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Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
QUESTIONARIO
Soluzioni a cura di S,Iacino, A. Lanza, S. Savarino
QUESITO 1
Fissati i numeri reali positivi a e b, con ð ⥠ð, provare che
limð¥â+â
logð¥(ð¥ð + ð¥ð) = ð
Soluzione
Per calcolare il limite facciamo prima un cambio di base del logaritmo e lo portiamo in base e, per
cui il limite diventa:
limð¥â+â
logð¥(ð¥ð + ð¥ð) = lim
ð¥â+â
ln(ð¥ð + ð¥ð)
ln ð¥=
â
â
Poiché sussistono le ipotesi, applichiamo il teorema di de lâHopital per risolvere la forma
indeterminata:
limð¥â+â
ln(ð¥ð + ð¥ð)
ln ð¥=
â
â= lim
ð¥â+â
ð·(ð¥ð + ð¥ð)ð¥ð + ð¥ð
1ð¥
= limð¥â+â
ðð¥ðâ1 + ðð¥ðâ1
ð¥ð + ð¥ð
1ð¥
= limð¥â+â
(ðð¥ð + ðð¥ð)ð¥
ð¥(ð¥ð + ð¥ð)=
limð¥â+â
(ðð¥ð + ðð¥ð)
(ð¥ð + ð¥ð)
Ora se ð > ð allora
limð¥â+â
(ðð¥ð + ðð¥ð)
(ð¥ð + ð¥ð)=
â
â= ð
in quanto il limite Ú dato dal rapporto dei coefficienti delle x di grado massimo.
Se ð = ð allora
limð¥â+â
(ðð¥ð + ðð¥ð)
(ð¥ð + ð¥ð)= lim
ð¥â+â
(ðð¥ð + ðð¥ð)
(ð¥ð + ð¥ð)= lim
ð¥â+â
2ðð¥ð
2ð¥ð= ð
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QUESITO 2
à assegnata la funzione ð: ð â ð così definita:
ð(ð¥) = â« ðð¡2ð¥
1
ðð¡
Studiare il segno della funzione ð e provare che essa Ú crescente. Determinare il valore di
â«ðâ²â²(ð¥)
ðâ²(ð¥)ðð¥
1
0
Soluzione
Il dominio della funzione ð(ð¥) Ú ð . Inoltre, poiché la funzione integranda ð(ð¡) = ðð¡2 Ú sempre
positiva nel suo dominio ð ne segue che la funzione integrale Ú concorde con la funzione integranda,
a patto che lâestremo di integrazione inferiore sia minore dellâestremo superiore, discorde in caso
contrario; pertanto
ð ð ð¥ > 1 ðððððð ð(ð¥)Ú ð ððððð ððð ðð¡ðð£ð
ð ð ð¥ < 1 ðððððð ð(ð¥)Ú ð ððððð ððððð¡ðð£ð
ð ð ð¥ = 1 ðððððð ð(ð¥) = 0
Dimostriamo ora che ð(ð¥) Ú crescente:
essendo la funzione integranda continua, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale
ðâ²(ð¥) = ðð¥2 ðâð Ú ððð ðð¡ðð£ð â ð¥ â ð
pertanto ð(ð¥) Ú sempre crescente.
