Granica efektywna zbioru możliwości inwestycyjnych Linia rynku kapitałowego Linia papierów wartościowych

Relacja Markowitza

UWAGA 1. Każdemu portfelowi (u1,u2,…,un) składającemu się z n- akcji (ui – udział i-tej akcji w portfelu) odpowiada para (σ , R); σ-

odchyl. std. stopy zwrotu, R - oczekiwana stopa zwrotu portfela. Odwzorowanie to nie jest różnowartościowe (może istnieć kilka portfeli, którym przyporządkowana jest ta sama para (σ , R).

DEF. 2. Dla dwóch par (σ1 , R1) , (σ2 , R2) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem „«”

(σ1 , R1) « (σ2 , R2) <=> ( σ2 ≤ σ1 i R1 ≤ R2 )

Mówimy, że portfele odpowiadające drugiej parze są lepsze w sensie relacji Markowitza od portfeli korespondujących z pierwszą parą.

Uwaga2. Będziemy w wyżej opisanej sytuacji mówili krótko, że portfel drugi jest lepszy niż pierwszy

Portfel efektywny. Granica efektywna (efficient frontier)

Def. 3. Portfel nazywamy efektywnym jeżeli

nie istnieje różny od niego portfel lepszy w

sensie Markowitza

Def.4. Zbiór portfeli efektywnych nazywamy

granicą efektywną zbioru wszystkich

możliwości inwestycyjnych

Portfel efektywny. Granica efektywna. Portfel minimalnego ryzyka

Portfel optymalny. Portfel rynkowy

Def. 5. Portfel optymalny to portfel o maksymalnym zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka (czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std.) maks. (ER/σ )

Def. 6. Portfel rynkowy to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. maks. (ER – RF ) / σ

( gdzie RF – stopa procentowa wolna od ryzyka )Portfelowi rynkowemu odpowiada w układzie (σ,R)

punkt, który oznaczymy przez (σM , RM )

Współczynnik efektywności Sharpe’a

portfelaodchylenie

ryzykaodawostopaR

RRE

P

F

P

FP

ln

)(

Portfel rynkowy (σM , RM), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. czyli maksymalnym (E(RP) - RF)/σP

CML, granica efektywna

Twierdzenie o dwóch portfelach efektywnych

Twierdzenie. Dowolny portfel leżący na granicy efektywnej jest kombinacją dowolnych dwóch portfeli leżących na tej krzywej (D. Luenberger, „Teoria inwestycji finansowych”)

Portfel mieszany: portfel rynkowy + aktywo pozbawione ryzyka (risk free asset)

Niech rozważany portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu RF

i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu RM i ryzyku σM ,

α + β = 1, zakładamy, że β > 0

Oczekiwana stopa zwrotu portfela : ERP = α RF + β ERM ,

Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM )

czyli σP = |β | σM = β σM

Wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ERP (ERP = α RF + β

ERM ) otrzymujemy

ERP = (1- σP/σM ) RF + σP

/σM • ERM

czyli ERP = RF + σP(ERM - RF )/σM

Portfel mieszany: portfel rynkowy + aktywo pozbawione ryzyka

Otrzymany związek

ERP = RF + σP [(ERM - RF )/σM ]wskazuje na liniową zależność między oczekiwaną stopą

zwrotu ERP dla portfela mieszanego a odchyleniem std. σP tego portfela.

Def. 7. Wykres powyższej zależności w układzie (σ, R) nosi nazwę linii rynku kapitałowego

Portfele mieszane (przy założeniu braku krótkiej sprzedaży portfela rynkowego) są zatem reprezentowane w układzie (σ, R) przez punkty półprostej o początku w punkcie (0, RF ), przechodzącej przez punkt (σM , ERM )

7%

9%

11%

13%

15%

17%

19%

0% 5% 10% 15% 20% 25%

Linia rynku kapitałowego (Capital Market Line) Pożyczka na dokupienie portfela akcji (czerwony odcinek)

Linia rynku kapitałowego Capital Market Line, CML

0%

2%

4%

6%

8%

10%12%

14%

16%

18%

20%

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

Standard deviation of portfolio return, p

Exp

ecte

d p

ort

folio

ret

urn

E(r

p)

