Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u OsijekuSTROJARSKI FAKULTET U SLAVONSKOM BRODU

Zavod za strojarske konstrukcije

SEMINARSKI RAD

POGONSKA ČVRSTOĆA KONSTRUKCIJA

Ime i prezime: Marinko prof.dr.sc.Franjo Matijiček

Matični broj:12128770

Akademska godina 2013/2014

SADRŽAJ

1 SEMINARSKI ZADATAK 1 1

1.1 Predstavljanje rezultata dinamičkih ispitivanja preko Wӧhlerovih krivulja 2

1.2 Nazivno naprezanje, faktor oblika i pripadajući slučajevi naprezanja 3

1.3 Palmgren-Minerovo pravilo (Hipoteza linearne akumulacija oštećenja) 4

1.4 Rješenje zadatka. 6

1.5 Zaključak 7

2 SEMINARSKI ZADATAK 2 8

2.1 Opterećenje promjenjive amplitude 9

2.2 Faktori koji utječu na titrajnu čvrstoću 9

2.3 Utjecaj površinske obrade 12

2.4 Utjecaj okoliša 13

2.5 Utjecaj dimenzija14

2.6 Rješenje zadatka 14

2.7 Zaključak 17

3 SEMINARSKI ZADATAK 3 18

3.1 Širenje pukotine pod cikličkim opterećenjem 18

3.2 Seminarski zadatak 3 19

3.3 Ukupna duljina pukotine c 20

3.4 Prirast pukotine za prva tri ciklusa 23

3.5 Najveći broj ciklusa koje proba može doživjeti 24

3.6 Zaključak 25

SEMINARSKI ZADATAK 1

a) Neka je na nekoj razini i=1 granični broj promjena N1=A, a na nekoj razini i=2

granični broj promjena N2=B. Neka je na razini i=1 ostvaren broj promjena n1=a na

razini i=2 ostvaren broj promjena n2=b. Tada je kod ovoga mjera oštećenja treba

riješiti:

na razini i=1: D1 te

na razini i=2: D2 što je zbrojeno D=x.

Potrebno je odrediti koliki bi broj promjena n3 dio mogao izdržati na nekoj razini i=3 gdje

granični broj promjena N3=C da nastupi lom tj. da mjera oštećenja iznosi D=1. Dakle

treba odrediti :

D3 pa je tada

n3.

Neka se odredi maksimalni broj promjena na obje razine proporcionalno koje bi dio

mogao još izdržati do loma (D=1) ako je mjera oštećenja kao gore D=x, naime u

omjeru:

D ¿ pa je tada:

n1 ¿ i

n2 ¿.

Izračun pokazuje:

D=?=1.

b) Sačiniti svoju tablicu 1 za podatke za formulu 16 za podatke:

Krešimir Blažević

A 200000

B 1000000

a 50000

b 200000

C 2∗106

N A 2∗106

σ A120

k 6

1.1 Predstavljanje rezultata dinamičkih ispitivanja preko Wӧhlerovih krivulja

Neka se analizira Wӧhlerova linija u području vremenske čvrstoće prema

oznakama naprezanja i pripadajuće učestalosti broja promjena prema slici 1.1.

N=N D∙( σa

σD)−k

kada je σa≥σ D (1.1)

uz ograničenje:

N=∞ zaσ a<σD , (1.2)

te uz još jedno ograničenje na granici σ F:

σ a<σF1−R

2. (1.3)

Slika 1.1: Wӧhlerova linija s područjima malocikličke (M), vremenske (V) i trajne čvrstoće

(T)

Pomoću jednadžbe (1.1) je vidljivo kako je moguće povezati trajnu (dinamičku)

čvrstoću σ D i granični broj ciklusa ND s vremenskom čvrstoćom preko eksponenta k koji

je mjera nagiba pravca vremenske čvrstoće. Za eksponent k vrijedi: manja vrijednost za

k znači strmiji nagib pravca dok veća vrijednost za k govori o položenijem nagibu pravca

vremenske čvrstoće. Na jednako vrijedan način kao jednadžba (1.1) može se opisati

amplituda naprezanja σ A s pripadajućim brojem ciklusa N A:

N=N A ∙( σa

σ A)−k

kada je σa≥σD (1.4)

Ovdje je Wӧhlerova linija ucrtana u dvostrukom logaritamskom mjerilu (slika 1.1). Na

ordinati je amplituda naprezanja sukladno jednadžbama (1.1) ili (1.4). Sva su naprezanja

određena za isti omjer R naprezanja. Za neku drugu Wӧhlerovu liniju koja nema isti omjer

R naprezanja, nego je određena preko konstantnog srednjeg naprezanja σm, mijenja se u

mnogome ova slika jer se umjesto amplitude naprezanja σ a nanosi najveće naprezanje

σmax odnosno σmin. Kada se očitavaju dijagrami Wӧhlerovih linija o ovome valja voditi

računa pogotovo kada se radi o normalnim dijagramima.

1.2 Nazivno naprezanje, faktor oblika i pripadajući slučajevi naprezanja

Izračunavanje naprezanja i procjena čvrstoće na temelju nazivnih naprezanja

zadaća je svakom inženjeru, na osnovu njegovog obrazovanja kao i predložene literature

pa isto tako i brojnim propisima utemeljenim na mjerenjima. Ovakav se postupak naziva

„Održiva pogonska čvrstoća“ prema tzv. konceptu nazivnih naprezanja. Dinamičko se

opterećenje u skladu s tim predočuje kao funkcija nazivno naprezanje – vrijeme, tj. broj

promjena.

Nazivnim se naprezanjima smatraju zapravo normalna naprezanja σ ili posmična

naprezanja τ i označavaju se kao prelomne (kritične) dinamičke sistemske točke.

Izračunavanje ovih naprezanja provodi se jednostavnim formulama iz čvrstoće:

σ= FA

kod vlačnog ili tlačnog opterećenja, (1.5)

σ= MW a

kod savijanja, (1.6)

τ=QA

kod smika, (1.7)

τ=M t

W p

kod uvijanja, (1.8)

gdje je F normalna sila, Q poprečna sila, M je moment savijanja, M t moment uvijanja, A je

površina poprečnog presjeka, W a aksijalni moment (modul) otpora, a W p polarni moment

(modul) otpora nazivnog poprečnog presjeka. Najjednostavnija predodžba kao što će se

ovdje označavati putem indeksa tzv. nazivna amplituda naprezanja σ a, srednje nazivno

naprezanje σm i td. Koji se poprečni presjek uzima u račun treba slijediti propise ili

literaturu, a pogotovo kada se radi o zavarima ili vijcima ili zakovicama, te lijepljenim

spojevima.

Posebnu pozornost valja posvetiti koncentraciji naprezanja kod naglih prijelaza

debljine ili zarezima na strojnim elementima. Ovi se utjecaji mogu definirati preko faktora

zareznog djelovanja ili faktora oblika α k. Faktor oblika α k predstavlja omjer vršnog

naprezanja σmax (na mjestu koncentracije) i normalnog naprezanja σ . Analogno i za

posmična naprezanja, tj.

α k=σmax

σ kod normalnih naprezanja (1.9)

α k=τmax

τ kod posmičnih naprezanja (1.10)

Kod elastičnih deformacija i odgovarajućih naprezanja, faktor oblika α k ne ovisi o

materijalu nego samo o obliku izratka, obliku zareza (ili prijelaza) te vrsti opterećenja.

1.3 Palmgren – Minerovo pravilo (Hipoteza linearne akumulacije oštećenja)

Kad se amplituda tokom vremena mijenja, slika 1.2, primjenjuje se Palmgren -

Minerovo pravilo:

Ako je uzorak opterećen simetričnim pritiskom (R=−1 , σm=0 ) promjenjive amplitude σ a,

lom će nastupiti ako je ispunjen uvjet:

N1

N f1

+N2

N f2

+…+N i

N fi

+…+N n

N fn

=1 , odnosno∑i=1

n N i

N fi

=1

gdje je N i broj ciklusa s amplitudom σ ai, N fi broj ciklusa koji materijal može izdržati pri

naprezanju σ ai ( i=1…n ).