Calcoliamo ora lâintegrale
â«ðâ²â²(ð¥)
ðâ²(ð¥)ðð¥
1
0= [ln (ðâ²(ð¥))]0
1 = [ln ðð¥2]0
1= [ð¥2]0
1 =1
Ovvero, in modo diretto
â«2ð¥ðð¥2
ðð¥2 ðð¥ = 2â« ð¥ ðð¥ = [ð¥2]01 = 1
1
0
1
0
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QUESITO 3
Dimostrare che il quadrilatero avente per vertici i punti medi dei lati di un rombo Ú un rettangolo
Soluzione
Consideriamo il rombo (ABCD) in figura, dove M, N, P, R, sono punti medi dei lati del rombo:
Le ipotesi sono le seguenti:
⢠ðŽðµ = ðµð¶ = ð¶ð· = ðŽð·
⢠ðŽðµ//ð¶ð· ð ðŽð·//ðµð¶
⢠ðµï¿œÌï¿œð· = ðµï¿œÌï¿œð· ð ðŽï¿œÌï¿œð¶ = ðŽï¿œÌï¿œð¶
⢠ðŽð = ððµ = ðµð = ð ð¶ = ð¶ð = ðð· = ð·ð = ððŽ
Sapendo che un rettangolo Ú un parallelogramma avente tutti e quattro gli angoli uguali e uguali a
90°, dobbiamo dimostrare che
⢠ðð = ð ð ð ðð = ðð
⢠ð ï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = 90°
Consideriamo i triangoli AMN e RPC che sono isosceli e uguali per il primo criterio di uguaglianza
in quanto hanno:
ðŽð = ðŽð = ð ð¶ = ðð¶
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ðµï¿œÌï¿œð· = ðµï¿œÌï¿œð·
Pertanto avranno uguali tutti gli altri elementi e in particolare
ðð = ð ð
ðŽï¿œÌï¿œð = ðŽï¿œÌï¿œð = ð¶ï¿œÌï¿œð = ð¶ï¿œÌï¿œð = ðŒ
Analogamente i triangoli BMR e NDP sono isosceli e uguali per il primo criterio di uguaglianza in
quanto hanno:
ðµð = ðµð = ðð· = ð·ð
ðŽï¿œÌï¿œð¶ = ðŽï¿œÌï¿œð¶
Pertanto avranno uguali tutti gli altri elementi e in particolare
ðð = ðð
ðµï¿œÌï¿œð = ðµï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð· = ð·ï¿œÌï¿œð = ðœ
Inoltre
ð ï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = 180° â ðŒ â ðœ
Poiché la somma degli angoli interni in un quadrilatero Ú uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati
meno due, ovvero 360°, ne segue che
ð ï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = ðï¿œÌï¿œð = 90°
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QUESITO 4
Considerati i punti A(2,3,6), B(6,2,-3), C(3,-6,2) nello spazio tridimensionale, verificare che i
segmenti OA, OB, OC (dove il punto O indica lâorigine degli assi) costituiscono tre spigoli di un
cubo.
Determinare il raggio e il centro della sfera S circoscritta a tale cubo.
Soluzione
Per verificare che i segmenti OA, OB e OC siano i tre spigoli di un cubo dobbiamo verificare
lâuguaglianza dei tre segmenti OA=OB=OC:
ððŽ = â(2 â 0)2 + (3 â 0)2 + (6 â 0)2 = â49 = 7
ððµ = â(6 â 0)2 + (2 â 0)2 + (â3 â 0)2 = â49 = 7
ðð¶ = â(3 â 0)2 + (â6 â 0)2 + (2 â 0)2 = â49 = 7
e la mutua perpendicolarità , e per far ciò prendiamo in considerazione il vettore direzione della retta
OA che Ú ð£ âââ (2,3,6), quello della retta OB che Ú ð£ â²(6,2, â3) e quello della retta OC che Ú ð£ â²â²(3, â6,2).
Affinché OA sia perpendicolare a OB si deve avere:
ð£ ð¥ ð£â²âââ = 0 â ð£ð¥ð£â²ð¥ + ð£ðŠð£â²ðŠ + ð£ð§ð£â²ð§ = 0 â 2 â 6 + 3 â 2 â 6 â 3 = 0 ð. ð£. ð.
affinché OA sia perpendicolare a OC si deve avere:
ð£ ð¥ ð£â²â²ââââ = 0 â ð£ð¥ð£â²â²ð¥ + ð£ðŠð£â²â²ðŠ + ð£ð§ð£â²â²ð§ = 0 â 2 â 3 â 3 â 6 + 6 â 2 = 0 ð. ð£. ð.