Portfolio 2:

-50% in rf , 150% in M

The market portfolio M

Portfolio 1:

50% in rf , 50% in M

Linia alokacji kapitału (portfel mieszany dowolnego aktywa obarczonego ryzykiem oraz aktywa pozbawionego ryzyka)WA – udział aktywa ryzykownego

Współczynnik Sharpe’a

Możliwość krótkiej sprzedaży portfela akcji

Niech – jak poprzednio - rozważany portfel ma udział α obligacji o

stałej stopie zwrotu RF i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o

stopie zwrotu RM i ryzyku σM . Załóżmy , że β < 0.

Stopa zwrotu portfela : RP = α RF + β RM , α + β = 1

ERP = α RF + β ERM , Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM )

czyli σP = |β | σM = - β σM

Zaś dla ujemnego σP = |β | σM. Postepując analogicznie

otrzymujemy

ERP = RF - σP(ERM - RF )/σM

Geometrycznie oznacza to półprostą o ujemnym współczynniku kierunkowym, o początku w punkcie (0,RF)

Dane są stopy zwrotu z akcji A oraz zmiany indeksu giełdy w kolejnych miesiącach

stopa zwrotu z akcji A

zmiany indeksu

gieldowego

6,13% 3,24%0,59% 0,00%

-4,26% -3,08%5,84% -1,06%5,86% 3,73%4,35% 1,15%7,81% 1,19%

-5,75% 0,05%5,32% 2,47%

-3,45% -3,40%4,46% -1,00%1,57% -0,84%1,02% 0,27%7,04% -0,11%4,99% 1,20%0,91% -1,85%

-1,88% -1,13%3,94% 0,48%

-1,16% 0,18%-14,58% -6,16%

6,24% 2,52%8,03% 0,22%5,91% -2,44%5,64% 0,08%

Wykres punktowy wcześniej pokazanej tabeli (wiersz tabeli – punkt wykresu)

-8,00%-6,00%

-4,00%-2,00%

0,00%2,00%

4,00%6,00%

-20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00%

stopy zwrotu akcji A

zmia

ny in

deks

u

Regresja liniowa

1. Dla stóp zwrotu akcji X oraz zmian indeksu Y znajdziemy linię regresji liniowej (model teoretycznej zależności liniowej miedzy dwiema zmiennymi, opartym na metodzie najmniejszych kwadratów.

2. Równania regresji liniowej Y względem X nazywamy prostą:

Y - EY = [ COV (X,Y) / WAR X] (X- EX).

Równania regresji liniowej X względem Y :

X – EX = [ COV (X,Y) / WAR Y] (Y- EY).

Gdzie X ,Y teoretyczne wartości zmiennych X, Y

Linia regresji. Przykład

y = 0,2939x - 0,0085

-8,00%-6,00%

-4,00%-2,00%0,00%2,00%

4,00%6,00%

-20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00%

stopa zwrotu z akcji A

zmia

na in

deks

u gi

ełdy

Regresja liniowa Przykład

y = 1,7018x + 0,0258

-20,00%-15,00%

-10,00%-5,00%

0,00%5,00%

10,00%15,00%

-8,00% -6,00% -4,00% -2,00% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00%

zmiana indeksu giełdy

stop

a zw

rotu

z a

kcji

A

EXCESS RETURNS, NASDAQ vs. S&P 500December 1999 - August 2003

y = 1,6865x + 0,0036

R2 = 0,6255

-30%

-25%

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Nas

daq

EXCESS RETURNS, FIDELITY PURITAN FUND vs. S&P500May 1990 - August 2003

y = 0,5632x + 0,0008

R2 = 0,7468

-12%

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Pu

rita

n

EXCESS RETURNS, FIDELITY PURITAN FUND vs. S&P 500December 1999-August 2003

y = 0,5145x + 0,0012

R2 = 0,781

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Pu

rita

n

EXCESS RETURNS, NASDAQ vs. S&P 500May 1990 - August 2003

y = 1,4346x + 0,0025

R2 = 0,6433

-30%

-25%

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Nas

daq

Regresja liniowa. Współczynnik βPowiązanie stopy zwrotu z akcji z indeksem rynku

Y-EY= [COV(X,Y)/War X](X-EX)