Slika 1.2 Ilustracija Palmgren - Minerovog pravila

Zapravo najjednostavniji, najpoznatiji i najčešće primjenjivani postupak za

određivanje životnog vijeka nekog dijela konstrukcije koji je opterećen promjenjivim

opterećenjem i još k tome promjenjivom amplitudom može se računati na temelju

hipoteze o linearnoj akumulaciji oštećenja poznatoj pod nazivom Palmgren – Minerovo

pravilo.

Kao ulazni podatak za proračun služi djelujuće promjenjivo opterećenje prema

veličini i učestalosti kao spektar amplituda nazivnog naprezanja i trajne čvrstoće dijela

označeno preko nosive amplitude nazivnih naprezanja prema Wӧhlerovoj liniji.

Za provedbu jednog ovakvog proračuna životnog vijeka potrebno je poznavati

spektar amplituda pomoću odgovarajuće stepeničaste krivulje,(slika 1.1), kao trajne

dinamičke čvrstoće pomoću jednadžbe Wӧhlerove linije.

U svakom pogledu povoljnija sistematska predodžba i upotreba Palmgren –

Minerovog pravila očituje se iz Wӧhlerovih linija normiranih kroz dvostruku logaritamsku

predodžbu. Pri ovome je važno da je oblik naprezanja za sve amplitude istog omjera

naprezanja, tj. R=σmin

σmax

=konst .

Slika 1.3 Dosegnuta učestalost

Posebna prednost ovog pravila je u sljedećem. Promjenjivo opterećenje nekog

materijala uzrokuje oštećenje koje se akumulira sve dok ne dosegne kritičnu vrijednost

oštećenja nakon kojeg nastupa lom. Mjera oštećenja D je definirana kroz prirast oštećenja

∆ D i po jednom ciklusu

∆ D i=1N i

gdje je N i=N (σai , σmi ). (1.11)

Ovdje je N i broj ciklusa s amplitudom σ ai i srednjim naprezanjem σmi koje se vrijednosti

mogu naći iz Wӧhlerove linije. Kao kritična vrijednost oštećenja vrijedi u pravilu zbroj:

Di=∑i

∆ D i=1 za otkaz strojnog dijela (1.12)

1.4 Rješenje zadatka

Neka je na nekoj razini i = 1 granični broj promjena N1 = 200000, a na nekoj razini i = 2

granični broj promjena N2 = 1000000. Neka je na razini i = 1 ostvaren broj promjena

n1= 50000, a na razini i = 2 ostvaren broj promjena n2 = 200000.

Formula za izračun mjere oštećenja na pojedinim razinama :

n1

N 1

+n2

N2

+n3

N3

=1

Na razini i = 1 stupanj oštećenja D1 iznosi :

D1=n1

N1

= 50000200000

=0,25

Na razini i = 2 stupanj oštećenja D2 iznosi :

D2=n2

N2

= 2000001000000

=0,2

D=0,45 %

Ostatak „života“ :

D3=1−0,45=0,55

D(lom)

D(ostvareno)

= 10,45

=2,2222

Na razini 1 broj ostvarenih promjena :

n1 ( lom )=2,222∗50000=111110

Na razini 2 broj ostvarenih promjena :

n2 (lom )=2,222∗200000=444440

D= 50000200000

+ 2000001000000

+n3

200000=1

0,25+0,2+n3

200000=1

n3=(1−0,45 )∗2000000=110000

Mogao bi raditi još 110000 promjena s ovakvom vrstom opterećenja

N3=2∗106

N3=0,55∗(2∗106 )=1100000

b) Tablica sačinjena za podatke :

Povezivanje trajne (dinamičke) čvrstoće σD i graničnog broja ciklusa ND s vremenskom

čvrstoćom preko eksponenta k koji je mjera nagiba pravca vremenske čvrstoće

N=N D( бaбD) *̄ k

N=2∗106( 120100 ) *̄ 6=5971968

N=2∗106( 120150 )̄* 6=524288

N=2∗106( 120200 ) *̄ 6=93312

N=2∗106( 120250 )̄* 6=24461.18093

N=2∗106( 120300 ) *̄ 6=8192

N=2∗106( 120350 )̄* 6=3248.6969

N A 2∗106

σ A120

k 6

Stupanj Naprezanje

σ ai

1 350

2 300

3 250

4 200

5 150

6 100

1.5 Zak

ljuč

ak

Primjenom

Palmgren –

Minerovog

pravila

vrlo brzo i jednostavno se dolazi do broja ciklusa koji konstrukcija može podnijeti pri

zadanom opterećenju. To omogućava da procjenu životni vijek odnosno trajnost

konstrukcije. U ovom primjeru najveće oštećenje konstrukcije je na 6 stupnju.