affinché OB sia perpendicolare a OC si deve avere:
ð£â²âââ ð¥ ð£â²â²ââââ = 0 â ð£â²ð¥ð£â²â²ð¥ + ð£â²ðŠð£â²â²ðŠ + ð£â²ð§ð£â²â²ð§ = 0 â 6 â 3 â 2 â 6 â 3 â 2 = 0 ð. ð£. ð
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Il diametro della sfera circoscritta al cubo Ú la diagonale CD del cubo, mentre il centro Câ Ú il punto
medio di questa diagonale; pertanto determiniamo prima il punto medio M della diagonale AB del
quadrato di base del cubo e, con la formula inversa del punto medio, determiniamo il vertice D:
ð¥ð =ð¥ðŽ + ð¥ðµ
2=
2 + 6
2= 4
ðŠð =ðŠðŽ + ðŠðµ
2=
3 + 2
2=
5
2
ð§ð =ð§ðŽ + ð§ðµ
2=
6 â 3
2=
3
2
ð¥ð· = 2ð¥ð â ð¥ð = 8
ðŠð· = 2ðŠð â ðŠð = 5
ð§ð· = 2ð§ð â ð§ð = 3
Quindi il diametro CD Ú
ð¶ð· = â(3 â 8)2 + (â6 â 5)2 + (2 â 3)2 = 7â3
e quindi il raggio r Ú
ð =ð¶ð·
2=
7â3
2
Mentre il centro Câ della sfera Ú il punto medio Mâ della diagonale CD:
ð¥ð¶â² =ð¥ð¶ + ð¥ð·
2=
3 + 8
2=
11
2
ðŠð¶â² =ðŠð¶ + ðŠð·
2=
â6 + 5
2= â
1
2
ð§ð¶â² =ð§ð¶ + ð§ð·
2=
2 + 3
2=
5
2
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In alternativa si può determinare lâequazione della sfera imponendo il passaggio per i quattro punti
ð(0; 0; 0) , A(2,3,6), B(6,2, â3), C(3,â6,2)
Lâequazione di una sfera passante per lâorigine ha la forma
ð¥2 + ðŠ2 + ð§2 + ðð¥ + ððŠ + ðð§ = 0
Sostituendo le coordinate degli altri tre punti e risolvendo il sistema
{2ð + 6ð + 6ð + 49 = 06ð + 2ð â 3ð + 49 = 03ð â 6ð + 2ð + 49 = 0
si trova {ð = â11ð = 1ð = â5
Pertanto lâequazione della sfera Ú ð¥2 + ðŠ2 + ð§2 â 11ð¥ + ðŠ â 5ð§ = 0 da cui si possono
determinare le coordinate del centro ð¶â²(11
2; â
1
2;
5
2)
La misura del raggio Ú â121
4+
1
4+
25
4 =â
147
4=
7â3
2
QUESITO 5
Una persona lancia due dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6, poi trascrive su un foglio il
massimo dei due numeri usciti. Ripetendo molte volte la procedura, quale ci si può attendere che
sarà la media dei valori scritti?
Soluzione
I valori dei numeri scritti definiscono una variabile casuale X=â massimo dei due numeri uscitiâ
La media dei valori scritti, allâaumentare del numero di lanci, si avvicina al valor medio della
variabile casuale X, la cui distribuzione di probabilità Ú la seguente
x 1 2 3 4 5 6
P(x)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
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Infatti, se ð Ú lâuscita del primo dado, lâuscita del secondo, dovendo essere â€ð¥ ,può assumere ð
valori.
Il ragionamento Ú analogo se ð Ú lâuscita del secondo dado.
In totale si hanno ðð â ð coppie di numeri in cui ð Ú il numero maggiore , in quanto la coppia (ð; ð)
deve essere contata una volta sola
Poiché le coppie possibili sono in tutto 36 si ha
ð(ð = ð¥) =2ð¥ â 1
36
Il valor medio ( o valore atteso ) Ú
ðž(ð¥) = â ð¥ð â6ðŒ=1 ð(ð¥ð) =
1
36+
6
36+
15
36+
28
36+
45
36 +
66
36 =
161
36â 4,47
QUESITO 6
Consideriamo unâastronave in moto che viaggia rispetto alla terra a velocità ð£ = 0,90 ð.
