SAVIJANJE

Savijanje nastaje uslijed djelovanja momenata savijanja u poprečnim presjecima štapa. Moment savijanja jedan je od elemenata koji karakteriziraju unutarnju napregnutost u poprečnom presjeku štapa i to moment s obzirom na os koja leži u ravnini presjeka i prolazi kroz težište presjeka. Prema tome, moment savijanja djeluje u ravnim okomitoj na ravninu poprečnog presjeka štapa.

Momenti savijanja mogu se pojaviti u poprečnim presjecima uslijed djelovanja vanjskih sila, koje mogu biti proizvoljno raspoređene u odnosu na os štapa. To ne vrijedi za sile (kod prizmatičnog štapa) čije se linije djelovanja poklapaju s osi štapa (uzdužno ili aksijalno opterećenje), ni za momente vanjskih sila čije ravnine djelovanja stoje okomito na tu os (momenti uvijanja).

ČISTO SAVIJANJE

(SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA) • Čistim savijanjem

nazivamo savijanje štapa ili njegovog dijela, ako se u poprečnim presjecima pojav ljuje samo moment

savijanja.

ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

U analizi deformacija i naprezanja pri čistom savijanju pretpostavlja se slijedeće:

• a) Ravni poprečni presjeci ostaju pri deformaciji štapa ravni i okomiti na savijenu os štapa (Bernoullieva

hipoteza).• b) Materijal štapa smatramo homogenim i

izotropnim.• c) Između uzdužnih vlakana nema nikakvog

uzajamnog djelovanja sila.• d) Normalna naprezanja proporcionalna su

deformacijama (Hookeov zakon).

ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

Zamislimo li da smo na površini elastičnog štapa pravouglog presjeka prije deformacije ucrtali mrežu uzdužnih i poprečnih linija dobili bismo nakon deformacije štapa ono što je prikazano šematski na, gdje se vidi da se poprečne linije ne deformiraju, tj. one su okomite na uzdužna vlakna štapa. To vrijedi nezavisno od oblika presjeka štapa. Na osnovu stupnja deformacije ucrtanih linija može se izvesti zaključak o deformacijama kako na površini štapa, tako i u njegovoj unutarnjosti.

Eksperimentalnim putem je ustanovljeno da se teorija savijanja, osnovana na ovim pretpostavkama, dobro slaže sa stvarnošću, ukoliko je riječ o određivanju naprezanja u uzdužnim vlaknima ili o progibu štapa.

ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

NAPREZANJA I DEFORMACIJE • Razmotrimo najprije deformaciju štapa Moment M = P a izaziva

iskrivljenje uzdužne osi štapa, koja se u tom obliku naziva elastična linija, ρ je poluprečnik zakrivljenosti elastične linije, a 1/ρ njezina zakrivljenost. Vertikalni pomak f tačke B zove se progib, a ugao φ naziva se ugao zakretanja.

• Ako u štapu prije deformacije zamislimo dva beskonačno bliska presjeka na međusobnoj udaljenosti dx, poslije deformacije oni više neće biti paralelni, nego će uzajamno zatvarati ugao dφ . Pri tom će se slojevi štapa ispod elastične linije skratiti, a oni iznad nje produljiti. Sloj koji dijeli produljene slojeve od skraćenih zove se neutralni sloj. Vlakna u tom sloju ne mijenjaju svoju duljinu. Linija presjeka neutralnog sloja s poprečnim presjekom štapa zove se neutralna os (ovdje je ona ujedno os z poprečnog presjeka štapa).