Stupan

j

Naprezanj

e

σ ai

Zbrojena

učestalos

t H i

Stupanj

učestalos

ti h i

Broj

promjen

a N i

Oštećenje

Diu %

1 350 10 10 3248 0,0031 0.6596

2 300 100 90 8192 0,011 2.3406

3 250 1000 900 24461 0,0367 7.8091

4 200 10000 9000 93312 0,0965 20.5336

5 150 100000 90000 524288 0,1716

6

36.526

6 100 1000000 900000 5971968 0,151 32.1303

9

Zbroj 1000000 0.4699

6

100%

Stupan

j

Naprezanj

e

σ ai

Zbrojena

učestalos

t H i

Stupanj

učestalos

ti h i

Broj

promjen

a N i

Oštećenje

Diu %

2 SEMINARSKI ZADATAK 2

a) Fino brušena osovina izrađena je iz „materijala” opterećena spregom M prema slici 2.1.

Odrediti dopušteni moment M dop ako je poznata vlačna čvrstoća “Rm” i faktor sigurnosti

Sdop=2. Poznat je veći promjer osovine “D” i manji promjer osovine “d” kao i polumjer

zaobljenosti “ρ”, te faktor K t=1,6.

Slika 2.1 Osovina opterećena spregom M

Podatci :

Krešimir Blažević

material St 37

Rm400 MPa

D 100 mm

d 80 mm

ρ 10 mm

b) Fino brušena osovina izrađena je iz „materijala” i opterećena silom F prema slici.

Odrediti dopušteno opterećenje Fdop ako je faktor sigurnosti Sdop=2. Poznat je veći

promjer osovine “D” i manji promjer osovine “d” kao i krak sile “l”.

Slika 2.2 Osovina opterećena silom F

Krešimir Blažević

material St 37

l 220 mm

D 77 mm

d 52 mm

2.1 Opterećenje promjenjive amplitude

Do sada smo razmatrali ponašanje epruvete, odnosno dijelova strojeva i

konstrukcija koji su opterećeni titrajnim opterećenjem stalne amplitude i stalnog pred

naprezanja. Ako se amplituda tokom vremena mijenja (slika 2.3.), primjenjuje se

Palmagren – Minerovo pravilo koje glasi: Ako je uzorak opterećen simetričnim ciklusom

(R=-1, σm=0) promjenjive amplitude σ a prema slici 2.3, lom će nastupiti ako je ispunjen

uvjet:

N1

N f1

+N2

N f2

+…+N i

N fi

+…+N n

N fn

=1 (2.1)

odnosno

∑i=1

n N i

N fi

=1 (2.2)

gdje je N1 broj ciklusa s amplitudom бσ 1, N N2 broj ciklusa s amplitudom бσ 2 itd. Također

je N❑N f 1 broj ciklusa koje izdrži epruveta ako je opterećena naprezanjem σ 1, N f 2, broj

ciklusa koje izdrži epruveta ako je opterećena naprezanjem σ 2 itd.

Slika 2.3 Ilustracija Palmgren – Minerova pravila

2.2 Faktori koji utječu na titrajnu čvrstoćuPodaci o zamoru materijala odnose se na pokuse s normiranim poliranim

epruvetama. Za primjenu tih rezultata na proračun strojeva i konstrukcija, moraju se uzeti u obzir faktori koji utječu na titrajnu čvrstoću, odnosno zamor materijala, a to su: koncentracija naprezanja, zarezna osjetljivost materijala, površinska obrada, dimenzije, temperatura, korozija i dr.