Supponiamo che a bordo dellâastronave sia presente una scatola di dimensioni ð = 40 ðð , ð =
50 ðð, â = 20 ðð, con il lato b disposto parallelamente alla direzione del moto dellâastronave.
Per un osservatore posto sulla terra, che volume avrà la scatola? Se lâastronave lancia la scatola con
una velocità ð£2 = 0,50 ð nella direzione del moto dellâastronave, quale velocità misura
lâosservatore sulla terra?
Soluzione
Le lunghezze si contraggono nella direzione del moto secondo la legge:
ð = ð0â1 â (ð£
ð)2
pertanto, solo per il lato b lâosservatore terrestre misura una lunghezza minore
pari a circa 22 ðð da cui : ð17600 ðð3
La formula per la composizione delle velocità :
ð£ =ð£1 + ð£2
1 +ð£1 â ð£2
ð2
Da notare che se l'astronauta "lanciasse" un raggio di luce nella direzione del moto dell'astronave si
avrebbe:
ð£ =ð£1 + ð
1 +ð£1 â ðð2
= ð
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cioÚ la velocità della luce Ú un invariante, il suo valore non si compone con quella del sistema in
movimento da cui parte.
Nel caso in questione:
ð£ =0.90ð + 0.50ð
1 + 0.90 â 0.50â 0.97 ð
QUESITO 7
Una bobina Ú costituita da N spire quadrate di lato ð, ha una resistenza elettrica R ed Ú montata su un
carrello che può muoversi con attrito trascurabile su un piano orizzontale. Il carrello viene tirato con
velocità costante ð£ ed entra in una zona in cui Ú presente un campo magnetico ï¿œâï¿œ uscente dalla pagina
come in figura. Spiegare perché la bobina si riscalda e determinare lâespressione della potenza
dissipata.Cosa accade se il carrello viene lanciato con velocità ð£ verso la stessa regione?
Soluzione
Il carrello si muove verso destra, quando la spira quadrata viene attraversata dal campo magnetico,
il flusso del campo Éž =â ï¿œâï¿œ â ð = ðµ â ð â ððð ðŒ aumenta man mano che il quadrato si sposta a
destra, dando luogo a una f.e.m. di pari alla variazione , cambiata di segno, del flusso rispetto al
tempo: ð. ð.ð. = ââÉž
âð¡= âðµ â ð â
âð
âð¡
Lâangolo ðŒ = 0 perché le linee di forza di ðµââ â sono parallele alla normale alla superficie, il segno " -
" segnala che la f.e.m. indotta creerà una corrente che a sua volta darà luogo a un campo magnetico
tale da compensare l'aumento del flusso.
La corrente che attraversa un conduttore lo riscalda per effetto Joule (gli elettroni in moto
incontrano ostacoli, "attrito", e l'attrito causa una perdita di energia sotto forma di calore). La
potenza dissipata, energia persa rispetto al tempo, Ú data da:
ð =ð2
ð
In questo caso poiché la bobina Ú costituita da N avvolgimenti
ð = ââÉž
âð¡= âð â ðµ â ð â
âð
âð¡= âððµ â ð â ð£
Quindi la potenza Ú
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ð =(ð â ðµ â ð â ð£)2
ð
Quando tutto il quadrato della spira sarà all'interno del campo, il flusso sarà costante:
Éž = ðï¿œâï¿œ â ð = ððµ â ð2 e quindi f.e.m.=0 .
Se il carrello Ú lanciato verso la stessa regione con velocità iniziale ð£ , non appena il lato destro
della bobina penetra nella regione del campo magnetico, il conduttore sarà attraversato da una
corrente indotta e quindi soggetto a un forza magnetica ð¹ = ðð ð à ᅵâï¿œ di intensità ð¹=ð2ðµ2ð¿2ð£
ð
che ha la stessa direzione di ð£ ma verso opposto.
Il carrello si muove di moto decelerato e, a seconda del valore della velocità iniziale, si può fermare
allâinterno della regione del campo magnetico o attraversare lâintera regione . In tal caso, nella fase
di uscita si inverte il verso della corrente; la forza magnetica diventa attrattiva ma sempre diretta in
verso opposto alla velocità .