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

• Relativno produljenje x vlakana na udaljenosti y od neutralnog sloja određeno je izrazom:

• Relativna produljenja vlakana proporcionalna su njihovoj udaljenosti y od neutralnog sloja. Raspodjelu naprezanja u poprečnom presjeku štapa, nalazimo promatrajući beskonačno mali element štapa duljine dx, mjerene u neutralnom sloju Zbog uzajamnog djelovanja tog elementa s ostalim dijelovima štapa pojavit će se u svakoj tački presjeka elementa normalna naprezanja σx, koja su usmjerena paralelno s uzdužnom osi štapa. Njihova veličina zavisi od relativnog produljenja vlakna, koje prolazi kroz zadanu točku, te od modula elastičnosti E materijala. Na osnovu Hookeova zakona imamo:

x

y

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Odatle slijedi da se normalna naprezanja pri čistom savijanju mijenjaju po visini h presjeka proporcionalno s udaljenošću y od neutralnog sloja. Taj zakon raspodjele normalnih naprezanja vrijedi strogo samo za presjeke koji su dovoljno udaljeni od mjesta u kojem djeluje vanjsko opterećenje sprega sila P a. Udaljenost tih presjeka zavisi od načina na koji vanjsko opterećenje djeluje na krajnji presjek.

x

yE

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Poluprečnik zakrivljenosti konstantan u svim tačkama elastične linije, što znači da se štap savija po kružnom luku poluprečnika ρ:

zE I

M

A Az

M ll 1tg

2 2I E

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Naprezanja na nekoj udaljenosti od neutralne osi određena su izrazom

Ako prizmatički štap nije simetričnog presjeka po visini najveća naprezanja, na najvećim udaljenostima od neutralne osi određena su izrazima:

xz

E My y

I

11 1

z 1

MhE Mh

I W

2

2 2z 2

MhE Mh

I W

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

S pomoću formula koje izražavaju momente inercije za pravougli i kružni presjek dobivamo za pravougli presjek:

odnosno za kružni presjek:

3 22bh bhW

12h 6

3 33r d

W 0,1d4 32

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI

ČISTOM SAVIJANJU Ispitivanja štapova od mekog čelika pri čistom savijanju pokazuju da se zavisnost između momenta savijanja M i ugla zakreta φ može prikazati grafički dijagramom prema slici, koji je sličan dijagramu rastezanja.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ČISTOM SAVIJANJU

Razmotrimo ponašanje materijala pri čistom savijanju, prema slici. Od početka opterećenja do točke A moment savijanja M raste u zavisnosti od ugla φ po linearnom zakonu. Točka A odgovara granici proporcionalnosti materijala. Naprezanje u krajnjim točkama presjeka, primjerice simetričnog s obzirom na os z, određeno je formulom:

pp

M

W

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ČISTOM SAVIJANJU

• Pri daljnjem povećanju ugla nastaje razvlačenje materijala. U početku procesa razvlačenje se pojavljuje u točkama s najvećim normalnim naprezanjem, tj. u krajnjim vlaknima. Zatim se razvlačenje širi u dubinu prema neutralnom sloju.

• Kada u svim tačkama presjeka, i to kako u rastegnutoj, tako i u sabijenoj zoni naprezanja dostignu granicu razvlačenja, moment savijanja u toku kraćeg perioda vremena ostaje konstantan. U tom se slučaju, ako uzmemo presjek koji je nesimetričan s obzirom na os z, dijagram raspodjele normalnih naprezanja može prikazati s pomoću dva pravokutnika, prema slici.

• Na dijagramu savijanja razvlačenju materijala odgovara horizontalni

dio krivulje u blizini tačke B.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ČISTOM SAVIJANJU

Početak razvlačenja materijala štapa manifestira se pojavom Luedersovih linija na vanjskoj površini štapa (osobito na poliranoj površini). To su zapravo sitne naprsline, slične onima pri rastezanju štapa. Kod savijanja štapa te su linije obično nagnute pod uglom od 45° prema uzdužnoj osi štapa i nastaju kao posljedica djelovanja najvećih tangencijalnih naprezanja.

