor de una función trigonométrica en O, se determina el valor para el ángulo de referencia OR y se antepone el signo apropiado según la tabla de signos.

Tabla de signos en los cuadrantes

Funciones I II III IV

Sen + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Cot + - + -

Sec + - - +

Csc + + - -

Simetría respecto al origen

Se obtiene si sustituyendo r por –r resulta una ecuación equivalente.

(r,)

(-r,)

0

Cardioides y limazones (caracoles)

Las gráficas de las ecuaciones polares:

Tienen forma de corazón que pasa por el origen y se llaman cardioides.

cos sin aaraar

sin22 sin22 rr

El valor de a direcciona la gráfica por el signo y la agrandaproporcionalmente

0.5 4.0

1

5

r 0.5 4.0

1

5

r

cos22 cos22 rr

0.5 4.0

1

5

r0.5 4.0

1

5

r

El valor de a direcciona la gráfica por el signo y la agrandaproporcionalmente

Limazones o caracoles

Los cardioides son casos especiales de otras curvas polares denominadas limazones o caracoles y tienen por ecuaciones:

cos sin barbar

Limazones o caracoles

Si , una limazón es semejante a un cardioide, pero no pasa por el origen

ba

2 14

1

5

r

cos25 sin25 rr

2 14

1

5

r

Si , un caracol tiene un rizo interno.

ba

Limazones o caracoles

cos52 sin52 rr

1 7

1

5

r1 7

1

5

r

Rosas y circunferencias

En general, si n es un entero positivo, las gráficas de

se llaman rosas

narnar cos sin

Si n es impar, el número de pétalos o ramas es n

Rosas.

1 9

1

5

r

3sin7 r 5sin5 r

1 9

1

5

r

Rosas

Si n es par, hay 2n pétalos

4sin2 r 6cos r

0.5 3.5

1

5

r 0.2 1.4

1

5

r

8 pétalos 12 pétalos

Circunferencias.

Son casos especiales de rosas donde n=1.

Son circunferencias que pasan por el origen con diámetro y centros en el eje Y y el X, respectivamente.

cos sin arar

a

sin2 sin2 rr

0.2 2.4

1

5

r0.2 2.4

1

5

r

cos3 cos3 rr

0.5

4.0

4.0

8.5

r

0.5

4.0

4.0

8.5

r

Ecuaciones paramétricas de SP.

Son las dadas por:

sin)( cos)( fyfx

Ejemplo.

Obtener las ecuaciones paramétricas de la gráfica polar r=4sin3

sin3sin4

cos3sin4

3sin4)(

sin)( cos)(

y

x

f

fyfx

Ecuaciones paramétricas

Pendiente de una tangente a la gráfica polar.

Es dy/dx

Dadas las ecuaciones paramétricas

La pendiente de la tangente en un punto es

sin)( cos)( fyfx

ddx

ddy

dxdy

Ejemplo

Obtener la pendiente de una tangente a la gráfica de r=2+2sen en =

1. Ecuaciones paramétricas.

2sin2sin2

cossin2cos2

y

x

2. Derivadas

)cossin2(cos2)sin(sin2

)cossinsin(2

2

22

ddy

ddx

3. Pendiente

)cossinsin(2)cossin2(cos2

22

dxdy

4. Sustitución =

111

)1()0(0)1)(0(21

22

dxdy

0.2 5.2

0.2

6.0

r

m= -1

r=2+2sen en =

Fuentes

Dennis ZillLeithold

Elaboró: Christian Segura.