RA - teoretyczna stopa zwrotu z akcji A

R - teoretyczna stopa zwrotu z indeksu

RA - ERA = [COV(R, RA)/War R](R -ER)

Oznaczmy β = COV(R, RA) / War R, wtedy

RA = E RA - β ER + βR = (E RA - β ER) + βR

Oznaczmy stałą ERA - β ER przez a, mamy wtedy

RA = a + β R równanie regresji liniowej stopy zwrotu z akcji względem stopy zwrotu z indeksu

Regresja liniowa. Współczynnik β

RA= a + β R

Współczynnik β wskazuje, o ile procent hipotetycznie wzrasta stopa zwrotu z akcji A, gdy indeks giełdy wzrasta o 1 %, gdyż

β = Δ RA / Δ R

Def. 8. Jeżeli

β > 1, to mówimy, że akcja A jest „agresywna” – akcja żywo reaguje na zachowanie rynku

0 < β < 1, to mówimy, że akcja A jest „defensywna”- stopa zwrotu z A w małym stopniu zależy od rynku

β = 0,- akcja nie reaguje na zachowanie rynku

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a

Można przyjąć następujące modelowe równanie związku między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu indeksu giełdowego

RA = a + β R + ew którym e jest składnikiem losowym (nieskorelowanym z

rynkiem) o wartości oczekiwanej równej zero.

Wówczas ERA = a + β ER Stopę zwrotu z papieru A można wyznaczyć w oparciu o stopę

zwrotu z rynku oraz współczynniki β oraz a

Ponadto War RA = β2 War R + War e

Ryzyko papieru wartościowego można wyznaczyć w oparciu o ryzyko rynkowe (systematyczne), współczynnik β oraz wariancję składnika losowego (ryzyko specyficzne)

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a

Uwaga.

Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da się uniknąć, natomiast ryzyko specyficzne, związane z akcją lub portfelem, można minimalizować odpowiednim wyborem akcji oraz składem portfela

Portfel wielu akcji. Model Sharpe’a

Dla portfela składającego się z n akcji potrzebna jest znajomość:

n stóp zysku n odchyleń standardowych n(n-1)/2 współczynników korelacji

(dla 100 akcji – 4 950 współczynników korelacji)

(dla 1000 akcji – 499 500 współczynników korelacji)

William Sharpe zaproponował tzw. jednowskaźnikowy model oparty na jednoczynnikowej analizie zmienności poszczególnych akcji, prowadzącej do analizy mniejszej liczby danych

Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a

Rozważmy akcje n spółek, których stopy zwrotu oznaczymy przez Ri i=1,…,n.

Ri = ai + βi R + ei ,

R oznacza stopę zwrotu indeksu giełdowego

Założenia:

(i) ei - losowy składnik o zerowej wartości oczekiwanej E(ei) = 0

(ii) ei nie jest skorelowany z R (dla każdego i)

(iii) ei nie jest skorelowany z ej dla każdej pary różnych wskaźników

(iv) Znane są wariancje War ei

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a

(1) Ri = ai + βi R + ei

(2) ERi = ai + βi ER

(3) War Ri = (βi)2 War R + War ei

(4) Cor (Ri, Rj) = (βi βj War R) / σi σj

Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy dwoma papierami można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a

Liczba danych: n współczynników a, n beta, n wartości odchyleń std. składników

losowych, średnia stopa rynkowa, wariancja rynku Czyli (3n+2) danych.

Portfel n spółek, parametry portfela

Rozważmy portfel akcji n spółek, spełniających założenia modelu jednowskaźnikowego. Stopy zwrotu poszczególnych aktywów oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei

Stopa zwrotu z portfela r :

i

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

eueuaua

gdzieeRar

zapisujemyco

ueuRuaur

111

1111

;;

,

1;

Składnik e jest średnią ważoną składników losowych poszczególnych akcji. Prawdziwe są równości

ngdyzatem

snsssu

touJesliisNiech

u

euEeueuEeE

ezmiennejwariancja

iiizeeE

iizRReE

izeE

e

nn

n

in

n

iie

nii

i

n

ii

i

n

iii

n

iii

n

iie

e

ji

i

i

0

,.