Anche in questo caso la bobina si riscalda per effetto del passaggio di corrente,
APPROFONDIMENTO
Bilancio energetico
In entrambi i casi, non appena il lato destro della spira penetra nella regione del campo magnetico,
sul carrello agisce la forza magnetica di intensità ð¹=ð2 âðµ2ð¿2ð£
ð che ha la stessa direzione della
velocità ma verso opposto.
1. Se Ú presente una forza che mantiene costante la velocità , questa forza deve avere la stessa
intensità e la stessa direzione della forza magnetica che agisce sulla spira ma avrà lo stesso
verso della velocità quindi fornirà una potenza uguale a ð¹ð£ =ð2ðµ2âð2âð£2
ð
Potenza meccanica = Potenza elettrica assorbita dal circuito= potenza dissipata per effetto Joule
2. Se non Ú presente alcuna forza che si oppone alla forza magnetica , il carrello si muove di moto
decelerato e la velocità decresce esponenzialmente come si evince dalla soluzione della seguente
equazione differenziale che risolve il problema classico di una sbarretta di lunghezza ð e massa ð in
un campo magneticoï¿œâï¿œ ,, nelle stesse condizioni del quesito in esame
ðð = âðµ2ð2ð£
ð â ð
ðð£
ðð¡= â
ðµ2ð2ð£
ð
ð£ = ð£ððâ
ð¡ð ððð ð =
ðð
ðµ2ð2
Lâenergia dissipata dalla resistenza in un tempo âð¡ sarà ⫠ð2ð ðð¡âð¡
0 =â«
ðµ2ð2ð£2
ð
âð¡
0ðð¡=
ðµ2ð2ð£02
ð â« ðâ2
âð¡ð ðð¡ = âð
ðµ2ð2ð£02
2ð âðâ2
âð¡ð â 1â
âð¡
0
=
âðð
ðµ2ð2ðµ2ð2ð£0
2
2ð âðâ2
âð¡
ð â 1â =1
2ðð£0
2 (1 â ðâ2âð¡
ð ) = ââðžð
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Al tendere di ât allâinfinito ( dopo un tempo sufficientemente lungo) lâenergia dissipata tende
proprio a 1
2ðð£0
2.
Se il conduttore entra nel campo magnetico con una velocità v e non Ú presente una forza
esterna , la forza magnetica frena il conduttore e la sua energia cinetica viene dissipata per
effetto Joule.
QUESITO 8
Una bobina Ú costituita da 130 spire di raggio R= 15 cm. Si pone un ago magnetico, le cui
dimensioni sono trascurabili rispetto a R, al centro della bobina ,come in figura.
Il piano della bobina viene orientato in modo da contenere lâago che, a sua volta, Ú orientato
nella direzione della componente orizzontale del campo magnetico terrestre. Quando la bobina Ú
attraversata da corrente, lâago devia di un angolo ðŒ. Spiegare la causa di questa deviazione.
In tabella sono riportati alcuni valori, misurati sperimentalmente, di ðŒ e della corrispondente
corrente nella bobina. Utilizzando questi dati , misura la componente orizzontale del campo
magnetico terrestre, con la relativa incertezza.
Soluzione
Il dispositivo Ú una bussola delle tangenti, utilizzata solitamente per misurare lâintensità di corrente
che attraversa la bobina, essendo noto il valore della componente orizzontale del campo magnetico
terrestre.
Inizialmente lâago risente solo dellâazione della componente
ðµðââ ââ del campo magnetico terrestre ma se si fa passare
corrente nella bobina si crea un campo magnetico ï¿œâï¿œ ðððððð
che si somma a quello terrestre e lâago si dispone lungo la
direzione della risultante dei due vettori, formando un angolo
ðŒ con la direzione di ðµðââ ââ .
Osserviamo che il vettore ï¿œâï¿œ ðððððð, Ú perpendicolare al
piano della bobina, pertanto Ú perpendicolare alla direzione
di ðµðââ ââ che appartiene allo stesso piano.
