UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

PROYECTOS DE INVERSIÓN MINERA

Mg.Sc. Ing. Mariano Pacheco Ortíz SETIEMBRE - OCTUBRE 2011

II.- ESTADOS FINANCIEROS DE LA EMPRESA

2. 5.- Matemática Financiera aplicada en la minería

PA

0 31 2 4 5 6

SIMBOLOGÍA EN MATEMÁTICA FINANCIERA

P : suma de dinero hoy

F : suma de dinero en algún tiempo futuro

A : serie consecutiva igual de dinero al final de cada periodo

i : tasa de interés del periodo

n

F

i

--------------------- n - 1

Cálculo del monto final a pagar por un préstamo

EN LOS CASOS DE INTERÉS SIMPLE

F = P * (1 + i*n)

EN LOS CASOS DE INTERÉS COMPUESTO

F = P * (1+i)

P= $ 250 000 i = 6% n = 15 años

n

TASA DE INTERÉS EFECTIVA

ES LA TASA DE INTERÉS REAL CALCULADA A PARTIR DE UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL, Y QUE DEPENDEN DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES

FÓRMULA:n

i = ( 1 + j/m) - 1

i=tasa efectivaj=tasa nominalm=periodos de capitalización de la tasa nominaln=periodo de capitalización de la tasa efectiva

TASA DE INTERÉS EFECTIVA

DETERMINAR LA TASA EFECTIVA SEMESTRAL PARA UN DEPÓSITO DE AHORRO QUE GANA UNA TASA NOMINAL ANUAL DE 24% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.

FÓRMULA:n

i = ( 1 + j/m) - 1

6

i= ( 1 + 0.24/12) -1 = 12.62%

P

0 21 3

VALOR PRESENTE

P = F

(1 + i)

Representación gráfica

n

F

i

-------------------------------

-

n

%

Fórmula:

Ejercicios de Valor Presente

0 1.000000 -1.000 -1.000

F = P * (1 + i) 133.10

Periodos 1 / (1 + i)n Flujo de caja Flujo de caja a valor Pte.

n100 (1 + 0.10)

3

P = F * 1 / (1 + i)n

133.10 * 1 / (1 + 0.10)3

100.00

1 0.909091 500 455

2 0.826446 600 496

3 0.751315 700 526

4 0.683013 500 342

818

ANUALIDADES

UNA ANUALIDAD ES UN CONJUNTO DE DOS O MÁSFLUJOS DE IGUAL MONTO, EQUIDISTANTES EN ELTIEMPO. EL INTERVALO DE TIEMPO ENTRE LOSFLUJOS NO ES NECESARIAMENTE UN AÑO, PUEDESER UN SEMESTRE, UN MES, UN DÍA, ETC.

SON EJEMPLOS DE ANUALIDADES: LOS SUELDOS,LOS DIVIDENDOS, LAS PENSIONES DE ENSEÑANZA,LAS PRIMAS DE SEGUROS, EL SERVICIO DE LADEUDA DE UN PRÉSTAMO, EL PAGO DEALQUILERES, ENTRE OTRAS.

P

A

0 31 2 4 5 6

ANUALIDADES

A = P

Representación Gráfica :

n

i %

-------------------------- n - 1

(1 + i) i n

(1 + i) - 1n

Fórmula de la Anualidad a partir del Valor Presente:

P

A

0 31 2 4 5 6

ANUALIDADES

Valor Presente de una Anualidad

P = A

Representación Gráfica :

n

i %

------------------------- n - 1

(1 + i) i

n(1 + i) - 1

n

F

A

0 31 2 4 5 6

ANUALIDADES

Valor Futuro de una Anualidad

F = A

Representación Gráfica :

n

i %

--------------------------- n - 1

i

n(1 + i) - 1

F

A

0 31 2 4 5 6

ANUALIDADES

Fórmula de la Anualidad a partir del Valor Futuro

A = F

Representación Gráfica :

n

i %

---------------------------- n - 1

i

n(1 + i) - 1

GRADIENTES

UNA GRADIENTE ES EL CRECIMIENTO CONSTANTE DE UNA ANUALIDAD A LO LARGO DEL TIEMPO EN UN PERIODO DETERMINADO. VIENE A SER UN CASO PARTICULAR DE ANUALIDADES.