PRORAČUN ČVRSTOĆE PRI SAVIJANJU

Većinom se proračun grede opterećene na savijanje vrši prema najvećem normalnom naprezanju koje se pojavljuje u poprečnim presjecima. Pri tome mora biti zadovoljen uslov čvrstoće:

1 d v1

M

W

2 d t2

M

W

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ČISTOM SAVIJANJU

U proračunu grede treba nastojati da momenti otpora W1 i W2 imaju najveću moguću vrijednost pri najmanjoj površini A presjeka, tj. pri najmanjoj težini grede. Pod tim uslovima imat ćemo najmanja naprezanja σ1 i σ2, jer su ona obrnuto proporcionalna vrijednostima W1 i W2. Povećanje momenta otpora zahtijeva da se poveća moment inercije Iz, koji će biti to veći, što je veći dio površine presjeka grede koncentriran na većoj udaljenosti od neutralne osi.

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ČISTOM SAVIJANJU

• Odnos između momenta otpora Wz nekog presjeka i idealnog momenta otpora Wi naziva se stepen iskorištenja presjeka:

• Što je oblik presjeka bliži idealnom presjeku, to je veći η. Njegova je vrijednost uvijek manja od 1, jer je za većinu tačaka stvarnih presjeka:

z

i

W

W

mqx

y1

y

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ČISTOM SAVIJANJU

Vrijednosti η za neke najvažnije oblike presjeka:

• Kružni presjek η = 25%

• Pravokutni presjek η = 33,3%

• Presjek I η = 61 - 65%

• Presjek η = 59 - 61%

• Presjek η = 57 - 60%

OPŠTII SLUČAJ SAVIJANJA

(SAVIJANJE SILAMA) • Pri proučavanju napregnutog stanja pretpostavljamo da

smo redukcijom svih vanjskih sila koje djeluju na desni dio horizontalne grede pravouglog presjeka (prema slici), s obzirom na težište S presjeka na udaljenosti x od lijevog oslonca, dobili oba vektora diname, od kojih vektor rezultante ima samo vertikalnu komponentu Q (poprečna sila), a vektor momenta redukcijskog sprega sila samo horizontalnu komponentu Ms (moment savijanja).

• Prema tome, osim momenta savijanja, koji izaziva normalna naprezanja σ, pojavit će se i tangencijalna naprezanja τ kao posljedica djelovanja poprečne sile Q.

OPĆI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

OPĆI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

Za ovaj primjer opterećenja prizmatičnog štapa obično se uzimaju ove pretpostavke:

• a) progibe štapa smatramo malim,• b) između uzdužnih vlakana štapa ne postoje nikakve unutarnje sile

u pravcu normale na ta vlakna,• c) normalna naprezanja uslijed momenta savijanja mijenjaju se po

visini presjeka prema linearnom zakonu (Navierova hipoteza)

xz

My

I

OPŠTI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

U poprečnim presjecima grede djeluju tangencijalna naprezanja

τxy= τ uslijed poprečne sile Q. U uzdužnim presjecima elementa tangencijalna naprezanja τxy jednaka su naprezanjima τyx , jer djeluju u dvjema međusobno okomitim ravninama, tj.

yx xy

xy yxz

QS

I b

OPŠTI SLUČAJ SAVIJANJA

(SAVIJANJE SILAMA) S je statički moment dijela površine s obzirom na neutralnu os z:

Odredimo vrijednost S za pravougli presjek štapa:

1

1 1

(F )

y dF S

22

hy

h b h2S b y y2 2 2 4

OPŠTI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

Za pravougli poprečni presjek štapa raspored tangencijalnih naprezanja, po uvrštenju prethodnih relacija, određen je izrazom:

U granicama visine pravokutnog presjeka tangencijalna naprezanja mijenjaju po zakonu parabole. Ako je y = h/2 i y = − h/2 naprezanja su jednaka nuli, a za y = O dobivaju maksimalnu vrijednost:

22

z

Q hy

2I 4

2

yx maxz

Qh

8I

OPŠTI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

OPŠTI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

Ako stavimo da je i F = b h, nalazimo:

gdje je k = 3/2 koeficijent koji obuhvata nejednolikost raspodjele tangencijalnih naprezanja, a Q/F srednje tangencijalno naprezanje, koje dobivamo kad poprečnu silu podijelimo s površinom poprečnog presjeka grede. Prema tome, najveće tangencijalno naprezanje pri savijanju je kod pravokuglog presjeka 1,5 puta veće od srednjeg naprezanja, koje bismo dobili pri jednolikoj raspodjeli tangencijalnih naprezanja po presjeku.