Koncentracija naprezanja:

Teorijski faktor koncentracije naprezanja definiran je izrazom, slika 2.4:

K t=σmax

σn

(2.3)

Slika 2.4 Definicija faktora koncentracije naprezanja: a) pri osnom opterećenju, b) pri čistom savijanju

Zamorni ili efektivni faktor koncentracije naprezanja (faktor oblika, faktor redukcije titrajne čvrstoće) definiran je omjerom dinamičke izdržljivosti epruvete bezkoncentracije

naprezanja (σ−1 ) i dinamičke izdržljivosti epruvete s koncentracijom naprezanja (σ б−1K ).

K f=σ−1

σ−1 K

faktori K f i K t vezani su izrazima

K K f=1+q q (K K t−1 ) (2.4)

q q=Kk f−1

K k t−1 (2.5)

gdje je 0 < q < 1, faktor zarezne osjetljivosti materijala, tj. osjetljivost materijala na

koncentraciju naprezanja. S porastom čvrstoće raste zarezna osjetljivost, a s porastom

duktilnosti opada zarezna osjetljivost materijala, tablica 2.1 i slika 2.5:

Tablica 2.1

Slika 2.5 Utjecaj faktora koncentracije materijala kod ispitivanja epruvete savijanjem u

rotaciji, ilustriran je Wöhlerovim krivuljama za aluminijsku slitinu 2024 T4 Al

Slika 2.6 Utjecaj utora na zamor materijala za jednu epruvetu od aluminijske slitine

Kao primjer, u tablici 2.2 dani su faktori zareznog djelovanja K f za vezu osovine s

glavinom (D = 40 mm, epruveta d = 30 mm), materijal čelik St50, opterećenje

simetričnim ciklusom savijanjem pri rotaciji. Dinamička je izdržljivost za glatku osovinu

б σ−1=230 MPa.

Tablica 2.2 Faktori zareznog djelovanja spoja osovine s glavčinom

2.2 Utjecaj površinske obrade

Što je površina strojnog dijela ili konstrukcije finije obrađena to je i titrajna

čvrstoća veća. Utjecaj obrade površine to je veći što je veća čvrstoća materijala. Utjecaj

površinske obrade uzima se u obzir faktorom kakvoće površine k t čije se vrijednosti mogu

očitati iz dijagrama na slici 2.7. Taj se dijagram odnosi na savijanje ali se može primijeniti

i na osno opterećenje (vlak-tlak), međutim u primjeru uvijanja primjenjuje se vrijednost

k 1 t umjesto k 1.

Pri tome se k 1 t može odrediti iz k 1 pomoću empirijskog izraza

k 1 t=0,575k 1+0,425

Za dijelove koji su obrađeni površinskim valjanjem (surface rolling, Oberflachewalzen) i

sačmarenjem (Shot peening, Kugelstrahlen) uzima se kk 1.

Slika 2.7 Vrijednost faktora kakvoće površine k 1 (utjecaj površinske obrade). 1.najfinije

tokarenje, fino brušenje, 2. fino tokarenje, grecanje, brušeno, provlačeno, 3. brušeno

glodano, 4. gruba obrada

2.3 Utjecaj okoliša

Okoliš, odnosno medij u kojem se nalazi konstrukcija ili njezin dio također utječu

na zamor. Što je medij agresivniji, to je titrajna čvrstoća niža, odnosno vijek trajanja kraći.

To je ilustrirano na slici 2.8. Gornja se Wӧhlerova krivulja odnosi na zamor epruvete u

zraku, a donja na zamor u 3% otopini natrijeva karbida (morska voda). Epruveta je

izrađena od slitine Al-7.5Zn-2.5Mg. Ako se epruveta nalazi u tropostotnoj otopini

kuhinjske soli (NaCl) vijek trajanja epruvete je znatno niži.

Slika 2.8 Utjecaj agresivnosti medija na vijek trajanja pri zamoru

2.4 Utjecaj dimenzija

Što je strojni dio ili dio konstrukcije veći to je njegova titrajna čvrstoća manja. To

se uzima u obzir faktorom k k 2. Budući da se titrajna čvrstoća materijala uglavnom ispituje

na epruvetama promjera d=10 mm, faktor k k 2 opada kako je prikazano na slici 2.9 na

osi apscise navedene su vrijednosti promjera d u milimetrima, a na osi ordinate

vrijednosti faktora kk 2.