)(

)(0)]0)(0[(

)(0)])(0[(

)(0)(

2

12212

1

2122

1

22

122

2

1

2

2

1

2

11

22

2

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a

Przy przyjętych założeniach wariancja (σe)2 jest odwrotnie proporcjonalna do liczby aktywów w portfelu.

Wariancja portfela może być przedstawiona jako suma dwóch składników

Pierwszy z nich jest wiąże się z tzw. ryzykiem systematycznym, niedywersyfikowalnym, współczynnik beta jest średnią ważoną, nie ulega więc dużym wahaniom. Drugi zaś jest sumą przyczynków dywersyfikowalnych ryzyka (suma ta maleje wraz z liczbą akcji)

ngdyzatem R

eR

222

2222

Ryzyko systematyczne i niesystematyczne (dywersyfikowalne)

Linia papierów wartościowychSecurity Market Line SMLMożna szukać współzależności między stopą zwrotu z

akcji A oraz stopą zwrotu portfela rynkowego RM

(nie zaś indeksem rynku, jak poprzednio ) Prawdziwe jest twierdzenie (D. Luenberger, str 228)

Tw. Jeśli (σM , RM ) oznaczają parametry portfela rynkowego, to oczekiwana stopa zwrotu z akcji A jest związana ze stopą zwrotu portfela rynkowego następującym równaniem

RA = RF + β (RM - RF ),

gdzie β = COV(RA, RM ) / (σM )2

RF stopa wolna od ryzykaOstatnia równość nosi nazwę linii papierów wartościowych (SML)

Pierwszy składnik RF jest zwany „ceną czasu”zaś drugi – „premią za ryzyko”

Regresja liniowa miedzy (Ri-Rf) a (RM -Rf)

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych określa zależność stopy zwrotu akcji (portfela) od współczynnika beta tej akcji (portfela). Jest to zależność stopy zwrotu od ryzyka systematycznego reprezentowanego przez współczynnik beta

Linia papierów wartościowychSecurity Market Line SML

)()( FMAFA RRERrE

SML w notacji wartości oczekiwanych

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych. Układ (β,R)

Linia papierów wartościowych, stopa wolna od ryzyka - 5%, stopa portfela rynkowego - 12%

0%5%

10%15%20%25%30%

0 1 2 3 4

współczynnik betastop

a zw

rotu

Linia papierów wartościowych

Równanie SML jest równaniem rynku w stanie równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub portfela). Stopę zwrotu z aktywu o danym współczynniku β można odczytać z wykresu.

Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej współrzędnej równej 1.

Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przecięcia prostej SML z osią OY.

Portfele leżące na SML są równie atrakcyjne ze względu na uzyskiwaną stopę zwrotu i ponoszone ryzyko

Niedowartościowanie i przewartościowanie względem SML

Linia papierów wartościowych

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

0 1 2 3 4

portfele na SML

portfeleniedow artościow ane

portfeleprzew artościow ane

Model równowagi CAPM

Parametry akcji (portfeli) mają tendencję do spełniania równania SML. (Punkty reprezentujące te portfele układają się na linii SML).

Jeżeli akcja (portfel) znajduje się powyżej tej linii – ma większy zwrot - jest więc bardziej atrakcyjna (niedowartościowana), zwiększony popyt wywołuje zwiększoną cenę, co obniża jej stopę zwrotu (powrót na linię).

Jeżeli akcja (portfel) znajduje się poniżej tej linii – ma mniejszy zwrot - jest więc mniej atrakcyjna (przewartościowana), zmniejszony popyt wywołuje spadek ceny, co zwiększa jej stopę zwrotu (powrót na linię).

Porównanie linii rynku kapitałowego CML oraz linii papierów wartościowych SML