3zI bh /12

yx max

Qk

F

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMA

Postojanje tangencijalnih naprezanja u uzdužnim presjecima štapa može se najbolje pokazati s pomoću paketa dasaka prema slici (a). Pri savijanju takvog štapa poprečnim opterećenjem P daske će se uzajamno pomaknuti kao što je pokazano na slici (b). U štapu iz jednog komada nema takvih pomaka, ali se zato u uzdužnim presjecima pojavljuju tangencijalna naprezanja slike (c) i (d).

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMA

Tangencijalna naprezanja zavise od poprečne sile Q, a po visini presjeka, raspodijeljena su po zakonu parabole. Ugaona deformacija zavisi i od sile Q i mijenja se po paraboli. U neutralnom sloju ona ima najveću vrijednost, dok je u krajnjim vlaknima jednaka nuli.

Zbog nejednakosti raspodjele ugaonih deformacija po visini presjeka štapa nastaje iskrivljenje ili deplanacija presjeka, kao što je to pokazano na slici (d). Poprečna sila Q = P konstantna duž cijelog štapa, prouzročit će deplanaciju za sve presjeke jednako.

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMA

Istovremeno s deplanacijom presjeka pojavljuje se pri savijanju štapa još i uzajamni zakret presjeka zbog djelovanja momenta savijanja M. Pri jednakoj deplanaciji presjeka relativna produljenja uzdužnih vlakana bit će proporcionalna udaljenosti y od neutralnog sloja.

Normalna naprezanja u vlaknima koja su određena Hookeovim zakonom, uz pretpostavku da je materijal homogen i izotropan, bit će također proporcionalna udaljenosti y. Na taj je način potvrđena ispravnost usvojene pretpostavke o linearnoj raspodjeli normalnih naprezanja zbog momenta savijanja (Navierova hipoteza).

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

Pri proračunu nosača na savijanje često nije dovoljno da najveća naprezanja budu uvijek manja od dopuštenih naprezanja, već se zahtijeva da i najveća deformacija ne bude veća od unaprijed određene vrijednosti.

Osim toga, pri proračunu statički neodređenih nosača dopunski broj jednadžbi dobiva se iz uslova deformacija u osloncima. Na primjer, kod osovine koja se svojim krajevima oslanja u ležajevima, pri čemu se zahtijeva da njezini rukavci zadržavaju stalno svoj pravac, ne mogu se odrediti momenti savijanja i poprečne sile dok se prethodno ne odrede deformacije uzdužne osi osovine.

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

Iz slike imamo:

ds d

l d

ds

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

Kako u praksi imamo vrlo male deformacije (najveći progib u ‰ l, a tome odgovara najveći nagib tangente od 1°), uzima se da su:

ds = dx i φ = d φ;

Ugao zakreta presjeka jednak je prvoj derivaciji po x progiba u promatranom presjeku. Prema tome, određivanje deformacija grede pri savijanju svodi se na formuliranje jednadžbe savijene osi grede u obliku y = y(x). Kada znamo tu jednadžbu, možemo deriviranjem naći ugao nagiba tangente za bilo koji presjek grede.

dy

dx

2

2

1 d y

dx

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

Približna diferencijalna jednadžba elastične linije određena je relacijama. Ako M zavisi samo od x (najčešće), onda dvostrukim integriranjem dobivamo jednadžbu elastične linije y = f(x). Izrazi za elastičnu liniju vrijede općenito, bez obzira na način oslanjanja grede, pod uvjetom da tangenta na elastičnu liniju zatvara mali kut s osi x.

IE y '' M

My''

IE