Slika 2.9 Ovisnost faktora utjecaja veličine kk 2 o promjeru d strojnog dijela

2.5 Rješenje zadatka

a) Fino brušena osovina izrađena je iz St 37, opterećena spregom M prema slici.

Odrediti dopušteni moment M dop ako je poznata vlačna čvrstoća “R Rm” i faktor

sigurnosti SSdop=2. Poznat je veći promjer osovine “D” i manji promjer osovine

“d” , polumjer zaobljenosti “ρ ρ” kao i factor K t=1,6.

material St 37

Rm400 MPa

D 100 mm

d 80 mm

ρ 10 mm

- dinamička izdržljivost σ−1=220 MPa

- zarezna osjetljivost materijala q=0,4

Osovina je opterećena na čisto savijanje pri rotaciji pa ćemo dopušteni moment savijanja

odrediti pomoću izraza

M dop=W y∙ σ dop

gdje je W y=π ∙d3

32=50265.48246 mm3 osni moment otpora. Dopušteno naprezanje

možemo odrediti pomoću SS=σ dop

σmax

Budući da je opterećenje mirno, biti će

k k din=1. Nema agresivnog medija, pa je k k 3=1. U tom slučaju prelazi u:

σ dop=σ−1∙ k1 ∙ k2

Sdop ∙K f

Efektivni faktor koncentracije naprezanja iznosi:

K f=1+q (K t−1 )=1+0,4 (1,6−1 )=1,24

Teorijska faktor koncentracije naprezanja možemo naći u priručnicima.

Faktor kakvoće površine kk 1 prema dijagramu na silci 2.3.1 za fino brušenu

površinu I vlačnu čvrstoću od 400 MPa iznosi k k 1=0,97. Faktor utjecaja veličine za

d=80 mm prema dijagramu na slici 2.4.1 iznosi kk 2=0,73. Ako sada k K f i sve

ostale veličine uvrstimo u бσ dop i zatim taj izraz sredimo, dobit ćemo

σ dop=σ−1∙ k1 ∙ k2

Sdop ∙K f

=220 ∙0,97 ∙0,732 ∙1,24

=62,815 MPa

Na kraju dopušteni moment iznosi

M dop=W y∙ σ dop=50,265 ∙62,815=¿3157,412Nm

b) Fino brušena osovina izrađena je iz St 37 opterećena silom F prema slici. Odrediti

dopušteno opterećenje FFdop i ako je faktor sigurnosti SSdop=2. Poznat je veći

promjer osovine “D” i manji promjer osovine “d” kao i krak sile “l”.

Krešimir Blažević

material St 37

l 220 mm

D 77 mm

d 52 mm

Budući da je osovina opterećena simetričnim ciklusom, možemo dopušteno

naprezanje odrediti pomoću izraza

σ dop=σ−1 k1 k2

K fk dinS

U ovom slučaju nema udara, pa će biti kk din=1. U tablici 1 možemo naći efektivni

faktor koncentracije naprezanja za spoj glavine i osovine

K f=2

U taj faktor je uključen i faktor kakvoće površine. Vrijednost dinamičke izdržljivosti

σ б−1=230 MPa određena je na osovini promjera 30 mm pa pri određivanju faktora

veličine k k 2 moramo biti oprezni. Naime, tu vrijednost moramo prvo svesti na

epruveti promjera d=10 mm, a zatim tako dobivenu vrijednost pomnožiti s

faktorom veličine koji vrijedi za osovinu promjera d=52mm. Prema dijagramu na

slici 2.5.1 za d=30 mm imamo k k 2=0,88, a za d=52 mm je k 2=0,79. Prema tome,

moramo σ−1 prvo podijeliti s 0,88, a zatim tu vrijednost treba pomnožiti s 0,79 da

dobijemo dinamičku izdržljivost epruvete promjera 52 mm. Pravi faktor veličine

dakle:

k 2=0,790,88

=0,89

Sada možemo odrediti dopušteno naprezanje

σ dop=230 ∙0,89

2 ∙2=51,62 MPa

Gdje je osni moment otpora

W y=π ∙ D3

32=44.82 cm3

Budući da je

M dop=Fdop ∙0,22

Biti će

Fdop=M dop

0,22= 44 ,82·10−6 ·51,62·106

0,22=10516.40 N=10.516 kN

2.6 Zaključak

Iz primjera je vidljivo da dopušteno naprezanje neke konstrukcije ne ovisi samo o materijalu, već postoji čitav niz drugih faktora kao što su oblik, kvaliteta površine, dimeznija i uvjeti rada. Bitno je pronaći optimalno rješenje, odnosno ostvariti željenu dinamičku čvrstoču i cijenu materijala, izrade i površinske obrade.