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BT
Brisult.
Per un osservatore posto sull'asse di rotazione dell'ago magnetico, la situazione descritta appare
come segue:
La bobina percorsa da corrente crea un campo magnetico ï¿œâï¿œ ðððððð direttamente proporzionale
allâintensità di corrente. Le spire sono 130, ma la bobina Ú "compatta", quindi si comporta come
un'unica spira, il cui campo Ú quantificabile come: ðµ =ð0
2ð ð dove i Ú 130 volte quella indicata.
Questo si compone con il campo magnetico terrestre dando luogo a una risultante che forma
l'angolo α di cui parla il testo.
Fra ðµðððððð , ðµð e α c'Ú la relazione trigonometrica: ðµð =ðµðððððð
ð¡ð ðŒ
Allo stesso risultato si perviene imponendo che il momento meccanico agente sullâago, dovuto ai
due campi magnetici, sia nullo
ððµð sin ðŒ = ððµðððððð cos ðŒ
dove ð Ú il momento magnetico dellâago.
Prendendo in considerazione i dati sperimentali possiamo costruire la seguente tabella,
considerando la misura indiretta di ðµð come misure ripetute di una stessa grandezza e calcolando,
quindi ,lâerrore statistico. Lascia qualche perplessità il fatto che le misure di ðµð sembrano
sottostimate allâaumentare dellâangolo.
Possiamo stimare il valore di ðµð = (34,6 ± 0,6)ðð
Poiché il numero di misurazioni non Ú elevato, si può anche considerare come incertezza il valore
della semidispersione massima ð£ððððð ððð¥âð£ððððð ððð,
2=
35,3â33,9
2ðð â 0,7ðð
Da notare chei valori noti di ðµð vanno da un minimo all'equatore 210-5 T a un massimo ai poli
710-5 T . Il valore trovato appare allora Ú ragionevole, per una latitudine intermedia anche se in
Italia i valori sono più bassi, inferiori a 310-5 T .
Bbobina
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Osservazione
La stima ottenuta per il valore di ðµð Ú il risultato di una misura indiretta, a partire dalle misure
dirette dellâangolo di deviazione e dellâintensità di corrente. Non sono rese note le incertezze delle
misure dirette ma si può ricorrere allâipotesi aggiuntiva che gli errori sulla corrente e sullâangolo
siano rispettivamente 0,1 mA e 1°, cioÚ lâincertezza sulla cifra meno significativa.
Applicando le regole della propagazione degli errori possiamo trovare innanzi tutto lâerrore su
ð¡ððŒ , per il quale si può utilizzare il concetto di differenziale
âð(ð¥) â ðâ²(ð¥ð)âð¥
Si ottiene la seguente tabella
α° α rad. tg(α) Îrad Îtg(α) Îtg(α)rel 10 0,175 0,176 1 0,017 0,018 0,103
20 0,349 0,364 1 0,017 0,020 0,057
30 0,524 0,577 1 0,017 0,023 0,044
40 0,698 0,839 1 0,017 0,030 0,043
50 0,873 1,19 1 0,017 0,042 0,048
Media 0,059
Mentre per lâerrore relativo sulla corrente troviamo
corrente(A) Îi Îi rel.
0,0114 0,0001 0,0088
0,0233 0,0001 0,0043
0,0368 0,0001 0,0027
0,0524 0,0001 0,0019
0,0739 0,0001 0,0014
Media 0,0038
Lâincertezza relativa sul rapporto ð =ð
ð¡ððŒ Ú
âð
ð =
âð
ð+
âð¡ð ðŒ
ðŒâ 0,06
ed Ú uguale allâincerteza relativa su ðµð che Ú ad esso proporzionale
Lâerrore assoluto sarà uguale a (34,6 â 0,06 â 2,0 )ðð
Lâincertezza , dellâordine di 2 ðð, Ú molto maggiore dellâerrore statistico. Le misure effettuate non
introducono incertezze maggiori dellâerrore strumentale.