SON EJEMPLOS DE GRADIENTES, LOS DIVIDENDOS O RENTAS CRECIENTES.

P

0 31 2 4 5

GRADIENTES

Valor Presente de una Gradientes :

P =

Representación Gráfica :

n

i %

---------------------------- n - 1

n

ni (1 + i)

G

i

(1 + i) - 1n

(1 + i) n

G 2G3G 4G (n-2) G

(n-1) G

F

0 31 2 4 5

GRADIENTES

Valor Futuro de una Gradientes :

F =

Representación Gráfica :

n

i %

--------------------- n - 1

n

i

G

i

(1 + i) - 1n

G 2G3G 4G (n-2) G

(n-1) G

A

0 31 2 4 5

GRADIENTES

Anualidad de una Gradiente :

A = G

Representación Gráfica :

n i------------------------- n - 1

n

i (1 + i) - 1

1

G 2G3G 4G (n-2) G

(n-1) G

n

P

A

0 31 2 4 5 6

PERPETUIDAD

Valor Presente de una Anualidad con vida infinita (n=infinito)

P =

Representación Gráfica :

n

i %

---------------------------- n - 1

i

A

PERPETUIDAD CRECIENTE

Valor Presente de una Anualidad creciente con vida infinita (n=infinito)

P =

Donde:

g = tasa crecimiento

( i – g )

A (1 + g)

Anualidad (A) = -PAGO (i,n,VP)

Valor presente anualidad = -VA (i,n,A)

Valor presente de un valor futuro = -VA (i,n,0,VF)

Valor futuro de un valor presente = -VF (i,n,0,VA)

Valor actual neto = VNA (i; celda inicial:celda final)

Tasa interna retorno =TIR(celda inicial:celda final)

.

1) PRINCIPAL DE LA DEUDA ES EL MONTO PRESTADOORIGINALMENTE, Y QUE SE VA PAGANDO(AMORTIZANDO) EN CUOTAS

2) INTERESES DE LA DEUDA SON LOS INTERESES QUE SEGENERAN EN CADA PERIODO POR EL PRINCIPAL DE LADEUDA QUE AÚN NO SE HA CANCELADO.

3) SERVICIO DE LA DEUDA ES LA SUMA EN CADA PERIODO DE LA CUOTA DE PRINCIPAL AMORTIZADO MÁS LOS INTERESES QUE SE PAGAN, TAMBIÉN SE LLAMA CUOTA TOTAL A PAGAR.

LAS FORMAS DE ATENDER EL REPAGO DE LOS PRÉSTAMOSPUEDEN SER:

1) CUOTA TOTAL CONSTANTE, DURANTE EL PERIODO DE REPAGO DE LA DEUDA.

-ES EL MÁS COMÚN EN EL SISTEMA FINANCIERO

-SE CALCULA UTILIZANDO ANUALIDADES

2) AMORTIZACIÓN DEL PRINCIPAL CONSTANTE.

- EN CADA CUOTA NO SE ALTERA EL MONTO DEL PRINCIPAL QUE SE PAGA

3) OTRAS FORMAS.

MUESTRA COMO SE PAGARÁ LA DEUDA DURANTE EL TIEMPO.

SUS COMPONENTES PRINCIPALES INCLUYEN:

1) El NÚMERO Y FECHA DE VENCIMIENTO DE LA CUOTA A PAGAR

2) SERVICIO DE LA DEUDA O CUOTA TOTAL

3) CUOTA DE INTERÉS

4) CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL PRINCIPAL

5) SALDO DEL PRINCIPAL QUE FALTA PAGAR

FINANCIAMIENTO DE PROYECTOS

(Supuesto: Cuotas iguales de repago)

CUOTA DE UN PRÉSTAMO

CUOTA= -PAGO (i%,n,P)

GASTO FINANCIERO (INTERÉS DE UN PRÉSTAMO

INT= -PAGOINT (i%,periodo,n,P)

PRINCIPAL DE UN PRÉSTAMO

PRIN= -PAGOPRIN(i%,periodo,n,P)

En un periodo determinado:

CUOTA = INT + PRIN