3 SEMINARSKI ZADATAK 3

3.1 Širenje pukotine pod cikličkim opterećenjem

Hoće li se pukotina začeta pod cikličkim opterećenjem početi širiti do konačnog

loma ovisi o tzv. pragu širenja pukotine, kako se naziva granična vrijednost raspona

faktora intenziteta naprezanja:

∆ K th=K max−K min=∆σY √π ∙a0 , (3.1)

gdje je a0 duljina začete pukotine, a ∆σ = σmax - σmin = 2σa. Ako i kada ∆K premaši vrijednost ∆Kth, pukotina se počinje širiti. Testiranjem normiranih uzoraka (ponekad i samih elemenata), mjeri se porast duljine pukotine po ciklusu da/dN (brzina širenja pukotine) u ovisnosti o ∆K. Tipičan rezultat takvog eksperimenta prikazan je na slici 3.1 u logaritamskim koordinatama.

Slika 3.1 Tipična krivulja rasta pukotine u metalima

Uočljivo je da je širenje pukotine na početku (točka ∆Kth) ubrzano (područje I), zatim prelazi u fazu stabilnog rasta (područje II), da bi konačno prešlo u fazu kritičnog širenja pukotine (područje III) koje vodi do ubrzanog loma. Vrijednost raspona faktora intenziteta naprezanja ∆Kc, kod kojeg dolazi do konačnog loma (da/dN→∞), je kritična vrijednost:

∆ K c=K c−Kmin=∆ σY √π ∙ac, (3.2)

čija sastavnica Kc je kritična vrijednost faktora intenziteta naprezanja koja se naziva lomna žilavost i predstavlja jednu od najvažnijih konstanti mehanike loma. Iz gornje relacije može se izračunati kritična duljina pukotine ac u trenutku loma za poznatu lomnu žilavost i obratno. U području II brzina širenja pukotine raste linearno pa se može opisati jednadžbom:

d ad N

=C ∆ Kn, (3.3)

koja u logaritamskim koordinatama predstavlja pravac sa koeficijentom smjera n. Ova zakonitost poznata je kao Parisov zakon u kojemu su C i n konstante materijala, koje se određuju eksperimentalno.

Iako strogo vrijedi samo u području II, to je zakon koji se u inženjerskoj praksi najčešće upotrebljava za određivanje preostalog vijeka trajanja elemenata strojeva i konstrukcija, na osnovi izmjerene duljine pukotine, ili dopuštene duljine pukotine za predviđeni vijek trajanja strojnog dijela ili konstrukcije. Naime, integracijom Parisove jednadžbe dobiva se vijek trajanja konstrukcije do loma izražen u broju ciklusa:

N f=∫a

acd a

∆ Kn. (3.4)

3.2 Seminarski zadatak 3

Za izračunavanje duljine pukotine korišten je softver AFGROW.

AFGROW (Air force growth) je softverski alat pomoću kojeg se može predvidjeti vijek trajanja nekog strojnog dijela. Omogućuje korisniku da analizira pukotine, rast pukotine te lom metalnih konstrukcija i vrlo je jednostavan za korištenje.

AFGROW se uglavnom koristi u zrakoplovstvu, ali se može primijeniti i na bilo koju metalnu konstrukciju kod koje dolazi do umora materijala.

U zadatku je potrebno na osnovu podataka iz tablica 1 i 2:

a) izračunati ukupnu duljinu pukotine c nakon ukupnog broja ciklusa N;

b) pomoću „Walkerove formule“ izračunati za prva tri ciklusa koliko je porasla

početna duljina pukotine c, kao kontrolu koristiti program;

c) odrediti pomoću programa AFGROW pomoću „Kmax Failure Criteria“ najveći mogući

broj ciklusa N koje može proba doživjeti te kolika je dosegnuta duljina pukotine c

te koliki je bio prirast pukotine da/dN.

