Risolvere sistemi lineari

Daniela Valenti, Treccani Scuola1

Daniela Valenti, Treccani Scuola2

Risoluzione grafica e algebrica

€

y = 2x

y = −3x + 5

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico delle rette trovo la soluzione (1, 2).Ma c’è anche un procedimento algebrico per ottenere la soluzione. Ecco qui sotto i calcoli da eseguire con carta e penna.

Come trovo la soluzione del sistema qui sotto?

METODO DI SOSTITUZIONE

Daniela Valenti, Treccani Scuola3

Un sistema impossibile

€

y = 2x

y = 2x + 5

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico trovo due rette parallele, con la stessa pendenza 2, che non si incontrano.Con il procedimento algebrico arrivo a un’equazione di 1° grado impossibile.Perciò il sistema è IMPOSSIBILE.

Uguaglianza sempre falsa, cioè EQUAZIONE IMPOSSIBILE

Daniela Valenti, Treccani Scuola4

Un sistema indeterminato

€

y = 2x

y = 2x

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico trovo due rette coincidenti, che hanno tutti i loro punti in comuneCon il procedimento algebrico arrivo a un’equazione di 1° grado indeterminata.Perciò il sistema è INDETERMINATO.

Uguaglianza sempre vera, cioè EQUAZIONE INDETERMINATA

Daniela Valenti, Treccani Scuola5

Riconoscere equazioni di rette parallele

€

y = mx + p

y = mx +q

⎧ ⎨ ⎩

Uguaglianza vera, cioè EQUAZIONE INDETERMINATASISTEMA INDETERMINATO

RETTE COINCIDENTI

Il procedimento seguito prima si può ripetere in generale, a partire dalle equazioni esplicite di una qualunque coppia di rette con la stessa pendenza m: ecco che cosa si trova.

Uguaglianza falsa, cioè EQUAZIONE IMPOSSIBILESISTEMA IMPOSSIBILE

RETTE PARALLELE

Daniela Valenti, Treccani Scuola6

Riconoscere equazioni di rette paralleleE se le rette sono scritte in forma implicita?

Se b ≠ 0Esplicito y e confronto le pendenze ESEMPIO3x + 2y = 0 e 6x + 4y – 8 = 0

Nelle equazioni trovo la stessa pendenza, perciòle rette sono parallele

Equazioni del tipo ax + by + c = 0

Daniela Valenti, Treccani Scuola7

Riconoscere equazioni di rette paralleleE se le rette sono scritte in forma implicita?

Equazioni del tipo ax + by + c = 0

Se b = 0 e a ≠ 0Esplicito x ESEMPIO3x + 2 = 0 e 4x – 8 = 0

Equazioni del tipo x = k, perciò le rette sono parallele fra loro, perché entrambe parallele all’asse y.

Daniela Valenti, Treccani Scuola8

Attività 2

Ora un’attività per impadronirsi dei concetti e delle tecniche appena acquisiti sui sistemi lineari.

Per lavorare dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare.

Avete 30 minuti di tempo

Che cosa abbiamo trovato

Daniela Valenti, Treccani Scuola 9

Sistemi e grafici con il computer

Daniela Valenti, Treccani Scuola 10

Sistemi e grafici con il computer

Daniela Valenti, Treccani Scuola 11

Sistemi e grafici con il computer

Daniela Valenti, Treccani Scuola 12

B(−2, 1) si trova solo sulla retta g, perché la coppia (−2, 1) compare solo nella tabella della retta g.

C(−2,−4) si trova solo sulla retta f, perché la coppia (−2, −4) compare solo nella tabella della retta f.

A(−1,−2) si trova su entrambe le rette, perché la coppia (−1,−2) compare in entrambe le tabelle.

Sistemi e grafici con il computer

Daniela Valenti, Treccani Scuola 13

Calcolo letterale con carta e penna

Daniela Valenti, Treccani Scuola 14

E se le equazioni sono più di due?

Daniela Valenti, Treccani Scuola 15

Un esempio per riflettere

CALCOLIGRAFICO

Uguaglianza falsa

La terza retta NON passa per il punto A di intersezione delle prime due

La soluzione (2, -1) NON soddisfa la terza equazione

Sistema incompatibile

E se le equazioni sono più di due?

Daniela Valenti, Treccani Scuola 16

Un secondo esempio

CALCOLI GRAFICO

Uguaglianza vera

La terza retta passa per il punto A di intersezione delle prime due

La soluzione (2, -1) soddisfa la terza equazione

Sistema compatibilecon soluzione (2, -1)