Tablica 1.

C n m a E St υ KC KIC SC NBlažević Krešimir

3e-9 3.2 0.5 1.2e-5 200000 400 0.31 100 40 1 2000

Tablica 2.

W/m T/m c/m SMF RBlažević Krešimir

0.120 0.010 0.0025 100 0

3.3 Ukupna duljina pukotine c

Na početku potrebno je odrediti/definirati materijal. Materijal se definira preko "Walkerove" formule kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 3.2 Definiranje svojstava materijala

Nakon toga potrebno je odrediti broj ciklusa za koji želimo dobiti ukupno duljinu pukotine:

Slika 3.3 Zadavanje broja ciklusa

Potrebno je također definirati geometriju ispitnog uzorka, te početnu veličinu pukotine:

Slika 3.4 Odabir geometrije ispitnog uzorka

Slika 3.5 Definiranje dimenzija ispitnog uzorka te početne veličine pukotine

Zatim je potrebno zadati naprezanje i pokrenuti proračun.

Slika 3.6 Zadavanje faktora intenzivnosti naprezanja te oblika opterećenja

Slika 3.7 Prikaz rezultata

Ispitni uzorak nije izdržao zadani broj ciklusa opterećenja N = 2000, već je lom nastupio nakon N = 1014 ciklusa. Duljina pukotine u trenutku loma iznosila je 44,624mm,

a prirast pukotine d ad N

=1,477 ∙10−3 .

3.4 Prirast pukotine za prva tri ciklusa

Walkerova jednadžba za prirast pukotine glasi:

d ad N

=C ∙[ ∆K

(1−R)1−m ]n

gdje je:

C - konstanta materijalam - Walkerov eksponent (uglavnom od 0 do 1)n - Parisov eksponentR - način opterećenja∆K - prirast faktora intenzivnosti naprezanja, a

∆ K=Kmax−Kmin.

Ako znamo da je:

C = 3e-9

m = 0,5n = 3,2R = 0

∆ K=K I=σ ∙√π ∙a

∆K= Kmax – Kmin = σ ∙√π ∙a - R σ ∙√π ∙a

gdje je:σ - opterećenjea - početna duljina pukotine.

Iz gore navedenih podataka može se izračunati prirast duljine pukotine.

Prvi ciklus:

dadN

=C ∙ [ ∆ K

(1−R )1−m ]n

=3 ∙10−9 ∙[ 8.8622

(1−0 )1−0,5 ]3,2

=3,23085 ∙10−6

a1=0,00250318m

Slika 3.8. Rješenje programa AFGROW za prvi ciklus

Drugi ciklus:

dadN

=C ∙ [ ∆ K

(1−R )1−m ]n

=3 ∙10−9 ∙[ 8.8679

(1−0 )1−0,5 ]3,2

=3.3237 ∙10−6

a2=0,00250648 m

Slika 3.9. Rješenje programa AFGROW za drugi ciklus

Treći ciklus:

dadN

=C ∙ [ ∆ K

(1−R )1−m ]n

=3 ∙10−9 ∙[ 8,8737

(1−0 )1−0,5 ]3,2

=3,2439 ∙10−6

a3=0,00250973 m

Slika 3.10. Rješenje programa AFGROW za treći ciklus

3.5 Najveći broj ciklusa koje proba može doživjeti

Proračunom u programu AFGROW utvrđeno je da je najveći broj ciklusa koje ispitni uzorak može podnijeti N = 1014, pri tome je veličina pukotine c = 44,624 mm, a prirast

duljine pukotine d ad N

=1,477 ∙10−3 ..

Slika 3.11 Maksimalni broj ciklusa, duljina pukotine, te prirast pukotine

3.1 Zaključak

Pomoću softvera AFGROW na vrlo jednostavan način se može pratiti napredak i ponašanje pukotine, te preko dobivenih rezultata se može procijeniti vijek trajanja konstrukcije i prirast pukotine nakon određenog broja ciklusa. Tako se može optimalno iskoristiti konstrukciju uz što manje troškove uslijed prestanka rada i reparacije.